《矢量分析与场论》

矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。

而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。

通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。

第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。

然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。

如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。

变矢量是矢量分析研究的重要对象。

本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。

§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。

1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。

在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。

即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。

本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。

这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。

同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。

《矢量分析与场论》课程教学大纲课程名称：矢量分析与场论课程类别：专业选修课适用专业：物理学考核方式：考查总学时、学分：32 学时 2 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标《矢量分析与场论》是物理专业开设的一门专业选修课。

本课程是多元函数微积分的深入与继续，它的基本概念、理论和方法，具有较强的逻辑性、抽象性和实用性。

通过本课程的学习，使学生掌握场的基本知识、基本理论、基本运算及其分析应用方法，同时可培养学生的抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。

根据本课程应用范围广的特点，能初步应用所学的知识解决有关的问题。

该课程主要包括矢量分析和场论两大块基本内容，是学生学习《电动力学》、《量子力学》、《热力学统计物理学》等专业核心课的必备基础，《计算物理》、《固体物理》等专业拓展课程的重要基础。

其具体的课程教学目标为：课程教学目标1：掌握场的概念，掌握数量场的方向导数与梯度、矢量场的通量与散度、环量与旋度的概念和计算式，掌握几种特殊场的概念和性质，会计算物理中相应的数学问题。

课程教学目标2：深刻理解哈密顿算子的定义和基本性质，并能与梯度、散度和旋度的求解联系起来，熟悉用哈密顿算子表示场论中的公式。

课程教学目标3：了解曲线坐标系的概念，理解正交曲线坐标系中的梯度、散度和旋度的作用及其在物理中的应用，让学生感受数学工具在物理学中的重要地位。

课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H:表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。

二、课程教学要求本课程是多元微积分学的延伸，与高等数学、线性代数、复变函数等课程具有密切的关系，它是物理专业的技术基础课程及工具课程，通过本课程的学习，使学生掌握矢量分析与场论方面的有关知识及基本方法，为《电动力学》、《量子力学》、《热力学统计物理学》等后续课程奠定良好的数理基础。

三、先修课程高等数学（一）、高等数学（二）四、课程教学重、难点重点：矢性函数的导数、不定积分、定积分，数量场的等值面的求法，数量场的方向导数和梯度的计算，矢量场的通量、散度、旋度的计算，有势场、管形场、调和场的求法。

矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。

证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。

证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。

第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。

无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。

物理量数值的无穷集合称为场。

如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。

场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。

如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。

本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。

1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。

一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。

实际上，所有实数都是标量。

一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。

例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。

一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。

在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。

空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。

从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。

矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。

矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。

场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。

本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。

矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。

在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。

在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。

通常将矢量用粗体字母如A表示。

矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。

矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。

在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。

矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。

两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。

点积还满足交换律和分配律。

矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。

《矢量分析与场论》知识点归纳一、内容概览首先矢量，是这本书的基础。

它代表的是有大小又有方向的量，像是速度、力等物理量。

书中会详细介绍矢量的各种运算，比如加法、减法、数乘等，还有矢量的几何意义和代数意义。

接下来向量场和标量场是本书的重点之一，向量场可以理解为空间中每个点都有一个矢量，而标量场则是每个点都有一个数值。

这两个概念在物理和工程中有广泛应用，比如风的速度和方向就可以形成一个向量场。

此外书中还会涉及到一些更高级的概念，如矢量函数、矢量场的积分和微分等。

这些内容在物理学、工程学等领域都有着重要的应用。

《矢量分析与场论》是一本帮助我们理解矢量与场论基础知识的书籍。

无论你是数学爱好者，还是物理或工程专业的学子，都可以从中受益匪浅。

让我们一起期待书中更多精彩内容吧！二、矢量基础知识矢量分析与场论，听起来好像很高大上，但其实它就在我们身边，矢量基础知识就是它的基石。

咱们先来聊聊矢量的基本概念。

想象一下我们在谈论一个既有大小又有方向的东西，比如风的速度、水流的方向等。

这时候就需要用到矢量了，矢量就像一个有箭头的线段，箭头表示方向，线段的长度表示大小。

像速度、加速度、力这些我们生活中经常遇到的物理量，都可以看作是矢量。

接下来我们要了解矢量的基本运算，矢量的加减就像我们平时处理数字一样简单，只要对应着加上或减去就可以了。

但是要注意，矢量有方向性，所以我们要沿着正确的方向去加或减。

还有矢量的模，那就是矢量的长度，也就是大小。

这些基础概念了解清楚了之后，咱们就能更好地理解矢量分析的一些内容了。

知道了矢量的基本概念和运算后，我们再来说说场论中矢量的一些重要概念和应用场景。

记住哦矢量基础知识虽然听起来有点复杂，但其实它并不神秘，只要我们掌握了这些基础内容，理解矢量分析与场论就不再是难题了！1. 矢量的定义和性质首先我们来聊聊矢量的定义和性质，矢量简单来说，就是既有大小又有方向的量。

想象一下我们在谈论速度时，不只是说“快”或“慢”，还要指明是往哪个方向。

矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。

而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。

通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。

第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。

与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。

2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。

3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。

如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。

这一点在几何和力学上都很重要。

4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。

因此单位矢量与其导矢互相垂直。

比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。

（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。