第十七讲 逻辑问题

洪老师新语文2018年秋季小学班第十七讲一、期末考试复习规划（1）把秋季班教材上的万能作文素材巩固记忆一遍（2）认真复习笔记上的阅读理解的解题方法与技巧（拿出红笔划出重点、难点、记忆不清楚的地方）（3）做过的题目尤其是做错的部分认真过两遍（4）配合学校语文老师做好基础的复习（字词、默写、课内）二、万能作文素材解析万能作文素材（二）寻找生活中那些细微的温暖用一个优美的环境描写作为作文的开头，是一个非常好的选择环境描写的作用:点名季节、时间、天气、地点，渲染氛围，烘托情感万能作文素材的灵活运用:1.2017成都中考、2018，星海初三期中考《答案》2.什么是个好（2017中考）3.心中的那抹阳光4.星期天素材的使用一定要开始改编和模仿改编:点题、增、删、改模仿:寻找生活中与之相似的事件进行模仿素材可以整个使用，也可以根据需要拆开选择一部分使用三、说明文阅读的提优训练经典真题实践（九）71页阅读理解解题的四把钥匙:（1）解题方法技巧（2）结合文本内容（3）结合生活常识、逻辑（联想到生活中与之相同或相似的事物、人物、事件和情景）（4）思维的深度（上位思想）大海-大自然1.这组文本的主要目的，表述最恰当的一项是（ D ）（2分）2.依照顺序写下榫卯连接的顺序。

（第一项已经写好了）（2分）（④）不断连接构件，完成大型的结构，整体（②）找出木构件卯（①）找出木构件榫（③）将榫头插入卯眼，完成一个小型的结构整体3.【文本2】画线句子运用了什么说明方法？有什么作用？（2分）分析:说明方法的作用题解题公式:（1）方法判定（2）方法分析（3）（方法自带效果）说明了（前一句或后一句或本句重点）（4）进一步说明本段的重点（往往在段首）或本文的重点（标题、开头、结尾）答:（1）运用了举例子和列数字的说明方法（2）举了山西应县木塔的例子（3）具体准确地说明了（前一句）（4）进一步说明了榫卯结构的坚固4.根据文本资料，并想象一下说明应用榫卯结构制作的家具的一个优点和一个缺点。

第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at 的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．练习十七1．求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y＝5．2．求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．3．求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．5．求不定方程组的正整数解.。

第一部分:模态判断1、什么是模态判断所谓模态判断是指一切包含“可能”、“必然”等模态概念的判断。

它判断事物的可能性或必然性；例如：今年我可能会结婚今年我必然会考上公务员2、模态判断的种类（1）、可能判断：分为可能肯定判断和可能否定判断小张可能是个帅哥----------------------------------S可能是P小张可能考不上成都省直公务员----------------S可能不是P（2）、必然判断：分为必然肯定判断和必然否定判断小张必然会成熟起来-------------------S必然是P小张必然离不开QZZN的朋友-------S必然不是P3、模态判断的真假关系就是要讨论：“必然P”、“必然非P”、“可能P”、“可能非P”之间的对当关系。

用一个逻辑方针来表示：1、上反对关系“必然P”和“必然非P”是上反对关系：不能同真，但是可以同假。

准确的说：如果其中一个是真，则令一个必然是假的；如果其中一个判断是假的，另一个判断不必然是真的，也可能是假的。

A：小张必然是个好人B：小张必然不是个好人如果A真，则B假如果A假，则B可能为真，也可能为假2、下反对关系“可能P”与“可能非P”是下反对关系：可以同真，但是不能同假。

即：如果其中一个判断是假的，则另一个判断必然是真的；如果其中一个判断是真的，则另一个判断不必然是假的，也可能是真的。

A：小张可能是个好人B：小张可能不是个好人如果A真，那B的真假性无法判断如果A假，那么B真3、矛盾关系“必然P”与“可能非P”、“必然非P”与“可能P”是矛盾关系：矛盾关系就是我们讲的：不能同真，也不能同假。

即：如果其中一个判断为真，另一个判断必然为假；如果其中一个判断假，另一个必然为真。

4、从属关系“必然P”与“可能P”、“必然非P”与“可能非P”是从属关系：可以同真，可以同假。

具体地说，即：必然判断真可能判断必真；可能判断假，必然判断必假。

第二部分1、联言判断：是判定若干事物情况共同存在的复合判断。

鸡兔同笼问题练习一1、野鸡兔子共10只，28条腿地下走，问:野鸡多少儿?兔子有多少?2、现有鸡和兔共30只，合计腿共70只，鸡兔各有多少儿?3、野鸡兔子49，100条腿地下走。

问:野鸡多少儿?兔子有多少?4、有鸡和兔共100 儿，总腿数为320只。

鸡兔各有多少儿?5.一农户养鸡兔共300儿，合计有腿720只。

养鸡和兔各有多少儿?6、鸡兔同笼，共50个头，120条腿。

鸡兔各多少只?7、鸡兔同笼共40个头，100条腿。

鸡兔各有多少只?8、鹤与龟共15只，腿共有48条。

鹤龟各有多少只？9、30枚硬币由2分和5分组成，共值99分，两种硬币各多少枚？10、21枚5分和2分硬币，共60分。

其中5分、2分硬币各几枚？11. 有2分和5分硬币共50枚，总钱数为208分，两种硬币各多少枚?12、买甲、乙两种画片共20张，共用去人民币45元。

甲种画片每张3元，乙种画片每张2元。

两种画片各买了几张?13、甲乙两种票共30张，计70元，又如甲票每张3元，乙票2元。

两种票多少张?14、一部书有两种版本，精装本每册5元，平装本每册4元，买了这两种书共23本，付书款100元。

这两种书各买了几本?15、每只2元和l元的铅笔一共买了15只，共花22元钱。

问两种笔各买了几只?16、有4分邮票和8分邮票共50枚，总值为280分，两种邮票得多少收?17、一千克苹果2元，一千克梨l元，水果店共购进苹果和梨350千克，共付1400元。

购苹果和梨各多少千克?18、肖峰买回6角钱和8角钱一本的练习本共18本，用去120角。

两种本各几本?19、动物园的门票，成人每张5元，学生3元，有一天游园人数是400人，门票收入是1600元。

问:这天游人中学生有多少人?20、每个4元和7元的橘子一共买了20个，付95元。

问两种橘子各买了多少个?21、一张桌子30元，椅子20元。

买桌子椅子共30件，付款800元。

各买了几件?。

逻辑推理与问题解决知识点总结逻辑推理与问题解决是我们在日常生活和学习中经常遇到的一种思维方式。

通过逻辑推理，可以帮助我们分析问题、找出解决方法，并作出合理的判断。

在本文中，我将对逻辑推理与问题解决的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地掌握这一技巧。

一、逻辑推理的基本规则逻辑推理是基于一定的规则和原则进行的，其中最基本的规则包括：1. 充分必要条件：若A是B的充分条件，则B是A的必要条件。

如：学习努力是取得好成绩的充分条件，那么取得好成绩是学习努力的必要条件。

2. 假言命题：若前件为真，则结论为真。

如：如果明天下雨，那么我会带雨伞。

3. 假言推理：由若干假设推导出一个结论。

如：如果今天下雨，那么我就不出门，今天下雨，所以我不出门。

4. 反证法：通过反设假设的方式，推导出矛盾，从而证明原命题。

如：假设A成立，若能推出B不成立，则可以通过反证法证明A不成立。

通过掌握这些基本规则，我们可以更加准确地进行逻辑推理，解决各种问题。

二、问题解决的思维方法问题解决通常需要经过一系列的思考和分析过程，以下是几种常用的思维方法：1. 辨析问题：首先要明确问题的核心，搞清楚问题的本质，避免问题的偏离。

2. 分解问题：将一个大问题分解为多个小问题，逐个解决，这样可以降低解决问题的难度。

3. 归纳和演绎：通过观察和实践，总结出一般规律，并利用这些规律进行推演，解决实际问题。

4. 借鉴经验：通过学习和借鉴他人的经验，可以更好地解决问题。

尤其是遇到已被解决过的类似问题时，可以借鉴前人的经验和成果，节省时间和精力。

5. 创新思维：在问题解决过程中，不断尝试新的思路和方法，开拓思维的边界，从而找到更好的解决方案。

三、逻辑推理与问题解决的应用领域逻辑推理与问题解决的应用领域非常广泛，以下是一些常见的应用领域：1. 数学问题：在解决数学问题时，逻辑推理和问题解决思维是必不可少的。

通过运用逻辑推理方法，可以帮助我们理解数学问题并找到解决方法。

八年级数学经典讲解第十七讲* 集合与简易逻辑§17．1集合我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合．组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素．通常用大写字母A，B，C…等表示集合，小写字母a，b，c，…等表示元素．如果m是集合A的元素，就说m属于A，记作m∈A．如果n(i)你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素．(ii)自然数全体1，2，3，…组成一个集合(通常把它叫作自然数集)．(iii)如果A，B是平面上两个不同的点，那么A，B两点所确定的直线上的点组成一个集合，这条直线上每个点都是这个集合的元素．总之，集合是数学中一个最基本、最常用的概念，下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识．1．集合的描述方法(1)列举法当一个集合所含元素个数较少时，一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来，这叫列举法．用列举法表示集合，通常是将这个集合的每个元素一一填写在｛｝中，每个元素之间用逗点隔开．填写集合的元素时，与元素的排列次序无关．例如：(i)由a，b，c，d，e五个小写字母组成的集合A，记作A=｛a，b，c，d，e｝，也可记作A=｛b，a，c，d，e)．(ii)由小于40的质数组成的集合B，记作B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．(iii)平方等于1的有理数集合C，记作C=｛1，-1｝．(iv)三条直线l1，l2，l3组成的集合D，记作D=｛l1，l2，l3｝．(2)特征性质描述法当一个集合所含元素较多时，用列举法描述很麻烦，这就要用到特征性质描述法．所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，即：(i)这个集合中每个元素都具有这些性质；(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素．例如，集合=｛1,-1｝用特征性质描述法表示就是A=｛x│x2=1｝，或者A=｛x││x│=1｝．全体偶数组成的集合B，用特征性质描述法表示就是B=｛x│x是能被2整除的整数｝，或者B=｛2n│n是整数｝．全体奇数组成的集合C，用特征性质描述法表示就是C=｛x│x是不能被2整除的整数｝，或者C=｛2n＋1│n是整数｝，C=｛2n-1│n是整数｝．一般地，用特征性质α表示集合A的形式是：A=｛x│x具有性质α｝．2．集合之间的关系和运算(1)包含与子集(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包含前者．(ii)设集合例1设A=｛1，2，3，4｝，试写出A的所有子集．｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝．(2)交集运算对于给定的集合A，B，由它们的公共元素所构成的集合叫作集合A 与B的交集．我们用A∩B表示A，B的交集(图2-88)．例如(i)如图2-89，设A=｛x│x是12的正因数｝，B=｛x│5＜x＜13，x是整数｝，则A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．所以 A∩B=｛6，12｝．(ii)设l1，l2是平面上两条不同的直线，则l1∩l2就是由它们的交点组成的集合．如果l1与l2相交于一点P，则l1∩l2=｛P｝(图2-90)；(3)并集运算对于给定的两个集合A，B，把它们所含的元素合并起来所构成的集合，叫作集合A，B的并集，我们用符号A∪B表示A，B的并集(图2-92)．例如(i)设M，N分别表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同学的集合．(ii)设A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，则 A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．注意在求上述集合A，B的并集时，虽然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，5只取一次．(iii)设E=｛x│x是实数，且x≥4｝，F={x│x是实数，且x≤-4}，G={x│x2≥16}．则 E∪F=G．一般地说，如果α，β分别是集合A，B的特征性质，即A={x│x具有性质α} ，B=｛x│x具有性质β｝，则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合，也就是A∪B=｛x│x具有性质α或β｝，或者A∪B={x│x∈A或x∈B}．例2设A={x│x是12的正因数}，B={x│x是18的正因数}，C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C．解根据已知条件，用填文氏图各区域的元素的方法来解决(如图2-93(a)，(b)).(1)A∩B∩C=｛1，2，3｝；(2)A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．例3设A={1，a，a2} ，B={1，a，b)，假定A，B中的元素都是整数，并且A∩B=｛1，3｝，A∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，b的值．解因为A=｛1，a，a2｝，B=｛1，a，b｝，所以A∩B＝｛1，a｝．已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于A∪B=｛1，a，b，a2｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．§17．2简易逻辑逻辑一词是LOGIC的音译，它是研究思维法则的一门学科．数学和逻辑的关系非常密切，在此，对逻辑知识做一些初步介绍．1．推出关系如果设A={x│x是4的倍数}，B={x│x是2的倍数}，则A中元素具有性质α——4的倍数；B中元素具有性质β——2的倍数．我们知道：如果某元素x是4的倍数，那么x一定是2的倍数，即具有性质一般地说，如果具有性质α的元素也具有性质β，我们便说由α推下面再举一个例子．2．命题和证明(1)命题和逆命题人们在思维活动中，经常要对客观事物做出判断．例如：(i)雪是白的；(ii)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2；(iii)3+4=6；上述所列都是对客观事物做出判断的语句．人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的(真)，也可能是错误的(假)．我们把肯定或否定的判断语句叫作命题．上述语句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命题．关于命题的真假性，有些容易判断，如(i)，(ii)是真命题，(iii)是假命题．但对(iv)的真假性就不是显然可判断的．可通过设x=1，y=0(x ＞y)，那么因此，命题(iv)为假命题(注意：证明一个命题为真命题，必须通过逻辑推演，但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可)．数学命题具有多种形式，经常采用的命题形式是“若α，则β”，“如果α，那么β”．命题“若α，则β”或是真命题，或是假命题，二者必居其一．“若当由α不可能推出β时，“若α，则β”便是假命题．在命题“若α，则β”中，α叫作这个命题的条件，β叫作这个命题的结论．如果将命题“若α，则β”的条件和结论互换，就得到一个新命题“若β，则α”，这两个命题之间具有互连关系，其中一个叫作原命题时，则另一个命题就叫作这个原命题的逆命题．当“如果α，则β”为真命题时，它的逆命题“如果β，则α”不一定是真命题．例如：(i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命题．它的逆命题“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命题．(ii)“若a=0并且b=0，则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0并且b=0”就不是真命题．(iii)“如果∠1，∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“∠1=∠2，那么∠1，∠2是对顶角”就是假命题．(2)证明我们要说明“若α，则β”是真命题时，以什么方式来推证呢？最常用的基本格式就是推出关系的传递性，即：如果那么例如，(i)若∠1和∠2是对顶角，①对顶角相等，②则∠1=∠2．③(ii) 张三是人，①凡人必有死，②所以张三必有死．③上述推理格式叫作三段论式，推理中的①，②是两个前提条件，①叫小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的结论．实际上，三段论式和推出关系的传递性是一致的．例如“对顶角相等”的证明过程，可以像下面这样来理解．已知：∠1是∠2的对顶角(图2-98)，求证：∠1=∠2．证从上述证明过程可知，要证明“若α，则β”，我们先设法找出一应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据，经过推演，导出某一命题成立，这种方法就叫作演绎推理法(简称演绎法)．演绎法是证明数学问题的重要方法．＝a2＋b2＋c2(a+b-c)2=a2+b2+c2.例2某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H八位同学获得了前八名，老师叫他们猜一下谁是第一名．A说：“或者F，或者H是第一名．”B说：“我是第一名．”C说：“G是第一名．”D说：“B不是第一名．”E说：“A说的不对．”F说：“我不是第一名．”G说：“C不是第一名．”H说：“我同意A的意见．”老师说八个人中有三人猜对了，那么试问第一名是谁？分解与解由已知条件可知：A与H同真假，E与F同真假，B与D必定一真一假．(i)如果A与H猜对了，那么D与G也都猜对了．这样就有四人猜对，不合题意，因此，A与H必定都猜错了．(ii)如果E与F猜对了，即F与H都不是第一名，这时若B猜对了，那么D就猜错了，C也猜错了，G猜对了，这样，就有E，F，B，G四人猜对，也与题意不符．因此B猜的不对，D猜对了，这时已有E，F，D三人猜对，所以G，C都必定猜错了，所以C是第一名．练习十七1．已知A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，C={2，3，5，8} ，写出集合：(1)A∩B∩C； (2)A∪B∪C；(3)A∩(B∪C)；(4)A∪(B∩C)．3．有某种产品100个，通过两种检查，第一种检查合格品有90个，第二种检查合格品有78个，两种检查都合格的有72个．试问这100个产品中，通过两种检查都不合格的产品有多少个？(1)a＞0□│a│＞0；(2)a＝0且b=0□a2＋b2=0；(3)(x-a)(x-b)=0□x=a或x=b；(4)如果α＞1，β＞2，γ＞3，那么，α□γ，β□α，β□γ．5．写出下列命题的逆命题，并指出其真假．(1)若a=b，则(a-b)2 =0；(2)若a=b，则a2-b2=0；(3)若a≠b，则a2＋b2＞2ab；6．已知3(a2＋b2＋c2)=(a+b+c)2，求证：a=b=c．。

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例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。

数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。