当前位置：文档之家 › 点的运动学(滚动)

点的运动学(滚动)

  • 格式：ppt
  • 大小：1.37 MB
  • 文档页数：38

下载文档原格式

  / 38

合集下载

工程力学之点的运动学

工程力学之点的运动学
。
简谐振动
点在平衡位置附近作周期性往 复运动，加速度与位移成正比 、方向相反。
抛体运动
点在重力作用下沿抛物线轨迹 的运动，如平抛、斜抛等。
一般平面曲线运动
点在平面内沿任意曲线轨迹的 运动，加速度和速度方向可任
意变化。
05
工程应用实例分析
机械手臂的运动控制
运动学建模
01
通过D-H参数法或旋量理论建立机械手臂的运动学模型，描述
在航空航天工程中，点的运动学可用于分 析飞行器的飞行轨迹和姿态控制，为航空 航天技术的发展提供理论支持。
土木工程
生物医学工程
在土木工程中，点的运动学可用于研究结 构的动力响应和稳定性问题，为工程结构 的设计和施工提供科学依据。
在生物医学工程中，点的运动学可用于分 析人体运动系统的生物力学特性，为医疗 器械的设计和康复治疗提供理论指导。
曲线运动的合成与分解
运动的合成
将点的运动分解为沿不同坐标轴的分运动，通过矢量合成得到点 的实际运动。
运动的分解
根据实际需要，将点的曲线运动分解为多个简单的直线或圆周运动， 便于分析和计算。
运动的叠加原理
多个独立的分运动可以线性叠加，形成复杂的曲线运动。
曲线运动的特殊形式
匀速圆周运动
点绕固定中心以恒定速率作圆 周运动，加速度始终指向圆心
速直线运动。
特点
速度大小随时间均匀变化，加速度 大小和方向保持不变。
公式
s = v0t + 1/2at^2，其中s为位移， v0为初速度，a为加
已知分运动求合运动，其位移、速度、加速度遵 循平行四边形定则。
分解
已知合运动求分运动，可将合运动分解为两个简 单的分运动进行处理。

理论力学—点的运动学

理论力学—点的运动学
r v t

O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向

d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为

第6章例题-纯滚动圆盘

第6章例题-纯滚动圆盘
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
例 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的 轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。 ϕ = vC t , ϕ = vC & r r y
r vC
C M O(M) A
r
Cr
ϕ
B P
x
解 (1) M 点运动方程
= ϕ r = vC t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xM = OP − MB = ϕ r − r sin ϕ yM = CP − BC = r − r cos ϕ
消去 ϕ 得轨迹方程：
版权所有 张强 钟艳玲
yM 2 ⇒ xM = r arccos 1 − − 2ryM − yM r
旋轮线 (摆线)
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
例 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的 轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。 ϕ = vC t , ϕ = vC & r r y xM = ϕ r − r sin ϕ r yM = r − r cos ϕ v Cr
例 直线轨道上的纯滚动圆盘，C 点速度为常量。求 M 点的 轨迹、速度、加速度以及轨迹的曲率半径。
工 程 力 学 第 6 章 点 的 运 动 学
版权所有 张强 钟艳玲
C
ϕ
M O A
B P
x
解 (2) M 点速度-大小
vMx = vC (1 − cos ϕ ) = 2vC sin
2
ϕ
2 cos
vMy = vC sin ϕ
⇒ vM = v
2 Mx
= 2vC sin
2 My
ϕ
2
ϕ

(完整版)点的运动学

(完整版)点的运动学

dz dt
z
★点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间
的一阶导数。
点的运动学
速度的大小：
v (dx )2 (dy )2 (dz )2 dt dt dt
(vx )2 (v y )2 (vz )2
速度的方向余弦： cos(v, i )vx源自cos(v ,j)
v vy
v
cos(v ,
k)
vz
v
直角坐标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
O j
y
i
x
xy
点的运动学
3、点的加速度
设： a axi a y j azk
ax
dv x dt
d2 x dt 2
x
ay
dv y dt
d2 y dt 2
y
az
dvz dt
d2z dt 2
z
直角坐 标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
d2r dt 2
r
v(t )
v2 a
M a
r
M
v(t t)
a
加速度 — 描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化O率的力学量。加速度
的方向为v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加速度大小等
于矢量 a 的模。
点的运动学
§6-2 直角坐标法
直角坐标法
1、点的运动方程和轨迹方程
不受约束的点在空间有3个自由度，
r (t )
M
r (t )
末端将描绘出一条连续曲线，称为
矢径端图，它就是动点运动的轨迹。 O

理论力学(第7版)第五章 点的运动学

理论力学(第7版)第五章 点的运动学
a 4、匀速运动： v 常数， 0, s s0 vt
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y

(完整版)第五章-点的运动学

(完整版)第五章-点的运动学

解： 炸弹的运动方程
x vt cos45
y vt sin 45 gt2 / 2
炸弹的初速度
求炸弹落到地面的时间，由 1800 277.8t sin 45 gt2 / 2
得 t 7.688s
可求出炸弹与目标的水平距离，
40
45 40 5
得： 又： 比较两式得：
速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。
Part two 运动学
运动学是研究 物体运动的几何性质的学科。
研究一个物体的机械运动，必须选取另一个物体作为 参考，这个参考的物体称为参考体。
运动学研究 点和刚体的运动。
点的运动学 是研究一般物体运动的基础，又 具有独立的应用意义.
研究点的简单运动，研究点相对某一个参考系的 几何位置随时间变动的规律。
(4)求点M速度矢、加速度矢的大小、方向。
x=asin=asinωt 轨迹方程： y=bcos=bcosωt
大小、方向均可求
例：如图，物体M自O点以速度v0 与水平成 角抛出，求M 点的运动规律及轨迹。
解：依题意，建坐标，有：
当t=0时： 得：
所以，有： V0 cos0t C3
V0 sin0t gt2 2 C4
连接各矢量端点构成矢量端点的连续曲线，称为速度
矢端曲线。
见flash
动点的加速度矢a 的方向与速度矢端曲线在相应点的切线相平行。
r1 r2 r3
v1 a
v2 v3
v1
v2
v v3
a
§5-2 直角坐标法
动点M的位置可以用r表示，也可 用坐标x、y、z来表示，如图所示。
矢径原点与坐标原点重合时，有：
当t=0时，有： x 0, y 0 得 C3 C4 0

理论力学 第一章 点的运动学


已知速度的投影求速度
大小
v v v v
2 x 2 y
2 z
方向由方向余弦确定
cosv , i v x v cosv , j v y v cosv , k v z v
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§ 1.1点的运动矢量分析方法
加
速
度
t 瞬时: 速度 v(t) t＋ t 瞬时:速度 v(t ＋ t ) 或v
t 时间间隔内速度的改变量
v ( t ) ＝ v ( t ＋ t ) － v( t )
点在 t 瞬时的加速度
§ 1.2 点的运动的直角坐标法
加速度
a ax i a y j az k
dv x d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dv z d 2 z az 2 dt dt
dv y dv x dv z d2 y d2x d2z a i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt
方 cosa, i a x a, 向 cosa, j a y a, 余 弦 cosa, k a z a
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§1.3 点的运动的自然坐标法
在点的运动轨迹已知的情况下，可建立弧
坐标和自然轴系来描述该点的运动，这种方
点的切线所组成的 平面，称为P点的密 切面。
P P
lim a1 a

理论力学第5章(点的运动)

包括几何静力学、分析静力学
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。

第6章 点的运动学

第二篇
运 动 学
机械电子工程学院
1/43
引言 运动学是研究物体机械运动的几何性 质。也就是从几何的观点研究物体的机械 运动，而不涉及运动的原因。 运动，而不涉及运动的原因。 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、 速度和加速度。 速度和加速度。 学习运动学的意义： 学习运动学的意义：首先是为学习动 力学打下必要的基础； 力学打下必要的基础；其次运动学的理论 可以独立地应用到工程实际中。 可以独立地应用到工程实际中。 机械电子工程学院 2/43
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
这就是直角坐标形式的点的运动方程。 这就是直角坐标形式的点的运动方程。 直角坐标形式的点的运动方程 直角坐标与矢径坐标之间的关系 r r r r r = x( t) i + y(t) j + z(t)k
机械电子工程学院 11/43
速度
r r r r r dr dx r dy r dz r v = = i + j + k = vxi +vy j +vzk dt dt dt dt
主法线
r τ r n
法面
r n
密切面
r r r b =τ ×n
副法线
r b
M
τ
r
切线
rr r 构成的坐标系称为自然轴 由三个方向的单位矢量 τ,n,b 构成的坐标系称为自然轴 r 它们的正向确定如下： 的正向指向弧坐标的正向； 正向确定如下 τ 系。它们的正向确定如下： 的正向指向弧坐标的正向；
r r r的方向将随动点在曲线上的位置变化 决定。 决定。自然轴系 τ,n,b 而变化，不是固定坐标系。 而变化，不是固定坐标系。

点的运动教案

v 各点法向加速度的大小 与该点到轴心的距离
a 成正比 方向指向轴心
M
36
§6–3转动刚体内各点的速度和加速度
一 转动刚体内各点的速度和加速度的计算
2 加速度计算逆运算
at
dv dt
d dt
(R)
R
d
dt
R
an
v2
( R ) 2
R
R 2
A
加速转动的刚体，已知其上
一点A的切向加速度
O
判断 角加速度的转向 计算角加速度的大小
❖ 2 在车轮上观察得到的点的运动轨迹? P147例5-6
❖
运动的相对性
24
习题 P 153-154 5-4 注意：1 坐标原点选在固定的点
2 动点选在一般位置
25
§ 5-3 自然法
应用的场合以及如何应用？ 1 运动方程 ？速度如何计算？ 2 加速度如何计算？ 一 弧坐标
O (+)
s
M (-)
s f (t)
dt dt
d
dt
vA 各点速度的大小与该点
vD D
A 到轴心的距离成正比
vB 速度的方向垂直于该点到
O
轴心的连线，指向图形
B 转动的一方。
34
§7–3转动刚体内各点的速度和加速度
一 转动刚体内各点的速度和加速度的计算 速度计算的逆运算
v ds R d R
dt dt
vB OB
vB
8 刚体绕定轴转动时，其上各点的加速度大小 与点到轴心的距离成正比例关系。
A
B
O
66
判断题 9 平面直角折杆绕定轴转动，其中OA=L AB=a 则B点的速度与AB垂直 大小等于角速度与AB长 度的乘积
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程: x R ct o ,y R s st i ,z n ut
解：
vx vy
x
y
vz
z
v x 2y 2z 2 s R22u2const.
a x 2 y 2 z 2 R2
ax ay
x y
az
z
2
8
A
l
B
O
x
C
.
略去λ4以及更高阶项，并利用关系
sin2 t1cos2t
2
则
xrcostl 1rl2sin2 t
可表示为
xl142rcost4cos2t
滑块B的速度和加速度为
vd dx trsint2sin2t,
y A
O
C
ad d2 t2 xr2costcos2t
l
B
x
.
轨迹演示
.
•半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M， 在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t 半径MC与轨道的垂线HC 组成交角 φ=ωt，其中ω 是常量。试求M点的运动方程，速度和加速度。
an恒指向曲线凹侧
速度、加速度矢量在密切面内
.
运动演示
.
•销钉B可沿半径等于R 的固定圆弧滑道DE 和摆杆的直槽中滑动，
AO=R=0.1m。已知摆杆的转角 π sin2π t （时间以s计， φ以rad计），
8
试求销钉在t1=1/4 s 和 t2=1 s 时的加速度。
•选滑道上O‘点作为弧坐标的原点，
ax ay az
d 2x
dt 2 d 2y
dt 2 d 2z
dt 2
x y
z
a ax2ay2az2
.
曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别
为r和l。且l>r，角=ωt，其中ω是常量。滑块B可
沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度 和加速度。
y
A
l
B
O
x
C
.
运动演示 2/23.
并以O'D为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标
D
C
+s
B
s R
ω
O
φ
θ
s
s2R π sin2πt
40
A
R
R
O' •这就是B点的自然形式的运动方程。
-s E
at
dvt dt
π3 sin2πt
10
教材题5-7P154
ds π2
vt
dt
cos2πt 20
an
v2
.
2π02 cos2πt2 0.1
π4 cos22πt 40
x
+ y
1、 弧坐标形式
的运动方程
ss(t)
.
曲线的几何性质 T”
M
T’
T M’ M' M s
•曲率(curvature) k lim
s0 s
•曲率半径(radius curvature)
1
k
MTT” 极限位置所在的平面称为 密切面(osculating plane)
.
以点M为坐标原点，并跟随点M一起运动的直角坐标系，称为
.
2
vxr(1cots) vy rsint
v 2rsin t
2
ax r 2sin t ay r2cos t a a2xa2y r2
当t = 2n时
vx 0
vy 0
a x 0 ay r 2
•这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。 •这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
aat an
解: 考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标
x O C C B rco sl2 r2sin 2
将φ=ωt 代入上式得
xrcostl 1rl2sin2 t
令λ= r/l，将上式的根式展
开，有
y
1 2 s in 2 t 1 12 s in 2 t 14 s in 4 t
t
f(x,y,z)0
P138．点的速度
vdrdixdyjdk z dt dt dt dt
vx
dx dt
dy v y dt
vz
dz dt
x
y
z
.
v vx2vy2vz2
P138．点的加速度
aaxiayjazk dv d2r d2x d2y d2z
a i j k dtd2t d2t d2t d2t
• M点的切向加速度和法向加速度 •注意，尖点
由v2rsin t
2
at
dvr2cos
dt
t
2
.
an a2at2r2sin 2t
§5-3 自然坐标法
点的运动轨迹为已知曲线
•坐标原点O—在已知轨迹上任选一点。
•弧坐标s—沿轨迹从O到点M的弧长。
•坐标正方向—指定坐标原点O的某一侧为正向。
-0zsM来自r O（1）运动方程
x f1 (t) x(t) y f 2 (t) y(t) z f3 (t) z(t)
.
x f1 (t) x(t) y f 2 (t) y(t) z f3 (t) z(t)
书P137
•称为点 的运动轨迹的参数方程。
•消去式中的参数 t ，可得到点的轨迹方程 —空间曲线方程：
.
•第五章 点的运动 •研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系
运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。
书137页 5- 2 直角坐标法 •当点的运动轨迹为已知直线或为未知时，
用直角坐标法描述点的运动规律。 1．点的运动方程和轨迹方程
z •取直角坐标系，点 在运动过程中，坐标 x，y ， 随时间而变化。
自然轴系。
主法线
en
密切面
2、速度与加速度
+s
速度 vset
法
面
M
eb
副法线
e t 切线
eteneb
et,en,eb 自然轴系
加速度 avd(set) dt 分解为两项
a s e t s e t a t a n
a t se t
an
s2
en
反映速度大小的变化 反映速度方向的变化
(trihedral axes on a curve)
什么是运动学？
• 运动学：研究物体运动的几何性质的科学。
• 点的运动学
– 点的运动方程（轨迹） – 点的速度 – 点的加速度 – 点的复合运动
• 刚体的运动学
– 刚体的平动（刚体上点的速度和加速度） – 刚体的定轴转动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度） – 刚体的平面运动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度） – 刚体的定点运动和一般运动（不讲）
解：考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，
故有OH=弧MH 。在图示瞬时动点M 的坐标为
y
x O r A rO si H nAH 弧 M H AH
D
xr(tsi n t)
C Mφ
yAM rrcos
yr(1cots)
OA
H
x
vxr(1cots)
vy rsint
v v 2 x v 2 y r ( 1 co t) 2 s2 itn 2 rsitn