(最新)矢量分析与场论课后习题及答案.
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习題1 解答1.写出下列曲线的矢長方程,并说明它们規何种曲线。
(1)x=“cos/,y =bsinf(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/解:(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。
(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线,为一椭圆。
2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动,求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。
解:设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为28—希;因OM =OC + CM^r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)</4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。
2 2 , 解:曲线的矢長方程为f=ti + t j + ~( k则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dtdr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切向单位矢長为示/ I莎'= i +2八—6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L4解:曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostkdr7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1)T xy =,2)T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得⑴ C xy =,xCy =;⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1)u ax by cz=++1,2) =- u z x y 22+, 3)u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22,()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ,c e z y x =++222,2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程,可得 x c y 1=,22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入,可得 21=c ,32=c 即 x y 2=,23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程,可得 122c y x =-,x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222,求:1)u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数,2)u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α,1732323cos 222=++=β,1722322cos 222=++=γ;又有12260=+=∂∂M M xz x xu ,620-=-=∂∂M M z yu ,42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义,可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1)T xy =,2)T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得⑴ C xy =,xCy =;⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1)u ax by cz=++1,2) =- u z x y 22+, 3)u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22,()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ,c e z y x =++222,2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程,可得 x c y 1=,22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入,可得 21=c ,32=c 即 x y 2=,23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程,可得 122c y x =-,x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222,求:1)u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数,2)u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α,1732323cos 222=++=β,1722322cos 222=++=γ;又有12260=+=∂∂M M xz x xu ,620-=-=∂∂M M z yu ,42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义,可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
系别_______ _____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ _ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 05电气,06电气专升本 专 业 矢量分析与场论 课2006——2007学年度第一学期期末考试试卷 答案(A 卷)一、判断题:在每道题前的括号中划错对号。
(每题2分, 共10分)1.√二、填空题:把正确答案填到每道题的前的括号中。
(每题3分, 共30分)(1)0 (2) k j i 4128++ (3)k t t j t t t i t t t t )1610()1743()4103(647648765--++++--+-(4)k a 2 π- (5)⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎩⎪⎨⎧=++=2zxy 21y 1x 10z y -x 21y 1x 1或 (6)3100 (7))723(621k j i ++ (8)0 (9)0(10)0三、计算题(每题10分, 共30分)1.解: r rgradr = ------------------------------------------1分 dr d r2)r (f )r (f -=''⇒----------------------------7分 k z j y i x++++=222z y x 1 1ln 2)r (f ln c r +-='⇒-----------------8分)]z y x (3r [r1gradr)(div 22223++-=∴ 22)r (f -='⇒r c ----------------------9分 =r2------------------------------------------3分 413)r (f c r c +=⇒-------------10分 )r (f )gradr (div )r (f )]r (gradf [div ''+'= 43)r (f c rc+=或=)r (f )r (f r2''+'------------------------------4分 0)]r (gradf [div = 0)r (f )r (f r2=''+'∴---------------------------------5分 )r (f r2)r (f '-=''⇒)r (f r2)r (f '-='⇒dr d ---------------------------------6分2.解:△u =)53243)((3322222222--++-∂∂+∂∂+∂∂y x y x z y z x zy x ----------------------------3分=)33()324()2126(222332z y x zyz x y y x xz x -∂∂+--∂∂+++∂∂-------------7分 z y z z xy 2362624--+=-----------------------------------------------------------------10分3.解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22242420202y yz x yz z x z A D --------------------------------------------2分k j x x i yz yz A rot)00()22()44(-+-+-=∴=0-----------------------------------------------------------------------3分所以矢量场A为无旋场------------------------------------------------------------4分故为保守场,则存在数性函数)z ,y ,x (u 使得du =dl A --------------5分其中, dz )(R dy )(Q dx )P()u(zy 0x⎰⎰⎰++=x,y,z x,y,0x,0,0x,y,zdz )12(z22⎰-+=z y x ----------------------------------------------6分z222z)z (-+=z y xz z 222-+=z y x --------------------------------------------7分⎰⎰=∴B Aldl A dl A------------------------------------------------------8分⎰=BAd u --------------------------------------------------------9分(5,-1,3)(3,0,1)222z)z (-+=z y x73881=-=-------------------------------------------10分四、证明题(每题10分, 共30分)1.证明:k u j u i u gradu z y x '+'+'=--------------------3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''=∴zz zyzxyzyyyx xzxy xx u u u u u u u u u D(gradu)--------------------------6分 k )u -u (j )u -u (i )u -u ()gradu (rot xy yx zx xz yz zy''''+''''+''''=∴--------------8分 因为函数)z ,y ,x (u 有二阶的连续偏导数所以,xy yx zx xz yz zy u u u u u u ''=''''=''''='';;---------------9分 0)gradu (rot=∴-------------------------------------10分2.证明: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6-20241012A D ---------------------------3分06-42A div =+=∴----------------------------6分0)11()00()22(A rot=-+-+-=k j i -------9分所以,矢量场A为调和场。
第一章 矢量分析 练习题参考答案参考答案:1、解:(1)z y x e ˆe ˆeˆB A 427--=+ (2)103310=+-=⋅B A2、解:(1)y xy A +-=⋅∇2(2)2ˆˆx e z e A z x +=⨯∇3、解:(1)z y x e e eB A ˆ2ˆˆ-+=- (2) 60=θ4、解:(1) 12-+=⋅∇x A(2) ⎰⎰⎰+-=+-===⋅11110x y S xdxdy S d A5、解:(1)y x e ˆyu e ˆx u u ∂∂+∂∂=∇y x e ˆy e ˆx 22+= (2) 2=∇u6、解:(1) z y x P e e eˆ3ˆ2ˆ++-=∇ψ 梯度的大小:14=∇P ψ(2)梯度的方向 14ˆ3ˆ2ˆˆz y x e e en++-= 7、解:(1)2ˆ3ˆ6ˆ301021ˆˆˆz y x z y x e e ee e e B A -+-=-=⨯ (2)z y x e e eB A ˆ3ˆ2ˆ2-+=+ 8、解:(1)y A 24-=⋅∇(2)在点()1,1处 矢量 y x e e A ˆ4ˆ-=所以矢量场A 在点()1,1处的大小为()171422=-+=A 9、解(1) 21y x A ++=⋅∇(2)z x e y eyz A ˆˆ2+=⨯∇ 10、解:(1) 52122=+=A()103122=-+=B(2) z z y y x x B A B A B A B A ++=⋅()1300211=-⨯+⨯+⨯= 11、解:(1)zE y E x E E z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 0=(2)点()43,处y x e ˆeˆE 34+= ,故其大小为 53422=+=E12、解: (1) 不一定(2) 由: C A B A ⋅=⋅ 知: ()0=-⋅C B A此时当有三种可能:C B = 或 0=A 或 A 与C B -相互垂直13、解:(1)点电荷位置矢量 z y x s e e er ˆ4ˆˆ3++-= 场点位置矢量 z y x f e e er ˆ3ˆ2ˆ2+-=(2) 点电荷到场点的距离矢量 s f r r R -=z y x e e eR ˆˆ3ˆ5--= 14、解:(1)y x e yu e x u u ˆˆ∂∂+∂∂=∇y x e y e ˆ2ˆ+-= (2)梯度在正x 方向的投影 1ˆ-=⋅∇x eu15、解:(1)设直角坐标系中的坐标为()z y x ,,,由圆柱坐标系与直角坐标系转换关系得:232cos 4cos -===πϕρx 464.332sin 4sin ===πϕρy 3=z (2)任意点的位置矢量为 z y x e z e y ex r ˆˆˆ++= 将()z y x ,,的数值代入得该点的位置矢量: z y x e e er ˆ3ˆ464.3ˆ2++-= 16、解:(1)3=⋅∇A(2)矢量场A 在点()2,2,1处的大小 3=A17、解:(1)根据2cos ==⋅θAB B A3714.01385.52cos =⨯=θ 所以 12.68=θ(2)矢量A 在B 上的分量为 2=⋅=⋅B A BB A 18、解(1)直角坐标中的表达式z y x r e z e y e x r r eE ˆˆˆˆ++=== (2) 3=E19、解:(1) 0=⨯∇A(2) 矢量场A 的在点()1,1处的大小为:2=A20、证明:在直角坐标系里计算3=⋅∇r若在球坐标系里计算,则 232211()()()3r r r r r r r r r ∂∂∇⋅===∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1)Txy=,2)Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得 ⑴ Cxy =,xC y=;⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1)ua xb y cz=++1,2) =-uz xy 22+, 3)uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22,()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ,c e z y x =++222,2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程,可得 x c y 1=,22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入,可得 21=c ,32=c 即 x y 2=,23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程,可得 122c y x =-,x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222,求:1)u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数,2)u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α,1732323cos 222=++=β,1722322cos 222=++=γ;又有12260=+=∂∂MMxzx xu ,620-=-=∂∂MMzyu ,42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义,可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1)T xy =,2)T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得⑴ C xy =,xCy =;⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1)u ax by cz=++1,2) =- u z x y 22+, 3)u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22,()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ,c e z y x =++222,2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程,可得 x c y 1=,22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入,可得 21=c ,32=c 即 x y 2=,23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程,可得 122c y x =-,x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222,求:1)u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数,2)u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α,1732323cos 222=++=β,1722322cos 222=++=γ;又有12260=+=∂∂M M xz x xu ,620-=-=∂∂M M z yu ,42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义,可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。