2015年北京市大兴区魏善庄中学高二上学期数学期中试卷与解析(理科)

1A北京市2015年第一学期期中检测试卷高三数学（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．集合{}2M x|x 4>＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．{}|23x x -≤<B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|12x x <≤D ．{}|23x x ≤<2. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )A. 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 3. “1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在同一坐标系中画出函数log a y x =，xy a =，y x a =+的图象，可能正确的是 ( )5．在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为 （ ）A ．64-B ．64C ．48-D ．486．设,x y ∈R,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则a b += ( )A B C ．D ．107．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）A ．[1,4]B ．[1,5]C ．4[,4]5 D ．4[,5]58． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α， 则sin α的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 以点（2，1-）为圆心且与直线5x y +=相切的圆的方程是 ．10.周期为2的函数()f x 在[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。

一、单选题1．经过点，且斜率为的直线方程是（ ） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A2．已知空间向量，，，若，则（ ） (2,3,4)a =- (4,,)b m n =- ,R m n ∈a b ∥m n -=A ．2B ．C ．14D ．2-14-【答案】C【分析】，得到，解得答案.b a λ=(4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-【详解】，则，即， a b ∥b a λ= (4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-解得，，，. 2λ=-6m =8n =-14m n -=故选：C3．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>352100x y ++=为（ ）A ．B ．22154x y +=221259x y +=C ．D ．221169x y +=2212516x y +=【答案】D【解析】直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率2100x y ++=(5,0)-5a =为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程. 353c =b 【详解】直线与轴的交点为,2100x y ++=x (5,0)-直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.2100x y ++=(5,0)-所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.5a =353c =则，所以椭圆的方程为：.4b =2212516x y +=故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求，属于基础题.,,a b c 4．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）ABC AD BC E AD EB =A ．B ．C ．D ．3144AB AC -1344AB AC -1344AB AC +1142AB AC +【答案】A【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=- 故选：A5．设，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） (2,1)A -(4,1)B AB A ． B ． C ． D ．22(3)4x y -+=22(3)2x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=【答案】B【分析】由题知圆心为. ()3,0【详解】解：由题知线段中点为，AB ()3,0=所以，以线段为直径的圆的圆心为 AB ()3,022(3)2x y -+=故选：B6．设双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F P C点，且．若的面积为的周长为（ ）1260F PF ∠=12F PF △12F PF △A ．BCD ．+2+【答案】A【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得1216PF PF ⋅= 22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，由离心率可求出，同理结合12122cos PF PF F PF -⋅∠,,a b c ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅代入余弦定理可求，进而得解. 12PF PF +【详解】由题可知，求得， 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅⋅∠=△1260F PF ∠= 1216PF PF ⋅=对由余弦定理可得12F PF △22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，即，12122cos PF PF F PF -⋅∠()()221212122222cos c a PF PF PF PF F PF =+⋅-⋅∠即，因为，解得， 2416,2b b ==2222243c a e a a+===222,6a c ==又，22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=+-⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠即，解得， ()2212121212422cos c PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠12PF PF +=122F F c ==所以的周长为. 12F PF △1212PF PF F F ++=故选：A7．如图所示，在平行六面体中，，，，，ABCD A B C D -''''1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=，则的长为（ ）60BAA DAA ∠'=∠=' C A 'A ．5BCD 【答案】B【分析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数AC AB AD AA =+'+'()()22AC AB AD AA =+'+' 量积，便可得出答案.【详解】解：，AC AB BC CC AB AD AA '=++='+'+，()()()()()222222()AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''∴=++=+++⋅+⋅'⋅'+ ∵，，，， 1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=60BAA DAA ∠'=∠=' . ()222291232(013cos 6023cos 60)142232AC ︒︒∴=+++⨯+⨯+⨯=+='⨯，即 AC ='∴AC '故选：B.8．过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的43100x y ++=P 22:20C x y x +-=,A B PACB 面积的最小值为（ ）A B C D ．【答案】C【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出，进而得解.122PACB S PA AC =⋅⋅PA 【详解】如图，由切线性质可知，，所以，圆的,,PA AC PB BC PAC PBC ⊥⊥△≌△122PACB S PA AC =⋅⋅标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，()2211x y -+=()1,0C 1r =C 4101455d +==最小，需使，故122PACB S PA AC =⋅⋅min PC d =()min122PACB S r =⋅=故选：C二、多选题9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则22:18y C x -=1F 2F P C 17PF =（ ）A ．的虚轴长为2B ．的值可能为5C 2PF C ．的离心率为3D ．的值可能为9C 2PF 【答案】BCD【分析】由双曲线标准式确定，可判断A ，C 是否正确，由双曲线第一定义可判断B ，D 正,,a b c 确性.【详解】由的标准式可确定：22:18y C x -=， 22231,8,9,1,3,231c a b c a b c b e a ==========故C 正确，A 错误；由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以122PF PF -=17PF =25PF =2c a -=52,92≥≥BD 正确. 故选：BCD10．如图，为正方体，下面结论正确的是（ ）1111ABCD A B C D-A ．平面BD ∥11AB D B ．与平面AC 11AB D C ．平面1AC ⊥11CB D D ．异面直线与所成的角为 BD 1CB 60 【答案】ACD【分析】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，为正方体，设边长为1，1111ABCD A B C D -则，，，，，，，， ()0,0,0D ()1,0,0A ()1,1,0B ()0,1,0C ()10,0,1D ()11,0,1A ()11,1,1B ()10,1,1C 对A ，， ，又∵平面，∵平面，∴()111,1,0BD B D ==--11BD B D ∥BD ⊄11AB D 11B D ⊂11AB D BD ∥平面，A 对；11AB D 对B ，，，，由得为平面()11,1,1AC =-- ()11,0,1AD =- ()10,1,1AB = 11110A C AD A C AB ⋅=⋅=1AC 的法向量，11AB D ，故与平面所成的角的正弦值为B 错； ()1,1,0AC =- AC 11ABD 11A C AC A C AC⋅==⋅对C ，由B 得，同理可证为平面的法向量，故平面，C 对；1AC u u u r11CB D 1AC ⊥11CB D对D ，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为()1,1,0BD =-- ()11,0,1CB =BD 1CB ，故所成角为，D 对.1260 故选：ACD11．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（ ）22195x y +=F (0y m m =<<A B A ．为定值 B ．的周长的取值范围是 AF BF +ABF △()6,12C ．当为直角三角形 D ．当时，m =ABF △1m =ABF △【答案】AB【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C ；求出坐,A B ·0FA FB <ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得， 1F 1AF 1AF BF =所以为定值，A 正确；16AF BF AF AF +=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 正确； ||AB (0,6)ABF△(6,12)将，，又因为， y=A ⎛ ⎝B(2,0)F 所以，，即为钝角，23(2)02FA FB ⋅=+=-<AFB ∠所以为钝角三角形，C 错误；ABF △将与椭圆方程联立，解得，所以D 错误. 1y =,A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭112ABF S == 故选：AB【点睛】12．在四棱锥中，底面S ABCD -ABCD是边长为2的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，SA ⊥ABCD SA AB =AC BD O M SD 则（ ）A ．存在点，使平面 M //OM SBCB ．三棱锥体积的最大值为S ACM -23C ．点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值2 M ABCD M SAB D ．存在点，使直线与所成的角为 M OM AB 60 【答案】ACD【分析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，利用向量法判断A AB AD AS ，，,,x y z CD ，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断B 选项.根据线面平行的判定定理判断A. 【详解】解：根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角A AB AD AS ，，,,x y z 坐标系，如图，则, (0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)A C B D S O 由是棱上的动点，设，M SD (0,,2),(02)M λλλ-≤≤,其中为到平面的距离，13S ACM SAC V S h -=⨯ h M SAC 因为底面为正方形，故, ABCD OD AC ⊥又底面底面 SA ⊥,ABCD OD ⊂,ABCD 所以,SA OD ⊥又,平面， SA AC A ⋂=,SA AC ⊂SAC 所以底面,OD ⊥SAC 所以当与D 重合时，三棱锥体积的最大且为，故B 错M S ACM-1142323S ACM V -=⨯⨯⨯=误；当为中点时，是的中位线，所以，又平面，M SD OM SBD //OM SB OM ⊄SBC 平面，所以平面，故A 正确；SB ⊂SBC //OM SBC 点到平面的距离， M ABCD 12d λ=-点到平面的距离,M SAB 2|||(0,,2)(0,2,0)|2||AM AD λλd λAD →→→⋅-⋅===所以，故C 正确.1222d d λλ+=-+=,,(2,0,0)AB →=(1,1,2)OM λλ→=---若存在点，使直线与所成的角为M OM AB 60︒则，化简得，解得1cos 602AB OM AB OM ⋅︒=== 2310λλ-+=λ=所以，当与所成角为，故D 正确； λ=OM AB 60︒故选：ACD三、填空题13．若，，则___________． ()53,2,a =()0,1,4b =- 2a b -=【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.【详解】，故()()()22320,1,42,1,13,,5a b -=-⨯-= a -=14．已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为220x y -+=10x y ++=，则它邻边所在的直线方程为___________．350x y +-=【答案】390,330x y x y -+=--=【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进(1,0)M -1l 34,l l 230x y d -+=而结合点即可求解. (1,0)M -【详解】解：，解得，22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩10x y =-⎧⎨=⎩∴中心坐标为，(1,0)M -点M 到直线的距离1:350l x y +-=d设与垂直两线分别为，则点， 1l 34l l 、(1,0)M -设方程为34,l l 230x y d -+=或 ， 23d =-9∴它邻边所在的直线方程为． 390,330x y x y -+=--=故答案为：390,330x y x y -+=--=15．已知圆，直线的距离等于1，则22x y a +=:=l y x l =a ___________． 【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 2rd =【详解】圆的圆心为，则. 22x y a +=()0,0,r =2r d ==4a =故答案为：416．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是1111ABCD A B C D -P 1BD DC AP ⋅___________． 【答案】[]0,4【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出1BP BD λ=⋅ DC AP ⋅λ的取值范围．DC AP ⋅【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立DAx DC y 1DD z 空间直角坐标系．则，，，，．()0,0,0D ()0,2,0C ()2,0,0A ()2,2,0B ()10,0,2D ，，．∴()0,2,0DC = ()12,2,2BD =-- ()0,2,0AB =点在线段上运动，P 1BD ，且． ∴()12,2,2BP BD λλλλ=⋅=--01λ……，∴()2,22,2AP AB BP λλλ=+=--，∴44DC AP λ⋅=-∵，∴，即， 01λ……0444λ≤-≤[]0,4DC AP ⋅∈故答案为：．[]0,4四、解答题17．已知的三个顶点分别为，，．ABC ()2,4A ()1,1B ()7,3C(1)求边的垂直平分线的方程； BC (2)求的面积． ABC 【答案】(1) 3140x y +-=(2) 8【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方13BC k =BC ()4,2BC 3k =-程.（2）计算到直线的距离为，得到面积. BC =A BC d =【详解】（1），故边的垂直平分线的斜率，的中点为， 311713BC k -==-BC 3k =-BC ()4,2故垂直平分线为，即. ()342y x =--+3140x y +-=（2=所在的方程为，即， BC ()1113y x =-+320x y -+=到直线的距离为. A BC d 11822S BC d =⋅=⨯=18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线为渐近线，焦点是，的双曲线； y =()3,0-()3,0(2)离心率为，短轴长为6的椭圆． 45【答案】(1)22136x y -=(2)或221259x y +=221259y x +=【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方22221x y a b-=0a >0b >程求出，即可；a b （2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.x y 【详解】（1）解：由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知，22221(0,0)x y a b a b-=>>3c =双曲线的渐近线方程为，可得 y =ba=又，解得222+=a b c a =b =所以双曲线的方程为.22136x y -=（2）解：当焦点在轴时，设椭圆方程为，x 22221x y a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259x y +=当焦点在轴时，设椭圆方程为，y 22221y x a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259y x +=所以，所求椭圆方程为或.221259x y +=221259y x +=19．如图，在正方体中，为的中点．1111ABCD A B C D -E 1BB(1)求证：平面； 1BC ⊥1ACD (2)求直线与平面所成角的余弦值． 1D C 1AD E 【答案】(1)证明见详解【分析】（1）要证平面，可证，结合正方体性质即可求证；1BC ⊥1ACD 111BC A DBC CD⊥⎧⎨⊥⎩（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z系，求出和平面的法向量，由向量的夹角公式求出与平面所成角的正弦值，结1D C1AD E 1D C 1AD E 合同角三角函数即可求解.【详解】（1）连接，因为几何体为正方体，所以，四边形为平行四边形，11,A D AC 11//D C AB 11ABC D 所以，因为，所以，11//BC AD 11AD DA ⊥11BC A D ⊥又平面，平面，所以平面，11,,,CD BC CD CC BC CC C BC ⊥⊥=⊂ 11BCC B 1CC ⊂11BCC B CD ⊥11BCC B 又平面，所以，1BC ⊂11BCC B 1BC CD ⊥平面，平面，所以平面； 1,CD A D D CD =⊂ 1ACD 1A D ⊂1ACD 1BC ⊥1ACD（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z 系，不妨设正方体边长为1，则，，()()()110,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,2A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭()10,1,1D C =-，设平面的法向量为，则，即，设()111,0,1,0,1,2AD AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 1AD E (),,n x y z = 100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x z y z +=⎧⎨+=⎩，则，，2x =1,2y z ==-()2,1,2n =-设直线与平面所成角为，则，所以1D C 1AD Eθ1sin cos D C θ==π4θ=cos θ=，故直线与平面. 1D C 1AD E20．已知圆的方程为．C 221x y +=(1)求过点且与圆相切的直线的方程；()1,2P C l (2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程． m (1,2)P C ,A B AOB m 【答案】(1)或 1x =3450x y -+=(2)或 10x y -+=750x y --=【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；k （2，进而得解. 【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然与相切； 1x =221x y +=当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故():12l y k x =-+1d r =34k =，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或()3:124l y x =-+3450x y -+=()1,2P C l 1x =；3450xy -+=（2）设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即()1:12my k x =-+ABD AOBOD =圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即d =11k =():12m y x =-+()712y x =-+或.10x y-+=750x y --=21．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别ABCD ABEF M N 在正方形对角线和上移动，且．AC BF (0CM BN a a ==<<(1)求证与平面平行； MN BCE(2)当的余弦值． a =A MNB --【答案】(1)证明见详解(2)13-【分析】（1）采用建系法，表示出坐标，要证与平面平行，即证平面的,M N MN BCE MN ⊥BCE 法向量；（2）分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.AMN MNB 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，所以ABCD ⊥ABEF ABCD ABEF AB =BE AB ⊥平面，，所以平面，显然三垂直，以方向为轴正BE ⊥ABCD BC AB ⊥BC ⊥ABEF ,,BA BE BC BA x 方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，BE y BC z B AEC -，因为，所以，，()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0A C B F (0CM BN a a ==<<CM = BN设，，，由，得()()111222,,,,,M x y z N x y z ()111,,1CM x y z =- ()1,0,1=- CA CM = M，，，由得，，可设平面()222,,BN x y z = ()1,1,0= BF BN = N ⎫⎪⎭1MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 的法向量为，，所以与平面平行；BCE ()1,0,0n =r 0MN n ⋅=MN BCE（2）当，，，a =1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,0,0A ()0,0,0B 1111,0,,,,02222AM AN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，， 1111,0,,,,02222BM BN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量为，则，即，可设，故，设AMN ()1,,n x y z = 1100n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y z ==1x =()11,1,1n = 平面的法向量为，则，即，令，则，故MNB ()2333,,n x y z = 2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 333300x z x y +=⎧⎨+=⎩31x =331y z ==-，设二面角的平面角为，则， ()21,1,1n =-- A MN B --θ121cos cos ,3n n θ==- 故二面角的余弦值为.A MNB --13-22．已知椭圆的离心率为，且经过点．2222:1(0)xy C a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于y kx m =+C M N 、O OM ON 、34-，试探求的面积是否为定值，并说明理由．OMN 【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,a b ,a c 222a b c =+解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长()()1122,,,M x y N x y 34-k m 公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. MN OMN 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭221914a b +=22214c e a ==222a b c =+，所以椭圆的方程为； 2221,3,4c b a ===C 22143x y +=（2）设，联立得，()()1122,,,M x y N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->， ()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅= ()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+，即，()()222343443m k m -==--22243m k =+d =12OMN S MN d =⋅==△所以的面积为定值.OMN。

北京市大兴区普通校高二联盟考试2014-2015学年度第一学期期中数学（理）一、选择题（每小题4分，共32分）1. 已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且a ∥b ，那么x y +等于（ ）A ．4-B ．2-C ． 2D ． 4 2.正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为（ ） A. 42 B. 42+4 C.43 D.43+43.一个球的外切正方体的全面积等于6cm 2，则此球的体积为 （ ）A.334cm πB. 386cm π C. 361cm π D. 366cm π 4.如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中， 已知＝a ，＝b ，1＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于 ( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5.已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列说法中不正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β6．一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为( )A ．36B ．8C ．38D ．12 7.空间四边形ABCD中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为（ ）A 、030B 、045C 、060D 、090俯视图8．如图，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E 为面11B BCC 的中心，点F 为11B C 的中点，则空间四边形1D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 二、填空题（每小题4分，共28分）9. 正方体1111ABCD A BC D -中,平面D 1B 1A 和平面C 1DB 的位置关系是-----------10. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2,3,6，则长方体的 体积是__.11.点(,2,1)P x 到(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则x 的值为_____.12. 将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为______________ 13.空间坐标系oxyz 中,点A 在x 轴上,点)2,0,1(B ,且5||=AB ,则点A 坐标为__14.一个几何体的三视图如图所示：则该几何体的外接球表面积为__________15.正方体1111D C B A ABCD -中,1=AB 则111D AB A 到面的距离为_________三、解答题（每小题12分，共60分）16.四边形ABCD 为直角梯形，2,4,//===CD BC AB CD AB ,BC AB ⊥,现将该梯形绕AB 旋转一周形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积。

中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。

北京市大兴区魏善庄中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择1．（3分）设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C点的距离为（）A．B．C．D．2．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2B．3C．4D．53．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．365．（3分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣3 D．36．（3分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．7．（3分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+B．C．D．1+8．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：89．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④10．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2二、填空题11．（3分）①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个；②所谓平面的法向量，就是一个平面的法向量有个．12．（3分）（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的与平面的法向量；（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：符号语言：．13．（3分）面面平行的向量方法：证明这两个平面的是．面面平行的判定定理：文字语言：，符号语言：．14．（3分）面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是；面面垂直的判定定理：文字语言：，符号语言：．15．（3分）直线与平面所成的角定义：范围：直线和平面所夹角的取值范围是；向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=．16．（3分）经过平面外一点可以作个平面平行于这个平面；可以作条直线平行于这个平面．17．（3分）已知向量，若，则x=；若则x=．18．（3分）一个球的体积是，则这个球的表面积是．19．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．20．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．三、解答题（共4小题，满分0分）21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．22．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．23．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．24．如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面．请问图①中容器内水面的高度是多少？附加题25．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．北京市大兴区魏善庄中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择1．（3分）设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C点的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算．专题：常规题型．分析：先由中点坐标公式求得AB的中点M的空间直角坐标，再利用空间坐标系中两点间的距离公式求出M到C点的距离即可．解答：解：∵A（3，3，1）、B（1，0，5）∴AB的中点M坐标为：（2，，3），又∵C（0，1，0），∴M到C点的距离为：d==．故选C．点评：本小题主要考查空间直角坐标系、距离公式等基础知识，考查点、线、面间的距离计算，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．2．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2B．3C．4D．5考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得EH∥BD，GH∥AC，AB∩平面EFGH=E，由此得到①②④正确．解答：解：∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD不包含于平面EFGH，∴BD∥平面EFGH，故①正确，③错误；∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴GH∥AC，又GH⊂平面EFGH，AC不包含于平面EFGH，∴AC∥平面EFGH，故②正确，④错误；∵AB∩平面EFGH=E，∴AB与平面EFGH相交，故⑤正确．故选：B．点评：本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①如果m∥α，n⊂α，m与n平行或异面，故①错误；②如果m⊥α，m⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故②正确；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β或m⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n与β相交，平行或n⊂β，故④错误．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．36考点：由三视图求面积、体积．专题：规律型．分析：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以正视图为底，然后根据三棱柱的体积公式进行求解即可．解答：解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以正视图为底，三棱柱的高为3，直角三角形的两个直角边长度分别为4和3，∴三棱柱的体积为．故选：B．点评：本题主要考查三视图的识别和应用，以及三棱柱的体积公式，比较基础．5．（3分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣3 D．3考点：空间向量的正交分解及其坐标表示．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设向量，的夹角为θ，可得cosθ==，解这个关于λ的方程即可．解答：解：设向量，的夹角为θ，则∵向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），∴cosθ===，解得λ=﹣2，故选B．点评：本题考查空间向量的夹角与距离公式，属基础题．6．（3分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，B到平面AA′D的距离=B 到AC的距离=AB=a，由此能求出三棱锥A﹣A′BD的体积．解答：解：∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴AC⊥AA′，AA′∥CD，∴△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，∴三棱锥A﹣A′BD的体积：V==．故选：C．点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（3分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+B．C．D．1+考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．8．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．解答：解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，r=，扇形的面积B=×1×=，圆锥的表面积A=B+πr2=+=，∴A：B=11：8故选A点评：本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题．9．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据线面垂直的性质判断．②根据线面垂直的性质判断直线关系．③根据面面垂直的性质证明直线关系．④根据面面平行进行判断．解答：解：①根据线面垂直的性质以及直线平行的性质可知，若a∥b，a⊥α，则b⊥α，∴①正确．②根据垂直于同一平面的两条直线平行可知②正确．③若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴③错误．④若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴④错误．故选：A．点评：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直的判定定理或性质定理．10．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．解答：解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，所以R=，所以球的表面积是S=4πR2=12πcm2．故选：B．点评：本题是基础题，考查正方体的外接球的表面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．二、填空题11．（3分）①所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量一个平面的法向量有无数个．考点：平面的法向量；直线的方向向量．专题：规律型；空间位置关系与距离．分析：利用直线的方向向量、平面的法向量的定义，即可得出结论．解答：解：①直线的方向向量是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量，一个平面的法向量有无数个．故答案为：和这条直线所对应的向量平行；无数；与平面垂直的向量；无数．点评：本题考查直线的方向向量、平面的法向量的定义，比较基础．12．（3分）（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，（2）直线与平面平行的判定定理：需要三个条件，面内一线，面外一线，线线平行，可得线面平行．解答：解：（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α；故答案为：方向向量，垂直；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α．点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握定理内容是解答的关键，属于基础题．13．（3分）面面平行的向量方法：证明这两个平面法向量的是共线向量．面面平行的判定定理：文字语言：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，符号语言：⇒α∥β．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：面面平行的向量方法是：若两个平面平行，则他们的法向量共线；面面平行的判定定理是：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，用符号表示后可得答案．解答：解：若两个平面平行，则他们的法向量共线，故面面平行的向量方法：证明这两个平面的法向量是共线向量，面面平行的判定定理：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，用符号语言表示：⇒α∥β，故答案为：法向量，共线向量，如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，⇒α∥β点评：本题考查的知识点是平面与平面平行的判定方法，熟练掌握几何法和向量法判断平面平行的方法及符号表示是解答的关键．14．（3分）面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是垂直的；面面垂直的判定定理：文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直，符号语言：若l⊥β，l⊂α，则α⊥β．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据平面法向量的概念，得出面面垂直时两个平面的法向量是互相垂直，即可得出结论；（2）结合面面垂直的判定定理，写出文字语言叙述与符号语言叙述．解答：解：（1）面面垂直的向量方法是：证明这两个平面的法向量互相垂直，即法向量的数量积等于0；（2）面面垂直的判定定理中：文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直”，符号语言是“若l⊥β，l⊂α，则α⊥β”．故答案为：垂直的；一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；若l⊥β，l⊂α，则α⊥β．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，解题时应熟记面面垂直的判定定理的内容是什么，表述方式是什么，证明方法是什么，属于基础题．15．（3分）直线与平面所成的角定义：范围：直线和平面所夹角的取值范围是[0，]；向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=|cos＜＞|．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用直线与平面所成的角的定义能求出直线和平面所夹角的取值范围和直线与平面所成角的向量求法的应用．解答：解：由直线与平面所成的角定义，知：直线和平面所夹角的取值范围是[0，]；向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=|cos＜＞|．故答案为：[0，]；|cos＜＞|．点评：本题考查直线与平面所成角的定义的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题．16．（3分）经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由平面与平面平行的性质，得经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．解答：解：由平面与平面平行的性质，得：经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．故答案为：1；无数．点评：本题考查平面与平面的位置关系的判断与应用，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（3分）已知向量，若，则x=；若则x=﹣6．考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：计算题；待定系数法．分析：两个向量垂直时，他们的数量积等于0，当两个向量共线时，他们的坐标对应成比列，解方程求出参数的值．解答：解：若，则•=．若，则==，∴x=﹣6，故答案为，﹣6．点评：本题考查两个向量垂直的性质以及两个向量平行的性质，待定系数法求参数的值．18．（3分）一个球的体积是，则这个球的表面积是16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．解答：解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．点评：本题考查球的体积和表面积的应用，解题时要认真审题，仔细解答．19．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为A后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．解答：解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积=A2全面积S=A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比==故答案：点评：本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积=侧面积+底面积×2，中易解为全面积=侧面积+底面积．20．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：利用几何体是正方体，直接找出所求角，利用正方体的对角线的长度，求出直线BD1与直线CD所成的角的正弦值即可．解答：解：如图，连接BD1，BC1，∵几何体是正方体，∴异面直线BD1与CD所成角，就是直线BD1与C1D1所成角，即∠BD1C1，sin∠BD1C1===．∴异面直线BD1与CD所成角的正弦值为：．故答案为：．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共4小题，满分0分）21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．解答：证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面；（2）∵E、F分别为AB、AC中点，∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．点评：本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．专题：证明题．分析：（Ⅰ）先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由求得二面角C﹣DF﹣E的余弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．点评：本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，用向量法求二面角C﹣DF﹣E的余弦值，是解题的难点．23．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC 中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴cos∠PBE=．∴AC与PB所成的角为arccos．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴AN=．∴AB=2，∴cos∠ANB==﹣故面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值为﹣．点评：本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．24．如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面．请问图①中容器内水面的高度是多少？考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设图1中水面的高度为h，水的体积为V，由已条条件推导出S△ABC=4S△DEC，从而容器放倒后的水体积为V=，由此能求出图①中容器内水面的高度．解答：解：设图1中水面的高度为h，水的体积为V，则V=S△ABC•h，因为容器放倒后，水面恰好为中截面，所以S△ABC=4S△DEC，所以容器放倒后的水体积为V=，所以h=（）÷S△ABC=．点评：本题考查图①中容器内水面的高度的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．附加题25．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．解答：解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===．体积V=V圆台﹣V圆锥=[25π++4π]×4﹣×2π×2×2=×39π×4﹣×8π=．所求表面积为：，体积为：．点评：本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．。

一、选择1．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是①BD//平面EFGH；②AC//平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交。

A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2014年春19）.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果,m αβα⊥⊥，那么//m β；④如果,,m m n αβαβ⊥⋂=⊥，那么。

其中正确的命题是（ ）A. ① B. ② C. ③ D. ④5．若向量(1,,2),(2,1,2).λ==-a b a,b 夹角的余弦值是，则的值为( )A.2B.－2C.-3D.36．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A —A ′BD 的体积（ ）A ．B ．C ．D ． 7.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋B ．C ．D ．8．中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ：B 为（ ）A ．11：8B ．3：8C ．8：3D ．13：89．已知平面、，直线、，下面的四个命题 A①a b a α⎫⎬⊥⎭∥b α⇒⊥；②}a b αα⊥⇒⊥a b ∥；③a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎭；④a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭∥∥中，所有正确命题的序号是（ ）10.一个正（A ）①② （B ）②③ （C ）①④ （D ）②④方体的顶点都在球面上 ，它的棱长为2，则球的表面积是（ ）A. B. C. D.二、填空题11．①所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向量有 个。

（考试时间：90分钟）第I 卷（选择答案题 共72分）一、本题共15小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项．．．．．．是符合题意的。

（每小题4分，共60分）1. 下列物理量中属于矢量．．的是（ ） A. 电场强度 B. 动能 C. 路程 D. 时间2. 关于摩擦起电现象，下列说法正确的是 ( )A.摩擦起电现象使本来没有电子和质子的物体中产生电子和质子B.两种不同材料的绝缘体互相摩擦后，同时带上等量同种电荷C.摩擦起电，可能是因为摩擦导致质子从一个物体转移到了另一个物体而形成的D.丝绸摩擦玻璃棒时，电子从玻璃棒上转移到丝绸上，玻璃棒因质子数多于电子数而显正电3. 挂在绝缘细线下的两个轻质小球，表面镀有金属薄膜，由于电荷的相互作用而靠近或远离，分别如图1甲、乙所示，则 ( )A ．乙图中两球一定带同种电荷B ．甲图中两球一定带异种电荷C ．甲图中两球只有一个带电D ．乙图中两球只有一个带电 图14. 已知用电器A 的电阻是用电器B 的电阻的2倍，加在A 上的电压是加在B 上的电压的一半，那么通过A 和B 的电流I A 和I B 的关系是 ( )A ．I A ＝2IB B ．I A ＝I B 2C ．I A ＝I BD ．I A ＝I B 45. 真空中有两个静止的点电荷，它们之间静电力的大小为F ，如果保持这两个点电荷之间的距离不变，而将它们的电荷量都变为原来的3倍，那么它们之间的静电力的大小变为（ ） A. 3F B. 3F C. 9F D. 9F 6. 下列说法中正确的是 ( )A ．电场强度反映了电场力的性质，因此场中某点的场强与试探电荷在该点所受的电场力成正比B ．场中某点的场强等于F/q ，但与试探电荷的受力大小及电荷量无关C ．场中某点的场强方向是试探电荷在该点的受力方向D ．公式E ＝F/q 和E ＝k Q r 2对于任何静电场都是适用的 7. 如图2所示，在电场强度为E 的匀强电场中，一个电荷量为q 的正点电荷，沿电场线方向从A 点运动到B 点，A 、B 两点间的距离为d . 在此过程中电场力对电荷做的功等于A ．q EdB ．d qEC ．qEdD ．Eqd 8. 下列静电学公式中，F 、q 、E 、U 、r 和d 分别表示电场力、电荷量、场强、电势差及距离，①F ＝k q 1q 2r 2，②E ＝k Q r 2，③E ＝F q，④U ＝Ed ，有关四个公式的说法中正确的是 ( )A ．它们都只对点电荷或点电荷的电场成立图2 EA BB ．①②③只对点电荷或点电荷电场成立，④对任何电场都成立C ．①②只对点电荷成立，③④对任何电场成立D ．①②只对点电荷成立，③对任何电场成立，④只对匀强电场成立9. 如图3所示是某导体的伏安特性曲线，由图可知，下列说法不正确的是( )A ．当通过导体的电流是0.1 A 时 ，导体两端的电压是2.5 VB ．当导体两端的电压是10 V 时，通过导体的电流是0.4 AC ．导体的电阻是0.04 ΩD ．导体的电阻是25 Ω图310 ．一根阻值为R 的均匀电阻丝，长为了L ，横截面积为S ，设温度不变，在下列哪些情况下其阻值仍为2R 的是 ( )A ．当L 不变，S 增大一倍时B ．当S 不变，L 增大一倍时C ．当L 和S 都减为原来的12时 D ．当L 和横截面都增大一倍时 11. 下列电器在工作时，主要利用电流热效应的是A ．电暖器B ．录音机C ．电话机D ．电饭锅12. 如图4所示，电源电动势E=3V 、内电阻r=0.5Ω、定值电阻R=1.5Ω，不计电流表内阻，则闭合电键S 后，电流表读数为（ ）A. 2.0AB. 1.5AC. 4.0AD. 6.0A 13. 如图5所示是静电场的一部分电场线分布，下列说法中正确的是 ( ) A ．这个电场可能是负点电荷的电场 B ．负电荷在B 点处受到的静电力的方向沿B 点切线方向 C ．点电荷q 在A 点处的瞬时加速度比在B 点处的瞬时加速度小 (不计重力) D ． 点电荷q 在A 点处受到的静电力比在B 点处受到的静电力大 14.下表为某电饭锅铭牌上的一部分内容，根据表中的信息，可计算出在额定电压下达到额定功率时通过电饭锅的电流约为 （ ）A. 6.2 AB. 3.2 AC. 4.6 AD. 5.5 A15. 如果在某电场中将电荷量为q 的点电荷从A 点移至B 点，电场力所做的功为W ，那么A 、B 两点间的电势差为A ．qWB ．qW1 C ．W q D ． q W 二、本题共3小题，在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项．．．．．．．是符合题意的。

北京市2015届高三上学期期中考试模拟卷2014.11数学（理）（满分150分，考试时长120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若全集U={x∈R|x2≤4}, 则集合A={x∈R||x+1|≤1}的补集∁UA为（）A.{x∈R|0<x<2}B.{x∈R|0≤x<2}C.{x∈R|0≤x≤2}D.{x∈R|0<x≤2}2. cos380sin980-cos520sin1880的值为（）A．B．C．D．3.已知为等比数列，Sn是它的前n项和. 若，且a4与a7的等差中项为，则等于（）A．29 B．31 C．33 D．354.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．45.已知向量=(λ+1,1), =(λ+2,2), 若(+)⊥(-), 则λ=（）A．-6 B．-5 C．-4 D．-36.设函数，其中，则导数的取值范围是（）A． B．C．D．7.已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.函数满足：（i）x∈R，，（ii）x∈[-1，1]，．给出如下四个结论：①函数在区间[1，2]单调递减；②函数在点（）处的切线方程为4x+4y－5=0；③若数列满足，则其前n项和；④若有实根，则a的取值范围是0≤a≤1．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若，则的最小值为10.将函数的图像向右平移个长度单位后，所得图像经过点，则实数的最小值是_____________________.11.已知，若满足不等式组, 则的取值范围是__________.12.已知是边长为4的正三角形，D、P是内部两点，且满足，则的面积为_________13.给出下列命题：∈，使；① ∃x R② 若、是第一象限角，则“>”是“cos<cos”的充分不必要条件；③ 函数是偶函数；④ A、B、C为锐角的三个内角，则.其中正确命题的序号是___________．（把正确命题的序号都填上）14.对于两个图形，我们将图形上的任意一点与图形上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离. 若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数”. 给出下列几对函数，其中互为“可及函数” 的是_________. （写出所有正确命题的编号）①；②，；③，；④，；⑤，.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

北京市大兴区普通校高二联盟考试2014-2015学年度第一学期期中数学（理）一、选择题（每小题4分，共32分）1. 已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且a ∥b ，那么x y +等于（ ）A ．4-B ．2-C ． 2D ． 4 2.正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为（ ） A. 42 B. 42+4 C.43 D.43+43.一个球的外切正方体的全面积等于6cm 2，则此球的体积为 （ ）A.334cm πB. 386cm π C. 361cm π D. 366cm π 4.如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中， 已知＝a ，＝b ，1＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于 ( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5.已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列说法中不正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β6．一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为( )A ．36B ．8C ．38D ．12 7.空间四边形ABCD中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为（ ）A 、030B 、045C 、060D 、090俯视图8．如图，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E 为面11B BCC 的中心，点F 为11B C 的中点，则空间四边形1D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 二、填空题（每小题4分，共28分）9. 正方体1111ABCD A BC D -中,平面D 1B 1A 和平面C 1DB 的位置关系是-----------10. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2,3,6，则长方体的 体积是__.11.点(,2,1)P x 到(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则x 的值为_____.12. 将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为______________ 13.空间坐标系oxyz 中,点A 在x 轴上,点)2,0,1(B ,且5||=AB ,则点A 坐标为__14.一个几何体的三视图如图所示：则该几何体的外接球表面积为__________15.正方体1111D C B A ABCD -中,1=AB 则111D AB A 到面的距离为_________三、解答题（每小题12分，共60分）16.四边形ABCD 为直角梯形，2,4,//===CD BC AB CD AB ,BC AB ⊥,现将该梯形绕AB 旋转一周形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积。