2016年秋八年级数学上册 4.2 一次函数与正比例函数课件

第四章 一次函数
一次函数与正比例函数
学习目标
1.掌握一次函数、正比例函数的概念.〔重点〕 2.能根据条件求出一次函数的关系式．〔难点〕
回忆
1.函数的概念：一般地,在某个变化过程中，有
两个变量 x和 y，如果给定一个___自_变__量____,
相应地就确定一个__因__变__量_____，那么我们 称_____是_____的函数，其中____自变量， _____是因变量.
⑤y kx b ⑥y x 2 ⑦ y (k2 1)x 2 ⑧ y x 1
3 一次函数： ②、③ 、⑦、⑧
正比例函数： ③
练习
1.当 k = ——3 —时， 函数 y (k 3)xk2 8 5 是关于 x 的一次函数
当m
2
———
时，函数
y m 2x m 1 是关于x的正比例函数.
方法总结
10=k(2×4-3)
k=2
∴y=2×(2x-3)
∴y=4x-6
练习二：
已知 y 3 和 2x 1成正比例，且 x 2时，y 3，则 与的函数解析式________
应用
例2.某地区 的月租费为25元,在此根底上,可免费打50次话(每次3 分钟),超过50次后,每次0.2元.
(1)写出每月 费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式； (2)求出月通话150次的 费； (3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.
① 计算所挂物体的质量分别为1kg,2kg,3kg,4kg,5kg时的长度，
并填入下表：
x/kg
01 2
3
45
y/cm
3
4
5
②你能写出y与x之间的关系吗？ y=3+0.5x (x≥0)

D．以上说法都不正确
5．(跨学科)在弹性限度内，某弹簧的长度y(cm)是所挂物体的质量 x(kg)的一次函数．已知该弹簧不挂物体时的长度为10 cm，每挂1 kg物 体，长度增加2 cm.
(1)在弹性限度内，求弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函 数关系式；
(2)当所挂物体质量为3 kg时，求弹簧的长度； (3)当弹簧长度为15 cm时，求所挂物体的质量． 解：(1)由题意，得y＝10＋2x. (2)当x＝3时，y＝10＋2×3＝16(cm). (3)当y＝15时，x＝(15－10) ÷2＝2.5(kg).
|k|越大，直线越陡，y的值随着|k|的增大而增大(或减小)得越快.
知识点 2 正比例函数的图象与性质 【例 2】已知 y＝12x，下列结论正确的是( D ) A．函数图象必经过点(1，2) B．函数图象必经过第二、四象限 C．不论 x 取何值，总有 y>0 D．y 随 x 的增大而增大
【变式2】(北师教材母题改编)对于函数y＝－2x，下列说法中正确 的有__①__②__③__④____．(填序号)
12．(中考热点·社会民生与经济)某种子商店销售玉米种子，为惠民 促销，推出两种销售方案供采购者选择．
方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折； 方案二：购买3千克以内(含3千克)的价格为每千克5元，若一次性购 买超过3千克，则超过3千克部分的种子价格打七折． (1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x(千克)(x>3)和付 款金额y(元)之间的函数表达式；
【变式3】(北师教材母题改编)某种大米的单价是2.2元/kg，当购买x kg大米时，花费为y元．
(1)y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？ (2)当x＝3时，函数值为多少？ (3)当y＝220时，x＝___1_0_0__． 解：(1)y＝2.2x，y是x的一次函数，也是正比例函数． (2)当x＝3时，y＝2.2×3＝6.6.

地理课件：/kejian/dili/
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PPT图表：/tubiao/
PPT教程： /powerpoint/
个人简历：/jianli/
教案下载：/jiaoan/
-6-
10.( 教材母题变式 )在弹性限度内,弹簧的长度y( cm )是所挂物体质量x( kg )的一次函数.
一根弹簧不挂物体时长15 cm;当所挂物体的质量为5 kg时,弹簧长20 cm.所挂物体质量为8
kg时,弹簧的长度是 23 cm.
第四章
4.2 一次函数与正比例函数
知识要点基础练
综合能力提升练
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A.±1
B.-1
C.1
D.2
2
【变式拓展】如果 y=( m-1 ) 2- +3 是一次函数,那么 m 的值是
( B )
A.1
B.-1
C.±1
D.± 2
-2-
第四章
4.2 一次函数与正比例函数
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-3-
3.甲、乙两地相距880千米,一辆汽车以平均每小时110千米的速度从甲地开往乙地,t小时后
历史课件：/kejian/lishi/
4.2 一次函数与正比例函数
知识要点基础练
综合能力提升练
Hale Waihona Puke 5.下列关于 x 的函数中,是正比例函数的是( B )
A.y=-2x+5

重
难
题
型
突
破
思路点拨
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4.2 一次函数与正比例函数
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解题通法 根据正比例函数的定义确定字母的值时 ，
重
难
题 需使比例系数和自变量的指数同时符合条件.
型
突
破
清
单
解 入 28 元，如果超额生产一个零件，增加收入 1.5元． 写
读 出该工人在超额完成的情况下一天的收入 y（元）与他生产
的零件个数 x（个）的函数关系式：______________．
［答案］ y=1.5x-2
4.2 一次函数与正比例函数
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重 ■题型 应用函数的定义确定字母的值
难
−
4.2 一次函数与正比例函数
● 考点清单解读
● 重难题型突破
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
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■考点一 一次函数与正比例函数的定义
若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成
定义
y=kx+b（k，b 为常数，k≠0） 的形式， 则称 y
是 x 的一次函数.特别地，当 b=0 时，称 y 是 x
是不是不为 0.
4.2 一次函数与正比例函数
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下列函数 ：①y = -2x + 1，②y= ，③y=


单
解 （x-3），④y=2x2+1中，一次函数有 _____ 个，正比例函
读
数有 ______ 个.
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ 3 1

别注意不能用同一个 k 设出它们的函数关系式，而要用 k1和 k2进
行区分，也可以用 m 和 n 等表示它们的一次项系数.
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1. 已知 y ＝ y1＋ y2， y1与 x 成正比例， y2与 x －2成正比例.当 x ＝
1时， y ＝0；当 x ＝－3时， y ＝4.
演示完毕
谢谢观看
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（3）若一次性购买80 kg，
所付的费用为8×80＋100＝740（元），
若分两次共购买80 kg（每次都购买40 kg），所付的费用为
40×10×2＝800（元），
800－740＝60（元）.
故小刚一次性购买80 kg所付的费用比分两次共购买80 kg（每次
都购买40 kg）所付的费用少60元.
求的函数关系式.
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解：因为 y1与 x ＋1成正比例，所以设 y1＝ k1（ x ＋1）
（ k1≠0）.
因为 y2与 x －1成正比例，所以设 y2＝ k2（ x －1）（ k2≠0）.
因为 y ＝ y1＋ y2，所以 y ＝ k1（ x ＋1）＋ k2（ x －1）.
由①，得 k1＝ k2.所以－3 k1－5 k2＝－8 k1＝4.
1
所以 k1＝ k2＝－ .
2
1
1
所以 y ＝－ x － （ x －2）＝－ x ＋1， y 是 x 的一次函数.
2
2
（2）当 x ＝－2时， y ＝－（－2）＋1＝3.
（3）当 y ＝－3时，－ x ＋1＝－3.解得 x ＝4.
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解 (1)因为 y=(m-5)
2 -24
+n+1是一次函数,所以m2-24=1,且m-5≠0.
由m2-24=1,解得m=±5.
由m-5≠0,得m≠5.所以m=-5.
(2)因为 y=(m-5)
2 -24
+n+1 是正比例函数,
所以m2-24=1,n+1=0,且m-5≠0.
由m2-24=1,且m-5≠0,得m=-5.
(2)因为小颖家四月份的水费不超过34.5元,五月份的水费超过34.5元,
所以当y=27.6时,3.45x=27.6,解得x=8;
当y=58.65时,4.83x-13.8=58.65,解得x=15.
15-8=7(吨).
所以,小颖家五月份比四月份节约用水7吨.
本
课
结
束
由n+1=0,解得n=-பைடு நூலகம்.
【误区警示】
判断一个函数是一次函数或正比例函数,不仅要考虑自变量的次数等于1,
还不能忽视自变量的系数不能等于0这一条件.
知识点二
列关系式表示一次函数关系
【例2】 为了鼓励居民节约用水,某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每
户家庭的水费:每月用水量不超过10吨时,按每吨3.45元计费;每月用水量超
一次函数
2
一次函数与正比例函数
核心·重难探究
知识点一
一次函数的概念
2 -24
+n+1 .
【例1】 已知函数 y=(m-5)
(1)若它是一次函数,求m的值;
(2)若它是正比例函数,求m,n的值.
思路分析 (1)一次函数中自变量x的次数等于几?x的系数有什么限制条件?

零．
样
式
2200232/35//45/4
9
•
•
•
• •
例典单1例：精击写析此出处下编列各辑题母中版y与标题x之样间式的三级关二级 单击此处系式，并判断单击此
：•y单是击否此为处编x的辑母一版次文函本样数式？是否为五 四级正比编辑例函数？ （1）• 二汽•级三车级 以60km/h的速度匀速级行驶,行母版 驶路程为
击 此 处 编
但m-1• ≠三0•级,四即级 m≠1,
版 文
辑
• 五级
所以m=-1.
本
母
样 式
版
4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值. 标
解：根据题意，得m2-9=0,
题
解得m=±3，
样 式
但m-3≠0,即m≠3,
所以m=-3.
2200232/35//45/4
18
•
•
•
• •
样 式
y=60－0.12x
2200232/35//45/4
6
•
•
•
• •
单
单
上单•(1单面)•击y击二=的此级3此+处两0处编.个5辑x编函母版数辑文关母本系样版式式标: 题样五级大两有式四级个家什三级讨么函二级论关数击此处编辑母关一系?系下,式这
击 此 处 编
(2) y=• 三60级－0.12x • 四级
辑
• 五级
本
母
一次 函数
正比例函数的概样式念
版 标
题
函数关系式的确定
样
式
2200232/35//45/4
23
5 kg 时• 三的•级四级长度，并填入下表：

解析：路程=速度×时间，S2=30－S1. 解： （1）∵路程=速度×时间
∴S1=4t，S2=30－4t.
（2）两个函数都是一次函数，
而S1=4t还是正比例函数.
例3：一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时， 油箱中有油9L，行驶了1h后发现已耗油1.5L. （1）求油箱中的剩余油量Q（L）与行驶的时间t（h）之 间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围； （2）如果摩托车以60km/h的速度匀速行驶，当油箱中的 剩余油量为3L时，老王行驶了多少千米？
①通过阅读题目个人收入所得税是如何收取的？在不同 工资段中y的函数关系式相同吗？
（分段收税；不同，因为交税的比例不一样）
例：我国现行个人收入所得税征收办法规定：月收入 不超过3500元的部分不收税；月收入超过3500元但不超过 5000元的部分征收3%的所得税，月收入超过5000元但不超 过10000元的部分征收5%的所得税,如某人某月收入8000元， 他应缴个人收入所得所得税为（5000-3500）×3%+（80005000）×5%=195（元） (1)当月收入大于3500元而不超过5000元时，写出应缴纳个人 收入所得税（元）与月收入（元）之间的关系式. (2)某人某月收入为4200元,他应缴纳个人收入所得税多少元? (3)如果某人本月缴纳个人收入所得税42元，那么此人本月工 资薪金是多少元？
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
例：我国现行个人收入所得税征收办法规定：月收入 不超过3500元的部分不收税；月收入超过3500元但不超过 5000元的部分征收3%的所得税，月收入超过5000元但不超 过10000元的部分征收5%的所得税,如某人某月收入8000元， 他应缴个人收入所得所得税为（5000-3500）×3%+（80005000）×5%=195（元） (1)当月收入大于3500元而不超过5000元时，写出应缴纳个人 收入所得税（元）与月收入（元）之间的关系式. (2)某人某月收入为4200元,他应缴纳个人收入所得税多少元? (3)如果某人本月缴纳个人收入所得税42元，那么此人本月工 资薪金是多少元？

（2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税 款多少元？
解:当x=3500时,
y=0.2×3500－160=540(元)；
解答
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元、那么此 人这次取得的劳务报酬是多少元？
因为(4000－800)×20%=640(元)
600<640
所以此人这次取得的劳务报酬所得税不超过4000。
布置作业
1.课本第82页：习题第1、2、3、题。 2.课堂精炼：第24页。
达标测试
4.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时, (1)此函数为一次函数； (2)此函数为正比例函数.
物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。 （1）计算所挂物体的质量分别为1kg，2kg，
3kg，4kg，5kg时弹簧的长度，并填入下表： x /kg 1 2 3 4 5 …… y /cm 3.5 4 4.5 5 5.5 ……
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
（弹簧长度=弹簧伸长量+原长）y=0.5x+3
y x2 不是正比例函数，也不是一次函数
(3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为 5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
y=15＋5x 是一次函数，但不是正比例函数
练一练
1下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正
比例函数？ （1）y=-x-4 它是一次函数，不是正比例函数.
设此人这次取得的劳务报酬所得税是x元，则 600=0.2x－160； 解得x=3800
所以此人这次取得的劳务报酬所得税是3800元。
小结 一次函数、正比例函数定义及一般形式？

所以y＝x＋2 1是一次函数，但不是正比例函数.
(3)y＝3x2－x(3x－2)
知1－练
解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，
所以它是一次函数，也是正比例函数.
(4)
y=－
3 x
因为 y=－ 3x中， － 3x不是整式，所以它不是一次函数 .
知1－练
方法点拨：判断函数是否为一次函数的方法 : 先 看函数关系式是否是整式的形式，再 将函数关系式进行恒等变形，然后看 它是否符合一次函数关系式 y=k x+b(k ， b 为常数， k ≠ 0)的结构特征 .
为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0).
特别提醒
知1－讲
◆一次函数y＝kx＋b(k ≠0) 的结构特征：
(1)k ≠ 0；
(2)自变量x的次数是1；
(3) 常数项b可以是任意实数.
◆函数是一次函数⇔函数关系式为y＝kx＋b(k，b
是常数，k ≠ 0).
知1－练
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？
2. 一次函数与正比例函数的关系
知1－讲
(1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋
b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数
都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
(2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx
(k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式
知2－练
(3)一棵树现在高 50 cm，每个月长高 2 cm， x 个月 后这棵树的高度为 y( cm) .
解：由题意，得 y=2x+50， 所以 y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数 .

（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. 解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，
也不是x的一次函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，
x h后这个水池有水y m3.
解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水， 因而y=15+5x，y是x的一次函数，但不是x的正比
(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时的长度，并 填入下表：
x/kg
01 2
3 45
y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5
(2)你能写出y与x之间的关系吗？
y=3+0.5x
情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.
八年级数学·上 新课标 [北师]
第四章 一次函数
4.2 一次函数与正比例函数
主讲：范建军
学习目标
1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点） 2.能根据条件求出一次函数的关系式．（难点）
一次函数与正比例函数
在现实生活当中有许多问题都可以归结 为函数问题,大家能不能举一些例子?
如果设青蛙的数量为x，y分别表示青蛙嘴的 数量,眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出 相应的函数解析式吗？
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成
y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数.
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零；

1.写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是 否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为 y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的 一次函数, 也是x的正比例函数.
（2）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速 度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
9、（选做题）某市自来水公司为限制单位用水，每月
只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收 费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。
（1）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之
间的函数关系式①用水量小于等于3000吨 y=0.5x；
②用水量大于3000吨
y_=_3_0_0_0_×___0_.5_+__(x_-_3_0_0_0__) _×__0_._8__即__：__y_=_0.8x-900
解: y = 1 x + 90 .
2
y是x的一次函数.
6.某油箱中有油20L，油从管道中均匀流出，100min流
完,则油箱中剩油量y（L）与流出时间t(min)之间的关系.
1 y 20 t
5
7.矩形周长30,则面积y与一条边长x之间的关系.
30 2x
y
•x
即y x2 15x
2
8.P82 问题解决3,4（选做题）正本作业P81,T2
• 3.如果加油前汽车的油箱里还剩 6L汽油，加油枪的流量为 10L/min,你能说出油箱中的油量 y(L)与加油时间x(min)之间的函 数关系式吗?
X（min） 0
1
2
3
45
Y(L) 6 10+6 20+6 30+6 40+6 50+6

第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
基础过关全练
知识点1 一次函数与正比例函数的概念 1.(2024福建三明期末)在下列函数中,是正比例函数的是 ( C) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x D.y=2x2+1 解析 根据正比例函数的定义知选C.
2.(2023江苏徐州月考)已知函数y=(m-2)x-n-4是正比例函数, 则m,n满足 ( A ) A.m≠2,n=-4 B.m=2,n=4 C.m=2,n=-4 D.m≠2,n=4 解析 ∵函数y=(m-2)x-n-4是正比例函数, ∴m-2≠0且-n-4=0,解得m≠2,n=-4,故选A.
费恰好为10 000元.请问:该商店继续购进了多少件航天模型 玩具? 解析 (1)依题意得y=1 000(x-50)=1 000x-50 000. (2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具,则总共有(m+ 1 000)件航天模型玩具. 依题意得(m+1 000)(60-50)×20%=10 000, 解得m=4 000. 答:该商店继续购进了4 000件航天模型玩具.
解析 (1)由题意可得, 方案一中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间 的函数关系式是y=4x. 方案二中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间 的函数关系式是y=5×3+5×0.7(x-3)=3.5x+4.5. (2)王伯伯要买20千克玉米种子,选方案二合适. 理由:当x=20时, 方案一的花费为4×20=80(元),方案二的花费为3.5×20+4.5 =74.5(元),
.
(2)在(1)的条件下,设某户月用水量为x m3,应交水费为y(元),
写出y与x之间的关系式.

(2)你能写出x与y之间的关系吗？
y=3+0.5x
做一 做
2.某辆汽车油箱中原有油100 L,汽车 每行驶50 km耗油9 L.
(1) 完成下表：
Байду номын сангаас
汽车行使路 0 50 100 150 200 300
程x/km
油箱剩余油
量y/L 100 91 82
73 64 46
(2) 你能写出x与y的关系吗?
y=100－0.18x
则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为
因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数.
辨析巩固
1.在函数(1) y

3 x
，（2）y=x-5,
(3)
y=-4x，
(4) y=2x 2 -3x, (5) y
x 2 , (6) y 1 中
x2
是一次函数的是 (2),(3)
的是 (3)
.
，是正比例函数
当b=0时，称y是x的正比例函数.
课本81页习题4.2 2， 3题
(3) 汽车行驶的路程x可以无限增大吗?
行驶路程有没有一个取值范围?
油箱剩余油量y呢?
议一议
上面的两个函数关系式: (1)y=3+0.5x (2) y=100－0.18x,大家讨论一下,这两个函
数关系式有什么共同特征?请小组间交流.
一次函数：若两个变量 x、y之间的关系可以表 示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0）的形式，
想一想
1. 某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性
限度内，所挂物体的质量x每增加1千克， 弹簧长度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时 的长度，并填入下表：