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最优化方法 3.3 逐次插值逼近法

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第4章 用最优化方法解决参数估计问题

第4章 用最优化方法解决参数估计问题

= =
a0 a0
+ +
a1 x1 a1 x2
+
a2
x
2 1
+
a2
x
2 2
⎫ ⎪ ⎬
P(x3 )
=
a0
+
a1 x3
+
a
2
x
2 3
⎪ ⎭
插值法
对多项式求导数，并令其为零，得
P' (x) = a1 + 2a2 x = 0
x min
=
− a1 2a2
上式就是计算近似极小点的公式。为了确定这个极
小点只需算出a1和a2。
此时，若在 xk−1与 xk 之间的中点进行第k+1点的计 算，即取 x k +1 = ( x k −1 + x k ) / 2
这样共得四个等间距的点 xk−2 , xk−1, xk , xk+1 ,它们之 间的间距为 d 当 Q(x1) > Q(x2 ) 时 d = 2 k −3 h ;当 时 Q(x1) < Q(x2 ) ，d = 2k−4 h。比较这四个点的函数 值，取函数值最小的xb,则 xa = xb − d , xc = xb + d ， 这样就可以得三点x a , x b , x c ，以便于构成二次插
x1 x2
= =
a0 b0
+ −
λ (b0 λ (b0
− −
a0 a0
)⎫ )⎭⎬
分割法
且希望经过分割后其保留点仍处于留下区间的相应位置
上，即 x1在 [a 0 , b0 ]中的位置与x2在[a1,b1 ]中相仿,且比值相等
(6.2.2)

五种最优化方法

五种最优化方法

五种最优化方法1.最优化方法概述最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。

最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。

化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。

2.牛顿法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法：3）是一种函数逼近法。

原理和步骤3.最速下降法（梯度法）最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；最速下降法算法原理和步骤4•模式搜索法（步长加速法）简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。

3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。

轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。

模式搜索法步骤5.评价函数法简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。

在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),…,f_k(x)).g(x)<=o传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数, 经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。

常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。

选取其中一种线性加权求合法介绍。

线性加权求合法6.遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。

遗传算法基本概念1.个体与种群个体就是模拟生物个体而对问题中的对象 (一般就是问题的解)的一种称呼。

逐次插值逼近法

逐次插值逼近法


'(0 ) k
2
2 ( ( k ) (0 ) '(0 ) k )
k
将其作为新的
这是一个插值法与充分下降条件 组合起来的线性搜索方法.
,
这个方法开始时,令 1, 如果 x k (即后退),一直到
xk d k
d k 不可接受，则减少
可接受为止.
f ( xk ) k g k d k
T
f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
0
b c a [b,c]称为可接受区间

Wolfe准则
用下面的条件代替
g k 1 d k g k d k , ( ,1)
T T
曲率条件
即
'( k 1 ) g ( xk k d k ) d k
停止迭代， 步3 若检验准则 ( k ) (0) (1 ) k '(0) 成立， 输出 ; 否则，令a k 1 : k , b k 1 b k .若 b k 1 m ax ,
k
转步4； 否则，令 步4
k 1 : t k , k : k 1, 转步2；
T
f ( xk k d k ) f ( xk ) (1 ) k g k d k
T
( k ) (0) k '(0)
( k ) (0) (1 ) k '(0)
Goldstein准则算法
步1 选取初始数据.给出初始搜索区间 [ a 0 , b0 ], 给出初始点
k , x k 1 : x k k d k
k

第四章逐次逼近法

第四章逐次逼近法
1
(k )
( D L)1 b
令 BG ( D L)1U , fG ( D L) 1 b
则
x ( k 1) BG x ( k ) fG （k 0,1,）
3.1.2 迭代法的收敛性
考虑如下问题： ① 如何判断迭代过程是否收敛呢？ ② 迭代格式收敛的充要条件、充分条件是什么？ ③ 决定迭代收敛速度的因素是什么？ 设某种迭代格式为
x
( k 1)
BJ x
(k )
f J （k 0,1,）
由 A D L U , 得 (D - L)x Ux b 从而
x D - L Ux D - L b
1 1
则Gauss-Seidel迭代法可以写成
x
( k 1)
( D L) Ux
则
A D L U
由 A D L U , 得 Dx ( L U ) x b 从而
x D1 L U x D1b
则Jacobi迭代法可写成为：
x
( k 1)
D
1
L U x
k
D 1b
k 0, 1, 2,
令 BJ = D 1 L U , f J D 1b, 则
定理 3.2
(k ) 迭代法 x ( k 1) Bx f 对任意 x ( 0 ) 和 f
均收敛的充要条件为： ( B) 1。
定理 3.3 （充分条件） 若 || B || 1 ，则迭代法收敛， 且有 证明
|| x
(k )
x ||
*
(1) (0) || B || (k ) ( k 1) x x || x x || 1 B 1 || B ||

第6章 逐次逼近法

第6章 逐次逼近法

其中： BG (D L)1U, fG (D L)1b
四、迭代法的收敛性
定理：迭代法 x(k1) Bx(k) f 对任意 x(0) , f 收敛的充要条件是 (B) 1。
定理：设 x*为线性方程组的精确解，若 B 1，则迭代法 x(k1) Bx(k) f 收敛，且
有
x * x (k) B x(k) x(k1) 1 B
第 6 章 逐次逼近法
[教学目的与要求]
1．理解方程求根数值解法的基本思想； 2．掌握根的隔离的基本方法、二分法求根的基本思想与过程； 3．理解简单迭代法的基本思想、迭代函数的收敛性； 4．掌握埃特金迭代法； 5．掌握牛顿迭代法与插值法； 6．掌握迭代法的控制条件
[重点与难点]
重点：二分法、迭代法的基本思想、埃特金和牛顿迭代法。
x1 = 0.4771 x2 = 0.3939 …
x6 = 0.3758 x7 =0.3758 因为 x6 和 x7 已趋于一致，所以取 x7 = 0.3758 为原方程在[0, 1]内的一个根的近似值。 2、迭代的几何意义 3、迭代过程的收敛性 一个方程的迭代格式并不是唯一的，且迭代也不总是收敛的。如上例中取等价方程为
0
即
lim
k
xk
x*
（2）由定理中的条件得
xk1 xk x* xk (x* xk1 ) x* xk x* xk1 x* xk ( x*) (xk ) x* xk ( ) x* xk x* xk L x* xk (1 L) x* xk
x 10x 2
得迭代格式
xk1 10xk 2
仍取 x0 = 1 算得：
x1 10 2 8
x2 108 2 108
8
x3 10108 2,

最优化理论

最优化理论

一维搜索:1精确一维搜索精确一维搜索可以分为三类：区间收缩法、函数逼近法（插值法）、以及求根法。

区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。

包括：黄金分割法、成功失败法、斐波那契法、对分搜索法以及三点等间隔搜索法等。

优化算法通常具有局部性质，通常的迭代需要在单峰区间进行操作以保证算法收敛。

确定初始区间的方法：进退法①已知搜索起点和初始步长；②然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向；③如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。

1.1黄金分割法：黄金分割法是一种区间收缩方法(或分割方法)，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。

具有对称性以及保持缩减比原则。

优点：不要求函数可微，除过第一次外，每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单；缺点：收敛速度慢；函数逼近法（插值法）：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。

从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。

1.2牛顿法：将目标函数二阶泰勒展开，略去高阶项后近似的替代目标函数，然后用二次函数的极小点作为目标函数的近似极小点。

牛顿法的优点是收敛速度快，缺点是需要计算二阶导数，要求初始点选的好，否则可能不收敛。

1.2抛物线法：抛物线法的基本思想就是用二次函数抛物线来近似的代替目标函数，并以它的极小点作为目标函数的近似极小点。

在一定条件下，抛物线法是超线性收敛的。

1.3三次插值法：三次插值法是用两点处的函数值和导数值来构造差值多项式，以该曲线的极小点来逼近目标函数的极小点。

一般来说，三次插值法比抛物线法的收敛速度要快。

精确一维搜索的方法选择：1如目标函数能求二阶导数：用Newton法，收敛快。

2如目标函数能求一阶导数：1如果导数容易求出，考虑用三次插值法，收敛较快；2对分法、收敛速度慢，但可靠；3只需计算函数值的方法：1二次插值法, 收敛快，但对函数单峰依赖较强；2黄金分割法收敛速度较慢，但实用性强，可靠；4减少总体计算时间：非精确一维搜索方法更加有效。

逐次插值


sin0.3367 L2 (0.3367 )
( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
第二章 插值法 (Interpolation Method)
§2.2.4 逐次线性插值
用拉格朗日插值多项式Ln(x) 计算函数 近似值，如精度不满足要求需增加插值节 点时，原来算出的数据均不能利用，必须 重新计算。为克服这缺点，通常可用逐次 线性插值方法求得高次插值。
例2
解
y1 y0 sin0.3367 L1 (0.3367 ) y0 (0.3367 x0 ) x1 x0 0.01892 0.314567 0.0167 0.330365 0.02 其截断误差为： ( x x0 )( x x1 ) | R1 (0.3367) | max | f ( x) || | x0 x x1 2 1 5 0.3335 0.0167 0.0033 0.9210 2
值的方法计算，即
L2 (0.3367 )
~ L1 (0.3367 ) L1 (0.3367 ) L1 (0.3367 ) (0.3367 0.32) 0.36 0.32
一般情况，两个k 次插值多项式可通过线性 插值得到(k +1) 次插值多项式
I 0,1,,k ( x) 是关于节点x0, x1,… ,xk的插值多项式 I 0,1,,k 1,l ( x ) I 0,1,,k ( x ) I 0 ,1,,k ,l ( x ) I 0 ,1,,k ( x ) ( x xk ) xl xk 首先: I 0 ,1,,k ,l ( x ) 为k +1次插值多项式。

最优化方法第三章-孙文瑜

第3章线性搜索与信赖域方法本章内容31线性搜索320618法和fibonacci法33逐次插值逼近法34精确线性搜索方法的收敛性35不精确线性搜索方法36信赖域方法的思想和算法框架37信赖域方法的收敛性38解信赖域子问题31线性搜索线性搜索是多变量函数最优化方法的基础在多变量函数最优化中迭代格式为其关键是构造搜索方向d出发沿搜索方向d达到极小即使得或者选取0使得这样的线性搜索称为精确线性搜索所得到的线性搜索算法分成两个阶段第一阶段确定包含理想的步长因子或问题最优解的搜索区间第二阶段采用某种分割技术或插值方法缩小这个区进退法确定初始搜索区间的一种简单方法叫进退法本思想是从一点出发按一定步长试图确定出函数值呈现高低高的三点具体地说就是给出初始点出发加大步长再向前搜为出发点沿反方向同样搜索直到目标函数上升就停止
Fnk k ak (1 )(bk a k ) Fnk 1
Fn k 1 k a k (bk a k ), k 1,2,, n 1 Fn k 1 Fn k k ak (bk a k ), k 1,2,, n 1 Fn k 1
25
2018/12/11
3.2.2 Fibonacci法
另一种与0 .618 法相类似的分割方法叫Fibonacci 法. 它与0 .618 法的主要区别之一在于: 搜索区间长度的 缩短率不是采用0 .618 而是采用Fibonacci 数. Fibonacci 数列满足 F0 F1 1
Fk 1 Fk Fk 1 , k 1,2 Fibonacci 法中的计算公式为
N

1

2
1 2
Y
* (t * )
a t1 , t1 t 2 ,
1

插值法与逼近论

插值法与逼近论
插值法和逼近论是数学中两种不同的方法，用于处理函数的逼近问题。

插值法是一种通过在已知数据点之间插入新的数据点来逼近一个未知函数的方法。

在插值法中，通过已知数据点之间的连线或曲线来逼近未知函数。

最常见的插值方法是拉格朗日插值和牛顿插值。

插值法可以在已知数据点的区间内准确地逼近函数的值，但不能保证在数据点之外也能准确逼近函数。

逼近论则是从整体的角度考虑函数逼近的问题。

它主要关注如何用简单的函数（如多项式、三角函数等）来逼近一个复杂的函数。

逼近论的核心思想是将逼近问题转化为优化问题，通过选择合适的逼近函数，使得逼近误差最小化。

逼近论可以通过选择适当的逼近函数，对整个函数的逼近质量进行评估和优化。

在实际问题中，插值法和逼近论常常结合使用。

插值法可以通过在已知数据点上准确逼近函数的值，而逼近论可以帮助选择合适的插值函数，以获得更好的整体逼近效果。

《最优化方法》课程教学标准

《最优化方法》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《最优化方法》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的课程之一，它与工农业生产等实际问题紧密联系。

本课程的目的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等其他数学科学的知识，来对各种实际问题建立优化模型，并构造优化算法，使学生学会和掌握本课程的基本优化模型、基础理论和方法，为他们解决实际问题提供思想与方法；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本优化方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。

教学时间应安排在第六学期或第七学期。

这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析等课程，这是学习《最优化方法》课程必要的基础知识。

同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决优化问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。

第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由孙文瑜、徐成贤和朱德通编写的、高等教育出版社2004年出版的《最优化方法》一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、最优化方法，施光燕、董加礼，高等教育出版社，19992、最优化理论与算法，陈宝林，清华大学出版社，1989第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章基本概念主要介绍优化问题的基本模型、凸集和凸函数的概念和性质、最优性条件及最优化方法概述。

本章的主要教学内容（教学时数安排：6学时）：§1.1最优化问题简介§1.2凸集和凸函数§1.3 最优性条件§1.4 最优化方法概述第二章线性规划本章介绍线性规划的基本性质及其对偶理论，求解线性规划的单纯形方法和对偶单纯形方法以及内点算法。

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点二次插值法，三次插值法）
( )
q( )
1
2 *
3
3.3 逐次插值逼近法
q( ) 如何求？
3.3 逐次插值逼近法
=
3.3 逐次插值逼近法
3.3 逐次-1
( ) q( )
1 2
*
3
3.3 逐次插值逼近法
2-2
q( ) ( )
1
* 2
3
3.3 逐次插值逼近法
3-1
( ) q( )
1
*
2
3
3.3 逐次插值逼近法
3-2
( )
q( )
1
2 *
3
3.3 逐次插值逼近法
t0=1.5,
3.3 逐次插值逼近法
• 两点二次插值法（I）
3.3 逐次插值逼近法
3.3 逐次插值逼近法
3.3 逐次插值逼近法
• 两点二次插值法（II）
3.3 逐次插值逼近法
• 三次插值法
小结
• 线性搜索（0.618法和Fibonacci方法） • 逐次插值逼近法（三点二次插值法，两
线性搜索与信赖域方法
3.3 逐次插值逼近法 3.4 精确线性搜索方法的收敛性
3.3 逐次插值逼近法
1.三点二次插值法 2.二点二次插值法
3.3 逐次插值逼近法
三点二次插值法
思想：在极小点附近，用二次函数q() 逼近( ) ，令q( )与 ( ) 在三点1 2 3 处有相同的 函数值，并假设 (1 ) (2 ),(3 ) (2 )