用笔做开方运算的方法

笔算开立方的方法方法一1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；5．用同样方法继续进行下去。

方法二第1、2步同上。

第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×3 0+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。

然后重复第3、4步，直到除尽。

开方算法的历史记载九章算术《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。

开立方原文开立方〔立方适等，求其一面也。

〕术曰：置积为实。

借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百万之面百。

〕议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

〔再乘者，亦求为方幂。

以上议命而除之，则立方等也。

〕除已，三之为定法。

〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。

〕复除，折而下。

〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。

开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。

据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。

〕以三乘所得数，置中行。

〔设三廉之定长。

〕复借一算，置下行。

〔欲以为隅方。

立方等未有定数，且置一算定其位。

〕步之，中超一，下超二等。

〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。

笔算开平方法的计算步骤如下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。

4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．手工开根号法,只适用于任何一个整数或者有限小数开二次方.因为网上写不出样式复杂的计算式,所以只能尽量书写,然后通过口述来解释:假设一个整数1456456,开根号首先要从个位开始,每两位数做个标记,这里用'表示,那么标记后变成1'45'64'56.然后根据你要开的小数位数在小数点后补0,这里的举例开到整,则补2个0,(原因等明白该做法后自会理解),解法如下:解法中需要说明的几个问题:1,算式中的....没有意义,是因为网上无法排版,为了能把版式排得整齐点而加上的2,为了区别小数点，所以小数点用。

表示，而所有的.都是为了排版需要3、除了1'45'64'56中的'有特殊意义，在解题中有用处外，其他的'都是为了排版和对起位置，说明数字来源而加的，取消没有任何影响...........1..2..0..6。

笔算开平方的步骤口诀
开平方的步骤是指对一个数进行开平方运算时所进行的一系列计算步骤。

下面是笔算开平方的步骤口诀：
1.找到要开平方的数，记作被开方数。

2.写出被开方数的因数分解式。

3.将被开方数的每一对相同的因数提取出来，并以它们的积的形式写成一个单独的因数。

4.对于无法被完全提取出来的因数，将其保留在根号内。

5.对于提取出来的因数，将它们的积开平方，即将它们的平方根写在根号外。

6.将所有写在根号外的因数相乘，得到结果。

以下将详细介绍每个步骤的具体操作：
1.找到要开平方的数，记作被开方数。

例如，要计算√16，被开方数为16
2.写出被开方数的因数分解式。

将被开方数进行因数分解。

例如，16可以分解为2的4次方，即16=2^4
3.将被开方数的每一对相同的因数提取出来，并以它们的积的形式写成一个单独的因数。

对于16来说，由于只有一个因数2，所以可以直接提取出来，得到2
4.对于无法被完全提取出来的因数，将其保留在根号内。

由于16只有一个因数2，已经被提取出来，故根号内不再有其他因数。

5.对于提取出来的因数，将它们的积开平方，即将它们的平方根写在根号外。

对于2来说，√2=1.414
6.将所有写在根号外的因数相乘，得到结果。

对于16来说，2的平方根为1.414，故√16=2*1.414=2.828
综上所述，√16=2.828
以上就是开平方的步骤口诀的详细讲解。

通过按照这个口诀的步骤进行计算，可以较为准确地得到开平方的结果。

当然，在计算中还需要注意取舍，保留适当的位数，以保证结果的准确性。

笔算开平方的步骤为了能够准确而又高效地进行笔算，学习如何计算平方根非常重要。

平方根可以通过一系列简单的步骤来求得，以下就是如何开平方的步骤：第一步：理解什么是平方根平方根是对数字的一种运算，用来计算一个数字的“根号”，或者说是他们自身的乘积。

换句话说，如果一个数字乘以它自身，那么它的平方根就是它本身。

例如，4的平方根是2，因为2乘以2等于4。

第二步：找出可以求得的那一部分平方根一些平方根也可以通过简单的乘法和除法来求得。

例如，100的平方根是10，因为10乘以10等于100；4的平方根是2，因为2乘以2等于4。

第三步：理解称为“蒙哥马利方法”的开平方技巧蒙哥马利方法（也称为“二次余项”）是一种开平方的技巧，可以用来计算那些不能直接进行简单乘法或除法运算的平方根。

该方法包括以下几个步骤：（1）找出平方数表中的一个最接近的数字；（2）将这个数字从平方数表中减去原数，余数即为需要计算的部分；（3）按照双层连乘的方法，然后将结果加到平方根中；（4）以此类推，在获得最终结果之前可以重复上述步骤。

第四步：将计算过程用笔算表示当您熟悉了上述计算步骤以后，可以使用一些简单的笔算符号来表示上述技巧。

在大多数情况下，您只需要用一个乘号（×）和一个减号（）来表示这一步骤，而不需要太多的数字或其他符号。

第五步：使用实际的例子练习记住，最好的方法学习怎样开平方是通过实践。

因此，一旦您对“蒙哥马利方法”的概念有了基本的了解，您就可以使用一些实际的例子来练习如何开平方了。

例如，您可以尝试用上述技巧来求解49、144、225、576、625等数字的平方根。

通过一步步仔细地学习，您就可以学会如何开平方了。

学习如何进行笔算有助于培养孩子的逻辑思维能力，此外，它也有助于孩子们提高算术思维能力，从而更好地掌握数学。

在今天这个数字化的社会，掌握数学基础知识尤为重要，因此，学会笔算就显得极为重要。

怎样笔算开方？怎样笔算开方？在没有计算器也没有任何资料的情况下，需要笔算开方怎么算呢？下面就简单地介绍一下：第一步：先分节。

把被开方数分节，从小数点向两边分，每两位数一节。

（从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数，，从小数点起向右每隔两位一节）用“，”号将各节分开；如625分节为6’25，5625分节为56’25，11278分为1’12’78，等等，一个数可分为几节，开方后就有几位。

由于有小数点与无小数点的笔算方法是一样的，所以下面就以整数开方为例来说明。

第二步：在被开方数的上方画一个根号，就开始算了，比如9’61这个数，上面打上根号，先看第一节9，3×3=9所以在根号上与9对齐的位置“商”3，3×3=9把9写在下面减去，就像除法那样在961下面减。

减完后还余下61,为了明白这里的原理，你可以借助于图形去理解，你画一个正方形，边长是两位数，十位是3，个位暂时还不知道,3×3=9 减去就是在左下角挖去一个900的正方形，还余下61就是挖去后剩下的像“7”字形的面积。

也可以看作是由两个全等的长方形与一个小正方形组成的.再不明白你就想一想(30+?)的平方展开式中的后两项.第三步：把“商”3乘以20，3×20=60 考虑(60+?)×?=61 61×1=61 好了,在根号上方与第二节对齐处写1, 61×1=61 从下面减去得0,这样就完了,961开方是31.那么,这一步的原理又是什么呢?你再观看图形，注意左下角挖去一个900的正方形后还剩下的像“7”字形的面积,把它掰直成”1”字形的长方形,再看这个长方形的长是(2×30+?),也就是(3×20+?),宽是?,它的面积是61，那么不就是考虑(60+?)×?=61吗.再以625开方来练习一下,先分节为6’25,打上根号,先看第一节6,由于3平方不够,只能在第一节上面“商”2,2平方是4,像做除法那样在下面减4,余下225,2×20=40.考虑(40+?)×?=225 (40+5)×5=225 好，在第二节上面“商”5，下面减225得0，完了，625开方是25。

如何笔算开平方、开立方开立方笔算法今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。

当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。

因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。

在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。

它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。

(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。

在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。

然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。

因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。

(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]如果每次计算后都能减掉1000a^3的话，那么剩下的任务就是找到最大的整数b'，使b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。

于是，我就设计了一个版式。

下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。

例如：147^3=3176523一开始，如下图所示，将3176523从个位开始3位3位分开。

（3'176'523）第一步，我们知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位应该填1。

1^3 = 1，3 - 1 = 2，余2，再拖三位，一共是2176。

接下来这一步就比较复杂了。

因为我水平有限，我现在还不能把它改造得比较好。

依照“b[300a^2+b(30a+b)]”，所以：1^2*300=300，1*30=30，如图上所写。

第二位就填4，所以上图3个空位都填4。

笔算开方公式（竖式）今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。

只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。

既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。

以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！1.手开方公式举例：上式意为65536的开平方为256。

手开方过程类似于除法计算。

为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。

以65536为例，其具体计算过程如下：Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。

Step2：从高位开始计算开方。

例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。

于是将2写在根号上方，计算开方余项。

即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。

Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。

即本步除数是4x(四十几)。

按照要求，本步的商必须是x。

因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。

Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。

其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。

例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。

本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。

2.字母表示和手开方公式的证明：既然要证明，必须先把公式一般化。

简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。

任意正整数均可表示成则正整数M开方计算得到的就是A。

根据手开方公式的思路，应该写成：不失一般性，对A进行推广。

前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。

笔算开平方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：笔算开平方法是指通过手工计算的方式求解一个数的平方根。

在现代社会，计算工具如计算器和电脑十分普及，但是笔算开平方法依然具有重要的意义。

它有助于提高我们的数学运算能力和思维能力；它可以在没有计算工具的情况下帮助我们进行准确的数值计算；通过学习笔算开平方法，我们可以更深入地理解数学概念和规律。

笔算开平方法的基本原理是利用平方数的性质来逐步逼近目标数的平方根。

平方数是某个整数与自己相乘的结果，例如：1^2=1,2^2=4, 3^2=9, 4^2=16等等。

我们可以通过对一个数的平方根进行近似计算，从而逐步逼近它的真实值。

以求解数的平方根为例，我们可以通过以下步骤来进行笔算开平方法的计算：1. 确定目标数，例如我们要求解的数为25；2. 找到一个比目标数小的平方数作为起始点，例如一个比25小且最接近25的平方数为16；3. 计算目标数和起始点之间的差值，即25-16=9；4. 取得起始点的平方根作为近似值，即√16=4；5. 将差值除以两倍的近似值，即9/(2*4)=9/8=1.125；6. 将近似值与商相加，即4+1.125=5.125；7. 将5.125的平方计算，得到25.390625；8. 由于25.390625比25稍大，我们可以将5.125作为25的平方根的一个比较接近的近似值。

通过这种逐步逼近的方法，我们可以不断优化我们的估算，最终得到一个比较精确的平方根值。

在实际的计算中，我们可能需要进行多次迭代才能得到一个比较精确的值，但是通过这种方法，我们可以很好地了解数的平方根是如何逼近计算的。

第二篇示例：笔算开平方法是一种用笔和纸进行开平方计算的方法。

在计算机和电子设备的普及之前，人们通过笔算的方式来进行数学运算，其中开平方法是一种常用的计算技巧。

虽然现在人们可以通过计算器和电脑轻松地完成开平方运算，但了解和掌握笔算开平方法仍然是非常重要的，可以帮助我们提高数学能力和逻辑推理能力。

用筆做開方運算的方法很容易，先把被开方数自小数点左右分为每两个数一个区，如 1049.76（以下都以这个数为例）可分为10‘49.76，然后从高位区开始算，过程有点象除法竖式，下面就是正文：从高位区开始，10开方的整数是3，这整数3便是结果的最高位数字，余数1（10-3*3）和下一区和在一起便是149，用20(专用数字，从第二区开始一直用到完）去乘前面已开方结果3，便市60（20*3），记住，这个数的个位数不是固定的，它可是必须与除得的商相同且须尽量大，继实例部分，第二步用149除以60（60不是真正的除数，因为它的个位数是所得的商），这样可得出商的约数，如以上除的整数部分是2，那么须把60+2为62作为除数，得商2与除数62的个位数相同，因此商2便是结果的第二位数（既为32），余数为25（149-62*2），被开方数的整数区用完了便在结果32后加“.”既以后的算出来的结果为小数部分，剩下的都与第二部分相同下面与你们共同来完成它吧：把余数25和下一区放在一起为2576，试用除数为20*32=640，则商为4，4+640为644，2576除以644刚好为4（4恰为除数644的个位数）没余数，则4为结果的最后一位了，既结果为32.4。

这结果可是精确的数哦，如果后面还除不尽的话，就在被开方数的小数部分后加00……还是每两数为一区，用以上的方法一直精确下去，结果可是与计算器算出来一样哦，开方,一般都是...按计算机,以前是查数学用表...现在有一个更容易的方法了,而且可以一下子给你开出这个数,而且多少次方都无问题!例:32*32=1024我们把1024分解质因数(小学知识,别说你不会)1024=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2一共是10个2把10的因数找出来:10(1,2,5,10)一共10个2对不?10/1=10,2的10次方10/2=5,2*2=4,4的五次方10/5=2,2*2*2*2*2=32,32的二次方(即平方)10/10=1,2*2.....*2=1024,1024的一次方手动开平方1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。

笔算开平方的方式（原创资料）那个问题能够说是老掉牙的问题，此刻有科学的计算工具了，谁还用那个呢，现今的数学书籍上也大体再也不提那个问题了。

可是，当你在日常生活中偶然碰到要把某个数开平方，又没有带计算工具，用那个方式仍是挺方便的。

下面简单介绍对有理数开平方的一样方式。

1.正整数开平方的方式：（1）把被开方数从右向左每隔两位用撇号分开，最后剩下一名时算作一段。

（如写成22＇14＇64＇36，如2146436写成2＇14＇64＇36）；（2）从左侧第一段(如22)求得算术平方根的第一名数字(如4) ；（3）从第一段减去这第一名数字的平方(如22-42=6)，再把被开方数的第二段写下来，作为第一个余数(如614)；（4）把所得的第一名数字(如4)乘以20，去除第一个余数所得的商的整数部份(如614÷(4×20)=的整数部份7)作为试商（注：若是那个整数部份大于或等于10，就改用9作试商，若是第一个余数小于第一名数字乘以20的积，那么得试商0）；（5）把第一名数字的20倍加上试商的和，乘以那个试商所得值不大于第一个余数时（如（4×20+7）×7=609≤614），那个试商确实是算术平方根的第二位数字（注：若是所得的积大于余数时，就要把试商减去1再试，直到积小于或等于余数为止）；（6）用第一个余数减去第一名数字的20倍加上试商的和乘以该试商所得值的差（如614-609=5），往后用一样的方式，继续求算术平方根的其他列位数字。

例：求√开方竖式如下4 7 0 6√ 22＇14＇64＇36168 7│ 6 14│ 6 09940 6│ 5 64 36│ 5 64 36∴√=4706.2.纯小数的开平方：求纯小数的算术平方根，也能够用整数开平方的方式来计算，但在用撇号分段时要从小数点起向右每隔两位用撇号分开，若是小数点后的最后一段只有一名，就添上一个0补成两位。

例：求√（精准到）开方竖式如下0. 2 3 2√＇38＇80＇44 3│1 38│1 2946 2│ 9 80│ 9 2456∴√≈.3.混小数的开平方：求混小数的算术平方根，一样能够用整数开平方的方式来计算，但在用撇号分段时要从小数点起向左把整数部份每隔两位用撇号分开，从小数点起向右把小数部份每隔两位也用撇号分开。