第五章 假设检验

2
0
0
0
(
2
, n 1)
0
0
1
0

2
0
0
1
0
t t
H0：X X 0
H1：X X 0
t t
• 设两个总体的均值分别为 X 和 X ，两个总体的方差分 别为 S 和 S ，来自两个总体的样本容量分别为n1和n2， 样本均值分别为 和 。检验的目的是两个总体的均 x2 x1 值是否相等，或两个总体的均值之差是否为零。我们 可以建立假设如下： （双侧检验） H ：X X 或 H ：X X （左单侧检验） H ：X X 或 H ：X X （右单侧检验） H ：X X
第七章 假设检验
第一节 假设检验的基本问题 第二节 几种常见的假设检验 第三节 假设检验的两类错误与功效
第一节 假设检验的基本问题
• • • • 一、假设检验的概念与种类 二、原假设和备择假设 三、显著性水平和拒绝域 四、假设检验的基本步骤
• 所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形态 做出一个规定或假设，然后利用样本提供的信息，以 一定的概率来检验假设是否成立（或是否合理），或 者说判断总体的真实情况是否与原假设存在显著的系 统性差异。
0
0
0
H1：X X 0
或
H 0：X X 0
（左单侧检验）
或
H1：X X 0
H 0：X X 0 H1：X X 0
（右单侧检验）
下面我们分几种情况加以介绍。
（一）总体服从正态分布且方差已知 根据抽样分布原理，当总体服从正态分布 N ( X , S ) 时， 那么从中抽取容量为n的样本，其样本均值 x 服从正态 分布 N ( X , S )（为了简便，只讨论重复抽样情况），而统 计量 x nX 服从标准正态分布。 Z S 所以，当原假设为真时，我们可以构造检验统计量为： n
1 2 1 2 2 1 1 2 2 2
0
1
2
Z
1
2
对于双侧检验，当 时拒绝H0，当 时接 Z Z Z Z 受H0。对于左单侧检验，当 时拒绝H0，当 Z Z Z Z 时接受H0。对于右单侧检验，当 时拒绝H 0，当 Z Z 时接受H0。

2
2 S S2 n1 n2
2 1
• 在统计中，常见的统计假设有：总体均值（或总体成 数、总体方差等）等于（或大于、小于）某一数值， 总体相关系数等于0，两总体均值（或两总体成数、两 总体方差）相等，总体分布服从正态分布等。 • 根据检验的目的不同，假设检验可以分为双侧检验和 单侧检验两类。双侧检验是指同时注意总体参数估计 值与其假设值相比的偏高和偏低倾向的检验。单侧检 验是指只注意总体参数估计值比其假设值偏高或偏低 倾向的检验,它是单方向的。
或
H 0：P P0（左单侧检验） H1：P P0
或
H 0：P P0 H1：P P0
（右单侧检验）
• 根据抽样分布定理可知，当样本容量足够大，即nP和 n（1-P）都大于5时，样本成数p的抽样分布近似服从 正态分布，而统计量 Z p P P (1 P ) n 服从标准正态分布。其中，由于 N一般都很大，因此 总体方差 简化为 。 NP （1 P） P （ 1 P） N 1 因此，当原假设为真时，我们可以构造检验统计量为： 对于给定的显著性水平 ，可查得临界值 或 。 通过比较 与 或 ，可做出拒绝原假设H0或接受 Z Z 原假设H0的判断。判断规则与总体均值检验相同。
• 要进行假设检验，必须设立原假设和备择假设。 • 原假设也称零假设或虚无假设，是研究者对总体参数 值事先提出的假设，是被检验的假设。备择假设也称 对立假设，是研究者通过检验希望能够成立的假设， 是当原假设不成立时供选择的假设。
H0： 0 • 设总体参数 的假设值为 0 ，那么原假设记为： 它表示总体参数值与其假设值之间没有显著差异。 H ： （双侧检验时） 备择假设记为： 或 H ： （右单侧检验时） 或 H ： （左单侧检验时）
2
2
x X0 S 对于双侧检验，针对给定的显著性水平 n Z
要接受H0；当
，当 时，则要拒绝H0而接受H1。 Z
2
时，
Z
2
Z Z
（二）总体分布及其方差均未知但大样本 根据中心极限定理，当样本容量足够大时（n>30）， 样本均值 x 也趋于服从数学期望为 ，方差为 S 的正 X n 态分布。但由于 S 2 未知，要以样本方差 (x x ) 来 s n 1 估计，这时统计量 Z x X 趋于服从标准正态分布。 s 所以，如果原假设 成立，我们也可以构造检验 n H ：X X 统计量为： x X Z s 根据与（一）相同的规则，通过比较 值与临界值 n Z Z 或 ，可以做出接受H0或拒绝H1的判断，唯一不同之 Z 处，就是以 代替了 。
1 0 1 0
1
0
• 假设检验的实质就是样本信息是否有充分的理由来否 定原假设。 • 一方面原假设H0受到保护而不被轻易否定，使它处于 有利地位；另一方面当原假设H0被接收时，又认为它 不一定正确。 • 还须指出，备择假设的表达式中是不含有等号的，即 等号一定存在于原假设中。
• 进行假设检验，概率论中关于小概率事件在一次试验 中是不可能事件的原则是其所要遵循的基本原则。 • 由抽样分布理论可知，若原假设成立，则样本统计值 与总体参数假设值偏差很大的事件是一个小概率事件。 倘若在一次抽样中，样本统计值与总体参数假设值相 差很大，那么在原假设成立的条件下，就是出现了一 个小概率事件。一旦出现小概率事件，就要怀疑原假 设的正确性，从而否定原假设。若一次抽样的样本统 计值与总体参数假设值相差不大，那么就没有理由拒 绝原假设，也就只好接受原假设。

2
Z Z
（二）两个总体方差未知但大样本 若两个总体方差S12 和S22 未知且不相等，要分别以样 2 本方差 来估计，那么当n1和n2都足够大时，统 s12 和 s2 计量 ( x x ) ( X X )
Z
1 2 1 2
趋于服从标准正态分布。 当原假设 H ：X X 成立时，我们可构造检验统计量为：
或
( , n1 n2 2) 2
(
2
, n1 n2 2)
( ,n1 n2 2)
1
2
t t( ,n1 n2 2)
t t( ,n1 n2 2)
• 检验的目的是判断总体成数P是否等于P0，我们可以建 立假设如下： （双侧检验） H 0：P P0
H1：P P0
• 接受或拒绝原假设，最终要以显著性水平为依据确定 评判的规则。评判规则有两种；临界值规则和P-值规 则。 • 所谓临界值规则，就是先把值转化为一定分布下的临 界值，然后计算检验统计值，最后把检验统计值与临 界值相比较来判断是否拒绝原假设。 • 所谓P-值规则，就是先计算检验统计值 ，然后求出 统计量分布曲线图中与检验统计值相对应的、称之为 Z 观测到的显著性水平P-值，最后把P-值与事先给定的 显著性水平值 相比较来判断是否拒绝原假设。

2
Z
p P0 P0 (1 P0 ) n

Z
Z
2
Z
• 设两个总体成数分别为P1和P2，来自两个总体的样本 容量分别为n1和n2，样本成数分别为p1和p2。检验两 个总体成数是否相等，或两个总体成数之差是否为零， 我们可以建立假设如下： （双侧检验）
H 0：P 1 P 2 H1：P 1 P 2

• 检验统计量是样本统计量的标准化形式，其构造公式 ˆ ˆ 为 Z SE (ˆ) 或 t SE(ˆ) 。凡是检验统计量之值的绝 对值小于临界值的绝对值，那么就接受原假设；若检 验统计量之值的绝对值大于或等于临界值的绝对值， 那么就拒绝原假设。这样，临界值就把样本统计量的 概率分布区域分成了两部分（即把检验统计量的取值 分成了两个区域）：不超过临界值的区域和超过临界 值的区域。我们把不超过临界值的区域称为接受域， 把超过临界值的区域（含临界值点）称为拒绝域。标 准正态分布的拒绝域如图5-1、图5-2所示。
1 2 1 2
s
1 1 n1 n2
其中
s
2 (n1 1) s12 ( n2 1) s2 n1 n2 2
为合并标准差。
Z ( x1 x2 ) 1 1 s n1 n2
当原假设成立时，检验统计量为： 对于双侧检验，当 t t 时要拒绝H0，当 t t 要接受H0。对于左单侧检验，当 时要拒绝 t t H0 ，当 时要接受H0 。对于右单侧检验， t t(时要拒绝 当 H0 ，当 要接受H0 。 ,n n 2)
2
2
2
i
0
0
0
0


2
s
S
（三）总体为正态分布，但方差未知且小样本 若总体服从正态分布 N ( X , S ) ，但 S 2 未知而要用样本方 差 s 2 估计，那么当n 30 时，统计量t x X 服从自由度 s 为n-1的t分布。 n xX 如果原假设 H ：X X 成立，则检验统计量为： t s n 根据规定的显著性水平 来确定临界值 t 或 ， t ( ,n1) 通过比较t和 （或 ），来做出接受或拒绝原假设 t t 2 的判断。这种检验称为小样本 t检验。 对于双侧检验，当 ，接受原假设 而拒绝 t t H： X 而接受 X 备择假设 ；若 ，则要拒绝 H H1。 2 0 同理，对于左单侧检验，当 时，拒绝 而 t t H ：X X 接受 ；若 。则接受 H0。对于右单侧检 t t H ：X X 验，当 时，拒绝 而接受 若 ， H ：X X t t 则接受H0。
0 1 2
2 s12 s2 n1 n2