矢量分析与场论课后习题及答案.

第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。

1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。

解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。

第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。

1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。

解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。

矢量基本概念1. 矢性函数的导数：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的导数 p6 (2.3)()()()()x y z d AA t A t i A t j A t k dt''''==++ 几何意义：其方向为t 增大的矢端曲线切线方向 p82. 矢性函数的微分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的微分 p8 ( 2.5)()()()()x y z x y z d A A t dt A t idt A t jdt A t kdtdA i dA j dA k''''==++=++几何意义：同矢端曲线相切，dt>0时与导矢方向一致，dt<0时与导矢方向相反3. 矢性函数对其矢段曲线弧长的导数d rds：单位切向矢量，指向s 增大一方 p10弧长微分ds =矢性函数微分的模等于其矢段曲线弧长微分的绝对值 dr ds = p9 (2.8) 通常定义弧长s 增大的方向与t 增大的方向一致(默认的矢段曲线正向)4. 矢性函数的积分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的积分 注意分部积分公式p17 (3.9)5.圆函数：，相互垂直矢量复习题1.ds d dt dt=r d d ds ds dt dt dt dt===r r 2.矢性函数()k j i r 4sin 3cos 3,,++=t t z y x 对弧长s 的导数d d s=r？ p10例5d d dt d dtds ds dt d dt==r r r r d dt ti t j k 3sin 3cos 4=-++r ，d dt 5=r 3. ()t A 与d d tA互相垂直，则=A ? p13例7习题1.1 下列参数方程对应的矢量方程(矢径)？（1）a t b cos sint =+r i j ，椭圆x y a b 22221+=（2）4sint 3sint 4cost =++r i j k 椭圆 4x-3y=0平面 , x z 229+=圆柱习题1.2 矢量的叠加 ， OM OC CM =+习题1.6 计算切向矢量(d r dt)习题1.7曲线r 的切向矢量应与平面法向矢量垂直dri t j t k dtτ==++223，n i j k =++2 n t t τ•=++=21430得到t =-1，t =-13，因此x=.. y=.. z=..习题1.8通过两个矢量的点乘(投影)结果判断它们的夹角 螺旋线的切向矢量sin cos ()dra i a j bk ae bk d τθθθθ==-++=+1 模a b τ=+2τ向z 轴的投影cos k b ττα•==场论基本概念数量场(标量场)等值面或（等值线）互不相交，疏密程度表明了数量场的变化速度 如何求等值面方程？矢量场矢量线：线上某点的矢量A 与矢量线相切 矢量面，矢量管矢量线与矢段曲线的区别如何求矢量线方程？矢量场x y z A A i A j A k =++,其矢量线上任意点M 的矢径为r xi y j zk =++，其微分dr dxi dy j dzk =++，d r 与矢量线相切，即d r 与M 点的矢量A 方向相同y x zA A A dx dy dz== 矢量线微分方程p24 (1.5) 任意选择其中两个方程构成方程组，通过不定积分进行求解（结果中含有常数），再将M 点xyz 坐标代入，确定常数。

习题1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

()1x a t y b t cos ,sin ==()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解：解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。

平面上之椭圆。

()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。

之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。

解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC q Ð=，CM 与x 轴的夹角为2q p -；因OM OC CM =+有()()r xi yj a i a j a i a j q q q p q p 2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+-则.2sin sin 2,2cos cos 2q q q q a a y a a x -=-=故j a a i a a r )2sin sin2()2cos cos 2(q q q q -+-= 4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量t 。

解：曲线的矢量方程为k t j t ti r3232++=则其切向矢量为k t tj i dtdr 222++=模为24221441||t t t dtdr +=++=于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i d td r d td r+++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin2,cos ,===在t p4=处的一个切向矢量。

解：曲线矢量方程为解：曲线矢量方程为 ra ti a tj a tk 2sin sin2cos =++p r tpd 2d2dtdr ]--+-dr 127933x y22+xy 1122211dy dx --1M¶¶¶¶dtdzdtdydtdx 141414))¶¶¶¶¶¶zx yu x u 14141414)-¶¶¶¶¶lu grad ¶))¶¶¶u 11176)2)72714141414))¶¶¶¶¶¶z uy u x u 。

第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。

1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。

解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。

第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。

1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。

解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。

矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。

()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。

4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。

解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。

解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d 2d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。

解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。