高考数学二轮复习 教师用书 指导一、二、三 文

2017届高考数学二轮复习 教师用书2 专题二-专题三第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 答案 B2.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6).于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin(4＋π6)，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4，又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4－7π6.又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A. 答案 A3.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关D.与b 无关，但与c 有关解析 因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B. 答案 B4.(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT2，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )，则ω＝2k ＋1(k ∈Z )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，满足题意.由此得ω的最大值为9，故选B. 答案 B考 点 整 合1.常用三种三角函数的易误性质 函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z )上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝ ⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换热点一 三角函数的图象[微题型1] 三角函数的图象变换【例1－1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0π2 π3π2 2π xπ3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 探究提高 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.[微题型2] 由三角函数图象求其解析式【例1－2】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为______.解析 根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6＝3π4，所以周期T ＝π，由ω＝2πT＝2.又函数过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，2，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π.所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.答案 1探究提高 已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】 (2016·绍兴模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故f (x )＝sin(2x ＋φ).由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12.热点二 三角函数的性质 [微题型1] 三角函数性质的应用【例2－1】 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜|φ|＜π2为奇函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的单调递增区间.解 (1)f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin （ωx ＋φ）＋32cos （ωx ＋φ）＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3. 因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0，又0＜|φ|＜π2，可得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ωx ，由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2sin 2x . 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π3＝ 3.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后， 得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )时，g (x )单调递增，因此g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).探究提高 对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的求解，其基本方法是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.[微题型2] 由三角函数的性质求参数【例2－2】 (1)(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.(2)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________. 解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z ). ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z ). 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22， 且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.(2)由f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，得T 2≥π2－π6，即T ≥2π3；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4，即T ＝π.答案 (1)π2(2)π探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证. [微题型3] 三角函数图象与性质的综合应用【例2－3】 设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域.解 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋ 3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z ).又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2].探究提高 求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.【训练2】 (2016·浙江五校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域. 解 (1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 则f (x )的最小正周期为π， 由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z ).(2)g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋122－14. 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12时，g (x )取得最小值－14，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，g (x )取得最大值2， 所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解.(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程；(2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (一角一函数)的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(2016·山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.3π2D.2π解析 ∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T＝π，故选B. 答案 B2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为( )A.y ＝sin 2xB.y ＝cos 2xC.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析 由图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，∴ω＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|＜π2得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则图象向右平移π6个单位后得到的图象的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案 D3.(2016·温州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时φ的值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2.此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0＜φ＜π，所以φ＝5π6.答案 D4.(2016·北京卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6 C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π3解析 点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.答案 A5.(2016·唐山期末)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A.3B.2C.6D.5解析 ∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.∴当x ＝π6＋π22＝π3时，f (x )＝0.∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，排除A 、C ； 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2. 答案 B 二、填空题6.(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案2 17.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.解析 在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点. 答案 78.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，则ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案π2三、解答题9.已知函数f (x )＝4sin 3x cos x －2sin x cos x －12cos 4x .(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值.解 f (x )＝2sin x cos x ()2sin 2x －1－12cos 4x＝－sin 2x cos 2x －12cos 4x＝－12sin 4x －12cos 4x＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4.(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π4，所以π4≤4x ＋π4≤5π4.此时－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，所以－22≤－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤12，即－22≤f (x )≤12.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12，－22.10.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域. 解 (1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，可得cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以－33cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36， 即函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36.11.已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间. 解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2). 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0＜φ＜π，所以φ＝π6. 因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ， 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C.1D.1625解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 答案 A2.(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.答案21133.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________.解析 如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°，∴设AD ＝12x ，则AE ＝22x ，DE ＝6＋24x ，令CD ＝m ，∵BC ＝2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫6＋24x ＋m ·sin 15°＝1⇒6＋24x ＋m ＝6＋2， ∴0<x <4，而AB ＝6＋24x ＋m －22x ＝6－24x ＋m ＝6＋2－22x ， ∴AB 的取值范围是(6－2，6＋2). 答案 (6－2，6＋2)4.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin2α.2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .热点一 三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4(2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(3)(2016·合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.则sin 2α＝________.解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.(2)∵α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35＞0， ∴α＋π6为锐角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×45×35＝2425，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425.(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.答案 (1)C (2)2425 (3)12探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 (1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. 【训练1】 (1)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16 B.13 C.12D.23(2)(2016·成都模拟)sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝( ) A.－63B.－66C.66D.63(3)(2016·中山模拟)已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解析 (1)法一 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝12(1－sin 2α)＝16. 法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22cos α－22sin α.所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α) ＝12(1－sin 2α)＝16. (2)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－532＝－23.由cos α＝2cos 2α2－1，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，得cos α2＝－cos α＋12＝－66. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－66. (3)因为cos(2α－β)＝－1114，且π4＜2α－β＜π， 所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437，且－π4＜α－2β＜π2.所以cos(α－2β)＝17，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.又π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3. 答案 (1)A (2)B (3)π3热点二 正、余弦定理的应用 [微题型1] 三角形基本量的求解【例2－1】 (2016·四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C . (2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.[微题型2] 求解三角形中的最值问题【例2－2】 (2016·绍兴模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2sinπ3＝43， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C .所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值. [微题型3] 解三角形与三角函数的综合问题【例2－3】 (2016·四川成都诊断二)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值.解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. ∵f (x )的最小正周期为π， ∴T ＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . ∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B ∈(0，π)).∵BC ＝3，∴a ＝3，∵sin B ＝3sin A ， ∴b ＝3a ，∴b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3， 解得sin A ＝12.∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6.∴C ＝π6，∴c ＝a ＝ 3.∴BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.探究提高 解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练2】 (2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋ sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sinC 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C.－34D.－43解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2 α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.答案 C2.(2016·宁波二模)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A.10 B.9 C.8D.5解析 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，又角A 为锐角， 解得cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b ＝5. 答案 D3.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010 B.1010C.－1010D.－31010解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010.答案 C4.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.答案 B5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A.3 B.932C.332D.33解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①.∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C. 答案 C 二、填空题6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 87.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6. 答案 10068.(2016·杭州模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－24三、解答题9.(2016·北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，∵0＜A ＜3π4，∴π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值.解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin B sin C ＝ba sin A ·c asin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57. 11.(2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.\ 第3讲 平面向量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2016·北京卷)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件. 答案 D2.(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4 C.94D.－94解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.答案 B3.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析 由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 －24.(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________. 解析 法一 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.法二 由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6 ①.令sin α＋2sin β＝m ②， ①2＋②2得4[|cos α cos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1.故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案 12考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则。

技巧——巧解客观题的10大妙招(一)选择题的解法选择题是高考试题的三大题型之一，全国卷12个小题.该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题目，且一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧，总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做.方法一 直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.【例1】 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n ＜a 恒成立，则实数a 的最小值为( )A.12B.23C.32D.2解析 对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n ＝a 1＝13. 故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜12， 由于S n ＜a 对任意n ∈N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12. 答案 A探究提高 直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.【训练1】 (2015·湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.答案 B方法二 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题.【例2】 (1)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.3∶1 (2)已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x ＞0时，f (x )＞1，那么当x ＜0时，一定有( )A.f (x )＜－1B.－1＜f (x )＜0C.f (x )＞1D.0＜f (x )＜1解析 (1)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有V C －AA 1B ＝V A 1－ABC ＝V ABC －A 1B 1C 13.(2)取特殊函数.设f (x )＝2x ，显然满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )(即2x ＋y ＝2x ·2y )，且满足x ＞0时，f (x )＞1，根据指数函数的性质，当x ＜0时，0＜2x ＜1，即0＜f (x )＜1.答案 (1)B (2)D探究提高 特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.【训练2】 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A.130B.170C.210D.260解析 取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210.答案 C方法三 排除法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.【例3】 函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]上的图象大致为( )解析 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x ≤π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2 x ＋cos x ＋1，f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D. 答案 C探究提高 (1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个.(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项.(3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排除.(4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的.(5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断.【训练3】 (1)方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )A.0＜a ≤1B.a ＜1C.a ≤1D.0＜a ≤1或a ＜0 (2)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，则f ′(x )的图象是( )解析 (1)当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时， x ＝－1，排除B.(2)f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋cos x ′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ，D 两项，g ′(x )＝12－cos x ，显然当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，g ′(x )＜0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，故排除C.选A. 答案 (1)C (2)A方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略.【例4】 函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A.0B.1C. 2D.3解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x ＞0)，y 2＝ln x (x ＞0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.答案 C探究提高 图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能简捷地得到结果.运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而会导致错误的选择.【训练4】 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33B.－33C.±33D.－ 3 解析 由y ＝1－x 2，得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其所表示的图形是以原点O 为圆心，1为半径的上半圆(如图所示).由题意及图形，知直线l 的斜率必为负值，故排除A ，C 选项.当其斜率为－3时，直线l的方程为3x ＋y －6＝0，点O 到其距离为|－6|3＋1＝62＞1，不符合题意，故排除D 选项.选B.答案 B方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.【例5】 已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜θ＜π，则tan θ2等于( ) A.m －39－mB.m －3|9－m |C.－15D.5解析 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tanθ2也是一确定的值，又π2＜θ＜π，所以π4＜θ2＜π2，故tan θ2＞1.所以D 正确. 答案 D探究提高 估算法的应用技巧： 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.【训练5】 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )A.1B. 2C.2－12D.2＋12解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12. 答案 C1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃.3.作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.(二)填空题的解法填空题是高考试题的第二题型.从历年的高考成绩以及平时的模拟考试可以看出，填空题得分率一直不是很高.因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等.方法一 直接法对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.【例1】 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________.解析 设P 点在双曲线右支上，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 故|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，则|PF 2|＜|F 1F 2|，得∠PF 1F 2＝30°，由2a sin 30°＝4a sin ∠PF 2F 1， 得sin ∠PF 2F 1＝1，∴∠PF 2F 1＝90°，在Rt△PF 2F 1中，2c ＝（4a ）2－（2a ）2＝23a ，∴e ＝c a ＝ 3.答案 3 探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.【训练1】 (1)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. (2)(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，又θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105. (2)从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误.故选D.答案 (1)－105(2)D 方法二 特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.【例2】 (1)若f (x )＝12 015x－1＋a 是奇函数，则a ＝________. (2)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且1，－1是其定域内的值，所以f (－1)＝－f (1)，而f (1)＝12 014＋a ，f (－1)＝12 015－1－1＋a ＝a －2 0152 014.故a －2 0152 014＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12 014，解得a ＝12. (2)把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 答案 (1)12(2)18探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.【训练2】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.解析 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线PQ 与直线BC 重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.答案 2方法三 图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.【例3】 (1)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |（0＜x ≤10），－12x ＋6（x ＞10），若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________.解析 (1)函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.(2)a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ， ∵f (a )＝f (b )＝f (c )，如图所示，由图象可知，0＜a ＜1， 1＜b ＜10，10＜c ＜12. ∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |. 即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b.则ab ＝1.所以abc ＝c ∈(10，12).答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (2)(10，12) 探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.【训练3】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为________.解析 由f (－4)＝f (0)，得16－4b ＋c ＝c . 由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2. 联立两方程解得b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x ＞0.在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，即函数g (x )有3个零点. 答案 3 方法四 构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决. 【例4】 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________.解析 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案6π探究提高 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.【训练4】 已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________.解析 令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0，1)上是增函数.∵1＞12 013＞12 014＞12 015＞0，∴a ＞b ＞c . 答案 a ＞b ＞c 方法五 综合分析法对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.【例5】 已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0，1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题：①f (2 013)＋f (－2 014)的值为0；②函数f (x )在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y ＝x 与函数f (x )的图象有1个交点；④函数f (x )的值域为(－1，1).其中正确的命题序号有________.解析 根据题意，可在同一坐标系中画出直线y ＝x 和函数f (x )的图象如下：根据图象可知①f (2 013)＋f (－2 014)＝0正确，②函数f (x )在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f (x )的值域是(－1，1)，正确. 答案 ①③④探究提高 对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选.做好此类题目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论.【训练5】 给出以下命题：①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x≥2”是真命题； ③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为nn －4＋8－n （8－n ）－4＝2(n ≠4). 则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号). 解析 ①由y 22－x 2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确.②命题不能保证sin x ，1sin x为正，故错误； ③根据线性回归方程的含义正确；④根据验证可知得到一般性的等式是正确的. 答案 ①③④1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确； (2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论； (3)要重视对所求结果的检验.规范——解答题的7个解题模板及得分说明1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.2.不求巧妙用通法，通性通法要强化高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.3.干净整洁保得分，简明扼要是关键若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分.4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.模板1 三角变换与三角函数图象性质类考题(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值与最小值.解 (1)f (x )＝cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.模板2 三角变换与解三角形类考题且a ＋b ＝3c ，2sin 2C ＝3sin A sin B . (1)求角C ；(2)若S △ABC ＝3，求边c .解 (1)∵2sin 2C ＝3sin A sin B ，∴sin 2C ＝32sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝32ab ，∵a ＋b ＝3c ，∴a 2＋b 2＋2ab ＝3c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2－2ab 2ab ＝3ab －2ab 2ab ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ，∵C ＝π3，∴ab ＝4，又c 2＝32ab ，∴c ＝ 6.模板3 数列的通项、求和类考题n 23510100.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2an }的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)由(1)可知a n ·2a n ＝(2n －1)·22n －1，所以S n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，①4S n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1，②①－②得：－3S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1.∴S n ＝2＋2×（23＋25＋…＋22n －1）－（2n －1）×22n ＋1－3＝2＋2×8（1－4n －1）1－4－（2n －1）×22n ＋1－3＝－6＋2×8（1－4n －1）＋（6n －3）×22n ＋19＝109＋（6n －5）·22n ＋19.模板4 概率与统计类考题[真题] (2016·全国Ⅲ卷)(满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：满分解答得分说明解题模板解(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得t＝4，(1分)∑i＝17(t i－t)2＝28，(2分)721()iiy y=-∑＝0.55.(3分)777111()()i i i i ii i it t y y t y t y===--=-∑∑∑＝40.17－4×9.32＝2.89，(4分)r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.(5分)①根据公式求：t；721();iit t=-∑71()();i iit t y y=--∑r且正确各得1分；②结论1分，第一步确定两个变量的平均数第二步依据参考公式计算r，a^、b^等第三步下结论.机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：解(1)如图所示.通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P (C A )的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P (C B )的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.模板5 立体几何类考题[真题] (2016·全国Ⅲ卷)(满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(Ⅰ)证明：MN ∥平面PAB ； (Ⅱ)求四面体N －BCM 的体积.满分解答得分说明解题模板(Ⅰ)证明 由已知得AM ＝23AD＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.(2分)又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，(4分)于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(6分)①取点连线，证明四边形AMNT 为平行四边形得4分. ②根据线面平行的判定定理得出结论得2分.第一步 找线线：通过中位线、平行四边形的对边平行寻找线线平行. 第二步 找线面：根据线面平行的判定定理判定线面平行.第三步 利用平面(Ⅱ)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .(7分)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.(8分)由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.(10分)所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA2＝453.(12分) ③利用平面几何知识求得各线段的长，得2分，④求S △BCM 得2分， ⑤利用三棱锥体积公式求V N －BCM 得2分.几何知识求线段的长、底面积. 第四步 利用三棱锥体积公式求得结论.【训练5】 (2015·北京卷)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点.(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积.(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB ， 又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，所以OC ⊥平面VAB .又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB . (3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥C －VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等， 所以三棱锥V －ABC 的体积为33.模板6 解析几何中的探索性考题四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形.(12分)【训练6】 如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论.解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3.由椭圆的定义知 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1＋1）2 ＝2 3.于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2. 当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3. 此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1，得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， 于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →， 即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.模板7 导数与函数类考题【训练7】(2016·成都二诊)设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，求m 的取值范围.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x，则f ′(x )＝x －ex2，∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x－1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点. ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)， 可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点. 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.(3)对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，。

第1讲 函数图象与性质及函数与方程高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性、单调性；2.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解，综合性强；3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理.数形结合思想是高考考查函数零点或方程的根的基本方式.真 题 感 悟1.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上为增函数；y ＝cos x 在区间(－1，1)上不是单调函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上单调递减. 答案 D2.(2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]上的图象大致为( )解析 令f (x )＝2x 2－e |x |(－2≤x ≤2)，则f (x )是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，故排除A ，B ；当x >0时，令g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x，而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，g ′(x )<14×4－e 0＝0，因此g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.答案 D3.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2xD.y ＝1x解析 函数y ＝10lg x的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D.答案 D4.(2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. 解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x，则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (2) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＝－2＋0＝－2. 答案 －2考 点 整 合1.函数的性质 (1)单调性①用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.②常见判定方法：(ⅰ)定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；(ⅱ)图象法；(ⅲ)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(ⅳ)导数法.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性.(3)周期性：常见结论有：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意结合其图象研究.3.指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质，分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，着重关注函数图象中两种情况的公共性质.4.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.热点一 函数性质的应用[微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性【例1－1】 (1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B.奇函数，且在(0，1)上是减函数 C.偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. (3)(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.解析 (1)易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. (3)f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则f (x )最大值为f (2)＝22－1＝2.答案 (1)A (2)1 (3)2探究提高 牢记函数的奇偶性、单调性的定义以及求函数定义域的基本条件，这是解决函数性质问题的关键点.[微题型2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性【例1－2】 (1)(2016·天津二模)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.a ＜c ＜bD.c ＜b ＜a(2)(2016·广州4月模拟)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________. 解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0， ∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B.(2)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，f (x )＝2|x －1|，∴f (x )的增区间为[1，＋∞)，∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 (1)B (2)1探究提高 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.【训练1】 (1)(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.2(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当x＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，故选D. (2)由题意知a ＞0，又log 12a ＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a ).∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1). 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增.∴|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 答案 (1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 热点二 函数图象与性质的融合问题 [微题型1] 函数图象的识别 【例2－1】 (1)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1x－x sin x 的大致图象为( )解析 (1)法一 函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(e ，1)，排除C ，D ；函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(－e ，－1)，排除A ，选B. 法二 由已知，设f (x )＝x ln|x ||x |，定义域为{x |x ≠0}.则f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D ，故选B. (2)由y 1＝1x－x 为奇函数，y 2＝sin x 为奇函数，可得函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x sin x 为偶函数，因此排除C 、D.又当x ＝π2时，y 1＜0，y 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0，因此选B.答案 (1)B (2)B探究提高 根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法. [微题型2] 函数图象的应用【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A.0B.mC.2mD.4m(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c解析 (1)由题f (x )＝f (2－x )关于x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于x ＝1对称，两函数的交点成对出现，因此根据图象的特征可得∑i ＝1mx i ＝m ，故选B.(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c .选D. 答案 (1)B (2)D探究提高 (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法. 【训练2】 (1)函数y ＝x 33x－1的图象大致是( )(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 等于( ) A.－1B.1C.2D.4解析 (1)由3x－1≠0得x ≠0， ∴函数y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，可排除A ； 当x ＝－1时，y ＝（－1）313－1＝32＞0，可排除B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝45，但从D 中函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除D.故选C.(2)设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2.答案 (1)C (2)C热点三 函数的零点与方程根的问题 [微题型1] 函数零点的判断【例3－1】 (1)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A.0B.1C.2D.3(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________.解析 (1)法一 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y 1＝2x－2与y 2＝－x 3的图象在区间(0，1)内的交点个数.作图(图略)，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C ，D 项；当x ＝0时，y 1＝－1＜y 2＝0，当x ＝1时，y 1＝0＞y 2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A 项错误.选B.法二 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋13－2＝1，所以f (0)·f (1)＜0.又函数f (x )在(0，1)内单调递增，所以f (x )在(0，1)内的零点个数是1.(2)当x >0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有两个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有三个零点.答案 (1)B (2)3探究提高 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. [微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数 【例3－2】 (1)(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |. 当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ， 在(m ，＋∞)为增函数.若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根， 则m 2－2m ·m ＋4m ＜|m |.又m ＞0，∴m 2－3m ＞0，解得m ＞3.(2)由f (x )＝g (x )，∴|x －2|＋1＝kx ，即|x －2|＝kx －1，所以原题等价于函数y ＝|x －2|与y ＝kx －1的图象有2个不同交点. 如图：∴y ＝kx －1在直线y ＝x －1与y ＝12x －1之间，∴12＜k ＜1，故选B. 答案 (1)(3，＋∞) (2)B探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 【训练3】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝e x＋f ′(x )的零点所在的区间是( ) A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2)D.(2，3)(2)(2016·海淀二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )的图象可知，0＜f (0)＝a ＜1，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝e x ＋2x －b ，所以g ′(x )＝e x ＋2＞0，即g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1－b ＜0，g (1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)，故选B.(2)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x－1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x－a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2. 答案 (1)B (2)①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.3.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性.4.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.5.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、选择题1.(2016·沈阳模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(－1，1)上单调递减的函数是( ) A.f (x )＝sin x B.f (x )＝2cos x ＋1 C.f (x )＝2x－1D.f (x )＝ln 1－x1＋x解析 由函数f (x )为奇函数排除B 、C ，又f (x )＝sin x 在(－1，1)上单调递增，排除A ，故选D.答案 D2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3B.6C.9D.12解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C. 答案 C3.(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析 ∵y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、C.又当x 2＝π2，即x ＝±π2时，y max ＝1，排除B ，故选D. 答案 D4.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|).当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.答案 A5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt△POB 中，|PB |＝|OB |tan∠POB ＝tan x ，在Rt△PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tanx ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由以上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.答案 B 二、填空题6.(2016·成都二诊)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 答案 (1，2]7.设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于________.解析 根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14. 所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14. 答案 －148.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________. 解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 三、解答题9.已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围. 解 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，它显然有一个为正实数的零点.当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1的图象是抛物线，且与y 轴的交点为(0，1)，由f (x )有且仅有一个正实数的零点，则得：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1m >0，Δ＝0或②x ＝1m<0，解①，得m ＝1：解②，得m <0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}. 10.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)，所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值，k (2)＝2－2ln 2－a ， 因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点. 即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3]. 11.已知函数f (x )＝ex －m－x ，其中m 为常数.(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围；(2)当m ＞1时，判断f (x )在[0，2m ]上零点的个数，并说明理由. 解 (1)f ′(x )＝ex －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m＜1，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，ex －m＞1，f ′(x )＞0，f (x )单调递增.∴当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值. 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，则m 的取值范围是(－∞，1].(2)由(1)知f (x )在[0，2m ]上至多有两个零点，当m ＞1时，f (m )＝1－m ＜0.∵f (0)＝e －m＞0，f (0)f (m )＜0，∴f (x )在(0，m )上有一个零点. ∵f (2m )＝e m－2m ，令g (m )＝e m－2m ， ∵当m ＞1时，g ′(m )＝e m－2＞0，∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (m )＞g (1)＝e －2＞0，即f (2m )＞0.∴f (m )·f (2m )＜0，∴f (x )在(m ，2m )上有一个零点. ∴故f (x )在[0，2m ]上有两个零点.第2讲 不等式问题高考定位 1.利用不等式性质比较大小，不等式的求解，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.但在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c<b cD.c a>c b解析 取a ＝4，b ＝2，c ＝12，逐一验证可得B 正确.答案 B2.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，由于1a ＋2b ≥22ab，当且仅当b ＝2a 时取等号.∴ab≥22ab，∴ab ≥2 2.故选C.答案 C3.(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.q ＝r ＞p C.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln(ab )12＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 答案 C4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到最小值为－5. 答案 －5考 点 整 合1.简单分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）＞0(＜0)⇔f (x )g (x )＞0(＜0)；(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.2.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论. (2)四个常用结论①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.③a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max . ④a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . 3.利用基本不等式求最值已知x ，y ∈R ＋，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24⎝⎛⎭⎪⎫xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝S 24；(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P ).4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值. 5.不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.热点一 利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单应用【例1－1】 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x＋2y的最小值是( )A.53B.83C.8D.24(2)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________.解析 (1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0， 即2x ＋3y ＝3.∵x ＞0，y ＞0， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·13(2x ＋3y ) ＝13⎝⎛⎭⎪⎫6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2×6)＝8.当且仅当3y ＝2x 时取等号.(2)设正项等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去). ∴a m ·a n ＝a 1·2m －1·a 1·2n －1＝4a 1，平方得2m ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当n m＝4mn，即n ＝2m ，亦即m ＝2，n ＝4时取等号. 答案 (1)C (2)32探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. [微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题【例1－2】 (1)已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时，x ，y 的值分别为( ) A.5，5B.10，52C.10，5D.10，10(2)(2016·郑州模拟)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________. 解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ＋5＝xy ≥24xy ＋5， 即xy －4xy －5≥0，可求xy ≥25. 当且仅当x ＝4y 时取等号，即x ＝10，y ＝52.(2)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y ＞0，即x ＝1010，y ＝105时成立. 答案 (1)B (2)2105探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解.【训练1】 (1)(2016·广州模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是( ) A.3B.5C.7D.8(2)(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________. 解析 (1)由x ＋y ＋1＝xy ，得y ＝x ＋1x －1，又y ＞0，x ＞0，∴x ＞1. ∴x ＋2y ＝x ＋2×x ＋1x －1＝x ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1＝x ＋2＋4x －1＝3＋(x －1)＋4x －1≥3＋4＝7， 当且仅当x ＝3时取“＝”.(2)由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x＝2y 时取等号. 答案 (1)C (2)2热点二 含参不等式恒成立问题 [微题型1] 分离参数法解决恒成立问题【例2－1】 (1)关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为________.(2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设f (x )＝x ＋4x ，因为x ＞0，所以f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号.又关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2－2a ＋1＜4，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围为(－1，3).(2)要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，由于x >0，y >0，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立. 由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去).设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376. 答案 (1)(－1，3) (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376探究提高 一是转化法，即通过分离参数法，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对∀x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )；二是求最值法，即求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题. [微题型2] 函数法解决恒成立问题【例2－2】 (1)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________.(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ＋1对x ∈[0，2]恒有f (x )＞0.则实数a 的取值范围为________.解析 (1)法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.∴－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为[－3，1].法二 设g (x )＝f (x )－a ，则g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.(2)法一 函数法.若a ＞0，则对称轴x ＝－12a＜0，故f (x )在[0，2]上为增函数，且f (0)＝1， 因此在x ∈[0，2]上恒有f (x )＞0成立. 若a ＜0，则应有f (2)＞0，即4a ＋3＞0， ∴a ＞－34.∴－34＜a ＜0.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞). 法二 分离参数法.当x ＝0时，f (x )＝1＞0成立.当x ≠0时，ax 2＋x ＋1＞0变为a ＞－1x 2－1x，令g (x )＝－1x 2－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≥12.∴当1x ≥12时，g (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34. ∵a ＞－1x 2－1x ，∴a ＞－34.又∵a ≠0，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞).答案 (1)[－3，1] (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞) 探究提高 参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.【训练2】 若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________. 解析 因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数， 即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＝x 2＋2x ＋1≥0，g （2）＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R . 答案 R热点三 简单的线性规划问题[微题型1] 已知线性约束条件，求目标函数最值【例3－1】 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________.解析 可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (1，0)，B (－1，－1)，C (1，3)，直线z ＝2x ＋3y －5过点B 时取最小值－10. 答案 －10探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.[微题型2] 线性规划中的含参问题【例3－2】 (1)(2016·成都诊断)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( ) A.－2B.－1C.1D.2(2)(2015·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A.3 B.2 C.－2D.－3解析 (1)由图形知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1，O (0，0).只有在B点处取最大值2，∴2＝42m －1－2m2m －1.∴m ＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1). 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.答案 (1)C (2)B探究提高 对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练3】 (1)(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥02x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0则x 2＋y 2的取值范围是________.(2)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤－x ＋2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则实数a 的值是( )A.34B.12C.13D.14解析 (1)已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x ，y )为阴影部分内的动点，x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.(2)依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ；因为目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，所以3a ＝1，解得a ＝13，故选C.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 (2)C1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b <a <c . 答案 A2.(2016·浙江卷)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0D.(b －1)(b －a )＞0解析 由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得： 当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1， 代入验证只有D 满足题意. 答案 D3.(2016·太原模拟)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是( )A.3B.4C.7D.12解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ∈R ＋，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n4≤(m 3＋n42)2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.答案 A4.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( ) A.[22，＋∞) B.(－∞，22] C.(－22，＋∞)D.(－∞，－22)解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x.而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 C5.(2016·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( ) A.[0，1] B.[－1，0] C.[－1，1]D.[－1，0]解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，（－a ）2－2×（－a ）＋a 2＋2a ≤2×3或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0， 解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0.故－1≤a ≤1. 答案 C二、填空题6.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为12，则z 的最小值为________.解析 作出不等式组所表示的可行域如图所示，平移直线x ＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B 时目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点，即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案 －67.(2016·合肥二模)当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n的最小值为________.解析 函数f (x )的图象恒过点A (2，1)，∴2m －1＋n ＝0，即2m ＋n ＝1， ∴4m＋2n≥24m·2n＝222m ＋n＝22，当且仅当2m ＝n ＝12时等号成立.答案 228.(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中阴影部分(包括边界)内的参数点，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，。

高三数学第二轮复习教案2024文案教案名称：高三数学第二轮复习教案教学目标：1.巩固和深化第一轮复习的基础知识，提升解题技能。

2.突破重点、难点，提高学生的应试能力。

3.培养学生的逻辑思维和创新能力。

教学内容：1.函数与导数2.三角函数3.数列4.解析几何5.统计与概率6.立体几何教学时间：12周一、第一周：函数与导数1.1复习函数的基本性质、图像及变换1.2复习导数的概念、求导法则及导数应用教学重点：1.函数的单调性、奇偶性、周期性、极值点等基本性质。

2.导数的定义、求导法则、导数应用（如函数的单调性、极值点、拐点等）。

教学难点：1.函数图像的变换。

2.导数应用中的极值点、拐点等。

教学案例：1.已知函数f(x)=x^33x，求f(x)的单调区间、极值点及拐点。

2.已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求g(x)的周期、单调区间及极值点。

二、第二周：三角函数2.1复习三角函数的基本概念、图像及性质2.2复习三角恒等变换、解三角形教学重点：1.三角函数的基本概念（如正弦、余弦、正切等）。

2.三角函数的图像与性质（如周期性、奇偶性等）。

3.三角恒等变换（如和差化积、积化和差等）。

4.解三角形（如正弦定理、余弦定理等）。

教学难点：1.三角恒等变换的灵活运用。

2.解三角形中的实际问题。

教学案例：1.已知sin(α)=3/5，cos(α)=4/5，求tan(α)的值。

2.在△ABC中，a=3，b=4，C=60°，求c的值。

三、第三周：数列3.1复习数列的基本概念、通项公式及求和公式3.2复习数列的递推关系及数列极限教学重点：1.数列的基本概念（如等差数列、等比数列等）。

2.数列的通项公式及求和公式。

3.数列的递推关系及数列极限。

教学难点：1.数列通项公式的推导。

2.数列极限的计算。

教学案例：1.已知数列{an}是等差数列，a1=1，a3=3，求an的通项公式。

2.已知数列{bn}满足递推关系bn=2bn-1+1，b1=1，求bn的通项公式。

第1讲 函数与方程思想、数形结合思想[一]函数与方程思想函数思想方程思想通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想构建方程或方程组，通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想[函数思想与方程思想密切相关] 方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标；函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0，通过方程进行研究，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系函数与方程思想在函数、不等式中的应用[例1] (·烟台三模)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析] D [因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]， 即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立， 即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立．设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2， 则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＞0，g (4)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋(x －2)2＞0，4(x －2)＋(x －2)2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.]函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．[活学活用1](·贵阳三模)设0＜a ＜1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( ) A ．e a －1＜a ＜a e B ．a e ＜a ＜e a －1 C ．a e ＜e a －1＜aD ．a ＜e a －1＜a e解析：B [设f (x )＝e x －x －1，x ＞0，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )＞0， ∴e x －1＞x ，即e a －1＞a .又y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数，得a ＞a e ， 从而e a －1＞a ＞a e .]函数与方程思想在数列中的应用[例2] (·兰州模拟)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值________．[解析] ∵{a n }为等差数列，则S 4＝4a 1＋6d ＝4a 1－6，S 2＝2a 1－1，S 1＝a 1. 又S 22＝S 1·S 4知，(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)， ∴a 1＝－12.[答案] －121．应用方程的思想求等差(或等比)数列中的通项时，根据题中的条件，列出关于首项和公差(或公比)的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差(或公比)，再根据等差(或等比)数列的通项公式写出a n .2．根据题目条件构造函数关系，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路．[活学活用2]已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．解析：a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋33＝2(1＋2＋…＋n －1)＋33＝(n －1)n ＋33，故a n n ＝n ＋33n －1.注意到对勾函数的单调性，易得n ＝5或n ＝6时，a n n 最小，而a 66＝212，a 55＝535，故最小值为212.答案：212[二]数形结合思想利用数形结合思想研究函数的零点[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x x ＋1－3a ，x ≤－2e x－ax ，－2＜x ＜0恰有3个零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫－23，－13B.⎣⎡⎭⎫－23，－1e 2 C.⎝⎛⎭⎫－1e，－1e 2 D.⎝⎛⎭⎫－1e，－13 [解析] D[函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－xx ＋1－3a ，x ≤－2e x－a x ，－2＜x ＜0恰有3个零点，则3a ＝－xx ＋1在x ≤－2时有且只有一个实数根，且e x ＝a x 在(－2,0)上有两个不相等的实数根．由3a ＝－xx ＋1在x ≤－2时有且只有一个实数根，得－2≤3a ＜－1，即－23≤a ＜－13；e x ＝ax在(－2,0)上有两个不相等的实数根，可转化为a ＝x e x 在(－2,0)上有两个不相等的实数根，令g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(－2，－1)时，g ′(x )＜0，当x ∈(－1,0)时，g ′(x )＞0，所以函数g (x )在(－2，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，当－2＜x ＜0时，函数g (x )的大致图象如图所示，所以当g (－1)＜a ＜g (－2)，即－1e ＜a ＜－2e 2时，a ＝x e x 在(－2,0)上有两个不相等的实数根．综上，当－1e ＜a ＜－13时，函数f (x )恰有3个零点，故选D.]利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．[活学活用1]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12(x 2－x )，x ≤0，log 5x ，x ＞0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0,1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：B [在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x ＞0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点．]应用数形结合求解不等式、参数问题[例2]设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是________________．[解析]设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数．又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x＜0时，F(x)为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也是增函数．因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．所以，由图象可知F(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．[答案](－∞，－3)∪(0,3)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．[活学活用2]当x∈(1,2)时，(x－1)2＜log a x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可知a＞1，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1,2)及y＝log a x的图象，若y＝log a x 过点(2,1)，得log a2＝1，所以a＝2.根据题意，函数y＝log a x，x∈(1,2)的图象恒在y＝(x－1)2，x ∈(1,2)的上方，所以1＜a ≤2.答案：(1,2]利用数形结合求最值问题[例3] (1)(·泉州三模)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10[解析] C [在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3,13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，拋物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x得点C (5,8)．所以f (x )max ＝8.](2)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4[解析] B [根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.]运用数形结合思想求解最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解． (2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．[活学活用3](·南昌三模)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是____________．解析：如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想[一]分类讨论思想分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．由概念、性质、运算引起的分类讨论[例1] (1)(·山师附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x ＜2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] A [①当2－a ≥2，即a ≤0时，22－a －2－1＝1，解得a ＝－1， 则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2； ②当2－a ＜2即a ＞0时，－log 2[3－(2－a )]＝1， 解得a ＝－12，舍去．所以f (a )＝－2.故选A.](2)(·阜阳模拟)等比数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝2，a 3＋a 6＋a 9＝18，则{a n }的前9项和S 9＝____________.[解析] 由题意得q 2＝a 3＋a 6＋a 9a 1＋a 4＋a 7＝9，q ＝±3，①当q ＝3时，a 2＋a 5＋a 8＝3(a 1＋a 4＋a 7)＝6，S 9＝2＋6＋18＝26； ②当q ＝－3时，a 2＋a 5＋a 8＝－3(a 1＋a 4＋a 7)＝－6，S 9＝2－6＋18＝14， 所以S 9＝14或26. [答案] 14或26数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论． [活学活用1]已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32由图形位置或形状引起的分类讨论[例2] (·泉州三模)若双曲线x 23－m ＋y 2m －1＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，则m 的值为( )A ．－1 B.13 C.113D ．－1或13[解析] B [根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＞0，m －1＜0，解得m ＜1，此时渐近线方程为y ＝±1－m 3－mx ，由题意1－m 3－m＝12，解得m ＝13. ②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＜0，m －1＞0，解得m ＞3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3x ，由题意m －1m －3＝12，解得：m ＝13；与m ＞3矛盾(舍去)． 结合以上可知m ＝13.故选B.]图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．[活学活用2]设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，则a 的值为__________．解析：由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12， 所以a ＝2 3.综上所述，a ＝22或2 3. 答案：22或2 3由变量或参数引起的分类讨论[例3] (·潍坊三模节选)设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间． [解析] 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况：①当a ≤0时，f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立． 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：几种常见的由参数变化引起的分类与整合1．含有参数的不等式的求解． 2．含有参数的方程的求解．3．对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题． 4．二元二次方程表示曲线类型的判定等． 5．直线与圆锥曲线位置关系的分类． [活学活用3]函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围是____________． 解析：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在x ∈[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意． 当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a. 当a ＞0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意． 当a ＜0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a ＜0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0,2]上有最大值f (2)． 答案：[－1，＋∞) [二]转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．特殊与一般的转化[例1] (·长沙三模)(1)过拋物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交拋物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12a C ．4aD.4a[解析] C [拋物线y ＝ax 2(a ＞0)的标准方程为 x 2＝1a y (a ＞0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴， 则|PF |＝|QF |＝12a， ∴1p ＋1q＝4a .] (2)(·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．[解析] 由题意，不妨设b ＝(2,0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ)． 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝(2＋cos θ)2＋sin 2θ＋(cos θ－2)2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16,20]．由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. [答案] 4 2 5(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．[活学活用1]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝________.解析：显然△ABC 为等边三角形时符合题设条件， 所以cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝cos 60°＋cos 60°1＋cos 60°cos 60°＝11＋14＝45.答案：45正与反的转化[例2] (·吉林三模)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．[解析] g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．(正反转化) 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－373，－5 [答案] ⎝⎛⎭⎫－373，－5(1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．[活学活用2]由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2解析：C [命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.]主与次的相互转化[例3] (·西安三模)已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．[解析] 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 对φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)＜0，φ(－1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0. [答案] ⎝⎛⎭⎫－23，1(1)本题是把关于x 的函数转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题． (2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．[活学活用3]对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞0，f (4)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)。

重点增分专题一函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等．(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．考点一函数的概念及其表示保分考点·练后讲评[大稳定——常规角度考双基]1.[求函数的定义域]函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是()A．(2,3)B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.2.[分段函数求函数值]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫ 12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B.3.[分段函数解不等式](2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)解析：选D 法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. 4.[分段函数求参数值或范围]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.答案：⎣⎡⎭⎫0，12 [解题方略]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略[小创新——变换角度考迁移]1.[概念型新定义函数问题]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 019(2)＝f 3×672＋3(2)＝f 3(2)＝2.2.[性质型新定义函数问题]已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝⎛⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3.[函数与概率交汇问题]已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,3]，则任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率为( )A.34B.13C.12D.14解析：选C 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,3]，所以由f (x )≥0，解得0≤x ≤2，又x ∈[－1,3]，所以f (x 0)≥0的概率为24＝12.考点二 函数的图象及应用 增分考点·广度拓展题型一 函数图象的识别[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )(2)(2019届高三·广州测试)已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是( )A ．y ＝x ln xB ．y ＝x ln x －x ＋1C ．y ＝ln x ＋1x －1D ．y ＝－ln xx ＋x －1 [解析] (1)∵y ＝e x －e－x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e>1，排除C 选项．故选B.(2)对于选项A ，当x ＝2时，2ln 2＝ln 4＞ln e ＝1，由图象可知选项A 不符合题意；对于选项B ，当x ＝e 时，eln e －e ＋1＝1，由图象可知选项B 不符合题意；对于选项C ，当x ＝e 时，ln e ＋1e －1＝1e＜1，由图象可知选项C 不符合题意，故选D.[答案] (1)B (2)D[解题方略]寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法题型二 函数图象的应用[例2] (1)(2018·枣庄检测)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋a ，g (x )＝2x －x 2，若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－e ，＋∞)B ．[－ln 2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－12，0 [解析] (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，作出函数f (x)的图象， 如图，观察图象可知，函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)如图所示，在同一坐标系中作出y ＝x 2＋1，y ＝2x ，y ＝x 2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x＜x2＋32恒成立，即1≤2x－x2＜3 2，当且仅当x＝0或x＝1时等号成立，∴1≤g(x)＜3 2，∴f(g(x))≥0⇒f(1)≥0⇒－1＋3＋a≥0⇒a≥－2，则实数a的取值范围是[－2，＋∞)．[答案](1)C(2)C[解题方略]1．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．2．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.考点三函数的性质及应用增分考点·深度精研[析母题——高考年年“神”相似][典例]定义在R上的奇函数f(x)，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则f(x ＋1)＞0的解集为()A．(－∞，－2)∪(－1,0)B．(0，＋∞)C．(－2，－1)∪(1,2)D．(－2，－1)∪(0，＋∞)[解析]由f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，可得f(1)＝0，作出函数f(x)的示意图如图所示，由f(x＋1)＞0，可得－1＜x＋1＜0或x＋1＞1，解得－2＜x＜－1或x＞0，所以f(x＋1)＞0的解集为(－2，－1)∪(0，＋∞)．[答案] D[练子题——高考年年“形”不同]1．本例中条件变为：若f(x)为偶函数，满足在[0，＋∞)上单调递减，且f(－1)＝0，则f(x＋1)＞0的解集为________．解析：由f(x)为偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f (－1)＝0，得f (1)＝0. 由f (x ＋1)＞0，得|x ＋1|<1. 解得－2<x <0，所以f (x ＋1)的解集为(－2,0)． 答案：(－2,0)2．已知函数g (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，且f (x )＝g (|x |)，若f (log 2x )＋f (log 12x )≤2f (1)，则实数x 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝g (|x |)，所以函数f (x )是偶函数，又因为g (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在区间(－∞，0)为减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．又因为log 12x ＝－log 2x ，所以f (log 2x )＋f (log 12x )≤2f (1)等价于f (log 2x )≤f (1)，所以－1≤log 2x ≤1，解得12≤x ≤2，所以实数x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2. 答案：⎣⎡⎦⎤12，23．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝－lg(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围为________． 解析：因为奇函数g (x )满足当x ＜0时，g (x )＝－lg(1－x )， 所以当x ＞0时，－x <0，g (－x )＝－lg(1＋x )， 所以当x ＞0时，g (x )＝－g (－x )＝lg(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，lg (1＋x )，x ＞0.因为f (x )在其定义域上是增函数， 所以f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)． 答案：(－2,1)[解题方略]1．函数3个性质及应用2．函数性质综合应用的注意点(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[多练强化]1．(2018·南昌模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f (0)＞f (log 32)＞f (－log 23)B ．f (log 32)＞f (0)＞f (－log 23)C ．f (－log 23)＞f (log 32)＞f (0)D ．f (－log 23)＞f (0)＞f (log 32)解析：选C ∵log 23＞log 22＝1＝log 33＞log 32＞0，且函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (log 23)＞f (log 32)＞f (0)，又函数f (x )为偶函数，∴f (log 23)＝f (－log 23)，∴f (－log 23)＞f (log 32)＞f (0)，故选C.2．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B 函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：选C 法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.4．(2018·郑州第二次质量预测)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )A ．f (x －1)＋1是偶函数B ．f (x －1)－1是奇函数C ．f (x ＋1)＋1是偶函数D ．f (x ＋1)－1是奇函数解析：选D 法一：因为f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，所以f (x )＋f (2－x )＝2，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(1,1)中心对称，而函数y ＝f (x ＋1)－1的图象可看作是由y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y ＝f (x ＋1)－1的图象关于点(0,0)中心对称，所以函数y ＝f (x ＋1)－1是奇函数，故选D.法二：由f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，得f (x ＋1)－1＋f (－x ＋1)－1＝0，令F (x )＝f (x ＋1)－1，则F (x )＋F (－x )＝0，所以F (x )为奇函数，即f (x ＋1)－1为奇函数，故选D.数学抽象——抽象函数与函数的三大性质[典例] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32上是( ) A ．减函数且f (x )>0 B ．减函数且f (x )<0 C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0[解析] 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭⎫－12，0上函数f (x )也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数f (x )的周期为32，所以在区间⎝⎛⎭⎫1，32上，函数f (x )单调递增且f (x )<0.故选D. [答案] D [素养通路]数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征．本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )得知f (x )的周期，进而得出f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32上的性质．考查了数学抽象这一核心素养． [专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，所以f (－2)＝－(－2)＝2，所以f (f (－2))＝f (2)＝22＝4.2．(2018·潍坊统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：选B 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A 、C ，又y ＝－x 2＋1在(0， ＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.3．已知函数f (x )＝4|x |，g (x )＝2x 2－ax (a ∈R )．若f (g (1))＝2，则a ＝( ) A ．1或52B.52或32C ．2或52D ．1或32解析：选B 由已知条件可知f (g (1))＝f (2－a )＝4|2－a |＝2，所以|a －2|＝12，得a ＝52或32.4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D 法一：令f (x )＝－x 4＋x 2＋2， 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22，则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22， f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，f (x )单调递减，结合图象知选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A 、B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除C 选项．故选D.6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得a ×(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.7．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a ＞0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a ＞0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x ＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x ＋ a－x)＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x 是奇函数，且g (x )在x＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.8．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x ＞0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516 B ．3 C ．－6364或3 D ．－1516或3 解析：选A 当a ＞0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a ＞0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.9．函数f (x )＝1sin x －x的图象大致为( )解析：选A 由题意知，函数f (x )为奇函数，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除C 、D ，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1sin π2－π2＜0，故排除选项B. 10．已知函数f (x )在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f (1－x )＋f (3x －2)＜0的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫34，1解析：选B 由已知得f (3x －2)＜f (x －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜3x －2＜1，－1＜x －1＜1，3x －2＞x －1，解得12＜x ＜1，故选B.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3(a －3)x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x ＞1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1,3)解析：选D 由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，得函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，3(a －3)＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D. 12．(2018·洛阳一模)已知a ＞0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 017B ．2 019C ．4 038D ．4 036解析：选D 由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x＋1＝2 019－22 019x ＋1. 因为y ＝2 019x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以f (x )＝2 019－22 019x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )，所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a ＋1－22 019－a ＋1＝4 036. 二、填空题 13．函数y ＝log 5(x ＋1)5－x的定义域是________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，5－x ＞0得－1＜x ＜5，∴函数y ＝log 5(x ＋1)5－x 的定义域是(－1,5)．答案：(－1,5)14．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0， 即f (x )＝ln1|x |＋1的值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]15．(2018·福州质检)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝⎛⎭⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：依题意，f (－x )＝－f (x )， f ⎝⎛⎭⎫－x ＋32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， 所以f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋6)＝f (x )， 所以f (2 017)＝f (1)＝－1，f (2 018)＝f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＋32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋32＝f (1)＝－1，所以f (2 017)＋f (2 018)＝－2. 答案：－216．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图象，由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2.答案：(1,2]B 组——“12＋4”提速练一、选择题1．已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2解析：选B 要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1，解得32≤x ＜2.2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 与y ＝log a a x (a ＞0且a ≠1) B ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3C ．y ＝x 2－8与y ＝x －8D ．y ＝ln x 与y ＝12ln x 2解析：选A 对于选项A ，y ＝x 与y ＝log a a x ＝x (a ＞0且a ≠1)的定义域都为R ，解析式相同，故A 中两函数表示同一函数；B 、D 中两函数的定义域不同；C 中两函数的对应法则不同，故选A.3．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝1x －xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝2x解析：选A “∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”等价于f (x )在(0，＋∞)上为减函数，易判断f (x )＝1x－x 满足条件．4．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选D 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，令x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 所以g (x )＝－log 2(－x ＋1)(x ＜0)， 所以f (－7)＝g (－7)＝－log 2(7＋1)＝－3， 所以g (－3)＝－log 2(3＋1)＝－2.5．(2018·合肥质检)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )解析：选A 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，且f (－x )＝ ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D.当x ＝32时，f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 12<0，排除选项B ，故选A.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B ．(－∞，－3) C ．(－3，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 解析：选D 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134 (－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a ＞134，故选D. 7．(2018·南昌模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)解析：选C 法一：∵f (1)是f (x )的最小值， ∴y ＝2|x －a |在(－∞，1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2|1－a |≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，|1－a |≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a ≤2， ∴1≤a ≤2，故选C.法二：当a ＝0时，函数f (x )的最小值是f (0)，不符合题意，排除选项A 、B ；当a ＝3时，函数f (x )无最小值，排除选项D ，故选C.8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x ，x ＞0，则满足不等式f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C 法一：因为当x ＞0时，函数f (x )单调递增；当x ≤0时，f (x )＝0，故由f (x 2－2)>f (x )，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－2>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2＞0，解得x >2或x <－2，所以x 的取值范围是 (－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C.法二：取x ＝2，则f (22－2)＝f (2)，所以x ＝2不满足题意，排除B 、D ；取x ＝－1.1，则f [(－1.1)2－2]＝f (－0.79)＝0，f (－1.1)＝0，所以x ＝－1.1不满足题意，排除A ，故选C.9.如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0,1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.10.函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0解析：选C ∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝bc 2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，c <0，故选C.11．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．12．在实数集R 上定义一种运算“★”，对于任意给定的a ，b ∈R ，a ★b 为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a ★b ＝b ★a ；(2)a ★0＝a ；(3)(a ★b )★c ＝c ★(ab )＋(a ★c )＋(c ★b )－2c .关于函数f (x )＝x ★1x ，有如下说法：①函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3； ②函数f (x )为偶函数； ③函数f (x )为奇函数；④函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； ⑤函数f (x )不是周期函数． 其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 对于新运算“★”的性质(3)，令c ＝0，则(a ★b )★0＝0★(ab )＋(a ★0)＋(0★b )＝ab ＋a ＋b ，即a ★b ＝ab ＋a ＋b .∴f (x )＝x ★1x ＝1＋x ＋1x ，当x >0时，f (x )＝1＋x ＋1x ≥1＋2x ·1x ＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，∴函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (1)＝1＋1＋1＝3，f (－1)＝1－1－1＝－1，∴f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f (x )＝1＋x ＋1x 的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f (x )＝1＋x ＋1x不是周期函数，故⑤正确．综上所述，所有正确说法的个数为3，故选C. 二、填空题13．(2018·惠州调研)已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________. 解析：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.答案：－414．已知函数f (x )的图象关于点(－3,2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________．解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f (x )的图象关于点(－3,2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为 (－4，－1)．答案：(－4，－1)15．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)，则当－1<f (－1)<1时，a 的取值范围为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－1)＝f (1)＝log a 2. 因为－1<f (－1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 16．已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0；②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值；④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解析：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④重点增分专题二 基本初等函数、函数与方程[全国卷3年考情分析]质比较大小，一般出现在第7～11题的位置，有时难度较大．(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视．考点一 基本初等函数的图象与性质 增分考点·深度精研[析母题——高考年年“神”相似][典例] (1)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |(a >0，且a ≠1)满足f (x )≤1，则函数y ＝log a (x ＋1)的图象大致为( )(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是单调递减函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎫log 315，f (log 53)的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 53)<f (log 25) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 25)<f (log 53) C ．f (log 53)<f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 25) D ．f (log 25)<f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 53) [解析] (1)由a |x |≤1(x ∈R )，知0<a <1，又函数y ＝log a (x ＋1)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)因为f (x )在R 上为偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫log 315＝f (－log 35)＝f (log 35)． 由对数函数的单调性可知，log 25>log 35>1>log 53>0. 又因为f (x )在[0，＋∞)上为单调递减函数，所以f (log 53)>f (log 35)>f (log 25)，即f (log 53)>f ⎝⎛⎭⎫log 315>f (log 25)． [答案] (1)C (2)D[练子题——高考年年“形”不同]1．本例(1)变为：若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选B ∵y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.2．本例(1)变为：若函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，则g (x )＝|log a (x ＋1)|＝|log 2(x ＋1)|，将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x 轴下方的图象翻折上去，即可得g (x )的图象，故选C.法二：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，即g (x )＝|log 2(x ＋1)|，由g (x )的定义域为{x |x >－1}，排除B 、D ；由x ＝0时，g (x )＝0，排除A.故选C.3．本例(2)变为：已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是单调递增函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎫log 315，f (log 53)的大小关系是________． 解析：由对数函数的单调性知log 25>log 53>log 315.又f (x )在R 上为奇函数且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )为增函数，∴f (x )在R 上为增函数．∴f (log 25)>f (log 53)>f ⎝⎛⎭⎫log 315. 答案：f (log 25)>f (log 53)>f ⎝⎛⎭⎫log 315[解题方略] 基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a 的值不确定，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b解析：选B ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.2．若函数y ＝a －a x (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x 在[0,1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x 在[0,1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．∴a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝⎛⎭⎫56×485＝log 28＝3.故选C. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x－1，x ≤0，x 12，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是2，则m 的取值范围是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x－1，x ≤0，x 12，x >0作出函数的图象，如图所示，因为函数f (x )在[－1，m ]上的最大值为2，又f (－1)＝f (4)＝2，所以－1<m ≤4，即m ∈(－1,4]．答案：(－1,4]考点二 函数与方程 增分考点·广度拓展 题型一 确定函数零点个数或所在区间[例1] (1)(2018·邯郸月考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． [解析] (1)法一：因为f (1)＝0＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数f (x )的零点所在区间为(1,2)，故选B.法二：函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作出图象如图所示．由图可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝0.∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3. [答案] (1)B (2)3 [解题方略]1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．2．判断函数零点个数的3种方法题型二 根据函数的零点求参数的范围[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，33 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎫0，66 [解析] (1)令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，f (x )是偶函数，∴f (1)＝0，∴f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的周期函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与g (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示，∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，∴g (2)＝log a 3>f (2)＝－2，且0<a <1，解得0<a <33，故选A. [答案] (1)C (2)A[解题方略]利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法直观想象——数形结合法在函数零点问题中的应用[典例] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.[答案] B [素养通路]直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数．考查了直观想象这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x a，则f (3)＝3a＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．3．(2019届高三·益阳、湘潭调研)若a ＝log 32，b ＝lg 0.2，c ＝20.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．b <a <cC ．a <b <cD ．b <c <a解析：选B 由对数函数的性质可得a ＝log 32∈(0,1)，b ＝lg 0.2<0.由指数函数的性质可得c ＝20.2>1，∴b <a <c ，故选B.4．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0，解得x ＝0或x＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C.5．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，且f (x )在(1,2)内单调，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1.6．(2018·贵阳适应性考试)已知奇函数f (x )在R 上是减函数，且a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 3110，b ＝f (log 39.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．c >a >b解析：选B ∵f (x )是奇函数，∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 3110＝f ⎝⎛⎭⎫－log 3110＝f (log 310)．又∵log 310>log 39.1>log 39＝2>20.8，且f (x )在R 上单调递减， ∴f (log 310)<f (log 39.1)<f (20.8)，即c >b >a ，故选B.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数 B ．(－∞，＋∞)上的增函数 C ．(－1,1)上的减函数 D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称， 又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ，∴g (x )＝log 2x ， ∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.9．设函数f (x )＝a x －k －1(a >0，且a ≠1)过定点(2,0)，且f (x )在定义域R 上是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析：选A 由题意可知a 2－k －1＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －2－1，又f (x )在定义域R 上是减函数，所以0<a <1.此时g (x )＝log a (x ＋2)在定义域上单调递减，且恒过点(－1,0)，故选A.10．已知函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，且a ≠1)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－14 D.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，2x 2＋x ∈(0,1)，因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，恒有f (x )>0，所以0<a <1，由2x 2＋x >0得x >0或x <－12.又2x 2＋x ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋142－18，由复合函数的单调性可知，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 11．设方程10x ＝|lg(－x )|的两根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：选D 作出函数y ＝10x ，y ＝|lg(－x )|的图象，由图象可知，两个根一个小于－1，一个在(－1,0)之间，不妨设x 1<－1，－1<x 2<0， 则10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)． 两式相减得：lg(－x 1)－(－lg(－x 2))＝lg(－x 1)＋lg(－x 2) ＝lg(x 1x 2)＝10x 1－10x 2<0，即0<x 1x 2<1.12．(2018·陕西质检)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x <1时，f (x )＝x ，则函数g (x )＝f (x )－ln|x |的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 依题意，可知函数g (x )＝f (x )－ln|x |的零点个数即为函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝ln|x |的图象的交点个数．设－1≤x <0，则0≤x ＋1<1， 此时有f (x )＝－f (x ＋1)＝－(x ＋1)， 又由f (x ＋1)＝－f (x )， 得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 即函数f (x )以2为周期的周期函数．而y ＝ln|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ln (－x )，x <0，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象与y ＝ln|x |的图象如图所示， 由图可知，两图象有3个交点，即函数g (x )＝f (x )－ln|x |有3个零点，故选B.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1， ∴1＝log 2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－714．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝________. 解析：由题可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 1214＝2，因为log 216<0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 216＝⎝⎛⎭⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝8. 答案：815．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．答案：②④16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0， 得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，所以当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点， 令f (x )＝0，得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1.。

难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域[全国卷3年考情分析]命题区域(一) 函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y ＝f (x )与方程f (x )＝0以及不等式f (x )>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a ，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，则h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g (x )的单调性．因为g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：下面分析f (x )的单调性，注意到f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x ≤a ，h (x )，x >a ，结合前面g (x )与h (x )的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：①若a <－1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (a )，由g (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (a )＝g (a )<g (－1)＝2，而f (x )在(a ，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a )，由于－2a >2，此时函数f (x )无最大值，符合题意．②若－1≤a <1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)＝2，且当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a ) ≤h (－1)＝2，则当x ＝－1时，f (x )取得最大值，不符合题意．③若a ≥1，由g (x )的单调性可得，f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)或f (a )，令M ＝max{f (－1)，f (a )}，则有M ≥f (－1)＝2，而当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a )≤h (1)＝－2，则f (x )有最大值M ，不符合题意．综上，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二：整体考虑，正难则反记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，由解法一知h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：由于h (x )在(a ，＋∞)上单调递减，无最大值，若f (x )有最大值，也只可能在x ＝－1或x ＝a 处取得，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g (－1)＝h (－1)＝2，由图象可见，若f (x )在x ＝－1处取得最大值，实数a 的取值范围是 [－1,2]，若f (x )在x ＝a 处取得最大值，实数a 的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f (x )有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x ＝a ，直接秒杀根据题意，将函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a 采用分离的方式，记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )与h (x )的图象，将直线x ＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x ＝a 与函数g (x )，h (x )的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x ＝a 在直线x ＝－1左边时满足条件“f (x )无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案] (－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题[应用体验]1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8； 当a <2时，f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a . 当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0， 故f (x )有小于零的零点，不符合题意． 当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，f ′(x )<0； x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，0，f ′(x )>0； x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增， 所以要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0， 只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，即a 2>4，解得a <－2. 法二：数形结合，曲曲与共函数f (x )的零点，亦即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图象可知当a <－2时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x 4＝－3(x 2－1)x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题[应用体验]2．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |(x ∈R)．若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x －1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 法二：易知a >0，且x ＝1不是方程的根．故有a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝x －1＋4x －1＋5.设h (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5，则问题等价于曲线y ＝h (x )与直线y ＝a 有4个不同交点．作出图象如图所示． 显然y ＝9，y ＝1是y ＝h (x )的两条切线，此时都只有3个交点． 于是，结合图形知，当0<a <1或a >9时， 直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )均有4个交点． 所以a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 答案：(0,1)∪(9，＋∞)[例3] 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) [技法演示]法一：构造抽象函数法观察xf ′(x )－f (x )<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F (x )＝f (x )x .因为f (x )是奇函数，故F (x )是偶函数，F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，易知当x >0时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (－1)＝0，则f (1)＝0，于是F (－1)＝F (1)＝0，f (x )＝xF (x )，解不等式f (x )>0，即找到x 与F (x )的符号相同的区间，易知当x ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f (x )>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f (x )是多项式函数，因为f (x )是奇函数，所以它只含x 的奇次项．又f (1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )能被x 2－1整除．因此可取f (x )＝x －x 3，检验知f (x )满足题设条件．解不等式f (x )>0，得x ∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； (2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . 2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (2)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)； (3)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (4)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x (x ≠0)； (5)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)； (6)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )；(7)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x .[应用体验]3．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 019为奇函数，则不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞解析：选B 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以g (x )是R 上的减函数，由于f (x )＋2 019为奇函数，所以f (0)＝－2 019，g (0)＝－2 019，因为f (x )＋2 019e x <0⇔f (x )e x <－2 019，即g (x )<g (0)，结合函数的单调性可知不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二) 三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．[例1] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 [技法演示]法一：综合法由f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，得－π4ω＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π＋π4ω， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋k π＋π4ω ＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ，－sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ＋1，(n ∈Z )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π4ω＝sin π2ω＝±1， 可知ω为正奇数(ω>0)．由⎩⎨⎧－π2<k π＋π4ω<π2，2πω≥2⎝⎛⎭⎫5π36－π18得⎩⎨⎧－2－4k <ω<2－4k ，ω≤12.又由于ω>0，所以k 只能取0，－1，－2，－3. 当k ＝0时，ω∈(－2,2)；当k ＝－1时，ω∈(2,6)； 当k ＝－2时，ω∈(6,10)；当k ＝－3时，ω∈(10,14)． 因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．当ω＝11时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝11x ＋11π4∈⎝⎛⎭⎫121π36，154π36，里面含有7π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不可能单调，不符合题意．当ω＝9时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝9x ＋9π4∈⎝⎛⎭⎫99π36，126π36，里面不含2n ＋12π(n ∈Z)中的任何一个，即f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B. 法二：分类讨论 由题意5π36－π18≤T 2⇒T ≥π6，即2πω≥π6⇒0<ω≤12.①又由题意可得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝π2＋n π，(n ，k ∈Z )，所以φ＝π4＋k ＋n2π(n ，k ∈Z )．又|φ|≤π2，所以－32≤k ＋n ≤12.(1)当k ＋n ＝0时，φ＝π4，ω＝1－4k .②由①②可得，当k ＝－2时，ω＝9，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝－1时，ω＝5，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝0时，ω＝1，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； (2)当k ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝－1－4k .③由①③可得，当k ＝－1时，ω＝3，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； 当k ＝－2时，ω＝7，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去； 当k ＝－3时，ω＝11，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去． 综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值． [答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：①若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两条对称轴x ＝a ，x ＝b ，则有|a －b |＝T 2＋kT2(k∈Z)；②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两个对称中心M (a,0)，N (b,0)，则有|a －b |＝T2＋kT2(k ∈Z)； ③若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有一条对称轴x ＝a ，一个对称中心M (b,0)，则有|a －b |＝T 4＋kT2(k ∈Z)．(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]1．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：法一：导数法对f (x )＝cos 2x ＋a sin x 求导，得f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，所以f ′(x )≤0在⎝⎛⎭⎫π6，π2上恒成立，即a cos x ≤2sin 2x ＝4sin x cos x ，而cos x >0，所以a ≤4sin x ．在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上，12<sin x <1，于是a ≤2. 法二：图象法f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －a 42＋a28＋1，设t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，知t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.要使g (t )＝－2⎝⎛⎭⎫t －a 42＋a 28＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，只要a 4≤12即可，所以a ∈(－∞，2]．答案：(－∞，2][例2] 已知a a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (不包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性 由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ， 则S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )] ＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3， 当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3. 法四：函数思想由法三得S △ABC ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ，令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B 32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3.[答案] 3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝m (m >0)，且∠A ＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC 的面积的最大值是m 24tanθ2，当且仅当另外两个角相等时取等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为tan A tan B ＝2c －bb ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin B cos B ，由正弦定理得sin B sin A cos B ＝(2sin C －sin B )sin B cos A ， 又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32，设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A ＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.答案：334[例3] ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．[技法演示]法一：基底法选取{AB ―→，BC ―→}为一组基底，由题意易求DC ＝1，|AB ―→|＝2，|BC ―→|＝1，AB ―→·BC ―→＝2×1×cos 120°＝－1，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→－12⎝⎛⎭⎫1－19λAB ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→. 于是AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λ×4－1－λ2⎝⎛⎭⎫1＋19λ＋λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918(λ>0)，当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.法二：坐标法以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， 所以DC ＝1，即B (2,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫32，32. 因为BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，所以E ⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32， AE ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，AF ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32.所以AE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋219＝2918. 当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.[答案]2918[系统归纳]向量数量积问题的解题策略[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→＝________；DE ―→·DC ―→的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE ―→·DC ―→ 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→方向上的投影都是|CB ―→|＝1，所以DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1，当点E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→方向上的投影最大即为|DC ―→|＝1，所以(DE ―→·DC ―→)max ＝|DC ―→|·1＝1.答案：1 1命题区域(三) 立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．[例1] 11111D 1，平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∩平面ABB 1A 1＝n ，则直线m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13[技法演示]法一：割补法我们先尝试把m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面α一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点A 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上方补作一个与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体ABCD -A 2B 2C 2D 2，可证平面AB 2D 2就是平面α，n 就是AB 2.因为平面ABCD ∥平面A 2B 2C 2D 2，所以B 2D 2∥m ，说明m 应该是经过点A 且在平面ABCD 内与B 2D 2平行的直线，则直线m ，n 所成的角就是∠AB 2D 2，因为△AB 2D 2为等边三角形，所以 sin ∠AB 2D 2＝sin π3＝32，故选A.法二：平移法1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m ′，因为平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∥平面CB 1D 1，所以m ∥m ′.又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m ′，所以B 1D 1∥m .同理可得CD 1∥n ，故直线m ，n 所成角即为直线B 1D 1，CD 1所成的角∠CD 1B 1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝π3，所以sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.法三：平移法2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面α平行，也即与平面CB 1D 1平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面CB 1D 1平行，则直线m ，n 所成的角就是∠DBA 1，其正弦值为32，故选A. [答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，G 为△ABC 的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为________．解析：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，取BC 的中点E ，连接AE ，重心G 为AE 的三等分点，AE ＝AB 2－BE 2＝3，AG ＝2，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，所以tan ∠DGA ＝DA AG ＝12，DA ＝1，在等腰△ABC 中，cos ∠ACB ＝52＋82－522×5×8＝45，sin ∠ACB ＝35，所以△ABC 的外接圆直径2r ＝AB sin C ＝535＝253，r ＝256，设 △ABC 的外接圆圆心为O 1，四面体ABCD 的球心为O ，在Rt △AOO 1中，R 2＝OA 2＝AO 21＋⎝⎛⎭⎫AD 22＝⎝⎛⎭⎫2562＋⎝⎛⎭⎫122＝63436，球的表面积为S ＝4πR 2＝6349π. 答案：6349π[例2] 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P -BCD 的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体P -BCD 的体积最大时，应有平面PBD ⊥平面BCD .如图，过点P 作PF ⊥BD ，垂足为F ，则PF ⊥平面BCD ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·PF .由翻折过程可知AF ＝PF ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·AF ，这样就将空间问题转化为△ABC 内的问题．等腰△ABC 的底边AC 边上的高h ＝AB ·sin 30°＝1，V P -BCD ＝13×12×DC ×h ×AF ＝16DC ·AF . DC 与AF 不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D 在AC 上运动时，∠ADB 也是在变化的，因此可以取∠ADB 为自变量，产生下面的解法．如图，因为S △ABD ＝12BD ·AF ＝12AD ·h ，则AF ＝AD BD ，得V P -BCD ＝16DC ·AD BD .设∠ADB ＝α，由正弦定理得ADDB ＝2sin(150°－α)，DC ＝2sin (α－30°)sin α，则V P -BCD ＝23×sin (150°－α)sin (α－30°)sin α＝－cos 2α＋cos 120°3sin α＝23⎝⎛⎭⎫sin α－14sin α，易知函数f (x )＝x －14x 在区间(0,1]上单调递增，于是V P -BCD≤23⎝⎛⎭⎫1－14＝12. 法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC “立起来”，如图，设BO ⊥平面ACP ，考虑以B 为顶点，△ACP 的外接圆⊙O 为底面的圆锥，易得AC ＝23，则OB ＝BA 2－OA 2≤4－⎝⎛⎭⎫12AC 2＝1.设∠PDA ＝θ，θ∈(0，π)，AD ＝x (0<x <23)，则S △PCD ＝12x ·(23－x )sin θ≤12x ·(23－x )≤12⎝⎛⎭⎫2322＝32，所以四面体P -BCD 的体积V P -BCD ＝13·S △PCD ·OB ≤12，当且仅当OA ＝12AC ＝3，且θ＝π2时取等号(此时D 点与圆心O 重合，PD 垂直平分AC ，进而可得BD ⊥PD )．法三：解析法由于△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC 的中点O 为原点，以AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－3，0)，B (0，－1)，C (3，0)，设D (t,0)，t ∈ (－3，3)，易知直线BD 的方程为x －ty －t ＝0，则点A 到直线BD 的距离AF ＝3＋t 1＋t2，又DC ＝3－t ，于是V P -BCD＝16DC ·AF ＝16·3－t 21＋t 2，令f (t )＝16·3－t 21＋t 2＝1641＋t 2－1＋t 2，t 2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V P -BCD ≤f (0)＝12，此时D 在原点． [答案]12[系统归纳]空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体P -BCD 的体积取最大值时，必有平面PBD ⊥平面BCD ”，要判断出△PBD 与△ABD 是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S ，A ，B ，C 且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S -ABC 体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC 的中心为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6，棱锥S -ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值，又平面SAB ⊥平面ABC ，所以S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3，则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，所以V ＝13×93×33＝27.答案：27命题区域(四) 解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．[例1] 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则双曲线E 的离心率为( )A.2B.32C. 3D ．2 [技法演示]法一：定义法因为△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1|＝|MF 2|sin ∠MF 2F 1＝13|MF 2|，即|MF 2|＝3|MF 1|.①由双曲线的定义可知|MF 2|－|MF 1|＝2a .② 由①和②可求得|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得|MF 2|2－|MF 1|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2－a 2＝(2c )2，化简得2a 2＝c 2，即⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，从而可知e ＝ 2.故选A.法二：利用正弦定理在Rt △MF 1F 2中，sin ∠F 1MF 2＝sin(90°－∠MF 2F 1)＝cos ∠MF 2F 1＝223，sin ∠MF 1F 2＝1.由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.法三：利用直角三角形的三角函数设点M (－c ，y 0)，则(－c )2a 2－y 20b 2＝1，由此解得y 20＝|MF 1|2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－a 2a 2＝(c 2－a 2)2a 2.∵△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，∴cos ∠MF 2F 1＝223，tan ∠MF 2F 1＝24，从而可得|MF 1||F 1F 2|＝24⇒|MF 1|2|F 1F 2|2＝18⇒|F 1F 2|2|MF 1|2＝4c 2y 20＝8，即4c 2(c 2－a 2)2a 2＝8，化简整理得2c 4－5a 2c 2＋2a 4＝0， 两边同除以a 4，得2⎝⎛⎭⎫c a 4－5⎝⎛⎭⎫c a 2＋2＝0，即⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫c a 2－1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫c a 2－2＝0， ∵ca >1，∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，即e ＝ 2. [答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e 写成|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量 关系式．[应用体验]1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎦⎤1，324 C ．(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫324，＋∞ 解析：选B 双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，抛物线C ：y 2＝8ax的焦点为F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，可设P ⎝⎛⎭⎫m ，b a m ，则有AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －a ，b a m ，FP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －2a ，b a m ，由PA ⊥FP ，得AP ―→·FP ―→＝0，即(m －a )(m －2a )＋b 2a 2m 2＝0，整理得⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－41＋b 2a 2·2a 2≥0，即a 2≥8b 2＝8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2，则e ＝c a ≤324.又e >1，所以1<e ≤324.[例2] 设A ，B 是椭圆C ：x 3＋y m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，设M (x ，y )． 根据椭圆的对称性，不妨令y >0， 设∠AMN ＝α，∠BMN ＝β， 则tan α＝x ＋a y ，tan β＝a －xy . 又点M 在椭圆上，所以x 2＝a 2－a 2y 2b2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝x ＋a y ＋a －xy1－a 2－x 2y 2＝2a yx 2＋y 2－a 2y 2＝2ay x 2＋y 2－a 2＝2aya 2－a 2b2y 2＋y 2－a 2＝2ab 2－c 2y .又y ∈[－b ，b ]，所以当y ＝b 时，α＋β取最大值，即M 为椭圆短轴顶点P 时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．先考虑椭圆的焦点在x 轴上的情况，则0<m <3.设椭圆一个短轴的顶点为P ，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠APB ≥∠AMB ，即∠APB ≥120°，所以∠APO ≥60°.而tan ∠APO ＝3m ，所以3m≥3，解得0<m ≤1. 同理：当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 法二：二级结论法椭圆上任意一点与椭圆长轴的两个端点连线的斜率之积为定值－b 2a2.这一结论不难证明：设M (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，则k MA ·k MB ＝yx ＋a ·yx －a ＝y 2x 2－a 2.因为点M 在椭圆上，所以y 2＝b 2a 2(a 2－x 2)，从而k MA ·k MB ＝b 2a 2(a 2－x 2)x 2－a2＝－b 2a 2.由此可以得到本题的如下解法．当0<m <3时，椭圆的焦点在x 轴上，如图，设∠MAB ＝α， ∠MBx ＝β，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m3，k 1＝tan α，k 2＝tan β.因为∠AMB ＝120°，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和， 所以tan(β－α)＝tan 120°＝－ 3. 根据两角差的正切公式tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β，可得tan β－tan α＝－3⎝⎛⎭⎫1－m3， 即k 2－k 1＝33m － 3.结合k 1·k 2＝－m 3，将两式变形为k 2＋(－k 1)＝33m －3，k 2·(－k 1)＝m 3，故可将k 2，－k 1看作是关于t 的方程t 2－⎝⎛⎭⎫33m －3t ＋m 3＝0的两个根，则Δ＝⎝⎛⎭⎫33m －32－4·m 3＝13(m 2－10m ＋9)≥0，所以m 2－10m ＋9≥0，解得m ≤1或m ≥9(舍去)，所以0<m ≤1.同理可得当焦点在y 轴上时，m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法三：向量法当椭圆的焦点在x 轴上时，设A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，M (x ，y )，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m 3.又AM ―→＝(x ＋3，y )，BM ―→＝(x －3，y )，此时如果直接应用数量积进行计算，显然计算量较大，这里我们可以考虑利用直线的方向向量来简化运算．分别取与AM ―→，BM ―→相同方向的向量n 1＝(1，k 1)，n 2＝(1，k 2)．又∠AMB ＝120°，所以向量n 1，n 2的夹角为60°，由向量的数量积公式可得，cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋k 1k 21＋k 21·1＋k 22＝1＋k 1k 21＋k 21k 22＋k 21＋k 22，即12＝1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22).由k 1·k 2＝－m 3<0，结合均值不等式a 2＋b 2≥2ab ，可得k 21＋k 22＝k 21＋(－k 2)2≥2k 1·(－k 2)＝23m ， 所以1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22)≤1－m 31＋m 29＋23m，即12≤1－m3⎝⎛⎭⎫m 3＋12，所以12⎝⎛⎭⎫m 3＋1≤1－m 3，解得m ≤1. 又0<m <3，所以0<m ≤1.当焦点在y 轴上时，此时k 1·k 2＝－3m <0. 同理，12＝1－3m1＋9m2＋(k 21＋k 22)≤1－3m1＋9m 2＋6m ， 即12⎝⎛⎭⎫3m ＋1≤1－3m ，解得m ≥9. 综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[系统归纳]圆锥曲线中特定字母的值(范围)问题的解题策略[应用体验]2．若过点M (2,0)的直线与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，|AB |＝253，设P 为椭圆上一点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→(O 为坐标原点)，则实数t 的值为( )A ．±33B ．±263C ．±523D ．±325解析：选B 由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 显然，当k ＝0时，|AB |＝22，与已知不符，∴k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8－16k 2>0， x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵|AB |＝253，∴ 1＋k 2|x 1－x 2|＝253， 即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＝0，解得k 2＝14.又OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，即(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，且k ≠0，t ≠0， ∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2×(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2，又k 2＝14，解得t ＝±263.[例3] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10 [技法演示]法一：利用基本不等式依题意，不妨设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>0，y 2<0.由OA ―→·OB ―→＝2，得x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，由此解得y 1y 2＝－2，△ABO 与△AFO 面积之和等于12|x 1y 2－x 2y 1|＋ 12×14y 1＝12|y 21y 2－y 22y 1|＋18y 1＝12×2(y 1－y 2)＋18y 1＝98y 1＋(－y 2)≥2－98y 1y 2＝3，当且仅当 98y 1＝－y 2＝32时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B.该方法中用到这样一个公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，证明如下：设∠AOB ＝θ，则S △AOB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin θ＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(|OA ―→|·|OB ―→|cos θ)2 ＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(OA ―→·OB ―→)2＝12 (x 21＋y 21)(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝12(x 1y 2－x 2y 1)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|.法二：双根法设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝x得y 2－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m ，又OA ―→·OB ―→＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m <0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线AB ：x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋⎪⎪⎪⎪2y 1≥298|y 1|×⎪⎪⎪⎪2y 1＝3，当且仅当98|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1，即|y 1|＝43时取等号， 因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B. [答案] B[系统归纳]圆锥曲线中与面积相关问题的解题规律(1)三角形面积的向量公式：若AB ―→＝(x 1，y 1)，AC ―→＝(x 2，y 2)，则S △ABC ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，用此公式便于建立目标函数求最值；(2)直线方程的选择：对于不同的直线方程，其中所含的参数意义不同，形成不同的解题长度．为了消元、计算的方便，可将经过定点(m,0)的动直线设为x ＝ty ＋m 的形式，避免了对斜率存在性的讨论．如本题法二．[应用体验]3．已知椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|OM |＝1，则△AOB 面积的最大值为________．解析：设直线l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0.①所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，x 1＋x 2＝8n4＋m 2. 由中点坐标公式可知x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m 2，－mn 4＋m 2.因为|OM |＝1，所以n 2＝(4＋m 2)216＋m 2.②设直线l 与x 轴的交点为D (n,0)，则△AOB 的面积S ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.S 2＝14n 2(y 1－y 2)2＝48(4＋m 2)(m 2＋16)2，设t ＝m 2＋4(t ≥4)，则S 2＝48×t t 2＋24t ＋144＝48t ＋144t ＋24≤482t ·144t ＋24＝1，当且仅当t ＝144t ，即t ＝12时，等号成立， 此时m 2＝8，n 2＝6， 即S 2取得最大值1.故△AOB 的面积的最大值为1. 答案：1[专题过关检测]A 组——选择压轴小题命题点专练1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15 B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2 α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23， 即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.。

高考数学二轮复习教案教案标题：高考数学二轮复习教案教案概述：本教案旨在为高考数学二轮复习提供指导和建议。

通过分析高考数学考试的题型和考点，结合学生的学习情况，制定相应的复习计划和教学策略，以提高学生的学习效果和应试水平。

教学目标：1. 熟悉高考数学考试的题型和考点；2. 掌握数学知识的基本概念、定理和公式；3. 提高解题能力和思维逻辑能力；4. 提高应试技巧和答题效率。

教学内容：1. 高考数学考试的题型和考点；2. 数学知识的基本概念、定理和公式；3. 解题技巧和答题方法；4. 典型题目的讲解和练习。

教学步骤：第一步：梳理考纲和教材1. 分析高考数学考试的题型和考点，明确复习重点；2. 对教材进行全面复习，整理知识点和公式。

第二步：制定复习计划1. 根据考试时间和学生的学习情况，制定合理的复习计划；2. 将复习内容分成不同的模块，按照一定的顺序进行复习。

第三步：教学设计和授课1. 根据每个模块的复习内容，设计相应的教学活动和讲解方法；2. 针对每个考点，提供相关的解题技巧和答题方法；3. 结合典型题目，进行讲解和练习。

第四步：巩固和拓展1. 定期进行知识点的巩固训练，加深学生对知识的理解和掌握；2. 引导学生进行拓展学习，提高解题能力和思维逻辑能力。

第五步：模拟考试和评估1. 定期进行模拟考试，以检验学生的学习效果和应试水平；2. 根据学生的表现和反馈，及时调整教学进度和方法。

教学资源：1. 高中数学教材和辅导书籍；2. 高考数学真题和模拟试卷；3. 网络教学资源和题库。

教学评估：1. 观察学生的学习态度和参与度；2. 检查学生的作业完成情况；3. 定期进行小测验和模拟考试；4. 根据学生的学习表现和考试成绩，进行个体化指导和反馈。

教学反思：1. 定期总结和评估教学效果；2. 分析学生的学习情况和问题，及时调整教学策略；3. 不断改进教学方法和教学资源，提高教学质量。