下载文档原格式
提公因式法的概念提公因式法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解。
通过找出多项式中的公因式，并提取出来，可以简化多项式的形式，使之更易于理解和计算。
该方法通常应用于代数运算和解方程等数学问题中。
提公因式法的核心思想是将多项式表达式中的每一项进行因式分解，找出它们之间的公因子，并提取出来。
通过这种方式，可以将多项式分解为更简单的形式，使之更易于处理和分析。
具体应用提公因式法进行因式分解的步骤如下：1.首先，将多项式按照加减号分成多个项，如将3x^2 + 5x -2x^3 + 6按照加减号分成四个项。
2.然后，观察每个项之间是否存在公因子。
公因子是指每一项都能够整除的因子。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，3是第一个项和第四个项的公因子，而x是第一个项和第三个项的公因子。
3.确定了公因子后，将这个公因子提取出来，并将其乘以剩余的部分，得到分解后的形式。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，公因子3可以提取出来，得到3(x^2 + 5/3x - 2x^3/3 + 2)。
4.进一步分解剩余部分的多项式，重复上述步骤，直到无法再分解为止。
提公因式法的优点是可以大大简化多项式的形式，使之更易于处理和计算。
通过找出公因子，并将其提取出来，可以将多项式的求解问题转化为更简单的形式，例如可以将求解方程转化为求解一次方程或二次方程的问题。
此外，提公因式法还可以用于多项式的乘法和约分运算。
在进行多项式的乘法运算时，可以通过提取公因子的方法，将复杂的运算转换为简单的乘法运算。
而在进行多项式的约分运算时，也可以利用公因子提取的方法，将多项式约分为最简形式。
需要注意的是，提公因式法只适用于多项式之间存在公因子的情况。
当多项式之间没有公因子时，无法通过提取公因子的方法进行因式分解。
此时，可以尝试其他的因式分解方法，如配方法、二次差分等。
综上所述，提公因式法是一种数学方法，通过找出多项式中的公因子，并将其提取出来，将多项式进行因式分解。
因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。
常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。
一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。
解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。
在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。
2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。
这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。
在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。
3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。
在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。
综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。
二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。
解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。
在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。
在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。
3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。
根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。
解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。
2.将多项式x^3-8分解因式。
⑴提公因式法各项都含有得公共得因式叫做这个多项式各项得公因式。
如果一个多项式得各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积得形式,这种分解因式得方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都就是整数时,公因式得系数应取各项系数得最大公约数;字母取各项得相同得字母，而且各字母得指数取次数最低得;取相同得多项式,多项式得次数取最低得。
如果多项式得第一项就是负得，一般要提出“-”号，使括号内得第一项得系数成为正数。
提出“－”号时，多项式得各项都要变号.口诀:找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守;提负要变号,变形瞧奇偶。
例如：-am+ｂm+ｃm=-m(ａ—ｂ－c）；a(x-y）＋b（ｙ-x)=a（ｘ-y）—b（x—y)＝（x-y)（a—ｂ）。
注意：把2a+1/２变成2(a+1/４）不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：a^2－b^2=（ａ+b）(a－b）；完全平方公式:a^２±2ab+b^2=（a±b）^2；注意:能运用完全平方公式分解因式得多项式必须就是三项式,其中有两项能写成两个数（或式）得平方与得形式,另一项就是这两个数（或式）得积得2倍。
立方与公式：a^3＋b^3＝（a+ｂ）（a^2－ａb＋b^２);立方差公式:a＾3－b^3=（a—ｂ）（a＾２＋ab＋b^2）；完全立方公式：a＾3±3a＾2b＋3ab^2±ｂ＾3=（a±b)^3.公式：a+b+c-３abc=（a＋b+c）(a＋b+c-ａb-bc-cａ）例如：ａ^２+４aｂ+4b^2 ＝(ａ+２b）＾２。
（3）分解因式技巧1、分解因式与整式乘法就是互为逆变形.2、分解因式技巧掌握:①等式左边必须就是多项式;②分解因式得结果必须就是以乘积得形式表示；③每个因式必须就是整式，且每个因式得次数都必须低于原来多项式得次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
典型例题一例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．1)1)(1(2-=-+x x xB ．))(())((m n a b n m b a --=--C ．)1)(1(1--=+--b a b a abD ．)32(322mm m m m --=-- 分析 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式. A 是整式乘积化成多项式；B 只是符号变换；D 中mm 32--不是整式. 正确答案是C. 解答 C说明 对因式分解理解应注意：①分解因式与因式分解是同义词；②结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式.典型例题二例02．在下面因式分解中，正确的是（ ）A ．)5(522x x y y xy y x +=-+B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+--C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a xD ．)12(2422232--=--b b ab ab ab ab分析 A 式左边是3项，而右边展开后是两项，D 式左边无公因式2，只能提取出ab ，而不能提取出2ab ，故排除A 与D.若将B 式右端展开，含2a 的项的系数为－1，而将其左边展开，该项的符号为正，可见B 也是不正确的.解答 C说明 考查因式分解的定义. 典型例题三例03．在下面多项式中，能通过因式分解变形为)2)(13(y x x +--的是（ ）A ．y x xy x 2632--+B ．y x xy x 2632-+-C ．xy x y x 6322+++D ．xy x y x 6322--+分析 )2)(13(y x x +--y xy x x y xy x x 263)263(22+-+-=-+--=解答 乘积与题目中的D 式相同，故选D.说明 此题可以把所给的几个多项式逐个分解因式，从而做出正确选择. 不过这样做可能要消耗比较多的时间，不妨变换角度加以思考.也可以选用多项式乘法与因式分解的关系，把)2)(13(y x x +--按多项式乘法法则展开，看得到的结果与题目所给4个多项式中的哪一个相同.典型例题四例04．把y x y x y x 3234268-+-分解因式.分析 本题是一个五次三项式. 先观察各项是否有公因式：y x y x y x 32342,6,8--的公因式是y x 32-（如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正）. 提公因式时，系数和字母应分别考虑. 公因式的系数应取各项系数的最大公约数，8，6，2的最大公约数是2，字母应取各项共有的字母y x ,，并且各字母的指数取次数最低的. 334,,x x x 最低次数是3；y y y ,,2最低次数是1，所以该多项式应提取公因式y x 32-. 解答 y x y x y x 3234268-+-)134(23+--=y x y x说明 本题考查提公因式法分解因式，要明确提公因式时应注意的事项. 典型例题五例05．分解因式：m m m 126323+--解答 m m m 126323+--).42(3)1263(223-+-=-+-=m m m m m m说明 观察到第一项的系数是负数，我们先把“－”号提出来，便于继续分解因式.典型例题六例06．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.分析 观察题目结构特征：第一项系数是负数，且有因式)(y x -，第二、三项有因式)(x y -，这就启发我们只要把)(x y -前面添上负号，就变成)(y x --，这样三项中均有公因式了.解答 323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--[]).1()(18)333()(6)(43)()(6)(24)(18)(6222323+--=-+---=------=-+-+--=y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x说明 对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.典型例题七例07．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x .分析 方程左边的第一项有因式)12(6)612(+=+x x ，第二项有因式)12(6+x . 所以我们应先提取公因式，再化简求解.解答 原方程依次变形为：[].21.012,0)5()12(6,0)2313()1823()12(6,0)2313)(12(6)1823)(12(6-=∴=+=-⋅+=-+-+=-++-+x x x x x x x x x x典型例题八例08．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于)2(n m -与n m 34+的因式，再代入求解.解答 32)2(2)2(5m n n m n ---[])34()2()2(25)2()2(2)2(52232n m n m n m n n m n m n m n +-=-+-=-+-= ∵⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m ∴原式9132=⋅=.说明 在解题过程中，巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.判断下列几个变形是否为因式分解的结果？（1）xy a xy a ⋅=2222； （2）1)3(132224++=++x x x x ；（3）)63(6322m n mn n m mn -=-； （4）)(c b a a ac ab -=+-解：（1）由因式分解的概念可知，因式分解是针对多项式进行的，而xy a 22是单项式，其本身是数字与字母的乘积形式，故不存在的因式分解问题，所以不是因式分解。
（2）因式分解的结果是整式乘积的形式，而等号右边不满足，因此也不是因式分解。
（3）由于3是各式中的公因数，也应当提到括号外边，所以因式分解没有做完。
（4）在多项式a ac ab +-中，第三项a ，可看成系数是1，即a ⨯1的形式，当a 被提出后，此项还应剩下1，而不是零，故因式分解也不对。
点拨：（1）因式分解是针对多项式而言的，其分解结果必须是整式的乘积形式；（2）一般地，提取公因式后，括号内的多项式必须满足：①再无公因式可提；②其项数和原多项式的项数相同。
确定下列各题中的公因式：（1）32328,12,4ab ac bc a -； （2）)(4),(223n m a n m a ---分析：首先要判定各单项式的系数是否有公因数，若有，则把公因数作为公因式的系数；然后再观察各式的字母部分是否有相同字母的幂，把各式中相同字母的最低次幂的积，作为公因式的字母部分．解：（1）4是各单项式中系数的绝对值4，12和8的最大公约数，a 是各式中都含有的字母，且其幂的次数最低，所以a 4±是它的公因式．（2）2是各式中系数的绝对值2，4的最大公约数，2a 、n m -分别是各式中以a 、n m -为底的幂式的公因式，所以各式的公因式是)(22n m a -±．点拨：（1）各单项式的公因式可以这样组成：①公因式的系数，是各单项式中系数的绝对值的最大公约数；②公因式中的字母的幂，是各单项中都含有的字母的幂中次数最低的．（2）公因式的系数可以是正的，也可以是负的，可根据需要选择．例1把下列各式分解因式：（1）az ay ax 864-+； （2）2232232812n m n m n m +--分析：先找出多项式的公因式，把各项写成公因式与一个单项式的乘积的形式，再把公因式提到括号外面．解：（1）az ay ax 864-+z a y a x a 423222⋅-⋅+⋅=)432(2z y x a -+=；（2）2232232812n m n m n m +-- )1)(2(4)2(62222222--+⋅-+⋅-=n m n n m m n m)146(222-+-=n m n m点拨：（1）当多项式的首项系数为负时，则取系数是负数的公因式；（2）提出系数为负数的公因式时，需把留在括号内的多项式的各项都变号． 例2 把下列各式分解因式：（1）)(2)(3b a n b a m +-+；（2）)2(2)2(3)2(43223q p a q p a q p a -+---分析：把b a +，q p -2看成是一个整体来考虑．解：（1）)(2)(3b a n b a m +-+)23)((n m b a ++=；（2）)2(2)2(3)2(43223q p a q p a q p a -+--- ]2)2(3)2(4)[2(22a q p a q p q p a +----=)23616416)(2(222a ap ap pq q p q p a ++--+-=点拨：（1）“把b a +，q p -2看成是一个整体”，体现了换元思想的应用；（2）公因式可以是单项式，可以是多项式，也可以是单项式与多项式的乘积，注意看清（2）题中公因式是由单项式a 和多项式q p -2的乘积构成，要一次提出，以免漏提。
例3 把下列各式分解因式：（1）)(2)(2a b mn b a n m -+-； （2）3222)(3)(x y a y x ---分析：式中b a -与a b -，2y x -和x y -2互为相反数，于是有)(b a a b --=-，)(22x y y x --=-，由此可将多项式转化成含有公因式的形式。
解：（1）)(2)(2a b mn b a n m -+-)(2)(2b a mn b a n m ---=)2)((--=m b a mn ；（2）3222)(3)(x y a y x ---3222)(3)(x y a x y ---=)](31[)(222x y a x y ---=)333()(222ax ay x y +--=；或者3222)(3)(x y a y x ---3222)(3)(y x a y x -+-=)](31[)(222y x a y x -+-=)331()(222ay ax y x -+-=点拨：（1）对表面上没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化成含有公因式的式子来完成因式分解是一项基本技巧。
其一般原则是：①首项一般不化成含负号的形式；②对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化为它的相反数的形式，这样可使多项式各项的符号不变。
