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§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
线性代数四阶知识点总结1. 向量和矩阵•向量：向量是一种有序集合，可以表示为n x 1 的矩阵。
向量的加法、减法和数量乘法满足特定的运算规则。
•矩阵：矩阵是二维数组，具有行和列的结构。
可以表示为 m x n 的形式，其中 m 是矩阵的行数，n 是列数。
2. 线性方程组•线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合。
每个方程都可以写成如下形式：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1, a2, …, an 是已知常数，x1, x2, …, xn 是未知变量，b 是常数。
•线性方程组的解：一个线性方程组可能有无穷多个解、唯一解或者无解。
通过高斯消元法、矩阵求逆或克拉默法则等方法可以求解线性方程组。
3. 矩阵运算•矩阵加法：两个矩阵的加法是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
•矩阵减法：两个矩阵的减法是将对应位置的元素相减得到新的矩阵。
•矩阵数量乘法：将矩阵的每个元素都乘以一个常数得到新的矩阵。
•矩阵乘法：矩阵乘法是将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算得到新的矩阵。
4. 线性变换•线性变换：线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法的性质。
•线性变换的矩阵表示：对于一个线性变换，可以找到一个矩阵使得将原向量空间中的向量乘以该矩阵得到新的向量空间中的向量。
•线性变换的特性：线性变换保持向量的线性组合和零向量不变。
5. 特征值和特征向量•特征值和特征向量：对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 v 和一个实数λ，使得Av = λv，则λ 是 A 的特征值，v 是对应于特征值λ 的特征向量。
•特征值和特征向量的计算：通过求解线性方程组 (A - λI)v = 0 可以得到特征值和特征向量。
6. 行列式•行列式：行列式是一个标量值，用于判断一个矩阵的线性相关性和可逆性。
•行列式的计算：对于一个 n x n 的矩阵，行列式的计算涉及到对矩阵的元素进行排列组合并进行运算。
§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示 二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集 },ˆ,ˆ{ B A的正交、归一和完备的本征态矢量的集合},,{ b a 作基底的表象，称为},ˆ,ˆ{ B A表象。
为书写简便，用Fˆ代表},ˆ,ˆ{ B A ，用n 代表 ,,b a ，用n 代表本征值谱},,{ b a . 把},ˆ,ˆ{ B A表象简称为Fˆ表象。
以分立谱为例 本征方程： n n Fn ˆ基底： },3,2,1;{ n n 正交归一化： n m n m , 封闭关系： I n n n一、态的表示态 在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵21Ψ21C C矩阵元 n C n 代表态 在基底n 上的投影，或称为展开系数。
它可在坐标表象上计算x x x x x x n n C n nd d )()(*态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到ΨΦ其中21Φ，21Ψ.这是因为n n nn n nn n n*21,2,1**ΨΦ若 0ΨΦ，则称态Ψ和Φ正交。
而1ΨΨ则是指态Ψ是归一化的。
基底m 在自身表象上的表示为010Φ m 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mΦΦ. 态向基底的展开写成1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦnn C .对于连续谱情况本征方程： Fˆ 基底： }{正交归格化： )( 封闭关系： Id态 在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值 的函数)(态 和 的内积为d )()(*因为d d d )()(][*归一化条件为1)()(*d .而基底 在自身表象上表示为)( .二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。
因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
Lˆ m n n Lm n ˆ m n n Lm n ˆ212122211211L L L LΦL Ψ矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示22211211L L L L L 矩阵元为n Lm L mn ˆ 可以在坐标表象上计算。
算符和矩阵的关系
算符和矩阵之间存在密切的关系。
算符是抽象定义的，而矩阵是算符的具体数值表示。
对于线性算符，它的一个天然的表示就是矩阵。
为了表征一个算符，我们需要知道把这个算符作用到所有可能的态上所能产生的结果。
然而，态的个数是无穷多的，所以我们不可能真的把算符作用到所有的态上。
然而，大部分情况下，所有可能的态都可以通过一组基线性表出。
如果算符是线性算符，而且这组基是完备的，也就是任意一个态都可以用这组基线性表示出来，那么只要我们知道算符在这些基上的作用，我们就可以知道算符在所有可能态上的作用。
也就是说，算符在这组基上的作用就可以将这个算符完全表征。
同一个算符在不同基底（即不同表象）下可以表示为不同的矩阵，这些矩阵之间是相似矩阵的关系。
通过这些矩阵，我们可以深入理解算符的性质和行为。
因此，矩阵作为算符的具体数值表示，是理解和研究算符的重要工具。
以上内容仅供参考，建议查阅专业书籍或者咨询专业人士以获取更准确的信息。
角动量算符的矩阵表示1.引言1.1 概述角动量是量子力学中一个重要的物理量，描述了旋转对称性在系统中的表现。
它不仅在原子物理和分子物理中具有重要的应用，也在凝聚态物理、高能物理和相对论性量子力学等领域发挥着关键的作用。
本文旨在探讨角动量算符的矩阵表示，即将角动量算符以矩阵的形式进行表述。
矩阵表示是量子力学中一种常用的数学工具，通过将物理量抽象为矩阵，可以简化计算过程，并提供了更直观的物理图像。
在文章的正文部分，我们将首先介绍角动量算符的定义，探讨它是如何描述旋转对称性的。
随后，我们将详细讨论角动量算符的一些基本性质，包括它们的代数关系和守恒性质。
这些性质将为后面的矩阵表示提供基础。
在结论部分，我们将强调矩阵表示的重要性，并详细讨论角动量算符的矩阵表示方法。
通过将角动量算符表示为矩阵，我们可以更方便地进行计算，并直观地理解角动量的物理含义。
此外，矩阵表示还可以与实验结果进行比较，从而验证理论模型的准确性。
总之，本文将通过深入探讨角动量算符的矩阵表示，帮助读者进一步理解角动量的概念和性质。
我们相信，通过本文的阅读，读者将能够更加深入地了解量子力学中角动量的重要意义，以及矩阵表示在物理理论研究中的应用价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构进行简要介绍，让读者对文章的组织框架有一个清晰的了解。
以下是一种可能的写作方式:2. 正文2.1 角动量算符的定义本节将介绍角动量算符的基本定义和物理意义。
首先，我们将回顾经典力学中关于角动量的定义，并引出量子力学中对角动量的量子化要求。
然后，我们将介绍角动量算符的数学表达以及其与经典角动量的对应关系。
最后，我们将讨论角动量算符在量子力学中的重要性和应用。
2.2 角动量算符的性质本节将详细介绍角动量算符的一些基本性质。
首先，我们将讨论角动量算符的对易关系以及其对应的物理意义。
接着，我们将介绍角动量算符的升降算符，它们可以将角动量量子数增加或减少一个单位。
