MathStudio43 卡西尼卵形线

卡西尼卵形线二级结论概述卡西尼卵形线是指由卡西尼椭圆函数描述的一个曲线，其形状类似于椭圆，却有一端延伸得更加细长，如同一个鸟巢的形状。

该曲线的特殊性质引起了科学家的极大兴趣，并且在多个研究领域中发现了相关的二级结论。

本文将对卡西尼卵形线的二级结论进行全面、详细、完整的探讨。

卡西尼椭圆曲线的定义卡西尼椭圆曲线的数学表达式为：(x^2 + y^2)^2 = a^2 * (x^2 - y^2)其中，(x, y)为曲线上任意一点的坐标，a为常数。

卡西尼椭圆曲线具有一个特殊的性质，即曲线上任意一点到两个焦点的距离的乘积等于常数的平方：PF1 * PF2 = a^2卡西尼卵形线的性质卡西尼卵形线具有以下几个重要性质：1.中点切线平行于传方向曲线：卡西尼卵形线的中点切线与焦线的夹角等于传方向曲线与焦线的夹角。

2.对角线交点处切线垂直于传方向曲线：卡西尼卵形线的对角线交点处的切线与传方向曲线垂直。

3.曲线外端点处切线过焦点：卡西尼卵形线的曲线外端点处的切线经过焦点，即焦点是曲线上所有切线的一个公共点。

卡西尼卵形线的二级结论二级结论一：焦点与极限在卡西尼卵形线上，焦点有以下重要性质：1.焦点是曲线的对称中心：任意取曲线上一点P和其对称点P’，则P和P’到焦点的距离之积相等。

2.焦点与曲线的对称轴上有垂直关系：曲线的对称轴与曲线上任意一点到焦点的距离的乘积为常数。

3.曲线上离焦点越远的点，其到焦点的距离趋近于曲线的半径：即当P到焦点的距离无限增大时，这个距离与曲线的半径趋于相等。

二级结论二：卡西尼卵形线与力学在力学领域中，卡西尼卵形线也有一些相关的二级结论：1.卡西尼卵形线的轨迹：如果一个质点被两个力限制在卡西尼卵形线上，那么该质点的轨迹将是卡西尼卵形线。

2.卡西尼卵形线的稳定性：在某些力学系统中，卡西尼卵形线是一个稳定的平衡位置，当质点偏离卡西尼卵形线时，力将会将其拉回。

3.卡西尼卵形线与天体运动的关系：天体的运动轨迹中存在一类特殊情况，即当天体被两个引力中心所限制时，其运动轨迹将形成卡西尼卵形线。

卡西尼卵形线
卡西尼卵形线
维基百科，自由的百科全书
跳转到：导航, 搜索
卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)
卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，是环面曲线的一种。

也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：
其中b是常数。

q
和q2称为卵形线的焦点。

1
假设q1是点(a,0)，q2是点(-a,0)，则曲线的方程为：
或
以及
极坐标系中的方程为：
卵形线的形状与比值b/a有关。

如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。

如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。

如果b/a等于1，则是伯努利双扭线。

卡西尼卵形线轨迹方程
卡西尼卵形线，又称为卡西尼曲线，是由法国数学家卡西尼于1745年发现的一种具有特殊几何形状的曲线。

这条曲线的轨迹方程是一个著名的数学问题，它可以用来描述两个定点之间的运动规律，具有许多有趣的数学性质。

在数学上，卡西尼卵形线的轨迹方程可以用参数方程表示。

设两个定点为A和B，它们分别位于原点的左右侧，且到原点的距离为a。

如果点P在卡西尼卵形线上运动，且点P到点A和点B的距离之积等于常数k的平方，那么点P的轨迹就是卡西尼卵形线。

卡西尼卵形线的数学性质非常有趣。

首先，卡西尼卵形线是一个对称图形，关于原点对称。

其次，当常数k等于零时，卡西尼卵形线就是一个普通的圆。

当k增大时，卡西尼卵形线的形状会发生变化，变得更加扁平，直到最终变成一个双点曲线。

除了数学性质之外，卡西尼卵形线还有许多实际应用。

在天文学中，卡西尼曲线被用来描述行星围绕太阳的轨道。

在工程学领域，卡西尼卵形线被应用于光学器件的设计和分析。

在生物学中，卡西尼卵形线被用来研究生物体的运动规律。

总的来说，卡西尼卵形线是一个非常有趣并且具有重要意义的数学问题。

通过研究卡西尼卵形线的轨迹方程，我们可以更好地理解数学中的几何形状和运动规律，同时也可以将其应用于各个领域，为
人类的发展和进步做出贡献。

希望未来能有更多的数学家和科研工作者投入到卡西尼卵形线的研究中，探索出更多有趣的数学性质和实际应用，让数学这门学科发挥更大的作用。

卡西尼卵形线
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
卡西尼卵形线
维基百科，自由的百科全书
跳转到： ,
卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)
卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的，是的一种。

也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：
其中b是。

q1和q2称为卵形线的。

假设q1是点(a,0)，q2是点(-a,0)，则曲线的方程为：
或
以及
中的方程为：
卵形线的形状与比值b/a有关。

如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。

如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。

如果b/a等于1，则是。

到两个定点距离积为定值的轨迹----卡西尼卵形线的几何画板作法常州市第二中学 季传军1.问题的提出一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：①动点P 到两定点12,F F 距离和．为定值2a ，即12122(2)PF PF a a F F +=>的轨迹是椭圆；②动点P 到两定点12,F F 距离差．的绝对值为定值2a ，即1212||2(2)PF PF a a F F -=<的轨迹是双曲线；③动点P 到两定点12,F F 距离商．为定值k ，即12(1)PF k k PF =≠的轨迹是圆。

课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积．为定值的点的轨迹是什么呢课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么这下我只有“被迫”去研究一下了。

2.问题学习研究过程我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢我想到了几何画板。

（1） （2） （3） （4） 问题：动点P 到两定点12,F F 的距离积为定值k ，即12PF PF k ⋅=，122F F c =，试讨论点P 的轨迹。

r 2=kr 1=c = 2.20 2.30厘米k = 5.29r 1 = 2.30厘米r 2=r 1=3.48厘米r 1 = 2.78厘米r 2=kr 1=c = 1.40 2.25厘米k = 5.19r 1 = 2.30厘米1作图思路：①首先作可变线段用来控制两焦点12,F F 的距离（如图通过拖动C 来改变12,F F 的距离，下同）；②作可变线段用K 来控制k 的值③作可变线段1r 用，以1F 为圆心1r 为半径作圆1F ，计算1kr 并记为2r ，以2F 为圆心2r 为半径作圆2F ，设圆1F ，圆2F 的交点为P ，显然1212PF PF r r k ⋅=⋅=④选中点1,R P 构造轨迹曲线。

卡西尼卵形线面积最大值卡西尼卵形线，这个名字听起来就像是从某个科幻电影里走出来的角色。

它可是数学界的小明星！说起卡西尼卵形线，不得不提的就是它的那种优雅和神秘，仿佛在讲述着宇宙的秘密。

简单来说，卡西尼卵形线是一种特殊的曲线，它的魅力在于它的面积最大值。

在几何学中，很多时候我们都想知道，怎么才能让某个形状变得更大，卡西尼卵形线就是一个很好的例子。

想象一下，像个小孩子一样，抓着一只气球，气球越大，越让人开心，不是吗？所以，面积的最大化就像是那只胖乎乎的气球，充满了无限可能。

咱们先来聊聊卡西尼卵形线的构成。

它其实是由两个焦点决定的，听起来是不是有点复杂？别担心，简单来说，就是你想象两个小点，然后围绕着这两个点形成的那条曲线。

这条曲线的形状就像是一个微微扭动的橄榄，既有个性，又不失温柔。

这条线可以用一个方程来表示，虽然方程看起来有些吓人，但它其实是在告诉我们，如何找到那最完美的形状，让面积达到最大值。

这就像是在寻找一块完美的蛋糕，大家都想要那一大块，谁不想尝尝呢？在这个过程中，我们不得不提到一个很有趣的概念，就是极值。

这就是数学中的一种“竞争”，谁能更大，谁就赢。

就像在比赛中，选手们为了夺冠而拼尽全力。

在卡西尼卵形线的世界里，我们可以通过调整焦点之间的距离，来影响面积的大小。

焦点离得越近，曲线就越“胖”，面积也就越大；反之，焦点远了，曲线就瘦了，面积也缩水了。

就像你跟朋友一起吃饭，点了很多菜，大家一起分享，那种感觉简直太美妙了。

探索卡西尼卵形线的最大面积，不只是单纯的数学问题。

这就像人生中的许多事情，追求最大化的过程中，我们会发现许多小乐趣。

就在那一个小细节里，就能找到让人会心一笑的瞬间。

比如，在学习的过程中，我们可能会碰到很多困难，就像在攀登一座高山，可能会跌倒、会气馁。

但只要坚持，最终站在山顶的那一刻，俯瞰风景，那种成就感真的是无与伦比的。

说到这里，大家可能会好奇，这个卡西尼卵形线在实际生活中有什么用呢？虽然它在数学上看起来是个抽象的概念，但它的应用可广泛得很！在物理学、天文学，甚至工程设计中，都能见到它的身影。

卡西尼卵形线定义：到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线 例：设两定点为12,F F ，且122F F =，动点P 满足12PF PF λ=（0λ≥且为定值） 取直线12F F 作为x 轴，12F F 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)P x y λ=整理得4224222(1)210y x y x x λ+++-+-=221y x =- （211x λλ-≤≤+）对于常数λ≥0当λ=0时，图像变为两个点1(1,0)F -，2(1,0)F当01λ<<时，图像分为左右两支封闭曲线，随着λ的减小而分别向点12,F F 收缩 当1λ=时，图像呈8字形交叉，称为双纽线当12λ<<时，图像为中部凹陷的光滑曲线当2λ=时，图像中部接近水平当2λ>时，图像为光滑卵形封闭曲线[例题] 平面内一动点()y x P ,到两定点()()0,1,0,121F F -的距离之积等于1，（1）求动点()y x P ,的轨迹C 方程，用()x f y =2形式表示；（2）研究轨迹C 的性质（请直接写出答案）；（3）求21F PF ∆周长的取值范围.解:（1）121=⋅PF PF ,列式：()()1112222=+-⋅++y x y x化简114222--+=x x y（2）性质：对称性：关于原点对称 ，关于x 轴对称，关于y 轴对称 顶点：()0,0，()0,2± x 的范围：22≤≤-x ， y 的范围：2121≤≤-y （3）2111212121++=++=∆PF PF F F PF PF C F PF ()x x y x PF 214122221++=++=，()()2,00,2 -∈x ()()12,11,121+-∈∴ PF ()222,4212121+∈++=∴∆F F PF PF C F PF。

卡西尼卵形线的标准方程及简单几何性质我们知道，平面内到定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做椭圆；平面内到定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数（大于0且小于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做双曲线.一个自然的问题平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹又是什么呢？一、卡西尼卵形线及其标准方程一般地，我们把平面内与两个定点F 1,F 2的距离之积等于常数（大于0）的点的轨迹叫做卡西尼卵形线（它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的）.这两个定点叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距.43216543216543214321OxyF 1F 2取过两焦点F 1,F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy ,设M (x ,y )是卡西尼卵形线上任意一点，卡西尼卵形线的焦距为2c (c >0),那么，焦点F 1,F 2的坐标分别为(-c ,0),(c ,0),又设|MF 1|∙|MF 2|=a 2（a 为大于0的常数）.由卡西尼卵形线的定义，卡西尼卵形线就是下列点的集合：P ={M ||MF 1|∙|MF 2|=a 2,a >0},因为|MF 1|=(x +c )2+y 2,|MF 2|=(x -c )2+y 2,所以(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,两边平方，化简[(x +c )2+y 2]∙[(x -c )2+y 2]=a 4,(x +c )2(x -c )2+y 2[(x +c )2+(x -c )2]+y 4=a 4,(x 2-c 2)2+y 2(2x 2+2c 2)+y 4=a 4,x 4+y 4+2x 2y 2-2c 2x 2+2c 2y 2=a 4-c 4,(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,①我们称方程①为卡西尼卵形线的标准方程，它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F 1(-c ,0),F 2(c ,0)的卡西尼卵形线.如果焦点F 1,F 2在y 轴上，且F 1,F 2的坐标分别为F 1(0,-c ),F 2(0,c ),那么卡西尼卵形线的方程为(x 2+y 2)2-2c 2(y 2-x 2)=a 4-c 4.这个方程也是卡西尼卵形线的标准方程.二、卡西尼卵形线的简单几何性质下面用卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4来研究卡西尼卵形线的几何性质.1.范围将方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4化为关于y2的一元二次方程得y4+2(x2+c2)y2+(x2-c2)2-a4=0,舍去负根，解得y2=4c2x2+a4-x2-c2,若y有意义，则4c2x2+a4-x2-c2≥0,化简得(x2-c2)2≤a4,解得c2-a2≤x2≤c2+a2.或者，因为a4=[(x+c)2+y2]∙[(x-c)2+y2]≥(x+c)2(x-c)2=(x2-c2),（当且仅当y=0时等号成立），所以-a2≤x2-c2≤a2,即c2-a2≤x2≤c2+a2.（1）当a≥c时，有c2-a2≤0,故0≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,c2+a2];当a<c时，有c2-a2>0,故c2-a2≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,-c2-a2]∪[c2-a2, c2+a2].（2）由方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4得y2=4c2x2+a4-x2-c2,令t=4c2x2+a4,(t≥a2),则x2=t2-a4 4c2,所以y2=t-t2-a44c2-c2=-t2c-c2+a44c2≤a44c2,当且仅当t=2c2,即x2=4c4-a44c2时等号成立.由于x2≥0,须有4c4-a4≥0,即0<a≤2c,此时|y|max=a2 2c;当a>2c时，t>2c2,即t2c>c,不难看出此时若要使y2取得最大值，则要让t的值尽可能地小，又由t≥a2可知y2≤-a22c-c2+a44c2=a2-c2,当且仅当t=a2,即x=0时等号成立，此时|y|max=a2-c2.2.对称性在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，以-y代y,方程不变，这说明当点P(x, y)在卡西尼卵形线上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于x轴对称.同理，以-x代x,方程也不变，这说明如果点P(x,y)在卡西尼卵形线上，那么它关于y轴的对称点P2(-x,y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于y轴对称.以-x代x,-y代y,方程也不变，这说明当点P(x,y)在卡西尼卵形线上时，它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于原点对称.综上，卡西尼卵形线关于x轴，y轴是对称的，这时，坐标轴是卡西尼卵形线的对称轴，原点是卡西尼卵形线的对称中心，卡西尼卵形线的对称中心叫做卡西尼卵形线的中心.3.顶点在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，令x=0,得y2=a2-c2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与y轴有两个交点(0,a2-c2),(0,-a2-c2),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有一个交点(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴没有交点.令y=0,得x2=c2±a2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与x轴有两个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有三个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴有四个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(c2-a2,0),(-c2-a2,0),这些交点叫做卡西尼卵形线的顶点.4.离心率类比圆锥曲线，我们将ca称为卡西尼卵形线的离心率，用e表示，即e=ca.随着e的变化，卡西尼卵形线共呈五种形态，参见下表e的值曲线形态(0,22)4321432154321321O xyF1F2a=4,c=22 221321432121O xya=22,c=2F1F2(22,1)13213211O xya=2,c=2.2F1F2113213211O xya=2,c=2F1F2(1,+∞)13213211Oxya =1.9,c =2当e ∈(0,22)时，曲线是中部凸出的封闭曲线.当e =22时，轨迹是中部扁平的封闭曲线；当e ∈(22,1)时，轨迹是中部凹进的封闭曲线（呈“花生”形状）；当e =1时，轨迹是伯努利双纽线（呈“∞”形状）；当e >1时，轨迹是两支封闭曲线，其形状像两个鸡卵，这也是卵形线名字的由来.观察五种形态的曲线可以发现：当c 一定时，令a 由一个趋于0的正数连续变化至趋于无穷大，对应卡西尼卵形线会从“两个极小的鸡卵”逐渐变大至有一个公共点的闭合曲线（伯努利双纽线），接着，随着a 持续变大使“两枚鸡卵”的“卵壳”逐渐相互融合（呈花生形状），再继续变大成为一个大型的“鸡卵”.例1（2024年8月广东八校高三联合检测11）到两个定点的距离为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F 1(-c ,0)和F 2(c ,0)且c >0,动点M 满足|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ,则下列描述正确的是A.曲线C 的方程是(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4B.曲线C 关于坐标轴对称C.曲线C 与x 轴没有交点D.△MF 1F 2的面积不大于12a 2【答案】ABD【解析】设M (x ,y ),则由|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),得(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,化简得(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,A 正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程均不变，说明曲线C 关于坐标轴对称，B 正确；令曲线C 的方程中的y =0得x 2=c 2±a 2,当c =a 时，x =0或x =2c ;当c <a 时，x =±c 2+a 2;当c >a 时，x =±c 2±a 2,C 不正确；S △MF 1F 2=12|MF 1|∙|MF 2|sin ∠F 1MF 2≤12|MF 1|∙|MF 2|=a 22,D 正确.故答案选ABD.例2（2011年北京卷理科14）曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是.【答案】②③【解析】设P (x ,y )是曲线C 上的任意一点，则由题意得(x +1)2+y 2∙(x -1)2+y 2=a 2(a >1),将原点(0,0)代入得a 2=1,即a =±1,与a >1矛盾，故①不正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程不变，这说明当点P (x ,y )在曲线C 上时，它关于原点的对称点P '(-x ,-y )也在曲线C 上，所以曲线C 关于坐标原点对称，②正确；S △F 1PF 2=12|PF 1|∙|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1|∙|PF 2|=a 22,③正确.例3(2023年广州一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,5 【答案】BC【解析】设点P (x ,y )，则依题意得[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，对于A ，25=[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]≥(x +2)2(x -2)2=(x 2-4)2，当且仅当y =0时取等号，解不等式(x 2-4)2≤25得-3≤x ≤3，即点P 的横坐标的取值范围是[-3,3]，A 错误；对于B ，[(x 2+y 2+4)+4x ][(x 2+y 2+4)-4x ]=25，则x 2+y 2+4=25+16x 2，显然0≤x 2≤9，因此|OP |=x 2+y 2=25+16x 2-4∈[1,3]，B 正确；对于C ，方法一，由[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，得y 4+2(x 2+4)y 2+(x 2-4)2-25=0,解得y 2=16x 2+25-x 2-4,令t =16x 2+25(t ≥5),则x 2=t 2-2516,所以y 2=t -t 2-2516-4=-t 4-2)2+2516 ≤2516,当且仅当t =8,即x =±394时等号成立，此时|y |max =54,所以S △PMN =12|MN |∙y P ≤12×4×54=52,C 正确；方法二，S △PMN =12|PM ||PN |sin ∠MPN ≤12|PM ||PN |=52，当且仅当∠MPN =90°时取等号，当∠MPN =90°时，点P 在以线段MN 为直径的圆x 2+y 2=4上，由x 2+y 2=4x 2+y 2+4=25+16x 2 解得x =±394y =±54，所以△PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，PM +PN =5+1=6，D 错误.故选BC .例4(2022年山东济南一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，M -2,0 ，N 2,0 ，动点P 满足PM ⋅PN =5，其轨迹为一条连续的封闭曲线C .则下列结论正确的是( )A.曲线C 与y 轴的交点为0,-1 ，0,1B.曲线C 关于x 轴对称C.△PMN 面积的最大值为2D.OP 的取值范围是1,3【答案】ABD【详解】设点P(x,y)，依题意得[(x+2)2+y2][(x-2)2+y2]=25，整理得x2+y2=16x2+25-4，对于A，当x=0时，解得y=±1，即曲线C与y轴的交点为0,-1，0,1，A正确；对于B，因x2+(-y)2=x2+y2=16x2+25-4，由-y换y方程不变，曲线C关于x轴对称，B 正确；对于C，当x2=32时，y2=32，即点P62,62在曲线C上，S△PMN=12|MN|×62=6，C不正确；对于D，由y2=16x2+25-4-x2≥0得：x4-8x2-9≤0，解得0≤x2≤9，于是得|OP|2=x2+y2=16x2+25-4∈[1,9]，解得1≤OP≤3，D正确.故答案选ABD.例5（漯河市2023-2024学年高二下学期期末质量监测11）我们在解析几何学习过程中知道椭圆、双曲线定义分别是到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点F1(-2,0),F2(2,0),动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,设P的轨迹为曲线C,则下列命题正确的是A.曲线C过原点B.P的横坐标最大值是22C.P的纵坐标最大值是32D.y02≤2ln(x02+1)【答案】ABD【解析】因为动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,所以(x0+2)2+y02∙(x0-2)2+y02=4,即[(x02 +y02+4)+4x0]∙[(x02+y02+4)-4x0]=16,即x02+y02+4=4x02+1,即y02=-x02+4x02+1-4,对于A项，当x0=0时，y0=0,所以曲线C过原点，A正确；对于B项，由-x02+4x02+1-4≥0得x02+4≤4x02+1,两边平方，化简得x04≤8x02,解得-22≤x0≤22,所以P的横坐标最大值是22,B项正确；对于C项，因为y02=-(x02+1-4x02+1+4)+1=-x02+1-22+1≤1,当且仅当x0=±3时等号成立，所以P的横坐标最大值是1,C项不正确；对于D项，若y02≤2ln(x02+1),即-x02+4x02+1-4≤2ln(x02+1),令t=x02+1,t∈[1,3],则-t2+4t-3≤2lnt2,即t2-4t+4lnt+3≥0,设f(t)=t2-4t+4lnt+3,t∈[1,3],则f'(t)=2t-4+4t≥22t∙4t-4=42-4,（当且仅当t=2时等号成立），所以f'(t)>0在[1,3]上恒成立，所以f(t)在[1,3]上单调递增，所以f(t)≥f(1)=0,即t2-4t+4lnt+3≥0成立，D项成立.故答案选ABD.。

卡西尼卵形线
本博注：
卡西尼卵形线：发现⼟星卫星的天⽂学家乔凡尼·卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣。

像笛卡尔卵形线⼀样，卡西尼卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从⽽产⽣更多的卵形曲线。

卡西尼卵形线是由下列条件所定义的:曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数。

乔凡尼·多美尼科·卡西尼，法⽂名:多⽶尼克·卡西尼，(Giovanni Domenico Cassini，1625年6⽉8⽇出⽣于意⼤利佩⾥纳尔多，1712年9⽉14⽇逝世于法国巴黎)，是⼀位在意⼤利出⽣的法国天⽂学家和⽔利⼯程师。

他发现了⼟星光环中间的缝隙，卡西尼缝由此得名。

卡西尼卵形线是由到两个定点(叫做焦点)距离之积为常数的所有那些点组成的图形。

卡西尼卵形线的证明卡西尼卵形线，也称为卡西尼椭圆，是由法国天文学家吉安·多梅尼科·卡西尼在17世纪提出的一种椭圆曲线。

卡西尼卵形线的定义是一个动点沿着一对焦点之间距离之积保持不变的轨迹。

下面是对卡西尼卵形线的证明：假设卡西尼卵形线的焦点为F1和F2，距离为2a，点P为动点，距离F1和F2的距离分别为d1和d2，且d1 * d2 = a²。

我们可以使用坐标来证明卡西尼卵形线。

假设焦点为F1(-c, 0)和F2(c, 0)，其中c为焦距的一半。

点P的坐标为(x, y)。

首先，根据焦半径定义，我们可以得到：PF1² = (x + c)² + y² (1)PF2² = (x - c)² + y² (2)根据卡西尼椭圆的定义，有：PF1 * PF2 = a²将PF1和PF2的平方代入上式，我们得到：[(x + c)² + y²] * [(x - c)² + y²] = a²展开后化简，我们可以得到：(x² + y² + c²) * (x² + y² - c²) = a²再次进行展开化简，可以得到：x^4 + y^4 + (2c² - 2x² - 2y²)x² = 0这是一个四次方程，可以通过进一步的代数运算化简为标准的椭圆方程形式。

因此，我们证明了卡西尼卵形线满足上述方程，即为一椭圆曲线。

请注意，以上是一种简要的证明，可能并不涵盖所有细节。

在更详细的证明中，可能会见到更多的代数推导和几何推理。