第五章 假设检验第一节 假设检验中的基本概念和基本原理一、统计假设的概念统计假设，指的是和抽样手段联系在一起,并且依靠抽样数据来进行验证的假设。
统计假设的内容都是数量化了的，而且验证的依据都是凭借抽样调查所取得的资料，在抽取样本资料时，必须保证抽样的随机性。
假设⎩⎨⎧H H 10备择假设原假设原假设，又称为零假设。
它一般是根据已有的资料，或经过周密考虑后确定的、具有稳定性的、受保护的经验和看法。
因此，若没有充分根据, H 0是不会被轻易否定的。
备择假设，又称为研究假设。
经过抽样调查,若有充分根据否定原假设H 0,自然就得接受其逻辑对立面。
原假设H 0的逻辑对立面即为备择假设。
以总体均值μ的假设检验为例，根据问题的不同，假设检验可能有三种： 1、双边检验 H 0：μμ0=H1：μμ0≠2、右侧单边检验 H 0：μμ0=H1：μ＞μ03、左侧单边检验 H 0：μμ0=H1：μ＜μ二、假设检验的基本原理——小概率原理小概率原理可归纳为两个方面：一是可以认为小概率事件在一次观察中是不可能出现的；二是如果在一次观察中出现了小概率事件，那么，合理的想法是否定原来认为该事件具有小概率的看法。
假设检验的基本思想:经过随机抽样获得一个来自总体的样本,然后根据样本计算某个(或某几个)统计量的数值。
若在原假设H 0成立的条件下，该统计量数值的出现几乎是不可能的,就拒绝或否定原假设H 0,并接受它的逻辑对立面——备择假设H 1。
反之,如果在原假设H 0成立的条件下,该统计量数值出现的可能性不是很小的话，就没有理由拒绝原假设H 0。
三、假设检验中的统计量1、在原假设H 0成立的情况下，统计量中不应包含有未知参数，其数值应该是确定的。
2、所选用的统计量的分布应该是已知的，是有表可查的。
例如，对于正态总体均值μ的检验H 0：μμ0=，应选择的统计量为： =Z nX σμ-（σ2已知） t =nS X μ-（σ2未知）四、显著性水平α显著性水平α是假设检验中所规定的小概率的数量界限。
也就是在原假设H 0成立的条件下，判断统计量数值的出现是否是小概率事件的标准。
常用的标准有：05.0,1.0==αα或01.0=α。
五、临界值、接受域和拒绝域选定一个检验统计量后，在原假设H 0成立的条件下，就可画出统计量的分布。
再根据给定的显著性水平α，就可确定临界值、接受域和拒绝域。
比如，对于正态总体均值μ的双边检验H 0：μμ0=，在总体方差σ2已知的情况下，我们选择=Z nX σμ-为统计量；根据原假设H 0：μμ0=，就可以画出如图5-1-1所示的Z 统计量的分布。
图5-1-1 Z 统计量的分布由于双边检验把拒绝原假设H 0的小概率事件定在了统计量分布的两侧，因此，两侧尾部面积总和所代表的概率即为显著性水平α。
又由于Z 统计量的分布是对称的，所以每侧的概率都是2α。
查标准正态分布表可得：2)(αα=>Z Z P ，2)(2αα=-<Z Z P即 )(22Z Z Z P αα<<-= α-1根据假设检验的小概率原理,如果统计量的值Z Z Z Z c c 22αα-<>或，就应拒绝原假设H；反之，若统计量的值Z Z Z c 2αα<<-，就应接受原假设H 0。
因此，该双边检验以Z Z 22αα和-为临界值，两者之间的区域为接受域，两边为拒绝域。
六、双边检验和单边检验 (一)双边检验双边检验的假设形式为：H 0：μμ0=←→H 1：μμ0≠双边检验的拒绝域被定在了统计量分布的两侧。
若给定的显著性水平为α,则每侧拒绝域的概率应各为2α。
假定所选统计量为Z 统计量，则临界值Z 2α和显著性水平α有如下的关系式：)(22Z Z Z P αα<<-=α-1也就是说，该双边检验的拒绝域为：Z Z Z Z 22αα-<>或,如图5-1-3所示。
图5-1-3 双边检验的接受域、拒绝域(二)单边检验 l.右侧单边检验右侧单边检验的假设形式为：H 0：μμ0=←→H 1：μμ0>右侧单边检验把拒绝域定在了统计量分布的右侧。
若给定的显著性水平为α,则统计量分布右尾的概率应为α。
假定所选统计量为Z 统计量，则临界值Z α和显著性水平α有如下的关系式：αα=>)(Z Z P也就是说，该右侧单边检验的拒绝域为：Z Z α>，如图5-1-4所示。
图5-1-4 右侧单边检验的接受域、拒绝域2.左侧单边检验左侧单边检验的假设形式为：H 0：μμ0=←→H 1：μμ0<左侧单边检验把拒绝域定在了统计量分布的左侧。
若给定的显著性水平为α,则统计量分布左尾的概率应为α。
假定所选统计量为Z 统计量，则临界值-Z α和显著性水平α有如下的关系式：αα=-<)(Z Z P也就是说，该左侧单边检验的拒绝域为：Z Z α-<，如图5-1-5所示。
图5-1-5 左侧单边检验的接受域、拒绝域第二节 假设检验的步骤和两类错误一、假设检验的步骤1、根据实际问题作出假设，包括原假设H 0和备择假设H 1两部分；2、根据样本构造合适的统计量,并在原假设H 0成立的条件下确定统计量的分布；3、根据有关要求给定显著性水平α，并根据统计量的分布求出拒绝域和临界值；4、根据样本统计量的观测值进行判断。
若样本统计量的值落入统计量分布的拒绝域,则拒绝原假设H 0,接受备择假设H 1；反之,则接受H 0。
二、假设检验的两类错误 1、弃真错误弃真错误，又称为第一类错误，指的是否定了未知的真实状态，把正确的原假设H 0当成了假的而加以拒绝的错误。
这是在拒绝原假设H 0时可能出现的错误。
犯弃真错误的概率就是显著性水平α。
2、纳伪错误纳伪错误，又称为第二类错误，指的是接受了未知的不真实状态，把错误的原假设H 0当成了真的而加以接受的错误。
这是在接受原假设H 0时可能出现的错误。
犯纳伪错误的概率β的大小是不确定的。
它的数值大小取决于真实的μ和原假设中的μ的偏离程度△μμμ0-=。
μ∆越小, 犯纳伪错误的概率β越大；反之，△μ越大,β的数值就越小。
（β——下图中阴影部分的面积）在样本容量n 一定的情况下, 不可能同时减小犯两类错误的概率βα和。
要想同时减小犯两类错误的概率，就只能增加样本容量n 。
第三节 单总体假设检验一、大样本假设检验（一）大样本总体均值μ的假设检验在大样本情况下，总体均值μ的假设检验的统计量为：σμμσXX nX Z 0-=-=1、双边检验H 0：μμ0=H1：μμ0≠（ 拒绝域为：Z Z Z Z 2αα-<>或 ）2、右侧单边检验H 0：μμ0=H1：μ＞μ（ 拒绝域为：Z Z α> ）3、左侧单边检验H 0：μμ0=H1：μ＜μ（ 拒绝域为：Z Z α-< ）图5-3-1 大样本总体均值μ的假设检验例、某部门统计报表显示,该部门职工的人均月收入为1500元。
为检查统计报表的正确性，在该部门职工中抽查了60人，抽查结果为：元，1520=X 36=S 元，问该部门统计报表中的人均月收入是否正确（05.0=α）？解：本问题是在=α0.05下检验假设：H 0：1500=μ←→H 1：1500≠μ。
由于是大样本，所以应选用=Z ns X μ-作为检验统计量，在H 0成立的条件下，Z ～)1,0(N 。
查标准正态分布表可得Z Z 025.02=α=1.96。
因此，该双边检验的拒绝域为：96.196.1-<>Z Z 或。
根据抽样结果有，6036150015200-=-=nX Z σμ=4.303＞1.96所以,拒绝原假设H 0,认为该部门的报表中的人均月收入不正确。
由假设检验的原理及方法可知，假设检验与区间估计其实是同一个问题的两种不同的表述方法，假设检验的接受域也正是区间估计的置信区间。
（二）大样本总体成数P 的假设检验大样本总体成数p 的假设检验的统计量为：nP Z P P P )1(ˆ0--=1、双边检验H：PP 0=H 1：PP 0≠（ 拒绝域为：Z ZZ Z 22αα-<>或 ）2、右侧单边检验H 0：P P 0=H1：PP 0>（ 拒绝域为：Z Z α> ）3、左侧单边检验H 0：P P 0=H1：PP 0<（ 拒绝域为：Z Z α-< ）图5-3-2 大样本总体成数P 的假设检验例、某县近年的高考升学率都保持在30%左右，为提高升学率，该县各校进行了一系列的教学改革。
为检查改革的成效，在该县今年的应届毕业生中抽查了100人，结果有38人考上大学。
请问该县各校的一系列教学改革是否取得成效（05.0=α）？解：本问题是在=α0.05下检验假设：H：%30=P ←→H 1：%30>P由于是大样本，所以应选用σPP PnpqP P Z ˆˆˆ-=-=作为检验统计量，在H 0成立的条件下，Z ～)1,0(N 。
查标准正态分布表可得Z Z 05.0=α=1.645。
因此，该右侧单边检验的拒绝域为：645.1>Z 。
根据有关数据，得 nP Z P P P )1(ˆ0--==100%70%30%30%38⨯-=1.746＞1.645所以,拒绝原假设H 0,认为该县的教学改革取得了成效。
二、小样本假设检验在小样本情况下，检验统计量的分布与总体分布有关。
（一）单正态总体),(2σμN 的均值检验 1、σ2已知总体均值μ的假设检验的统计量为: σμμσXX nX Z 0-=-=（1）双边检验H 0：μμ0=H1：μμ0≠（ 拒绝域为：Z Z Z Z 22αα-<>或 ）（2）右侧单边检验H 0：μμ0=H1：μ＞μ（ 拒绝域为：Z Z α> ）（3）左侧单边检验H 0：μμ0=H1：μ＜μ（ 拒绝域为：Z Z α-< ）图5-3-3 单正态总体均值μ的假设检验(σ2已知)例、某厂生产的某种螺栓的直径（单位：mm ）服从正态分布),20(2.12N ，设备维修后，从新生产的产品中随机抽查20个，测得X =21mm 。
若方差没有发生变化，问设备维修后，螺栓的直径有没有显著变化（05.0=α）？解：本问题是在=α0.05下检验假设：H：20=μ←→H 1：20≠μ由于是正态总体及小样本，且σ2已知，所以应选用=Z nX σμ-作为检验统计量，在H 0成立的条件下，Z ～)1,0(N 。
查标准正态分布表可得Z Z 025.02=α＝1.96。
因此，该双边检验的拒绝域为：96.196.1-<>Z Z 或。
根据抽样数据，可得 202.120210-=-=nX Z σμ=3.727＞1.96 所以,拒绝原假设H 0,认为设备维修后螺栓的直径发生了变化。
