浙江省诸暨中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷

诸暨中学2015学年第一学期高二年级数学学科期中参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中只有一11.1322=-y x ； 12.63； 13.43； 14.0≤a ≤21； 15.43125≤<k ； 16.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+4,240,442m m m m ； 17. ② ③ ⑤。

三、解答题：本大题共5小题，共49分。

解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. 解：设圆心坐标为（a ，b ），半径为r则⎪⎩⎪⎨⎧=-==-1|2|212222b a b r a r 3分 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=211r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===211r b a 7分圆C 的方程为2)1()1(22=+++y x 或2)1()1(22=-+-y x 9分19. 解：设A （x 1，0）、B （x 2，0），则x 1+x 2=a ，x 1x 2= -2 1分 ∴4)(||21221=-+=x x x x AB 分由已知得|m -5|≤3 5分解得2≤m ≤8，即⇔p 2≤m ≤8 6分 又410432<<-⇔<--⇔m m m q 8分∵ p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 、q 为一真一假∴ 21<<-m 或84≤≤m （端点处有错扣1分） 10分20.解：（1）设动圆圆心M （x ，y ），半径为r （1<r<3）由已知得：r MF -=3||1，r MF +=3||2 2分∴ 4||||21=+MF MF 3分 ∴点M 的轨迹方程是)0(13422≠=+y y x （没写0≠y 不扣分） 5分 （2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1≠x 2）∴ 0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，则432121-=--x x y y 7分 又|SA|=|SB|，∴ SP 为AB 的中垂线 8分∴直线SP 方程为)1(341-=-x y ，令y=0得0x =41 10分 21. 解：（1）由已知得△ABC 为等边三角形，E 为BC 中点，∴AE ⊥BC ，则AE⊥AD 1分又PA ⊥平面ABCD ，∴AE ⊥PA 2分∴AE ⊥平面PAD, 则AE ⊥PD ； 3分（2）由（1）得∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角 4分∵AHAE EHA =∠tan ，AE=3，则当且仅当AH 最小时，EHA ∠tan 最大 5分 因为AH ⊥PD 时，AH 最小此时AH=2，则2PA=242⨯+PA∴PA=2 6分(3)过E 作EO ⊥AC 于O ，∵EO ⊥PA ，则EO ⊥平面CAF ，过O 作OG ⊥AF 于G ，连EG 则∠EGO 为二面角E —AF —C 的平面角 7分∵ EO=23，423=OG ,则EG=430 9分 ∴515cos ==∠EG OG EGO 10分 22. 解：（1）∵241)223(41)223(22=+-+++=a 分 ∴36=e 3分 （2）∵椭圆方程为1322=+y x ，将m kx y +=代入得 0336)31(222=-+++m kmx x k 4分由∆>0得2231m k >+，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2） ∴221316kkm x x +-=+，22213133k m x x +-= 5分 又因为原点O 到直线m kx y +=的距离为23⇒43322+=k m 6分 ∴])31()31)(1212()31(36)[1(||2222222222k k m k m k k AB ++--++==22222)31()31)(1(12k m k k +-++ =169)1109(32424++++k k k k =3+6191222++kk 7分 当且仅当312=k 时|AB|有最大值，此时△AOB 面积取得最大值23 8分 ∴直线l 的方程为133±±=x y 10分 （注：四个答案凡有遗漏扣1分）。

浙江省诸暨市牌头中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题一、选择题（共8题，每题5分，共40分）(请把选择题答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．) 1 .圆心在曲线y ＝14x 2(x <0)上，并且与直线y ＝－1及y 轴都相切的圆的方程是 ( D )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝42.圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-6y+5=0的位置关系为 ( A ) A.外切 B.内切 C.相离 D.内含3．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为 ( A ) A ．27π B ．18π C ．9πD ．54π4..用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形为( A )5．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A ­CD ­B 的余弦值 A..12 B ．13 C ．33 D ．23( C ) 6.设为两条不同的直线，为两个不同的平面．下列命题中，正确的是 （ C ）A ．若与所成的角相等，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则7．设、分别为双曲线C ：，的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足，则该双曲线的离心率为 ( A ) A ． B ．C ．D ．8．如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1, P 为BC 的中点,Q 为线段CC 1上的动点,过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ． ①当（第7题）O时, S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③不存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当时, S与C1D1的交点满足C1R1=其中正确命题的个数为（ B ）A．1 B．2C．3 D． 4二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分(请把填空题答案写在答．．．．．．．．．．题卷上．．．)9. 若抛物线y2=6x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_8.5______10. 已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体S­ABC,则它的表面积S=_3___,体积V=_____.11.在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB=23，AD=23，A A1 =2，BC和A1C1所成的角=__45___度AA1和BC1所成的角=_60____度.12. 椭圆E的方程为,则它的离心率=____,直线y＝－x交椭圆于A,B两点，AB=____.13．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c; ②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中正确的个数是____0____________．14. 双曲线的左右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的渐近线于A,B 两点，若F1A垂直F2A，且，则双曲线的离心率= .15. 如果二面角α-L-β的大小是600，线段AB在α内，AB与L所成的角为600，则AB与平面β所成角的正切值是三、解答题（共5题，共74分）16、（本题15分）一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积S 和体积V （解答过程写在答题卷上！）几何体的表面积为2×12π×12＋2π＋4＝3π＋4. V=π17．（本题15分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点E、F分别为棱AB、PD的中点.（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；(Ⅱ) AD与平面PCD所成的角的大小．（解答过程写在答题卷上！）（Ⅰ）证明: 取PC的中点G，连结FG、EG∴FG为△CDP的中位线∴FG CD……………2分∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点∴AE CD ……………………………………3分∴FG AE∴四边形AEGF是平行四边形…………4分∴AF∥EG又EG平面PCE，AF平面PCE ∴AF∥平面PCE ……………………………………………6分（Ⅱ）解：∵ PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA AD=A，∴CD⊥平面AD P ……………………………………………………………… 7分又AF平面ADP ，∴CD⊥AF …………………………………………… 8分在直角三角形PAD中，∵PA=AD且F是PD的中点∴AF⊥PD，…………9分又CD PD=D∴AF⊥平面PCD.………………………………………………10分∴就是AD与平面PCD所成的角. …………………………………12分在直角三角形PAD中，∵PA=AD，∴∠PDA=45°…………………… 13分∴AD与平面PCD所成的角是45°. …………………………………18.（本题15分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD，PC的中点（1）求证：EF⊥平面PBC（2）若直线PC与平面ABCD所成角为450，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求二面角P-EF-A的余弦值．（解答过程写在答题卷上！）取BP中（1）证明：取PB的中点G，连接AQ，FG，∵PA=AB，∴AG⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AG，∵PB∩BC=B，∴AG⊥平面PBC∵E、F分别是棱AD，PC的中点，∴FG∥AE，FG=AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴EF∥AG，∴EF⊥平面PBC．2 （2）作PO⊥AB=O，则PO⊥平面ABCD，连结OC，则∠PCO=π4，∴PO=OC，设AO=x，则9−x2＝4+(3−x)2，得到x=2，6．AG垂直平面PBC,<PFG为二面角平面角,PF=,GF=1 cos<PFG=19.（本题满分15分）如图，已知圆，经过抛物线()的焦点，过点倾斜角为的直线交抛物线于C，D两点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．（解答过程写在答题卷上！）解：（1） （4分）（2）设，因为，则，设l 的方程为：，于是即（8分）由，得，所以，于是 （11分）故，又，得到.所以.20.（本题14分）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，（Ⅰ）当直线的斜率为1，点为椭圆上的动点，满足使得的面积为的点有几个？并说明理由。

诸暨中学2016学年第一学期期中考试高二数学 试题卷满分[ 120]分 ，时间[120]分钟一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.把答案填在答题卡的相应位置.） 1.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ） A. 250x y -+=或250xy--= B. 250x y ++=或250x y +-= C. 250x y -+=或250x y --= D. 250x y ++=或250x y +-=2.椭圆()222210x y m n m n +=>>和双曲线()222210x y a b a b-=>>的公共焦点为12,F F ，P 是两曲线的一个交点，那么12PF PF ⋅的值是（ ） A. m a - B. 22m a - C.2m a- D. m a - 3.某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体 的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知水平放置的ΔABC 是按斜二测画法得到如图 所示的直观图，其中3''''1,''2B OC O A O ===， 那么原ΔABC 是一个（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．仅有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形5.若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，α⊂m ，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，α⊄m ，则//m α'O'B'A'C'x第3题图6.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,AA AB AD ===点,,E F G 分别是11,,DD AB CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是（ ）(A) 60° （B ）45° (C) 90° (D) 30°7.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a =（ ）A. 3±B. 13± C. 1或7D. 4± 8.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋129.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD,且AB=2AD,设θ=∠DAB ,⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ,以A,B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C,D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则有（ ） A. 随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 为定值； B. 随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 为定值； C. 随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 也增大； D. 随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 也减小.10.如图四边形ABCD ，AB =BD =DA =2,BC =CD=现将D ABD 沿BD 折起，当二面角A -BD -C 处于[p 6,5p6]过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（ ）A．[88-B．[88BA第10题图DC ．2[0,]8D ．52[0,]8二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卡的相应位置.）11. 已知双曲线 C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在 C 的渐近线上，则C 的方程为_________________12. 已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆的半径是______.13.如果椭圆221369x y +=的弦AB 被点(4,2)平分，则这条弦AB 所在的直线方程是_____________14.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中直线1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值是___________ 15.一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是_________________16.设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______________17.如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线斜角于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾的2倍，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为__________________.三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）18.（本小题满分10分）已知圆()22:19C x y -+=内有一点()2,2P ，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（Ⅰ）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程； （Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．19．（本小题满分10分）如图，在几何体P ﹣ABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAB ，四边形ABCD 为矩形，△PAB 为正三角形，若AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为AC ，BP 中点． (Ⅰ)求证EF ∥平面PCD ；(Ⅱ)求直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值．20.（本小题满分10分）已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD ，且PB=1，点E 在棱PD 上，且PD BE ⊥． （Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角的大小； （Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角A ﹣PD ﹣B 的大小．21. （本小题满分10分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点M 到左焦点F 1的距离的最大值 为12+(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线L 的斜率为k ,且过左焦点F 1,与椭圆C 相交于P 、Q 两点，若△PQF 2的面积为310，试求k 的值及直线L 的方程.22. （本小题满分12分）如图，分别过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 左，右焦点21,F F 的动直线21,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A,B 与C,D 不同四点，直线OA,OB,OC,OD 的斜率分别为4321,,,k k k k ，且满足4321k k k k +=+，已知1l 与x 轴重合时，32=AB ,334=CD . (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)是否存在定点M,N ，使得PN PM +为定值，若存在，求出M,N 点坐标，并求出此定值，若不存在，试说明理由.诸暨中学2016学年第一学期期中考试高二数学答题卷满分[ 120]分，时间[120]分钟一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.把答案填在答题卡的相应位置.）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卡的相应位置.） 11.152022=-y x 12.513.x+2y-8=0 14.2315.80 16.()8,7217.332三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）18.（本小题满分10分）已知圆()22:19C x y -+=内有一点()2,2P ，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（Ⅰ）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程； （Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45o时，求弦AB 的长． 解：（Ⅰ）C(1,0),2=CP k ，21,-=∴⊥l k l CP Θ∴直线l 的方程为()2212--=-x y ，即为062=-+y x . （Ⅱ）l 的斜率为1，l 的方程为y-2=x-2,即y=x,圆心C 到直线l 的距离21=d∴3421722192222==-=-=d r AB19．（本小题满分10分）如图，在几何体P ﹣ABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAB ，四边形ABCD 为矩形，△PAB 为正三角形，若AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为AC ，BP 中点． (Ⅰ)求证EF ∥平面PCD ；(Ⅱ)求直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值．(Ⅰ)因为E 为AC 中点，所以DB 与AC 交于点E ．因为E ，F 分别为AC ，BP 中点，所以EF 是△BDP 的中位线， 所以EF ∥DP ．又DP ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ．(Ⅱ)取AB 中点O,连接PO,DO ∵△PAB 为正三角形，∴PO ⊥AB ，又∵平面ABCD ⊥平面PAB∴PO ⊥平面ABCD,∴DP 在平面ABCD 内的射影为DO,∠PDO 为DP 与平面ABCD 所成角，3=OP ,,5=DP 在Rt △DOP 中，sin ∠PDO=51553==DPOP,∴直线DP 与平面ABCD 所成15角的正弦值为.520.（本小题满分10分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BE ．BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且PD（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．20：解：（Ⅰ）取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF=．∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°即异面直线PA与CD所成的角等于60°．（Ⅱ）BE⊥PD由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．∴CD⊥BD又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE∵CD∩PD=D，∴BE⊥平面PCD、（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD、过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．在Rt△ABD中，AO=．在Rt△PAD中，AH=．在Rt△AOH 中，sin∠AHO=．∴∠AHO=60°．即二面角A ﹣PD ﹣B 的大小为60°．21.（本小题满分10分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点M 到左焦点F 1的距离的最大值为12+(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线L 的斜率为k ,且过左焦点F 1,与椭圆C 相交于P 、Q 两点，若△PQF 2的面积为310，试求k 的值及直线L 的方程.解：(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1222c a a c ∴.2,1,2===a c c a 椭圆C 的方程为.1222=+y x（Ⅱ）)0,1(),0,1(21F F -，直线)1(:+=x k y l ，设),(),,(2211y x Q y x P 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得：0224)21(2222=-+++k x k x k ∴222122212122,214kk x x k k x x +-=+-=+ 2122122124)(11x x x x k x x k PQ -++=-+=2221)1(22kk ++= 点2F 到直线l 的距离212kkd +=，∴31021122.21222=++==∆kk k d PQ S PQF ， 化简得：05161624=-+k k ,0)14)(54(22=-+k k ,21,412±==∴k k ∴直线l 的方程为012及,012=++=+-y x y x .22.（本小题满分12分）如图，分别过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 左，右焦点21,F F 的动直线21,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A,B 与C,D 不同四点，直线OA,OB,OC,OD 的斜率分别为4321,,,k k k k ，且满足4321k k k k +=+，已知1l 与x轴重合时，32=AB ,334=CD . (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)是否存在定点M,N ，使得PN PM +为定值，若存在，求出M,N 点坐标，并求出此定值，若不存在，试说明理由.22(1)⎪⎩⎪⎨⎧==33423222ab a ,所以⎩⎨⎧==23b a ，椭圆方程为12322=+y x （2）焦点21,F F 的坐标分别是)0,1(),0,1(-当直线1l 或2l 的斜率不存在时，P 的坐标为)0,1(),0,1(或-当直线1l ，2l 的斜率存在时，设斜率分别为1m ，2m ，设),(11y x A ，),(22y x B由 ⎝⎛+==+)1(123122x m y y x 得：0636)32(2121221=-+++m x m x m l 2l 1yxDBF 1F 2O AC所以212121326m m x x +-=+，2121213263m m x x +-=则24)2()11(2112121122111221121--=++=+++=+=+m m x x x x m x x x x m x y x y k k 同理2422243--=+m m k k因为4321k k k k +=+，24211--m m =24222--m m ，即0))(2(1221=-+m m m m由题意知21m m ≠，所以0221=+m m ，设),(y x P ,则021.1=+-+x yx y ，即)1(1222±≠=+x x y 当直线1l 或2l 的斜率不存在时，P 的坐标为)0,1(),0,1(或-，也满足此方程所以P 点在椭圆1222=+x y 上，存在点)1,0(),1,0(N M -使得PN PM +为定值， 定值为22。

2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨市草塔中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（3分）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．其中正确的是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④2．（3分）若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交3．（3分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．4．（3分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=25．（3分）已知a≠b且a2sinθ+acosθ﹣1=0、b2sinθ+bcosθ﹣1=0，则连接（a，a2）、（b，b2）两点的直线与单位圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定6．（3分）当曲线y=1+与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．B．C．D．7．（3分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．D．8．（3分）设集合A={（x，y）|≤（x﹣2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤1 B．0＜m＜2+C．m＜2﹣或m＞1 D．m＜或m ＞2+9．（3分）一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其水平躺倒，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）立方米．A．24B．36C．36D．4810．（3分）已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）A．B．C．D．11．（3分）用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A．12 B．24 C．D．12．（3分）两圆（x﹣1）2+（y+2）2=1与（x+3）2+（y﹣1）2=16的位置关系是（）A．内切B．外切C．相离D．相交二、填空题13．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．（3分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是．15．（3分）已知a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，若这样的c共有四条，则θ的范围为．16．（3分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是（写出所以正确结论的序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°．17．（3分）已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为．18．（3分）已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），其夹角为60°，则直线xcosα﹣ysinα+=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=的位置关系是．19．（3分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q 两点，则当△CPQ的面积最大时，此时实数a的值为．三、解答题20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．21．圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且与直线x+y=1相切于点A（2，﹣1），（Ⅰ）试求圆M的方程；（Ⅱ）从点P（3，1）发出的光线经直线y=x反射后可以照在圆M上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围．22．已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线3x+4y﹣6=0交于M、N两点，且|MN|=2，求m的值．（3）在（1）的条件下，设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．23．已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若•=12，求k的值．24．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）证明：AC⊥PB；（2）证明：PB∥平面AEC；（3）求二面角E﹣AC﹣B的大小．2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨市草塔中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．其中正确的是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④【解答】解：①根据线面垂直的性质可知若m⊥α，m⊥β，则α∥β成立；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故②不成立；③根据面面平行的可知，当m与n相交时，α∥β，若两直线不相交时，结论不成立；④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β成立．故正确的是①④，故选：D．2．（3分）若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选：D．3．（3分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．故选：B．4．（3分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选：B．5．（3分）已知a≠b且a2sinθ+acosθ﹣1=0、b2sinθ+bcosθ﹣1=0，则连接（a，a2）、（b，b2）两点的直线与单位圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【解答】解：由，得．过M（a，a2）与N（b，b2）的直线方程为=，整理得（a+b）x﹣y﹣ab=0．∴单位圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线MN的距离：d===1．∴连接（a，a2）、（b，b2）两点的直线与单位圆x2+y2=1相切．故选：B．6．（3分）当曲线y=1+与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：化简曲线，得x2+（y﹣1）2=4（y≥1）∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆．∵直线kx﹣y﹣2k+4=0可化为y﹣4=k（x﹣2），∴直线经过定点A（2，4）且斜率为k．又∵半圆与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点，∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足，解之得k=，即k AD=．又∵直线AB的斜率k AB==，∴直线的斜率k的范围为k∈．故选：C．7．（3分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．D．【解答】解：设直线y=x+1上任一点P（a，a+1），由点P向已知圆所引的切线长为m由圆方程（x﹣2）2+（y﹣1）2=1可得其圆心在C（2，1），半径r=1则点P到圆心的距离|PC|=，由勾股定理，得：|PC|2=r2+m2（a﹣2）2+a2=1+m2m2=2a2﹣4a+3=2（a﹣1）2+1则当a=1时，m2取得最小值为1，所以此时切线长m的最小值为1．故选：B．8．（3分）设集合A={（x，y）|≤（x﹣2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤1 B．0＜m＜2+C．m＜2﹣或m＞1 D．m＜或m ＞2+【解答】解：∵对任意m∈R，都有2m≤2m+1，所以B≠∅，集合B表示在直线x+y=2m与直线x+y=2m+1之间的平面区域（包含边界）．当＞m2，即0＜m＜时，A=∅，不满足条件；当≤m2，即m≤0或m≥时，A≠∅．（1）若m≤0，则A={（x，y）|（x﹣2）2+y2≤m2，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，半径为|m|的圆面（m=0时是原点），A∩B≠∅等价于点（2，0）到直线x+y=2m+1的距离不大于半径|m|，即≤|m|，即2m2﹣4m+1≤0，即（m﹣1）2≤，解得1﹣≤m≤1+，所以m∈∅；（2）若m≥，则A={（x，y）|≤（x﹣2）2+y2≤m2，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，大圆半径为|m|，小圆半径为的圆环．当（2，0）∈B，即2m≤2≤2m+1，即≤m≤1时，A∩B≠∅，满足条件；若m＞1，则A∩B≠∅等价于点（2，0）到直线x+y=2m的距离不大于半径|m|，即≤|m|，即m2﹣4m+2≤0，即（m﹣2）2≤2，解得2﹣≤m≤2+，所以1＜m≤2+，满足条件．综上，A∩B≠∅时，实数m的取值范围是[，2+]，则A∩B=∅，则实数m的取值范围是m＜或m＞2+．故选：D．9．（3分）一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其水平躺倒，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）立方米．A．24B．36C．36D．48【解答】解：由已知中罐子半径是4米，水深2米，故截面中阴影部分的面积S=﹣=平方米，又由圆柱形的罐子的高h=9米，故水的体积V=Sh=48立方米，故选：D．10．（3分）已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）A．B．C．D．【解答】解：过点A，P，Q的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：①，它的主视图是B选项中的图；②，它的主视图是C选项中的图；③，它的主视图是D选项中的图；∴该几何体的主视图不可能是A．故选：A．11．（3分）用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A．12 B．24 C．D．【解答】解：根据斜二测画法的规则可知，矩形的直观图为平行四边形，其中O'C'=OC=6，O'A'=OA=2，∠A'O'C'=45°，'=2×∴平行四边形的面积S=2S△O'A'C=，故选：C．12．（3分）两圆（x﹣1）2+（y+2）2=1与（x+3）2+（y﹣1）2=16的位置关系是（）A．内切B．外切C．相离D．相交【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+2）2=1圆心坐标为（1，﹣2），半径r=1；（x+3）2+（y﹣1）2=16圆心坐标为（﹣3，1），半径R=4．两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．故选：B．二、填空题13．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为200．【解答】解：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底．底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10．∴梯形的面积为，∴棱柱的体积为20×10=200．故答案为：200．14．（3分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是①③．【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，故①正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故②不正确当l∥m有α⊥β，故③正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故④不正确，综上可知①③正确，故答案为：①③15．（3分）已知a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，若这样的c共有四条，则θ的范围为（70°，90°）．【解答】解：设平面α上两条直线m，n分别满足m∥a，n∥b则m，n相交，且夹角为40°，若直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，则直线c与m，n所成角均为θ，当0°≤θ＜20°时，不存在这样的直线c，当θ=20°时，这样的c只有一条，当20°＜θ＜70°时，这样的c有两条，当θ=70°时，这样的c有三条，当70°＜θ＜90°时，这样的c有四条，当θ=90°时，这样的c只有一条，故答案为：（70°，90°）16．（3分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是②④（写出所以正确结论的序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；∵PA⊥平面ABC，AE⊥AB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；∵BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故④成立．故答案为：②④．17．（3分）已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为4．【解答】解：∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+==≥=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为4．故答案为：4．18．（3分）已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），其夹角为60°，则直线xcosα﹣ysinα+=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=的位置关系是相离．【解答】解：==2，==3，=6（cosαcosβ+sinαsinβ）=6cos（α﹣β）．∴cos60°==cos（α﹣β）=．由圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=可得圆心M（cosβ，sinβ），半径r=．圆心M到直线xcosα﹣ysinα+=0距离d==1．∴直线与圆相离．故答案为：相离．19．（3分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，此时实数a的值为．【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）的圆心（a，a）半径为1，圆心到直线的距离d=，半弦长为：=，∴△CPQ的面积S===，当a2=时10a2﹣4a4取得最大值，最大值为：，∴△CPQ的面积S的最大值为：=．此时a=故答案为：．三、解答题20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴sinθ====﹣，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．21．圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且与直线x+y=1相切于点A（2，﹣1），（Ⅰ）试求圆M的方程；（Ⅱ）从点P（3，1）发出的光线经直线y=x反射后可以照在圆M上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围．【解答】解：（I）由题意知：过A（2，﹣1）且与直线x+y=1垂直的直线方程为：y=x﹣3∵圆心在直线：y=﹣2x上，∴由⇒即M（1，﹣2），且半径，∴所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（6分）（得到圆心给2分）（Ⅱ）圆M关于直线y=x对称的圆为（x+2）2+（y﹣1）2=2，设发出光线为y﹣1=k（x﹣3）化简得kx﹣y﹣3k+1=0，由得，所以发出光线所在直线的斜率取值范围为．…（12分）22．已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线3x+4y﹣6=0交于M、N两点，且|MN|=2，求m的值．（3）在（1）的条件下，设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，得m＜5，∴当m＜5时，曲线C表示圆．…（2分）（2）∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴圆心C（1，2），半径，…（3分）∵圆心C（1，2）到直线3x+4y﹣6=0的距离…（4分）又，∴，即5﹣m=4，解得m=1．…（5分）（3）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，…（6分）由，得2x2﹣8x+5+m=0，…（7分）∴△=64﹣8（m+5）=24﹣8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，故m＜3…（8分）…（9分）∴…（10分）∴，∴m=﹣2＜3…（11分）故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=﹣2．…（12分）23．已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若•=12，求k的值．【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2∵圆C被直线m：3x﹣2y=0平分，∴圆心C（a，b）在直线m上，可得3a﹣2b=0…①，又∵点A（1，3）、B（2，2）在圆上，∴…②，将①②联解，得a=2，b=3，r=1．∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=1；（2）过点D（0，1）且斜率为k的直线l方程为y=kx+1，即kx﹣y+1=0，（I）∵直线l与圆C有两个不同的交点M、N，∴点C（2，3）到直线l的距离小于半径r，即，解之得＜k＜；（II）由消去y，得（1+k2）x2﹣（4+4k）x+7=0．设直线l与圆C有两个不同的交点坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=++1，∵•=+（++1）=12，解之得k=1．24．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）证明：AC⊥PB；（2）证明：PB∥平面AEC；（3）求二面角E﹣AC﹣B的大小．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB（2分）又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB（4分）（2）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点（5分）又E为PD中点，∴PB∥EO（6分）又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB∥平面AEC（8分）（3）解：过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则F为AD中点∵AB⊥AC，∴OG⊥AC又由（1）（2）知，AC⊥PB，EO∥PB，∴AC⊥EO（10分）∴∠EOG 是二面角E ﹣AC ﹣B 的平面角连结EF ，在△EFO 中，又PA=AB ，EF ⊥FO ，∴∠EOF=45°∴∠EOG=135°，即二面角E ﹣AC ﹣B 的大小为135°．（12分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

浙江省绍兴市诸暨中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（实验班）一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣1，则实数a=（）A．4 B．C．2 D．2．（3分）函数y=cos（1+x2）+4的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．2cos（1+x2）D．﹣2xsin（1+x2）3．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．84．（3分）过点P（2，﹣2），且与有相同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．5．（3分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（）A．B．C．D．6．（3分）若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（）A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=07．（3分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=58．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3 D．29．（3分）已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R二、填空题：（每题4分，共28分）11．（4分）若直线l1：mx+y﹣（m+1）=0平行于直线l2：x+my﹣2m=0，则m=．12．（4分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为．13．（4分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为．14．（4分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．15．（4分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则=．16．（4分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=．17．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是．三、解答题：（写出必要的文字说明，计算、推理过程，共42分）18．（10分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，直线l：x+y﹣4=0．（1）若直线l′⊥l且被圆C截得的弦长为，求直线l′的方程；（2）若点P是直线l上的动点，PA、PB与圆C相切于点A、B，求四边形PACB面积的最小值．19．（10分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直线l及直线母x=﹣2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m的取值范围．浙江省绍兴市诸暨中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣1，则实数a=（）A．4 B．C．2 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线方程化为标准方程，求出其准线，利用条件，即可求a的值．解答：解：抛物线y=ax2，可化为，其准线方程为y=﹣∵抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣1，∴∴a=故选B．点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．2．（3分）函数y=cos（1+x2）+4的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．2cos（1+x2）D．﹣2xsin（1+x2）考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据复合函数的导数的运算法则求导即可．解答：解：y=﹣sin（1+x2）•2x=﹣2xsin（1+x2），故选：D点评：本题主要考查了复合函数的求导，属于基础题．3．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．解答：解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．4．（3分）过点P（2，﹣2），且与有相同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设所求的双曲线方程是=k，由点P（2，﹣2）在双曲线方程上，求出k 值，即得所求的双曲线方程．解答：解：由题意知，可设所求的双曲线方程是=k，∵点P（2，﹣2）在双曲线方程上，所以，∴k=﹣2，故所求的双曲线方程是，故选B．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是=k，属于基础题．5．（3分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；直线与圆．分析：利用对称知识，求出直线的斜率，对称轴经过圆的圆心即可求出b．解答：解：因为直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为﹣2，所以k=．并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=﹣4．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力．6．（3分）若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（）A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=0考点：直线的两点式方程；两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：把点A（2，﹣3）代入线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的方程，发现点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，从而得到点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程．解答：解：∵A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，∴2a1﹣3b1+1=0，且2a2﹣3b2+1=0，∴两点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，故点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是2x﹣3y+1=0，答案选 A．点评：本题考查两直线交点的坐标和点在直线上的条件．7．（3分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据已知圆的方程找出圆心坐标，发现圆心为坐标原点，根据题意可知，△ABP的外接圆即为四边形OAPB的外接圆，从而得到线段OP为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据P和O两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径，除以2求出半径，利用中点坐标公式求出线段OP的中点即为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可．解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选D点评：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练运用两点间的距离公式及中点坐标公式．根据题意得到△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆是本题的突破点．8．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3 D．2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即∴的最大值为，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．9．（3分）已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公式可得：|PA|2=x2+（y ﹣b）2===f（y），由于椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），利用二次函数的单调性可知：f（y）在（﹣b，b）单调递减，可得，即可得出离心率的取值范围．解答：解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为．∴|PA|2=x2+（y﹣b）2===f（y），∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），由二次函数的单调性可知：f（y）在（﹣b，b）单调递减，∴，化为c2≤b2=a2﹣c2，即2c2≤a2，∴．又e＞0．∴离心率的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．解答：解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键．二、填空题：（每题4分，共28分）11．（4分）若直线l1：mx+y﹣（m+1）=0平行于直线l2：x+my﹣2m=0，则m=﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得=≠，解之即可．解答：解：∵直线l1：mx+y﹣（m+1）=0平行于直线l2：x+my﹣2m=0，∴=≠，解得m=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．12．（4分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为[﹣1，﹣]．考点：直线的倾斜角；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：切线的斜率k=tanθ∈[0，1]．设切点为P（x0，y0），k=y′|x=x0=2x0+2，上此可知点P横坐标的取值范围．解答：解：∵切线的斜率k=tanθ∈[tan0，tan]=[0，1]．设切点为P（x0，y0），于是k=y′|x=x0=2x0+2，∴x0∈[﹣1，﹣]．答案[﹣1，﹣]点评：本题考查圆锥曲线的基本性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（4分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．解答：解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3，∴2+3cosθ=3，即cosθ=，则sinθ=．∵m=2+mcos（π﹣θ）∴m=∴△AOB的面积为S===．故答案为：．点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．14．（4分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．解答：解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=3|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．15．（4分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则=6．考点：抛物线的应用．专题：计算题．分析：先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据=0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1∵=，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故答案为：6．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，平面向量的基础知识．考查了学生分析问题和解决问题的能力．解本题的关键是判断出F点为三角形的重心．16．（4分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=2．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．17．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（，）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的渐近线斜率2＜＜3，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围．解答：解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜＜3，∵=∴＜e＜∴双曲线离心率的取值范围为（，）．故答案为：（，）．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用=，属于中档题．三、解答题：（写出必要的文字说明，计算、推理过程，共42分）18．（10分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，直线l：x+y﹣4=0．（1）若直线l′⊥l且被圆C截得的弦长为，求直线l′的方程；（2）若点P是直线l上的动点，PA、PB与圆C相切于点A、B，求四边形PACB面积的最小值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）设出直线l′方程，利用弦长为，结合勾股定理，即可求直线l′的方程；（2）表示出S四边形PACB=2S△PAC=|PA||AC|，S四边形PACB=2S△PAC=|PA||AC|，而PA2=PC2﹣r2=PC2﹣1，所以当PC取最小值时，PA取得最小值，从而可得结论．解答：解：（1）因为直线l′⊥l，所以直线l′的斜率为1，设直线l′方程为y=x+b，因为截得弦长为，所以圆心C到直线l′的距离为，即，解得或，所以直线l′方程为：或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）S四边形PACB=2S△PAC=|PA||AC|，因为|AC|=r=1，所以当|PA|取得最小值时四边形PACB的面积最小．因为PA2=PC2﹣r2=PC2﹣1，所以当PC取最小值时，PA取得最小值，由点到直线的距离公式可得，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．19．（10分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到对任意x∈（0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．解答：解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．当x=0时，f（x）取极大值为4；（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：=．由f（x）在区间（0，）上单调递增，得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．∴对任意x∈（0，）恒成立．∵．∴．∴b的取值范围是．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直线l及直线母x=﹣2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，△PNQ的垂心恰为点F，建立等式，即可求m的取值范围．解答：解：（1）由条件得，解得a=，b=c=1∴椭圆C的方程为．（2）由条件知，F（﹣1，0），．设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（﹣2，n），则由得（λ2+2）y2+2λmy+m2﹣2=0，由知△＞0恒成立，且，．由PQ⊥NF得n=λ，由NQ⊥PF得，化简得，（λ2+1）y1y2+λ（m+1）（y1+y2）+（m+1）（m+2）=0化简得，mλ2=﹣（3m2+6m+2）（显然m≠0），由λ2≥0，得，解得．∴m的取值范围[）．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2014-2015学年第一学期期中考试高二数学试卷一、选择题1．已知m 、n 是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若；②若；③若；④若m 、n 是异面直线，其中真命题是（ ）A ．①和③B ．①和②C ．③和④D ．①和④ 2．若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面 C ．异面或相交 D ．平行3．已知二面角βα--l 为060，l AB AB ⊥⊂,α，A 为垂足，β⊂CD ，l C ∈,0135=∠ACD ，则异面直线与所成角的余弦值为A ．41 B ．42 C ．43 D ．214．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）A. B.C ．D ．5．已知且、，则连接、两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定6．当曲线241x y -+=与直线042=+--k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 B ．⎥⎦⎤⎝⎛43,31 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125 7．由直线1+=x y 上的一点向圆1)1()2(22=-+-y x 引切线，则切线长的最小值为A ．B ．C ．D ．8．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤=R y x m y x m y x A ,,)2(2),(222，, 若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.或D.21<m 或9．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米. A ． B ． C ．D ．10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且1111DD QD BB PB =，过点A 、P 、Q 作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）11．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为( )A ． B ．C ．D ．12．两圆1)2()1(22=++-y x 与16)1()3(22=-++y x 的位置关系是（ ）A 内切 B 外切 C 相离 D 相交二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 14．已知直线l ⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l⊥m ，则α∥β．其中正确命题序号是 ．15．为异面直线，且所成角为40°，直线c 与均异面，且所成角均为θ，若这样的c共有四条，则θ的范围为 .16．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA=2AB ，则下列结论正确的是 _________ （写出所以正确结论的序号） ①PB ⊥AD ； ②平面PAB ⊥平面PAE ；③BC ∥平面PAE ； ④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°．17．已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O 为坐标原点，且为直角三角形，则2221ba 的最小值为 . 18．已知向量,其夹角为60°,则直线与圆的位置关系是 . 19．已知圆与直线相交于两点则当的面积最大时此时实数的值为三、解答题20．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.（1）证明平面； （2）若二面角P-AD-B 为，①证明：平面PBC ⊥平面ABCD.②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值. 21．圆的圆心在直线 上，且与直线相切于点,（1）试求圆的方程； （2）从点发出的光线经直线反射后可以照在圆上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围． 22．已知曲线C ：（1）当为何值时，曲线C 表示圆；（2）在（1）的条件下，若曲线C 与直线交于M 、N 两点，且，求的值.（3）在（1）的条件下，设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．23．已知圆过点，，并且直线平分圆的面积．（1）求圆的方程；（2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点．①求实数的取值范围； ②若，求的值．24．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点. （1）求证:PB AC ⊥;（2）求证:平面;（3）求二面角B AC E --的大小.2014-2015学年第一学期期中考试高二数学答题卷一、选择题(310'⨯)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题(74'⨯)13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.三、解答题20．21． 22．23．24．。

浙江省诸暨中学高二数学第一学期期中考试试卷 文 新人教A 版【会员独享】一、选择题（每小题3分，共30分）1 下面对算法描述正确的一项是 （ ）A 算法只能用自然语言来描述B 算法只能用图形方式来表示C 同一问题可以有不同的算法D 同一问题的算法不同，结果必然不同2．某地区有300家商店，其中大型商店30家，中型商店75家，小型商店195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 （ ）A ．2B ．5C ．3 D13．3．如图是元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为 ( )A ．84,85B ．84,84C ．85,84D ．85,85 4．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是 （ ） A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数5．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆”，那么 （ ）A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．同时掷3枚硬币，那么下面两个事件中是对立事件的是 （ ）A ．至少1次正面和至多1次正面B ．至多1次正面和恰好2次正面C ．至多1次正面和至少2次正面D ．至少2次正面和恰好1次正面8．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是 （ ） 7 8 9 9 4 5 6 4 7 3Ａ．25 Ｂ．45 Ｃ．15 Ｄ．35 9. 已知点P 是抛物线22y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 的坐标是7,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则PM PA +的最小值是 ( ) A ．27 B ．4 C ．29 D ．5 10．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是 （ ）A B C D二、填空题（每小题4分，共24分）11．一组数据,3,7,9a 的平均数是b ，且,a b 是方程2650x x 的两个根，则这组数据的方差为 .12．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球40个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为 ．13．若把连续投掷两次骰子分别得到的点数,m n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率是 ．14．在空间中，以下两个命题中，逆命题为真命题的是 ．①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．15．已知直线l 与抛物线2:4C y x 相交于Ａ、Ｂ两点，线段AB 的中点为M （2，2），则直线l 的方程为 .16. 已知双曲线的两个顶点间的距离为6，渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的标准方程为 .0.01频率组距三、解答题（共46分）17．（本小题满分10分）命题p ：对任意实数x 都有210axax 恒成立；命题q ：关于x 的方程20x x a 有实数根．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．19．（本小题满分12分）盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，从中取出2只灯泡，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品．20．（本小题满分12分）设抛物线21:2(0)C y mx m 的准线与x 轴交于点1F ，焦点为2F ，以1F ，2F 为焦点，离心率为12的椭圆2C 与抛物线1C 的一个交点为P ． (1)若椭圆的长半轴长为2，求抛物线方程；(2)在（1）的条件下，直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于12,A A 两点,如果12A A 等于12PF F 的周长，求直线l 的斜率.诸暨中学2010学年第一学期期中试卷参考答案高二数学（文科）一、选择题（每小题3分，共30分）1．C2．Ｂ3．Ａ4．Ａ5．Ｂ6．B7．Ｃ8．Ａ9．Ｃ10．Ｂ二、填空题（每小题4分，共24分）11．1012．0.3713．2 914．②15．0x y16．2222411 98194x y y x或三、解答题（共46分）17．1044a a或…………………………………………………….10分18．（1）0.3 ……………………………………………………………6分（2）及格率0.75 平均分71 ……………………………………….6分19．（1）115……………………………………………………………4分（2）815……………………………………………………………4分（3）1415……………………………………………………………4分20．（1）24y x………………………………………………………6分(2) 2…………………………………………………………6分。

2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案的代号填在答题卷上）1．（3分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心坐标为（）A．（4，﹣6）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣4，6）2．（3分）下列命题正确的是（）A．经过三点，有且只有一个平面B．平行于同一条直线的两个平面的平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D．过一点有且只有一条直线垂直于已知平面3．（3分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离4．（3分）已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（）A．B．C．D．5．（3分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm26．（3分）若一直线过M（0，﹣1）且被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦AB 长为8，则这条直线的方程是（）A．3x+4y+4=0 B．3x+4y+4=0或y+1=0C．3x﹣4y﹣4=0 D．3x﹣4y﹣4=0或y+1=07．（3分）空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论中不成立的是（）A．DF∥平面PBC B．AB⊥平面PDCC．平面PEF⊥平面ABC D．平面PAE平面PBC8．（3分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．4+2B．8+4C．4+8D．1+9．（3分）二面角α﹣l﹣β的大小为45°，线段AB⊂α，B∈l，直线AB与l所成角为45°，则直线AB与β所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（3分）若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线11．（3分）若直线x+y﹣b=0与曲线x=相交于不同的两点，则实数b的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2）C．[2，2）D．（2，2] 12．（3分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卷相应位置.）13．（4分）已知α∥β，a⊂α．b⊂β，则直线a与b的位置关系为．14．（4分）把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，若此时∠BAC=60°，则此二面角的大小是．15．（4分）已知圆x2+y2=4 上动点P及定点Q（4，0），则线段PQ中点M的轨迹方程是．16．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给定下列四个命题（1）若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n（2）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β（3）若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β（4）若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n其中所有正确的命题为．（写出所有正确命题的编号）17．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是．18．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是．三．解答题（本大题共4小题，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）.19．（10分）（1）已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点，且与直线x+y+3=0相切，求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆（x﹣2）2+（y+1）2=36上，求u=x+y的取值范围．20．（6分）三棱锥P﹣ABC中，已知PC=10，AB=8，E、F分别为PA、BC的中点，EF=，求异面直线AB与PC所成角的大小．21．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD上平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是BP的中点．（1）求证：EC∥平面PAD；（2）求BP与平面ABCD所成的角的正弦值；（3）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．22．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx﹣1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案的代号填在答题卷上）1．（3分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心坐标为（）A．（4，﹣6）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣4，6）【解答】解：∵圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，∴（x+2）2+（y﹣3）2=16，∴圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心坐标为（﹣2，3）．故选：C．2．（3分）下列命题正确的是（）A．经过三点，有且只有一个平面B．平行于同一条直线的两个平面的平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D．过一点有且只有一条直线垂直于已知平面【解答】解：对于A，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，∴A错误；对于B，平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，如正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1B1∥平面CDD1C1，但两平面不平行，∴B错误；对于C，如正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，∴经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行，错误；对于D，如正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1点只有直线A1A⊥平面ABCD，反之，如果过点A1还有一条直线A1P⊥平面ABCD，则A1P∥A1A，这与A1P∩A1A矛盾，假设不成立，即过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，正确．3．（3分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0 即（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，表示以A（4，2）为圆心、半径等于3的圆；圆x2+y2+2y﹣3=0，即x2+（y+1）2=4，表示以B（0，﹣1）为圆心、半径等于2的圆．由于圆心距AB==5，正好等于半径之和，故两圆相外切，故选：B．4．（3分）已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（）A．B．C．D．【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=1，正方体的对角线的长为2，棱长等于，5．（3分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm2【解答】解：三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长为2的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：=故选：A．6．（3分）若一直线过M（0，﹣1）且被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦AB 长为8，则这条直线的方程是（）A．3x+4y+4=0 B．3x+4y+4=0或y+1=0C．3x﹣4y﹣4=0 D．3x﹣4y﹣4=0或y+1=0【解答】解：设直线方程为y=kx﹣1，∵圆心坐标为（1，2），圆的半径为5，弦AB长为8∴圆心到直线的距离d=3，∴=3⇒k=﹣或k=0，∴直线方程为y=﹣x﹣1或y+1=0，即3x+4y+4=0或y+1=0；7．（3分）空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论中不成立的是（）A．DF∥平面PBC B．AB⊥平面PDCC．平面PEF⊥平面ABC D．平面PAE平面PBC【解答】解：∵空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，∴BC∥DF，又DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BDF∥平面PBC，故A正确；∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，故B正确；∵DE⊥BC，AE⊥BC，DE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选：C．8．（3分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．4+2B．8+4C．4+8D．1+【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形∴这个平面图形的面积：═8+4．故选：B．9．（3分）二面角α﹣l﹣β的大小为45°，线段AB⊂α，B∈l，直线AB与l所成角为45°，则直线AB与β所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥β，垂足为C，作CD⊥l，垂足为D，连接AD，BC．则l⊥AD．∴∠ADC是二面角α﹣l﹣β的平面角，大小为45°．∠ABC是直线AB与β所成角．不妨取AD=，则AC=CD=1，AB=2，在Rt△ACB中，sin∠ABC==．∴∠ABC=30°．故选：A．10．（3分）若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线【解答】解：∵直线a不平行于平面α，∴α内所有的直线都与a异面或相交，故A和C均错误；直线a与平面α至少有一个公共点，故B正确；当a⊂α时，α内存在与a平行的直线，故D不正确．故选：B．11．（3分）若直线x+y﹣b=0与曲线x=相交于不同的两点，则实数b的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2）C．[2，2）D．（2，2]【解答】解：曲线x=即x2+y2=4 （x≥0），表示以原点（0，0）为圆心、半径等于2的半圆（位于y轴或y轴右侧的部分）．当直线和半圆相切时，由=2，求得b=2，或b=﹣2（舍去）．当直线经过点（0，2）时，由0+2﹣b=0，求得b=2，故当直线和半圆有2个交点时，b的范围为[2，2），故选：C．12．（3分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部【解答】解：⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C 1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选：A．二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卷相应位置.）13．（4分）已知α∥β，a⊂α．b⊂β，则直线a与b的位置关系为平行或异面．【解答】解：因为α∥β，a⊂α．b⊂β，所以两条直线没有公共点，所以直线a与b的位置关系平行或异面；故答案为：平行或者异面．14．（4分）把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，若此时∠BAC=60°，则此二面角的大小是90°．【解答】解：如图所示：∵等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角∴∠BDC即为二面角设BD=CD=1，则AB=AC=∵AB=AC 且∠BAC=60°∴△ABC为等边三角形∴BC=在△BCD中，∵BD=CD=1 且BC=，∴∠BDC=90°即：二面角为90°故答案为：90°15．（4分）已知圆x2+y2=4 上动点P及定点Q（4，0），则线段PQ中点M的轨迹方程是（x﹣2）2+y2=1．【解答】解：圆x2+y2=4 上动点P及定点Q（4，0），设PQ中点M（x，y），则P（2x﹣4，2y），代入圆的方程得（x﹣2）2+y2=1．线段PQ中点M的轨迹方程是：（x﹣2）2+y2=1．故答案为：（x﹣2）2+y2=1．16．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给定下列四个命题（1）若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n（2）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β（3）若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β（4）若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n其中所有正确的命题为（2）（4）．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：（1）由于m∥α，n⊥β且α⊥β不能确定两条直线的位置关系，故是假命题；（2）由m⊥α，我们可以在α找到一条直线a与n平行，因为n⊥β，所以a⊥β，所以α⊥β，故（2）正确；（3）由面面平行的定理知，一个面中两条相交线分别平行于另一个平面中的两条线才能得出面面平行，故（3）错．（4）因为α∥β，m⊥α，所以m⊥β，因为n⊥β，所以m∥n，故正确．故答案为：（2）（4）17．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，由题意可得点A在圆外，即|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，）18．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是．【解答】解：由题意在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，△P1P2B ∽△AD1B，设P1B=x，x∈（0，1），则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V=××1×x×（1﹣x）=（x﹣x2），当x=时，体积取得最大值：．故答案是：．三．解答题（本大题共4小题，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）.19．（10分）（1）已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点，且与直线x+y+3=0相切，求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆（x﹣2）2+（y+1）2=36上，求u=x+y的取值范围．【解答】解：（1）对于直线x﹣y+1=0，令y=0，得到x=﹣1，即圆心C（﹣1，0），∵圆心C（﹣1，0）到直线x+y+3=0的距离d==，∴圆C半径r=，则圆C方程为（x+1）2+y2=2；（2）u=x+y可化为x+y﹣u=0，圆心到直线的距离d≤6，即，得到：1﹣6≤u≤1+6．20．（6分）三棱锥P﹣ABC中，已知PC=10，AB=8，E、F分别为PA、BC的中点，EF=，求异面直线AB与PC所成角的大小．【解答】解：取PB中点M，连结EM，FM，则EM∥AB，FM∥PC，所以∠EMF（或其补角）为所求角．在△EMF中，cos∠EMF=，所以∠EMF=120°，所以AB和PC所成角为60°．21．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD上平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是BP的中点．（1）求证：EC∥平面PAD；（2）求BP与平面ABCD所成的角的正弦值；（3）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取PA的中点F，连接EF，FD．因为E是BP中点，所以EF∥AB，且EF=AB，又由已知，四边形EFDC为平行四边形，所以EC∥FD⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，所以EC∥平面PAD．（2）设AB=2a，由已知，BD=，∠ABD=45°，由余弦定理得AD=，所以∠ADB=90°．以D为原点，建立如图所示坐标系，则B（0，，0），P（，0，），所以=（）平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1）．所以cos＜＞===﹣，BP与平面ABCD所成的角的正弦值为．（3）易知A（，0，0），则=（﹣，，0），平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由得取x=1，则=（1，1，1）．所以cos＜＞=所以二面角P ﹣AB ﹣D 的余弦值为．22．（10分）已知圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4=0．问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y=kx ﹣1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4=0的圆心坐标（1，﹣2）， 因为在两点A 、B 关于直线y=kx ﹣1对称，所以直线经过圆的圆心， 所以﹣2=k ﹣1，k=﹣1．直线AB 的斜率为：1；设直线AB 的方程为x ﹣y +b=0；对称轴方程为：x +y +1=0，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．可得2x 2+2（b +1）x +b 2+4b ﹣4=0，x 1x 2=，x 1+x 2=﹣b ﹣1．以AB 为直径的圆经过原点． x 1x 2+y 1y 2=0，2×+b 2+b （﹣b ﹣1）=0，解得b=1或b=﹣4所以所求直线AB 的方程为x ﹣y +1=0或x ﹣y ﹣4=0．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

诸暨中学2015学年第一学期期中试题高三 数学（文科）参考公式：球的表面积公式 24S R π= 棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式 343V R π= 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高其中R 表示球的半径 棱台的体积公式()1213V h S S = 棱锥的体积公式 13V Sh = 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集为R ，集合{}{}20,680A x x B x x x =≥=-+≤，则()=⋂B C A R （ ▲ ）A ．{}0x x ≤B ．{}24x x ≤≤C ．{}024x x x ≤<>或D ．{}024x x x ≤<≥或 2.设l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ） A. 若α⊥m ，m l ⊥，则l α//B. 若αβ//，α⊥l ，β//m ，则m l ⊥C. 若αβ//，α//l ，β⊂m ，则m l //D. 若βα⊥，l =βα ，l m ⊥，则β⊥m3.设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥（其中m 为常数）则“1≥m ”是“命题p 为真命题”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ▲ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+5.已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ▲ ） A. 12x π=B. 4x π=C. 3x π=D. 2x π=6.设函数x x a ka x f --=)(（a ＞0且a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数， 则)(log )(k x x g a +=的图象是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．7.已知实数,x y 满足125,31x y x y z x y x -≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则的最大值为（ ▲ ）A ．5B ．6C ．7D ．88.设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1, （ ▲ ） A.若θ确定，则 ||a 唯一确定 B.若θ确定，则 ||b 唯一确定 C.若||a 确定，则 θ唯一确定 D.若||b 确定，则 θ唯一确定非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.已知3c o s ()25πα-=且(,)2παπ∈，则αc o s =____▲_______,tan()4πα-= ____▲_______.10.已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f 的最小正周期是____▲_______，单调递减区间是____▲_______,11.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则a 与b 的关系式为__ ▲___, 1a ＋2b的最小值是____▲_______.12. 在等差数列{}n a 中，已知10a >，前n 项和为n S ，且有113S S =，则da 1＝___▲_____ 当n S 取得最大值时，n = ▲ ．13.已知⎩⎨⎧≤<-≤<=),31()1(log ),10(3)(2x x x x f x 若][1,0))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是____▲ ．14.已知12,e e 是平面单位向量，1212e e ⋅= ，若平面向量b 满足25,221=⋅=⋅e e ，＝______▲________15.定义{}⎩⎨⎧<≥=)()(,max b a b b a a b a ,已知实数x,y 满足122≤+y x ，设{}y x y x z -+=2,m a x,则z 的取值范围是____▲__________.三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知()s i n s i n s i n a b a cA B A B +-=+-． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若36cos =A ，且ABC ∆的面积为2323+，试求sinC 和a 的值．17.（本题满分15分）在等差数列{}n a 中,345842,30a a a a ++==.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若数列{}n b满足2n a n b λ+=+(R λ∈),则是否存在这样的实数λ使得{}n b 为等比数列;(III)数列{}n c 满足112,1,2n n n n n c T a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数为数列{}n c 的前n 项和,求2n T .19．（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（Ⅰ）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （Ⅱ）若1+=a b 且函数()f x 在[1,1]-上存在两个不同零点，试求实数a 的取值范围. (III) 若1+=a b 且函数()f x 在[1,1]-上存在一个零点，试求实数a 的取值范围.20．（本题满分15分）已知函数|1|)(2+-=ax x x f ，R ∈a ．（Ⅰ）若2-=a ，且存在互不相同的实数4321,,,x x x x 满足m x f i =)()4,3,2,1(=i ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若函数)(x f 在]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围．。

2016年浙江省绍兴市诸暨中学高二上学期数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是A. 或B. 2 或C. 或D. 或2. 椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，那么的值是A. B. C. D.3. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是A. B.C. D.4. 水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形5. 设有直线，和平面，．下列四个命题中，正确的是A. 若，，则B. 若，，，，则C. 若，，则D. 若，，，则6. 如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为A. B. C. D.7. 已知直线与圆心为的圆相交于，两点，且为等边三角形，则实数A. B. C. 或 D.8. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A. B. C. D.9. 如图，在等腰梯形中，，且，设，，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则A. 随着角度的增大，增大，为定值B. 随着角度的增大，减小，为定值C. 随着角度的增大，增大，也增大D. 随着角度的增大，减小，也减小10. 如图四边形，，，现将沿折起，使二面角的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共7小题；共35分）11. 已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为．12. 已知，方程表示圆，则圆心坐标是，半径是．13. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是．14. 正方体中直线与平面所成角的余弦值是．15. 一个几何体的三视图如图所示，求此几何体的体积．16. 设双曲线的左、右焦点分别为，．若点在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是．17. 如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于，两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的倍，若，则该双曲线的离心率为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知圆内有一点，过点作直线交圆于，两点．（1）当经过圆心时，求直线的方程；（写一般式）（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长．19. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，若，，，分别为，中点．（1）求证 平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．20. 已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，又平面，且，点在棱上，且．（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小．21. 已知椭圆的离心率为，设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点到左焦点的距离的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，且过左焦点，与椭圆相交于，两点，若的面积为，试求的值及直线的方程．22. 分别过椭圆左、右焦点，的动直线，相交于点，与椭圆分别交于，与，不同四点，直线，，，的斜率分别为，，，，且满足，已知当与轴重合时，，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，，使得为定值?若存在，分别求出，两点坐标，若不存在，说明理由．答案第一部分1. A 【解析】设所求直线方程为，则，，所以，所以所求直线方程为：或 .2. B 【解析】由题意，不妨设在双曲线的右支上，则，，所以，，所以．3. D 【解析】若为D选项，则正视图如右图：故俯视图不可能是D选项中所示的图形．4. A 【解析】由图形知，在原中，，因为，所以．因为，所以，所以，所以为正三角形．5. D【解析】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故 B 不正确，C 选项再加上垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故 C 不正确，D 选项中由，，，可得，故是正确命题．6. D 【解析】如图，连接，，，，因为，分别是，的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，所以即为异面直线与所成的角，在三角形中，，，，因为，所以，所以异面直线与所成角为．7. D 【解析】圆的圆心，半径，因为直线与圆相交，为等边三角形，所以圆心到直线的距离为，即，平方得，解得．8. D 9. B 【解析】连接，．设，则，所以双曲线中，，因为在上单调减，进而可知当增大时，减小，即减小．因为，所以椭圆中，所以，，所以，，所以．10. D【解析】分别取，，的中点，，，连接，，，由题可知二面角所成的平面角为，因为二面角的大小在内，在中，由余弦定理得，又，，的中点分别为，，，所以直线与所成的角为，又在原平行四边形中，有，所以在中，，得，当时，由余弦定理得；当时，，又异面直线所成角的范围是，所以直线与所成角的余弦值取值范围是．第二部分11.【解析】因为双曲线的焦距为，点在的渐近线上，所以解得，．所以的方程为．12. ，【解析】因为表示圆，所以解得，所以圆的方程为，即．故圆心的坐标为，半径为．13.【解析】设弦的端点为，，斜率为，代入椭圆方程得，得，由中点坐标，，代入上式，得，所以直线斜率为，所求弦的直线方程为：，即．14.【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为，则，，，，，，，设平面的法向量，则取，得，设直线与平面所成角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为．15.【解析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高，正方体棱长为．．正方体．四棱锥所以．16.【解析】由双曲线的对称性，不妨令在右支上，设，则．由知．因为为锐角三角形，且不是最大边，则化简得解得．所以．17.【解析】双曲线的渐近线方程为，因为直线的倾斜角是渐近线倾斜角的倍，所以，所以直线的方程为，与联立，可得或，因为，所以，所以，所以，所以．第三部分18. （1）圆的圆心为，因直线过点，，所以直线的斜率为，直线的方程为，即．（2）当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为圆的半径为，所以可得弦长为．19. （1）因为为中点，所以与交于点．因为，分别为，中点，所以是的中位线，又平面，平面，所以 平面．（2）取中点，连接，．因为为正三角形，所以，又因为平面平面．所以平面，所以在平面内的射影为，为与平面所成角，，，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为．20. （1）取中点，连接，则，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角．因为平面，所以，．因为，所以，所以所以是正三角形，．即异面直线与所成的角等于．（2）由（）知，，所以．又平面，所以．因为，所以平面，所以．因为，，所以平面；（3）连接，交于点，则．因为平面，所以平面平面，所以平面，过点作于点，连接，则．所以为二面角的平面角．在中，．在中，．在中，．所以．即二面角的大小为．21. （1）由题意可知，，，所以，，．椭圆的方程为．（2），，直线，设，，联立得：，所以，，，点到直线的距离，所以，化简得：，，所以，，所以直线的方程为．22. （1）当与轴重合时，，即，所以垂直于轴，得，，解得，，所以椭圆的方程为．（2）焦点，坐标分别为，，当直线或斜率不存在时，点坐标为或，当直线，斜率存在时，设斜率分别为，，设，，由得，所以，，同理，因为，所以，即，由题意知，所以，设，则，即，，因为当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足，所以点在椭圆上，所以存在点，，其坐标分别为，，使得为定值．。

2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．（3分）复数=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．﹣i2．（3分）已知集合M={x|2x＞1}，N={x|x≥1}，则M∩（∁R N）=（）A．[1，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）3．（3分）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）若函数y=2e x sin x，则y′=（）A．﹣2e x cos x B．2e x（sin x﹣cos x）C．﹣2e x sin x D．2e x（sin x+cos x）5．（3分）函数f（x）=为（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数6．（3分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，再向左平移个单位，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．7．（3分）已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A．B．C．D．8．（3分）已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）＜f（ax+1）的解集中有且仅有两个整数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7题，前3题每空2分，后4题每题4分，共30分）9．（6分）函数的最小正周期为；递增区间为；对称轴方程为．10．（4分）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是．11．（4分）已知函数，若函数的定义域为R，则a∈；若f（x）的值域为R，则a∈．12．（4分）已知sin（π﹣α）=﹣2sin（+α），则sinα•cosα=．13．（4分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=f（x+4），当0≤x≤1时，f （x）=2x（1﹣x），则f（﹣2017）=．14．（4分）若函数f（x）=log0.5（5x2﹣ax+8）在[﹣1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围为．15．（4分）已知函数f（x）=，常数a＞0，当0＜m＜n，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，则实数a的取值范围．三、解答题（共5小题，共46分）16．（6分）已知函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在点P 处的切线斜率为2（1）求实数a，b的值；（2）求函数g（x）=f（x）﹣2x+2的极值．17．（6分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间和值域．18．（12分）已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离为，且函数图象过点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得函数y=g（x）的图象，若g（x）为偶函数，求φ的最小值．19．（10分）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，1]有解，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+b（1）若a=1，b=0，求函数f（x）的递减区间；（2）若b=0且函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）设常数，若对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．（3分）复数=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．﹣i【解答】解：复数=．故选：A．2．（3分）已知集合M={x|2x＞1}，N={x|x≥1}，则M∩（∁R N）=（）A．[1，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：由M中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即M={x|x＞0}，∵全集为R，N={x|x≥1}，∴∁R N={x|x＜1}，则M∩（∁R N）={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：B．3．（3分）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选：A．4．（3分）若函数y=2e x sin x，则y′=（）A．﹣2e x cos x B．2e x（sin x﹣cos x）C．﹣2e x sin x D．2e x（sin x+cos x）【解答】解：由题意得y=2e x sin x，则y′=2e x（sin x+cos x），故选：D．5．（3分）函数f（x）=为（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数【解答】解：由16﹣x2≥0得﹣4≤x≤4，即函数的定义域为[﹣4，4]，则函数f（x）==，则f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故选：B．6．（3分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，再向左平移个单位，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，所得函数图象对应的解析式为再向左平移个单位所得函数图象对应的解析式为==故选：A．7．（3分）已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A．B．C．D．【解答】解：当x≥0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得x≥4当x＜0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得∴不等式的解集为故选：D．8．（3分）已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）＜f（ax+1）的解集中有且仅有两个整数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，作出函数f（x）=的图象如下，故不等式f（x）＜f（ax+1）可化为|x﹣1|＜|ax+1﹣1|，即|x﹣1|＜|ax|；作函数y=|x﹣1|与函数y=|ax|的图象如下，结合图象可得，实数a的取值范围应该关于原点对称，故排除A、D，当a=0时，不等式f（x）＜f（ax+1）的解集中有且仅有一个整数1，故不正确；故排除C；故选：B．二、填空题（本大题共7题，前3题每空2分，后4题每题4分，共30分）9．（6分）函数的最小正周期为π；递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z；对称轴方程为x=kπ+，k∈z．【解答】解：函数的最小正周期为=π，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=kπ+，可得图象的对称轴方程为，故答案为：π；[kπ﹣，kπ+]，k∈z；x=kπ+，k∈z．10．（4分）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，﹣15．【解答】解：由题设知y'=6x2﹣6x﹣12，令y'＞0，解得x＞2，或x＜﹣1，故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，2]上减，在[2，3]上增，当x=0，y=5；当x=3，y=﹣4；当x=2，y=﹣15．由此得函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，﹣15；故应填5，﹣1511．（4分）已知函数，若函数的定义域为R，则a∈；若f（x）的值域为R，则a∈．【解答】解：由题意得，x2﹣ax+3＞0对任意x∈R都成立，则△=a2﹣12＜0，解得﹣2＜a＜2，所以a的取值范围是（﹣2，2）；要使函数的值域是R，只要△=a2﹣4≥0，得a≤﹣2或a≥2，所以a的取值范围（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；故答案为：；12．（4分）已知sin（π﹣α）=﹣2sin（+α），则sinα•cosα=﹣．【解答】解：∵sin（π﹣α）=sinα，sin（+α）=cosα，∴sin（π﹣α）=﹣2sin（+α）变形为：sinα=﹣2cosα①，∴sinα与cosα符号不同，又sin2α+cos2α=1②，把①代入②得：cos2α=，解得|cosα|=，所以|sinα|=，则sinα•cosα=﹣×=﹣．故答案为：﹣13．（4分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=f（x+4），当0≤x≤1时，f （x）=2x（1﹣x），则f（﹣2017）=0．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=f（x+4），函数f（x）的周期是4，所以f（﹣2017）=﹣f（2017）=f（4×504+1）=﹣f（1）；当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴f（1）=0，∴﹣f（1）=0，∴f（﹣2017）=0，故答案为：0．14．（4分）若函数f（x）=log0.5（5x2﹣ax+8）在[﹣1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围为（﹣13，﹣10]．【解答】解：设g（x）=5x2﹣ax+8，∵函数f（x）=log0.5（5x2﹣ax+8）在[﹣1，+∞）上为减函数，y=log0.5x在（0，+∞）上为减函数，故函数g（x）在[﹣1，+∞）上是增函数，且恒为正，即，解得﹣13＜a≤﹣10．故答案为：（﹣13，﹣10]15．（4分）已知函数f（x）=，常数a＞0，当0＜m＜n，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，则实数a的取值范围{a|a＞}．【解答】解：∵函数f（x）=，常数a＞0在（0，+∞）上是增函数，且定义域和值域都是[m，n]（0＜m＜n），∴，即；由﹣=m，得a2m2﹣a（2a+1）m+1=0；该一元二次方程有二不等实根，∴△=a2（2a+1）2﹣4a2＞0，即（2a+1）2﹣4＞0，∴4a2+4a﹣3＞0，解得a＞，或a＜﹣（舍去）；∴a的取值范围是{a|a＞}；故答案为：{a|a＞}．三、解答题（共5小题，共46分）16．（6分）已知函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在点P 处的切线斜率为2（1）求实数a，b的值；（2）求函数g（x）=f（x）﹣2x+2的极值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+ax2+blnx，∴f′（x）=1+2ax+，∴，解得，a=﹣1，b=3．（2）g（x）=f（x）﹣2x+2=﹣x2﹣x+3lnx+2，g′（x）=﹣2x﹣1+=，故g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；故函数g（x）=f（x）﹣2x+2有极大值f（1）=0，无极小值．17．（6分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间和值域．【解答】解；（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∵当x＞0时，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（）﹣x﹣1=﹣2x﹣1，即．（2）∵当x∈（0，+∞）时，f（x）为单调递减函数，∴当x＞0时，1＜（）x+1＜2，∵当x＜0时，x∈（﹣∞，0）时，为单调递减函数，∴1＜2x+1＜2，﹣2＜﹣2x﹣1＜﹣1，故值域（﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2）18．（12分）已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离为，且函数图象过点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得函数y=g（x）的图象，若g（x）为偶函数，求φ的最小值．【解答】解：（1）由题意可得：周期T=2×，由周期公式可得：，∵函数图象过点．∴可得：﹣2=A sin（2×+），解得：A=2．故函数f（x）的解析式为：．（2）∵，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）∈[﹣1，2]，故函数f（x）的值域为：[﹣1，2]（3）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）为偶函数，则有：2φ+=k，k∈Z，解得：φ=，k∈Z．又：φ＞0，可得：．19．（10分）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，1]有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）是偶函数；∴f（﹣1）=f（1）；∴；∴log45﹣1﹣k=log45+k；∴；（2）x∈[0，1]，f（x）===；∴由f（x）﹣m=0得m=，设g（x）=，g′（x）=ln2（）；∵x∈[0，1]；∴2x∈[1，2]；∴；∴g′（x）＞0；∴g（x）在[0，1]上单调递增；∴复合函数在[0，1]上单调递增；∴，；∴；∴实数m的取值范围为[，]．20．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+b（1）若a=1，b=0，求函数f（x）的递减区间；（2）若b=0且函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）设常数，若对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=1，b=0，则f（x）=x|x﹣1|，当x≥1时，f（x）=x2﹣x=（x﹣）2﹣在[1，+∞）递增，当x＜1时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+在（，1）递减．故f（x）的减区间为；（2）f（x）=x|x﹣a|=．由函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，则a=0显然成立，a＜0，x≥0递增，显然成立；当0＜a≤3时，由x2﹣ax=（x﹣）2﹣在[a，+∞）递增，成立；当a＞3时，不成立．则a的范围是a≤3；（3）当x=0时，b＜0恒成立；当x∈（0，1]时，可化为对x∈（0，1]恒成立，只需满足，当b＜﹣1时，在x∈（0，1]递增，所以，在x∈（0，1]递减，所以，所以a∈（1+b，1﹣b）当时，，所以．。

2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.把答案填在答题卡的相应位置.）1．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=02．椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么|PF1|•|PF2|的值是（）A．m﹣a B．m2﹣a2C．D．3．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．4．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形5．设有直线m、n和平面α、β．下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊈α，则m∥α6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=（）A．±B．±C．1或7 D．4±8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小10．如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在hslx3y3h，0，，0，0，，0，，0，0，0，hslx3y3h．∴cos．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卡的相应位置.）11．已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是（﹣2，﹣4），半径是5．【考点】圆的一般方程．【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求．【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；当a=2时，方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（﹣2，﹣4），5．【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．13．如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y﹣8=0．【考点】椭圆的简单性质．【分析】若设弦的端点为M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆方程+=1，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②，得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．【点评】本题考查了圆锥曲线的中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于中档题．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值是．【考点】直线与平面所成的角．【分析】以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则B（1，1，0），C1（0，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），设平面BB1D1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设直线BC1与平面BB1D1D所成角为θ，则sinθ===，∴cosθ==，∴直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15．一个几何体的三视图如图所示，求此几何体的体积．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体．分别求得体积再相加．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=42×4=64V四棱锥=Sh1=×42×3=16所以V=64+16=80【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键16．设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【解答】解：如图，由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，∴．不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；由PF1⊥PF2，得，又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：，∴|PF1||PF2|=6，②联立①②解得：，此时|PF1|+|PF2|=．∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．故答案为：（）．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．17．如图所示，已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出直线l的方程为y=（x﹣c），与y=±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，∴k l=，∴直线l的方程为y=（x﹣c），与y=±x联立，可得y=﹣或y=，∵，∴=2•，∴a=b，∴c=2b，∴e==．故答案为．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）18．（10分）（2014秋•咸阳期末）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（写一般式）（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线l的斜率，再由点斜式方程可得到直线l的方程，最后化简为一般式即可．（2）先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离，进而根据勾股定理可求出弦长．【解答】解：（1）圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主，故平时就要注意基础知识的积累和应用，在考试中才不会手忙脚乱．19．（10分）（2016秋•诸暨市校级期中）如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD ⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分别为AC，BP中点．（Ⅰ）求证EF∥平面PCD；（Ⅱ）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF ∥面PCD；（II）取AB中点O，连接PO，DO，得出PO⊥平面ABCD，于是，∠PDO为DP与平面ABCD所成角，求出OP，DP，得直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E．因为E，F分别为AC，BP中点，所以EF是△BDP的中位线，所以EF∥DP．又DP⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．（Ⅱ）解：取AB中点O，连接PO，DO．∵△PAB为正三角形，∴PO⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面PAB∴PO⊥平面ABCD，∴DP在平面ABCD内的射影为DO，∠PDO为DP与平面ABCD所成角，OP=，DP=，在Rt△DOP中，sin∠PDO=，∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，作出线面角并证明是解题关键，属于中档题．20．（10分）（2016秋•诸暨市校级期中）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E 在棱PD上，且BE⊥PD．（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．（Ⅱ）证明CD⊥平面PDB，可得CD⊥BE，结合BE⊥PD即可得证．（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．【解答】（Ⅰ）解：取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF=．∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°即异面直线PA与CD所成的角等于60°．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．∴CD⊥BD又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE∵CD∩PD=D，BE⊥PD∴BE⊥平面PCD；（Ⅲ）解：连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD、过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．在Rt△ABD中，AO=．在Rt△PAD中，AH==．在Rt△AOH中，sin∠AHO==．∴∠AHO=60°．即二面角A﹣PD﹣B的大小为60°．【点评】此题主要考查异面直线的角度、二面角的平面角的计算，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（10分）（2016秋•诸暨市校级期中）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点M到左焦点F1的距离的最大值为+1（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线L的斜率为k，且过左焦点F1，与椭圆C相交于P、Q两点，若△PQF2的面积为，试求k的值及直线L的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由，a+c=，可得a、b、c；（Ⅱ）联立化简，结合韦达定理求解求得PQ，用距离公式得点F2到直线l =|PQ|•d=，即可求得k．的距离d，s△PQF2【解答】解：（Ⅰ），a+c=∴．椭圆C的方程为．（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l：y=k（x+1），设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0∴．=，点F2到直线l的距离，=|PQ|•d=∴s△PQF2化简得：16k4+16k2﹣5=0，（4k2+5）（4k2﹣1）=0，∴k2=，k=±∴直线l的方程为x±2y+1=0．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本运算能力，属于中档题．22．（12分）（2015•山西四模）分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E 的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P 点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．【解答】解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E的方程为．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值的判断与证明，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，解题时要注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．。