算符的矩阵表示_

第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。

这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。

为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。

以从r 表象变换到Q 表象为例。

r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。

设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。

当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。

当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。

下面只讨论无简并的情况。

在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。

当Q n 在整个展开系数中变动。

由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。

a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。

例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。

上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。

2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。

若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。

第四章 矩阵力学基础(II)――表象理论一、概念与名词解释1. 表象2. 幺正矩阵，幺正变换3. 占有数表象4. 薛定谔绘景，海森伯绘景二、计算1. 设厄米算符满足求：(1) 在表象中，算符的矩阵表示；(2) 在表象中，算符的矩阵表示；(3) 在表象中，算符的本征值和本征函数； (4) 在表象中，算符的本征值和本征函数； (5) 由表象到表象的幺征变换矩阵S. 2. 求在动量表象中角动量L x 的矩阵元和L x 2的矩阵元.3. 设粒子处于宽度为a 的无限深方势阱中，求在能量表象中粒子的坐标和动量的矩阵表示.4. 在L z 表象中，求的矩阵表示. 5. 已知在L 2和L z 的共同表象中，算符L x 和L y 的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将L x 和L y 对角化.6. 在动量表象中，求处于一维均匀场V(x)= -Fx 中粒子的能量本征矢.7. 在动量表象中，求线谐振子哈密顿算符的矩阵元和能量本征值.8. 试将表示为2×2的矩阵，a 是个正的常数.9. 已知波函数，计算它的极化矢量，并求能将χ旋转为态的转动矩阵U R .10. 已知线谐振子满足能量本征方程，计算矩阵元<m|x|n>，<m|x 2|n>，<m|x 3|n>，<m|x 4|n>.11. 处在三维空间体系的基矢分别为|u 1>、|u 2>和|u 3>.已知算符分B ˆA ˆ、,0A ˆB ˆB ˆA ˆ,1B A 22=+==A ˆB ˆA ˆ、B ˆB ˆA ˆ、AˆB ˆBˆA ˆAˆB ˆϕ=ϕψ2sin C )(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 i 0i 0i 0i 022L ;010********L y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 a a 0 exp ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δδ=χβαsin e cos e i i p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01n E n x 212p ˆn 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡μω+μS ˆL ˆ、别满足,给出算符的矩阵表示.12. 处于三维空间体系的基矢分别为|u 1>、|u 2>和|u 3>.已知两个状态分别为,求此二状态的投影算符的矩阵表示.13. 在海森伯绘景中求线谐振子的坐标与动量算符.14. 求自由粒子坐标算符的海森伯表示.三、证明1. 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.2. 如果体系的哈密顿量不显含时间，证明下列求和规则式中x 是坐标，E n 、E m 是相应于n 态和m 态的能量，求和对一切可能的状态进行. 3. 设U 是幺正算符，证明： (1) A 和B 均为厄米算符，且A 2+B 2=1；(2) [A,B]=0，因而A,B 可以同时对角化；(3) 设算符A 、B 的共同本征态为本征值分别为则因此可令从而有(4) 证明U 可表示为H 厄米. 4. 证明矩阵的迹与表象的选择无关，即5. 证明Tr(|u><u|)=<u|u>，Tr(|v><v|)=<v|v>.6. 已知是幺正矩阵，为任意厄米矩阵，且满足证明：四、综合题1. 已知算符满足证明并在B 表象中求出的矩阵表示. 2. 设算符满足求证：并在A 表象中求出的矩阵表示..u u S ˆu u S ˆ,u u S ˆu u L ˆ,0u L ˆ,u u L ˆ13223133211===-===22S ˆL ˆS ˆL ˆ及、、.3/u i 3/u 2/u 2/u i 2/u 3113210+=φ++=φ./2m x )E -(E n22m n m n ∑= iB.A )/2i]U -i[(U )/2U (U U +≡++≡++，B',A'，和B'A'，，1U'iB 'A'U'=+=，，)为实数(H'sinH'B'cosH'A'==；’)itg -)/(1itg (1e U'/2H /2H'iH'+==，)itg -)/(1itg (1e U H/2H/2iH +==j j j i ii v A ˆv u A ˆu ∑∑=S ˆB ˆA ˆ、A ˆ， a A ˆn n n φ=φ.A ˆdet )S ˆA ˆS ˆdet( , A ˆTr )S ˆA ˆS ˆTr(]S ˆB ˆS ˆ,S ˆA ˆS ˆ[S ˆ]B ˆ,A ˆ[S ˆ , S ˆa S ˆ)S ˆA ˆS ˆ(n n n =+==φ=φ+++++++B ˆA ˆ、 A ˆA ˆB ˆ1A ˆA ˆA ˆA ˆ0A ˆ2，，，+++==+= B ˆB ˆ2，=AˆC ˆB ˆA ˆ、、 .A ˆi B ˆC ˆC ˆB ˆ 1C ˆB ˆA ˆ222====－， 0A ˆC ˆC ˆA ˆA ˆB ˆB ˆA ˆ，=+=+C ˆB ˆ、3. 已知体系的哈密顿算符和力学量算符的矩阵形式分别为 其中b ，ω为实常数. 证明上述两算符都是厄米算符，并且互相对易. 求出它们的共同本征函数系.4. 一个线性谐振子处在一个空间均匀的外力场F(t)=Cθ(t)e -λt 中，其中λ是正常数，θ(t)是阶梯函数.若振子在t=0时处于基态，计算在时刻t 振子处在量子数n 的|n>态的概率. 若C ＝(ħmλ3)1/2，m 是质量，计算这个跃迁概率随n 和随λ/ω的变化，其中ω是振子的自然振动概率.5. 一个质量为m 的粒子处在一维谐振子的势阱中，V 1=kx 2/2.(1) 粒子最初处在基态，弹性系数突然加倍(k →2k)，这样新的势阱是V 2=kx 2.现在测量粒子的能量，求发现粒子在新势阱V 2的基态的概率.(2) 弹性系数和(1)一样突然加倍，所以V 1突变为V 2.但是在新势阱中粒子的能量没有被测量.在经过t 时间后，弹性系数突然回到了初值.问t 等于多少时能使粒子态完全恢复到V 1的基态？6. 由下述三个纯态不相干混合而成的角动量为1的粒子体系，假定每个态都等概率.这三个态是：(1) 求这个体系的密度矩阵ρ，并证明Trρ＝1；(2) 选ħ＝1，角动量为1的矩阵由题(二.5)的矩阵给出，求L x 、L y 、L z 的平均值.7. 讨论两个具有同样振动频率ω0的谐振子.它们的产生和湮没算符满足当将两个振子分开时，它们的哈密顿量分别为H 1=ħω0a 1+a 1，H 2= ħω0a 2+a 2，这里略去了零点能ħω0/2，令|n 1,n 2>是H 1和H 2具有相应本征值为n 1ħω0和n 2ħω0的共同本征函数.当两振子有相互作用后，体系哈密顿量g 是正的实数.由于有g 的耦合项，|n 1,n 2>不再是H 的本征函数(1) 使矩阵M ij 对角化，求偶合体系所容许的能量.设体系在t=0是处在|n 1=1,n 2=0>态，求： HˆB ˆ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ω=01010 000 1b B ˆ;1- 0001- 0001H ˆ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=φ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=φ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=φ100 ; 010******* ; 001(3)(2)(1)0]a ,[a 0,]a ,[a 1,]a ,[a 0]a ,[a 0,]a ,[a 1,]a ,[a 212122212111======++++++∑=+++++=++ω+ω=21j i,jij i 1221220110a M a a ga a ga a a a a H(2) 体系在t>0时的本征矢；(3) 计算在t>0时，体系处在|n 1=0,n 2=1>态的概率.8. 求相干态随时间的变化仍然保持为相干态的条件？为澄清相位的贡献，试再用密度矩阵方法讨论这个问题.9. 讨论两个由同样的谐振子组成的体系：体系A 中有半数振子处在基态，半数振子处在第一激发态；体系B 中所有振子在t=0时均处在态，求：(1) 在t=0时，体系A 和体系B 的密度矩阵ρA 和ρB ；(2) 对于这两个体系，x 的平均值<x>，p 的平均值<p>是否随t 变化？说明理由.2]/10[。

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ*代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA.*ψ一定也是该方程的一个解；B.*ψ一定不是该方程的解；C. Ψ与*ψ一定等价；D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。

6．如果以∧l表示角动量算符，则对易运算],[yxll为：BA. ih∧z lB. ih∧z lC.i∧x l D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA.ψ 一定不是∧B 的本征态； B.ψ一定是 ∧B 的本征态； C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。

8．如果一个力学量∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：CA. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA.)1(21+N N ； B.)2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D.z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

数学中的运算符号大全一、算术运算符1. 加法运算符（+）：表示两个数相加的运算，如4+5=9。

2. 减法运算符（-）：表示两个数相减的运算，如7-3=4。

3. 乘法运算符（×）：表示两个数相乘的运算，如2×3=6。

4. 除法运算符（÷）：表示两个数相除的运算，如8÷2=4。

5. 指数运算符（^）：表示一个数的多少次幂，如2^3=8。

二、代数运算符1. 相等运算符（=）：表示两个数相等的关系，如5+3=2+6。

2. 不等运算符（≠）：表示两个数不相等的关系，如4≠7。

3. 大于运算符（>）：表示一个数大于另一个数的关系，如9>3。

4. 小于运算符（<）：表示一个数小于另一个数的关系，如2<5。

5. 大于等于运算符（≥）：表示一个数大于或等于另一个数的关系，如6≥6。

6. 小于等于运算符（≤）：表示一个数小于或等于另一个数的关系，如4≤8。

三、逻辑运算符1. 与运算符（∧）：表示逻辑与的运算，只有当两个条件同时为真时结果才为真。

2. 或运算符（∨）：表示逻辑或的运算，只要其中一个条件为真，结果即为真。

3. 非运算符（¬）：表示逻辑非的运算，对逻辑值取反。

四、集合运算符1. 并集运算符（∪）：表示两个集合的并集，包括两个集合中的所有元素。

2. 交集运算符（∩）：表示两个集合的交集，包括两个集合共有的元素。

3. 补集运算符（C）：表示一个集合对于另一个集合的差集，即从一个集合中去除另一个集合的元素。

五、微积分运算符1. 微分符号（d/dx）：表示对一个函数进行微分运算。

2. 积分符号（∫）：表示对一个函数进行积分运算。

六、矩阵运算符1. 矩阵加法运算符（+）：表示两个矩阵相加的运算。

2. 矩阵减法运算符（-）：表示两个矩阵相减的运算。

3. 矩阵乘法运算符（×）：表示两个矩阵相乘的运算。

以上是数学中常见的运算符号，它们在数学表达和计算中扮演着重要的角色。