卡西尼卵形线

卡西尼卵形线
卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)
卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，是环面曲线的一种。

也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：
其中b是常数。

q
和q2称为卵形线的焦点。

1
假设q1是点(a,0)，q2是点(-a,0)，则曲线的方程为：
或
以及
极坐标系中的方程为：
卵形线的形状与比值b/a有关。

如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。

如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。

如果b/a等于1，则是伯努利双扭线。

荆州八县市2022—2023学年度第一学期期末联考 高二数学试题（测试时间：120分钟卷面总分：150分） 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.空间中点A （1，2，3）到点B （0，2，1）的距离为A ． 2BCD ．32.221:30l a x y a a -+-=，2:(43)20l a x y ---=，若12//l l ，则a= A ． 1B ．1或2C ．1或3D ．33、已知正三棱柱111A B C ABC -，M 为棱BC 上靠近点C 的三等分点，则1AM =A ．1111123AC CC C B -+B ．111111122AC A B B B ++C ．1111113AC C B C C ++D ．1111233AC AB C C ++ 4.若{}n a 的前n 项和322n S n n =-，则56a a += A ． 86B ． 112C ． 156D ． 845.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0x y C a b a a+=>>）的左右焦点，P 为C 上一动点，A 为C的左顶点，若1232PF PA PF =+，则C 的离心率为 A ．12B．3C ．13D．26.公差不为0的等差数列{}n a 中，17x y a a a a -=-，则xy 的值不可能是 A ．10B ．24C ． 22D ． 307.如图，已知三棱锥P —ABC 的底面是以A 为直角顶点，腰长为2的等腰三角形，且1PA =，E 为P 点在底面的投影，且BC AE ⊥，PA 与底面所成角为4π，则该三棱锥外接球的体积为AB．3C ．83πD．8.2022年是发现土星卫星和土星环缝的天文学家乔凡尼·卡西尼逝世310周年，卡西尼曾对把卵形线描绘成轨道有兴趣。

2021届高三高考数学复习压轴题专练32—椭圆（4）【含答案】1．直线10x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，交y轴于C 点，若2FC AC =，则该椭圆的离心率是( ) A ．1022- B ．312- C ．222- D ．21-解：如图所示：对直线10x y -+=，令0x =，解得1y =，令0y =，解得1x =-， 故(1,0)F -，(0,1)C ，则(1,1)FC =， 设0(A x ，0)y ，则00(,1)AC x y =--， 而2FC AC =，则00212(1)1x y -=⎧⎨-=⎩，解得001212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点A 又在椭圆上，所以222211()()221a b-+=，222(1,)c a b c ==+， 整理得4224421a a a -=-， 所以235a +=所以241245(102)102354435c e a ---=-+．故选：A ．2．已知椭圆2214x y +=的上顶点为A ，B 、C 为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点( ) A ．(1,0)B ．(3，0)C ．1(0,)2D ．3(0,)5-解：因为AB AC ⊥，所以10AB AC k k =-<，所以直线BC 斜率存在，设直线:(1)BC l y kx m m =+≠，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 消y 得222(41)8440k x kmx m +++-=，122814kmx x k -+=+，21224414m x x k -=+，(*) 又1212111AB AC y y k k x x --=⋅=-， 整理得1212(1)(1)0y y x x --+=， 即1212(1)(1)0kx m kx m x x +-+-+=，所以221212(1)(1)()(1)0(*)k x x k m x x m ++-++-=，代入得：2222224(1)(1)8(1)(1)01414k m k m m m k k+---+-=++， 整理得530m +=得35m =-，所以直线BC 过定点3(0,)5-．故选：D ．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若OAB ∠，OAF ∠的平分线分别交x 轴于点D ，E ，且222||||||2||||AD AE DE AD AE +-=⋅，则椭圆C 的离心率为( ) A ．22B ．312- C ．512- D ．32解：如下图所示： 因为222||||||2|||AD AE DE AD AE +-⋅，所以由余弦定理得222||||||2||||22||||AD AE DE AD AE AD AE +-⋅=⋅，又(0,)2DAE π∠∈，所以45DAE ∠=︒．因为AD ，AE 分别为OAB ∠，OAF ∠的平分线，所以290BAF DAE ∠=∠=︒， 所以AB AF ⊥．由题意可知，点(,0)F c -，(0,)A b ，(,0)B a ，则(,),(,)AF c b AB a b =--=-． 由20AF AB ac b ⋅=-+=，可得220a c ac --=，即220c ac a +-=， 在等式220c ac a +-=的两边同时除以2a ，可得210e e +-=， 因为01e <<，解得512e -=． 故选：C ．4．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，P 是椭圆上一点，//AP BF ，||||AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2(e = )A ．22B ．1718- C ．12D ．1518- 解：(0,)B b -，(,0)F c ，则BFb kc =，∴直线:bAP y x b c=+， 与椭圆方程联立，可得2222()20a c x a cx ++=，可得P 点的横坐标为2222a c x a c =-+，则322b y a c =-+，即2222(a c P a c -+，322)b a c -+，由||||AF PB =，得22||PB a =，即2322222222()()a c b b a a c a c+-+=++， 整理为：6244264320c a c a c a --+=，则64243210e e e --+=，即242(1)(41)0e e e -+-=， 210e -≠，42410e e ∴+-=，解得2171e -=或2171e --=． 故选：B ．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 和B ，P 是椭圆上不同于A ，B的一点．设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当239(3)(||||)32a ln m ln nb mn mn -+++取最小值时，椭圆C 的离心率为( ) A ．223B ．45C ．32 D ．15解：(,0)A a -，(,0)B a ，设0(P x ，0)y ，则2222002()b y a x a=-，则00y n x a =-，200y m x a =+，2202220y b mn x a a∴==--，则222222239239(3)(||||)(3)3232a a a a b ln m ln n ln b mn mn b b b a -+++=+-+ 322()3()393a a a a ln b b b b=-+-． 令322()3393f t t t t lnt =-+-，(1)t >，322292639(3)(23)()263t t t t t f t t t t t t-+--+'=-+-==， 故3t =时，()f t 取最小值， 椭圆C 22221b a -故选：A ．6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．2解：设左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 的中点为坐标原点， 1F ，2F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则1(1,0)F -，2(1,0)F ．设曲线上任意一点(,)P x y ，则2222(1)(1)1x y x y ++⋅-+=， 化简得该卡西尼卵形线的方程为22222()2()x y x y +=-，显然其对称中心为(0,0)．由22222()2()x y x y +=-得222222()2()40x y x y y +-+=-， 所以22222()2()x y x y ++， 所以2202x y +，所以222x y +．当且仅当0,2y x ==±时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为2． 故选：B ．7．已知椭圆22143x y +=上有三个点A 、B 、C ，AB ，BC ，AC 的中点分别为D 、E 、F ，AB ，BC ，AC 的斜率都存在且不为0，若3(4OD OE OF k k k O ++=-为坐标原点），则111(AB BC ACk k k ++= ) A ．1 B ．1-C ．34-D ．34解：如图，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，则 2211143x y +=，2222143x y +=， 两式作差得，12121212()()()()43x x x x y y y y -+-+=-，∴121212124()3()x x y y y y x x -+=--+，即143OD AB k k =-． 同理可得，143OE BC k k =-，143OF AC k k =-， ∴111443()()1334OD OE OF AB BC AC k k k k k k ++=-++=-⨯-=， 故选：A ．8．已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆222()4b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF ∆面积的最小值大于28b ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．102(0,)3- B ．102(,1)3- C ．51(0,)3- D ．51(,1)3- 解：因为四边形OABE 为平行四边形， 所以//BE AO ，||||BE AO a ==，设E 点纵坐标为m ，代入椭圆的方程得22221x m a b+=，解得22a x b m b=-2222()a a b m b m a b b--=，解得3m =， 当3m =，可得223()22a ax b b b -=， (2aE 3)，(,0)A a -， 所以直线AE 的方程为332())32b y x a x a a =+=+，3330bx ay ab -=，所以||min PF 即为点F 到直线AE 的距离223()39b a c d b a+=+，所以22221||4PQ d R d b =-=-，所以222111()||22248PFQ minb b S PQ R d b ∆=⋅=⋅⋅->， 整理得2212d b >，故22222222222223()3()(1)1393()942b a c a c b e b b b a a c a e +++==>+-+-， 所以221(1)(4)2e e +>-，所以23420e e +->， 所以210(3e s --<舍去）或1023e ->，所以e 的取值范围为102(3-，1)． 故选：B ． 二、多选题9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q 点处变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则( )A ．椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为2RB ．椭圆轨道Ⅱ的焦距为R r -C ．若r 不变，则R 越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短D ．若R 不变，则r 越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大 解：由题可知椭圆轨道Ⅰ的半径为R ，Ⅱ为椭圆，设为22221x y a b+=，所以a c R +=①，Ⅲ为圆形轨道，半径为r ，所以a c r -=②，对于A ：由题可知椭圆Ⅱ上任意两点最大距离为22a R r R =+≠，故A 不正确； 对于B ：椭圆Ⅱ的焦距为2c ， ①-②得，2c R r =-，故B 正确； 对于C ：由①②得2R ra +=，2R r c -=，所以2222()()222244R r R r b a c Rr +-=-=-=， 若r 不变，R 越大，2b 越大，故C 不正确；对于222:1112R rc R r r D e R r R a R r R r r--====-=-++++， R 不变，r 越小，Rr 越大，21R r+越小，则e 越大，故D 正确．故选：BD ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆22:(3)(4)4E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若||||PQ PF -的最小值为256-，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆C 的短轴长为3C ．||||PQ PF +的最小值为23D ．过点F 的圆E 的切线斜率为473-± 解：对于A ：因为椭圆C 的长轴长与圆E 的直径长相等， 所以24a =，即2a =， 设椭圆的左焦点(,0)F c '-，由椭圆的定义可知||||24PF PF a '+==，所以||||||(4||)||||4||4||24256PQ PF PQ PF PQ PF QF EF -=--'=+'-'-'--=， 所以22||25(3)(40)EF c '=-++-1c =或5， 因为2c a <=，所以1c =，即椭圆的焦距为22c =，故A 正确， 对于B ：由2222213b a c =-=-=， 所以椭圆的短轴长为23，故B 错误， 对于22:||||||||||(13)(04)422C PQ PF QF EF EQ +-=++-=-，故C 错误，对于D ：设过点F 的切线方程为(1)y k x =-， 则2|(31)4|21k k ---=+，解得473k -±=，故D 正确， 故选：AD ．11．如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M ，N两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A ，B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，.OAB S ∆则下列命题：A ．若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的大小是定值14-B ．OAB ∆的面积OAB S ∆是定值1C ．线段OA ，OB 长度的平方和22||||OA OB +是定值5D ．设OMNOABS S λ∆∆=，则5λ其中正确的命题有( )A ．AB ．BC ．CD ．D解：(0,1)F ，设直线MN 方程为1y k =+，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则124x x k +=，124x x =-，1212121211164y y k k x x x x ===-，A 正确． 设直线OA 的方程为：1y k x =，由对称性令10k >， 代入椭圆的方程得：12211(1414A k k++，同理可得，22222(1414B kk++，212121||14k OA k+=+点B 到直线OA 的距离122221141d kk++，22121222221111214()4()1||12(14)(14)4(2)OABk k k k S OA d k k k k k k ∆--==++-+，B 正确． 22221222124444||||1414k k OA OB k k +++=+++ 222212212212(1)(14)(1)(14)4(14)(14)k k k k k k +++++=⨯++ 22122212555245244k k k k ++=⨯=++，C 正确． 221212||||||(14)(14)||||||A B x x OM ON k k OA OB x x λ⋅===++⋅2222121224()2422k k k k =+++⨯⋅=，当且仅当12k k =-时等号成立．D 不正确． 故选：ABC ．12．已知椭圆22:14x C y +=的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A 、B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．若1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积为36B ．四边形12AF BF ，可能为矩形C ．直线BE 的斜率为12kD ．若P 与A 、B 两点不重合，则直线PA 和PB 斜率之积为4-解：由椭圆22:14x C y +=，得2a =，1b =，3c =在△12PF F 中，由余弦定理可得，222121212||||||2||||cos60F F PF PF PF PF =+-︒， 即2212443||||c a PF PF =-，解得124||||3PF PF =， ∴12143323F PF S=⨯=，故A 错误； 若四边形12AF BF 为矩形，则11AF BF ⊥，即110F A F B ⋅=， 即()()0A B A B x c x c y y +++=， 联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)4k x +=， 得0A B x x +=，2441A B x x k =-+，22441A B k y y k =-+，即22244304141k k k -+-=++，得2810k -=，该方程有实根，故B 正确；由22(41)4k x +=，得2141x k =±+0k >，得21(241A k +241k +，21(41B k -+241k +，则21(241E k +0)，则22414241BE kk k k +==-+，故C 正确；A PB P B PPA A P B P B Py y y y y y k x x x x x x ---+===---+，BE 所在直线方程为22()241k y x k =-+，与椭圆2214x y +=联立， 可得22222()4041x k x k +--=+，即22222244(1)404141k k k x x k k +-+-=++． 得22214141B P k x x k k +=⋅++， 2222221442()214141(1)41B P k k ky y k k k k k -+=⋅-=+++++，故12PA k k =-，则11224PA PB k k k k ⋅=-⋅=-，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题13．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为 ．解：△12F PF 的外接圆的半径R ，由正弦定理1212||22sin sin 3F F cR F PF π==∠，所以23R =， 又由于4R r =，所以3r =， 在△12F PF 中，由余弦定理可得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，而123F PF π∠=，所以2212443||||c a PF PF =-，所以可得：22124||||()3PF PF a c =-，由三角形的面积相等可得：1212121211(||||||)||||sin 22PF PF F F r PF PF F PF ++⋅=∠，所以2243(22)()3a c r a c +=-所以223432(()3a c a c +=-， 整理可得：2320e e --=，解得23e =或1e =-， 故答案为：23． 14．已知(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过E 的下顶点B 和F 的直线与E的另一交点为A ，若45BF FA =，则a = ．解：法（1）由椭圆的方程可得(0,)B b -，(1,0)F ，所以0()10BF b k b --==-， 所以直线:(1)BF y b x =-，联立2222(1)1y b x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得222(1)20a x a x +-=，可得0x =或2221a x a =+， 所以2221A a x a=+，所以22(1)1A b a y a -=+， 因为45BF FA =，则4(1，222)5(11a b a =-+，22(1))1b a a -+，所以22(1)451b a b a-=⋅+，解得29a =，即3a =， 法（2）作AH 垂直于x 轴于H ，易知Rt AHF Rt BOF ∆∆∽， 因为45BF FA =，所以||4||||||||5||||AF AH AH FH BF BO b OF ====， 所以A 的纵坐标为45b ，A 的横坐标为491155+⋅=，所以A 的坐标为：9(5，4)5b ，将A 点的坐标代入椭圆的方程：222294()()551b a b+=，解得29a =，即3a =，故答案为：3．15．曲面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，则椭圆上的点到原点距离的取值范围是 ．解：设椭圆上的点(x ，y ，)z ，则椭圆上的点到原点的距离2222d x y z =++， x ，y ，z 满足的条件为：22z x y =+，1x y z ++=，作拉格朗日函数22222()(1)L x y z z x y x y z λμ=+++--+++-， 22022020x y zL x x L y y L z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎨⎪=++=⎩，可得(1)()0x y λ--=， 所以有1λ=或x y =，有10λμ=⇒=，12z =-，不符合题意，所以舍弃，将x y =代入22z x y =+和1x y z ++=可得：22z x =，2212210x z x x +=⇒+-=， 解得：13x y -±==，3z =+ 113(M -+13-+23)-，213(M --13--23)， 由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取到处取得，而22132()3)95-±++=+3 所以最大值和最小值分别为：1953max M d d =+，2953min M d d ==-故答案为：[953-953]+．16．已知A 、B 为椭圆22:143x y C +=上两点，线段AB 的中点在圆221x y +=上，则直线AB 在y 轴上截距的取值范围为 ．解：设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，线段AB 的中点为(,)m n ，则221m n +=， ∴22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减整理得，121212123()4()y y x x x x y y -+=--+ ①当0n ≠，即10n -<或01n <时，121234y y mx x n-=--，此时直线AB 的方程为3()4my n x m n-=--， 令0x =，则222343(1)313()44444m n n n y n n n n n n +-=+==+=+，若10n -<，则13()4y n n=+在[1-，0)上单调递减，1y ∴-；若01n <，则13()4y n n =+在(0，1]上单调递减，1y ∴，(y ∴∈-∞，1][1-，)+∞；②当0n =时，直线AB 过点(1,0)或(1,0)-，且垂直于x 轴，在y 轴上无截距． 综上所述，直线AB 在y 轴上截距的取值范围为(-∞，1][1-，)+∞． 故答案为：(-∞，1][1-，)+∞．。

双基地雷达，不说你也知道的特性！我们知道发射机和接收机共用一副天线的传统雷达称为单基地雷达或单站雷达(Monostatic Radar)。

那么，今天我们就来讲讲那些不说你也知道的双基地雷达的特性。

1双基地雷达的概念理解接收机和发射机在不同位置的雷达称为双基地雷达(Bistatic Radar)。

虽然这样的结构带来了一些技术上的难题，特别是发射机和接收机之间的同步问题，还可能增加成本，但它存在一些潜在优势。

隐身目标会将单站雷达发射的能量散射到各个方向，而双基地雷达能够提高对隐身目标的检测能力。

双基地雷达的接收机是被动式的，这就意味着接收机不会被电子支援措施所定位。

很难针对双基地雷达接收机部署对抗措施，因为它们的位置的未知的。

因此，任何干扰都必须在一个角度范围内传播，削弱其有效性。

同样，双基地接收机不易受到反辐射导弹(ARMs)的攻击。

双基地雷达体制是十分有用的，尤其是在无人机系统(UAVs)中，因为无人机可以只携带接收机，而重型、复杂、高功耗的发射机可以位于别处。

20世纪30年代最早的机载雷达试验就是双基地的，因为在最初的机载雷达系统中不可能产生高功率的雷达脉冲。

从70年代后期到80年代初期双基地雷达系统的一个典型例子是“Sanctuary”，它是一个美国双基地防空雷达研制计划，它在防区外使用机载照明雷达，接收机为地面被动接收器。

2双基地雷达的特性由发射机、目标和接收机形成的三角形如下图所示。

接收机和发射机之间的距离称为基线(baseline)。

目标与发射机和接收机连线的夹角称为双基地角或分置角(bistatic angle)。

在大多数情况下，双基地接收机测量来自发射机的直接脉冲和目标回波脉冲之间的延时，如果L已知，将可以得出双基地距离和。

这样的测量方法定义了一个椭圆，发射机和接收机分别是两个焦点。

这就和你小时候玩的把戏是一样的：把两个大头针钉在木板上，然后用绳子和铅笔画出一个椭圆。

通常，发射机或接收机(或两者)使用定向波束来指向椭圆上的目标。

到两个定点距离积为定值的轨迹----卡西尼卵形线的几何画板作法常州市第二中学 季传军1.问题的提出一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：①动点P 到两定点12,F F 距离和．为定值2a ，即12122(2)PF PF a a F F +=>的轨迹是椭圆；②动点P 到两定点12,F F 距离差．的绝对值为定值2a ，即1212||2(2)PF PF a a F F -=<的轨迹是双曲线；③动点P 到两定点12,F F 距离商．为定值k ，即12(1)PF k k PF =≠的轨迹是圆。

课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积．为定值的点的轨迹是什么呢课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么这下我只有“被迫”去研究一下了。

2.问题学习研究过程我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢我想到了几何画板。

（1） （2） （3） （4） 问题：动点P 到两定点12,F F 的距离积为定值k ，即12PF PF k ⋅=，122F F c =，试讨论点P 的轨迹。

r 2=kr 1=c = 2.20 2.30厘米k = 5.29r 1 = 2.30厘米r 2=r 1=3.48厘米r 1 = 2.78厘米r 2=kr 1=c = 1.40 2.25厘米k = 5.19r 1 = 2.30厘米1作图思路：①首先作可变线段用来控制两焦点12,F F 的距离（如图通过拖动C 来改变12,F F 的距离，下同）；②作可变线段用K 来控制k 的值③作可变线段1r 用，以1F 为圆心1r 为半径作圆1F ，计算1kr 并记为2r ，以2F 为圆心2r 为半径作圆2F ，设圆1F ，圆2F 的交点为P ，显然1212PF PF r r k ⋅=⋅=④选中点1,R P 构造轨迹曲线。

一、选择题⋅=(a为大于0的常数)的点P的1．已知,A B是平面内两个定点，平面内满足PA PB a轨迹称为卡西尼卵形线，它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼·卡西尼的名字命名.当-，(1,0)，且1,A B坐标分别为(1,0)a=时，卡西尼卵形线大致为（）A．B．C．D．2．若奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，且在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为-1，则()()263f f -+-的值为（ ） A ．5B ．-5C ．13D ．-133．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断4．对于实数a 和b ，定义运算“*”：,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =，()224g x x x =--+，则()()()M x f x g x =*的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =且对任意的正数a ，b (ab )，有()()0f a f b a b -<-，则不等式()0f x x<的解集是（ ）A ．()()2021,02021,-+∞ B ．()()2021,00,2021-C ．()(),20212021,-∞-+∞D ．()(),20210,2021-∞-6．已知32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，则a 的取值范围（ ）A ．2a ≥-B ．2a ≤-C ．4a ≥-D ．4a ≤-7．已知函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数，且11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x <时，3(4)f x x =+，则(1),(2),()f f f π的大小关系是（ ） A ．(1)(2)()f f f π<< B ．(1)()(2)f f f π<< C ．()(1)(2)f f f π<<D ．()(2)(1)f f f π<<9．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞11．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}{},x x m =即．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；则其中真命题的序号是 （ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-；②任意的,[0,1]m n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭13．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．50B ．0C ．2D ．-201815．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>二、填空题16．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有()()()221112210x f x x f x x x x x ->≠-，且(3)2f =，则不等式6()f x x>的解集为___________.17．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________. 18．函数24xy x =+的严格增区间是_____________. 19．函数22y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ，则b a -最小值为__________． 20．函数()21log f x x=-___________.21．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )ln 2(1)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，那么t 的取值范围是__________．22．已知()f x =2243,023,0x x x x x x ⎧-+≤⎨--+<⎩不等式()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.23．已知函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是________. 24．已知函数()()11xf x x x =>-，())2g x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是_________. 25．已知函数()1lg11xf x x-=++，若()4f m =，则()f m -=______. 26．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意0x >都有()()3f x f x x '<，且()44f =，则不等式()31016f x x -<的解集为________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设(,)P x y 1=，代0x =排除C 、D ，通过奇偶性排除B. 【详解】 解：设(,)P x y因为PA PB a ⋅=，,A B 坐标分别为(1,0)-，(1,0)，且1a =1=当0x =时，上式等式成立，即点(0,0)满足PA PB a ⋅=，故排除C 、D.当x -代替x 1== 即图形关于y 轴对称，排除B. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2．D解析：D 【分析】先利用条件找到()31f =-，(6)7f =，再利用()f x 是奇函数求出(3)f -，(6)f -代入即可． 【详解】由题意()f x 在区间[]3,6上是增函数， 在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为1-， 得()31f =-，(6)7f =，()f x 是奇函数，(3)2(6)(3)2(6)12713f f f f ∴-+-=--=-⨯=-．故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，关键点是利用函数的奇偶性先求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．A解析：A 【分析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m = -2或m =3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m =3（m = -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=-∴()()0f a f b +>． 故选：A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．4．B解析：B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩，通过解不等式得出()()212421,1,2x x x M x x x ⎧⎡⎤---+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛-⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩，作出函数()M x 的图象，根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时，()224g x x x x =--+≥，得到01x ≤≤， 即01x ≤<时，()()f x g x <，当1x >时，()()f x g x > 当0x <时，()224g x x x x =--+≤-，得x ≤即当x ≤时，()()f x g x >0x <<时，()()f x g x <所以()()2124,121,x x x M x x x ⎧⎡⎤---+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象，如图所示，由图可得，当1x =时，()M x 有最小值1 故选：B5．C解析：C 【分析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据函数是奇函数，可知函数在(),0-∞的单调性和零点，最后结合函数的零点和单调性，求解不等式. 【详解】对任意的正数a ，b (ab )，有()()0f a f b a b-<-，()f x ∴在()0,∞+上单调递减，定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =，()f x ∴在(),0-∞单调递减，且()()202120210f f -=-=， ()0f x x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩ 或()00x f x <⎧⎨>⎩， 解得：2021x >或2021x <-， 所以不等式解集是()(),20212021,-∞-+∞.故选：C 【点睛】方法点睛：一般利用函数奇偶性和单调性，解抽象不等式包含以下几点： 若函数是奇函数，首先确定函数在给定区间的单调性，然后将不等式转化为()()12f x f x <的形式，最后运用函数的单调性去掉“f ”，转化为一般不等式求解；若函数是偶函数，利用偶函数的性质()()()f x f x f x -==，将不等式()()12f x f x <转化为()()12f x f x <，再利用函数在[)0,+∞的单调性，去掉“f ”，转化为一般不等式求解.6．C解析：C首先变形条件，得到函数()()f xg x x=在[)1,+∞单调递增，利用二次函数的单调性，求a 的取值范围.【详解】[)12,1,x x ∈+∞，不等式两边同时除以12x x ()()()()12211212121200f x f x x f x x f x x x x x x x --∴>⇔>--， 即函数()()f x g x x=在[)1,+∞单调递增，()22g x x ax a =++， 函数的对称轴是4a x =-，则14a-≤，解得：4a ≥-.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是原式等价为()()121212f x f x x x x x ->-，从而通过构造函数，确定函数的单调性，转化为二次函数的单调性解决问题.7．A解析：A 【分析】采用赋值法，在11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦中，分别令1x =和1x a =+，联立两个式子，根据函数的单调性可解. 【详解】解：根据题意知，设(1)0f a =≠， 令1x =，则[]1(1)(1)12f f f +=，则()112af a +=，()112f a a+=， 令1x a =+，则11(1))21(1f a f f a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦+， 所以()11121f a f a a ⎛⎫+==⎪+⎝⎭， 又因为函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数， 所以11121a a +=+，2210a a --=，所以1a =或12a =-（舍去），()11f =.【点睛】思路点睛：抽象函数求函数值问题一般是换元法或者赋值法，再结合函数的性质解方程即可.8．A解析：A 【分析】根据函数奇偶性先将0x >时的解析式求解出来，然后根据0x >时函数的单调性比较出(1),(2),()f f f π的大小关系.【详解】当0x >时，0x -<，所以()43f x x -=-+，又因为()f x 为奇函数，所以()()43f x f x x -=-=-+，所以()43f x x =-， 显然0x >时，()43f x x =-是递增函数，所以()()()12f f f π<<，故选：A. 【点睛】思路点睛：已知函数奇偶性，求解函数在对称区间上的函数解析式的步骤： （1）先设出对称区间上x 的取值范围，然后分析x -的范围； （2）根据条件计算出()f x -的解析式；（3）根据函数奇偶性得到()(),f x f x -的关系，从而()f x 在对称区间上的解析式可求.9．D解析：D 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-， 函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项， 故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10．C解析：C【分析】根据0x >时()()0f x f x x '+>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.【详解】当0x >时，()()0f x f x x '+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >- 可得：231x x >-，解得：115x << 本题正确选项：C【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较. 11．B解析：B【解析】111()(1)222f -=---= ；111()(0)444f -=--=-，111()(0)444f =-=，所以11()()44f f -<； (3.4) 3.430.4f =-=；()y f x = 的定义域是R ，值域是11(,]22- ，所以选B.点睛：解决新定义问题，关键是明确定义含义，正确运用定义进行运算.对于抽象的概念，可先列举一些具体的数值进行理解与归纳.本题易错点在区间端点是否可取上，难点在于整数的确定.12．D解析：D【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-，再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解.【详解】根据题意，由①知函数()f x 为奇函数，由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数，所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数，所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<，移项得(12)(1)f x f x -<--，变形(12)(1)f x f x -<-，所以11121x x -≤-<-≤，得203x ≤<. 故选：D.【点睛】 本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题，需要注意：（1）判断奇偶性：奇函数满足()()f x f x -=-；偶函数满足()()f x f x -=； （2）判断单调性：增函数()[]1212()()0x x f x f x -->；1212()()0f x f x x x ->-； 减函数：()[]1212()()0x x f x f x --<；1212()()0f x f x x x -<-； （3）列不等式求解时需要注意定义域的问题.13．B解析：B【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.【详解】()22,12222,1x xx x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.14．B解析：B【分析】由奇函数和(1)(1)f x f x +=-得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出(3),(2),(4)f f f 后可得结论．【详解】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且(0)0f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即(2)()()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(2)(0)0f f ==,(4)(0)0f f ==, 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以(1)(2)(3)(2020)505[(1)(2)(3)(4)]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=. 故选：B .【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的周期性求函数值，解决本题的关键是由函数是奇函数以及(1)(1)f x f x -=+得出函数是周期为4的周期函数，进而可求出结果.15．B解析：B【分析】根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较(2019),(2020),(2021)f f f 的大小．【详解】解：∵函数()f x 满足：(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称；(2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>.故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．二、填空题16．【分析】令可得是上的增函数根据为奇函数可得为偶函数且在上是减函数分类讨论的符号将变形后利用的单调性可解得结果【详解】令则对于都有所以是上的增函数因为函数为定义在R 上的奇函数所以所以所以是定义在R 上的 解析：(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】令()()g x xf x =，可得()g x 是[0,)+∞上的增函数，根据()f x 为奇函数可得()g x 为偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，分类讨论x 的符号，将6()f x x >变形后，利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()()g x xf x =，则对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有211221()()0()g x g x x x x x ->≠-， 所以()g x 是[0,)+∞上的增函数，因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，当0x >时，6()f x x>化为()63(3)xf x f >=，即()(3)g x g >，因为()g x 是[0,)+∞上的增函数，所以3x >，当0x <时，6()f x x>化为()6xf x <，因为()f x 为奇函数，且(3)2f =，所以(3)(3)2f f -=-=-，所以()6xf x <化为()3(3)(3)g x f g <--=-，因为()g x 在(,0)-∞上是减函数，所以30x -<<， 综上所述：6()f x x>的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞. 故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞ 【点睛】关键点点睛：构造函数()()g x xf x =，利用()g x 的奇偶性和单调性求解是解题关键. 17．【分析】由题意把函数在上恒成立转化为对上恒成立列不等式解得a 的范围【详解】恒成立即恒成立所以时显然不成立当时得所以故答案为：【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一处理的方法有两种：①不分离参数直接 解析：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R 上恒成立，列不等式解得a 的范围.【详解】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式. 18．【分析】根据的解析式可得为奇函数当时不妨令x>0设根据对勾函数的性质可求得的单调减区间可得的单调增区间综合分析即可得答案【详解】因为定义域为R 所以即在R 上为奇函数根据奇函数的性质可得在y 轴两侧单调性解析：[]22-,【分析】根据()f x 的解析式，可得()f x 为奇函数，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x=+，根据对勾函数的性质，可求得()g x 的单调减区间，可得()f x 的单调增区间，综合分析，即可得答案.【详解】 因为2()4x y f x x ==+，定义域为R ， 所以22()()()44x x f x f x x x ---===--++，即()f x 在R 上为奇函数， 根据奇函数的性质可得，()f x 在y 轴两侧单调性相同，当x =0时，()0y f x ==，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x =+， 根据对勾函数的性质可得，当02x <≤上单调递减，证明如下：在(0,2]上任取12,x x ，且12x x <， 则12121212124444()()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-=1212124()x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为1202x x <<≤，所以1212120,40,0x x x x x x -<-<>，所以121212124()()()0x x f x f x x x x x ⎛⎫--=->⎪⎝⎭，即12()()f x f x >， 所以4()g x x x=+在(0,2]上为减函数， 所以21()44x f x x x x==++在(0,2]上为增函数，当0x +→时，()0f x →，0x -→，()0f x →， 又(0)0f =，所以2()4x f x x =+在[0,2]为增函数 根据奇函数的性质，可得21()44x f x x x x ==++在[2,0)-也为增函数，所以()f x 在 []22-,上为严格增函数， 故答案为：[]22-,【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题.19．【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取 解析：32- 【分析】22()2(1)1g x x x c x c =--=---，对称轴是1x =，因此()g x 的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论，当02a <<时，在(0)g ，(1)g 中取得，2a ≥时，在(1)g ，()g a 中取得．求出b ，然后作差b a -，根据不等式的性质求得b a -的最大值．【详解】设22()2(1)1g x x x c x c =--=---，(0)g c =-，(1)1g c =--，2()2g a a a c =--，()g x 的对称轴是1x =，显然()y g x =的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得． 当02a <<时，10c --≥，1c ≤-时，(0)b g c c ==-=-，此时b a c a -=--121>-=-，10c --<，若1c c --≤-，即112c -<≤-时，(0)b g c c ==-=-，13222b ac a -=-->-=-， 若1c c -->-，12c >-时，(1)111b g c c c ==--=+=+，1311222b ac a -=+->--=-， 若2a ≥时， 若212c a a c --≤--，即2212a a c --≤时，22()22b g a a a c a a c ==--=--， 222221(2)3333222a a a b a a a c a a -----=--≥--=≥-，2a =时取等号， 若212c a a c -->--，即2212a a c -->时，(1)11b g c c ==--=+1c =+，222141311222a a a ab ac a a ---+-=+->+-=≥-，2a =时取等号． 综上所述，b a -的最小值是32-． 故答案为：32-． 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值的最大值问题，解题关键是求出最大值b ，方法是分类讨论，由于有绝对值符号，引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论求得最大值．才可以作差b a -得其最小值．20．【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可【详解】因为所以即解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题考查了对数函数的性质属于中档题解析：(0,2)【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可.【详解】因为()f x = 所以21log 00x x ->⎧⎨>⎩， 即2log 10x x <⎧⎨>⎩解得02x <<，所以函数的定义域为(0,2),故答案为：(0,2)【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题，考查了对数函数的性质，属于中档题.21．【解析】试题分析：因为函数是定义在上的偶函数所以由考点：奇偶性与单调性的综合应用 解析：1.t e e<< 【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(ln 1)(ln )(ln )(ln ),f t f t f t f t =-==由(ln )(ln 1)2(1)2(ln )2(1)(ln )(1)ln 11ln 11.f t f t f f t f f t f t t e t e +<⇒<⇒<⇒<⇒-<<⇒<<考点：奇偶性与单调性的综合应用22．(－∞－2)【分析】讨论分段函数各区间上单调递减且在处连续可知在R 上单调递减结合在aa ＋1上恒成立根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数的对称轴是x ＝2∴该函数在(－∞0上单调递减即在(－解析：(－∞，－2)【分析】讨论分段函数()f x 各区间上单调递减，且在3x =处连续可知()f x 在R 上单调递减，结合()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成立，根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数2143y x x =-+的对称轴是x ＝2∴该函数在(－∞，0]上单调递减，即在(－∞，0]上13y ≥同理，函数2223y x x =--+在(0，＋∞)上单调递减，即在(0，＋∞)上23y <∴分段函数()f x 在3x =处连续，()f x 在R 上单调递减由()(2)f x a f a x +>-有2x a a x +<-，即2x < a 在[a ，a ＋1]上恒成立∴2(a ＋1) < a ，解得a <－2∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)故答案为：(－∞，－2)【点睛】本题考查了函数的单调性，确定分段函数在整个定义域内的单调性，再利用单调性和不等式恒成立的条件求参数范围23．【分析】根据题意分析函数的单调性结合函数的最小值为可得出关于实数的不等式组由此可求得实数的取值范围【详解】由于函数的值域为则函数在区间上单调递减或为常值函数函数在区间上单调递增或为常值函数①若函数在 解析：[)1,0-【分析】根据题意分析函数()y f x =的单调性，结合函数()y f x =的最小值为2-可得出关于实数a 的不等式组，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】由于函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞， 则函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减或为常值函数，函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数.①若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减，则0a <，此时()()02f x f ≥=-， 且此时函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数， 则10a +≥，解得1a ≥-，当0x >时，()()22log 11log 10f x a x =++≥=⎡⎤⎣⎦， 即当10a -≤<时，函数()y f x =的值域为[)2,-+∞；②若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞为常值函数，则0a =，当0x ≤时，()2f x =-，当0x >时，()()22log 1log 10f x x =+>=，即当0a =时，函数()y f x =的值域为{}()20,-+∞，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,0-.故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，要结合题意分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 24．甲【分析】由题意求出的解析式依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同即可得出结论【详解】解得所以故答案为:甲【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的 解析：甲【分析】由题意求出()(),F x G x 的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论.【详解】()()11x f x x x =>-,())2g x x =≥, ()()11x f x x x ∴=>-, ())21x F x x x ∴==≥-,()()()G x g x f x =, ())21G x x x x ∴=≥-, 解得())2G x x =≥,所以()())2F x G x x ==≥. 故答案为:甲【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;25．【分析】首先构造新的函数然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性用整体思想求解出【详解】令则又为上的奇函数又故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性构造方法构造新的函数整体思想求出答案属于中档题 解析：2-【分析】首先构造新的函数，然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，用整体思想求解出()()12f m g m -=-+=-.【详解】 令1()lg 1x g x x-=+ (11)x -<<，则()()1f x g x =+， 又11()lglg ()11x x g x g x x x+--==-=--+，()g x ∴为(1,1)-上 的奇函数， 又()4f m =，()()13g m f m ∴=-=，()()3g m g m ∴-=-=-，()()12f m g m ∴-=-+=-.故答案为：2-.【点睛】本题考查函数的奇偶性，构造方法构造新的函数，整体思想求出答案 ，属于中档题. 26．【分析】设函数利用导数结合可得在上单调递减将化为可解得结果【详解】即为设函数则所以在上单调递减又因为所以不等式可化为即所以故解集为故答案为：【点睛】本题考查了构造函数利用导数判断单调性考查了利用函数解析：()4,+∞【分析】设函数()()3f x g x x =，利用导数结合()()3f x f x x '<可得()g x 在()0,∞+上单调递减，将()31016f x x -<化为()()4g x g <可解得结果. 【详解】 ()()3f x f x x '<即为()()30xf x f x '-<，设函数()()3f x g x x=， 则()()()()()3264330f x x f x x xf x f x g x x x''⋅-⋅-'==<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又因为()44f =，所以()()3414416f g ==，不等式()31016f x x -<可化为()3116f x x <，即()()4g x g <，所以4x >，故解集为()4,+∞. 故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查了构造函数，利用导数判断单调性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于中档题.。

荆州八县市2022—2023学年度第一学期期末联考高二数学试题（测试时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.空间中点A （1，2，3）到点B （0，2，1）的距离为A ． 2B C D ．32.，，若，则a=221:30l a x y a a -+-=2:(43)20l a x y ---=12//l l A ． 1B ．1或2C ．1或3D ．33、已知正三棱柱，M 为棱BC 上靠近点C 的三等分点，则111A B C ABC -1A M =A ．B ．1111123AC CC C B -+111111122A C AB B B++C ．D ．1111113A C CBC C++ 1111233A C ABC C++4.若的前n 项和，则{}n a 322n S n n =-56a a +=A ． 86B ． 112C ． 156D ． 845.已知分别为椭圆的左右焦点，P 为C 上一动点，A 为C12,F F 2222:1(0x y C a b a a+=>>）的左顶点，若，则C 的离心率为1232PF PA PF =+A ．BC ．D12136.公差不为0的等差数列中，，则xy 的值不可能是{}n a 17x y a a a a -=-A ．10B ．24C ． 22D ． 307.如图，已知三棱锥P—ABC 的底面是以A 为直角顶点，腰长为2的等腰三角形，且，E 为P 点在底面的投影，且，PA 与底面所成角为，则该三棱锥外1PA =BC AE ⊥4π接球的体积为A BC ．D ．83π8.2022年是发现土星卫星和土星环缝的天文学家乔凡尼·卡西尼逝世310周年，卡西尼曾对把卵形线描绘成轨道有兴趣。

从一道“卡西尼卵形线”高考题看“数学文化”
马进才
【期刊名称】《数学通讯：学生阅读》
【年(卷),期】2017(000)009
【摘要】2016年10月8号，教育部考试中心公布了[2016]第179号文件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，特别提出要关注数学文化．数学文化体现了数学的人文价值和科学价值，在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色．在高考试题中渗透数学文化，可以适当引导中学数学教学，使得更多的教师关注数学文化，研究数学文化，将数学的本质教授给学生．学生通过数学文化的熏陶，可以促进对健全人格的养成．
【总页数】4页(P46-49)
【作者】马进才
【作者单位】河北省邯郸市第一中学 056000
【正文语种】中文
【中图分类】G726.9
【相关文献】
1.有关抛物线焦点弦的十条性质——从一道高考题的八种证法谈起 [J], 肖建华
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5.从一道高考题的变迁看阿基米德三角形性质及其定理的演绎 [J], 李真;徐水龙因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

卡西尼卵形线定义：到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线 例：设两定点为12,F F ，且122F F =，动点P 满足12PF PF λ=（0λ≥且为定值） 取直线12F F 作为x 轴，12F F 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)P x y λ=整理得4224222(1)210y x y x x λ+++-+-=221y x =- （211x λλ-≤≤+）对于常数λ≥0当λ=0时，图像变为两个点1(1,0)F -，2(1,0)F当01λ<<时，图像分为左右两支封闭曲线，随着λ的减小而分别向点12,F F 收缩 当1λ=时，图像呈8字形交叉，称为双纽线当12λ<<时，图像为中部凹陷的光滑曲线当2λ=时，图像中部接近水平当2λ>时，图像为光滑卵形封闭曲线[例题] 平面内一动点()y x P ,到两定点()()0,1,0,121F F -的距离之积等于1，（1）求动点()y x P ,的轨迹C 方程，用()x f y =2形式表示；（2）研究轨迹C 的性质（请直接写出答案）；（3）求21F PF ∆周长的取值范围.解:（1）121=⋅PF PF ,列式：()()1112222=+-⋅++y x y x化简114222--+=x x y（2）性质：对称性：关于原点对称 ，关于x 轴对称，关于y 轴对称 顶点：()0,0，()0,2± x 的范围：22≤≤-x ， y 的范围：2121≤≤-y （3）2111212121++=++=∆PF PF F F PF PF C F PF ()x x y x PF 214122221++=++=，()()2,00,2 -∈x ()()12,11,121+-∈∴ PF ()222,4212121+∈++=∴∆F F PF PF C F PF。

卡西尼卵形线的标准方程及简单几何性质我们知道，平面内到定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做椭圆；平面内到定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数（大于0且小于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做双曲线.一个自然的问题平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹又是什么呢？一、卡西尼卵形线及其标准方程一般地，我们把平面内与两个定点F 1,F 2的距离之积等于常数（大于0）的点的轨迹叫做卡西尼卵形线（它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的）.这两个定点叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距.43216543216543214321OxyF 1F 2取过两焦点F 1,F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy ,设M (x ,y )是卡西尼卵形线上任意一点，卡西尼卵形线的焦距为2c (c >0),那么，焦点F 1,F 2的坐标分别为(-c ,0),(c ,0),又设|MF 1|∙|MF 2|=a 2（a 为大于0的常数）.由卡西尼卵形线的定义，卡西尼卵形线就是下列点的集合：P ={M ||MF 1|∙|MF 2|=a 2,a >0},因为|MF 1|=(x +c )2+y 2,|MF 2|=(x -c )2+y 2,所以(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,两边平方，化简[(x +c )2+y 2]∙[(x -c )2+y 2]=a 4,(x +c )2(x -c )2+y 2[(x +c )2+(x -c )2]+y 4=a 4,(x 2-c 2)2+y 2(2x 2+2c 2)+y 4=a 4,x 4+y 4+2x 2y 2-2c 2x 2+2c 2y 2=a 4-c 4,(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,①我们称方程①为卡西尼卵形线的标准方程，它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F 1(-c ,0),F 2(c ,0)的卡西尼卵形线.如果焦点F 1,F 2在y 轴上，且F 1,F 2的坐标分别为F 1(0,-c ),F 2(0,c ),那么卡西尼卵形线的方程为(x 2+y 2)2-2c 2(y 2-x 2)=a 4-c 4.这个方程也是卡西尼卵形线的标准方程.二、卡西尼卵形线的简单几何性质下面用卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4来研究卡西尼卵形线的几何性质.1.范围将方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4化为关于y2的一元二次方程得y4+2(x2+c2)y2+(x2-c2)2-a4=0,舍去负根，解得y2=4c2x2+a4-x2-c2,若y有意义，则4c2x2+a4-x2-c2≥0,化简得(x2-c2)2≤a4,解得c2-a2≤x2≤c2+a2.或者，因为a4=[(x+c)2+y2]∙[(x-c)2+y2]≥(x+c)2(x-c)2=(x2-c2),（当且仅当y=0时等号成立），所以-a2≤x2-c2≤a2,即c2-a2≤x2≤c2+a2.（1）当a≥c时，有c2-a2≤0,故0≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,c2+a2];当a<c时，有c2-a2>0,故c2-a2≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,-c2-a2]∪[c2-a2, c2+a2].（2）由方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4得y2=4c2x2+a4-x2-c2,令t=4c2x2+a4,(t≥a2),则x2=t2-a4 4c2,所以y2=t-t2-a44c2-c2=-t2c-c2+a44c2≤a44c2,当且仅当t=2c2,即x2=4c4-a44c2时等号成立.由于x2≥0,须有4c4-a4≥0,即0<a≤2c,此时|y|max=a2 2c;当a>2c时，t>2c2,即t2c>c,不难看出此时若要使y2取得最大值，则要让t的值尽可能地小，又由t≥a2可知y2≤-a22c-c2+a44c2=a2-c2,当且仅当t=a2,即x=0时等号成立，此时|y|max=a2-c2.2.对称性在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，以-y代y,方程不变，这说明当点P(x, y)在卡西尼卵形线上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于x轴对称.同理，以-x代x,方程也不变，这说明如果点P(x,y)在卡西尼卵形线上，那么它关于y轴的对称点P2(-x,y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于y轴对称.以-x代x,-y代y,方程也不变，这说明当点P(x,y)在卡西尼卵形线上时，它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于原点对称.综上，卡西尼卵形线关于x轴，y轴是对称的，这时，坐标轴是卡西尼卵形线的对称轴，原点是卡西尼卵形线的对称中心，卡西尼卵形线的对称中心叫做卡西尼卵形线的中心.3.顶点在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，令x=0,得y2=a2-c2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与y轴有两个交点(0,a2-c2),(0,-a2-c2),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有一个交点(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴没有交点.令y=0,得x2=c2±a2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与x轴有两个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有三个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴有四个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(c2-a2,0),(-c2-a2,0),这些交点叫做卡西尼卵形线的顶点.4.离心率类比圆锥曲线，我们将ca称为卡西尼卵形线的离心率，用e表示，即e=ca.随着e的变化，卡西尼卵形线共呈五种形态，参见下表e的值曲线形态(0,22)4321432154321321O xyF1F2a=4,c=22 221321432121O xya=22,c=2F1F2(22,1)13213211O xya=2,c=2.2F1F2113213211O xya=2,c=2F1F2(1,+∞)13213211Oxya =1.9,c =2当e ∈(0,22)时，曲线是中部凸出的封闭曲线.当e =22时，轨迹是中部扁平的封闭曲线；当e ∈(22,1)时，轨迹是中部凹进的封闭曲线（呈“花生”形状）；当e =1时，轨迹是伯努利双纽线（呈“∞”形状）；当e >1时，轨迹是两支封闭曲线，其形状像两个鸡卵，这也是卵形线名字的由来.观察五种形态的曲线可以发现：当c 一定时，令a 由一个趋于0的正数连续变化至趋于无穷大，对应卡西尼卵形线会从“两个极小的鸡卵”逐渐变大至有一个公共点的闭合曲线（伯努利双纽线），接着，随着a 持续变大使“两枚鸡卵”的“卵壳”逐渐相互融合（呈花生形状），再继续变大成为一个大型的“鸡卵”.例1（2024年8月广东八校高三联合检测11）到两个定点的距离为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F 1(-c ,0)和F 2(c ,0)且c >0,动点M 满足|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ,则下列描述正确的是A.曲线C 的方程是(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4B.曲线C 关于坐标轴对称C.曲线C 与x 轴没有交点D.△MF 1F 2的面积不大于12a 2【答案】ABD【解析】设M (x ,y ),则由|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),得(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,化简得(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,A 正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程均不变，说明曲线C 关于坐标轴对称，B 正确；令曲线C 的方程中的y =0得x 2=c 2±a 2,当c =a 时，x =0或x =2c ;当c <a 时，x =±c 2+a 2;当c >a 时，x =±c 2±a 2,C 不正确；S △MF 1F 2=12|MF 1|∙|MF 2|sin ∠F 1MF 2≤12|MF 1|∙|MF 2|=a 22,D 正确.故答案选ABD.例2（2011年北京卷理科14）曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是.【答案】②③【解析】设P (x ,y )是曲线C 上的任意一点，则由题意得(x +1)2+y 2∙(x -1)2+y 2=a 2(a >1),将原点(0,0)代入得a 2=1,即a =±1,与a >1矛盾，故①不正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程不变，这说明当点P (x ,y )在曲线C 上时，它关于原点的对称点P '(-x ,-y )也在曲线C 上，所以曲线C 关于坐标原点对称，②正确；S △F 1PF 2=12|PF 1|∙|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1|∙|PF 2|=a 22,③正确.例3(2023年广州一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,5 【答案】BC【解析】设点P (x ,y )，则依题意得[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，对于A ，25=[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]≥(x +2)2(x -2)2=(x 2-4)2，当且仅当y =0时取等号，解不等式(x 2-4)2≤25得-3≤x ≤3，即点P 的横坐标的取值范围是[-3,3]，A 错误；对于B ，[(x 2+y 2+4)+4x ][(x 2+y 2+4)-4x ]=25，则x 2+y 2+4=25+16x 2，显然0≤x 2≤9，因此|OP |=x 2+y 2=25+16x 2-4∈[1,3]，B 正确；对于C ，方法一，由[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，得y 4+2(x 2+4)y 2+(x 2-4)2-25=0,解得y 2=16x 2+25-x 2-4,令t =16x 2+25(t ≥5),则x 2=t 2-2516,所以y 2=t -t 2-2516-4=-t 4-2)2+2516 ≤2516,当且仅当t =8,即x =±394时等号成立，此时|y |max =54,所以S △PMN =12|MN |∙y P ≤12×4×54=52,C 正确；方法二，S △PMN =12|PM ||PN |sin ∠MPN ≤12|PM ||PN |=52，当且仅当∠MPN =90°时取等号，当∠MPN =90°时，点P 在以线段MN 为直径的圆x 2+y 2=4上，由x 2+y 2=4x 2+y 2+4=25+16x 2 解得x =±394y =±54，所以△PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，PM +PN =5+1=6，D 错误.故选BC .例4(2022年山东济南一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，M -2,0 ，N 2,0 ，动点P 满足PM ⋅PN =5，其轨迹为一条连续的封闭曲线C .则下列结论正确的是( )A.曲线C 与y 轴的交点为0,-1 ，0,1B.曲线C 关于x 轴对称C.△PMN 面积的最大值为2D.OP 的取值范围是1,3【答案】ABD【详解】设点P(x,y)，依题意得[(x+2)2+y2][(x-2)2+y2]=25，整理得x2+y2=16x2+25-4，对于A，当x=0时，解得y=±1，即曲线C与y轴的交点为0,-1，0,1，A正确；对于B，因x2+(-y)2=x2+y2=16x2+25-4，由-y换y方程不变，曲线C关于x轴对称，B 正确；对于C，当x2=32时，y2=32，即点P62,62在曲线C上，S△PMN=12|MN|×62=6，C不正确；对于D，由y2=16x2+25-4-x2≥0得：x4-8x2-9≤0，解得0≤x2≤9，于是得|OP|2=x2+y2=16x2+25-4∈[1,9]，解得1≤OP≤3，D正确.故答案选ABD.例5（漯河市2023-2024学年高二下学期期末质量监测11）我们在解析几何学习过程中知道椭圆、双曲线定义分别是到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点F1(-2,0),F2(2,0),动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,设P的轨迹为曲线C,则下列命题正确的是A.曲线C过原点B.P的横坐标最大值是22C.P的纵坐标最大值是32D.y02≤2ln(x02+1)【答案】ABD【解析】因为动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,所以(x0+2)2+y02∙(x0-2)2+y02=4,即[(x02 +y02+4)+4x0]∙[(x02+y02+4)-4x0]=16,即x02+y02+4=4x02+1,即y02=-x02+4x02+1-4,对于A项，当x0=0时，y0=0,所以曲线C过原点，A正确；对于B项，由-x02+4x02+1-4≥0得x02+4≤4x02+1,两边平方，化简得x04≤8x02,解得-22≤x0≤22,所以P的横坐标最大值是22,B项正确；对于C项，因为y02=-(x02+1-4x02+1+4)+1=-x02+1-22+1≤1,当且仅当x0=±3时等号成立，所以P的横坐标最大值是1,C项不正确；对于D项，若y02≤2ln(x02+1),即-x02+4x02+1-4≤2ln(x02+1),令t=x02+1,t∈[1,3],则-t2+4t-3≤2lnt2,即t2-4t+4lnt+3≥0,设f(t)=t2-4t+4lnt+3,t∈[1,3],则f'(t)=2t-4+4t≥22t∙4t-4=42-4,（当且仅当t=2时等号成立），所以f'(t)>0在[1,3]上恒成立，所以f(t)在[1,3]上单调递增，所以f(t)≥f(1)=0,即t2-4t+4lnt+3≥0成立，D项成立.故答案选ABD.。