手算开方原理

手算开平方和开立方的方法
手算开平方和开立方的方法
1) 开平方Extracting Square Root
写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。

左边加一竖线，右边加一个左括号。

从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。

然后在第一段
下边写平方数，减去此平方数。

写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作
为新被除数。

此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积
作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位
空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。

除数与商的积
写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位
两位彺下移。

如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。

X
2) 开立方 Extracting Cube Root：
原理: 从小数点起每3位分段
参考文献：F.J.CAMM : NEWNES ENGINEER'S MANUAL。

【精品】开根号手算方法一、什么是开根号手算开根号手算，又称根据号手算、平方根手算，是数学中的一种运算方式，在平时的教学实践中也是许多学生必学的基本数学技巧之一。

开根号手算，就是将给定的数字原样分成两部分，再跟数字表中的数值进行比较，找到最相近的结果，而后再精确地计算它的结果值，用某种方法运算出最终的结果也就是开根号手算。

（1）选择数字表。

要使用开根号手算，我们首先需要拿出平方根表，平方根表是把每个数字跟1到99的平方根对应起来的表格。

（2）给出的数的长度。

例如要计算的是25根，由于2代表2位数，我们可以知道这个数字由两位数组成：2和5，由于25跟25^2=625，两个数字位数相同，因此我们可以确定这个数字实际上有三位数。

（3）比较和记忆。

使用平方根表，从表中找到最接近这三位数（2，5）最接近的旁边的数，将它记忆下来。

例如本例中，可以找到sqrt（25）=5，此外，由于它大于2，5，因此将它记为5.01，以此类推。

（4）连加减运算。

以上一步的结果为基础，首先从左到右添加运算符，让每个数字等于前面的累加结果，包括给定的数字以及被比较的数字，然后进行加减运算，得到最终的结果。

以计算681的平方根为例，开根号手算将具体步骤如下：（1）查看平方根表，平方根（68）约等于8.31，因此将其记为8.31（2）由于681大于68，因此用8.31乘以1加上0.001=8.311（3）两边各乘以100，即：831.1=（8.311x100）+（0.001x100）（4）按顺序将运算符添加：（831.1-81=750.1）+100=850.1-1=849.1（5）最终结果：平方根（681）约等于26.12。

手开平方根的详细方法
手开平方根的方法如下：
1. 将被开方数写成一组一组的数，从右往左每两个数字一组，
最左边一组可以只有一个数字，如果该数为奇数，则最左一组只有一
个数字。

2. 从左往右处理每一组数字，将第一组数字的平方根写在答案
的最左侧。

例如，如果第一组数字为4，那么答案的最左边数字就是2。

3. 将第一组数字减去它被平方根除后的余数。

在这种情况下，4
除以2的平方根等于2，因此4-2²=0。

4. 将第二组数字附加到答案右侧，并将答案乘以20。

例如，如
果第二组数字为56，则答案乘以20，然后加上5，使答案变为25。

5. 令x等于上一步中的答案，将x乘以x并减去第二组数字。

然后将下一组数字附加到最后，并在答案右侧附加一个占位符（0）。

6. 重复步骤5直到处理完所有数字组。

如果最后一组数字为0，则可以省略占位符并忽略其余部分。

举个例子，将196进行手开平方根：
1.首先将被开方数分组，从右往左分别是96和1。

2.将96开方，得到9，将9写在答案左边。

3.将96减去9²得到15。

4.将1附加到9右边，答案变成了90。

5.使用公式x²-第二组数字来计算下一个数字，得到（9x9）-
15=66，将6附加到答案右侧，由于还有半个数字（1），因此附加一
个零作为占位符。

6.重复步骤5，得到42和0，因此最终答案为14。

手动开平方和开立方的方法开平方和开立方是非常常见的数学运算，主要用于求解根号及立方根问题。

下面将介绍手动开平方和开立方的方法。

1.估算：首先根据被开方数的大小，可以先大致估算出开方结果的范围。

例如，如果被开方数是个两位数，那么它的开方结果肯定在1-9之间。

2.质因数分解：然后可以对被开方数进行质因数分解，将其写成所有质因数的乘积形式。

例如，对于100的平方根，可以分解为10的平方。

质因数分解可以大大简化计算。

3.按位提取：将被开方数按位进行分组，并且从左往右每次提取两位数。

对于每一位，从1开始尝试，找到一个数x，使得x*x小于等于当前提取的数。

这个x就是该位的结果。

4.除法法：类似于手算除法的步骤，从高位往低位依次计算。

对于每一位，先将之前已经得到的结果乘以2，再在该位后面补上一个数字，使得这个数与之前的结果乘以2之后的数的乘积不大于当前被开方数的余数，然后将这个数记录下来，并且用它减去之前的乘积，得到新的余数。

不断重复这个步骤，直到所有位数都计算完毕。

5.迭代法：使用迭代法可以逐步逼近开方结果。

首先猜一个近似值，然后用被开方数除以这个猜测值得到一个新的近似值。

迭代多次后，就可以得到一个更接近开方结果的值。

手动开立方的方法:1.近似法：可以先利用近似法找到一个与被开立方数近似的数。

比如，找到一个整数x，使得x的立方小于等于被开立方数。

然后逐步增加x，直到x的立方大于被开立方数，这样就得到了一个近似值。

2.不断逼近法：可以利用不断逼近法逐步逼近开立方结果。

类似于开平方的迭代法，首先猜一个近似值，然后用被开立方数除以这个猜测值的平方，得到一个新的猜测值。

不断迭代计算，直到收敛到一个满足条件的值。

3.牛顿法：牛顿法也是一种常用的开立方方法。

它基于函数求根的思想，通过不断迭代逼近函数的根。

具体步骤是，首先猜一个近似值，然后根据牛顿法公式：x=x-f(x)/f'(x)，来更新猜测值，直到满足收敛条件。

手算开根号的计算方法手算开根号是一种常见的数学计算方法，适用于在没有计算器或电脑的情况下进行开根号的计算。

下面将详细介绍手算开根号的计算方法。

一、整数开根号的计算方法对于一个整数n，我们可以通过试探法来计算其平方根。

我们从1开始尝试，不断将该数平方，直到找到一个平方结果大于或等于n 的数为止。

举个例子，我们来计算整数16的平方根：1的平方为1，小于16；2的平方为4，小于16；3的平方为9，小于16；4的平方为16，等于16。

所以，整数16的平方根为4。

二、小数开根号的计算方法对于一个小数n，我们可以通过逐位逼近的方法来计算其平方根。

具体步骤如下：1.将小数n的整数部分提取出来，假设为a。

然后将n的小数部分提取出来，假设为b。

2.先对整数部分a进行开根号的计算，得到一个整数c作为结果的整数部分。

3.将c的平方减去a，得到一个差d。

4.将b与d拼接在一起，得到一个新的小数e。

5.在e的末尾补充一个数字x，使得c的2倍与x相乘后，与e的结果的最后一位数字之和最接近，但不能大于e。

这个数字x就是结果的小数部分的第一位数字。

6.将c的2倍与x相乘，得到一个乘积f。

7.将f与e拼接在一起，得到一个新的小数g。

8.在g的末尾再次补充一个数字y，使得c的2倍与xy相乘后，与g的结果的最后一位数字之和最接近，但不能大于g。

这个数字y 就是结果的小数部分的第二位数字。

9.将c的2倍与xy相乘，得到一个乘积h。

10.将h与g拼接在一起，得到一个新的小数i。

11.重复步骤8和9，直到得到所需的精度。

举个例子，我们来计算小数5.84的平方根：整数部分为5，小数部分为0.84。

对于整数部分5，我们可以得到平方根为2。

然后，将2的平方减去5，得到差1。

小数部分为0.84，我们将2的2倍与一个数字x相乘后，与0.84的结果的最后一位数字之和最接近，但不能大于0.84。

经过计算，我们得到x为2。

将2的2倍与2相乘，得到乘积4。

手写开根号的计算方式
开根号是数学中常见的运算，用来求一个数的平方根。

在手写计算中，我们可以使用一种叫做长除法的方法来计算开根号。

首先，我们需要将要开根号的数写成一个长方形的形式，然后从左到右，依次将数字分组，每两个数字一组。

我们从左到右找出最大的平方数，然后将其开根号并写在上方。

然后我们计算余数，并将下一个数字带下来与余数合并，形成一个新的被除数。

然后将上一步计算的商加到上方的根号后面，再从左到右找出最大的平方数，如此重复直到所有的数字都被处理完。

这种方法虽然比较繁琐，但在没有计算器的情况下，是一种非常实用的手算方法。

通过这种方法，我们可以求得任何一个数的平方根，而不需要借助计算器或电脑。

当然，在今天的计算机和科技发达的时代，我们更倾向于使用计算器或电脑来进行开根号的计算，但了解这种手写计算方法仍然是很有意义的，它可以帮助我们更好地理解数学运算的原理，也能够在某些特殊情况下派上用场。

关于开平方开立方的手动算法开平方和开立方是数学中的两个重要概念，它们在实际应用中有着广泛的应用。

本文将介绍关于开平方和开立方的手动算法。

一、开平方的手动算法：开平方是指求一个数的平方根。

手动算法可以分为近似算法和精确算法两种。

1.近似算法：近似算法是指通过一系列计算逐渐逼近目标结果。

其中最常用的近似算法是牛顿-拉弗森迭代法。

该算法的基本思想是通过不断迭代来逼近目标值。

假设要求一个数x的平方根，我们可以假设一个初始值y作为近似根，然后通过以下迭代公式逐渐逼近目标结果：y=(y+x/y)/2按照这个公式进行迭代，直到y的变化足够小，即可得到近似的平方根。

举个例子：求根号2的近似值，假设初始值y=1，根据迭代公式计算：y=(1+2/1)/2=1.5y=(1.5+2/1.5)/2=1.4167y=(1.4167+2/1.4167)/2=1.4142最终得到的值1.4142就是根号2的近似值。

2.精确算法：精确算法是指通过数学公式或者算法直接计算得到目标结果。

最常用的精确算法是二分法和牛顿迭代法。

a. 二分法：对于给定的数x，我们可以通过二分法来求其平方根。

假设左边界为0，右边界为x，中间值为mid，根据中值定理，我们可以得到mid的平方与x的大小关系。

如果mid的平方小于x，则将左边界移动到mid，如果mid的平方大于x，则将右边界移动到mid。

不断重复这个过程，直到左右边界足够接近，即可得到精确的平方根。

b.牛顿迭代法：牛顿迭代法同样可以用来计算平方根。

假设要求一个数x的平方根，假设初始值y=1，然后通过以下迭代公式逐渐逼近目标结果：y=0.5*(y+x/y)按照这个公式进行迭代，直到y的变化足够小，即可得到精确的平方根。

以上就是开平方的手动算法，无论是近似算法还是精确算法，都可以用来计算一个数的平方根。

二、开立方的手动算法：开立方是指求一个数的立方根。

手动算法同样可以分为近似算法和精确算法两种。

1.近似算法：近似算法可以通过类似的迭代方法来逼近目标结果。

徒手开根号的原理嘿，你有没有想过，在没有计算器的情况下，居然还能徒手开根号？这听起来是不是有点像魔法？今天我就来给你好好讲讲这背后的原理，可有趣着呢！咱先从简单的数说起。

比如说4，大家都知道它的平方根是2。

那我们怎么徒手算出来呢？其实这就像是一场找朋友的游戏。

对于4来说，我们要找两个相同的数相乘等于它。

2乘以2正好是4，所以2就是4的平方根。

这就好比你有一双鞋子，左右脚的鞋子是一样的，这两只一样的鞋子就像是两个相同的数，它们组合在一起就构成了4这个整体。

再来看9，3乘以3等于9，那3就是9的平方根。

这时候你可能会想，这都是简单的数，一眼就能看出来，那要是大一点的数呢？比如说25，那也简单呀，5乘以5等于25嘛。

这就像在一个小盒子里找东西，东西不多，很快就能找到匹配的。

但是，如果是169呢？这时候就不能一下子看出来了。

这就好比进入了一个大仓库，东西太多，得有个方法来找。

我们可以先猜猜看，10乘以10是100，13乘以13呢？我们可以这样算，13的平方等于(10 + 3)的平方。

根据公式(a + b)² = a²+ 2ab + b²，这里a = 10，b = 3。

那么10²是100，2乘以10乘以3是60，3²是9，100+60 + 9正好是169。

所以13就是169的平方根。

咱们再想象一下，你和你的小伙伴一起玩这个找平方根的游戏。

你说169这个数，你的小伙伴可能一开始有点懵。

你就可以像我刚刚那样给他讲解，“你看啊，我们把13想成10和3的组合，然后按照那个公式去算，就像搭积木一样，一块一块的拼起来，最后就能得到169啦。

”那如果是更复杂的数呢？比如说529。

我们还是先猜猜看，20乘以20是400，30乘以30是900，那这个数的平方根肯定是20多。

我们再试着算23的平方，同样按照(a + b)² = a²+ 2ab + b²这个公式，a = 20，b = 3。

开根号原理：这里以1156为例，1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=(30+a)^2＝30^2＋2×30a ＋a^2，所以1156-302＝2×30a＋a^2，即256=(3×20+a)a，这就是说，a是这样一个正整数，它与3×20的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到1156＝34^2，上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根。

开根号步骤：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11’56)，分成几段，表示所求平方根是几位数，小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3+4)×4= 256，说明试商4就是平方根的第二位数)；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．下面再举两个例子：。