卡西尼卵形线讲解学习

一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究： 2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2,2PA PA PB a PA PB a a PB-=== 引例：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 12M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展）探究 已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则——5分 ()222221y x y x +-=-+λ整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分当λ=1时，方程化为x =，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(，0)， 4545当λ≠1时，方程化为(x －)2+y 2=它表示圆， 1222-λλ()222131-+λλ该圆圆心的坐标为(，0)，半径为 ——12分 1222-λλ13122-+λλ类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 2类题3：（2002，全国）已知点到两定点、距离的比为，点到P )0,1(-M )0,1(N 2N 直线的距离为1，求直线的方程PM PN 解：设的坐标为，由题意有，即 P ),(y x 2||||=PN PM ，整理得2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++01622=+-+x y x 因为点到的距离为1，N PM 2||=MN 所以，直线的斜率为，直线的方程为 ︒=30PMN PM 33±PM )1(33+±=x y 将代入整理得 )1(33+±=x y 01622=+-+x y x 0142=+-x x 解得，32+=x 32-=x 则点坐标为或P )31,32(++)31,32(+--或，直线的方程为或． )31,32(--+(2-PN 1-=x y 1+-=x y 类题4：（2006，四川）已知两定点如果动点P 满足条件则(2,0),A -(1,0),B 2,PA PB =点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且，点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判(01MP MQ λλλ=>≠且）S ()S f λ=。

卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)
卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的，是的一种。

也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：
其中b是。

q1和q2称为卵形线的。

假设q1是点(a,0)，q2是点(-a,0)，则曲线的方程为：
或
以及
中的方程为：
卵形线的形状与比值b/a有关。

如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。

如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。

如果b/a等于1，则是。

卵形曲线计算原理一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。

三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。

第二章1、一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹(卡西尼卵形线).解:设两定点间距离为a 2,两定点为)0,(a A -和)0,(a B ,设动点),(y x M 依题意2m =即:22222)()(m y a x y a x =+-++平方整理即得: 0)(2)(44222222=-+--+m a y x a y x2、求旋轮线⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1,sin )20(π≤≤t 的弧与直线23=y 的交点。

解：将旋轮线方程代入直线23=y 得,cos 123t -=即21cos -=t ，由)20(π≤≤t ，得321π=t ，342π=t ，将21,t t 代入旋轮线方程便得交点为： )23,2332(-π与)23,2334(+π3、把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程（1）;32x y =（2）)0(212121>=+a a y x（3）)0(0333>=-+a axy y x解：（1）令2t x =，则62t y =，故3t y =。

所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==32ty t x )(∞<<-∞t（2）令θ4cos a x =，则θ4sin a y =。

所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθ44sin cos a y a x )20(πθ≤≤ （3）设tx y =，代入方程得0]3)1([32=-+at t x x .则0=x 或)1(133-≠+=t t atx 故313tat x +=（它包含0=x 的情形，因可取0=t ），1-≠t 313t at y +=4、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。

解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则z C z y x M =⇔∈),,( 亦即z z y x =++-222)4(0)4(22=+-∴y x由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x5、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。

到两个定点距离积为定值的轨迹----卡西尼卵形线的几何画板作法常州市第二中学 季传军1.问题的提出一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：①动点P 到两定点12,F F 距离和．为定值2a ，即12122(2)PF PF a a F F +=>的轨迹是椭圆；②动点P 到两定点12,F F 距离差．的绝对值为定值2a ，即1212||2(2)PF PF a a F F -=<的轨迹是双曲线；③动点P 到两定点12,F F 距离商．为定值k ，即12(1)PF k k PF =≠的轨迹是圆。

课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积．为定值的点的轨迹是什么呢课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么这下我只有“被迫”去研究一下了。

2.问题学习研究过程我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢我想到了几何画板。

（1） （2） （3） （4） 问题：动点P 到两定点12,F F 的距离积为定值k ，即12PF PF k ⋅=，122F F c =，试讨论点P 的轨迹。

r 2=kr 1=c = 2.20 2.30厘米k = 5.29r 1 = 2.30厘米r 2=r 1=3.48厘米r 1 = 2.78厘米r 2=kr 1=c = 1.40 2.25厘米k = 5.19r 1 = 2.30厘米1作图思路：①首先作可变线段用来控制两焦点12,F F 的距离（如图通过拖动C 来改变12,F F 的距离，下同）；②作可变线段用K 来控制k 的值③作可变线段1r 用，以1F 为圆心1r 为半径作圆1F ，计算1kr 并记为2r ，以2F 为圆心2r 为半径作圆2F ，设圆1F ，圆2F 的交点为P ，显然1212PF PF r r k ⋅=⋅=④选中点1,R P 构造轨迹曲线。

到两个定点距离积为定值的轨迹----卡西尼卵形线的几何画板作法常州市第二中学 季传军1.问题的提出一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：①动点P 到两定点12,F F 距离和．为定值2a ，即12122(2)PF PF a a F F +=>的轨迹是椭圆；②动点P 到两定点12,F F 距离差．的绝对值为定值2a ，即1212||2(2)PF PF a a F F -=<的轨迹是双曲线；③动点P 到两定点12,F F 距离商．为定值k ，即12(1)PF k k PF =≠的轨迹是圆。

课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积．为定值的点的轨迹是什么呢？课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么？这下我只有“被迫”去研究一下了。

2.问题学习研究过程我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢？我想到了几何画板。

（1） （2） （3） （4） 问题：动点P 到两定点12,F F 的距离积为定值k ，即12PF PF k ⋅=，122F F c =，试讨论点P 的轨迹。

作图思路：①首先作可变线段用来控制两焦点12,F F 的距离（如图通过拖动C 来改变12,F F 的距离，下同）；②作可变线段用K 来控制k 的值③作可变线段1r 用，以1F 为圆心1r 为半径作圆1F ，计算1k r 并记为2r ，以2F 为圆心2r 为半径作圆2F ，设圆1F ，圆2F 的交点为P ，显然1212PF PF r r k ⋅=⋅= ④选中点1,R P 构造轨迹曲线。

这样通过拖动点1R ，可直观地看到点P 在轨迹曲线上运动，而拖动K 或C 则可以看到曲线形状的改变：做出以上动态图形，应该可以给学生以交待了，但上述图中依然有“为什么”，如上图右图中的两圆是相离的没有交点，哪里来的交点的轨迹呢？实际上两圆是“虚交”的（可简单理解为两圆方程联立方程组的解是虚数），而这对学生来说又是不可想象的，还应再作进一步的思考。

笛卡尔卵形线求参数笛卡尔卵形线（Cartesian oval）是一种在笛卡尔坐标系中的二维曲线，由法国数学家笛卡尔于17世纪提出。

它的数学表达式为：（x²/a²） + （y²/b²） = 1其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

笛卡尔卵形线是一种非常有特殊形状的曲线，它既有椭圆的特点，又有双曲线的特点。

从数学上来说，它是一个椭圆和一个双曲线的交点，因此也被称为交点曲线。

这种曲线在几何学和物理学中有着广泛的应用。

笛卡尔卵形线在几何学中有着重要的地位。

它的形状独特，可以用来描述一些特殊的几何问题。

例如，在光学中，当光线从一个焦点射入椭圆，经过反射后又汇聚到另一个焦点上，这个路径就可以用笛卡尔卵形线来描述。

另外，在天文学中，行星的轨道和彗星的轨道也可以用笛卡尔卵形线来近似描述。

笛卡尔卵形线在物理学中也有着重要的应用。

例如，在电磁学中，当一个带电粒子在两个电荷之间运动时，其路径也可以用笛卡尔卵形线来描述。

另外，在力学中，当一个质点在一个中心力场中运动时，其轨迹也可以是笛卡尔卵形线。

这些应用都是基于笛卡尔卵形线的数学性质和几何形状的特点。

笛卡尔卵形线还在工程学和计算机图形学中有着广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，通过控制椭圆的长轴和短轴的长度，我们可以绘制出各种各样的卵形线，从而实现复杂的图形效果。

另外，在工程学中，通过研究笛卡尔卵形线的性质，可以设计出一些具有特殊功能的曲线，用于解决一些实际问题。

笛卡尔卵形线是一种具有特殊形状和重要应用的曲线。

它在几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。

通过研究笛卡尔卵形线的性质和应用，我们可以深入理解这个曲线的数学本质，同时也可以将它应用于解决实际问题。

希望通过本文的介绍，读者对笛卡尔卵形线有更加深入的了解。

从一道“卡西尼卵形线”高考题看“数学文化”
马进才
【期刊名称】《数学通讯：学生阅读》
【年(卷),期】2017(000)009
【摘要】2016年10月8号，教育部考试中心公布了[2016]第179号文件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，特别提出要关注数学文化．数学文化体现了数学的人文价值和科学价值，在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色．在高考试题中渗透数学文化，可以适当引导中学数学教学，使得更多的教师关注数学文化，研究数学文化，将数学的本质教授给学生．学生通过数学文化的熏陶，可以促进对健全人格的养成．
【总页数】4页(P46-49)
【作者】马进才
【作者单位】河北省邯郸市第一中学 056000
【正文语种】中文
【中图分类】G726.9
【相关文献】
1.有关抛物线焦点弦的十条性质——从一道高考题的八种证法谈起 [J], 肖建华
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20题的研究 [J], 李超
5.从一道高考题的变迁看阿基米德三角形性质及其定理的演绎 [J], 李真;徐水龙因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

50卵形曲线辅助点计算（即完整缓和曲线起点的支距）解算步骤卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线，计算前只需要把不完整的缓和曲线（也就是卵型曲线）补充完整即可。

在计算小半径的缓和曲线或卵形曲线坐标时,由于切线支距公式取项少而造成计算精度低,现有书中一般介绍也就只有2~4项,为提高计算精度就需要将支距公式多展开几项。

以下计算卵型曲线的完整缓和曲线长支距模型：重在学习掌握解算流程，现在空间里有更好的计算程序。

曲线参数A2=LS×R1×R2÷(R2-R1)=卵形曲线长×小半径×大半径÷（大半径-小半径）在同一段回旋线内,它的参数永远是不变的。

LS=卵型曲线长. （已知）完整缓和曲线长L= A2÷R1=曲线参数÷小半径当L=LS时：代入完整缓和曲线切线支距公式：(式中R均为小半径R1)E=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10]F=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] -L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] -L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11]完整缓和曲线切线角（即两切线交角）p2=90L2÷(A2)L所对应玄长C=√（E2+F2）大半径处偏角P1=tan- 1(F2÷E2)小半径处偏角P3=180- P1-(180- p2)O=小半径处切线方位角（已知）小半径处至完整缓和曲线起点方位角Q=O±P3 (右向取+号；左向取-号)完整缓和曲线（起点）坐标：X=A+CcosQY=B=CsihQ完整缓和曲线（起点）处切线方位角：O=Q+180±p2 (右向取+号；左向取-号)以起点为基点用回旋线编程计算卵型曲线上任意桩号的中边桩点位坐标。

卡西尼卵形线定义：到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线 例：设两定点为12,F F ，且122F F =，动点P 满足12PF PF λ=（0λ≥且为定值） 取直线12F F 作为x 轴，12F F 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)P x y λ=整理得4224222(1)210y x y x x λ+++-+-=221y x =- （211x λλ-≤≤+）对于常数λ≥0当λ=0时，图像变为两个点1(1,0)F -，2(1,0)F当01λ<<时，图像分为左右两支封闭曲线，随着λ的减小而分别向点12,F F 收缩 当1λ=时，图像呈8字形交叉，称为双纽线当12λ<<时，图像为中部凹陷的光滑曲线当2λ=时，图像中部接近水平当2λ>时，图像为光滑卵形封闭曲线[例题] 平面内一动点()y x P ,到两定点()()0,1,0,121F F -的距离之积等于1，（1）求动点()y x P ,的轨迹C 方程，用()x f y =2形式表示；（2）研究轨迹C 的性质（请直接写出答案）；（3）求21F PF ∆周长的取值范围.解:（1）121=⋅PF PF ,列式：()()1112222=+-⋅++y x y x化简114222--+=x x y（2）性质：对称性：关于原点对称 ，关于x 轴对称，关于y 轴对称 顶点：()0,0，()0,2± x 的范围：22≤≤-x ， y 的范围：2121≤≤-y （3）2111212121++=++=∆PF PF F F PF PF C F PF ()x x y x PF 214122221++=++=，()()2,00,2 -∈x ()()12,11,121+-∈∴ PF ()222,4212121+∈++=∴∆F F PF PF C F PF。