2021年河北省衡水中学高考(文科)数学第二次联考试卷(全国Ⅱ) (解析版)

河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试整理:杨环宇一.选择题海雀村是黔西北的一个小山村，中华人民共和国成立后，该村的民居经历了四代（图1）发展历程。

“四代房”不仅能反映当地的自然环境特点，也是反映我国广大贫困农村地区“不断发展、脱贫奔小康”成果的一个真实窗口。

1.从“四代房”看，当地的气候 A.炎热 B.多雨 C.凉爽 D.多风【解析】四代房的共同特征是房顶为“人”字型，坡度大，利于排水，可推断该区域降雨较多。

答案B 2.第四代房的突出优势是 A.占用耕地更少 B.避光防晒最好 C.消耗建材更少 D.居住环境最优【解析】据图可知，第四代房占用耕地没有减少；楼层高，门窗大，采光条件更好；使用建材相对较多；第四代房的居住环境明显要比第一、二、三代房优越。

答案D青海湖地处青藏高原，是我国最大的内陆湖，对湖面上空及其周围区域气流运动影响显著。

图2为夏季正午前后、图3为夏季午夜沿着36.8°N青海湖区垂直剖面风场差异状况分析。

3.图示青海湖产生的湖陆环流A.大气水平运动很微弱B.大气垂直运动速度更快C.可达湖面以上7千米D.夜间影响的高度更大【解析】由两图右下角比例尺可以看出，图中大气水平运动的表示距离是垂直运动的10倍，所以湖陆环流大气水平运动不微弱，大气垂直运动速度较慢；图示的湖陆环流达到海拔7千米,是湖面以上4千米左右；两图对比，夜间湖陆环流影响高度更大。

答案D4.受湖陆环流的影响，青海湖及周边地区夏季降水较多的是A.夜晚；陆地B.白天；湖面C.夜晚；湖面D.白天；陆地【解析】由湖陆环流的大气运动状况可以看出，湖区夜间气流上升运动更明显，所以夏季降水夜晚多、湖面多。

答案C5.受东、西两岸地形差异的影响，湖陆环流A.白天西岸低空环流更明显B.白天下沉气流中心更偏西C.夜晚湖区西部上升势力弱D.夜晚湖区东部气流下沉【解析】从两幅图所示的气流运动状况可以看出，白天西岸低空环流更明显，这是因为西部山坡白天盛行谷风，气流顺山坡而上，到空中与湖面气流一起下沉,形成环流；白天下沉气流中心更偏东；夜晚湖区气流东西部都是上升，东部气流虽然运动速度快，但分解到垂直方向上升部分就相对较小，西部上升势力更强。

河北省衡水中学2021届高三第二次调研考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A. {}2B. {}0,2C. {}0,2,4D. {}2,4【答案】B 【解析】∵集合{}2|20A x x x =-≤ ∴{}02A x x =≤≤ ∵集合{}|1381xB x =<< ∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤< ∵集合{}|2,C x x n n N ==∈ ∴{}()0,2A B C ⋃⋂= 故选B.2. 要得到函数y x =的图象，只需将函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向上平移4π个单位 D. 向下平移4π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先变形：)2y x x π==+，再根据左加右减原理即可得解.所以由函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，根据左加右减，只需向左平移4π个单位. 故选：A.3. 已知函数()()f x x x a b =-+，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()10f =，则b 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由(1)y f x =+为偶函数，所以()y f x =的对称轴为1x =-，再结合()10f =，即可求得,a b 的值. 【详解】因为(1)y f x =+为偶函数， 所以()y f x =的对称轴为1x =.又因为()10f =，所以()y f x =的顶点坐标为(1,0). 由222()24a a f x x ax b x b ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，得12(1)10af a b ⎧=⎪⎨⎪=-+=⎩， 解得21a b =⎧⎨=⎩，故选：C.4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2121a a +=，2a 与4a 的等差中项为2，则4S 的值为（ ）A. 6B. -2C. -2或6D. 2或6【答案】C 【解析】 【分析】根据题中已知条件及等差数列的性质求得首项a 1和公差d ，再利用等差数列前n 项和公式，求得4S 的值.【详解】设{}n a公差为d，则由2122414a aa a⎧+=⎨+=⎩得()()()21111134a a da d a d⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得10 1a d =⎧⎨=⎩或185ad=-⎧⎨=⎩，10,1a d==时，401236S=+++=，18,5a d=-=时，48(3)272S=-+-++=-．故选：C．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量的计算以及等差数列前n项和公式，属于基础题.5. 已知3sin3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.33B.63C.13D.13-【答案】D【解析】【分析】换元3xπα=+，可得出3xπα=-，利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】换元3xπα=+，可得3xπα=-，且3sin x=，所以，()21 cos2cos2cos2cos22sin13333x x x xπππαπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：D.6. 已知函数()y f x=的部分图象如图，则()f x的解析式可能是（）A. ()tanf x x x=+ B. ()sin2f x x x=+C. 1()sin 22f x x x =- D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】首先通过函数的定义域排除选项A ，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B ，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R ，而函数()tan f x x x =+的定义域不是R,所以选项A 不符合题意； 由图象可知函数是一个奇函数，选项D 中，存在实数x ， 使得1()cos ()2f x x x f x -=--≠-，所以函数不是奇函数，所以选项D 不符合题意； 由图象可知函数是增函数，选项B ，()12cos 2[1,3]f x x =∈-'+，所以函数是一个非单调函数，所以选项C 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C ，()1cos 20f x x =-≥，所以函数是增函数，所以选项C 符合题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7. 已知min{,}m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，当0a b <<时，有()()f a f b =，则 ） A. 6 B. 8C. 9D. 16【答案】B 【解析】 【分析】首先画出函数()f x 的图象，由图象确定当有()()f a f b =时，即214log log 3a b ++，再根据对数运算公式化简求值.【详解】作出函数()f x 的图象，如图中实线所示，由()()f a f b =可知，214log log 3a b =+，所以24log log 3a b +=，即222log log log (3a +==，所以8=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题一道数形结合分析问题的典型题型，关键是理解min{,}m n ，并画出函数()f x 的图象，属于中档题型.8. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）A. 10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B. 9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C. 5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D. 4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】由递推式求出数列的首项,当2n ≥时分n 为偶数和奇数求出n a ,代入*1(1),2nn n n S a n N =--∈后分组,然后利用等比数列的前n 项和公式求解.【详解】由*1(1),2nn a n S a n =--∈N ， 当1n =时，1112S a =--，得114a =-； 当2n ≥时，111111(1)(1)22----=-=----+nn n n n n n n n a S S a a ，即11(1)(1)2n nn n n na a a -=-+-+. 当n 为偶数时，11(2)2n n a n -=-≥，所以112n n a +=-（n 为正奇数），当n 为奇数时，11111112(2)2222n n n n n n a a -+-⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，所以12n n a =（n 为正偶数），所以122211,22a a -==，所以412342411112,,2222a a a a -+=⨯=-==， 所以11112,,,a a a a -+=⨯=⋯-==，所以112a a -+=⨯=.因为123100S S S S ++++()()()()12345699100a a a a a a a a =-++-++-+++-+-2100111222⎛⎫+++⎪⎝⎭359911112222=++++2100111222⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭501001111112422111142⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--10011132⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：A【点晴】方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，分组求和，一般数列求和包含： 1、公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2、错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3、裂项相消法求和，适用于能变形为(1)()n a f n f n =+-；4、分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列.二､多选题：本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. （多选题）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A. 0d >B. 10a <C. 当5n =时n S 最小D. 0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设可得基本量1a d ，的关系，再把n S 看成关于n 的二次函数. 【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d dS n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：ABD【点睛】数列的函数观，通项n a kn b =+是关于n 的一次函数；前n 项和2n S An Bn =+是关于n 的二次函数.10. 设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[],m n 上的单调性相同，则把区间[],m n 叫做()y f x =的“稳定区间”，已知区间[]1,2020为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的可能取值是（ ） A 32-B. 56-C. 0D.132【答案】AB 【解析】 【分析】首先求函数()f x -，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求a 的取值范围.【详解】由题意得1()2xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()2xf x a -=+在区间[1,2020]上同增或同减.若同增，则10,220x x a a ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+⎩在区间[1,2020]上恒成立，即1,22,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥-⎩所以122a --.若同减，则10,220x x a a ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+⎩在区间[1,2020]上恒成立，即202020201,22,a a ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩无解， 所以A ，B 选项符合题意. 故选：AB【点睛】思路点睛：本题考查指数函数单调性综合应用，本题的关键是读懂“稳定区间”的定义，同时讨论函数同为增函数或同为减函数，去绝对值后转化为恒成立问题.11. 已知函数()sin (03)4f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为直线8x π=，函数()()2cos 24g x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()g x 的说法错误的是（ ）A. 直线8x π=是()g x 图象的一条对称轴B. ()g x 的最小正周期为πC. 点,08π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心 D. ()g x 【答案】AC 【解析】 【分析】 由8x π=为()f x 的一条对称轴，结合ω的取值范围，即可求出ω的值，从而求出()g x 的解析式，再利用辅助角公式化简，结合余弦函数的性质计算可得； 【详解】解：由8x π=为()f x 的一条对称轴，得842k ππωππ+=+⋅，即28,k k Z ω=+∈.又因为(]0,3ω∈，所以2ω=，所以()sin 22cos 244g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222x x =-，())g x x ϕ=+其中1tan 3ϕ=. 易知,4k k πϕπ≠+∈Z ，且3,4k k πϕπ≠+∈Z ，故A ，C 错误，B ，D 正确. 故选：AC12. 已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个不同的12,x x 满足()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线712x π=分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ） A. ()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性无法判断 B. ()f x 图象的一个对称中心为59,06π⎛⎫⎪⎝⎭C. ()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为12D. 将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =-【分析】根据条件求出()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可.【详解】由题意得70,,6122x k k ωπωπϕϕπ-+=+=+∈Z ，即4132k ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个最大值或最小值，且在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性， 所以5123122272326T T ππππωππππω⎧⎛⎫--=≤= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪--=≥= ⎪⎪⎝⎭⎩，所以121275ω≤≤ 所以只有1k =时满足，此时2,3πωϕ==，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为62x ππ<<，所以242333x πππ<+<，所以()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误； 由5922063πππ⨯+=，所以59,06π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确； 因为44x ππ-，所以min 52,()6364x f x f ππππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ max 1sin ,()sin 162122f x f πππ⎛⎫⎛⎫=-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最大值与最小值之和为12，故C 正确；将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再向左平移6π个单位，得到sin sin cos 632y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 即()cos g x x =，故D 错误. 综上，BC 正确 故选：BC【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+⋅，且52,9,a a 成等差数列，则-a b 的值为___________. 【答案】-2根据等比数列{}n a 的前n 项和2nn S a b =+⋅，利用11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，求得n a ，然后再52,9,a a 成等差数列求解.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+⋅，当2n ≥时；()()111222n n n n n n a S S a b a b b ---=-=+⋅-+⋅=⋅； 当1n =时，01122a S a b b ==+=⋅， 所以0a b +=①， .又52,9,a a 成等差数列，所以2518a a +=，即42218b b +⋅=② .由①②解得1,1a b =-=， 所以2a b -=-. 故答案为：-214. 已知函数()sin cos (0,0)f x a x x a ωωω=+>>的最大值为2.若函数()f x 在区间[]0,7上至少取得两次最大值，则ω的最小整数值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先将函数转化为()sin cos )f x a x x x ωωωϕ=+=+，根据()f x 的最大值为2，由2=求得a ，然后根据()f x 在区间[]0,7上至少取得两次最大值确定ω的范围即可.【详解】因为()sin cos )f x a x x x ωωωϕ=+=+， 所以()f x2=，解得a =a =舍去)，所以()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当2,62x k k ππωπ+=+∈Z 时，函数()f x 取得最大值，当1k =时，由262x ππωπ+=+，得773x πω=， 所以3πω，所以ω的最小整数值为2.【点睛】方法点睛：解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．15. 记函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，,0,()1,0.kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩若方程()()f x g x =在区间[]5,5-上有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围为___________.【答案】11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】在同一直角坐标系内，画出()f x ，()g x 的图像，结合图形，由题中条件，即可得出结果. 【详解】在同一直角坐标系内，作出函数()f x ，()g x 的图象，如图所示，由图像可得，函数()y g x =与()y f x =在区间[5,0)-内有3个交点， 即方程()()f x g x =在区间[5,0)-上有3个实根，故方程()()f x g x =在区间[0,5]上有4个不同实根，即只需()y g x =与()y f x =在区间[]0,5内有4个交点，当直线y kx =经过点()4,1时，14k =，经过点()5,1时，15k =. 若在区间[0,5]上有4个根，则11,54k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.16. 在ABC ∆中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b a ac -=，则B A =__________；cos b A aa b+的取值范围为___________. 【答案】 (1). 2 (2). 35,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由余弦定理可转化条件为2cos c a B a -=，再由正弦定理及三角恒等变换即可得BA；再由正弦定理可得2cos 12cos 2cos b A a A a b A+=+，换元后结合导数即可得解. 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2222cos b a c ac B -=-， 所以22cos c ac B ac -⋅=，即2cos c a B a -=，由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A -=，即sin()2sin cos sin A B A B A +-=， 所以sin cos cos sin 2sin cos sin A B A B A B A +-=即sin()sin B A A -=， 因为(),0,A B π∈，所以B A A -=或()B A A π-+=(舍去)，所以2B A =，即2BA=； 因为3(0,)A B A π+=∈，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以cos sin cos sin sin 2cos sin sin sin sin sin 2b A a B A A A A Aa b A B A A +=+=+=212cos 2cos +A A， 令1cos ,12x A ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则211()2,,122f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，322181()4022x f x x x x -'=-=>， 所以()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又135,(1)222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以35(),22f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：2；35,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦、余弦定理对条件合理变形，再利用换元、导数确定函数的取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，在圆内接ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若点D 是劣弧AC 上一点，AB =2，BC =3，AD =1，求四边形ABCD 的面积 【答案】（1）3B π=；（2）3【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简即可．（2）在ABC ，利用余弦定理求出AC ，已知B ，可得ADC ∠，再余弦定理求出DC ，即可ABC 和ADC 面积，可得四边形ABCD 的面积．【详解】解：（1）由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=， 得sin 2sin cos B B B =. 因为0,sin 0B B π<<≠， 所以1cos 2B =，即3B π=.（2）在ABC 中AB =2，BC =3，3B π=，222249cos 3212AB BC AC AC AB BC π+-+-==⋅，解得7AC =.在ADC 中，7,1AC AD ==，A ，B ，C ，D 在圆上， 因为3B π=，所以23ADC ∠=π，所以22222171cos 3222AD DC AC DC AD DC DC π+-+-===-⋅， 解得2DC =或3DC =-（舍去），所以四边形ABCD 的面积121sin sin 2323ABCADCS SSAD DC AB BC ππ=+=⋅+⋅=【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.(1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 分析：（1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，∴()2211n n n n S S S S λ++=--，整理后即得结果；（2）由（1）可得()122n n a a n +=≥，检验n=1也适合即可. 详解：（1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--，()1120n n n S S S λ++∴--=，10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴=+，（2）12n n S S λ+=+，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列，212S S λ=+即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-，()21,12,n n a λ-+⎧∴=⎨⎩,1,2,n n =≥若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+，1λ∴=-（舍）或1λ=经检验得符合题意．点睛：已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.19. 在①ANBN=，②AMN S =△，③AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，8c =，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，____________，求AM 的长和ABC 外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】若选择条件①，BM t =，用余弦定理2222cos AN AB BN AB BN B =+-⋅，求得t ，再用余弦定理求得AM ，AC ，最后由正弦定理可得外接圆半径；若选择条件②，由三角形面积求得BC ，得BM ，然后用余弦定理求得AM ，AC ，利用正弦定理求得外接圆半径；若选择条件③，设BM t =，用余弦定理表示出,AM AC 后解得t ，然后同样由余弦定理求得,AM AC ，用正弦定理求得外接圆半径． 【详解】若选择条件①因为ANBN =，所以AN BM=，设BM t =，所以AN =；又60B =︒，8c =， 所以在ABN 中，2222cos AN AB BN AB BN B =+-⋅，即222(23)84282cos 60t t t =+-⨯⨯︒， 即：2280t t +-=， 所以2t =或-4（舍去）.在ABM 中，22222cos 84282cos6052AM AB BM AB BM B =+-⋅=+⨯︒-⨯=， 所以213AM =，同样222222cos 86286cos6052AC AB BC AB BC B =+-⋅=+⨯︒-⨯=， 所以213AC =，由正弦定理可得：2134392sin sin 6033b AC R B ====︒， 所以外接圆半径为2393R =. 若选择条件②因为点M ，N 是BC 边上的三等分点，且43AMN S =△， 所以123ABCS=，因为60B =︒，所以113123sin 608222ABC S AB BC BC ==⋅︒=⨯⨯⨯△， 所以6BC =，所以2BM =.在ABM 中，22222cos 84282cos6052AM AB BM AB BM B =+-⋅=+⨯︒-⨯=， 所以213AM =，同样222222cos 86286cos6052AC AB BC AB BC B =+-⋅=+⨯︒-⨯=， 所以213AC =，由正弦定理可得：2134392sin sin 6033b AC R B ====︒，所以外接圆半径为393R =. 若选择条件③设BM t =，则3BC t =， 在ABM 中，2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅2222828cos6088t t t t =+-⨯=+-︒，同样在ABC 中，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅22289283cos6064924t t t t =+-⨯⨯︒=+-，因为AC AM =，所以2228864924t t t t +-=+-， 所以2t =，在ABM 中，2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅284282cos6052=+⨯︒-⨯=，所以AM =同样2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2286286cos6052=+-⨯⨯=︒，所以AC =，由正弦定理可得：2sin sin 603b AC R B ====︒，所以外接圆半径为3R =. 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，掌握两个定理的应用是解题关键．属于中档题． 20. 设函数223223()3,()33,22a a f x x x ax g x ax x a ⎛⎫=-+=-++-∈ ⎪⎝⎭R . （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若函数[]()23()()()0,222a x f x g x x x ϕ=--∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围. 【答案】（1）当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x的单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭和1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛ ⎝⎭；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）先对()f x 求导，对导函数分3a ≥和3a <两种情况讨论即可.（2）因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可. 【详解】解：（1）()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-， 当3a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，令()0f x '>，得13x<-或13x >+， 所以()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞- ⎝⎭和1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭令()0f x '<，得11x <<， 所以()f x 的单调递减区间为1⎛ ⎝⎭.综上，当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞⎝⎭和1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛ ⎝⎭. （2）由题意得[]322133()(1)3,0,2222x ax a x x a x ϕ=+--+∈.因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，即[]3213(1)30,0,222ax a x x x +--∈， 当0x =时，显然成立. 当(]0,2x ∈时，得()21313022ax a x +--≤， 即()()()()()22323232322221+2x x ax xx x x x ++==++-+-+--. 令(]22,4t x =+∈，则2()1,(2,4]th t t t =--∈，()2210h t t '=+>恒成立，所以 2()1,(2,4]t h t t t =--∈是增函数，5()0,2h t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3625(2)12x x +--+，即65a ， 所以a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.21. 甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知____________， （1）判断123,,S S S 的关系并给出证明. （2）若133a a -=，设12n n n b a =，{}n b 的前n 项和为n T ，证明43n T <.甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是132,,S S S 成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.【答案】补充条件见解析；（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）可补充公比q 的值，由等比数列的通项公式和等差中项的性质，计算即可得所求得结论；（2）由等比数列的通项公式求得2132nn b n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，再利用乘公比错位相减求和结合等比数列求和公式，不等式的性质即可得证. 【详解】（1）补充的条件为12q =-， 123,,S S S 的关系为132,,S S S 成等差数列.证明如下： 若12q =-则11S a =，2121111122S a a a a a =+=-=，31231111113244S a a a a a a a =++=-+=，可得1232S S S +=，因此132,,S S S 成等差数列. （2）证明：由133a a -=，可得11134a a -=， 解得1114,42n n a a -⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭11241212232n n n n n n nb a -⎛⎫==⨯-=⋅ ⎪⎝⎭， 则1232111112332222n nT n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 2341121111123232222n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 上面两式相减可得234111111211111121221232222223212n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++++-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 整理可得12242213232n n n n n T +++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为*12N ,112n n n ++∈-<，所以43nT <. 【点睛】关键点点睛：本题得关键点是利用132,,S S S 成等差数列求出等比数列{}n a 的公比12q =-才能求出232n n nb =⋅，在利用乘公比错位相减求和时要仔细，必要时可以用万能公式建议求和的结果，再利用不等式的性质即可得证.22. 定义可导函数()y f x =在x 处的弹性函数为()()x f x f x '⋅，其中()'f x 为()f x 的导函数．在区间D 上，若函数()f x 的弹性函数值大于1，则称()f x 在区间D 上具有弹性，相应的区间D 也称作()f x 的弹性区间． （1）若()1xr x e x =-+，求()r x 的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数()(1)ln xf x x e x tx =-+-（其中e 为自然对数的底数）（ⅰ）当0t =时，求()f x 的弹性区间D ；（ⅱ）若()1f x >在（i ）中的区间D 上恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()(1)()1x x x x r x e r x e x '⋅=-⋅-+，0x =； （2）（ⅰ）(1,)+∞，（ⅱ）(,1]-∞-. 【解析】【分析】（1）由()1x r x e x =-+，可得()1xr x e '=-，根据题设条件，即可求得()r x 的弹性函数及弹性零点； （2）（ⅰ）函数()(1)ln x f x x e x =-+，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，函数()f x 是弹性函数21()1()(1)ln x x x x e f x f x x e x '+⋅=>-+，得出不等式组，进而求得函数的弹性区间； （ⅱ）由()1f x >在(1,)+∞上恒成立，可得1ln 1(1)x x t e x x-<-+在1x >上恒成立，设1ln 1()(1)x x h x e x x-=-+，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得t 的取值范围. 【详解】（1）由()1x r x e x =-+，可得()1x r x e '=-， 则()(1)()1x x x x r x e r x e x '⋅=-⋅-+， 令()(1)0()1x x x x r x e r x e x '⋅=-⋅=-+，解得0x =， 所以()r x 弹性函数的零点为0x =.（2）（ⅰ）当0t =时，函数()(1)ln x f x x e x =-+，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为211()(1)ln (1)x x x xx e f x x e x e x e x x +'=-+=+-+=， 函数()f x 是弹性函数21()1()(1)ln x x x x e f x f x x e x '+⋅=>-+， 此不等式等价于下面两个不等式组：（Ⅰ）()21ln 0......1(1)ln .......x x x x e x x e x e x ⎧-+>⎪⎨+>-+⎪⎩①② 或（Ⅱ）()21ln 0.....1(1)ln .......x x x x e x x e x e x ⎧-+<⎪⎨+<-+⎪⎩③④， 因为①对应的函数就是()f x ，由0f x ，所以()f x 在定义域上单调递增，又由(1)0f =，所以①的解为1x >；由可得()221[(1)ln ](1)1ln 0x x xg x x e x e x x x e x =+--+=-++->， 且()3221()1(21)(1)x x xx x e g x x e x x e x x +-'=-+-+-=在1x >上恒为正， 则()g x 在1x >上单调递增，所以()()10g x g >>，故②在1x >上恒成立，于是不等式组（Ⅰ）的解为1x >，同①的解法，求得③的解为01x <<；因为01x <<时，④210,(1)ln 0x x x e x e x +>-+<，所以不成立，所以不等式（Ⅱ）无实数解，综上，函数()f x 的弹性区间(1,)D =+∞.（ⅱ）由()1f x >在(1,)+∞上恒成立，可得1ln 1(1)x x t e x x-<-+在1x >上恒成立， 设1ln 1()(1)x x h x e x x -=-+，则22(1)2ln ()x x x e x h x x-++-'=， 而()2(1)2ln 1xx x e x g x -++-=+， 由（ⅰ）可知，在1x >上恒为正，所以()0h x '>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()()11h x h >=-，所以1t ≤-，即实数t 的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题主要考查了函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题综合性强，属于难题．。

绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试文科数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B ⋂=（ ）A ．{3,5}B ．{2,4}C ．{3,7}D ．{2,5} 2，已知复数21(2)z i =-，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．已知向量(1,2),||2,||13a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙背定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为（ ）A ．1BCD ．27．MOD 函数是一个求余函数，格式为MOD(,)M N ，其结果为两个数M ，N 作除法运算MN后的余数，例：MOD(36,10)6=，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的6,1n v ==，则输出的u 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF 的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1+B ．1+C D9．已知函数()sin()(0,||)g x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ）A ．1()22g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．1()22x g x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1()22x g x f ⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()(21)g x f x =- 10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t 期中药材资源的再生量()1t t t x f x rx N⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中t x 为t 期中药材资源的存量，r ，N 为正常数，而t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t 期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（ ） A ．2r B ．3r C ．4r D ．5r 11．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数)()ln3sin 2f x x x x =+-+，则不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭的解集是（ ） A ．{|11}x x x <->或 B ．{|1}x x > B ．{|1}x x <- D ．{|11}x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点(2,3)P ，则cos2α的值为___________．14．若x ，y 满足约束条件1,36,24,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩则4z x y =+的最小值为__________．15．已知直线:l y x b =+为曲线()xf x e =的切线，若直线l 与曲线217()22g x x mx =-+-也相切，则实数m 的值为__________．16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin sin B C =c =，则ABC 外接圆半径的最小值为______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在公比为2的等比数列{}n a 中，234,,4a a a -成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2125log 1,,,?,n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 18．（12分）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13． （1）求22⨯列联表中p ，q ，x ，y 的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2PA AB ==，PB =，60ABC ∠=︒，且平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若M 是PC 上一点，且BM PC ⊥，求三棱锥M BCD -的体积． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=． （1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 21．（12分） 已知函数()(0)xa xf x a xe-=>． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上，()f x 是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程及极坐标方程；（2）过点A 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，当MCN 面积最大时，求直线l 的直角坐标方程． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数()1|21|f x x x =---． （1）求不等式()1f x -的解集；（2）若不等式()1f x ax <-恒成立，求实数a 的取值范围．河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·文科数学一、选择题1．B 【解析】由题意得{2,4,6,8}UA =，所以(){2,4}U AB ⋂=．2．D 【解析】复数21134(2)342525z i i i ===+--，则342525z i =-，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限．3．C 【解析】设第n 天募捐到n a 元，则数列{}n a 是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n 项和250(3)n S n n =+．因为7817500,22000S S ==，所以至少需要8天可完成募捐目标．4．D 【解析】因为||13a b -=，所以2()13a b -=，即22213a a b b -⋅+=．设a 与b 的夹角为θ，则32cos 413θ-⨯+=，解得cos 2θ=-，所以a 与b 的夹角为56π． 5．A 【解析】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求综上，优秀者为甲． 6．B 【解析】设左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 的中点为坐标原点，12,F F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则12(1,0),(1,0)F F -．设曲线上任意一点(,)P x y ，1=，化简得该卡西尼卵形线的方程为()()222222x yx y +=-，显然其对称中心为(0,0)．由()()222222xy x y +=-得()()222222240x y x y y +-+=-，所以()()222222x y x y ++，所以2202x y +2．当且仅当0,y x ==时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点．7．A 【解析】当1i =时，1v =；当2i =时，2v =；当3i =时，4v =…当7i =时，64v =，所以MOD(64,7)1u ==．8．D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a SS ab b ======，所以a b =，离心率c e a === 9．C 【解析】由题图可得()sin2g x x π=，所以由()sin 2f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象得()g x 的图象，只需将()f x 图象上的所有点向左平移12个单位长度得到12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得1()sin 222x g x f x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭．10．A 【解析】由题意得()22124t t t t t t x rx r N rN f x rx rx x N N N ⎛⎫⎛⎫=-=-+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2t N x =时，()t f x 有最大值4rN，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为422rNr N =． 11．A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ，由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=．两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．12．D【解析】构造函数)()()2ln 3sin g x f x x x x =-=-+-．因为()()0g x g x -+=，所以()gx 是奇函数，因为)ln3lnx -=，(sin )cos 10x x x '-=-，所以()g x 在区间(0,)+∞上是减函数．因为()g x 是奇函数且(0)0g =，所以()g x 在R 上是减函数．不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭等价于22(1)201f f x ⎛⎫-+--< ⎪+⎝⎭，即2(1)(1)1g g g x ⎛⎫<--= ⎪+⎝⎭，所以211x >+，解得11x -<<． 二、填空题13．513- 【解析】由题意得sin α==，则225cos212sin 121313αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭． 14．325【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，所以当目标函数过直线36,24x y x y +=-=-的交点224,55⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值，所以min 224324555z =⨯+=．15．4或2- 【解析】设直线:l y x b =+与曲线()xf x e =相切于点()00,xx e ，由()001xf x e '==，得00x =，所以切点坐标为(0,1)，所以直线l 的方程为1y x =+．又由直线l 与曲线()g x 相切，得217122x mx x -+-=+，化简得222(1)90,4(1)360x m x m --+=∆=--=，解得4m =或2m =-．16．1 【解析】由sinsin B C =，得sin cos 2sin sin cos B B C C C B +=-，即sin 2sin A B C =，所以由正弦定理得2a c=．所以22262cos 2a b c C ab +--==，所以62sin C +，设ABC 外接圆半径为R ，因此22(31)sin cR C=-，所以31R -1．三、解答题17．解：（1）因为数列{}n a 的公比q 为2， 所以2131412,4,484a a a a a a ==-=-．因为234,,4a a a -成等差数列， 所以1118284a a a =+-，解得12a =，所以2nn a =． （6分）（2）由（1）可得51,?,.?n nn n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数 （8分）所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以()()21321242n n n S b b b b b b -=+++++++()(616104)242n n =+++-++++()212(6104)212nn n -+-=+- 21522n n n +=++-12252n n n +=++-． （12分）18．解：（1）由题意得1163p p =+，解得8p =，所以40832q =-=， （2分） 所以16824,443276x y =+==+=． （4分）（2）由列联表中的数据可得2K 的观测值2100(1632844)0.585 2.70660402476k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯． （5分） 所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关． （7分） （3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比61244k ==． （7分） 因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性11644⨯=人，记为1234,,,A A A A ，女性1824⨯=人，记为12,B B ， （9分） 从这6人中抽取2人的所有方式为()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为62155P ==． （12分）19．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ⋂平面,ABCD AC BD =⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAC ． （2分）因为PA ⊂平面PAC ，所以PA BD ⊥． （3分）又因为2,PA AB PB === 所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥． （5分） 又因为,AB BD ⊂平面,ABCD AB BD B ⋂=， 所以PA ⊥平面ABCD ． （6分） （2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ， 因为AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥， （8分）所以PC ==，所以PBC 为等腰三角形．在PBC 中，由余弦定理得2223cos 24PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅． 因为BM PC ⊥，所以34PM PB =，所以34PM PC =． 易得14CM PC =， （10分）又1sin1202BCDSBC CD =⋅︒=，所以111112443436BCDM BCD P BCDV V S PA--==⨯⨯=⨯=三棱锥三棱锥．（12分）20．解：（1）由椭圆E的方程可得(,0),(,0)A aB a-．设()00,M x y，则()00,N x y-，所以200022000.MA NBy y yk kx a x a x a-⋅=⋅=-+--．又点()00,M x y在椭圆E上，所以2200221x ya b+=，所以22220002221y x a xb a a-=-=，所以2222214MA NBy bk kx a a⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e====．（4分）（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=．（5分）设直线l的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y=+，线段PQ的中点为(),S SS x y，联立221,4,xyy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得2258440x mx m++-=，则()()2226420441650m m m∆=--=->，解得25m<，所以21212844,55m mx x x x-+=-=，（7分）所以124,255S S Sx x m mx y x m+==-=+=，所以4,55m mS⎛⎫- ⎪⎝⎭．（8分）由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥， （9分）所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 解得35mt =-． （10分） 又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ， 所以PR QR ⊥，所以12121y t y tx x --⋅=-． 又1122,y x m y x m =+=+，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±． （12分）21．解：（1）由题意得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞， （1分）则22()xx ax af x x e --'=． （3分）令()0f x '=，得12x x ==．因为0a >，所以120,0x x <>．当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下表：所以函数()y f x =的单调递增区间为,,22a a ⎛⎛⎫-+-∞+∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为,0,22a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （6分）（2）令()0xa xf x xe -==，得x a =， 则a 是函数()f x 的唯一零点． （7分）因为20a x a -=-=<， 所以20a x <<，所以202aa x <<<． 当0x a <<时，()0f x >；当x a >时，()0f x <． （9分）由（1）可知函数()f x 在区间2,2ax ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增， （10分）所以()f x 在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为22a a f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()2222x a x f x x e -=，其中2x = （12分）22．解：（1）圆C 的直角坐标方程为22(2)8x y -+=， （2分） 极坐标方程为24cos 4ρρθ-=． （4分）（2）4A π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(4,4)A ． （5分） 111||||sin ||||84222MCNSCM CN MCN CM CN =∠=⨯=， 当90MCN ∠=︒时，面积最大，此时，圆心C 到直线l 的距离22d =⨯=． （6分） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，满足题意； （7分） 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k -+-=，圆心C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，即3440x y -+=． （9分） 综上，直线l 的方程为4x =或3440x y -+=． （10分）23．解：（1）由题意得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩ （2分）当12x时，令1x --，解得112x ； 当12x <时，令321x --，解得1132x <． （4分） 综上所述，()1f x -的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （5分）（2）由（1）得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当12x，-1x ax -<-，即(1)10a x +->， （6分） 此时，应有10,1(1)10,2a a +>⎧⎪⎨+->⎪⎩解得1a >； （7分）当12x <时，321x ax -<-，即(3)10a x -+>， （8分） 此时，应有30,1(3)10,2a a -⎧⎪⎨-+⎪⎩解得13a ． （9分）综上所述，实数a 的取值范围是(1,3]． （10分）。

2021年河北省衡水中学高考数学二调试卷1.已知集合A={(x,y)|2x+y=0}，B={(x,y)|x+my+1=0}.若A∩B=⌀，则实数m=()A. −2B. −12C. 12D. 22.设复数z=(1+i)21−2i，则|z|=()A. √105B. 25C. 2√55D. 433.已知{a n}是公差为3的等差数列.若a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前10项和S10=()A. 165B. 138C. 60D. 304.已知函数f(x)=4cos(2ωx+π6)−2(ω>0)在[0,π]内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是()A. .(32,136] B. [32,136) C. (34,1312] D. [34,1312)5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A. f(x)=ln|x|−cosxB. f(x)=ln|x|−sinxC. f(x)=ln|x|+cosxD. f(x)=ln|x|+sinx6.中国书法历史悠久、源远流长.书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观.谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术.我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为()A. 35B. 25C. 45D. 157.已知等差数列{a n}的公差为2020，若函数f(x)=x−cosx，且f(a1)+f(a2)+⋯+f(a2020)=1010π，记S n为{a n}的前n项和，则S2020的值为()A. 1010πB. 20212π C. 2020π D. 40412π8.如图两个同心球，球心均为点O，其中大球与小球的表面积之比为3：1，线段AB与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中A、C两点在小球上，B、D两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直=()线AD与BC的夹角为θ，则sinθ2A. √66B. √24C. √306D. 2√6339.如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是()A. f(3)=9B. f(1)=f(7)C. 若f(t)≥6，则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)D. 不论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值10.下列四个命题中①设有一个回归方程y=2−3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②命题P：“∃x0∈R，x02−x0−1>0“的否定￢P：“∀x∈R，x2−x−1≤0”；−p；③设随机变量X服从正态分布N(0,1)，若P(X>1)=p，则P(−l<X<0)=12④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有()附：本题可以参考独立性检验临界值表P(K2≥0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k)10．k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.5357.879828A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.下列不等式成立的是()A. 2ln32<32ln2 B. √2ln√3<√3ln√2C. 5ln4<4ln5D. π>elnπ12.函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e−x(x−1)，下列结论正确的有()A. 当x<0时，f(x)=e x(x+1)B. 函数f(x)有且仅有2个零点C. 若m≤e−2，则方程f(x)=m在x>0上有解D. ∀x1，x2∈R，|f(x2)−f(x1)|<2恒成立13.已知(x+2)(ax−1)5的展开式中的常数项为13，则实数a的值为______ ．14.如图，在棱长均为2√3的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为AB中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则AP+PQ的最小值是______ ．15.已知双曲线C：x24−y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，E为C的右顶点，过点F2的直线与C的右支交于A，B两点，设M，N分别为△AF1F2和△BF1F2的内心，则|ME|−|NE|的取值范围为______ ．16.函数f(x)=x2e x2−2lnx−ax2，若a=0，则f(x)在[1,2]的最小值为；当x>0时，f(x)≥1恒成立，则a的取值范围是．17.已知函数f(x)=sin(π−x)cosx−cos2(x+π4)．(1)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间；(2)若对∀x∈{A2+π4,B2+π4,C2+π4}，恒有f(x)+12>0成立，且____，求△ABC面积的最大值．在①△ABC的外接圆直径为4，②a是直线√2x+y+3=0截圆O：x2+y2=4所得的弦长，③√3sinA+cosA=√3这三个条件中，任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边．18.设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，已知a1=1，S n+1−2S n=1(n∈N∗).数列{b n}满足b1=1，b n+1=b n2+1a n+1．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得T n=4−n成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．19.如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB为圆锥底面⊙O的直径，在底面内以线段AO为直径作⊙M，点P为⊙M上异于点A，O的动点．(1)证明：平面SAP⊥平面SOP；(2)当三棱锥S−APO的体积最大时，求二面角A−SP−B的余弦值．20.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，点P在椭圆C上，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，PF1的中点为Q，△OF1Q周长等于√3+√62．(1)求椭圆C的标准方程；(2)W为双曲线D：y2−x24=1上的一个点，由W向抛物线E：x2=4y做切线l1，l2，切点分别为A，B．(ⅰ)证明：直线AB与图x2+y2=1相切；(ⅰ)若直线AB与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN外接圆面积的最大值．21.某陶瓷厂只生产甲、乙两种不同规格的瓷砖，甲种瓷砖的标准规格长宽为600mm×600mm，乙种瓷砖的标准规格长宽为900mm×400mm，根据长期的检测结果，两种规格瓷砖每片的重量x(单位：kg)都服从正态分布N(μ,σ2)，重量在(μ−3σ,μ+3σ)之外的瓷砖为废品，废品销毁不流入市场，其他重量的瓷砖为正品．(1)在该陶瓷厂生产的瓷砖中随机抽取10片进行检测，求至少有1片为废品的概率；(2)监管部门规定瓷砖长宽规格“尺寸误差”的计算方式如下：若瓷砖的实际长宽为amm，bmm，标准长宽为a− mm，b− mm，则“尺寸误差”为|a−a−|+|b+b−|，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“尺寸误差”的范围分别是[0,0.1]，(0.1,0.2]，(0.2,0.4)(正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于0.4mm的瓷砖)，现分别从甲、乙两种产品的正品中随机抽取各100片，分别进行“尺寸误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如下：已知经销商经营甲种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.12，“二级品”的利润率为0.08，“合格品”的利润率为0.02.经销商经营乙种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.10，“二级品”的利润率为0.05，“合格品”的利润率为0.02.视频率为概率．(ⅰ)若经销商在甲、乙两种瓷砖上各投资10万元，X1和X2分别表示投资甲、乙两种瓷砖所获得的利润，求X1和X2的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种瓷砖的利弊；(ⅰ)若经销商在甲、乙两种瓷砖上总投资10万元，则分别在甲、乙两种瓷砖上投资多少万元时，可使得投资所获利润的方差和最小？附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X<μ+ 2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974，0.682710≈0.0220，0.954510≈0.6277，0.997410≈0.9743．22.已知函数f(x)=e ax−x．(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)≥e ax lnx−ax2对x∈(0,e]恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为A ∩B =⌀，所以直线2x +y =0与直线x +my +1=0平行，所以m =12， 故选：C ．利用A ∩B =⌀，所以直线2x +y =0与直线x +my +1=0平行，得出结论．本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z =(1+i)21−2i=1+2i+i 21−2i=2i 1−2i =2i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−4+2i 5=−45+25i ，∴|z|=√(−45)2+(25)2=2√55， 故选：C ．根据复数的基本运算法则进行化简即可． 本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.【答案】A【解析】解：{a n }是公差d 为3的等差数列，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 1a 4=a 22，即a 1(a 1+9)=(a 1+3)2，解得a 1=3，又d =3，可得S 10=10a 1+12×10×9d =30+45×3=165． 故选：A ．设公差d =3，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=4cos(2ωx+π6)−2(ω>0)在[0,π]内有且仅有两个零点，则即cos(2ωx+π6)=12在[0,π]内有且仅有两个解．当x∈[0,π]，则2ωx+π6∈[π6,2ωπ+π6].∴由于cosπ3=cos5π3=cos7π3，∴2ωπ+π6∈[5π3,7π3)，∴ω∈[34,1312)，故选：D．由题意可得cos(2ωx+π6)=12在[0,π]内有且仅有两个解，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由图象可知f(x)不为偶函数，A选项、C选项为偶函数，故A选项、C选项错误，当y=ln|x|+sinx，当x∈(−π2,π2 )，令x1<0，x2>0，且|x1|=|x2|，可得y(x1)<y(x2)，通过观察图图象可知y(x1)>y(x2)，故D选项错误，故选：B．结合偶函数的性质，以及x∈(−π2,π2)时，通过判断函数的大小，即可判断．本题考查了函数的奇偶性，以及三角函数的性质，需要学生一定的数形结合的能力．6.【答案】A【解析】解：从五种书体中任意选两种进行研习的可能结果有C52=10种，则他恰好不选草书体的共有C42=6种，故他恰好不选草书体的概率为P=610=35．故选：A．先求出从五种书体中任意选两种进行研习及恰好不选草书体的事件的结果数，然后结合古典概率公式可求．本题主要考查了古典概率公式，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设{a n}的公差为d，由f(x)=x−cosx，且f(a1)+f(a2)+⋯+f(a2020)=1010π，可得(a1+a2+⋯+a2020)−(cosa1+cosa2+⋯+cosa2020)=1010π，即1010(a1+a2020)−(cosa1+cosa2+⋯+cosa2020)=1010π，①又对1≤i≤1010π.i∈Z，有cosa i+cosa2021−i=cos[2a i+(2021−2i)d2−(2021−2i)d2]+cos[2a i+(2021−2i)d2+(2021−2i)d2]=2cos2a i+(2021−2i)d2cos(2021−2i)d2=2cos a i+a2021−i2cos(2021−2i)d2=2cos a1+a20202cos(2021−2i)d2．设a1+a20202=m，则①即为2020m−[(cosa1+cosa2020)+(cosa2+cosa2019)+⋯+(cosa1010+ cosa1011)]=1010π，即2020m−2cosm⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]=1010π②，设g(x)=2020x−2cosx⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]−1010π，由d=2020，可得g′(x)=2020+2sinx⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]>2020−2020=0，所以g(x)在R上递增，且g(π2)=0，又由②可得g(m)=0，所以m=π2，即a1+a20202=π2，所以S2020=2020(a1+a020)2=1010π．故选：A．设{a n}的公差为d，由等差数列的求和公式和两角和的余弦公式，化简可得2020m−2cosm⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]=1010π，设g(x)=2020x−2cosx⋅[cos2019d2+cos2017d2+⋯+cos d2]−1010π，求得导数，判断单调性，结合等差数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及构造函数，运用导数的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属中档题．首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为1：√3，内切球和外接球的表面积之比为1：3，符合题意中的小球和大球的比例．判断当四面体ABCD体积最大时，AB，CD的位置关系，作出异面直线AD，BC所成的角θ，解直角三角形求得sinθ2．【解答】解：设正方体的边长为2，则其内切球半径为1，外接球的半径为√22+22+222=√3，∴内切球和外接球的表面积之比为1：3，符合题意中的小球和大球的比例，依题意CD，AB最长为√(√3)2−12=√2，AC最长为小球的直径2．∵三角形的面积S=12⋅ab⋅sinC，若a，b为定值，则C=π2时面积取得最大值．画出图象如下图所示，其中A，C分别是所在正方形的中心，O是正方体内切球与外接球的球心，CD//AD1，CD=AD1，CB1//AB，CB1=AB．∵V A−BCD=13V ABD1−CB1D=13⋅S△ABD1⋅AC，故此时四面体A−BCD的体积最大．∵CE//AB，CE=AB，∴四边形ABCE为平行四边形，∴BC//AE，∴∠DAE是异面直线BC和AD所成角，∴∠DAE=θ，∵AD=AE，设G是DE的中点，则AG⊥DE，∴θ2=∠GAE，∴sinθ2=GEAE=√22+12+12=√6=√66．故选：A．9.【答案】BD【解析】解：设f(t)=Asin(ωx+φ)+B，依题意可知f(t)的最大值为9，最小为−3，∴A+B=9，且−A+B=−3，可得A=6，B=3；∵OP每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6，得f(t)=6sin(π6t+φ)+3，当t=0时，f(t)=0，得sinφ=−12，即φ=−π6，故所求的函数解析式为f(t)=6sin(π6t−π6)+3，对于A，f(3)=6sin(π6×3−π6)+3=3√3+3，即A错误；对于B，f(1)=6sin(π6×1−π6)+3=3，f(7)=6sin(π6×7−π6)+3=3，即B正确；对于C，因为f(t)≥6，所以6sin(π6t−π6)+3≥6，即sin(π6t−π6)≥12，所以π6t−π6∈[π6+2kπ,5π6+2kπ]，解得t∈[2+12k,6+12k]，k∈N，即C错误；对于D，f(t)+f(t+4)+f(t+8)=6sin(π6t−π6)+3+6sin[π6(t+4)−π6]+3+6sin[π6(t+8)−π6]+3=6sin(π6t−π6)+6sin(π6t+π2)+6sin(π6t+7π6)+9=6[sin(π6t−π6)+cosπ6t−sin(π6t+π6)]+9，因为sin(π6t−π6)+cosπ6t−sin(π6t+π6)=(sinπ6t⋅cosπ6−cosπ6t⋅sinπ6)+cosπ6t−(sinπ6t⋅cosπ6+cosπ6t⋅sinπ6)=0，所以f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，即D正确．故选：BD．设f(t)=Asin(ωx+φ)+B，根据f(t)的最大值和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当t=0时，f(t)=0，求得φ，因此函数的解析式为f(t)=6sin(π6t−π6)+3.由此，再逐一判断每个选项即可．本题主要考查了三角函数在实际生活中的应用，涉及求三角函数解析式、诱导公式、正弦的两角和差公式等知识，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：①设有一个回归方程y=2−3x，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，故①不正确；②命题P：“∃x0∈R，x02−x0−1>0“的否定￢P：“∀x∈R，x2−x−1≤0”，正确；③设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则对称轴为x=0，∵P(X>1)=p，∴P(−l<X<0)=12−p，正确；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679>6.535，∴有99%的把握确认这两个变量间有关系，正确．故选：C．对选项逐个进行判断，即可得出结论．本题考查回归方程、命题的否定，考查正态分布、独立性检验知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：设f(x)=lnxx(x>0)，则f′(x)=1−lnxx2，所以当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为32<3<e，所以f(32)<f(2)，即2ln32<32ln2，故A正确；因为√2<√3<e，所以f(√2)<f(√3)，即√2ln√3>√3ln√2，故选项B不正确；因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln4>4ln5，故选项C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>elnπ，故选项D正确．故选：AD．构造f(x)=lnxx (x>0)，求导得f′(x)=1−lnxx2，判断函数的单调性，然后逐个判断即可．本题考查对数函数的性质，属于基础题．12.【答案】AD【解析】解：当x>0时，f(x)=e−x(x−1)，f′(x)=−e−x(x−1)+e−x=e−x(2−x)，可得0<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增，x>2时，f′(x)<0，f(x)递减，可得x=2处f(x)取得极大值e−2，x→+∞，f(x)→0，画出y=f(x)在x>0的图象，由奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)在x<0的图象，且f(0)=0，可得y=f(x)在R上的图象．当x<0时，−x>0，f(x)=−f(−x)=−e x(−x−1)=e x(x+1)，故A正确；由图象可得f(x)与x轴有三个交点，故B错误；由x>0时，可得f(x)∈(−1,e−2]，可得方程f(x)=m在x>0上有解，则−1<m≤e−2，故C错误；由图象可知，f(x)∈(−1,1)，则∀x1，x2∈R，|f(x2)−f(x1)|<1−(−1)=2，故D正确．故选：AD．求得x>0时，f(x)的导数，可得单调性和极值，画出x>0的图象，由奇函数的特点作出y=f(x)在R上的图象，由x<0，−x>0，运用奇函数的定义可得x<0时f(x)的解析式，可判断A；由图象与x轴的交点个数可判断B；由x<0时f(x)的范围，可判断C；由f(x)的值域可判断D．本题考查函数的图象和性质，主要是奇偶性和单调性、对称性的运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵(x+2)(ax −1)5=(x+2)[(ax)5−5(ax)4+10(ax)3−10(ax)2+5⋅ax−1),故它的展开式中的常数项为5a−2=13，则实数a=3，故答案为：3．把(ax −1)5按照二项式定理展开，可得(x+2)(ax−1)5的展开式中常数项，再根据(x+2)(ax−1)5的展开式中的常数项为13，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】√3+√112【解析】解：由题意，平面CDE⊥平面ABC，又平面CDE∩平面ABC=CE，过M作MG⊥CE，则MG⊥平面CDE，连接DG，则DG为DM在平面CDE上的射影，要使AP+PQ最小，则PQ⊥DG，沿DM把平面ADM展开，使得平面ADM与平面DMG重合，则AP+PQ的最小值为A到DG的距离．MG=12AE=√32，DM=√(2√3)2−(√3)2=3，则sin∠MDG=√36，∴cos∠MDG=√336，∠ADM=30°，∴sin∠ADG=sin(∠MDG+30°)=sin∠MDG⋅cos30°+cos∠MDG⋅sin30°=√36×√32+√336×12=3+√3312．又AD=2√3，∴AQ=2√3×3+√3312=√3+√112．故答案为：√3+√112．由题意，平面CDE⊥平面ABC，找出DM在平面CDE上的射影，再把平面DMA沿DM把平面ADM展开，使得平面ADM与平面DMG重合，则AP+PQ的最小值为A到DG的距离，然后求解三角形得答案．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．15.【答案】(−4√33,4√3 3)【解析】解：设直线AF1，AF2，F1F2与△AF1F2的内切圆M分别相切于点H，I，J，则|AH|=|AI|，|F1H|=|F1J|，|F2J|=|F2I|，因为|AF1|−|AF2|=4，所以(|AH|+|F1H|)−(|AI|+|F2I|)=4，即|F1H|−|F2I|=4，即|F1J|−|F2J|=4，设点M的横坐标为x0，则点J的横坐标为x0，因为F1(−4,0)，F2(4,0)，所有(x0+4)−(4−x0)=4，解得x0=2，所以点J与点E重合，且EM⊥x轴，同理，可得EN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，当θ=π2时，|ME|−|NE|=0，当θ≠π2时，∠EF2M=π−θ2，∠EF2N=θ2，由题可知|F1E|=2，所以|ME|−|NE|=2tanπ−θ2−2tanθ2=2(cosθ2sinθ2−sinθ2cosθ2)=4cosθsinθ=4tanθ，由题意知a=2，c=4，ba=√3，所以π3<θ<2π3，所以tanθ∈(−∞,−√3)∪(√3,+∞)，所以4tanθ∈(−4√33,0)∪(0,4√33)，综上可知，|ME|−|NE|的取值范围为(−4√33,4√33)，故答案为：(−4√33,4√3 3).由题意得|AH|=|AI|，|F1H|=|F1J|，|F2J|=|F2I|，再由双曲线定义得|F1H|−|F2I|=2a，即|F1J|−|F2J|= 2a，设J的横坐标，解出横坐标，设直线AB的倾斜角，再求出|ME|−|NE|的取值范围．本题考查直线与双曲线的位置关系，三角形的内切圆，解题中需要理清思路，属于中档题．16.【答案】e(−∞,1]【解析】【分析】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查发现问题解决问题的能力．求出函数的解析式，求解函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最值，利用函数的最值判断a 的范围即可．【解答】解：当a=0时，∵f(x)=x2e x2−2lnx，∴f′(x)=2xe x2+2x⋅x2e x2−2x．当x>1时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在[1,2]上单调递增．∴f(x)在[1,2]上最小值为f(1)=e．又x>0时，f(x)≥1恒成立，令g(x)=e x−x−1，x∈R，可得g′(x)=e x−1，x<0时，g′(x)<0，x>0，g′(x)>0，所以x=0时，g(x)取得最小值：0，∴e x≥x+1，∴e 2lnx+x 2≥2lnx +x 2+1；∴f(x)=x 2e x 2−2lnx −ax 2=e 2lnx+x 2−2lnx −ax 2≥2lnx +x 2+1−2lnx −ax 2=(1−a)x 2+1≥1， ∴a ≤1．故空1答案为：e ；空2答案为(−∞,1]．17.【答案】解：(1)f(x)=sinxcosx −1+cos(2x+π2)2=sin2x −12，令−π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π4+kπ≤x ≤π4+kπ，k ∈Z ，x ∈[0,π]， 所以f(x)的单调递增区间为[0,π4]，[3π4,π]． (2)①因为x ∈{A2+π4,B2+π4,C2+π4}，所以2x ∈(π2,3π2)，由f(x)+12>0得sin2x >0， 所以0<2x <π，所以0<A +π2<π，所以0<A <π2， 同理0<B <π2，0<C <π2，即△ABC 为锐角三角形． ②∵圆心到直线的距离d =√2+1=√3， 故弦长a =2√4−3=2．③∵由√3sina +cosA =√3得sin(A +π6)=√32，又A 为锐角，所以A =π6．选择①②，2R =4，a =2，2RsinA =a ，得4sinA =2，sinA =12； 选择①③，2R =4，A =π6，得a =2RsinA =2； 选择②③，即a =2，A =π6．由余弦定理得b 2+c 2−2bccos π6=a 2=4， 所以b 2+c 2−√3bc =4≥(2−√3)bc ，所以bc 最大值为2−√3=4(2+√3)，当且仅当b =c 时取等号， 所以△ABC 的面积为S =12bcsinA =14bc ，最大值为2+√3．【解析】(1)化简f(x)=sin2x −12，令−π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ，k ∈Z ，即可求得f(x)的单调递增区间； (2)①由f(x)+12>0，得0<2x <π，即可得0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，即△ABC 为锐角三角形； ②利用弦心距、半径、弦长的关系求解；③由√3sina +cosA =√3求得A =π6.选择①②，选择①③，选择②③，分别求解最大值．． 本题考查了三角恒等变形、三角函数的性质、解三角形，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由S n+1−2S n =1，得S n −2S n−1=1(n ≥2)，两式相减，得a n+1−2a n =0，即a n+1a n=2(n ≥2)．因为a 1=1，由(a 1+a 2)−2a 1=1，得a 2=2，所以a2a 1=2，所以a n+1a n=2对任意n ∈N ∗都成立，所以数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2．故a n =2n−1，由b n+1=b n 2+1an+1，得b n+1=b n 2+12n，即2n b n+1=2n−1b n +1，即2n b n+1−2n−1b n =1，因为b 1=1，所以数列{2n−1b n }是首项为1，公差为1的等差数列． 所以2n−1b n =1+(n −1)×1=n ，所以b n =n2n−1． (2)T n =1×(12)0+2×(12)1+3×(12)2+⋯+n ×(12)n−1，所以12T n =1×(12)1+2×(12)2+3×(12)3+⋯+n ×(12)n ， 两式相减， 得12T n =(12)0+(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1−n ×(12)n=1−(12)n1−12−n ×(12)n =2−(n +2)×(12)n ，所以T n =4−(2n +4)×(12)n ．由T n =4−n ，得4−(2n +4)×(12)′′=4−n ， 即n+2n=2n−1显然当n =2时，上式成立， 设f(n)=n+2n−2n−1(n ∈N ∗)，即f(2)=0．因为f(n +1)−f(n)=(n+3n+1−2n )−(n+2n−2n−1)=−[2n(n+1)+2n−1]<0，所以数列{f(n)}递减，所以f(n)=0只有唯一解n =2，所以存在唯一正整数n =2，使得T n =4−n 成立．【解析】(1)由S n+1−2S n =1，得S n −2S n−1=1(n ≥2)，两式相减，利用等比数列的通项公式即可得出a n .把a n+1代入b n+1=b n 2+1an+1，转化为等差数列，利用通项公式即可得出．(2)利用错位相减法即可得出T n ，再利用数列的单调性即可得出n ．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：∵SO 垂直于圆锥的底面，∴SO ⊥AP ，∵AO 为⊙M 的直径，∴PO ⊥AP ，∴AP ⊥平面SOP ， ∵AP ⊂平面SAP ，∴平面SAP ⊥平面SOP ． (2)解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，∴圆锥的侧面积S 侧=12×2πrl =πrl ，底面积S 底=πr 2，∴依题意2πr 2=πrl ，∴l =2r ，取r =2，l =4，则在△ABS 中，AB =AS =BS =4，∴SO =√AS 2−AO 2=2√3，如图，在底面作⊙O 的半径OC ，使得OA ⊥OC ， ∵SO ⊥OA ，SO ⊥OC ，∴以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(2,0，0)，B(−2,0，0)，S(0,0，2√3)，在三棱锥S −APO 中，∵SO =2√3，∴△AOP 面积最大时，三棱锥S −APO 的体积最大，此时MP ⊥OA ， ∵⊙M 的半径为1，∴P(1,1，0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1，0)，取a =1，得SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−2√3)， 设平面SBP 的法向量n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b =0n ⃗ ⋅SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −2√3c =0，取a =1，得n⃗ =(1,1，√33)， 设平面SBP 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +y =0m ⃗⃗⃗ ⋅SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −2√3z =0，取x =−1，得m⃗⃗⃗ =(−1,3，√33)， 设二面角A −SP −B 的平面角为θ，由图得θ为钝角， ∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=−|−1+3+13|√73⋅√313=−√21731，∴二面角A −SP −B 的余弦值−√21731．【解析】(1)推导出SO ⊥AP ，PO ⊥AP ，从而AP ⊥平面SOP ，由此能证明平面SAP ⊥平面SOP ． (2)设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，推导出l =2r ，OA ⊥OC ，SO ⊥OA ，SO ⊥OC ，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −SP −B 的余弦值． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设|F 1F 2|=2c ，因为Q 为PF 1的中点，所以△OF 1Q 的周长为|F 1Q|+|OQ|+|QF 1|=c +|F 2P|+|F 1P|2=a +c ，所以{a +c =√3+√62c a =√22，解得a =√3，b =c =√62，所以椭圆C 的方程为x 23+2y 23=1．(2)(ⅰ)证明：由x 2=4y 得y =x 24，求导得y′=x2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则直线l 1：y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 124，同理：l 2=x 22x −x 224，设W(x 0,y 0)，因为W 为l 1，l 2的交点， 所以x 0=x 1+x 22，y 0=x 1x 24，由题知直线AB 的斜率存在，设它的方程为y =kx +m ， 将y =kx +m 代入x 2=4y 得：x 2−4kx −4m =0， 所以x 0=2k ，y 0=−m ，因为y 02−x 024=1，所以m 2=1+k 2，所以圆心O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=1=r ，所以直线AB 与圆O ：x 2+y 2=1相切． (ⅰ)将y =kx +m 与x 23+2y 23=1联立得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−3=0，由韦达定理可得x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−31+2k 2，因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2，=3m 2−3k 2−31+2k 2=0，所以OM ⊥ON ， 又因为|MN|=2√(1+k2)(6k 2−2m 2+3)1+2k 2=2|m|√4m 2+32m 2+1，方法一：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0， 解得√32<m 或m <−√5+12，所以|MN|=√2⋅√2m 2(4m 2−3)2m 2−1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m 2−1，所以0<t <2或0<t <√5−2， |MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)=√2⋅√−(t −12)2+94，当t =12时，即m =√62时，|MN|有最大值，且最大值3√22，所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22，所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．方法二：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0， 解得√32<m 或m <−√5+12，|MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)≤√2⋅(2m 2+4m 2−3)2×(2m 2−1)=3√22， 当且仅当2m 2=4m 2−3，即m =√62(m =−√62舍)，所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22，所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．【解析】(1)根据题意可得{a +c =√3+√62c a =√22，解得a ，c ，再由a 2=b 2+c 2，解得b ，进而可得椭圆的方程．(2)(ⅰ)根据题意可得y =x 24，求导得y′=x2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线l 1，l 2的方程，联立求出l 1与l 2交点W(x 0,y 0)的坐标，有点W 在双曲线上，推出m 2=1+k 2，进而有点到直线的距离公式可得圆心O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=1=r ，即可得出答案．(ⅰ)联立直线ABy =kx +m 与x 23椭圆的方程得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，计算得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，推出OM ⊥ON ，写出弦长|MN|=2|m|√4m 2+32m 2+1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m2−1，0<t<2或0<t<√5−2，再由配方法可得|MN|的最大值．方法二：同方法一解得m的取值范围，再由基本不等式可得|MN|的最大值，进而求出△OMN外接圆面积的最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由正态分布可知，抽取的1片瓷砖的质量在(μ−3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，则这10片质量全部在(μ−3σ,μ+3σ)之内(即没有废品)的概率为0.997410≈0.9743，则这10片中至少有1片是废品的概率为1−0.9743=0.0257．(2)(i)由利润率和投资额得X1可以为1.2万元、0.8万元和0.2万元，X2可以为1万元、0.5万元和0.2万元，由直方图可得对应的频率分别为0.3，0.5，0.2和0.2，0.8，0．所以随机变量X1的分布列：E(X1)=1.2×0.3+0.8×0.5+0.2×0.2=0.8万元，D(X1)=(1.2−0.8)2×0.3+(0.8−0.8)2×0.5+ (0.2−0.8)2×0.2=0.12．随机变量X2的分布列：E(X2)=1×0.2+0.5×0.8+0.2×0=0.6万元，D(X2)=(1−0.6)2×0.2+(0.5−0.6)2×0.8=0.04，经销商经销甲瓷砖的平均利润0.8万元大于经销乙瓷砖的平均利润0.6万元，但经销甲瓷砖的方差0.12也远大于经销乙瓷砖的方差0.04，所以经销甲瓷砖的平均利润大，相对不稳定，而经销乙瓷砖的平均利润小，但相对稳定．(ii)设经销商在经销甲瓷砖上投资x万元，则在经销乙瓷砖上投资(10−x)万元，经销甲瓷砖的方差与经销乙瓷砖的方差的和f(x)=D(x10X1)+D(10−x10X2)=(x10)2D(X1)+(10−x10)2D(X2)=0.04 100[3x2+(10−x)2]=0.04100⋅(4x2−20x+100)，当x=−−202×4=2.5时，f(x)取最小值，故在经销甲瓷砖上投资2.5万元，经销乙瓷砖上投资7.5万元时，可使得投资所获利润的方差和最小．【解析】(1)利用正态分布，抽取的1片瓷砖的质量在(μ−3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，求出这10片质量全部在(μ−3σ,μ+3σ)之内(即没有废品)的概率，然后求解这10片中至少有1片是废品的概率．(2)(i)由利润率和投资额得X 1可以为1.2万元、0.8万元和0.2万元，X 2可以为1万元、0.5万元和0.2万元，求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差，推出经销商经销甲瓷砖的平均利润0.8万元大于经销乙瓷砖的平均利润0.6万元，但经销甲瓷砖的方差0.12也远大于经销乙瓷砖的方差0.04，所以经销甲瓷砖的平均利润大，相对不稳定，而经销乙瓷砖的平均利润小，但相对稳定．(ii)设经销商在经销甲瓷砖上投资x 万元，则在经销乙瓷砖上投资(10−x)万元，然后求解经销甲瓷砖的方差与经销乙瓷砖的方差的和，利用二次函数的性质，求解最值即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望与方差的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=ae x −1，则f′(0)=a −1=1，即a =2．令f′(x)=0，得x =−ln22， 当x <−ln22时，f′(x)<0；当x >−ln22时，f′(x)>0． 故f(x)的单调递减区间为(−∞,−ln22)，单调递增区间为(−ln22,+∞)．(2)由f(x)≥e ax lnx −ax 2对x ∈(0,e]恒成立，得ax 2−x ≥e ax (lnx −1)，则ax−1e ax ≥lnx−1x ，即lne ax −1e ax ≥lnx−1x ．设函数g(x)=lnx−1x ，则lne ax −1e ax ≥lnx−1x 等价于g(e ax )≥g(x)． 因为g′(x)=2−lnxx 2，所以当x ∈(e 2,+∞)时，g′(x)>0，则g(x)在(0,e 2]上单调递增，所以g(x)≤g(e 2)=1e 2，当x ∈(e,+∞)时，g(x)=lnx−1x >0．所以当x ∈(0,e]时，g(e ax )≥g(x)等价于当x ∈(0,e]时，g(e ax )≥g(x)，e ax ≥x ，即a ≥lnx x ． 设函数ℎ(x)=lnx x ，x ∈(0,e]，则ℎ′(x)=1−lnx x 2≥0， 所以ℎ(x)max =ℎ(e)=1e ，所以a ≥1e ，故a 的取值范围为[1e ,+∞).【解析】(1)由已知结合导数几何意义可求a ，然后结合导数与单调性关系即可求解；(2)由已知不等式分离得ax−1e ax ≥lnx−1x ，即lne ax −1e ax ≥lnx−1x .结合已知不等式构造函数g(x)=lnx−1x ，原不等式等价于g(e ax)≥g(x)，然后转化为求解函数最值，结合导数可求．本题主要考查了导数的几何意义，导数与单调性关系及由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用．。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合M ={x|x 2=x}，N ={x|lgx ≤0}，则M ∪N =（ ） A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. (−∞,1] 【答案】A【解析】试题分析：M ={x|x 2=x}={0,1},N ={x|lgx ≤0}={x|0<x ≤1},所以，故选A.考点：集合的运算.2. 设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A. 若z 是纯虚数，则z 2<0 B. 若z 是虚数，则z 2≥0 C. 若z 2≥0，则z 是实数 D. 若z 2<0，则z 是虚数 【答案】B【解析】因为若z =ai(a ≠0)，则z 2=−a 2<0，答案A 正确；但当z =a +bi(b ≠0)时，则z 2=a 2−b 2+2abi(b ≠0)是虚数，不能比较大小，当答案B 是错误的；若z 2≥0，则b =0，即z 是实数，答案C 是正确的；若z 2<0，则z 不是实数，故是虚数，即答案D 也是正确的。

应选答案B 。

3. 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A. 13B. 12C. 23D. 34【答案】C【解析】试题分析：从这4张卡片中随机抽取2张，共有6种不同取法，其中取出的2张卡片上的数字之和为奇数有4种不同取法，故所求概率为46=23，选C.考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 4. 执行下面的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 8B. 18C. 26D. 80 【答案】C5. 将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，tmin 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y =ae nt ，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin 甲桶中的水只有a4升，则m 的值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 5 【答案】D【解析】由题设可得方程组{2ae 5n =a ae (m+5)n =a 4，由2ae 5n =a ⇒e 5n =12，代入ae (m+5)n =14a ⇒e mn =12，联立两个等式可得{e mn =12e5n=12，由此解得m=5，应选答案D 。