高考数学三视图题型总结

高三数学空间几何体的三视图与直观图试题1.若一个四棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的四条侧棱长之和等于_____________【答案】【解析】由三视图可知该四棱锥的四个侧面是底边长为2，高为2的全等的等腰三角形，所以每条侧棱长都等于，所以四条侧棱长之和为．【考点】三视图．2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．【答案】【解析】据三视图可知，该几何体是一个正方体(棱长为2)去掉一角(左前上角)而得，直观图如图所示，其中DA＝DB＝DC＝1，∴△ABC是边长为的等边三角形，∴其表面积为S＝6×22－3××12＋×()2×＝．3.一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、N分别是AF、BC的中点)(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】解：由三视图可知，AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∠CBF＝．(1)证明：取BF的中点G，连接MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面CDEF．(2)取DE的中点H．∵AD＝AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE．∴AH⊥平面CDEF．∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝．S矩形＝DE·EF＝4，CDEF∴棱锥A－CDEF的体积为V＝·S·AH＝×4×＝．矩形CDEF4.一个几何体的主视图和俯视图如图所示，主视图是边长为的正三角形，俯视图是边长为的正六边形，则该几何体左视图的面积是【答案】【解析】左视图的面积为.【考点】三视图.5.一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋，则正视图中x的值为( )A．5B．4C．3D．2【答案】C【解析】三视图，由正四棱锥和圆柱组成，故选C．6.三棱柱的直观图和三视图如下图所示，其侧视图为正三角形（单位cm）⑴当x=4时，求几何体的侧面积和体积⑵当x取何值时，直线AB1与平面BB1C1C和平面A1B1C1所成角大小相等。

---高考数学三视图复原方法概括方法一:复原三步曲核心内容：三视图的长度特点——“长对齐，宽相等，高平齐〞，即正视图和左视图同样高，正视图和俯视图同样长，左视图和俯视图同样宽。

复原三步骤：1〕先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截拿出俯视图形状；2〕依照正视图和左视图有无垂直关系和节点，确立并画出刚才截拿出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条〔剔除此中无需垂直拉升的节点，不可以确立的先垂直拉升〕，由高平齐确立其长短；3〕将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去全部的协助线条即可获得复原的几何体。

方法展现〔1〕将以下列图的三视图复原成几何体。

复原步骤：①依照俯视图，在长方体地面初绘ABCDE 如图；②依照正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处-------不行能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确立点S的地点；如图③将点S与点ABCD分别连结，隐去全部的协助线条，即可获得复原的几何体S-ABCD以下列图：经典题型：例题1：假定某几何体的三视图，以下列图，那么此几何体的体积等于〔〕cm3。

解答：〔24〕例题2：一个多面体的三视图以下列图，那么该多面体的表面积为〔〕-------答案：21+3计算过程：步骤以下：第一步：在正方体底面初绘制ABCDEFMN如图；第二步：依照正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E、F、M、N处不行能有垂直拉升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确立点G,G',B',D',E',F'地地点如图；第三步：由三视图中线条的虚实，将点G与点E、F分别连结，将G'与点E'、F'分别连结，隐去全部的协助线即可获得复原的几何体，以下列图。

-------例题3：以下列图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是〔〕答案：〔6〕复原图形方法一：假定由主视图引起，详细步骤以下：〔1〕依照主视图，在长方体后侧面初绘ABCM如图：〔2〕依照俯视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C出不行能有垂直向前拉升的线条，而在M出必有垂直向前拉升的线条MD，由俯视图和侧视图中长度，确立点D的地点如图：（3〕将点D与A、B、C分别连结，隐去全部的协助线条即可获得复原的几何体D—ABC以下列图：-------解：置于棱长为4个单位的正方体中研究，该几何体为四周体D—ABC，且AB=BC=4，AC=42,DB=DC=25,可得DA=6.故最长的棱长为 6.方法2假定由左视图引起，详细步骤以下：〔1〕依照左视图，在长方体右边面初绘BCD如图：〔2〕依照正视图和俯视图中显示的垂直关系，判断出在节点C、D处不行能有垂直向前拉升的线条，而在B处，必有垂直向左拉升的线条BA，由俯视图和左视图的长度，确立点A的地点，如图：3〕将点A与点B、C、D分别连结，隐去全部的协助线条即可获得复原的几何体D—ABC如图：方法3：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，因此我们能够用一个正方体做载体复原：-------〔1〕依据正视图，在正方体中画出正视图上的四个极点的原象所在的线段，用红线表示。

高考数学中的三视图与投影相关知识点在几何学的领域中，三视图与投影是十分重要的一部分，它们不仅仅是应用于让我们更好地看清三维物体，也是高考数学常见的考点之一。

因此，在这篇文章中，我们将深入探讨高考数学中的三视图与投影相关知识点，帮助大家更好地理解和应用相关内容。

一、三视图概述在现实生活中，很多物体都是三维的，它们有长度、宽度和高度等特征，但我们任何时候都无法同时看到物体的所有信息，因为我们的眼睛只能看到一个角度。

为了更好地看清三维物体，我们可以将其分解为三个不同的投影角度，即正面视图、左视图和顶视图，这就是三视图的概念。

在数学中，我们可以通过三个二维的视图来表示三维物体的形状，三个视图分别呈现物体的正面、左侧和顶部，这些视图给我们提供了关于物体轮廓形状的详细信息。

三维物体的三视图可以通过投影的方式得到，这也是三视图和投影密不可分的原因。

二、投影概述投影是基于投影面和投影线进行的，是将三维物体在二维平面上展示的一种方式。

在投影中，投影面和投影线的位置非常重要，它们决定了最终投影的效果和质量。

在平行投影中，投影线是垂直于投影面的直线，这种投影方式可以得到准确的形状和大小，但是它的透视感比较弱，在某些情况下无法展示物体的深度，因此在我们画高考数学的题目时需要注意使用透视投影来展示物体的深度。

透视投影是一种根据物体在空间中的位置、大小、形状等特征进行的投影方式。

在透视投影中，物体的前方向是远离投影面的方向，反之则是物体的后方向，这种方式可以更好地表现物体的深度和透视效果。

三、三视图和投影的联系三视图和投影密不可分，因为三视图是通过投影方式得到的，我们可以通过三视图来确定物体在三维空间中的位置和方向，从而得到正确的投影。

在绘制三视图时，我们需要利用的是三个视图的交点来确定物体的位置，然后再根据物体的大小和形状来确定它的轮廓。

同样，在投影中，我们也需要确定三维物体在空间中的位置和方向，然后再根据其大小和形状进行投影。

专题28 空间几何体的直观图与三视图一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.已知一个几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图(2)所示)，则此几何体的体积为()A. 1B. √2C. 2D. 2√22.正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是()A. 6cmB. 8cmC. (2+3√2)cmD. (2+2√3)cm3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π2+1+√32B. 3π+12+√32C. 3π+1+√32D. 3π+1+√324.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π+4+√3B. 3π+5+√3C. 52π+6+√3 D. 52π+4+√35.已知某几何体的一条棱长为l，该棱在正视图中的投影长为√2020，在侧视图与俯视图中的投影长为a与b，且a+b=2√1011，则l的最小值为()A. √20212B. √40422C. √2021D. 20216.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. √24π+72B. √24π+4 C. 1+√24π+72D. 1+√24π+47.某圆柱的正视图是如图所示的边长为2的正方形，圆柱表面上的点A，B，C，D，F在正视图中分别对应点A，B，C，E，F.其中E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AC与DF所成角的余弦值为()A. 13B. √23C. √33D. √638.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 22π3B. 28π3C. 34π3D. 40π39.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是()A. 18πB. 21πC. 27πD. 36π10.如图所是某一容器三视图，现容中匀速注水，容器中的度h随时间变可能图象是()A. B. C. D.11.如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 403B. 323C. 163D. 28312.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 64−8√2π3B. 64−4√2π3C. 64−8π3D. 64−4π3二、单空题（本大题共4小题，共20分）13.某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O′A′B′C′为平行四边形，D′为C′B′的中点，则图(2)中平行四边形O′A′B′C′的面积为___________．14.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_____________(写出符合求的一组答案即可)．15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱B1C1，C1D1的中点，过A，M，N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ADD1A1作投影，则投影图形的面积为．16.把平面图形α上的所有点在另一个平面上的射影所构成的图形β称为图形α在这个平面上的射影，如图所示，在三棱锥A−BCD中，BC⊥DC，AD⊥DC，BC⊥AB，BC= CD=4，AC=4√3，则△ADB在平面ABC上的射影的面积是________．三、解答题（本大题共2小题，共20分）13．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm)，（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)；（2）求该几何体最长的棱长.14．设一正方形纸片ABCD边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥，O为正四棱锥底面中心．，（粘接损耗不计），图中AH PQ（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数，并求S范围．专题28 空间几何体的直观图与三视图一、单选题（本大题共12小题，共60分）17.已知一个几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图(2)所示)，则此几何体的体积为()A. 1B. √2C. 2D. 2√2【答案】B【解析】解：根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和√2的直角三角形，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V=13×(12×2×√2)×3=√2．故选B．18.正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是()A. 6cmB. 8cmC. (2+3√2)cmD. (2+2√3)cm【答案】B【解析】解：如图，OA=1cm，在Rt△OAB中，OB=2√2 cm，∴AB=√OA2+OB2=3cm．∴四边形OABC的周长为8cm．故选B．19.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π2+1+√32B. 3π+12+√32C. 3π+1+√32D. 3π+1+√32【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体上部为三棱锥，下部为半球，三棱锥的底面和2个侧面均为等腰直角三角形，直角边为1，另一个侧面为边长为√2的等边三角形，半球的直径2r=√2，故r=√22．∴S表面积=12×1×1×2+√34×(√2)2+12×4π×(√22)2+π×(√22)2−12×1×1=12+√32+3π2．故选：C．20.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π+4+√3B. 3π+5+√3C. 52π+6+√3 D. 52π+4+√3【答案】A【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱和三棱锥的组合体半圆柱的半径为1高2，所以该组合体的面积故选A．21.已知某几何体的一条棱长为l，该棱在正视图中的投影长为√2020，在侧视图与俯视图中的投影长为a与b，且a+b=2√1011，则l的最小值为()A. √20212B. √40422C. √2021D. 2021【答案】C【解析】解：如图所示：设长方体中AB=m，BD为正投影，BE为侧投影，AC为俯视图的投影．故：BD=√2020，BE=a，AC=b，设AE=x，CE=y，BC=z，则：x2+y2+z2=l2，x2+y2=b2，y2+z2=a2，x2+z2=2020，所以2(x2+y2+z2)=a2+b2+2020，故：2l2=a2+b2+2020，因为a2+b2≥(a+b)22=2022，所以2l2≥2022+2020，则l≥√2021．故l的最小值为√2021．故选C．22.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. √24π+72B. √24π+4 C. 1+√24π+72D. 1+√24π+4【答案】D【解析】解：几何体左边为四分之一圆锥，圆锥的半径为1，高为1，右边为三棱锥，三棱锥底面是直角边长为1和2的直角三角形，高为1，所以几何体的表面积为：+12×(2+1)×1+12×√2×√(√5)2−(√22)2，故选D．23.某圆柱的正视图是如图所示的边长为2的正方形，圆柱表面上的点A，B，C，D，F在正视图中分别对应点A，B，C，E，F.其中E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AC与DF所成角的余弦值为()A. 13B. √23C. √33D. √63【答案】D【解析】解：如图所示，连结DE，EF，易知EF//AC，所以异面直线AC与DF所成角为∠DFE，由正视图可知，DE⊥平面ABC，所以DE⊥EF．由于AB=BC=2，所以EF=√2，又DE=1，所以DF=√3，在RtΔEFM中，cos∠DFE=√2√3=√63，故选D．24.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 22π3B. 28π3C. 34π3D. 40π3【答案】C【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体是由一个底面半径为2，高为3的半圆柱和一个半径为2的半球组成，故：V=12⋅π×22×3+12×43×π×23=34π3．故选C．25.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是()A. 18πB. 21πC. 27πD. 36π【答案】A【解析】解：该几何体是一个四分之一的圆和圆锥的组合体，如图：有题意知该圆的直径为6cm，圆锥的高为3cm，则该几何体的体积为13×π×32×3+1 4×43π×33=18π，故选A．26.如图所是某一容器三视图，现容中匀速注水，容器中的度h随时间变可能图象是()A. B. C. D.【答案】B【解析】解：三视图表示的容器倒的圆锥，下细，上面，刚开始度增加的相快些．曲越竖直”，后，高度增加来越慢，图越平稳．故B．27.如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 403B. 323C. 163D. 283【答案】A【解析】解：由三视图得到其直观图(下图所示)，则体积为：13×[12(1+4)×4]×4=403，故选A ．28.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 64−8√2π3B. 64−4√2π3C. 64−8π3D. 64−4π3【答案】A【解析】解：这是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥内部挖去了一个八分之一的球，四棱锥的底面边长和高都等于4，八分之一球的半径为2√2，，故选A ．二、单空题（本大题共4小题，共20分）29. 某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O ′A ′B ′C ′为平行四边形，D ′为C ′B ′的中点，则图(2)中平行四边形O ′A ′B ′C ′的面积为___________．【答案】3√2【解析】解：由正视图和侧视图可得俯视图如下：∴|O′A′|=4，|O′C′|=32，∠A′O′C′=45°，∴S ΔA′O′C′=12|O′A′|·|O′C′|·sin∠A′O′C′ =12×4×32×√22=3√22， ∴S ▱O′A′B′C′=2S △A′O′C′=3√2， 故答案为3√2．30.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_____________(写出符合求的一组答案即可)．【答案】②⑤或③④【解析】解：由高度可知，侧视图只能为②或③，侧视图为②，如图(1)平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=√2，BA=BC=√5,AC=2，俯视图为⑤；侧视图为③，如图(2)，PA⊥平面ABC，PA=1,AC=AB=√5,BC=2，俯视图为④．故答案为②⑤或③④．31.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱B1C1，C1D1的中点，过A，M，N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ADD1A1作投影，则投影图形的面积为．【答案】712【解析】解：直线MN分别与直线A1D1，A1B1交于E，F两点，连接AE，AF，分别与棱DD1，BB1交于G，H两点，连接GN，MH，得到截面五边形AGNMH，向平面ADD1A1作投影，得到五边形AH1M1D1G，由点M，N分别是棱B1C1，C1D1的中点，可得D1E=D1N=12，由△D1EG∽△DAG，可得DG=2D1G=23，同理BH=2B1H=23，则AH1=2A1H1=23，A1M1=D1M1=12，则S AH1M1D1G =1−S A1H1M1−S ADG=1−12×12×13−12×1×23=712，故答案为：712．32.把平面图形α上的所有点在另一个平面上的射影所构成的图形β称为图形α在这个平面上的射影，如图所示，在三棱锥A−BCD中，BC⊥DC，AD⊥DC，BC⊥AB，BC= CD=4，AC=4√3，则△ADB在平面ABC上的射影的面积是________．【答案】8√2【解析】解：因为BC⊥DC，AD⊥DC，BC⊥AB，BC=CD=4，AC=4√3，把三棱锥A−BCD放入如图所示的棱长为4的正方体中，过点D作CE的垂线DF，垂足为F，连接AF，BF，因为BC⊥平面CE，DF⊂平面CE，故BC⊥DF又BC∩CE=C，BC，CE⊂平面ABC则DF⊥平面ABC，故△ADB在平面ABC上的射影为△AFB，因为AB=√42+42=4√2，×4×4√2=8√2，所以△AFB的面积为12即△ADB在平面ABC上的射影的面积为8√2．故答案为8√2．三、解答题（本大题共2小题，共20分）13．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm)，（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)；（2）求该几何体最长的棱长.【答案】（1）答案见解析；（2）4cm.【解析】（1）（2）如下图，SE⊥面ABC，线段AC中点为D2,3,1,4,2,=1======，BD AC SE cm AE cm CE cm AC cm AD DC cm DE cm⊥，=，3BD cm在等腰ABC中，AB AC=在Rt SEA△中，SA=在Rt SEC△中，SC△中，BE==在Rt BDE∴⊥SE⊥面ABC，SE BE在Rt SEB△中，SB=<==<<，在三梭锥S-ABC中，SC AB AC SA SB AC所以最长的棱为AC ，长为4cm14．设一正方形纸片ABCD 边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH PQ ⊥，O 为正四棱锥底面中心．，（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ 的底角为x ，试把正四棱锥的侧面积表示为x 的函数，并求S 范围．【答案】（1），画图见解析；（2）161tan 2tan S x x=++，()0,4.【解析】（1）由题意，设正四棱锥的棱长为a，则AH =，2a AC a +===（2）设PH b =，则tan AH b x =，由2tan 2a x a ⋅+=a =，从而22116tan 442tan 2(tan 1)APQ x S S PQ AH a x x ==⋅⋅⋅==+△，其中(tan 1),x ∈+∞，∴16(0,4)1tan 2tan S x x=∈++。

1 ．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A 2 ．一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ）A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C3 ．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A．4B．14 3C．163D．6【答案】B4．某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（）A．5603B．5803C．200D．240【答案】C5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】A6．某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3π_____.12211正视图俯视图侧视图第5题图1121【答案】3π 7．若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .【答案】248．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-9．已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________43 233正视图侧视图俯视图（第12题图）【答案】12π2 ．已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是（）A．1cm3 B．2cm3C．3cm3D．6cm35 ．将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为7 ．如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的体积为A.6B.9C.12D.1813．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（）+A．2865+B．3065+C．56125D．60125+15．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是DCBA正、侧视图18． (立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π22．一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积________3m.36．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.第7题图。

高考数学立体几何题型全归纳一、空间几何体的结构特征1. 一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为（）正视图：是一个矩形，长为2，高为√(3)；侧视图：是一个矩形，长为2，高为1；俯视图：是一个正三角形，边长为2。

解析：底面正三角形的边长a = 2，底面积S_{底}=(√(3))/(4)a^2=(√(3))/(4)×2^2=√(3)。

侧棱长h = 1，三个侧面的面积S_{侧}=3×2×1 = 6。

所以表面积S=2S_{底}+S_{侧}=2√(3)+6。

2. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）正视图：是一个梯形，上底为1，下底为2，高为2；侧视图：是一个矩形，长为2，宽为1；俯视图：是一个矩形，长为2，宽为1。

解析：该几何体是一个四棱台。

上底面积S_{1}=1×1 = 1，下底面积S_{2}=2×2=4，高h = 2。

根据四棱台体积公式V=(1)/(3)h(S_{1}+S_{2}+√(S_{1)S_{2}})=(1)/(3)×2×(1 + 4+√(1×4))=(14)/(3)二、空间几何体的表面积与体积3. 已知球的直径SC = 4，A，B是该球球面上的两点，AB=√(3)，∠ ASC=∠BSC = 30^∘，则棱锥S - ABC的体积为（）解析：设球心为O，因为SC是球的直径，∠ ASC=∠ BSC = 30^∘所以SA=SB = 2√(3)，AO = BO=√(3)又AB=√(3)，所以 AOB是等边三角形，S_{ AOB}=(√(3))/(4)×(√(3))^2=(3√(3))/(4)V_{S - ABC}=V_{S - AOB}+V_{C - AOB}=(1)/(3)× S_{ AOB}×(SO + CO)=(1)/(3)×(3√(3))/(4)×2=√(3)4. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）正视图：是一个正方形，右上角缺了一个等腰直角三角形；侧视图：是一个正方形，右上角缺了一个等腰直角三角形；俯视图：是一个正方形，右上角缺了一个小正方形。

第九章立体几何（2021年文科数学高考备考版）第一节空间几何体的三视图和直观图一、高考考点梳理（一）、空间几何体的结构特征1．多面体①棱柱：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成（一）、简单几何体的结构特征的几何体叫作棱柱．②棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．2．旋转体①圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到．②圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．（二）、三视图1．三视图的名称：几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图．2．三视图的画法①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图．③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．（三）、直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：1．在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；2．已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；3．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的1 2.二、历年高考真题题型分类突破题型一空间几何体的三视图【例1】（2020全国Ⅲ卷）右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B.C.D. D.解析：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，，、、两两垂直，故，几何体的表面积为：，故选：C．【例2】（2018全国Ⅰ卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．217 B．2 5C．3 D．2解析：所求最短路径MN为四份之一圆柱侧面展开图对角线的长.故选B.【例3】（2017全国Ⅱ卷）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A .90πB .63πC .42πD .36π解析：由题意,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱,其体积V 1＝π×32×4＝36π,上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,其体积V 2＝12×(π×32×6)＝27π,∴该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝63π.故选B .题型二 与球有关的几何体【例4】（2020全国Ⅰ卷）已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为∆ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π，AB=BC=AC=OO 1，则球O 的表面积为( ) A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π解析：设球O 半径为R ，⊙O 1的半径为r ，依题πr 2=4π，∴r =2。

§3三视图1.三视图的特点:主、俯视图①;主、左视图②;俯、左视图③,前后对应.2.在绘制三视图时,应注意:若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用④画出,不可见轮廓线,用⑤画出.一、解决有关三视图的问题1.(2014福建,2,★☆☆)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱思路点拨逐个分析各选项.圆柱的任何视图都不可能为三角形.2.(2014江西,5,★☆☆)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )思路点拨认清直观图是解题关键.3.(2014广东汕头期末,★☆☆)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④思路点拨正确画出三视图是解题的关键.4.(2013四川理,3,★☆☆)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )思路点拨综合三个视图,先看轮廓线,再考虑细节.5.(2013湖南理,7,★★☆)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的主视图的面积不可能等于( )A.1B.√2C.√2-12D.√2+12思路点拨俯视图是正方形,而主视图的视角不固定,从不同角度观察正方体,主视图也不同.6.(2012辽宁理改编,13,★★☆)一个几何体的三视图如图所示,试画出该几何体的直观图.思路点拨整个长方体,挖去一个圆柱.二、空间几何体的直观图与三视图的关系7.(2014浙江改编,3,★☆☆)某几何体的三视图如图所示,则此几何体为( )A.长方体与三棱锥的组合体B.正方体与三棱柱的组合体C.长方体与三棱柱的组合体D.正方体与三棱锥的组合体思路点拨先画出直观图的草图,再加以判断.8.(2014山东高密统测,★★☆)如图所示,甲、乙、丙是三个几何体的三视图,则下列甲、乙、丙对应的标号正确的是( )①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A.④③②B.②①③C.①②③D.③②④思路点拨仔细考量各个视图.以某一个视图为基准,其他两个视图辅助,画出直观图草图.9.(2014河北沧州阶段考试,★★☆)根据如图所示的三视图,想象对应的几何体,并画出草图(尺寸不作严格要求).思路点拨从视图可看出上部为正六棱锥,下部为正六棱柱.一、选择题1.下列说法正确的是( )A.任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关B.任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关C.有的几何体的三视图与其摆放的位置无关D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形2.如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个圆及其圆心,那么这个几何体为( )A.棱锥B.棱柱C.圆锥D.圆柱3.如图,空心圆柱体的主视图是( )4.将正三棱柱截去三个角(如图①所示,A,B,C分别是△GHI三边的中点)得到如图②所示的几何体,则该几何体按图②所示方向的左视图为( )5.四个正方体按如图所示的方式放置,其中阴影部分为我们观察的正面,则该组合体的三视图是( )6.如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1是一个用铁丝围成的模型框架,E、F分别是A1D1、CC1的中点,G为正方形ABCD的中心,用铁丝将AE、EF、FG、GA连接起来得到一组合体框架,则该组合体的主视图、左视图和俯视图分别是( )A.①④②B.①②④C.①④③D.②④③7.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可能是( )二、填空题8.对几何体的三视图,下列说法正确的是.①主视图反映物体的长和宽;②俯视图反映物体的长和高;③左视图反映物体的高和宽;④主视图反映物体的高和宽.三、解答题9.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm),请问该几何体是什么?写出该几何体的母线长,底面半径,高的大小.10.根据如图所示的三视图画出相应空间图形的直观图(尺寸自定).11.一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的,其主视图和左视图如图所示,则组成这个几何体的小正方体的个数最多是多少?一、选择题1.(2015山东聊城测试,★☆☆)如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体分别为( )A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台2.(2015河南内黄月考,★☆☆)如下图,三棱柱的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱AA1⊥底面A1B1C1,正视图是边长为2的正方形,俯视图为一个等边三角形,则该三棱柱的侧视图的面积为( )A.√3B.2√3C.4D.4√33.(2014湖北黄石模拟,★★☆)如图,水平放置的三棱柱的侧棱长为2,底面是边长为2的等边三角形,侧棱AA1⊥平面A1B1C1,且其主视图是边长为2的正方形,则该三棱柱左视图的面积为( )A.4B.2√C.2√3D.2√24.(2014安徽宿州检测,★★☆)如图所示的直三棱柱的主视图的面积为2a2,则左视图的面积为( )A.2a2B.a2a2C.√3a2D.√345.(2013北京西城一模改编,★☆☆)如图为某几何体的三视图,则此几何体为( )A.球与三棱柱的组合体B.半球与圆柱的组合体C.半球与圆锥的组合体D.半球与三棱柱的组合体二、填空题6.(2014山西太原模拟,★★★)已知正三棱锥V-ABC的主视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2√3,则该三棱锥的左视图的面积为.知识清单①长对正②高平齐③宽相等④实线⑤虚线链接高考1.A 由三视图知识可知,圆柱的正视图是矩形,不可能为三角形.故选A.2.B 由几何体的直观图知,该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上,因此它的俯视图应排除A、C、D,经验证B符合题意,故选B.3.D 正方体的三个视图都是正方形,不合题意;圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形,俯视图是圆(含圆心),符合题意;三棱台的主视图、左视图和俯视图各不相同,不合题意;正四棱锥的主视图和左视图都是三角形,俯视图是正方形(含两条对角线),符合题意,所以②④符合题意.故选D.4.D 由俯视图易知,只有选项D符合题意.故选D.5.C 若该正方体的放置方式如图所示,当主视图的方向与正方体的任一侧面垂直时,主视图的面积最小,其值为1,当主视图的方向与正方体的对角面BDD1B1或ACC1A1垂直时,主视图的面积最大,其值为√2,因为主视图的方向不同,所以主视图的面积S∈[1,√2].故选C.6.解析如图所示:该几何体是长为4,宽为3,高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1,高为1的圆柱.7.C 画直观图如图,可见几何体是长方体与三棱柱的组合体.8.A 甲中俯视图是圆,则该几何体是旋转体,又其主视图和左视图均是矩形,则甲是圆柱;乙中俯视图是三角形,则该几何体是多面体,又其主视图和左视图均是三角形,则该多面体的各个面都是三角形,因此,乙是三棱锥;丙中俯视图是圆(含圆心),则该几何体是旋转体,又其主视图和左视图均是三角形,故丙是圆锥.9.解析由主视图和俯视图可知该几何体的下半部分为柱体,上半部分为锥体,因为俯视图为一个正六边形,所以该几何体是由一个正六棱锥和一个正六棱柱组合而成的.它的实物草图如图所示.基础过关一、选择题1.C 球的三视图与其摆放位置无关.2.C 棱锥、棱柱的俯视图不是圆,圆柱的主视图和左视图都是矩形,故选C.3.C 根据三视图的画法可知选C.4.A 左视图一定为直角梯形.5.B 由三视图的定义,可得其对应三视图应为选项B中的相应图形,故选B.6.A 主视图是从前向后观察,易知为①,左视图是从左向右观察,应为④,俯视图为②.7.D A、B的主视图不符合要求,C的俯视图不符合要求.二、填空题8.答案③解析根据三视图定义,主视图反映的是物体的长和高,左视图反映的是物体的宽和高,俯视图反映的是物体的长和宽.三、解答题9.解析主视图与左视图相同,说明它是均匀的对称体,又俯视图为圆(含圆心),根据学过的知识可知该几何体是圆锥.从主视图可知圆锥的底面直径为6 cm,母线长是5 cm,所以该几何体的底面半径为3 cm,母线长为5 cm,高为4 cm.10.解析直观图如图:11.解析 由主视图和左视图可知该几何体底部这一层最多摆放9个小正方体,上面一层最多摆放4个小正方体,所以组成这个几何体的小正方体的个数最多是13个.三年模拟一、选择题1.C 仔细观察三视图,先确定大致图形,再细化处理.2.B 侧视图是宽为√3,长为2的矩形,故侧视图的面积为2√3.3.C 三棱柱的左视图为一个矩形,且其一边为三棱柱的高,与这一边相邻的一边为底面三角形的高,故其面积为2×√3=2√3.4.C 由主视图的面积为2a 2得三棱柱的高为2a.左视图为矩形,长为2a,宽为底面图形(三角形)的高√32a,∴左视图的面积为2a×√32a=√3a 2.5.C 显然是半球与圆锥的组合体.二、填空题6.答案 6解析 此正三棱锥的侧棱长是4,底面正三角形的边长是2√3,而其左视图是等腰三角形,底边长是2√3,高是三棱锥的高,即为2√3,所以左视图的面积是6.。