理论力学：第六章 点的运动学
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理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
理论力学--运动学总结
速度瞬心位置的确定总结
瞬时平动
几点注意 1、基点法是速度分析的基本方法；
2、速度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点—是不能求图形的角速度 2、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法； 瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动 的角速度； 4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度； 5、具体分析时三种方法灵活运用；
（1）刚体的基本运动 平动
v A vB
aA aB
各点的轨迹相同；
可简化为一个点的运动。
定轴转动
v R
a R
an R 2
轮系的传动比：
1 n1 R1 Z 2 i12 2 n2 R2 Z1
各处不打滑时： 接触点有相同的线速度和相同的切向加速度。
（2）刚体的平面运动 1. 定义 任一点到某固定平面的距离保持不变。
B点的加速度分析
D
C
a a 2 a a 2 ae 2 ar 2
n
aa 2 ae 2
O1
30°
ar 2
B
aa 2cos60 aa2cos30 ae 2
n
aa 2
1
30° O2
n
A
a a2 O2 B 2
n 2 aa2 O2 B2
ae2 657mm/ s
2
三、刚体的运动
va=v
vCA
动点：滑块C 动系：固结于AE
u=vA
vr
vC' A
ωAE
分析三种运动
牵连运动：刚体的平面运动
牵连转动
va ( vA vCA ) vr
va cos vCA v A sin
理论力学重难点及相应题解
运动学部分：一、点的运动学重点难点分析1．重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。
求点的运动轨迹。
2．难点：运动方程的建立。
解题指导：1．第一类问题（求导）：建立运动方程然后求导。
若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。
根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和正向。
不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。
根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。
2．第二类问题（积分）：由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。
二、刚体的简单运动重点难点分析：1．重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。
2．难点：曲线平移。
解题指导：首先正确判断刚体运动的性质。
其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。
建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。
三、点的合成运动（重要）重点难点分析：1．重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。
速度合成与加速度合成定理的运用。
2．难点：动点和动系的选择。
解题指导：1．动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺序完全分开。
2．常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：（1）两个（或多个）不坟大小的物体独立运动，（如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。
由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。
（2）一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物体上。
（3）两个物体通过接触而产生运动关系。
其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。
选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。
第六章点的运动学_理论力学
故得
周期 T 的倒数
称为频率，表示每秒振动的次数，其单位为 1/s，或称为赫兹（Hz） 。
称为振动的圆频率，因为
所以圆频率表示在 2 秒内振动的次数。 将点 的运动方程对时间取一阶导数即得点 的速度
点
的加速度为
从上式看出， 谐振动的特征之一是加速度的大小与动点 的位移成正比，而方向相反。 为了形象地表示动点的速度和加速度随时间变化 的规律，将 和 随时间 的变化的函数关系画成曲线，
沿轨迹运动， 瞬时在 时间间隔内，点
的位移为
在
内点
的平均速度为
方向沿
方向。 （见图 6-3）
（2） 点的瞬时速度 由图 6-3 可知，当 限即为 。 时， 的极限位置为曲线在点 处的切线。此时 的极
（6-2） 方向沿 点的切线方向。
4. 点的加速度矢量 a （1）速度矢端曲线（即速度端图） （图 6-4（b）所示） 将 各 不 同 瞬 时 的 速 度 … （ 图 6-4 （ a ） 所 示
自然法 -- 即指用弧坐标建立运动方程，并研究点的速度和加速度沿自然轴系各分量的 物理意义。
3.点的速度 如图 6-10，由式（6-2）知
分别讨论速度的大小和方向。 （1）速度的绝对值
所以
（2）速度的方向 由§6-1 知 沿切线方向
（6-13）
Hale Waihona Puke 当时， 与 同向，点沿轨迹正向运动。
当
时， 与 反向，点沿轨迹负向运动。
） ， 平行移动到同一出 发点 O1 (任选)，以光滑曲线连接各速度端点 度端图。 （2）点的平均加速度 在 时间间隔内，速度由 改变为 ，所以 ， …。此曲线称为速度矢端曲线，简称速
如图 6-5 所示，则
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学-点的运动学
6.1 点的运动方程.速度和加速度
图6-3
6.1 点的运动方程轨迹的参数方程，在时间
t赋予不同数值时，将依次得到每一瞬时点的坐标x,y,z的相
应数值，根据这些数值就可描绘出点的运动轨迹。从运动方
程中消去参数t
当矢径的原点与直角坐标系的原点重合时，将有式（6-4）
当点M运动时，其弧坐标s随时间不断变化，是时间t的单 s=f(t) 6-5
6.1 点的运动方程.速度和加速度
式(6-5)表示点沿已知轨迹的运动规律，称为以弧坐标表
示的点的运动方程
s=f(t )
位置便可唯一确定。这种利用点的运动轨迹建立弧坐标，并
利用弧坐标来描述和分析点的运动的方法称为自然法。在点
的运动轨迹为已知的情况下，采用自然法描述点的运动较为
理论力学
运动学-点的运动学
分析物体的运动时，习惯上从最简单物体的运动开始， 即先研究点的运动，这是本章学习的重点。点的运动学主要 研究点在空间中的位置随时间变化的规律，它既是研究一般 物体运动的基础，又具有独立的应用意义。
6.1 点的运动方程.速度和加速度
6.1.1 点的运动方程
若点M做直线运动，利用点的坐标x来确定点在空间的
t 0
t0 t dt
式（6-6
t瞬时的速度，用v
(6-6)
v
=
•
r
6.1 点的运动方程.速度和加速度
6.1.3 点的加速度
设点M 在瞬时t的速度为v，经过时间间隔Δt后，点的位
置到达M ′时的速度为v ′，如图6-6所示。速度矢的变化量
Δv =v′－v，定义速度矢的变化量Δv与相应的时间间隔Δt
的比值为点的平均加速度，记为a。当Δt→0
理论力学第六章点的运动学
6
6-2 直角坐标法 二.点的速度
dr v = dt r = xi + yj + zk
dz dx dy v = i + j+ k dt dt dt ∴ v = v xi + v y j + vzk
dx dy dz & & & ∴vx = = x, v y = = y, v z = =z dt dt dt
引
运动学的基本概念： 运动学的基本概念：
言
： ①运动学： 研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 运动学： 科学，不考虑运动的原因。 科学，不考虑运动的原因。 ②运动学研究目的: 运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
参考体( );参考系 静系;动系。 参考系; ③运动是相对的:参考体(物);参考系;静系;动系。 ④运动分类 1)点的运动 1)点的运动 2)刚体的运动
dv y dv z dv x dv a = i+ j+ k = dt dt dt dt d2x d2y d 2z i+ j+ k = a xi + a y j + azk = 2 2 2 dt dt dt
加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对 时间的二阶导数。 时间的二阶导数。 大小： 大小： 方向： 方向：
y
纯 动 件 由 滚 条 : ) OC = M = rϕ = rωt C
而 x = OC−O Msinϕ = r(ωt −sinωt) 从 1 y = OC −OMcosϕ = r(1−cosω ) t 1 1
知 r t 已 ： , ϕ =ω , ω =常 , 数
a=
∧
a2 x + a2 y + a2z
6-2 直角坐标法 二.点的速度
dr v = dt r = xi + yj + zk
dz dx dy v = i + j+ k dt dt dt ∴ v = v xi + v y j + vzk
dx dy dz & & & ∴vx = = x, v y = = y, v z = =z dt dt dt
引
运动学的基本概念： 运动学的基本概念：
言
： ①运动学： 研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 运动学： 科学，不考虑运动的原因。 科学，不考虑运动的原因。 ②运动学研究目的: 运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
参考体( );参考系 静系;动系。 参考系; ③运动是相对的:参考体(物);参考系;静系;动系。 ④运动分类 1)点的运动 1)点的运动 2)刚体的运动
dv y dv z dv x dv a = i+ j+ k = dt dt dt dt d2x d2y d 2z i+ j+ k = a xi + a y j + azk = 2 2 2 dt dt dt
加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对 时间的二阶导数。 时间的二阶导数。 大小： 大小： 方向： 方向：
y
纯 动 件 由 滚 条 : ) OC = M = rϕ = rωt C
而 x = OC−O Msinϕ = r(ωt −sinωt) 从 1 y = OC −OMcosϕ = r(1−cosω ) t 1 1
知 r t 已 ： , ϕ =ω , ω =常 , 数
a=
∧
a2 x + a2 y + a2z
理论力学运动学知识点总结
理论力学运动学知识点总结第一篇：理论力学运动学知识点总结运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
• 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，以用矢量表示。
，当α与ω。
角速度也可• 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，同号时，刚体作匀加速转动；当α 与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示。
• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
• 传动比。
一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。
• 绝对运动：动点相对于定参考系的运动；• 相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。
2.点的速度合成定理。
• 绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；• 相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；• 牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。
3.点的加速度合成定理。
• 绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；• 相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；• 牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；• 科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。
• 当动参考系作平移或 = 0，或与平行时，= 0。
理论力学-运动学
2、三种运动及其关系
绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动
三、 点的合成运动
3、速度合成定理
G GG va = vr + ve
绝对速度
相对速度
牵连速度
牵连速度 —— 动系上与动点重合之点 （牵连点）的绝对速度，称为牵连速度。
三、 点的合成运动
4、加速度合G成定理G G G aa = ae + ar + aC
运动学的主要内容 研究物体运动的几何性质
运动学所涉及的研究内容包括： 1、 建立物体的运动方程 2、 分析运动的速度、加速度、
角速度、角加速度等 3、 研究运动的分解与合成规律
一、 点的运动学
采用以下三种方法研究点的运动方程、 运动的速度和加速度：
U 描述点运动的矢量法 U 描述点运动的直角坐标法 U 描述点运动的自然法
（2）投影法 vB= vA+ vBA
vBcosϕ= vAcosθ
y y´ vBA vB
S
Bϕ
ω
vA
Aθ
x´
O
vA x
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度 在这两点连线上的投影相等。
2、平面图形内各点的速度
（3）瞬心法
vC = 0
vA= vAC
vA= vC+ vAC
vA = ω ⋅ AC vB = ω ⋅ CB
y
G j+
G z k =
vx
G i + vy
G j + vz
G k
vx = x , vy = y , vz = z
（aG3=）vG加 =速x度iG+
y
G j+
G zk =
绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动
三、 点的合成运动
3、速度合成定理
G GG va = vr + ve
绝对速度
相对速度
牵连速度
牵连速度 —— 动系上与动点重合之点 （牵连点）的绝对速度，称为牵连速度。
三、 点的合成运动
4、加速度合G成定理G G G aa = ae + ar + aC
运动学的主要内容 研究物体运动的几何性质
运动学所涉及的研究内容包括： 1、 建立物体的运动方程 2、 分析运动的速度、加速度、
角速度、角加速度等 3、 研究运动的分解与合成规律
一、 点的运动学
采用以下三种方法研究点的运动方程、 运动的速度和加速度：
U 描述点运动的矢量法 U 描述点运动的直角坐标法 U 描述点运动的自然法
（2）投影法 vB= vA+ vBA
vBcosϕ= vAcosθ
y y´ vBA vB
S
Bϕ
ω
vA
Aθ
x´
O
vA x
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度 在这两点连线上的投影相等。
2、平面图形内各点的速度
（3）瞬心法
vC = 0
vA= vAC
vA= vC+ vAC
vA = ω ⋅ AC vB = ω ⋅ CB
y
G j+
G z k =
vx
G i + vy
G j + vz
G k
vx = x , vy = y , vz = z
（aG3=）vG加 =速x度iG+
y
G j+
G zk =
理论力学-点的运动学
7
三. 点的加速度
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2 x i
dt2
d2 y dt2
j
d2 z k
dt2
axi
ay
j
azk
a ax2 ay2 az2
cos(a, i
)
ax
,
a
[注] 这里的 x、y、z 都是时间单位连续函数。
x f1(t)
11
加速度的大小为
a
a
2 x
a
2 y
2
(l a)2 cos2 t (l a)2 sin2 t
2 l2 a2 2al cos 2t
加速度的方向余弦为
cos(a，i) ax a
cos(a，j) ay a
（l a）cost l2 a2 2al cos 2t
（l a）sint l2 a2 2al cos 2t
dt dt
dt
dt dt2
dt
① 切向加速度 a
——表示速度大小的变化
a
dv τ dt
d2 dt
s
2
τ
② 法向加速度 an ——表示速度方向的变化
an
vdτ dt
v lim Δ τ Δt0 Δ t
v lim (Δ τ Δt0 Δ s
Δ s) Δt
v2 lim Δ τ Δt0 Δ s
(lim Δ s d s v) Δt0 Δ t d t
1
即an
v2 n，
a a2 an2 ,
a
a arctg
2
an |a | an
dv dt
τ
v2
n
16
理论力学：第6章 点的合成运动
·1·第6章 点的合成运动6.1 主要内容6.1.1 点的绝对运动、相对运动和牵连运动1．定系和动系若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其中一个为定系，另一个即为动系。
但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系，相对于定系运动着的坐标系称为动系。
2．动点和牵连点动点为研究的对象，牵连点是动点在动系上的重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的点，不同瞬时，有不同的牵连点。
3．三种运动的关系动点相对于定系的运动定义为绝对运动；动点相对于动系的运动定义为相对运动；动系相对于定系的运动定义为牵连运动。
本章的主要任务就是建立这三者之间的定量关系，从而用来解决工程实际某些运动分析问题。
6.1.2 点的速度合成定理动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和。
这就是点的速度合成定理。
a e r =+v v v6.1.3 牵连运动为平移时，点的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
a e r =+a a a6.1.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，这就是牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
a e r C =++a a a a其中r C v a ⨯=ω2。
当取平动动系时0=e ω；0=C a 。
6.2 基本要求1．掌握运动合成与分解的基本概念和方法，准确理解本章阐述的若干概念。
2．明确动点与动系的选择原则，能在具体问题中恰当地选择动点与动系，并正确地分析三种运动。
3．熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理及其应用。
4．掌握科氏加速度的概念和计算，准确应用牵连运动为转动时的加速度合成定理及其应用。
6.3 重点讨论应用点的合成运动理论解决实际问题时，其关键是正确地选择动点和动系。
选择原则因具体情况不同而略有区别。
常见的问题有三种题型。
1．两个独立运动的物体，研究两者的相对运动。
理论力学6—点的运动学
点的曲率半径。
2021/7/31
19
6.3 自然法
t
两个相关的计算 结果(当Δt→0)
△s M'
M △
O
t'
t"
△t
τ 2 τ sin
2
dτ lim τ lim n 1 n
ds s0 s s0 s
n为法线方向
2021/7/31
20
6.3 自然法
3 点的速度
r
S ds
v lim lim
at c
dv at dtv v0 att
s
s0
v0t
1 2
at
t
2
了解上述关系后，容易得到曲线运动的运
动规律。例如所谓匀速曲线运动，即动点速度
的代数值保持不变。 s s0 vt
2021/7/31
25
例3 已知点的运动方程为x＝2sin4t m, y＝2cos4t m, z＝4t m。求点的运动轨迹的曲率半径。
2021/7/31
8
r xi yj zk
6.2 直角坐标法
速度Байду номын сангаас
v r xi yj zk vxi vy j vzk
速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐 标对时间的一阶导数。
若已知速度在各个方向上的投影，则速度的大
小为:
v x2 y 2 z2
其方向余弦为
cos(v, i ) x , cos(v, j ) y , cos(v, k) z
4
4
由此可得滑块B的速度和加速度：
v dx rw(sinwt sin 2wt)
dt
2
a dv rw2 (coswt cos 2w)
2021/7/31
19
6.3 自然法
t
两个相关的计算 结果(当Δt→0)
△s M'
M △
O
t'
t"
△t
τ 2 τ sin
2
dτ lim τ lim n 1 n
ds s0 s s0 s
n为法线方向
2021/7/31
20
6.3 自然法
3 点的速度
r
S ds
v lim lim
at c
dv at dtv v0 att
s
s0
v0t
1 2
at
t
2
了解上述关系后，容易得到曲线运动的运
动规律。例如所谓匀速曲线运动，即动点速度
的代数值保持不变。 s s0 vt
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25
例3 已知点的运动方程为x＝2sin4t m, y＝2cos4t m, z＝4t m。求点的运动轨迹的曲率半径。
2021/7/31
8
r xi yj zk
6.2 直角坐标法
速度Байду номын сангаас
v r xi yj zk vxi vy j vzk
速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐 标对时间的一阶导数。
若已知速度在各个方向上的投影，则速度的大
小为:
v x2 y 2 z2
其方向余弦为
cos(v, i ) x , cos(v, j ) y , cos(v, k) z
4
4
由此可得滑块B的速度和加速度：
v dx rw(sinwt sin 2wt)
dt
2
a dv rw2 (coswt cos 2w)
理论力学_运动学部分
三）自然法 1. 运动方程
s f (t )
2. 点的速度
ds v v dt
3. 点的切向加速度和法向加速度
dv v a τ n dt
2
at τ an n
dv at 切向加速度 dt v2 an 法 向 加 速 度 ρ
an沿主法线，指向曲率中心。
一）刚体的平移
O
C
A M D B
例4：长为l 的OA杆，A端恒与倾角为30°的斜面接触， 并沿斜面滑动，斜面以速度v 向右作匀速直线运动， 方向如图。在图示位置，OA杆水平，试求此时OA杆的 角速度和角加速度。
v
A
30
O
例5：图示平面机构中，主动件OA杆的角速度为 ωO=10rad/s，角加速度为αO=5rad/s2，OA=0.2m， O1B=l m，AB=1.2 m。图示瞬时（cosθ=0.983， sinθ=0.167），杆OA与杆O1B均处于铅直位置，求此 时杆AB的角速度、点B的速度以及点B的切向和法向 加速度。
A
ω
O
O1
B
2R
R
练习3：曲线滑槽 C 处的曲率半径在水平线上，AB
=BC=CD=l，滑块D以匀速v 运动，推动滑块C 运动。
当C与 C 点重合时，AB 杆的角速度为 AB 速度 AB 0 ，且A、B、C三点处于一条水平线上，求 此时BC杆的角速度及CD杆的角加速度。
v
C
x f1 (t ) y f 2 (t ) z f 3 (t )
2. 速度
dx vx dt
也是点运动轨迹的参数方程
dy vy dt
dz vz dt
3. 加速度
华南理工_网络理论力学随堂练习
第二篇运动学·第六章点的运动学·6.1 矢量法2. 6-6．下列说法正确的是。
（A）点的位移就是点走过的路程（B）点的矢端曲线，就是点运动的轨迹（C）如果在运动中点的矢径保持不变，点必作直线运动（D）如果在运动中点的矢径没有增量，点的速度一定为零参考答案：BD3. 6-7．下列说法正确的是。
（A）位移是矢量（B）当点作直线运动时，位移不是矢量（C）当点作曲线运动时，位移也可以是代数量（D）不论运动轨迹如何，位移一定是矢量参考答案：AD4. 6-1．运动学是研究物体运动的几何性质的科学。
（）.参考答案：√5. 6-2．运动学中通常采用两种参考系：定参考系和动参考系。
（）.参考答案：√6. 6-3．运动方程反映了物体运动的速度与时间的对应规律。
（）.参考答案：×7. 6-4．点的加速度等于矢径对时间的一阶导数。
（）.参考答案：×第二篇运动学·第六章点的运动学·6.2 直角坐标法3. 6-13．下列说法正确的是。
（A）在直角坐标法中，点的坐标和时间的对应关系，就是点的运动方程（B）当点作直线运动时，位移就等于路程（C）点作匀变速直线运动时，点的加速度和速度方向一定相同（D）点作匀速直线运动时，加速度一定为零参考答案：AD4. 6-8．动点的速度在直角坐标轴上的投影等于该点的对应坐标对时间的一阶导数。
（）.参考答案：√5. 6-9．动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度的对应投影对时间的一阶导数。
（）.参考答案：√6. 6-10．点作直线运动时，若有加速度存在，则加速度必沿着直线方向。
（）.参考答案：√第二篇运动学·第六章点的运动学·6.3 自然法2. 6-20．点M 沿螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，则该点（）。
（A）越跑越快（B）越跑越慢（C）加速度越来越大（D）加速度越来越小答题： A. B. C. D.参考答案：C6. 6-24．点作曲线运动，若其法向加速度越来越大，则该点的速度____________。
理论力学-点的运动学
详细描述
速度和加速度的矢量表示
04
CHAPTER
点的运动轨迹和运动参数
通过已知的初始位置和速度矢量，利用矢量合成法则确定点的运动轨迹。
直角坐标系
极坐标系
参数方程
利用极坐标表示点的位置，通过已知的初始位置和速度矢量，确定点的运动轨迹。
通过设定参数表示点的位置，根据初始条件和运动规律，确定参数方程，从而确定点的运动轨迹。
加速度与轨迹的关系
根据点的加速度矢量，可以判断点加速或减速的情况，进一步推断出其运动轨迹的变化趋势。
位移与轨迹的关系
根据点的位移矢量，可以确定点在平面或空间中的运动轨迹。
运动参数与轨迹的关系
05
CHAPTER
点的运动学应用
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点之间的距离保持不变。
总结词
刚体的平动是刚体运动的一种基本形式，它描述了刚体在空间中的移动。在这种运动中，刚体的所有点都以相同的速度和方向移动，因此刚体上任意两点之间的距离保持不变。平动不会改变刚体的形状和大小。
点的速度和加速度
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内通过的位移量，方向与物体运动方向相同。在直角坐标系中，速度矢量可以表示为位置矢量对时间的一阶导数。
速度的定义与计算
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量。
详细描述
加速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量，方向与物体速度变化方向相同。在直角坐标系中，加速度矢量可以表示为速度矢量对时间的一阶导数。
速度和加速度的矢量表示
04
CHAPTER
点的运动轨迹和运动参数
通过已知的初始位置和速度矢量，利用矢量合成法则确定点的运动轨迹。
直角坐标系
极坐标系
参数方程
利用极坐标表示点的位置，通过已知的初始位置和速度矢量，确定点的运动轨迹。
通过设定参数表示点的位置，根据初始条件和运动规律，确定参数方程，从而确定点的运动轨迹。
加速度与轨迹的关系
根据点的加速度矢量，可以判断点加速或减速的情况，进一步推断出其运动轨迹的变化趋势。
位移与轨迹的关系
根据点的位移矢量，可以确定点在平面或空间中的运动轨迹。
运动参数与轨迹的关系
05
CHAPTER
点的运动学应用
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点之间的距离保持不变。
总结词
刚体的平动是刚体运动的一种基本形式，它描述了刚体在空间中的移动。在这种运动中，刚体的所有点都以相同的速度和方向移动，因此刚体上任意两点之间的距离保持不变。平动不会改变刚体的形状和大小。
点的速度和加速度
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内通过的位移量，方向与物体运动方向相同。在直角坐标系中，速度矢量可以表示为位置矢量对时间的一阶导数。
速度的定义与计算
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量。
详细描述
加速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量，方向与物体速度变化方向相同。在直角坐标系中，加速度矢量可以表示为速度矢量对时间的一阶导数。
理论力学参考答案第6章盛冬发
第6章 运动学基础一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．动点速度的大小等于其弧坐标对时间的一阶导数，方向一定沿轨迹的切线。
( √ ) 2． 动点加速度的大小等于其速度大小对时间的一阶导数，方向沿轨迹的切线。
( × ) 3．在实际问题中，只存在加速度为零而速度不为零的情况，不存在加速度不为零而速度为零的情况。
( × ) 4．两个刚体做平动，某瞬时它们具有相同的加速度，则它们的运动轨迹和速度也一定相同。
( × ) 5．定轴转动刚体的角加速度为正值时，刚体一定越转越快。
( × ) 6．两个半径不等的摩擦轮外接触传动，如果不出现打滑现象，两接触点此瞬时的速度相等，切向加速度也相等。
( √ )二、填空题1. 描述点的运动的三种基本方法是矢径法、直角坐标法和自然坐标法。
2. 点做圆周运动，加速度由切向加速度和法向加速度组成，其中切向加速度反映了速度大小随时间的变化率，方向是沿圆周的切线；法向加速度反映了速度的方向随时间的变化率，方向是沿圆周的法线。
3. 质点运动时，如果d d st和22d d s t 同号，则质点做加速运动，反之则做减速运动。
4. 刚体运动的两种基本形式为平动和定轴转动。
5. 刚体平动的运动特征是刚体在运动的过程中其内的任一直线始终和原来的位置平行。
6. 定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示，它的表达式为r ωv ⨯=；刚体上点的加速度可以用矢积表示，它的表达式为v ωr εa ⨯+⨯=。
7. 刚体绕定轴转动时，在任一瞬时各点具有相同的角速度和角加速度，且各点轨迹均为 圆周。
8. 定轴转动刚体内点的速度分布规律为任何一条通过轴心的直径上各点的速度，若将速度矢的端点连成直线，此直线通过轴心。
9. 半径均为R 的圆盘绕垂直于盘面的O 轴做定轴转动，其边缘上一点M 的加速度如图6.23所示，试问两种情况下圆盘的角速度和角加速度的大小分别为：图(a)：=ω0；=εRa。
理论力学第6章-点的运动
t0 t S j
当t→0时，t 与t′的夹角趋近于直角，即t 趋近
于轨迹在点M的法线，指向曲率中心。若记法线法线的
单位矢量为n，规定它指向曲率中心，则有
密切面：
dt v n dt
副法线
b
M
t
T
切线
n
过点M作 MT 的平行线 MT1 ，
MT和MT1可以确定一个平面。当点 无限趋近点M时，则此平面趋近某
4
49sin2 wt cos2 wt
O
加速度在x轴，y轴上的投影
j
yC
xC
C x
B
ax
=
dvx dt
7Lw2
4
cos wt
w 2 xC
C点的加速度的大小
ay
=
dvy dt
Lw2
4
sin wt
w2 yC
a ax2 ay2 w2
加速度的方向余弦
cos(a, i) ax xC ar
xC2 yC2 w2r
例6-6 曲柄OA绕O轴逆时针方向转动。其转过j角与时间t
的关系为
j
t
4
，若OA=10cm，OO1 =10cm，O1B=24cm，试求
B点运动方程、速度和加速度。
解：建立弧坐标
运动方程 速度 加速度
S O1B 12j 3πt
v dS 3π 9.42 cm/s dt d2S
at dt2 0
v vxi vy j vzk
速度v在三个轴上的投影
vx
=
dx dt
x(t)
vy
=
dy dt
y(t)
vz
=
dz dt
z(t)
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d 2z dt 2
k
a
x
i
ay
jazk
a
a2x a2 y a2z
c
os
(ai
)
ax a
8
§6-3 点的运动的自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
一.弧坐标,自然轴系 1.弧坐标的运动方程 S=S (t)
9
2.自然轴系
二.点的速度
v
lim
t 0
r t
<6> 常数 (圆周运动)
<7> a 0 (匀速运动)
<8> a n 0 (直线运动)
<9> a 0, an 常数 (匀速曲线运动) <10> a 常数, an 常数 (匀变速曲线运动)
14
④点作曲线运动, 画出下列情况下点的加速度方向。
<1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
⑤判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动)
(不可能) (减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
15
⑥ <1>点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零 <2>点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零
dr dt
r
三.加速度
a
Δltim0ΔΔvt
dv dt
d 2r dt 2
r
5
§6-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
r xi yj zk
x x(t)
y
y (t )
z z(t)
当消去参数 t 后,可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。
6
§6-2 点的运动的直角坐标法
二.点的速度
an
v
d
dt
v lim
t0
t
v lim (
t0
S
S t
)
v
2
lim
t0
S
(lim S dS v) t0 t dt
11
由图可知
|
||
'
|2|
|sin
2
2sin 2
当t
0时,S 0,sin
2
2
| |1于是
lim |
t0
S
2sin
| lim
t0
2
S
sin
lim (
t0
2
S
)
d
dS
dv a dt
为速度的
大小变化率,在曲线中应为切向加速度
a
dv dt
。
13
③指出在下列情况下,点M作何种运动?
<1> a n 0 , a 常数 (匀变速直线运动)
<2> a 0, 常数
(匀速圆周运动)
<3> a 0 (匀速直线运动或静止)
<4> a n 0 , (直线运动)
<5> a 0, v 常数 (匀速运动)
lim ( t 0
r S
S t
)
lim
t 0
S t
lim t 0
r S
dS dt
dr dS
dS v
dt
10
三.点的加速度
a
dv dt
ddt(vτ
)
dv dt
τ
v
dτ
dt
d 2S dt2
τ
v ddτt
①切向加速度 a
----表示速度大小的变化
a
dv
dt
d 2S dt 2
②法向加速度 -----表示速度方向的变化
答:<1>不一定. 速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)
<2> 加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度
⑦切向加速度和法向加速度的物理意义？
答：a
dv dt
a
n
v2
表示速度大小的变化 表示速度方向的变化
16
⑧点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成 正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快， 还是越跑越慢？
40
这就是B点的自然形式的运动方程。
19
B点的速度在切向上的投影
O
vt +s D at B
C
ω
s
φ θ an
R A R O'
ds π2
vt
dt
cos 2πt 20
B点的加速度 a 在切向的投影
at
dvt dt
π3 sin 2πt 10
-s
而在法向的投影
E
an
v2
π2 20
cos
2πt
2
v
dr dt
ddxt i
dy dt
j
dz dt
k
v vxi vy jvzk
v vx2 vy2 vz2
c
os
(v i
)
vx v
c
os
(v j
)
v
y
v
c
os
(v k
)
vz v
7
三. 加速度.
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
⑤瞬时、时间间隔 ()t
( )t t2 t1
⑥运动分类
1)点的运动 2)刚体的运动
第六章 点的运动学
§6–1 点的运动矢量分析方法 §6–2 点的运动的直角坐标法 §6–3 点的运动的自然坐标法
§6-1 点的运动矢量分析方法
一.运动方程，轨迹
r OM 二.点的速度
r r (t)
v
Δltim0ΔΔtr
引言
运动学的一些基本概念
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
知摆杆的转角
π
sin 2πt
（时间以s计， φ以ra8d计），
试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时 的加速度。
18
解： 选滑道上O'点作为弧坐标的原点，并以O'D为正向。则
+s D B C
ω
s
O φθ R A R O'
-s E
s R
2
π sin 2πt
8
s 2R π sin 2πt
解： S bta
v dS b常数
a
dv dt
0,
an
v2
b2
,
a
an
b2
dt
由于点由外向内运动,曲率半径 越来越小,所以加速度
越来越大。而速度 v =常数,故点运动快慢不变。
17
例题
+s D B C
ω
s
O φθ R A R O'
-s E
销钉B可沿半径等于R的
固定圆弧滑道DE和摆杆的直
槽中滑动，OA=R=0.1 m。已
0.1
π4 cos2 2πt 40
20
21
1
2
即an
v2
n
a
a
an
dv
dt
v2
n
a a2 an2 ,
arctg | a |
an
12
课堂自学.
①用柱坐标法给出点的运动方程。 柱坐标法方程
f1(t)
r f2 (t) z f3 (t)
②
dv dt
与
dv dt
有何不同?就直线和曲线分别说明。
dv dt
a
(直线.曲线都一样),