矢量分析与场论课后答案
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第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1)T xy =,2)T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得⑴ C xy =,xCy =;⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1)u ax by cz=++1,2) =- u z x y 22+, 3)u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22,()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ,c e z y x =++222,2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程,可得 x c y 1=,22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入,可得 21=c ,32=c 即 x y 2=,23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程,可得 122c y x =-,x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222,求:1)u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数,2)u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α,1732323cos 222=++=β,1722322cos 222=++=γ;又有12260=+=∂∂M M xz x xu ,620-=-=∂∂M M z yu ,42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义,可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1)T xy =,2)T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得⑴ C xy =,xCy =;⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1)u ax by cz=++1,2) =- u z x y 22+, 3)u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22,()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ,c e z y x =++222,2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程,可得 x c y 1=,22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入,可得 21=c ,32=c 即 x y 2=,23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程,可得 122c y x =-,x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222,求:1)u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数,2)u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α,1732323cos 222=++=β,1722322cos 222=++=γ;又有12260=+=∂∂M M xz x xu ,620-=-=∂∂M M z yu ,42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义,可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
系别_______ _____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ _ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 05电气,06电气专升本 专 业 矢量分析与场论 课2006——2007学年度第一学期期末考试试卷 答案(A 卷)一、判断题:在每道题前的括号中划错对号。
(每题2分, 共10分)1.√二、填空题:把正确答案填到每道题的前的括号中。
(每题3分, 共30分)(1)0 (2) k j i 4128++ (3)k t t j t t t i t t t t )1610()1743()4103(647648765--++++--+-(4)k a 2 π- (5)⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎩⎪⎨⎧=++=2zxy 21y 1x 10z y -x 21y 1x 1或 (6)3100 (7))723(621k j i ++ (8)0 (9)0(10)0三、计算题(每题10分, 共30分)1.解: r rgradr = ------------------------------------------1分 dr d r2)r (f )r (f -=''⇒----------------------------7分 k z j y i x++++=222z y x 1 1ln 2)r (f ln c r +-='⇒-----------------8分)]z y x (3r [r1gradr)(div 22223++-=∴ 22)r (f -='⇒r c ----------------------9分 =r2------------------------------------------3分 413)r (f c r c +=⇒-------------10分 )r (f )gradr (div )r (f )]r (gradf [div ''+'= 43)r (f c rc+=或=)r (f )r (f r2''+'------------------------------4分 0)]r (gradf [div = 0)r (f )r (f r2=''+'∴---------------------------------5分 )r (f r2)r (f '-=''⇒)r (f r2)r (f '-='⇒dr d ---------------------------------6分2.解:△u =)53243)((3322222222--++-∂∂+∂∂+∂∂y x y x z y z x zy x ----------------------------3分=)33()324()2126(222332z y x zyz x y y x xz x -∂∂+--∂∂+++∂∂-------------7分 z y z z xy 2362624--+=-----------------------------------------------------------------10分3.解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22242420202y yz x yz z x z A D --------------------------------------------2分k j x x i yz yz A rot)00()22()44(-+-+-=∴=0-----------------------------------------------------------------------3分所以矢量场A为无旋场------------------------------------------------------------4分故为保守场,则存在数性函数)z ,y ,x (u 使得du =dl A --------------5分其中, dz )(R dy )(Q dx )P()u(zy 0x⎰⎰⎰++=x,y,z x,y,0x,0,0x,y,zdz )12(z22⎰-+=z y x ----------------------------------------------6分z222z)z (-+=z y xz z 222-+=z y x --------------------------------------------7分⎰⎰=∴B Aldl A dl A------------------------------------------------------8分⎰=BAd u --------------------------------------------------------9分(5,-1,3)(3,0,1)222z)z (-+=z y x73881=-=-------------------------------------------10分四、证明题(每题10分, 共30分)1.证明:k u j u i u gradu z y x '+'+'=--------------------3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''=∴zz zyzxyzyyyx xzxy xx u u u u u u u u u D(gradu)--------------------------6分 k )u -u (j )u -u (i )u -u ()gradu (rot xy yx zx xz yz zy''''+''''+''''=∴--------------8分 因为函数)z ,y ,x (u 有二阶的连续偏导数所以,xy yx zx xz yz zy u u u u u u ''=''''=''''='';;---------------9分 0)gradu (rot=∴-------------------------------------10分2.证明: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6-20241012A D ---------------------------3分06-42A div =+=∴----------------------------6分0)11()00()22(A rot=-+-+-=k j i -------9分所以,矢量场A为调和场。
第一章 矢量分析 练习题参考答案参考答案:1、解:(1)z y x e ˆe ˆeˆB A 427--=+ (2)103310=+-=⋅B A2、解:(1)y xy A +-=⋅∇2(2)2ˆˆx e z e A z x +=⨯∇3、解:(1)z y x e e eB A ˆ2ˆˆ-+=- (2) 60=θ4、解:(1) 12-+=⋅∇x A(2) ⎰⎰⎰+-=+-===⋅11110x y S xdxdy S d A5、解:(1)y x e ˆyu e ˆx u u ∂∂+∂∂=∇y x e ˆy e ˆx 22+= (2) 2=∇u6、解:(1) z y x P e e eˆ3ˆ2ˆ++-=∇ψ 梯度的大小:14=∇P ψ(2)梯度的方向 14ˆ3ˆ2ˆˆz y x e e en++-= 7、解:(1)2ˆ3ˆ6ˆ301021ˆˆˆz y x z y x e e ee e e B A -+-=-=⨯ (2)z y x e e eB A ˆ3ˆ2ˆ2-+=+ 8、解:(1)y A 24-=⋅∇(2)在点()1,1处 矢量 y x e e A ˆ4ˆ-=所以矢量场A 在点()1,1处的大小为()171422=-+=A 9、解(1) 21y x A ++=⋅∇(2)z x e y eyz A ˆˆ2+=⨯∇ 10、解:(1) 52122=+=A()103122=-+=B(2) z z y y x x B A B A B A B A ++=⋅()1300211=-⨯+⨯+⨯= 11、解:(1)zE y E x E E z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 0=(2)点()43,处y x e ˆeˆE 34+= ,故其大小为 53422=+=E12、解: (1) 不一定(2) 由: C A B A ⋅=⋅ 知: ()0=-⋅C B A此时当有三种可能:C B = 或 0=A 或 A 与C B -相互垂直13、解:(1)点电荷位置矢量 z y x s e e er ˆ4ˆˆ3++-= 场点位置矢量 z y x f e e er ˆ3ˆ2ˆ2+-=(2) 点电荷到场点的距离矢量 s f r r R -=z y x e e eR ˆˆ3ˆ5--= 14、解:(1)y x e yu e x u u ˆˆ∂∂+∂∂=∇y x e y e ˆ2ˆ+-= (2)梯度在正x 方向的投影 1ˆ-=⋅∇x eu15、解:(1)设直角坐标系中的坐标为()z y x ,,,由圆柱坐标系与直角坐标系转换关系得:232cos 4cos -===πϕρx 464.332sin 4sin ===πϕρy 3=z (2)任意点的位置矢量为 z y x e z e y ex r ˆˆˆ++= 将()z y x ,,的数值代入得该点的位置矢量: z y x e e er ˆ3ˆ464.3ˆ2++-= 16、解:(1)3=⋅∇A(2)矢量场A 在点()2,2,1处的大小 3=A17、解:(1)根据2cos ==⋅θAB B A3714.01385.52cos =⨯=θ 所以 12.68=θ(2)矢量A 在B 上的分量为 2=⋅=⋅B A BB A 18、解(1)直角坐标中的表达式z y x r e z e y e x r r eE ˆˆˆˆ++=== (2) 3=E19、解:(1) 0=⨯∇A(2) 矢量场A 的在点()1,1处的大小为:2=A20、证明:在直角坐标系里计算3=⋅∇r若在球坐标系里计算,则 232211()()()3r r r r r r r r r ∂∂∇⋅===∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1)Txy=,2)Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得 ⑴ Cxy =,xC y=;⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1)ua xb y cz=++1,2) =-uz xy 22+, 3)uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22,()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ,c e z y x =++222,2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程,可得 x c y 1=,22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入,可得 21=c ,32=c 即 x y 2=,23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程,可得 122c y x =-,x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222,求:1)u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数,2)u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α,1732323cos 222=++=β,1722322cos 222=++=γ;又有12260=+=∂∂MMxzx xu ,620-=-=∂∂MMzyu ,42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义,可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1)T xy =,2)T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得⑴ C xy =,xCy =;⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1)u ax by cz=++1,2) =- u z x y 22+, 3)u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22,()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ,c e z y x =++222,2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程,可得 x c y 1=,22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入,可得 21=c ,32=c 即 x y 2=,23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义,可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程,可得 122c y x =-,x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222,求:1)u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数,2)u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α,1732323cos 222=++=β,1722322cos 222=++=γ;又有12260=+=∂∂M M xz x xu ,620-=-=∂∂M M z yu ,42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义,可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论习题11(写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。
1 xatybt,,cos,sin,,2 xtytzt,,,3sin,4sin,3cos,,1解: ,其图形是平面上之椭圆。
ratibtj,,cossinxOy,,,其图形是平面与圆柱面rtitjtk,,,3sin4sin3cos430xy,,2,,222xz,,3之交线,为一椭圆。
2234(求曲线x,t,y,t,z,t的一个切向单位矢量。
,3223,,,rtitjtk解:曲线的矢量方程为 3dr2,i,2tj,2tk则其切向矢量为 dtdr242||,1,4t,4t,1,2t 模为 dt2drdri,2tj,2tk/||,于是切向单位矢量为 2dtdt1,2t,2t,6(求曲线在处的一个切向矢量。
xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4 2ratiatjatk,,,sinsin2cos解:曲线矢量方程为dr,,,,,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为 dt,d2rt,在处, ,,,,aiak,4t,4d2t22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t,1,y,4t,3,z,2t,6t 法平面方程。
22r,(t,1)i,(4t,3)j,(2t,6t)k,M(5,5,,4),解:由题意得曲线矢量方程为dr在的点M处,切向矢量 t,2,,,[2ti,4j,(4t,6)k],4i,4j,2kt,2dtt,2 y,5y,5x,5z,4x,5z,4于是切线方程为 ,,,即,,442221于是法平面方程为,即 2(x,5),2(y,5),(z,4),02x,2y,z,16,0238(求曲线上的这样的点,使该点的切线平行于平面。
xyz,,,24rtitjtk,,,dr2解:曲线切向矢量为, ? ,,,,,23itjtkdt平面的法矢量为,由题知 nijk,,,222 ,,,,,,,niktt,,itjtk2302j,,,143,,,,1t,,,1,得。
将此依次代入?式,得3111|,|11t,,,,,i,j,k,,,i,j,k t,,39273111,,,,,,1,11,,,故所求点为,,,,3927,,习题21(说出下列数量场所在的空间区域,并求出其等值面。
11 u,;,,AxByCzD,,,z2,sinuarc ,,22,xy1AxByCzD,,,,0解:场所在的空间区域是除外的空间。
,,等值面为11,C或Ax,By,Cz,D,,0,这是与平(C,0为任意常数)11Ax,By,Cz,DC1面平行的空间。
AxByCzD,,,,02222场所在的空间区域是除原点以外的的点所组成的空间部分。
,,zxy,,222222等值面为, z,(x,y)sinc,(x,y,0)当时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外); sin0c,当时,是除原点外的平面。
sin0c,xOy22xy,M1,1,2u,2(求数量场经过点的等值面方程。
,,zM1,1,2解:经过点等值面方程为,,2222xy,,11u,,,1, z222即,是除去原点的旋转抛物面。
zxy,,(已知数量场,求场中与直线相切的等值线方程。
3xy,,,240uxy,xy, 解:设切点为,等值面方程为,因相切,则斜率为 xycxy,,,,0000y10k,,,, ,即 x,2y00x20xy,点在所给直线上,有,,00xy,,,24000解之得yx,,1,2 00xy,2故2224(求矢量的矢量线方程。
Axyixyjzyk,,,解矢量线满足的微分方程为 Adr,,0,dxdydz 或,, 222xyxyzydxdzxdx,ydy,,.有 xz22,x,y,C,1解之得 (C,C为任意常数),12z,Cx2,225.求矢量场通过点的矢量线方程。
(2,1,1)MA,xi,yj,(x,y)zk dxdydz,,.解矢量线满足的微分方程为 22x,yzxy()dxdy11由, ,得,,C122xyxy()dx,ydzd(x,y)dz,,按等比定理有即解得 ,.x,y,Cz.222(x,y)zx,yx,yz11,,,,C1,1xy故矢量线方程为又求得 C,,,C,1M(2,1,1),122,x,y,Cz2,111,,,,xy2.故所求矢量线方程为 ,,x,y,z,习题323224M2,0,1, 1(求数量场在点处沿的方uxzyz,,2,,lxixyjzk,,,23向导数。
24lxixyjzkik,,,,,2343解:因,其方向余弦为,,MM43cos,,,cos,,0,cos,,. 55,u,u,u3222M(2,0,,1)在点处有 ,2xz,,4,,4yz,0,,3xz,2y,12,,x,y,z,u43,,(,4),0,0,,12,4所以 ,l552223M1,1,1,t2(求数量场在点处沿曲线朝uxzxyz,,,3,,xtytzt,,,,,, 增大一方的方向导数。
u解:所求方向导数,等于函数在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点M所对应的参数为,从而在点M处沿所取方向,曲线的切向方向导数为t,1 dydxdz2, ,1,,,2t,,2,,3t,3t,1t,1dtdtdtMMM123其方向余弦为 cos,,,cos,,,,cos,,.141414,u,u,u2,(6xz,y),7,,,x,,1,,(3x,2z),5又。
MMM,x,y,zMMM于是所求方向导数为,u,u,u,u1,2324,(cos,cos,cos),7,,(,1),,5,,,,,lxyz,,,,14141414MM23M2,1,1,3(求数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大, ,,uxyz,,u0解: 因,,,grad grad cos,, ulu,,,l,,0当时,方向导数最大。
,u,u,ugrad u,(i,j,k)M,x,y,zM32322,(2xyzi,xzj,3xyzk),,4i,4j,12k,Mgrad u,,4i,4j,12k即函数沿梯度方向的方向导数最大 uM最大值为。
grad u,176,411M13122u,(x,y)u,0,,1,,24.画出平面场中的等值线,并画出场在与点M(2,2)1222处的梯度矢量,看其是否符合下面事实: M(3,7)2(1)梯度在等值线较密处的模较大,在较稀处的模较小;u(2)在每一点处,梯度垂直于该点的等值线,并指向增大的方向。
2222x,y,0,x,y,1,2222x,y,2,x,y,3,解:所述等值线的方程为:其中第一个又可以写为22x,y,4,Oxx,y,0,x,y,0为二直线,其余的都是以轴为实轴的等轴双曲线(如下图,图中 G,grad u,1M1) G,grad u,2M2由于 grad u,xi,yj,故grad u,2i,2j,M1grad u,3i,7j,M2由图可见,其图形都符合所论之事实。
P1,2,35(用以下二法求数量场在点处沿其矢径方向的方向导数。
uxyyzzx,,,,,1 直接应用方向导数公式; ,,2 作为梯度在该方向上的投影。
,,1r,14.解:点P的矢径其模其方向余弦为 r,i,2j,3k,,,123又 cos,,,cos,,,cos,,.141414,u,u,u,(y,z),5,,(x,z),4,,(x,y),3 PPP,x,y,zPPP,,,,uuuu,(cos,cos,cos),,,,,,,,lxyzPP所以123225,,4,,3,,。
14141414,u,u,u2grad u,(i,j,k),5i,4j,3k, ,,P,x,y,zPr1230r,,i,j,k. r141414,u123220,grad u,r,5,,4,,3,,。
故 P,l14141414P222 6,求数量场在点与点O(0,0,0)A(1,1,1)u,x,2y,3z,xy,3x,2y,6z处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0, 解: grad u,(2x,y,3)i,(4y,x,2)j,(6z,6)k,grad u,3i,2j,6k,grad u,6i,3j,0k, OA222222其模依次为: 3,(,2),(,6),7,6,3,0,35326grad u于是的方向余弦为 cos,,,cos,,,,cos,,,.O77721grad u的方向余弦为 cos,,,cos,,,cos,,0.A552x,y,3,0,,,求使之点,即求坐标满足之点,由此解得grad u,04y,x,2,0,,,6z,6,0,故所求之点为 x,,2,y,1,z,1(,2,1,1).27(通过梯度求曲面上一点处的法线方程。
M(1,,2,3)xy,2xz,42解:所给曲面可视为数量场的一张等值面,因此,场在点 uu,xy,2xz处的梯度,就是曲面在该点的法矢量,即 M2 grad u,(2xy,2z)i,xj,2xk,2i,j,2k,MMx,1y,2z,3,,.故所求的法线方程为 212习题 42222r,xi,yj,zk1.设S为上半球面求矢量场向上穿过S的通量x,y,z,a(z,0),。
【提示:注意S的法矢量n与r同指向】 ,解:23,,r,dS,rdS,rdS,adS,a,2,a,2,a.n,,,,,,,,SSSS2222v,(x,y,z)k2.设S为曲面求流速场在单位时间内下x,y,z,a(0,z,h), 侧穿S的流量Q。
22Q,(x,y,z)dxdy,,(x,y,x,y)dxdy,解: 其中D为S在xOy面上的,,,, SD222Q,,(rcos,,rsin,,r)rdrd,投影区域:用极坐标计算,有 x,y,h.,,D32,2h2,hh12232,,,d(rcos,,rsin,,r)dr,,[(cos,,sin,),]d,,,,h.,,,000342223.设S是锥面z,x,y在平面z,4的下方部分,求矢量场向A,4xzi,yzj,3zk下穿出S的通量。
,解:略4.求下面矢量场A的散度。
323(1) A,(x,yz)i,(y,xz)j,(z,xy)k;(2) A,(2z,3y)i,(3x,z)j,(y,2x)k;(3)A,(1,ysinx)i,(xcosy,y)j.22解:(1) div A,3x,2y,3zdiv A,0(2)div A,ycosx,xsiny,1(3)333div A5.求在给定点处的值:(1) A,xi,yj,zk在点M(1,0,,1)处;2(2) A,4xi,2xyj,zk在点M(1,1,3)处;(3) A,xyzr(r,xi,yj,zk)在点M(1,3,2)处;222div A,(3x,3y,3z),6解:(1) MMdiv A,(4,2x,2z),8(2) MMdiv A,xyzdiv r,grad(xyz),r,3xyz,(yzi,xzj,xyk),(xi,yj,zk)(3) div A,6xyz,36,6xyz,故。