提公因式法(基础)知识讲解

七年级数学提公因式法知识点归纳七年级数学提公因式法知识点归纳初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。

不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。

应届毕业生店铺为大家提供了七年级数学提公因式法知识点归纳，希望对大家有所帮助。

◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)注意：1、因式分解对象是多项式;2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;◆ 分解因式的.作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。

◆ 分解因式的一些原则(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。

(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。

(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。

◆ 因式分解的首要方法—提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。

3、使用提取公因式法应注意几点：(1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。

(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。

(找最高公因式)(3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。

◆ 提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)。

课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。

提公因式法讲解以提公因式法讲解为标题，本篇文章将详细介绍提公因式法的概念、步骤和应用。

提公因式法是一种用于因式分解多项式的常用方法，通过找出多项式中的公因子来简化表达式，使得分解更加简单和直观。

一、概念提公因式法是指通过寻找多项式中的公因子来进行因式分解的一种方法。

在多项式中，如果存在一个因子能够整除每一项，那么这个因子就是公因子。

通过提取出公因子，我们可以将多项式分解为更简单的形式，从而更好地理解和运算。

二、步骤提公因式法的步骤如下：1.观察多项式，找出其中的公因子。

多项式中的公因子可以是数字、字母或者字母的乘积。

2.将公因子提取出来，得到一个公因子和一个括号内的表达式。

公因子放在括号外，括号内的表达式是原多项式除以公因子的结果。

3.将原多项式除以公因子得到的括号内的表达式再次进行因式分解，直到无法继续分解为止。

4.将所有的公因子和括号内的表达式相乘，得到最终的因式分解形式。

三、应用提公因式法在数学中有着广泛的应用。

它可以用于简化多项式的表达式、求解方程、解决实际问题等。

1.简化多项式的表达式：通过提取公因子，可以将复杂的多项式表达式简化为更简单的形式，使得计算更加方便和快捷。

2.求解方程：在解方程过程中，我们常常需要将方程转化为因式的形式，从而更好地进行求解。

提公因式法可以帮助我们将方程进行因式分解，使得求解过程更加简单和直观。

3.解决实际问题：提公因式法可以应用于解决实际问题中的数学模型。

通过将实际问题转化为多项式表达式，并利用提公因式法进行因式分解，可以更好地理解和解决实际问题。

四、例题解析下面我们通过一个例题来解析提公因式法的具体步骤：例题：将多项式4x+8y的因式分解。

解析：观察多项式4x+8y，我们可以发现它的公因子是4。

将4提取出来，得到4(x+2y)。

其中，括号内的表达式x+2y是多项式除以公因子4的结果。

经过这一步骤，我们可以发现多项式4x+8y已经被成功因式分解为4(x+2y)的形式。

提公因式法的概念提公因式法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解。

通过找出多项式中的公因式，并提取出来，可以简化多项式的形式，使之更易于理解和计算。

该方法通常应用于代数运算和解方程等数学问题中。

提公因式法的核心思想是将多项式表达式中的每一项进行因式分解，找出它们之间的公因子，并提取出来。

通过这种方式，可以将多项式分解为更简单的形式，使之更易于处理和分析。

具体应用提公因式法进行因式分解的步骤如下：1.首先，将多项式按照加减号分成多个项，如将3x^2 + 5x -2x^3 + 6按照加减号分成四个项。

2.然后，观察每个项之间是否存在公因子。

公因子是指每一项都能够整除的因子。

例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，3是第一个项和第四个项的公因子，而x是第一个项和第三个项的公因子。

3.确定了公因子后，将这个公因子提取出来，并将其乘以剩余的部分，得到分解后的形式。

例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，公因子3可以提取出来，得到3(x^2 + 5/3x - 2x^3/3 + 2)。

4.进一步分解剩余部分的多项式，重复上述步骤，直到无法再分解为止。

提公因式法的优点是可以大大简化多项式的形式，使之更易于处理和计算。

通过找出公因子，并将其提取出来，可以将多项式的求解问题转化为更简单的形式，例如可以将求解方程转化为求解一次方程或二次方程的问题。

此外，提公因式法还可以用于多项式的乘法和约分运算。

在进行多项式的乘法运算时，可以通过提取公因子的方法，将复杂的运算转换为简单的乘法运算。

而在进行多项式的约分运算时，也可以利用公因子提取的方法，将多项式约分为最简形式。

需要注意的是，提公因式法只适用于多项式之间存在公因子的情况。

当多项式之间没有公因子时，无法通过提取公因子的方法进行因式分解。

此时，可以尝试其他的因式分解方法，如配方法、二次差分等。

综上所述，提公因式法是一种数学方法，通过找出多项式中的公因子，并将其提取出来，将多项式进行因式分解。

因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。

而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。

本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。

一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。

通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。

1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。

常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。

二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。

这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。

2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。

三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。

通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。

例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。

3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。

通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。

特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。

因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。

常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。

一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。

下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。

解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。

在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。

2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。

这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。

在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。

3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。

在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。

综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。

二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。

下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。

解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。

在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。

在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。

3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。

根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。

解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。

2.将多项式x^3-8分解因式。

因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。

一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。

因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。

1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。

提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。

步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。

步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。

步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。

例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。

首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。

4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。

=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。

=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。

=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。

步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。

2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。

=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。

=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。

=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。

因式分解之提公因式和公式法
一、因式分解
所谓因式分解就是将一个复杂的数学式，整理成由最简单的质因数所
组成的式子，以便我们更清楚地理解和计算这个式子。

例如：把一个复
杂的数学式9a^2b - 18ab^2 + 3a^2b分解为：(3a^2b - 6ab^2) +
(3a^2b - 12ab^2)，我们可以发现这个式子表示三个互相独立的数学关系：a^2b 与 -6ab^2 相乘，3a^2b 与 -12ab^2 相乘。

因式分解的步骤主要有以下三步：
1、找出最小的因数，然后把数学表达式中得到的因数分解成单一的
因子（质数）。

2、然后尝试把每个因子再次分解，直到质数的最小单位为止。

3、最后将所有因数重新组合，组成一个正确的数学表达式。

二、提公因式法
提公因式法用于计算两个或多个不同的数学表达式之间的关系，它的
概念很简单，主要是把两个或多个不同的表达式中的相同的因数提取出来，然后把它们放在一起，使其形成一个新的公因式。

比如说，有两个数学表达式（a+b）^2和a^2+2ab+b^2，那么我们可
以把它们中的公因式（a+b）提取出来：（a+b）^2 = (a+b)(a+b) =
a^2+2ab+b^2、如此一来，我们就把两个不同的表达式形成了一个。

从这个计算过程中我们可以发现，提公因式法实际上是一种简化表达
式的思想。

《提公因式法》知识清单一、什么是提公因式法提公因式法是因式分解的一种基本方法。

如果一个多项式的各项有公因式，那么可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。

例如，对于多项式 6x ＋ 9，其中 3 是公因式，可以将其提取出来，得到 3(2x ＋ 3)。

二、提公因式法的关键1、确定公因式公因式的确定是提公因式法的核心步骤。

公因式是多项式各项中都含有的因式。

（1）系数：取各项系数的最大公约数。

例如，对于 12x ＋ 18，系数 12 和 18 的最大公约数是 6。

（2）字母：取各项相同的字母。

如 5x²y ＋ 10xy²中，相同的字母是 x 和 y。

（3）指数：取相同字母的最低次幂。

比如在 8x³y² 12x²y³中，x 的最低次幂是 2，y 的最低次幂是 2，所以公因式是 4x²y²。

2、提出公因式确定公因式后，将公因式提取出来，用原多项式除以公因式，得到另一个因式。

三、提公因式法的步骤1、分解因式首先对多项式的每一项进行仔细观察和分析，确定各项是否存在公因式。

2、提取公因式将确定的公因式提取出来，写在括号外面。

3、化简剩余项用原多项式的每一项除以公因式，将所得的商写在括号内，与公因式相乘。

例如，对于多项式 4x²＋ 8x，先确定公因式为 4x，然后提取出来得到 4x(x ＋ 2)。

四、提公因式法的应用1、简化计算在代数式的运算中，通过提公因式可以简化计算过程。

比如计算：24a ＋ 36ab，提取公因式 12a 得到 12a(2 ＋ 3b)，这样计算更简便。

2、解方程在方程求解中，有时通过提公因式可以使方程更容易求解。

例如方程：6x² 9x ＝ 0，提取公因式 3x 得到 3x(2x 3) ＝ 0，从而解得 x ＝ 0 或 x ＝ 3/2 。

3、证明等式通过提公因式可以对等式进行变形和证明。

提取公因式法知识点一、公因式的概念。

1. 定义。

- 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

例如，对于多项式6x^2 + 9x，3x就是公因式，因为6x^2=3x×2x，9x = 3x×3。

2. 确定公因式的方法。

- 系数：取各项系数的最大公因数。

例如在多项式12x^3y - 18x^2y^2+24xy^3中，系数12、-18、24的最大公因数是6。

- 字母：取各项相同的字母。

如上述多项式中相同的字母有x和y。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。

在12x^3y - 18x^2y^2+24xy^3中，x 的最低次幂是1（在24xy^3中），y的最低次幂也是1（在12x^3y中），所以公因式是6xy。

二、提取公因式法分解因式。

1. 提取公因式法的定义。

- 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

例如，ma + mb+mc=m(a + b + c)。

2. 提取公因式法的步骤。

- 第一步：确定公因式。

- 按照前面确定公因式的方法找出多项式各项的公因式。

例如对于多项式8a^3b^2 - 12ab^3c，先确定系数的最大公因数为4，相同字母有a和b，a的最低次幂是1，b的最低次幂是2，所以公因式是4ab^2。

- 第二步：提取公因式。

- 将公因式提出来，写成公因式与另一个多项式的乘积形式。

对于8a^3b^2 - 12ab^3c，提取公因式4ab^2后得到4ab^2(2a^2 - 3bc)。

3. 注意事项。

- 当多项式的首项系数为负时，一般要提出“ - ”号，使括号内的首项系数为正。

例如，对于-5x^2+10x，先提出“ - ”号，得到-5x(x - 2)。

- 提取公因式后，括号内的项数与原多项式的项数相同。

例如3x^2y+6xy^2 = 3xy(x + 2y)，原多项式有两项，提取公因式后括号内也是两项。

多项式的因式分解提公因式法一、知识概述因式分解与整式和分式联系极为密切.因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础.1、一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式，2、一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．3、几个多项式的公共的因式称为它们的公因式．4、如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法．5、提公因式的方法公因式的系数为各项系数的最大公约数，字母部分为相同字母的最低次数．如8x3y2－6x2y3＋2xy4的公因式为2xy2；用提公因式法分解因式的关键是准确地出公因式，解题步骤可概括为“一找、二分、三提、四查”.二、重难点知识1、对因式分解的理解(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆向变形.(2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.(3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不能再分解为止.2、公因式的构成①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、提公因式时要一次提尽.添加括号时如果括号前面有负号，括号内的各项要变号．三、典型例题讲解例1、（1）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A．(x＋5)(x－5)=x2－25B．C．x2y－xy2=xy(x－y)D．15=3×5（2）下列各式的因式分解中正确的是（）A．－a2＋ab－ac=－a(a＋b－c)B．9xyz－6x2y2=3xyz(3－2xy)C．3a2x－6bx＋3x=3x(a2－2b)D．解析：（1）显然，A是乘法运算，不正确；B分解因式是将多项式分成几个整式的积，而右边有分式；D是常数，是单项式，不是多项式，不属于分解因式范围，所以C是正确的.（2）A．提－a后括号里面各项要变号，但第二、三项未变号.B．第二项没有公因式z.C．提3x后，括号里第三项还有因数1，掉了一项.D．是正确的.答案：（1）C；（2）D例2、分解因式：（1）.(2).分析：(1)由于两项、中都有公因式，因此可提取.(2)多项式中各项字母没有相同的，因此只需提出系数公约数即可. 解：(1)=.(2)=.点评：（1）当公因式是单项式时，一定要注意取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；(2)对于数字系数，提出的系数应是多项式中各项系数的最大公约数.很多同学在分解因式时容易忽略数字系数的处理，以致于造成分解不彻底的错误.（3）提公因式后，一定要注意括号内的项数与原多项式的项数在合并同类项之前是相同的，不能漏项，尤其是将整个一项作为公因式提取后，这一项就变为1.例3、把下列各式分解因式：(1)6x4y2－12x3y＋27x2y3；(2)－x4y＋x3y2－x2y3；(3)x n＋3x n－1＋x n－2；(4)5(x－y)3＋10(y－x)2；(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1).分析：分解因式时，首先要看多项式各项有无公因式，若有公因式，应先提取公因式，要对数字系数和字母分别进行考虑，如果系数为整数，应该提各项系数的最大公约数；字母考虑两点：一点是取各项相同的字母，一点是各项相同字母的指数取最低的；公因式提出后，剩下的因式的求法是：用公因式去除多项式的每一项，所得的商即为剩下的因式.一个多项式中的公因式，既可以是一个单项式，也可以是一个多项式，注意用整体思想去观察分析多项式，关于幂的底数的符号与指数有如下规律：解：(1) 6x4y2－12x3y＋27x2y3＝3x2y·2x2y－3x2y·4x＋3x2y·9y2＝3x2y(2x2y－4x＋9y2)(2)－x4y＋x3y2－x2y3＝－(x4y－x3y2＋x2y3)＝－(x2y·x2－x2y·xy＋x2y·y2)＝－x2y(x2－xy＋y2)(3)x n＋3x n－1＋x n－2＝x n－2·x2＋x n－2·3x＋x n－2·1＝x n－2(x2＋3x＋1)(4)5(x－y)3＋10(y－x)2＝5(x－y)3＋10(x－y)2＝5(x－y)2(x－y＋2)(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1)＝m[(5ax＋ay－1)－(3ax－ay－1)]＝m·(5ax＋ay－1－3ax＋ay＋1)＝m(2ax＋2ay)=2ma(x＋y)例4、不解方程组求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值.分析：先把7y(x－3y)2－2(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入. 解：7y(x－3y)2－2(3y－x)3=7y(x－3y)2＋2(x－3y)3=(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]=(x－3y)2(2x＋y)∵2x＋y=6，x－3y=1，∴原式=12×6=6．点评：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用．例5、求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除．分析：先把32000－4×31999＋10×31998因式分解证明：∵32000－4×31999＋10×31998=31998×(32－4×3＋10)=7×31998∴32000－4×31999＋10×31998能被7整除．在线测试一、选择题1、在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（）A．－5x2y3=－5xy(xy2)B．x2－4－3x=(x＋2)(x－2)－3xC．ab2－2ab=ab(b－2)D．(x－3)(x＋3)=x2－92、49a3bc3＋14a2b2c2－21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（）A．7abc2B．7ab2c2C．7a2b2c2D．7a3bc33、已知二次三项式x2＋bx＋c 可分解为(x＋α)(x＋β)，下面说法中错误的是（）A．若b＞0，c＞0，则α、β同取正号B．若b＜0，c＞0，则α、β同取负号C．若b＞0，c＜0，则α、β异号，且正数的绝对值小于负数的绝对值D．若b＜0，c＜0，则α、β异号，且负的一个数的绝对值较大4、因式分解(x－y)2－(y－x)应为（）A．(x－y)(x－y－1) B．(y－x)(x－y－1)C．(y－x)(y－x－1) D．(y－x)(y－x＋1)5、把多项式3m(x－y)－2(y－x)2分解因式的结果是（）A．(x－y)(3m－2x－2y) B．(x－y)(3m－2x＋2y)C．(x－y)(3m＋2x－2y) D．(y－x)(2x－2y＋3m)6、在下列各式中：①a－b=b－a；②(a－b)2=(b－a)2；③(a－b)2=－(b－a)2；④(a－b)3=(b－a)3；⑤(a－b)3=－(b－a)3；⑥(a＋b)(a－b)=(－a＋b)(－a－b).正确的等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、在分解－5x3(3a－2b)2＋(2b－3a)2时，提出公因式－(3a－2b)2后，另一个因式是（）A．5x3B．5x3＋1C．5x3－1 D．－5x38、下列各组代数式中没有公因式的是（）A．5m(a－b)与b－a B．(a＋b)2与－a－bC．mx＋y与x＋y D．－a2＋ab与a2b－ab2 9、下列各题因式分解正确的是（）A．3x2－5xy＋x=x(3x－5y)B．4x3y2－6xy3z=－2xy2(2x2－yz＋3)C．3ab(a－b)－6a(a－b)=3(a－b)(ab－2a)D．－56x3yz＋14x2y2z－21xy2z2=－7xyz(8x2－2xy＋3yz)10、把3a n＋2＋15a n－1－45a n分解因式是（）A．3(a n＋2＋5a n－1－15a n)B．3a n(a2＋5a－1－15)C．3a n－1(a3＋5－15a－1)D．3a n－1(a3＋5－15a)重 做提 示B 卷二、解答题。

因式分解-提公因式法知识点归纳1. 什么是因式分解-提公因式法？因式分解是将一个多项式写成两个或多个不可再因式分解的多项式相乘的形式。

提公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多项式中的公因式来简化多项式的表示。

2. 如何进行因式分解-提公因式法？步骤1：提取公因式首先，观察多项式中是否存在公因式，即是否有因子可以整除多项式的每一项。

如果存在公因式，将其提取出来。

例如：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)步骤2：判断多项式的可进一步因式分解性质提取公因式后，判断剩余的部分是否还可以进行进一步因式分解。

常见的因式分解性质包括二次平方差公式、差平方公式等。

例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 因式分解-提公因式法的应用因式分解-提公因式法在解决各种数学问题时广泛应用，包括但不限于以下几个方面：3.1. 简化多项式因式分解-提公因式法可以将复杂的多项式简化为更简洁的形式，从而使问题的求解更加方便。

例如：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)3.2. 解方程在解方程时，因式分解-提公因式法可以帮助我们找到方程的根。

例如：x^2 - 4 = 0通过因式分解得到：(x + 2)(x - 2) = 0解得x的值为2和-2。

3.3. 求导数在微积分中，因式分解-提公因式法常常用于求函数的导数。

例如：f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以通过因式分解-提公因式法得到导数：f'(x) = 3x^2 + 6x + 33.4. 求极限在求极限的过程中，因式分解-提公因式法可以帮助我们简化复杂的表达式，使得求解更加便利。

例如：lim(x->0) (x^2 - 4x) / x通过因式分解-提公因式法，可以将上述表达式化简为：lim(x->0) x(x - 4) / x = lim(x->0) (x - 4) = -44. 因式分解-提公因式法的重要性因式分解-提公因式法是数学中的基础操作之一，对于深入理解和解决复杂的数学问题至关重要。

第二节 提公因式法要点精讲一、提公因式法概念各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、具体方法：1．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数（最大公因数）2．如果多项式的第一项是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“一”号时，多项式的各项都要变号．相关链接提公因式法口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．典型解析1． 分解因式：2x 2﹣10x =_______．【答案】2x （x ﹣5）【解析】原式=2x （x ﹣5）．故答案是：2x （x ﹣5）． 中考案例1．（2012贵州安顺）分解因式：a 3﹣a=_________．【答案】a （a+1）（a ﹣1）【解析】解：a 3﹣a ，=a （a 2﹣1），=a （a+1）（a ﹣1）． 针对训练1．因式分解：39a a -=___________．2．分解因式8（x 2－2y 2）－x （7x ＋y ）＋xy=____________．3．因式分解：m 2﹣mn=___________．4．＝___________．22x x +-5．分解因式：2x 2+4x+2=___________．6．分解因式：a 3﹣a=___________．7．分解因式：4x 2－25＝___________．8．分解因式：___________．参考答案1．【答案】a【解析】原式＝2(9)(3)(3)a a a a a -=+-2．【答案】（x ＋4y ）（x －4y ）【解析】8（x 2－2y 2）－x （7x ＋y ）＋xy =8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy =x 2－16y 2=（x ＋4y ）（x －4y ）3．【答案】m （m ﹣n ）【解析】提取公因式m ，即可将此多项式因式分解．解：m 2﹣mn=m （m ﹣n ）．故答案为：m （m ﹣n ）．4．【答案】（x-1）（x+2）【解析】∵（-1）×2=-2，2-1=1，∴x 2+x-2=（x-1）（x+2）．故答案为：（x-1）（x+2）．5．【答案】2（x+1）2【解析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b）2．2x 2+4x+2=2（x 2+2x+1）=2（x+1）2．故答案为：2（x+1）2．6．【答案】a （a+1）（a ﹣1）【解析】解：a 3﹣a ，=a （a 2﹣1），=a （a+1）（a ﹣1）．7．【答案】（2x +5）（2x －5）【解析】4x 2－25=（2x ）2－52=（2x +5）（2x －5）8．【答案】【解析】 扩展知识分解因式技巧1．分解因式与整式乘法是互为逆变形．2．分解因式技巧掌握：（1）等式左边必须是多项式；（2）分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止．注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑． 3223-2+=x y x y xy ()2-xy x y ()()2322322-2-2-x y x y xy xy x xy y xy x y +=+=。

高中数学知识点：因式分解提取公因式知识点总结
1）提公因式。

把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来；当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数；当多项式首项符号为负时，还要提出负号。

2）用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。

由于题目形式千变万化，解题时也不能生搬硬套。

例如，有的需要先对题目适当整理变形；有的分解因式后多项式因式中有同类项的还要进行合并化简；还有的提取公因式后能用其他方法继续分解。

3）在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．
4）在提取多项式各项的公因式时，对数字系数和因式要分别进行考虑．如果是整数系数，提取它们的最大公约数；如果是分数系数，提取它们分母的最小公倍数；相同的因式应提取次数最低的．。