用向量方法求空间角与距离

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- .word.zl 空间向量的应用----求空间角与距离

一、考点梳理

1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考察常规解题方法的同时，更多地关注向量法〔基向量法、坐标法〕在解题中的应用。坐标法〔法向量的应用〕，以其问题〔数量关系：空间角、空间距离〕处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续表达法向量的应用价值。

2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：

1)求直线和直线所成的角

假设直线AB、CD所成的角是，cos=|,cos|CDAB||||||CDABCDAB•

2).利用法向量求线面角

设为直线l与平面所成的角，为直线l的方向向量v与平面的法向量n之间的夹角，那么有2或2。

特别地0时， 2，l；2时，0，l或l。计算公式为：

||sincos||||vnvn或||sinsin()cos(0)2||||||||vnvnvnvnvn

3).利用法向量求二面角

设1n、2n分别为平面、的法向量，二面角l的大小为，向量1n、2n的夹角为，那么有或。. -

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专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离

一、考纲要求

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

二、考点梳理

考点一 异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

a与b的夹角β l1与l2所成的角θ

范围 (0，π) 0，π2

求法 cos β＝a·b|a||b| cos θ＝|cos β|＝|a·b||a||b|

考点二 求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.

考点三 求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB→，CD→〉.

(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

【特别提醒】

1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.

2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.

三、题型分析

例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为( )

A.3－225 B.2－26

C.12 D.32

【答案】A

【解析】因为BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→

案例解读　

向量进入高中教材以来．为立　体几何增添了活力．向量所带来的　新思想、新方法不断涌现．本文运　用向量方法简捷地解决一些立体几　何的问题．　一、空间角问题　１．求两异面直线的夹角　设异面直线ａ、ｂ的夹角为　０（０。＜０≤９０ｏ），ａ、ｂ分别为ａ，ｂ的一　个方向向量。则ｃ０８０－－ｃｏｓ＜ｉ。　：　１），Ｍ（０，１，　１）．　因此Ｉ赢Ｉ；（１，１，０），ｐ－ｇ；（０，２，　－１），　故ｌ疵ｌ＝　。ｌ菇ｌ＝　，　．ｐ－ｇ：２，所以ｃ０ｓ＜　。菇＞：　龋ＡＣ＝孚．Ｉ　ｌ－ｌＰＢｆ　５　’　２．求二面角　设　、：分别是平面　与Ｂ的法　旆・龇球　，Ｊ、＿　‘Ｐ　虮月ｃ０　＜　，　例１　已知四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的　底面为直角梯形。ＡＢ∥Ｄｃ。　／＿ＤＡＢ＝９０ｏ，ＰＡ上底面ＡＢＣＤ，且　ＰＡ＝ＡＤ＝ＤＣ＝－￣－ＡＢ＝１．Ｍ　ＰＢ的　中点球ＡＣ与ＰＢ所成的角　解：因为ＰＡ上ＡＤ。ＰＡ上ＡＢ。　ＡＤ上ＡＢ，所以以Ａ为坐标原点、　ＡＤ长为单位长度建立如图所示的　空间直角坐标系．则各点坐标为Ａ　（０，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｃ（１，　１。０）。Ｄ（１，０。０）。Ｐ（０。０。　荫籼　觚觥　平面角０：丌一‘Ｐ或０：‘Ｐ。其中当　与　同向时取ｅ＝１Ｔ一‘ｐ；异向时取０：‘ｐ．　例２如右下图．在长方体　ＡＢＣＤ—ＡｌＢｌＣ１Ｄｌ中，已知ＡＢ＝４，　ＡＤ＝３。ＡＡｌ＝２，Ｅ。Ｆ分别是线段　ＡＢ．ＢＣ上的点．且ＥＢ＝ＦＢ＝Ｌ求　＝面角Ｃ—ＥＤ—Ｃ　的正切值．　Ｄ１　Ｃ１　解：以Ａ为原点。蕊、　、　分别为ｘ轴、Ｙ轴、ｚ轴的正向　建立空间直角坐标系，则有Ｄ（０，　３。０）、Ｄ１（０。３。２）、Ｅ（３。０，　０）、Ｆ（４，１，０）、Ｃｌ（４，３，２）　于是，疏＝（３，一３，０），耐＝　（１，３。２），ＡＡ　＝（０。０。２）　设向量ｎ＝（ｘ。Ｙ。ｚ）与平面　Ｃ　ＤＥ垂直。则有　上魂１　３　；上耐尸ｘ＋３ｙ＋２　１　，　｝　告　Ｊ　．－．二＝（一号。一号。ｚ）＝号（一１，一１。２）　其中ｚ＞０，取　＝（一１，一１，２），则　是一个与平面Ｃ，ＤＥ垂直的向量．　・．・向量，　（０。０，２）与平面ＣＤＥ垂直。　．・．＿＋ｎｏ与　所成的角０为二面角Ｃ—　ＤＥ　Ｃ。的平面角　・・＿ｃ０ｓ　一ｌｘ０—１ｘ０＋２ｘ２　￣ｏ＋Ｃ６７６￣一　ｔａｎｅ＝　二、空间距离问题　：　互　３　构成空间的点、线、面之间有　七种距离．这里着重介绍点面距离　ｃ　的求法，像异面直线间的距离、线　面距离、面面距离都可化为点面距　离来求．　广东教育・教研

专题 利用法向量求空间角和距离

（一）如何求法向量

1.法向量：在空间几何中，如果一个向量所在直线垂直于一个平面，我们就说该向量是这个平面的一个法向量，平面α的法向量n是求线线角，线面角，面面角和点到平面距离的必备工具，那么如何求一个平面的法向量呢？

2.方法：由n⊥α可知，要求法向量n，只需在平面α上找出两个不共线向量a,b，通过解方程组 a·n=0b·n=0 得到，需注意的是平面α的法向量不是唯一的，一般取一个研究即可.有时也可先证明某一条直线是平面的垂线，在平面的垂线上取一个向量即为法向量.

3.例题

例1 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0.

例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900,侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，建立适当的空间直角坐标系，求平面ABD的法向量及平面AED的法向量.

小结：

动手试试：

已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GD=2，建立适当的空间直角坐标系，求平面EFG的法向量.

（二）利用向量法求空间角

1.求线线角的大小

结论1：异面直线a与b所成角为θ，且A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,则cosθ=|AB → ·CD →

|AB → ||CD → | |.

例3.在正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2，高为1，求异面直线BE与VA所成的角.

小结：

2.求线面角的大小

结论2：设θ为直线l与平面α所成的角，m为l的方向向量，n为平面α的法向量，则有

sinθ=|m·n|m||n| |.

例4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，求AB1与侧面ACC1A1所成的角的余弦值.

小结：

3.求二面角的大小