上三角算子矩阵的谱

上三角算子矩阵的(ω)性质的摄动吴学俪;曹小红;张敏【摘要】根据2×2上三角算子矩阵对角上的两个算子的谱集的特点来研究该2×2上三角算子矩阵的平方满足(ω)性质在紧摄动下的稳定性,并给出了2×2上三角算子矩阵的平方满足(ω)性质紧摄动的充要条件.%According to the characteristics of spectrum of 2 × 2 upper triangular operator matrices on the diagonal,the stability of property (ω) was examined for the square of 2 × 2 upper triangular operator matrices under compact perturbation,and the sufficient and necessary conditions for the square of 2 × 2 upper triangular operator matrices satisfying the compact perturbation of pr operty (ω) are given.【期刊名称】《西北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(047)002【总页数】7页(P167-173)【关键词】(ω)性质;紧摄动;上三角算子矩阵【作者】吴学俪;曹小红;张敏【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119【正文语种】中文【中图分类】O177.2在本文中,H与K都表示无限维的复可分Hilbert空间,B(H,K)表示H到K上的有界线性算子的全体,记B(H,H)=B(H),K(H)表示B(H)中紧算子的全体。

《上三角算子矩阵谱的自伴扰动问题》篇一一、引言在数学物理的多个领域中，算子矩阵的谱问题一直是一个重要的研究方向。

其中，上三角算子矩阵由于其特殊的结构，在量子力学、电路分析以及控制理论等领域中有着广泛的应用。

然而，当这些上三角算子矩阵受到自伴扰动时，其谱的性质可能会发生显著的变化。

本文将重点探讨上三角算子矩阵在自伴扰动下的谱变化问题。

二、上三角算子矩阵的基本概念上三角算子矩阵是指矩阵中所有下三角元素为零的算子矩阵。

在有限维空间中，上三角矩阵的谱性质研究较为成熟，但在无穷维空间中，由于其涉及到的函数空间和算子理论更为复杂，因此研究起来更具挑战性。

三、自伴扰动的定义及性质自伴扰动是指对算子矩阵进行某种形式的扰动，使得扰动后的算子矩阵与原算子矩阵在某种意义上具有自伴性。

自伴性是算子矩阵的一个重要性质，它决定了算子矩阵的谱的实数性和正交性。

因此，研究自伴扰动对上三角算子矩阵谱的影响具有重要意义。

四、上三角算子矩阵在自伴扰动下的谱变化当上三角算子矩阵受到自伴扰动时，其谱可能会发生以下变化：1. 实谱的变化：由于自伴扰动的引入，上三角算子矩阵的谱可能由原来的复数域变为实数域，这有利于我们对谱的分析和计算。

2. 谱的稳定性：在一定的条件下，自伴扰动对上三角算子矩阵的谱影响较小，即谱的稳定性得以保持。

这为我们提供了在扰动下分析谱性质的可能性。

3. 新的特征值和特征向量的出现：自伴扰动可能使上三角算子矩阵产生新的特征值和特征向量，这对我们理解和应用上三角算子矩阵具有重要意义。

五、研究方法与实例分析针对上三角算子矩阵在自伴扰动下的谱变化问题，我们可以采用以下研究方法：1. 理论分析：通过分析自伴扰动的数学性质，推导出上三角算子矩阵谱的变化规律。

2. 数值模拟：利用计算机软件对上三角算子矩阵进行自伴扰动，观察其谱的变化情况。

3. 实例分析：选取具体的上三角算子矩阵，分析其在自伴扰动下的谱变化，以验证理论分析的正确性。

以一个具体的量子力学问题为例，我们可以考虑一个上三角哈密顿算子矩阵在自伴扰动下的谱变化。

谱分解定理是数学中的一个重要概念，它主要应用于线性代数、泛函分析和量子力学等领域。

谱分解定理的证明方法有很多种，其中最常见的是利用谱理论进行证明。

首先，我们需要了解谱的概念。

对于一个复数矩阵A，其特征值和特征向量构成了其谱，即A的特征值和对应的特征向量的集合。

谱分解定理的主要内容是将一个矩阵分解成若干个线性无关的特征向量张成的子空间的和，这些子空间构成了矩阵的谱。

接下来，我们可以通过定义投影算子来证明谱分解定理。

投影算子是将一个向量投影到某个子空间中的一种线性算子。

对于一个矩阵A，我们可以定义其投影算子P为：Pv = v -λ_1 v_1 -λ_2 v_2 - ... -λ_k v_k，其中v是输入向量，λ_i是A对应的特征值和对应的特征向量。

通过定义投影算子，我们可以证明矩阵A可以分解成若干个线性无关的特征向量张成的子空间的和。

具体证明过程如下：假设矩阵A可以表示为：A = P + Q其中P是一个投影算子，Q是一个与P无关的子空间的张成向量。

由于P是投影算子，所以它可以将一个向量投影到某个子空间中，即对于任意向量v，有Pv ∈S。

同时，由于Q是一个与P无关的子空间的张成向量，所以它张成的子空间与S是线性无关的。

因此，矩阵A 可以表示为两个线性无关的子空间的和，即A = P + Q = S + T，其中S和T分别是与P和Q张成的子空间。

这样，我们就证明了谱分解定理。

在实际应用中，谱分解定理可以用于分解一个矩阵或者一个系统，以便于分析和求解问题。

在量子力学中，谱分解定理可以用于描述一个量子系统的能级和跃迁概率；在泛函分析中，谱分解定理可以用于求解一个泛函的边值问题。

总之，谱分解定理的证明需要利用谱理论和投影算子的定义。

通过定义投影算子并利用线性代数的性质，我们可以证明矩阵可以分解成若干个线性无关的特征向量张成的子空间的和，从而证明了谱分解定理。

谱分解定理在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。

三对角矩阵在线性代数中，一个三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。

准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。

例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是海森堡矩阵。

尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。

进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足a k,k+1 a k+1,k > 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。

后一个推论如果我们将条件a k,k+1 a k+1,k > 0 换为a k,k+1 a k+1,k≥ 0，结论仍然成立。

所有n×n三对角矩阵的集合组成一个3n-2维向量空间。

许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。

譬如，一个 n 阶三对角矩阵A的行列式能用continuant（Continuant）的递归公式计算：这里是第k个主子式，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。

用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。

计算程序一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。

从而，许多特征值算法运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。

一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。

例如，LAPACK Fortran包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长n包含对角元素，其它两个长为n− 1 包含下对角线和上对角线元素。

三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。

正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。

尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。

3×3上三角算子矩阵值域的闭性研究目录中文摘要i英文摘要ii第一章绪论11.1 写作背景及研究现状1.2 基本概念和引理1.3 主要结果第二章3 ×3 上三角算子矩阵值域的闭性和Moore-Penrose 谱62.1 值域的闭性2.2Moore-Penrose 谱第三章2 ×2上三角算子矩阵的点谱133.1预备知识3.2一类2 ×2 上三角算子矩阵的点谱划分参考文献20上三角算子矩阵值域的闭性研究1摘要设H1, H2, H3 是可分的复Hilbert 空间, 记M =A EFB DC为H1⊕H2⊕H3 上的 3 × 3 上三角算子矩阵. 设 A ∈B(H1) , B ∈B(H2) ,C ∈B(H3) , E ∈B(H2,H1) 是给定的算子. 本文首先利用对角元算子A, B,C 的值域和零空间性质描述了算子矩阵M 值域R(M) 的闭性, 并给出了其Moore-Penrose 固有谱和可能谱的具体描述.然后, 本文又给出了2 ×2 阶上三角算子矩阵ME=A EB: H1⊕H2→H1⊕H2的一二三四类点谱的精细刻画, 为进一步研究3 ×3 上三角算子矩阵的点谱划分及精细刻画奠定基础.关键词：上三角算子矩阵; 闭性; 值域; 零空间; 点谱中图分类号：O175.3Closedness of Ranges of 3 ×3 Upper-triangularOperator Matrices1ABSTRACTLet H1, H2and H3be separable complex Hilbert spaces. We denote by M a 3 ×3upper-triangular operatorM =A EFB DCacting on H1⊕H2⊕H3. Let A ∈B(H1) , B ∈B(H2) , C ∈B(H3) and E ∈B(H2,H1) be given operators.Firstly, the closedness of the range R(M) is described by using theranges and null spaces of A , B and C , and its Moore-Penrose possible spectrum andinherent spectrum are described as well.Then four kinds of point spctrum of the 2 ×2 upper-triangular operatorME=A EB: H1⊕H2→H1⊕H2are dscribed, which lay the foundation for studying the point spectrum of 3 ×3 upper- triangular operator M .KEYWORDS：upper-triangular operator matrices; closedness; range;null space; point spectrum第一章绪论§1.1写作背景及研究现状算子理论自建立以来得到了迅速发展并渗透到数学的各个分支,已成为数学和物理学中不可或缺的研究工具, 如偏微分方程, 插值理论及系统理论在流体力学和量子力学等数学物理分支中都有着广泛应用.分块算子矩阵是以线性算子为元素的矩阵, 是现今线性算子理论中较活跃的研究领域之一, 其研究涉及到基础数学与应用数学的诸多分支, 如矩阵理论、插值理论、信号处理、数学物理方程、最优控制和量子力学等. 任一有界线性算子, 只要它的定义空间可以分解为两个或两个以上部分的直和, 它就可以表示成算子矩阵的形式[1]. 对上三角算子矩阵的研究是由下列事实自然想起的: 如果T 是Hilbert 空间上的线性算子, V 是T 的一个不变子空间, 则T 可以表示成一个上三角算子矩阵[2]:T =∗∗0 ∗: V ⊕V⊥→V ⊕V⊥.近年来, 2×2 算子矩阵已成为比较活跃的研究课题, 如文[3] ∼[11] 研究了2 ×2 阶算子矩阵的谱扰动和值域闭性等一系列相关问题. 最近,3 ×3 上三角算子矩阵也受到了越来越多学者的关注[13, 14, 15]. 线性算子值域的闭性是该算子的一个基本而重要的特性, 比如从算子本身看,闭值域算子的连续谱为空集, 从而它更容易进行谱分解, 再者从方程角度看, 闭值域算子对应的微分方程是可解的, 算子值域闭性在对应的算子方程解的稳定性问题中起着不可或缺的作用(见[12])等. 特别地,如果Hilbert 空间中的有界线性算子T 的值域是闭的, 那么它的值域的正交补空间恰好是算子方程T∗y = 0 的解空间. Hilbert 空间中的有界线性算子的值域是闭的当且仅当它具有广义逆, 而线性算子的广义逆理论在非线性分析, Markov 过程, 控制论和微分系统等领域中都有着广泛应用. 从而值域的闭性已成为算子矩阵研究中非常受关注的课题,1绪论它是进一步研究可逆性与广义逆、Fredholm 性、Kato 非奇异性等性质时所需解决的一个重要问题.本文的目的是研究对角元算子给定的3 × 3 上三角算子矩阵值域的闭性, 3 ×3 情况值域的闭性描述条件更加复杂, 有些不是2 ×2 情形的简单推广, 文中得到了4个定理, 这些定理的描述条件已经尽可能地简洁, 作为推论给出了Moore-Penrose 可能谱和固有谱的完全描述.研究过程中发现, 通过算子矩阵分块技巧可将2×2 阶和3×3 阶上三角算子矩阵在一定形式上互相转化, 从而将2×2 阶算子矩阵的相关理论很好地用于3 × 3 阶上三角算子矩阵的研究中. 进而, 我们进一步研究了2×2 阶上三角算子矩阵一二三四类点谱的具体描述, 这将成为研究更高阶算子的点谱划分的理论基础.§1.2基本概念和引理文中, Hi(i = 1,2,3) 和Ki(i = 1,2) 是无穷维可分的Hilbert 空间, 且H =H1⊕H2⊕H3, K1= H1⊕H2, K2= H2⊕H3. B(Hi,Hj) 表示从Hi到Hj的全体有界线性算子构成的Banach 空间, 且将B(Hi,Hi) 简记为B(Hi) (i,j = 1,2,3).对T ∈B(Hi,Hj), 我们用T∗表示T 的共轭算子, R(T) 和N(T) 分别表示T的值域和零空间. 如果算子T ∈B(H) 对任意x ∈H 有(Tx,x) ≥0, 则称T为正算子, 记为T ≥0. I 表示单位算子. 下面介绍本文需要的一些定义和引理.定义1.2.1. 设M ∈B(H), 若存在A ∈B(H1), B ∈B(H2), C ∈B(H3) 使得M =A EFB DC: H1⊕H2⊕H3→H1⊕H2⊕H3,其中E ∈B(H2,H1), F ∈B(H3,H1), D ∈B(H3,H2), 则称M 为一个3 × 3 上三角算子矩阵.为下文论述方便, 我们把2 × 2 算子矩阵A EB: K1→K1和B DC: K2→K2分别记作ME和MD.定义1.2.2.[16]设M ∈B(H). 对于复数λ, 如果λI −M 不是Moore-Penrose 可逆算子, 则称λ为算子M 的Moore-Penrose 谱. Moore-Penrose 谱的全体简记为σmp(M), 即σmp(M) = {λ∈C : λI −M不是Moore-Penrose 可逆算子}.定义1.2.3.[16]在以上假设条件下, 我们把集合∪D,E,Fσmp(M) 和∩D,E,Fσmp(M)分别称为上三角型算子矩阵M 的可能Moore-Penrose 谱和固有Moore- Penrose 谱.定义1.2.4.[17]设M ∈B(H). 对于复数λ, 如果λI −M 不是单射, 则称λ为算子M 的点谱. 点谱的全体简记为σp(M) , 即σp(M) = {λ∈C : λI −M不是单射}.引理1.2.1.[2]设A ∈B(H), 则下列语句成立: (1) 如果D 是有限秩算子, 则R(A + D) 是闭的当且仅当R(A) 是闭的; (2) 如果M 和N 是可逆算子, 则R(MAN) 是闭的当且仅当R(A) 是闭的; (3) 如果N 是可逆算子, 则R(AN) = R(A).引理1.2.2.[18]设A ∈B(H1,H2), 则:(1) N(A)=N(A∗A), N(A∗)=N(AA∗);(2) R(A)=R(AA∗), R(A∗)=R(A∗A);(3) 子空间R(A), R(A∗), R(AA∗), R(A∗A) 中任意一个是闭的, 则其它三个都闭.在文[4] 中, 作者研究了2×2 上三角算子矩阵值域的闭性, 其主要结论如下:引理1.2.3. 设A ∈B(H1), B ∈B(H2) 是给定算子, 且R(A), R(B) 都闭, 则对任意E ∈B(H2,H1), 值域R(ME) 闭当且仅当dimN(A∗) 和dimN(B) 至少一个有限.引理1.2.4. 设A ∈B(H1), B ∈B(H2) 是给定算子.(1) 若R(A) 不闭, R(B) 闭, 则对任意E ∈B(H2,H1) 值域R(ME) 不闭当且仅当dimN(B) 有限;(2) 若R(A) 闭, R(B) 不闭, 则对任意E ∈B(H2,H1) 值域R(ME) 不闭当且仅当dimN(A∗) 有限.引理1.2.5. 设A ∈B(H1), B ∈B(H2) 是给定算子, 且R(A), R(B) 都不闭,则对任意E ∈B(H2,H1), 值域R(ME) 不闭当且仅当dimN(A∗) and dimN(B)至少一个有限.§1.3主要结果本文第一章介绍了算子矩阵的研究背景及现状, 并给出了一些相关定义及引理, 为后文研究做准备.第二章, 在对角元算子A , B , C 给定的情况下, 根据R(A) , R(B) 和R(C) 的闭性的不同情况, 分别研究了3 ×3 上三角算子矩阵M 值域的闭性并进一步给出了其Moore-Penrose 固有谱和可能谱的具体描述.在第三章, 给出了 2 ×2 上三角算子矩阵一二三四类点谱的具体描述, 这为进一步研究3 ×3 上三角算子矩阵的点谱提供理论基础.第二章3 ×3 上三角算子矩阵值域的闭性和Moore-Penrose 谱这一部分, 在算子矩阵M 的对角元算子给定的情况下, 我们利用对角元的相关信息描述了R(M) 的闭性, 进而推导出了其可能Moore-Penrose谱和固有Moore-Penrose 谱的具体刻画.§2.1值域的闭性根据对角元算子值域R(A) , R(B) 和R(C) 闭性的不同情况, 我们得到以下四个值域闭性定理.定理2.1.1. 设A ∈B(H1), B ∈B(H2), C ∈B(H3) 是给定算子, 值域R(A),R(B) 和R(C) 都是闭的. 则对任意E ∈B(H2,H1), F ∈B(H3,H1), D ∈B(H3,H2), 值域R(M) 闭当且仅当下列条件至少一个成立:(1) dimN(A∗) 和dimN(B∗) 都有限;(2) dimN(A∗) 和dimN(C) 都有限;(3) dimN(B) 和dimN(C) 都有限.证明: 上三角算子矩阵M 作为K1⊕H3上的算子, 可写成如下形式:M =METC: K1⊕H3→K1⊕H3,其中T =FDB(H3,K1).根据条件R(A), R(B), R(C) 都是闭的.充分性: 若(1) 成立, 由引理 1.2.3 可知, 对任意E ∈B(H2,H1), 值域R(ME) 闭. 由于M∗E=A∗E∗B∗故dimN(M∗E) ≤dimN(A∗) + dimN(B∗) < ∞. 另外, R(C) 闭, 从而对任意E ∈B(H2,H1) 及任意T =FDB(H3,K1)值域R(M) 闭.若(2) 或(3) 成立, 即dimN(A∗) 和dimN(B) 至少一个有限且dimN(C)有限. 由引理1.2.3 可知, 对任意E ∈B(H2,H1), 值域R(ME) 闭. 又R(C) 闭, 从而对任意E ∈B(H2,H1) 及任意T =FDB(H3,K1)值域R(M) 闭.必要性: 假设语句(1), (2), (3) 都不成立. 只需证明当dimN(A∗) = dimN(B) = ∞或dimN(A∗) = dimN(C) = ∞或dimN(B∗) = dimN(C) = ∞时,存在算子E0, F0, D0使得值域R(M0)不闭. 事实上, 根据引理1.2.3 的逆否命题可知:(i) 若dimN(A∗) = dimN(B) = ∞, 则存在E0使得R(ME0) 不闭. 取T0=F0D0=从而R(M0) = R(ME0) ⊕R(C) 不闭.(ii) 若dimN(A∗) = dimN(C) = ∞, 取E0= 0 则dimN(ME0∗) = dimN(A∗) + dimN(B∗) = ∞且R(ME0) = R(A)⊕R(B) 闭. 又R(C) 闭且dimN(C) = dim N(M∗E0)= ∞, 故存在T0=F0D0使得R(M0) 不闭.(iii) 若dimN(B∗) = dimN(C) = ∞, 证明过程与(ii) 类似.定理2.1.2. 设A ∈B(H1), B ∈B(H2), C ∈B(H3) 是给定算子.(1) 若R(A) 不闭, R(B) 和R(C) 闭, 则对任意E ∈B(H2,H1), F ∈B(H3,H1),D ∈B(H3,H2), 值域R(M) 不闭当且仅当dimN(B) 和dimN(C) 都有限;(2) 若R(B) 不闭, R(A) 和R(C) 闭, 则对任意E ∈B(H2,H1), F ∈B(H3,H1),D ∈B(H3,H2), 值域R(M) 不闭当且仅当dimN(A∗) 和dimN(C) 都有限;(3) 若R(C) 不闭, R(A) 和R(B) 闭, 则对任意E ∈B(H2,H1), F ∈B(H3,H1),D ∈B(H3,H2), 值域R(M) 不闭当且仅当dimN(A∗) 和dimN(B∗) 都有限.证明:记M =METC: K1⊕H3→K1⊕H3.充分性: 类似于定理 2.1.1 充分性的证明.必要性: 假设dimN(B) = ∞或dimN(C) = ∞. 根据定理条件R(A) 不闭,R(B) 和R(C) 闭, 结合引理1.2.4 可知:若dimN(B) = ∞, 存在算子E0使得R(ME0)) 闭. 取T0=F0D0=,则R(M0) = R(ME0) ⊕R(C). 故存在E0∈B(H2,H1), F0= D0= 0 使得R(M0) 闭.若dimN(C) = ∞, 由于R(A) 不闭, 故dimR(A) = ∞. 设{fi}∞i=1和{gi}∞i=1分别是N(C) 和R(A) 的标准正交基. 定义酉算子F012: N(C) →R(A), fi7→gi, (i ∈N)并且取F0=0 F012, E0= D0= 0.则M0作为从H1⊕H2⊕H3 = R(A∗)⊕N(A)⊕R(B∗)⊕N(B)⊕R(C∗)⊕N(C) 到H1⊕H2⊕H3 = R(A)⊕N(A∗)⊕R(B)⊕N(B∗)⊕R(C)⊕N(C∗) 的算子, 可表示为如下算子矩阵形式:因此, R(M0) = R((A1 0 0 0 0 F012)) ⊕R(B1) ⊕R(C1).由于(A1 0 0 0 0 F012)×(A1 0 0 0 0 F012)∗= A1A∗1+F012F0∗12= A1A∗1+IR(A)> 0是R(A) 上的可逆正算子, 故根据引理 1.2.2 易知R((A1 0 0 0 0 F012)) 闭.另外, R(B1) 和R(C1) 都闭, 从而可推出存在F0=0 F012, E0= D0= 0,使得R(M0) 闭.对于语句(2) 证明过程与(1) 类似.(3) 算子矩阵M 的共轭算子且其中是可逆算子, 由引理1.2.1 和引理1.2.2 可知R(gM∗) 不闭当且仅当R(M∗)不闭当且仅当R(M) 不闭. 从而, 对算子矩阵gM∗应用本定理的情形(1)可自然推出情形(3) 的充要性成立.?定理2.1.3. 设A ∈B(H1), B ∈B(H2), C ∈B(H3) 是给定算子.(1) 若R(A) 和R(B)不闭, R(C) 闭, 则对任意E ∈B(H2,H1), F ∈B(H3,H1),D ∈B(H3,H2), 值域R(M) 不闭当且仅当dimN(B) 和dimN(A∗) 至少一个有限且dimN(C) 有限;(2) 若R(A) 和R(C) 不闭, R(B) 闭, 则对任意E ∈B(H2,H1), F ∈B(H3,H1),D ∈B(H3,H2), 值域R(M) 不闭当且仅当dimN(B) 和dimN(C) 都有限或dimN(A∗) 和dimN(B∗) 都有限;(3) 若R(B) 和R(C) 不闭, R(A) 闭, 则对任意E ∈B(H2,H1), F ∈B(H3,H1),D ∈B(H3,H2), 值域R(M) 不闭当且仅当dimN(A∗) 有限且dimN(C) 和dimN(B∗) 至少一个有限.证明:情形(1) 和(3) 的证明以及情形(2) 的充分性与定理 2.1.2 情形(1), (3) 的证明思想类似, 此处不再详述, 下证(2) 的必要性:假设dimN(B) 和dimN(C) 至少一个为无穷大且dimN(A∗) 和dimN(B∗)至少一个为无穷大. 为了完成本证明, 我们只需说明当dimN(B) = dimN(B∗) = ∞或dimN(B) = dimN(A∗) = ∞或dimN(C) = dimN(B∗) = ∞或dimN(C) = dimN(A∗) = ∞时都存在算子E0, F0, D0使得R(M0) 闭.记M =ASMD: H1⊕K2→H1⊕K2.(i) 若dimN(B) = dimN(B∗) = ∞, 由引理1.2.4 的证明过程(见[4] )可见存在算子: N(C)⊥⊕N(C) →R(B) ⊕R(B)⊥使得R(MD0) 闭且MD0 作为N(B)⊥⊕N(B)⊕N(C)⊥⊕N(C) 到R(B)⊕R(B)⊥⊕R(C) ⊕R(C)⊥的算子矩阵具有如下形式显然dimN(MD0) = dimN(B) + dimN(C) = ∞. 又R(A) 不闭, 所以存在S0=(E0F0) 使得R(M0) 闭.(ii) 若dimN(B) = dimN(A∗) = ∞, 取D0= 0, 则R(MD0) = R(B) ⊕R(C)不闭且dimN(MD0) = dimN(B) ⊕dimN(C) = ∞. 进一步, 因为R(A) 不闭且dimN(A∗) = ∞, 根据引理1.2.5 可知, 存在算子S0= (E0F0) 使得R(M0) 闭. (iii) 若dimN(C) = dimN(A∗) = ∞或dimN(C) = dimN(B∗) = ∞, 证明过程与(ii) 类似.由以上(i), (ii), (iii) 可知假设不成立, 故(2) 成立.?用类似的证明思想, 我们还可以推导出下面的定理成立:定理2.1.4. 设A ∈B(H1), B ∈B(H2), C ∈B(H3) 是给定算子, 值域R(A),R(B) 和R(C) 都不闭. 则对任意E ∈B(H2,H1), F ∈B(H3,H1), D ∈B(H3,H2), 值域R(M) 不闭当且仅当下列条件至少一个成立:(1) dimN(B) 和dimN(C) 都有限;(2) dimN(A∗) 和dimN(C) 都有限;(3) dimN(A∗) 和dimN(B∗) 都有限.证明:运用矩阵分块思想以及算子矩阵的零空间与其各元的零空间的维数关系易证.§2.2Moore-Penrose 谱算子矩阵M 的值域R(M) 是闭的当且仅当它是Moore-Penrose 可逆的. 结合Moore-Penrose 谱的定义以及上述定理 2.1.1 , 可将算子矩阵M 的可能Moore-Penrose 谱描述为以下形式.设A ∈B(H1), B ∈B(H2), C ∈B(H3) 是给定算子, 则M 的可能Moore- Penrose 谱为∪D,E,Fσmp(M) = σmp(A) ∪σmp(B) ∪σmp(C)∪{λ: d(λI −A) = n(λI −B) = ∞}∪{λ: d(λI −A) = n(λI −C) = ∞}∪{λ: d(λI −B) = n(λI −C) = ∞}.进一步根据上一节的定理2.1.2 , 2.1.3 和2.1.4 易得算子矩阵M 的固有Moore-Penrose 谱可以描述为下列并集形式.设A ∈B(H1), B ∈B(H2), C ∈B(H3) 是给定算子, 则M 的固有Moore- Penrose 谱为∩D,E,Fσmp(M) = {λ∈σmp(A) : n(λI −B) < ∞, n(λI −C) < ∞}∪{λ∈σmp(B) : d(λI −A) < ∞, n(λI −C) < ∞}∪{λ∈σmp(C) : d(λI −A) < ∞, d(λI −B) < ∞}.第三章2 ×2上三角算子矩阵的点谱在研究3 ×3 上三角算子矩阵值域闭性的过程中, 我们主要采用了算子矩阵分块思想, 将3×3 上三角算子矩阵与2×2 上三角算子矩阵联系起来, 从而根据2×2 阶上三角算子矩阵的相关理论顺利得到3×3 算子矩阵值域闭性的充要条件. 受到以上研究过程的启发, 下面我们就首先给出2×2 上三角算子矩阵的一类点谱的具体描述, 以便进一步研究3 ×3 上三角算子矩阵相应的点谱划分.§3.1预备知识设A ∈B(H1), B ∈B(H2), E ∈B(H2,H1)为给定算子, 记2 ×2 上三角算子矩阵ME=A EB: H1⊕H2→H1⊕H2.定义3.1.1. 设M ∈B(H), 根据算子λI −M 是否满射及其值域的闭性和稠密性, 可将其点谱σp(M) 划分为下列互不相交的四类点谱:σp1(M) = {λ∈σp(M) : R(λI −M) = H};σp2(M) = {λ∈σp(M) ∩σmp(M) : R(λI −M) = H};σp3(M) = {λ∈σp(M)\σmp(M) : R(λI − M) = H};σp4(M) = {λ∈σp(M) ∩σmp(M) : R(λI − M) = H}.定义3.1.2.[23]设M ∈B(H) , 如果M 为单射且值域R(M) 是闭的, 则称之为左可逆(或下方有界)的; 如果M 为满射, 则称之为右可逆的. 算子M 右可逆当且仅当M∗左可逆.引理3.1.1.[24]设A ∈B(H1), B ∈B(H2), E ∈B(H2,H1) 为给定算子, 则ME是右可逆的当且仅当R(A) + R(E|N(B)) = H1 且B 为右可逆的.引理3.1.2.[25]设A ∈B(H1), B ∈B(H2), E ∈B(H2,H1) 为给定算子, 则ME的值域R(ME) 是闭的当且仅当下列条件同时成立:(1) R(PR(A)⊥E|N(B)) 是闭的;(2) R(A) + R(PR(A)E|N(PR(A)⊥E|N(B))) = R(A);(3) R(PN(B)⊥E∗|R(PR(A)⊥E|N(B))⊥) + R(B∗) = R(B∗).文[21] 中, 从研究算子方程的解出发, 给出了Hamilton 算子的点谱表述. 类似地, 我们得到 2 × 2 上三角算子矩阵的点谱表述如下:引理3.1.3. 对于上面定义的 2 × 2 上三角算子矩阵ME有σp(ME) = {λ∈C : λI −ME不是单射}= σp(A) ∪{λ∈σp(B) : R(λI −A) ∩R(C|N(λI−B)\{0}) = ∅}.证明与文献[21] 类似, 此处从略.§3.2一类2 ×2 上三角算子矩阵的点谱划分定理3.2.1. 设A ∈B(H1) , B ∈B(H2) , E ∈B(H2,H1) 为给定算子, 则σp1(ME) = {λ∈σp(A) : R(λI −A) −R(E|N(λI−B)) = H1且R(λI −B) = H2}∪{λ∈σp1(B) : R(λI −A) −R(E|N(λI−B)) = H1且R(λI −A) ∩R(E|N(λI−B)\{0}) = ∅}.证明: 记P = {λ∈σp(A) : R(λI −A)−R(E|N(λI−B)) = H1且R(λI −B) = H2},Q = {λ∈σp1(B) : R(λI−A)−R(E|N(λI−B)) = H1且R(λI−A)∩R(E|N(λI−B)\{0}) = ∅}.先证σp1(ME) ⊃P ∪Q :(i) ∀λ∈P, 有λ∈σp(A), 故N(λI−A)\{0} = ∅, 即∃x0∈N(λI−A)\{0} s.t.(λI−A)x0= 0 . 从而∃x0D(ME) 且x0= 0s.t. (λI −ME)x0=λI − A−EλI − Bx0= 0,故λ∈σp(ME) .(ii) ∀λ∈Q, 有λ∈σp1(B) = {λ∈σp(B) : R(λI −B) = H2}, 从而N(λI −B)\{0} = ∅. 又R(λI −A) ∩R(E|N(λI−B)\{0}) = ∅, 则∃x0∈D(A) , y0∈N(λI −B)\{0} s.t. (λI −A)x0= Ey0. 显然x0y0= 0且(λI −ME)x0y0λI − A−EλI − Bx0y0= 0,故λ∈σp(ME) .由上述(i) (ii) 可知, σp(ME) ⊃P ∪Q . 又∀λ∈P ∪Q , 有R(λI −A) −R(E|N(λI−B)) = H1且R(λI −B) = H2, 由引理3.1.1 可知λI −MC 右可逆, 即R(λI −MC) = H1⊕H2, 所以λ∈σp1(ME) , 即σp(ME) ⊃P ∪Q .下证σp1(ME) ⊂P ∪Q :∀λ∈σp1(ME) , 有N(λI − ME)\{0} = ∅, R(λI −A) −R(E|N(λI−B)) = H1且R(λI −B) = H2. 任取x0y0N(λI −ME)\{0} 有(λI −ME)x0y0= 0 .(i) 若y0= 0 则 x0= 0 . 此时, (λI −ME)x0y0= 0 即为(λI −A)x0= 0 , 故λ∈σp(A) , 从而λ∈P .(ii) 若 y0= 0 , 则由(λI −ME)x0y0=λI − A−EλI − Bx0y0= 0可知λ∈σp(B) 且y0∈N(λI − B)\{0}(= ∅) . 进而, 再根据上式可得R(λI −A) ∩R(E|N(λI−B)\{0}) = ∅, 从而λ∈Q .由上述(i) (ii) 可知, σp(ME) ⊂P ∪Q .定理3.2.2. 设A ∈B(H1) , B ∈B(H2) , E ∈B(H2,H1) 为给定算子, 则σp2(ME) = {λ∈σp(A) : R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))不是闭的,R(λI −A) −R(E) = H1, R(λI −B) = H2}∪{λ∈σp(A) : R(λI −A) −R(PR(λI−A)E|N(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))) = R(λI −A),R(λI −A) −R(E) = H1, R(λI −B) = H2}∪{λ∈σp(A) : R(λI −B∗) −R(PN(λI−B)⊥E∗|R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))⊥) = R(λI −B∗), R(λI −A) −R(E) = H1, R(λI −B) = H2}∪{λ∈σp(B) : R(λI −A) ∩R(E|N(λI−B)\{0}) = ∅, R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B)) 不是闭的, R(λI −A) −R(E) = H1, R(λI −B) = H2}∪{λ∈σp(B) : R(λI −A) ∩R(E|N(λI−B)\{0}) = ∅,R(λI −A) −R(PR(λI−A)E|N(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))) = R(λI −A),R(λI −A) −R(E) = H1, R(λI −B) = H2}∪{λ∈σp(B) : R(λI −A) ∩R(E|N(λI−B)\{0}) = ∅,R(λI −B∗) −R(PN(λI−B)⊥E∗|R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))⊥) =R(λI −B∗), R(λI −A) −R(E) = H1, R(λI −B) = H2}.证明: 由引理3.1.2 可得算子矩阵ME的Moore-Penrose 谱可以具体表述为σmp(ME) = {λ∈C : R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))不是闭的}∪{λ∈ C : R(λI −A) −R(PR(λI−A)E|N(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))) = R(λI −A)}∪{λ∈C : R(λI−B∗)−R(PN(λI−B)⊥E∗|R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))⊥) = R(λI −B∗)}.进一步考虑到R(λI −ME) = H1⊕H2当且仅当R(λI −A) −R(E) = H1且R(λI −B) = H2. 再根据二类点谱的定义σp2(ME) = {λ∈σp(ME) ∩σmp(ME) : R(λI −ME) = H1⊕H2},可知σp2(ME) = σp(ME)∩σmp(ME)∩{λ∈C : R(λI −A) −R(E) = H1且R(λI −B) = H2}.由集合的交集运算易得定理成立.?定理3.2.3. 设A ∈B(H1) , B ∈B(H2) , E ∈B(H2,H1) 为给定算子, 则σp3(ME) = {λ∈σp(A) : R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B)) 是闭的, R(λI −A) −R(E|N(λI−B))= H1, R(λI −A) −R(PR(λI−A)E|N(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))) = R(λI −A),R(λI −B∗) −R(PN(λI−B)⊥E∗|R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))⊥) = R(λI −B∗) }∪{λ∈σp(A) : R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B)) 是闭的, R(λI − B) = H2,R(λI −A) −R(PR(λI−A)E|N(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))) = R(λI −A),R(λI −B∗) −R(PN(λI−B)⊥E∗|R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))⊥) = R(λI −B∗) }∪{λ∈σp(B) : R(λI −A) ∩R(E|N(λI−B)\{0}) = ∅,R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B)) 是闭的, R(λI −A) −R(E|N(λI−B)) = H1,R(λI −A) −R(PR(λI−A)E|N(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))) = R(λI −A),R(λI −B∗) −R(PN(λI−B)⊥E∗|R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))⊥) = R(λI −B∗) }∪{λ∈σp(B) : R(λI −A) ∩R(E|N(λI−B)\{0}) = ∅,R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B)) 是闭的, R(λI − B) = H2,R(λI −A) −R(PR(λI−A)E|N(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))) = R(λI −A),R(λI −B∗) −R(PN(λI−B)⊥E∗|R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))⊥) = R(λI −B∗) }.证明: 记等号右端的四个集合分别为P1, P2, P3, P4.根据三类点谱的定义可知, ∀λ∈σp3(ME) 当且仅当λ∈σp(ME) = σp(A)∪{λ∈σp(B) : R(λI −A)∩R(C|N(λI−B)\{0}) = ∅} , 值域R(λI −ME) 在空间H1⊕H2中不稠且R(λI −ME) 是闭的, 显然有R(λI −ME) = R(λI −ME).而值域R(λI −ME) 是闭的当且仅当R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B)) 是闭的,R(λI −A) −R(PR(λI−A)E|N(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))) = R(λI −A) 且R(λI −B ∗)−R(PN(λI−B)⊥E∗|R(PR(λI−A)⊥E|N(λI−B))⊥) = R(λI −B∗) . 又根据引理3.1.1 可知, 值域R(λI − ME) = H1⊕H2的充要条件为R(λI −A) −R(E|N(λI−B)) = H1或者R(λI − B) = H2. 由以上各等价关系, 易得定理成立.定理3.2.4. 设A ∈B(H1) , B ∈B(H2) , E ∈B(H2,H1) 为给定算子, 则此证明与定理3.2.2 证明类似, 此处不再详述.总结与展望本文主要利用算子矩阵分块技巧, 在2 × 2 上三角算子矩阵的基础上, 研究了3 × 3 上三角算子矩阵值域的闭性, 按照对角元算子值域闭性的不同情形, 分别利用对角元算子的相关信息描述了判断该算子矩阵值域闭性的充要条件. 并利用算子的Moore-Penrose 可逆性与值域闭性之间的关系, 得到了3 × 3 上三角算子矩阵的可能Moore-Penrose 谱和固有Moore-Penrose 的具体描述. 对于普通算子矩阵值域的闭性还需进一步探讨.研究过程中发现, 在2×2 阶的相关理论的基础上, 通过算子矩阵分块技巧, 对3 × 3 阶上三角算子矩阵进行研究, 可以比较顺利的到较好结果. 从而, 我们为了进一步研究3 × 3 阶上三角算子矩阵的点谱划分,我们首先给出了2 × 2 阶的四类点谱具体刻画. 由于四类点谱的划分还与算子的右可逆性有关, 李愿等人已给出了2×2 算子矩阵的可逆性条件, 受时间和作者能力所限, 我们还没有得到 3 ×3 阶上三角算子矩阵右可逆性的条件, 在这些理论基础上, 还可以进一步研究3 ×3 阶上三角算子矩阵四类点谱的具体刻画. 日后, 我们将继续努力.文中难免存在疏忽和不妥之处, 敬请翻阅本文的各位老师和学者批评指正.。