提公因式法1

提公因式法（1）学习目标：1、理解公因式及提公因式法.2、会找多项式中各顶的公因式及会用提公因式法分解因式.学习过程：一、快乐自学（自信使人成功）根据学习目标，自学教材P5- P8，并完成下列问题：1、多项式各项都有的__________叫做多项式各项的公因式. 把一个多项式中各项的公因式提到括号外面, 这种把多项式因式分解的方法叫做___________.须注意:⑴公因式的系数是各项系数的____________;⑵公因式含的字母是各项中____的字母, 且其指数应取次数_______的;⑶公因式是多项式的某项时, 提出公因式后, 该项应改为___充当;⑷首项为负数时, 应先提取”-“号, 使剩下因式第一项系数为____数;⑸当提公因式的各项中为分数系数时, 须把公分母也提出来.2、(1)代数式 223212,9,3abc a b b c -的共同点是都含有一个因式______________;(2)代数式2216,12,24x y xy xy -的共同点是都含有一个因式__________.3、你能指出下面多项式中各项的公因式吗？⑴ 22a +43a ⑵ 24xy+16x 2y⑶362m n+48m 2n⑷-12y x 2 +18xy - 15y (5) 2323r h r ππ+4、把下列各式分解因式（1）8x －72= ； （2）a 2b －5ab= ；（3）4m 3－6m 2= ； （4）a 2b －5ab+9b= 。

二 、合作探究（团结就是力量）三、拓展延伸（勇攀知识高峰）1. 如何利用因式分解法计算:3.167×1.258+1.258×(-4.167)+11×1.258 ?2. 20123- 4×20113+ 10×20103能被7整除吗? 为什么?四、达标训练（迅达成功彼岸）（一）、必做题：1、多项式11824n n x x +-的公因式是___,提取公因式后另一个因式是 .2、把下列多项式分解因式:(1)2328a bc a b +; (2)323612a a b a -+;(3)3223314728m n m n m n +-; (4)323612x x x -+-;(5)32222152142x y xy x y --+; (6)21327n n n aa a ++-+-（二）、选做题：3、分解因式: 22221218246(________________)a b ab a b ab -+=.4、若8,12a b ab +==,则22ab a b --的值是_____.5、计算: 2009201011()()22-+-=_____；6、已知,x y 互为相反数,则233x xy +=__________. 五、课外作业：（不满是向上的车轮）完成教材P10 A 组1 ,2.⑴⑵⑶ 3题学习反思：。

2.2提取公因式法（1课时）授课教师：张娟【教材分析】因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，因式分解不仅在多项式的除法、简便运算中有直接作用，也为以后学习分式运算、解方程、方程组及代数式的恒等变形提供了必要的基础。

进行因式分解的途径很多，技巧性强，逆向思维能力要求较高。

所以因式分解是发展学生智力、培养能力、深化学生的逆向思维能力的良好载体。

【教材背景】“提取公因式法”是北师大版初中八年级数学下册“因式分解”一章的重点内容之一，是学生学习因式分解的第一种分解因式的方法。

是最基本也是最重要的因式分解方法。

应该培养学生的观察、分析、判断能力和预见能力。

【教学方法】（一）教法分析1.为了调动学生的学习的积极性，充分肯定学生的主体地位，使学生变被动学习为主动的学习，应采用师生问答，启发诱导法和练习法，，及组织学生活动法。

2.教具准备：课件，多媒体（二）、学法分析为了培养学生的数学思维能力、自学能力，这节课主要采用指导学生通过讨论完成相应的学习过程：预习—听课（问答）—反馈巩固—系统小结—完成作业。

以达到巩固、熟练知识的目的，同时指导学生注意运用观察分析的学习方法。

【教学目标】知识技能目标：理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解过程方法目标：初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方式情感态度目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

【教学重难点】教学重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解教学难点：准确找出公因式。

【教学过程】一.回顾旧知1. 多项式的分解因式的概念：把一个多项式__________________的形式，叫做把这个多项式分解因式.2. 分解因式与整式乘法是_____过程.3. 分解因式要注意以下几点:①分解的对象必须是_______.②分解的结果一定是几个整式的_____的形式.二.探究新知1.公因式的定义及确定方法下列各多项式的各项有没有共同的因式？（1）ma＋mb＋mc （2）8 a 3 b2 –12ab 3 + ab从上面的代数式中，大家注意观察每一个代数式有什么特点？各项之间有什么联系？由于m是左边多项式ma＋mb＋mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式．通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤．①首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4．②其次找各项中含有的相同的字母，如（2）中相同的字母有ab，相同字母的指数取次数最低的．【注意】多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式。

§14．3．因式分解第1 课时提公因式法教学目标（一）知识与技能1．因式公解、公因式．2．用提公因式法分解因式．（二）方法与过程1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．2．了解公因式概念和提取公因式的方法．3．会用提取公因式法分解因式．（三）情感、态度与价值观在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．教学重点会用提公因式法分解因式．教学难点如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．教学方法引导发现法．教学过程一．温故而知新计算：请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．(1)、a(b+c) （2）、(a+b)(a-b) （3）p(a+b+c)（学生在运算与交流中积累解题经验）这几个计算题实际就是整式的乘法，整式乘法也可以理解将几个整式的积的形式转化为一个多项式的形式，有时为了需要，也可以将一个多项式转化为几个整式的积的形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．三．新课探究分析讨论，探究新知．把下列多项式写成整式的乘积的形式（逆向思维）（1）x2+x=_________ （2）x2-1=_________ (3)am+bm+cm=__________ 像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．小试牛刀：下列变形中，属于因式分解的是：（1）、a（b+c）=ab+ac （2）x3+2x2-3=x2(x+2)-3 （3）a2-b2=（a+b）（a-b）可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．你能试着将多项式pa+pb+pc 进行因式分解吗？由p（a+b+c）=pa+pb+pc可得pa+pb+pc=p（a+b+c）．（1）这个多项式有什么特点？（2）因式分解的依据是什么？（3）分解后的各因式与原多项式有何关系？多项式中各项都有一个公共的因式p，（3）中各项都有一个公共因式m，我们叫这些公共因式为各自多项式的公因式。

提公因式法（1）（一）课堂练习 一、填空题1.把一个多项式___________________也叫做把这个多项式_______。

2. (1)x 2-5xy_________ (2)-3m 2(4)-4a 3b 2-12ab 33. (3)9m 3+27m 2(5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3(7)21a 2-a=21a( ) 二、选择题1.(A)m(a+b)=ma+mb (B)x 2(C)x 22. (A)8a 2b 3c=2a 2·2b 3·2c (B)x 2(C)(x-y)2=x 2-2xy+y 2(D)3x 33.下列各式因式分解错误的是 （ (A)8xyz-6x 2y 2(C)a 2b 2-41ab 3=41ab 2(4a-b) (D)-a 2+ab-ac=-a(a-b+c)4.多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是 （ ） (A)3ab (B)3a 2b 2(C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 25.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是 （ ）(A)2x 2y 2-4x 3y (B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4(C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3(D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y 36.把多项式-axy-ax 2y 2+2axz 提公因式后，另一个因式是 （ ）(A)y+xy 2-2z (B)y-xy 2+2z (C)xy+x 2y 2-2xz (D)-y+xy 2-2z7.如果一个多项式4x 3y-M 可以分解因式得4xy(x 2-y 2+xy) ，那么M 等于 （ ）(A)4xy 3+4x 2y 2 (B)4xy 3-4x 2y 2 (C)-4xy 3+4x 2y 2 (D)-4xy 3-4x 2y 22-b 2②x 2+2x-3=x(x+2)-3 ③（ ） 个 2n 2(6)-4m 4n+16m 3n-28m 2n a n -a n+2+a 3n×199.7+7.5×199.7-1.8×199.7 3的值。

因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。

一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。

因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。

1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。

提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。

步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。

步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。

步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。

例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。

首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。

4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。

=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。

=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。

=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。

步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。

2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。

=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。

=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。

=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解第一课时14.3.1 提公因式法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解因式分解的概念，知道因式分解和整式的乘法是方向相反的变形。

[2]理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。

[3]掌握因式分解中的提公因式法。

1.2过程与方法：[1]通过对比整式乘法，理解因式分解的概念，发展学生的逆向思维能力。

[2]通过类比数的结合律，抽象出因式分解中的提公因式方法。

1.3 情感态度与价值观：[1]在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。

[2]让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。

2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]因式分解的概念及提公因式法。

2.2 教学难点[1]正确找出多项式各项的公因式[2]正确认识分解因式与整式乘法的区别和联系。

3 专家建议学生刚刚学习过有关幂的运算，因此在教学设计中可以多适当安排一些有关幂的、应用提公因式法的分解因式题目。

此外，因式分解属于新概念，它和学生以往的运算认知是相反的，教师在教学过程中应该耐心面对学生的错误，并多举出实例使学生区别整式乘法和因式分解。

4 教学方法观察思考——概念介绍——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。

6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。

这节课开始，我们先来思考一个问题，630能被哪些数整除？【生】把630分解质因数，可以得到：630=2×32×5×7。

【师】这个问题大家小学就知道了对吧，但现在我们在学习整式的乘法，所以我们可以想一下，一个数可以写成若干个因数乘积的形式，整式能不能这样做呢？这就是这节课我们要学习的内容。

【板书】第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法6.2 新知介绍[1]因式分解的概念【师】大家看投影（给出114页探究），首先我们来完成这样的一个任务：把下列多项式写成整式的乘积的形式。

根据整式的乘法，你能得到答案么？【生】（完成题目，给出答案）。

4.2提公因式法（1）学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。

2.会用提公因式法把多项式因式分解。

教学重点：能确定多项式公因式，并用提公因式法把多项式因式分解。

教学难点：确定多项式的公因式。

教学过程：一、复习回顾，引入课题1.什么是因式分解？2.因式分解与整式乘法有什么关系？二、自主先学，感知设疑小组讨论自学的收获和困惑：1.什么是公因式？2.如何确定多项式各项的公因式？3.会用提公因式法把多项式因式分解吗？三、目标导学，情境引入（一）展示学习目标，让学生齐读。

学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。

2.会用提公因式法把多项式因式分解。

（二）情境引入多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式m b2+nb-b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。

这几个多项式的相同因式比较好找，学生容易找到，并逆用乘法分配律将他们写成几个因式的乘积的形式，让学生初步感受找公因式，并提公因式。

四、互助研学，探究解疑（一）探究活动一公因式的定义利用情境中提出的几个多项式让学生归纳出公因式的定义，并让学生齐读记忆。

培养学生的初步归纳能力。

一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

（二）议一议：确定公因式的方法？多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？让学生分组讨论，教师可以点拨学生从系数，字母，指数三方面去考虑。

学生讨论后提问并归纳出确定公因式的方法：系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即取字母最低次幂。

简单的说就是：1.定系数；2.定字母；3.定指数。

（三）即学即练1.多项式8x2y-14x2y+4x y3各项的公因式是（）A. 8xyB. 2xyC. 4xyD. 2y2.下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是（）A.15a2b−20a2b2B.30a2b3-15a b4-10a3b2C.10a2b2-20a2b3+50a4b5D.5a2b4-10a3b3+15a4b2(四)探究活动二提公因式分解因式你能将多项式2x2+6x3因式分解吗？指名上台讲解。

提公因式法（1）三原县东郊中学陈娟【教学目标】1、经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式的公因式。

2、让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式。

3、通过找公因式，培养学生的观察能力。

4、在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用。

【教学重点】能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.【教学难点】让学生识别多项式的公因式，并注意各种变形的符号问题。

【教学方法】独立思考——合作交流法.【教学设计】一、回顾思考，引入新课：1.什么是因式分解？把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。

二、初探新知，学习探究：1、ma+mb+mc=m（a+b+c）因式分解m（a+b+c）=ma+mb+mc整式乘法［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.公因式：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2、议一议：（1）8－12abc的公因式是什么？（2）8ab－12abc的公因式是什么？（3）8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？3、找出下列各多项式中的公因式：（1）8x+64（2）3x+x3（3）7x3-21x2 (4)8a3b2-12ab3c+ab ［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.【过关秘密武器】：正确找出多项式各项公因式的关键是：一定系数：各项整数系数的最大公约数；（包括常数项）二定字母：取各项的相同的字母；三定指数：相同字母的指数取次数最低的，即相同字母最低次幂。

温馨提示：一定系数二定字母三定指数速记口诀：公因式，要提取；公约数，取大值；公有字母提出来；字母次数要最低。

第四章因式分解2．提公因式法（一）说课稿泾源高级中学闫聪大家好！今天我说课的题目是提公因式法（一），所选用的教材为北师大版义务教育课程标准实验教科书。

根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，学情分析，教学目标分析，教法和学法分析，教学过程分析，板书设计六个方面展开说课。

一、教材的地位和作用本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．一方面，这是在学习了因数分解、整式乘法运算的基础上，对如何进行因式分解的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习分式化简与运算，解一元二次方程等知识奠定了基础，鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着实际的价值，而且起着承前启后的作用。

二、学情分析学生的技能基础：从认知状况来说，在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．三、教学目标分析根据学生在上一节课的经验，学生只是对因式分解有了一个初步的印象和判断，而对于怎样把一个多项式进行因式分解还很茫然，相应的数学能力还有待于进一步加强和巩固．因此，本课时的教学目标是：1.经历探索、认识多项式各项公因式的过程，并在具体的问题中，能确定多项式各项的公因式。

2.会用提公因式法对多项式进行因式分解。

3.通过与因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想，加深对从特殊到一般、类比与转化等数学思想的认识。

第六章第2节《提取公因式法》【教学背景】“提取公因式法”是“浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容。

本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。

提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。

（老教材本小节是分两个课时上的）【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。

它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。

例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。

利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。

（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。

）能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。

⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。

情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。

⒉．教学难点∶正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】㈠创设情境，提出问题如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7×(3.8+6.2)3.7 =3.7×10=37(m2)在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律。

多项式的因式分解提公因式法一、知识概述因式分解与整式和分式联系极为密切.因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础.1、一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式，2、一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．3、几个多项式的公共的因式称为它们的公因式．4、如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法．5、提公因式的方法公因式的系数为各项系数的最大公约数，字母部分为相同字母的最低次数．如8x3y2－6x2y3＋2xy4的公因式为2xy2；用提公因式法分解因式的关键是准确地出公因式，解题步骤可概括为“一找、二分、三提、四查”.二、重难点知识1、对因式分解的理解(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆向变形.(2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.(3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不能再分解为止.2、公因式的构成①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、提公因式时要一次提尽.添加括号时如果括号前面有负号，括号内的各项要变号．三、典型例题讲解例1、（1）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A．(x＋5)(x－5)=x2－25B．C．x2y－xy2=xy(x－y)D．15=3×5（2）下列各式的因式分解中正确的是（）A．－a2＋ab－ac=－a(a＋b－c)B．9xyz－6x2y2=3xyz(3－2xy)C．3a2x－6bx＋3x=3x(a2－2b)D．解析：（1）显然，A是乘法运算，不正确；B分解因式是将多项式分成几个整式的积，而右边有分式；D是常数，是单项式，不是多项式，不属于分解因式范围，所以C是正确的.（2）A．提－a后括号里面各项要变号，但第二、三项未变号.B．第二项没有公因式z.C．提3x后，括号里第三项还有因数1，掉了一项.D．是正确的.答案：（1）C；（2）D例2、分解因式：（1）.(2).分析：(1)由于两项、中都有公因式，因此可提取.(2)多项式中各项字母没有相同的，因此只需提出系数公约数即可. 解：(1)=.(2)=.点评：（1）当公因式是单项式时，一定要注意取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；(2)对于数字系数，提出的系数应是多项式中各项系数的最大公约数.很多同学在分解因式时容易忽略数字系数的处理，以致于造成分解不彻底的错误.（3）提公因式后，一定要注意括号内的项数与原多项式的项数在合并同类项之前是相同的，不能漏项，尤其是将整个一项作为公因式提取后，这一项就变为1.例3、把下列各式分解因式：(1)6x4y2－12x3y＋27x2y3；(2)－x4y＋x3y2－x2y3；(3)x n＋3x n－1＋x n－2；(4)5(x－y)3＋10(y－x)2；(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1).分析：分解因式时，首先要看多项式各项有无公因式，若有公因式，应先提取公因式，要对数字系数和字母分别进行考虑，如果系数为整数，应该提各项系数的最大公约数；字母考虑两点：一点是取各项相同的字母，一点是各项相同字母的指数取最低的；公因式提出后，剩下的因式的求法是：用公因式去除多项式的每一项，所得的商即为剩下的因式.一个多项式中的公因式，既可以是一个单项式，也可以是一个多项式，注意用整体思想去观察分析多项式，关于幂的底数的符号与指数有如下规律：解：(1) 6x4y2－12x3y＋27x2y3＝3x2y·2x2y－3x2y·4x＋3x2y·9y2＝3x2y(2x2y－4x＋9y2)(2)－x4y＋x3y2－x2y3＝－(x4y－x3y2＋x2y3)＝－(x2y·x2－x2y·xy＋x2y·y2)＝－x2y(x2－xy＋y2)(3)x n＋3x n－1＋x n－2＝x n－2·x2＋x n－2·3x＋x n－2·1＝x n－2(x2＋3x＋1)(4)5(x－y)3＋10(y－x)2＝5(x－y)3＋10(x－y)2＝5(x－y)2(x－y＋2)(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1)＝m[(5ax＋ay－1)－(3ax－ay－1)]＝m·(5ax＋ay－1－3ax＋ay＋1)＝m(2ax＋2ay)=2ma(x＋y)例4、不解方程组求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值.分析：先把7y(x－3y)2－2(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入. 解：7y(x－3y)2－2(3y－x)3=7y(x－3y)2＋2(x－3y)3=(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]=(x－3y)2(2x＋y)∵2x＋y=6，x－3y=1，∴原式=12×6=6．点评：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用．例5、求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除．分析：先把32000－4×31999＋10×31998因式分解证明：∵32000－4×31999＋10×31998=31998×(32－4×3＋10)=7×31998∴32000－4×31999＋10×31998能被7整除．在线测试一、选择题1、在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（）A．－5x2y3=－5xy(xy2)B．x2－4－3x=(x＋2)(x－2)－3xC．ab2－2ab=ab(b－2)D．(x－3)(x＋3)=x2－92、49a3bc3＋14a2b2c2－21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（）A．7abc2B．7ab2c2C．7a2b2c2D．7a3bc33、已知二次三项式x2＋bx＋c 可分解为(x＋α)(x＋β)，下面说法中错误的是（）A．若b＞0，c＞0，则α、β同取正号B．若b＜0，c＞0，则α、β同取负号C．若b＞0，c＜0，则α、β异号，且正数的绝对值小于负数的绝对值D．若b＜0，c＜0，则α、β异号，且负的一个数的绝对值较大4、因式分解(x－y)2－(y－x)应为（）A．(x－y)(x－y－1) B．(y－x)(x－y－1)C．(y－x)(y－x－1) D．(y－x)(y－x＋1)5、把多项式3m(x－y)－2(y－x)2分解因式的结果是（）A．(x－y)(3m－2x－2y) B．(x－y)(3m－2x＋2y)C．(x－y)(3m＋2x－2y) D．(y－x)(2x－2y＋3m)6、在下列各式中：①a－b=b－a；②(a－b)2=(b－a)2；③(a－b)2=－(b－a)2；④(a－b)3=(b－a)3；⑤(a－b)3=－(b－a)3；⑥(a＋b)(a－b)=(－a＋b)(－a－b).正确的等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、在分解－5x3(3a－2b)2＋(2b－3a)2时，提出公因式－(3a－2b)2后，另一个因式是（）A．5x3B．5x3＋1C．5x3－1 D．－5x38、下列各组代数式中没有公因式的是（）A．5m(a－b)与b－a B．(a＋b)2与－a－bC．mx＋y与x＋y D．－a2＋ab与a2b－ab2 9、下列各题因式分解正确的是（）A．3x2－5xy＋x=x(3x－5y)B．4x3y2－6xy3z=－2xy2(2x2－yz＋3)C．3ab(a－b)－6a(a－b)=3(a－b)(ab－2a)D．－56x3yz＋14x2y2z－21xy2z2=－7xyz(8x2－2xy＋3yz)10、把3a n＋2＋15a n－1－45a n分解因式是（）A．3(a n＋2＋5a n－1－15a n)B．3a n(a2＋5a－1－15)C．3a n－1(a3＋5－15a－1)D．3a n－1(a3＋5－15a)重 做提 示B 卷二、解答题。

4．2 提公因式法第1课时直接提公因式因式分解1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式；2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．(重点)一、情境导入小华家买了一套新房，装修时打算在三室两厅的地面上贴相同规格的地板砖，为此小华的父亲要求小华测算出三室两厅的地面总面积．小华发现三室两厅的地面宽度相同，都是a米，大厅长度为c米，三室长度均为d米，其中a＝3.6，b＝5.6，c＝2.8，d＝4.2，那么怎样计算总面积比较简便呢？二、合作探究探究点一：确定公因式多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是()A．abc B．3a2b2C．3a2b2c D．3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．探究点二：用提公因式法进行因式分解(一)【类型一】用提公因式法因式分解因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．【类型二】用因式分解简化运算计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．三、板书设计1．公因式多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式各项的公因式．2．提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法．本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.。