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第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。
矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。
相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。
显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。
我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。
其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。
5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导竭诚为您提供优质文档/双击可除第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导篇一：第十二章习题答案new1、分析电子衍射与x衍射有何异同？答：相同点：①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。
②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。
不同点：①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。
而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2?。
②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。
④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。
2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。
关系：①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c。
⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。
3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
证：如图，以入射x射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心o处，入射线经试样与球相交于o*；以o*为倒易原点，若任一倒易点g落在厄瓦尔德球面上，则g对应的晶面满足衍射条件产生衍射。
材料研究方法试题库第一章一、选择题1.用来进行晶体结构分析的X射线学分支是（）A.X射线透射学；B.X射线衍射学；C.X射线光谱学；D.其它2. M层电子回迁到K层后，多余的能量放出的特征X射线称（）A.Kα；B. Kβ；C. Kγ；D. Lα。
3. 当X射线发生装置是Cu靶，滤波片应选（）A．Cu；B. Fe；C. Ni；D. Mo。
4. 当电子把所有能量都转换为X射线时，该X 射线波长称（）A.短波限λ0；B. 激发限λk；C. 吸收限；D. 特征X射线5.当X射线将某物质原子的K层电子打出去23生、、、、、、、。
3. 经过厚度为H的物质后，X射线的强度为。
4. X射线的本质既是也是，具有性。
5. 短波长的X射线称，常用于；长波长的X射线称，常用于。
习题1.X射线学有几个分支？每个分支的研究对象是什么？2.分析下列荧光辐射产生的可能性，为什么？（1）用CuKαX射线激发CuKα荧光辐射；（2）用CuKβX射线激发CuKα荧光辐射；45（3）用CuK αX 射线激发CuL α荧光辐射。
3. 什么叫“相干散射”、“非相干散射”、“荧光辐射”、“吸收限”、“俄歇效应”、“发射谱”、“吸收谱”？4. X 射线的本质是什么？它与可见光、紫外线等电磁波的主要区别何在？用哪些物理量描述它？5. 产生X 射线需具备什么条件？6. Ⅹ射线具有波粒二象性，其微粒性和波动性分别表现在哪些现象中？7. 计算当管电压为50 kv 时，电子在与靶碰撞时的速度与动能以及所发射的连续谱的短波限和光子的最大动能。
8. 特征X 射线与荧光X 射线的产生机理有何异同？某物质的K 系荧光X 射线波长是否等于它的K 系特征X 射线波长？9. 连续谱是怎样产生的？其短波限V eV hc 301024.1⨯==λ与某物质的吸收限k k k V eV hc 31024.1⨯==λ有何不同（V 和V K 以kv为单位）？10. Ⅹ射线与物质有哪些相互作用？规律如何？对x 射线分析有何影响？反冲电子、光电子和俄歇电子有何不同？11.试计算当管压为50kv时，Ⅹ射线管中电子击靶时的速度和动能，以及所发射的连续谱的短波限和光子的最大能量是多少？12.为什么会出现吸收限？K吸收限为什么只有一个而L吸收限有三个？当激发X系荧光Ⅹ射线时，能否伴生L系？当L系激发时能否伴生K系？13.已知钼的λKα＝0.71Å，铁的λKα＝1.93Å及钴的λKα＝1.79Å，试求光子的频率和能量。
画出倒易点阵的例题
倒易点阵是一种艺术绘画形式，它通过绘制一系列的点来形成图像。
与传统的点阵绘画相反，倒易点阵是从图像的负片开始绘制的，即将图像的亮度和颜色取反，以达到独特的效果。
下面是一个倒易点阵的例题，我们将使用铅笔绘制一个简单的风景图。
步骤1: 准备绘画材料，包括铅笔、纸张和橡皮擦。
步骤2: 选择一个简单的风景图作为参考，例如一棵树和一片草地。
步骤3: 将纸张分成一个个小方格，每个方格大小根据你的喜好来决定。
方格的大小将决定你绘制的图像的细节程度。
步骤4: 从图像的底部开始，观察每个方格内的图像，然后用铅笔在相应的位置上绘制一个点。
对于较亮的部分，可以使用浅色铅笔，对于较暗的部分，可以使用深色铅笔。
步骤5: 逐个方格绘制点，直到完成整幅图像。
记得要注意绘制图像的倒置，即将亮色转换成暗色，暗色转换成亮色。
步骤6: 完成绘制后，用橡皮擦除掉纸上的方格线条，使整幅图像看
起来更加清晰。
这是一个简单的倒易点阵绘画例题，通过绘制一系列的点来还原图像。
倒易点阵绘画不仅能够锻炼我们的观察力和绘图技巧，还能够给人一种独特的艺术体验。
你可以尝试绘制更复杂的图像，添加更多的细节，挑战自己的绘画能力。
无论是初学者还是有经验的艺术家，倒易点阵都是一个有趣且有创造力的绘画方式。
倒易点阵习题集例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，()12aa x y z =+- ()22aa x y z =-++ ()32aa x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，,,xy z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。
初基晶胞体积()31231 2c V a a a a =??=根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ==?=? ()212322222222c x y zV a a a a b a a xy a a a π=?=-=+- ()223122222222c xy z V a a a a b a a yz a a a π=?=-=+- ()23122222c xy zV a a a a b a a zx a a a π=?=-=+-于是有：()()()123222,,b x y b y z b z x a a aπππ=+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．同理，对面心立方点阵写出初基矢量()1??2aa x y =+ ()2??2aa y z =+ ()3??2aa z x =+ 如图1.10所示。
初基晶胞体积()312314c V a a a a =??=。
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量()()()123222,,b x y z b x y z b x y z a a aπππ=+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()32/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．(a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ??，现计算()123b bb ??．由式(2．1)知，123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ==?=? 此处()123c V a a a =?? 而()()()(){}222331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ==??- ?这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D =??-?。
例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，()1ˆˆˆ2aa x y z =+- ()2ˆˆˆ2aa x y z =-++ ()3ˆˆˆ2aa x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，ˆˆˆ,,xy z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。
初基晶胞体积()312312c V a a a a =⋅⨯=根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ ()2123ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV a a a a b a a xy a a a π=⨯=-=+- ()2231ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV aa a ab a a yz a a a π=⨯=-=+- ()2312ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV aa a ab a a zx a a a π=⨯=-=+-于是有：()()()123222ˆˆˆˆˆˆ,,b x y b y z b z x a a aπππ=+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．同理，对面心立方点阵写出初基矢量()1ˆˆ2aa x y =+ ()2ˆˆ2aa y z =+ ()3ˆˆ2aa z x =+ 如图1.10所示。
初基晶胞体积()312314c V a a a a =⋅⨯=。
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量()()()123222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,b x y z b x y z b x y z a a aπππ=+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()32/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．[证明](a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ⋅⨯，现计算()123b b b ⋅⨯．由式(2．1)知，123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ 此处()123c V a a a =⋅⨯ 而()()()(){}222331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D ⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
由于()3110a a a ⨯⋅=，故有()22331212c b b a a a a V π⎛⎫⨯=⨯⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭而()312c V a a a =⨯⋅ 故有22312c b b a V π⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭()()()()()233123111232222cccb b b a b a a a V V V πππ⋅⨯=⋅=⋅⨯=或写成()()()31231232b b b a a a π⋅⨯=⋅⨯倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的()32π倍。
(b) 现要证明晶体点阵初基矢量123,,a a a 满足关系()()()2331121231231231232,2,2b b b b b b a a a b b b b b b b b b πππ⨯⨯⨯===⋅⨯⋅⨯⋅⨯有前面知：()22312cb b a V π⨯=令()()()223111231232122c b b c a b b b V b b b πππ⎡⎤⨯==⎢⎥⋅⨯⋅⨯⎢⎥⎣⎦又知 ()()312312cb b b V π⋅⨯=，代入上式得：()()3111322c cV c a a V ππ⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦同理 ()31221232b b c a b b b π⨯==⋅⨯()12331232b b c a b b b π⨯==⋅⨯可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．2．3 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易点阵矢量()123G hkl hb kb lb =++垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离d (hkl)为：()()2d hkl G hkl π=(c) 证明对初基矢量123,,a a a 互相正交的晶体点阵，有()d hkl =(d) 证明对简单立方点阵有()d hkl =证明(a) 参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC 在三个晶轴上的截距分别是123,,a h a k a ． 现要证明G(hkl)垂直于ABC ，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC 上的两个矢量CA 和CB 即可．31a a CA h l =-，32a a CB k l=- 用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得()()3311123130a a a a G hkl CA hb kb lb hb lb h l h l ⎛⎫⋅=++⋅-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭同理，()0G hkl CB ⋅=故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)． (b) 点阵平面(hkl)的面间距d (hkl)为()()()()()123112ˆG hkl hb kb lb a a d hkl OA nh h G hkl G hkl G hkl π++=⋅=⋅=⋅=(c) 如果晶体点阵的初基矢量123,,a a a 彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交．设 112233ˆˆˆ,,b b xb b y b b z === 由倒易点阵基矢的定义()()()123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ 及 123c V a a a =得1122332,2,2b a b a b a πππ===()()()()()222222222212322212312322h k l h k l G hkl hb kb lb a a a a a a π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是面间距为()()2221232d hkl G hkl h k l a a a π==⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(d) 对立方晶系中的简单立方点阵，123a a a a ===，用(c)的结果可得()222d hkl h k l=++2．4 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长AB ＝4，AC =3，夹角BAC ＝3π的平行四边形ABCD 重复而成，试求倒易点阵的初基矢量．[解] 解法之一参看图2．4，晶体点阵初基矢量为1ˆ4a x= 2333ˆˆ2a x y =+用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量12,b b 。
设111222ˆˆˆˆ,x y x y b b xb y b b x b y =+=+ 由111221222,0,0,2b a b a b a b a ππ⋅=⋅=⋅=⋅= 得到下面四个方程式()11ˆˆˆ42x y xb x b y π⋅+= (1)()113ˆˆˆˆ022x y x y b x b y ⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭(2) ()22ˆˆˆ40x y xb x b y ⋅+= (3)()223ˆˆˆˆ222x y x y b x b y π⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭(4) 由式(1)得： 1142,2x x b b ππ==由式(2)得：113022x y b b +=，即130222y b π⋅+= 解得：1y b =由式(3)得： 2240,0x x b b ==代入式(4)得：222,2y y b π==于是得出倒易点阵基矢12ˆˆˆ,2b xyb y π== 解法之二选取3a 为ˆz方向的单位矢量，即令 3ˆa z= 于是初基晶胞体积c V 为1233ˆˆˆˆ422c V a a a x x y z ⎛⎫=⋅⨯=⋅+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭倒易点阵基矢为()12323ˆˆˆˆˆ22c b a a x y z x y V ππ⎛⎫=⨯=⨯=-⎪⎪⎭()2312ˆc b a a y V π=⨯=()3122ˆ2cb a a zV ππ=⨯= 对二维点阵，仅取ˆˆ,x y 两个方向，于是得 124ˆˆˆ,22333b xyb y πππ=-= 2．5 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为12333ˆˆˆˆˆ,,2222a a a a x y a a x y a cz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c 和43a π，并且相对于正点阵转动了30角；(b)当比率c ／a 取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的c ／a 比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积． [解](a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示．12333ˆˆˆˆˆ,,22a a a ax y a ax y a cz =+=-+= 初基晶胞体积为()231232c V a a a a c =⋅⨯=倒易点阵初基矢量为123ˆˆˆ2232ˆˆ22230c c xy zaa ab a a x yV V a a cπππ=⨯=-=+ 231ˆˆˆ222ˆˆ0033022c cx y zb a ac x yV V a aa a πππ=⨯==-+ 312ˆˆˆ2232ˆ02302c cxy z aa b a a z V V ca a πππ=⨯==- 或写为123ˆˆ332ˆˆˆ,,2233x x b y b y b z c a a π⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同正点阵初基矢量123ˆˆ33ˆˆˆ,,2222y y a a x a a x a cz ⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 比较看出，123,,b b b 所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为2c π和43a π，并相对于正点阵绕c 转动了30角(见图2．6)。
(b)设倒易点阵的点阵常数比为c a **，出(a)可知32423a c a c c a ππ**==若c a c a **=，则有22330.93122c a c a === 故当正点阵的c a 32倒易点阵的c a **和正点阵的c a 有相同值。
