一类轨迹问题的探求(阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线)

――――――阿波罗尼斯问题详细解答1目序号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 附录 内 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 什么是阿波罗尼斯问题？ 阿波罗尼斯问题有多少个子问题？ 怎样作一条线段的垂直平分线？ 怎样过线段上一点作该线段的垂线？ 怎样过圆上一点作该圆的切线？ 怎样作两个圆的公切线？ 什么叫反演变换？ 怎样作反演圆内一点的反演点？ 怎样作反演圆外一点的反演点？ 怎样作一条直线的反演图形？ 怎样作一个圆的反演图形？ 容录页码 03 03 03 03 04 04 05 06 06 06 07 08 10 10 10 11 11 13 13 14 16 17 17 18 19 22 26 31 35 41 47 55 69怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？ 怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？ 怎样作线段 a、b 的比例中项 c？ 什么叫圆的幂？怎样作出圆的幂？ 什么是圆的根轴（或等幂轴）？怎样作出圆的根轴？ 什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？ 什么叫相（位）似中心？怎样作出相（位）似中心？ 什么叫相（位）似点？什么叫正相（位）似点？什么叫逆相似点？ 什么叫两圆周的共同幂？ 什么叫相似轴？怎样作出相似轴？ 阿波罗尼斯问题之一：点点点 阿波罗尼斯问题之二：线线线 阿波罗尼斯问题之三：点线线 阿波罗尼斯问题之四：点点线 阿波罗尼斯问题之五：点点圆 阿波罗尼斯问题之六：点圆圆 阿波罗尼斯问题之七：点线圆 阿波罗尼斯问题之八：线圆圆 阿波罗尼斯问题之九：线线圆 阿波罗尼斯问题之十：圆圆圆 米勒问题和米勒定理2第 01 个问题： 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 个问题： 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 阿波罗尼斯，Apollonius，有时也翻译为“阿波罗尼奥斯” ，古希腊大数学家，生活在公 元前 260 年到公元前 190 年，著有《论相切》和《圆锥曲线》 。

卡西尼卵形线轨迹方程
卡西尼卵形线，又称为卡西尼曲线，是由法国数学家卡西尼于1745年发现的一种具有特殊几何形状的曲线。

这条曲线的轨迹方程是一个著名的数学问题，它可以用来描述两个定点之间的运动规律，具有许多有趣的数学性质。

在数学上，卡西尼卵形线的轨迹方程可以用参数方程表示。

设两个定点为A和B，它们分别位于原点的左右侧，且到原点的距离为a。

如果点P在卡西尼卵形线上运动，且点P到点A和点B的距离之积等于常数k的平方，那么点P的轨迹就是卡西尼卵形线。

卡西尼卵形线的数学性质非常有趣。

首先，卡西尼卵形线是一个对称图形，关于原点对称。

其次，当常数k等于零时，卡西尼卵形线就是一个普通的圆。

当k增大时，卡西尼卵形线的形状会发生变化，变得更加扁平，直到最终变成一个双点曲线。

除了数学性质之外，卡西尼卵形线还有许多实际应用。

在天文学中，卡西尼曲线被用来描述行星围绕太阳的轨道。

在工程学领域，卡西尼卵形线被应用于光学器件的设计和分析。

在生物学中，卡西尼卵形线被用来研究生物体的运动规律。

总的来说，卡西尼卵形线是一个非常有趣并且具有重要意义的数学问题。

通过研究卡西尼卵形线的轨迹方程，我们可以更好地理解数学中的几何形状和运动规律，同时也可以将其应用于各个领域，为
人类的发展和进步做出贡献。

希望未来能有更多的数学家和科研工作者投入到卡西尼卵形线的研究中，探索出更多有趣的数学性质和实际应用，让数学这门学科发挥更大的作用。

阿波罗尼斯圆的数学推导与证明哎呀，说起阿波罗尼斯圆的数学推导与证明，那可真是让我这个老数学教师想起了不少往事。

记得我年轻时，那可是热血沸腾啊，满脑子都是数学公式，满手都是粉笔灰。

现在呢，虽然头发已经花白，但一提到阿波罗尼斯圆，那股热情劲儿还是忍不住涌上心头。

阿波罗尼斯圆，这名字听起来就挺有学问的，它其实是一个几何问题。

咱们先来说说这个问题是怎么来的。

话说当年，古希腊的数学家们研究一个挺有趣的问题：给定三个点，能不能找到一个圆，让这三个点都在这个圆上呢？这个问题看似简单，其实蕴含着大智慧。

那咱们就开始推导吧。

首先，咱们假设这三个点分别是A、B、C，它们分别在圆上的位置分别是X、Y、Z。

那么，根据圆的定义，我们知道圆上的每个点到圆心的距离都是相等的。

这样一来，我们就得到了三个方程：X² + Y² = R² （X、Y在圆上）X² + Z² = R² （X、Z在圆上）Y² + Z² = R² （Y、Z在圆上）这三大公式，咱们得好好研究研究。

其实，这三个公式都可以写成R²的形式，看起来挺像那么一回事儿。

但是，咱们得找到一个规律，把这三个公式联系起来。

于是，我就开始冥思苦想。

突然，我眼前一亮，心想：这三个公式其实都在说一个事情，那就是圆上任意两点到圆心的距离之和是一个常数。

于是，我就把三个方程分别相减，得到了一个很有趣的结果：XY = XZ - YZ这个结果，咱们得好好琢磨琢磨。

你看，它把三个点之间的关系揭示得一清二楚。

有了这个结果，咱们就可以开始证明阿波罗尼斯圆了。

咱们先假设A、B、C三个点不共线，那么它们就可以组成一个三角形。

根据上面的公式，我们知道X、Y、Z这三个点都在圆上，那么这个圆就是阿波罗尼斯圆。

如果A、B、C三个点共线，那么这个圆就变成了一个点，但这并不影响我们的证明。

所以，经过一番努力，我终于找到了阿波罗尼斯圆的证明方法。

专题：一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于2PA PB a +=，我们可以进一步研究： 2,2,2PA PA PB a PA PB a a PB-===，各自的轨迹方程如何？ 引例：已知点(,)M x y 与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？（必修2 P103 探究·拓展）探究 已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为(0)λλ>，那么点M 的轨迹是什么？背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则()222221y x y x +-=-+λ——5分 整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(45，0)， 当λ≠1时，方程化为(x －1222-λλ)2+y 2=()222131-+λλ它表示圆， 该圆圆心的坐标为(1222-λλ，0)，半径为13122-+λλ ——12分 类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = 2BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 类题3：（2002，全国）已知点P 到两定点)0,1(-M 、)0,1(N 距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程解：设P 的坐标为),(y x ，由题意有2||||=PN PM ，即 2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++，整理得01622=+-+x y x因为点N 到PM 的距离为1，2||=MN所以︒=30PMN ，直线PM 的斜率为33±，直线PM 的方程为)1(33+±=x y 将)1(33+±=x y 代入01622=+-+x y x 整理得0142=+-x x 解得32+=x ，32-=x则点P 坐标为)31,32(++或)31,32(+--)31,32(--+或(2-，直线PN 的方程为1-=x y 或1+-=x y ． 类题4：（2006，四川）已知两定点(2,0),A -(1,0),B 如果动点P 满足条件2,PA PB =则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P ,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且(01MP MQλλλ=>≠且），点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为S ，设()S f λ=，试判断函数的单调性．引例：（2011，北京）曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常 数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③ 若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a 其中正确命题的序号为_____________背景展示：在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（Cassini Oval ），乔凡尼·多美尼科·卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。

一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究： 2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2,2PA PA PB a PA PB a a PB-=== 引例：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 12M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展）探究 已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则——5分 ()222221y x y x +-=-+λ整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分当λ=1时，方程化为x =，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(，0)， 4545当λ≠1时，方程化为(x －)2+y 2=它表示圆， 1222-λλ()222131-+λλ该圆圆心的坐标为(，0)，半径为 ——12分 1222-λλ13122-+λλ类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 2类题3：（2002，全国）已知点到两定点、距离的比为，点到P )0,1(-M )0,1(N 2N 直线的距离为1，求直线的方程PM PN 解：设的坐标为，由题意有，即 P ),(y x 2||||=PN PM ，整理得2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++01622=+-+x y x 因为点到的距离为1，N PM 2||=MN 所以，直线的斜率为，直线的方程为 ︒=30PMN PM 33±PM )1(33+±=x y 将代入整理得 )1(33+±=x y 01622=+-+x y x 0142=+-x x 解得，32+=x 32-=x 则点坐标为或P )31,32(++)31,32(+--或，直线的方程为或． )31,32(--+(2-PN 1-=x y 1+-=x y 类题4：（2006，四川）已知两定点如果动点P 满足条件则(2,0),A -(1,0),B 2,PA PB =点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且，点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判(01MP MQ λλλ=>≠且）S ()S f λ=。

一【问题背景】苏教版《数学必修 2》P.112第12题：1已知点M (x,y)与两个定点0(0,0), A(3,0)的距离之比为—，那么点M 的坐标应满足2什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线.二、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯( Apollonius )在《平面轨迹》 究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图，点A, B 为两定点，动点 P 满足PA PB , 则 1时，动点P 的轨迹为直线；当 1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证：设AB 2m ( m 0),PA PB •以AB 中点为原点，直线 AB 为x 轴建立平面 直角坐标系，则 A (m,0), B (m,0) •又设 C (x , y ),则由 PA PB 得..(x m)2 y 2长为半径的圆.上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.三、【范例】AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则 A ( 1,0),、、2BC 得.(x 1)2 y 22 .(x 1)2阿波罗尼斯圆问题两边平方并化简整理得 (21)x 2 2m ( 2 1) x21) y 2m 2(12),1时,0，轨迹为线段 AB 的垂直平分线; 1时,(x21m)2y 214 2m 26 ,轨迹为以点(丁」m,0)为圆心,1(X m)2例1满足条件AB 2, AC .2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是解：以AB 中点为原点，直线B (1,0)，设C (x , y ),由 AC书中，曾研平方化简整理得寸 x 2 6x 1 (x 3)2 8 8 ,••• y 2 2，则1 一 一 —2y 2y/2 , • S ABC 的最大值是 2J2 . 2变式 在 ABC 中，边BC 的中点为D ，若AB 2,BC 2 AD ,贝U ABC 的面积的最大值是 _______ .解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系， 则A ( 1,0), B (1,0), 由BD CD,BC .、2AD 知，AD 2BD , D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为 (x 3)2 y 2 8，设C(x,y) , BC 的中点为D 得D (号，舟)，所以点C 的轨迹方程为 (宁 32(y)2 8，即(x 5)2y 2 32 ,1 ____________ — —•S ABC22y y v ；32 ^'2，故S ABC的最大值是".例2在平面直角坐标系 xOy 中，设点A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0,a 2)，若存在点P ，使得PA 2PB, PC PD ，则实数a 的取值范围是 __________________ .解：设 P(x,y)，则,(x 1)2 y 22 , (x 3)2 y 2 ,整理得(x 5)2 y 2 8，即动点P 在以(5,0)为圆心，2,2为半径的圆上运动. 另一方面，由PC PD 知动点P 在线段CD 的垂直平分线y a 1上运动，因而问 题就转化为直线 y a 1与圆(x 5)2 y 28有交点，所以a 1 2^2，故实数a 的取值范围是[2^2 1,242 1].例3在平面直角坐标系 xOy 中，点A 0,3，直线I : y 2x 4.设圆的半径为1 , 圆心在丨上. 若圆C 上存在点M ，使MA 2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围•2 2x 0 y 。

立体几何和圆锥曲线的珠联壁合之——空间轨迹问题【考点解析】立体几何中的轨迹问题因立意新颖，综合性强，而倍受高考命题者的青睐。

正方体是空间图形中既简单熟悉、又重要的几何体，它具有丰富的内涵，而在正方体中所涉及的轨迹问题，更是别具一格。

求解此类问题的的关键是要把相关的平行与垂直的位置关系，以及距离与角度的数量关系化归转化为平面问题来解决。

通常有以下三种解题策略。

一、阿波罗尼法2000多年前，古希腊数学家最先研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。

古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到与圆锥的母线平行时，得到的是抛物线；继续倾斜得到的是双曲线。

记锥轴为m ,母线为l , 切割圆锥的平面为α，令m 与l 所成的轴线角为θ，m 与平面α所成路的轴面角为ψ，则当0≤ψ<θ时，所截得的曲线是双曲线；当ψ=θ时，所截得的曲线是抛物线；当θ<ψ≤π2时，所截得的曲线是双曲线.例1.(1)如图，AB 是平面α的斜线段，点A 是斜足，若点P 在平面α内运动，且△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行线答案 B解析：∵AB 的长是定的，∴ S △ABP =12 |AB |×d p -l 为定值，即点P 到AB 的距离d p -l 为定值. ∴动点P 的轨迹是平面α截圆柱面所得的曲线，即为椭圆.(2)如图，设B ，C 为定点，且均不在平面α上，动点A 在平面α上，且sin ∠ABC =12 ，则动点A 的轨迹为（ ）A ．圆或椭圆 B.抛物线或双曲线 C. 椭圆或双曲线 D.以上均有可能 答案 D解析：∵sin ∠ABC =12 ，∴AB 和BC 的夹角是π6，即轴线角θ为300，设BC 与平面α所成的轴面角为ψ，则0≤ψ≤π2，∴0≤ψ<π6，ψ=π6，π6<ψ≤π2均有可能，故选D.【变式1】平面α的斜线AB 交α点B 且与α成π3角，平面α内一动点C 满足∠BAC =π6,则动点C 的轨迹为（ ）A ．一条直线 B. 一个圆 C. 一个椭圆 D.双曲线一支 答案 C解析：∵AB 是圆锥的轴，AC 是圆锥的母线，动点C 满足∠BAC =π6，∴轴线角θ为π6，∵平面α的斜线AB 交α点B 且与α成π3角，∴轴面角ψ为π3，∴ψ>θ,∴动点C 的轨迹为椭圆【变式2】平面α的斜线AB 交α点B 且与α成θ角，平面α内一动点C 满足∠BAC =π6，若动点C 的轨迹为椭圆，则θ的取值范围是 . 答案 π6<θ<π2解析：轴线角为π6，轴面角为θ，∵动点C 的轨迹为椭圆，∴θ>π6 ，又AB 是平面α的斜线，∴θ<π2.例2.(1)已知点P 在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的侧面BB 1C 1C 中，且满足∠PD 1D=∠BD 1D ，则动点P 轨迹所在曲线为（ ）A ．圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案 C解析：∵轴线角θ=∠PD 1D=∠BD 1D ，∴tan θ= 2 ，∵D 1D ∥面BB 1C 1C ，∴轴面角ψ=0，∴ψ<θ, ∴动点P 轨迹所在曲线为双曲线.【变式1】若改成P 在平面ABC 1D 1上，动点的轨迹是什么？ 答案 C解析：∵轴线角θ=∠PD 1D=∠BD 1D ，∴tan θ= 2 ，∵D 1D 与面ABC 1D 1所成的轴面角ψ满足tan ψ=1，∴ψ<θ, ∴动点P 轨迹所在曲线为双曲线. 【变式2】你还可以怎么出题？还可以变轴，如将条件置换为∠PD 1C=∠BD 1C ，此时轴线角θ满足tan θ=22，此时D 1C 与面BB 1C 1C 所成的轴面角ψ满足tan ψ=1，∴ψ>θ, ∴动点P 轨迹所在曲线为椭圆. 二、定义法运用解析几何中曲线定义，来识别动点轨迹的曲线类型. 例3(1)在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4中，点P 在面A 1BCD 1内运动，且点P 到直线AB 1和BC 的距离相等，则动点P 的轨迹为（ ） A ．圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 答案 D解析：设AB 1∩A 1B =O ,易证AB 1⊥面A 1BCD 1，∴AB 1⊥OP ，∴点P到直线AB 1的距离为|OP|，∴|OP|=d P -BC ，且定点O 不在定直线BC 上，∴动点P 的轨迹为抛物线的一部分【变式1】若将“P 到直线AB 1和BC 的距离相等”改为“P 到直线AB 1和BC 的距离之比为12”，则动点P 的轨迹所在的曲线是 . 解析：由圆锥曲线的统一定义得该曲线的离心率是12，故动点P 的轨迹是椭圆的一部分.【变式2】若将“P 到直线AB 1和BC 的距离相等”改为“P 到直线AB 1和BC 的距离之比为2”，则动点P 的轨迹所在的曲线是 .解析：由圆锥曲线的统一定义得该曲线的离心率是2，故动点P 的轨迹是双曲线的一部分.例3(2)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 ．(4) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 ．(5) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为 2 的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为 2 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为 2 的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．(6)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，长为4的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 课后作业1、如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是( )2.若三棱锥A BCD -侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC ∆组成图形可能是 ()CC 1A1A1A A1A 1(2)(3)(4)(5)C D CD CA ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．3.四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A. B.C. D.4.在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中, ,E F 分别是AD ,11A D 的中点,长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动,另一个端点N 在底面1111A B C D 上运动,则线段MN 的中点P 的轨迹(曲面)与二面角111A A D B --所围成的几何体的体积为 ( ) A.43π B. 23π C. 3π D. 6π5.四棱锥P ABCD -中,AD ⊥面PAB ,BC ⊥面PAB ,底面ABCD 为梯形，4AD =,8BC =,6AB =,APD CPB ∠=∠,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是 ( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 球的一部分D. 抛物线的一部分6.在空间直角坐标系O -xyz 中，正四面体P —ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴和y 轴上移动.若该正四面体的棱长为2，则|OP |的取值范围是（ ）A ．[3-1，3+1] B. [0， 28] C. [3-1，2] D.[1，3+1]。

课题一道轨迹问题的探究松江二中黄继红一、教案设计思考1．教材分析：数学探究是高中数学新课程的重要内容。

其主要目的是：为学生引入一种新的学习方式，使学生经历提出概念和结论的过程，体验数学发现、创造的研究过程，形成勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，提高学生的创新精神和实践能力。

教师不但要成为学生进行数学探究的组织者、指导者与合作者，还应成为数学探究课题的创造者，为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料。

本课是有关轨迹问题的高三复习课，学生在高二阶段经历过解析几何的学习，基本掌握了求动点轨迹的方法，感受曲线与方程的本质联系，也重点研究过有关圆、椭圆、双曲线、抛物线的概念、标准方程和性质及其应用。

作为上海市示范性高中的高三学生，不仅要“夯基础”，而且要“活能力”，要成为建构“知识和方法体系”的主动实践者，也要成为“提出问题和解决问题”的探索者。

基于以上分析，我认为：本课应是对高二“曲线与方程”学习的进一步深化，在体验“问题提出和解决”的探究过程中，渗透“求动点轨迹的方法”的复习，感受圆锥曲线定义和方程的统一性，体现“数学双基的继承和发展”的教学理念。

2．教案亮点：从一个经典问题——阿波罗尼圆的提出和解决入手，自然地过渡到改变问题的对象或条件，探索动点轨迹的变化，复习求动点轨迹的基本方法；在师生共同讨论中重点完成高二课本P86例4的推广和逆向思考，以及圆锥曲线统一定义的导出和研究，进一步体会“曲线与方程”的本质联系，展示了问题探究的过程和方法。

二、教学目标1．知识目标：复习求动点轨迹的方法。

2．能力目标：（1）通过对“一道轨迹问题”的探究，经历提出问题和解决问题的过程和方法，感受曲线与方程的本质联系；（2）在提出问题、解决问题和反思的过程中，改善学习方式，提高思维品质。

3．情感目标：培养科学探索精神和对立统一的辨证唯物主义观点。

三、教学重点、难点：教学重点：曲线与方程的关系。