江苏省扬州中学20162017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案

2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．命题:“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．2．直线y=x+1的倾斜角是．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是．4．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是．5．与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆标准方程为．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+(1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是．7．如果p：x＞2，q：x＞3,那么p是q的条件．（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充要"、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空)8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8,则M到右准线的距离为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直,则实数a=．10．如果实数x,y满足等式(x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1(a＞0,b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线,垂足为P，若|PF1｜2﹣｜PF2｜2=c2．则双曲线离心率的值为．13．已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数) 与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b)是以点M（0,1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为．14．已知直线l:y=x+4,动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A,B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知命题p：“关于x,y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q:“∀x ∈R，使得x2+(a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．16．已知直线l过点P（2，1）(1)点A(﹣1,3）和点B(3，1）到直线l的距离相等,求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A,B两点，且△ABO的面积为4，求直线l 的方程．17．如图，F1，F2分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°（1)求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求△AF1B的面积．18．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．（1）求灯罩轴线所在的直线方程；（2)若路宽为10米，求灯柱的高．19．已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P 作圆O的切线，切点为T（1）若a=8，切点T（，﹣1）,求点P的坐标；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．20．如图,在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，（1)若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B,C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；（3)在（1)的条件下，是否存在定圆M,使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线,且这两条切线互相垂直?若存在，求出定圆M；若不存在,说明理由．2016—2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以,命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．2．直线y=x+1的倾斜角是．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线y=x+1的倾斜角为α,α∈［0，π)．可得tanα=1，解得α即可得出．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α,α∈[0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是a＞7．【考点】椭圆的标准方程．【分析】方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即可求出实数m 的取值范围．【解答】解：∵方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：a＞7．∴实数m的取值范围是a＞7．故答案为：a＞7．4．命题“若a＞b,则a2＞b2"的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题,结合逆命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，故答案为:“若a2＞b2，则a＞b”5．与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±，0）,离心率为，由此能求出椭圆方程．【解答】解：由椭圆+=1，得a2=9，b2=4,∴c2=a2﹣b2=5,∴该椭圆的焦点坐标为（±，0）．设所求椭圆方程为，a＞b＞0，则，又，解得a=5．∴b2=25﹣5=20．∴所求椭圆方程为：．故答案为:．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k)y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是（﹣1，2）．【考点】恒过定点的直线．【分析】由(3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0，进而有x﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论．【解答】解:由（3+k）x+(1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k(x﹣2y+5）=0∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0∴x=﹣1，y=2∴对任何实数k，直线（3+k）x+(1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2）故答案为:（﹣1，2)7．如果p:x＞2,q：x＞3，那么p是q的必要不充分条件．（从“充分不必要”、“必要不充分"、“充要"、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接利用充要条件的判断方法结合集合的包含关系判断即可．【解答】解:因为p：x＞2,得不到q：x＞3；但是x＞3；得到x＞2；所以么p是q的必要不充分条件．故答案为:必要不充分．8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的第一定义求出点M到左焦点的距离,再用第二定义求出点M到右准线的距离d即可．【解答】解:由椭圆+，得a=5，b=3，c==4，由椭圆的第一定义得点M到右焦点的距离等于10﹣8=2，离心率e=,再由椭圆的第二定义得=e=,∴点M到右准线的距离d=．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出直线方程的斜率，并表示出双曲线方程的渐近线,再由双曲线C：﹣y2=1(a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直可知两直线的斜率之积等于﹣1，可求出a的值．【解答】解：直线l:2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C:﹣y2=1（a＞0)的渐近线可以表示为：y=±又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0)的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，∴2×（﹣)=﹣1，∴a=2,故答案为210．如果实数x,y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设,的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．【解答】解:设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知,斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得｜OE|=1，于是可得到,即为的最大值．故答案为：11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x ±1）2+（y﹣）2=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意设出圆心坐标,由相切列出方程求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可．【解答】解：由题意知,设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切,∴|t|=t2+,∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+(y﹣）2=1．故答案为：（x±1)2+（y﹣）2=1．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1(a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线,垂足为P,若｜PF1|2﹣|PF2｜2=c2．则双曲线离心率的值为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式,求得｜PF2｜=b，运用余弦函数的定义和余弦定理,计算即可得到所求值．【解答】解:设双曲线﹣=1(a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为y=x，F2（c，0）到渐近线的距离为d=｜PF2｜==b，cos∠POF2==，在△POF1中,|PF1|2=｜PO｜2+｜OF1|2﹣2｜PO|•|OF1|•cos∠POF1=a2+c2﹣2ac•（﹣）=3a2+c2，则|PF1｜2﹣｜PF2|2=3a2+c2﹣b2=4a2，∵｜PF1|2﹣|PF2｜2=c2，∴4a2=c2，∴e=2．故答案为2．13．已知直线：ax+by=1(其中a,b是实数）与圆：x2+y2=1(O是坐标原点）相交于A,B 两点,且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为（3﹣2)π．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=｜OB｜根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出｜AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时,所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0,1）的距离最小值，即可得出结论．【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=｜OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形,得到｜AB｜=则圆心（0,0）到直线ax+by=1的距离为，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1)的距离最小值，由椭圆的性质,可知最小值为﹣1．所以圆M的面积最小值为π(﹣1)2=（3﹣2）π．故答案为：(3﹣2）π．14．已知直线l:y=x+4，动圆O：x2+y2=r2(1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是（0，）∪（,6）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB=a,直线CD的方程为y=x+b,则圆心到直线的距离为d=＜r，进而可得b的范围,结合=，可得a的范围,再由菱形ABCD的面积S=a2，得到答案．【解答】解:设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，又由1＜r＜2，∴﹣2＜b＜4,且b≠1∵=，∴b=4﹣a，∴a=（4﹣b)∴0＜a＜,或＜a＜2，∴菱形ABCD的面积S=a2∈（0，）∪（，6),故答案为：(0，)∪（,6）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。

2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是命题．（填“真”或“假”之一）2．双曲线的两条渐近线方程为．3．m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）4．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（﹣1）=．5．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为．6．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．7．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是．8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C，离心率为，且过点（2，3），则曲线C的方程为．9．在平面直角坐标系xOy中，记曲线y=2x﹣．（m∈R，m≠﹣2）在x=1处的切线为直线l，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则m的值为．10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为．12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．13．已知函数f（x）=e x﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是．14．设函数f（x）=|e x﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．16．（14分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A （﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求△BCD面积的最大值．19．（16分）如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．（1）请确定入口F的选址范围；（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是假命题．（填“真”或“假”之一）【考点】特称命题．【分析】先判断原命题的真假性，根据原命题与命题的否定真假相反的原则即可判断命题的否定的真假【解答】解：∵x2+2≥2∴命题“∀x∈R，x2+2＞0”是真命题∴原命题的否定是假命题故答案为：假【点评】有些命题的真假难以判断时，不防以怀疑的眼光看问题，用正难则反思想走到它的“背后”考虑问题．是个基础题2．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分条件（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=﹣1时直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．【解答】解：当m=﹣1时，两直线的方程mx+（2m﹣1）y+1=0，与3x+my+3=0，化为﹣x﹣3y+1=0和3x﹣y+3=0，可得出此两直线是垂直的，当两直线垂直时，①当m=0时，符合题意，②当m≠0时，两直线的斜率分别是﹣与，由两直线垂直得﹣得m=﹣1，由上知，“m=﹣1”可得出直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直；由直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”可得出m=﹣1或m=0，所以m=1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件故答案为：充分条件．【点评】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，解题的关键是理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件，本题的难点是由两直线垂直得出参数m的取值，此处也是一易错点，易忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误．4．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（﹣1）=．【考点】导数的运算．【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），∴f′（x）=2x﹣2f′（1），令x=﹣1，则f′（﹣1）=﹣2﹣2f′（﹣1），则f′（﹣1）=，故答案为．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的导数公式进行求解是解决本题的关键．比较基础．5．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点为（2，0），由双曲线的a，b，c的关系，可得=2，解方程可得n=1．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），双曲线﹣=1的右焦点为（，0），由题意可得，=2，解得n=1，故答案为：1．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和a，b，c的关系，属于基础题．6．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了利用函数单调性求参数范围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法．7．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是（0，2）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，结合已知条件，判断即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+2ax﹣（a+2）=，①a≤0时，ax﹣1＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故是函数的极小值点，不合题意，②0＜a＜2时，＜，令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f（x）在处取得极大值，符合题意，③a=2时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，④a ＞2时，＞，令f′（x ）＞0，解得：x ＞或x ＜，令f′（x ）＜0，解得：＜x ＜，∴f （x ）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f （x ）在x=处取得极大值，不符合题意， 综上，a ∈（0，2）， 故答案为：（0，2）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，离心率为，且过点（2，3），则曲线C 的方程为 y 2﹣x 2=5 ． 【考点】双曲线的标准方程．【分析】由双曲线得离心率可知为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0），把点P 的坐标代入即可得出．【解答】解：∵离心率为，∴a=b ，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0）， 又点P （2，3）在双曲线上，则λ=4﹣9=﹣5， ∴所求双曲线的标准方程为x 2﹣y 2=﹣5， 即y 2﹣x 2=5． 故答案为：y 2﹣x 2=5【点评】本题着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy 中，记曲线y=2x ﹣．（m ∈R ，m ≠﹣2）在x=1处的切线为直线l ，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 ﹣3或﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意求导y′=2+，从而求出切线方程，从而求出截距而得到﹣2m+=12，从而解得．【解答】解：∵y=2x﹣，∴y′=2+；故当x=1时，y=2﹣m，y′=2+m；故直线l的方程为y=（2+m）（x﹣1）+2﹣m；令x=0得，y=﹣（2+m）+2﹣m=﹣2m；令y=0得，x=+1=；故﹣2m+=12，解得，m=﹣3或m=﹣4．故答案为：﹣3或﹣4．【点评】本题考查了导数的几何意义的应用及直线的方程的应用，属于中档题．10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为[﹣，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离+2≥3，从而可得实数k的取值范围．【解答】解：以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离d+2≥3，所以+2≥3，所以k≥﹣．故答案为：[﹣，+∞）．【点评】本题考查实数k的取值范围，考查直线与圆，圆与圆的位置关系，比较基础．12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=e x﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是[2，3] ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】求出函数f（x）的导数，可得f（x）递增，解得f（x）=0的解为1，由题意可得x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，求得（x+1）+﹣2的范围，即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的导数为f′（x）=e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）=0，可得f（x1）=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）=0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，令t=x+1（1≤t≤3），则t+﹣2在[1，2]递减，[2，3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．14．设函数f（x）=|e x﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：当x≥2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=e x﹣e2a，此时为增函数，当x＜2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=﹣e x+e2a，此时为减函数，即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1，∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=e x1•（﹣e x2）=﹣e x1+x2=﹣1，则e x1+x2=1，即x1+x2=0，∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，∴2a＜1，解得a＜，综上﹣＜a＜，故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用数形结合以及直线垂直的性质是解决本题的关键，属于中档题..二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015秋•常州期末）已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，由于命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假．即可得出．【解答】解：命题p：f′（x）=3x2+2ax+a+，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值，∴f′（x）=0有两个不等实数根，∴△=4a2﹣4×3（a+）=4a2﹣4（3a+4）＞0，解得a＞4或a＜﹣1；命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），为真命题，则∈（1，2），解得0＜a＜15．∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q必然一真一假，则或，解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程有实数根与判别式的关系以及双曲线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）则圆心C到直线l的距离为．…因为，而，所以，…解得m=0或m=﹣4，故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）因为，…（12分）所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，所以点P的个数为2．…（14分）【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．18．（16分）（2015•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求△BCD面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用，，计算即可；（2）通过设B、C点坐标、写出直线AB、AC、BD、CD的斜率，联立直线BD、CD的方程，计算即可；（3）通过计算可得点D的纵坐标，进而可得点D到直线BC的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式即得结论．【解答】（1）解：由题意得，，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆E的标准方程为．（2）证明：设B（x0，y0），C（﹣x0，y0），显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，设为k1，k2，k3，k4，则，，∴直线BD，CD的方程为：，消去y得：，化简得x=3，故点D在定直线x=3上运动．（3）解：由（2）得点D的纵坐标为，又∵，∴，则，∴点D到直线BC的距离h=，将y=y0代入，得，∴△BCD面积=，当且仅当，即时等号成立，故时，△BCD面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的面积计算等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（16分）（2016秋•盐城期中）如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．（1）请确定入口F的选址范围；（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；（2）因为，该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．转化为求其最小值．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，而EG⊥AF，故EG的斜率为，则EG的方程为，令x=0，得；令y=0，得；由，得，∴，即入口F的选址需满足BF的长度范围是（单位：km）．（2）因为，故该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．设，则，令f'（a）=0，得或（舍），a，f'（a），f（a）的情况如下表：，）故当，即入口F满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大．【点评】本题主要考查了直角坐标系在应用题中的应用，考查了利用导数研究函数单调性与函数最值，属中等题．20．（16分）（2016秋•盐城期中）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到x=，求出f（）=ln﹣，代入直线y=3x﹣1求得a值；（2）求出原函数的导函数，然后对a分类得到函数在[1，e2]上的单调性，并进一步求出函数在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）转化为ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），构造函数g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，得到，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）==3，∴x=，则f（）=ln﹣，∴ln﹣=，得ln=0，即a=﹣2；（2）f′（x）=，当a≤时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得（舍）；当＜a＜1时，若x∈[1，]，f′（x）＞0，x∈[]，f′（x）＜0，故f（x）在[1，e2]上先增后减，故由﹣lna﹣1=1﹣ae，a无解；当时，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a=；当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a=（舍）；综上，a=；（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）⇔ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），令g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t⇒2（x2﹣x﹣t）=0，即⇒，作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=﹣或0＜t＜2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，难度较大．。

一、填空题（本大题共14小题,每题5分,满分70分．）1．函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为 ．【答案】(,0)-∞（亦可写成(,0]-∞) 【解析】试题分析：因xy )31(=是单调减函数,且1||-=x y 在(,0)-∞上也是单调递减函数,故函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为(,0)-∞，故应填答案(,0)-∞（亦可写成(,0]-∞）。

考点：复合函数的单调性的判断和运用．2．在ABC ∆中，若错误!＝错误!＝错误!，则ABC ∆的形状是_________三角形． 【答案】等边考点：正弦定理及运用．3．已知n m ,为直线，βα,为空间的两个平面，给出下列命题:①αα//,n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥；② n m n m //,//⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊂βαβα；③βαβα//,⇒⎩⎨⎧⊥⊥m m ；④n m n m //,⇒⎩⎨⎧⊥⊥ββ．其中的正确命题为 ． 【答案】③④ 【解析】试题分析:关于①，也会有α⊂n 的结论，因此不正确;关于②，也会有n m ,异面的可能的结论,因此不正确;容易验证关于③④都是正确的，故应填答案③④. 考点：空间的直线与平面的位置关系及运用．4．已知||2a =，||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 13【解析】试题分析:因139213241644)2(222=+⨯⨯⨯-=+⋅-=-b b a a b a ,故13|2|=-b a ，故应填答案13。

考点：向量的数量积公式及模的计算方法的运用．5．数列{}n a 满足：2123()n a a a a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈,则通项公式是：n a = _ ____．【答案】21(1)(2,)1n n n n N n *=⎧⎪⎨⎛⎫≥∈ ⎪⎪-⎝⎭⎩ 【解析】试题分析：当1=n 时,1=n a ；当2≥n 时,由2123()n a a a a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈可得2121)1(-=⋅⋅⋅⋅-n a a a n ,以上两式两边相除可得2)1(-=n n a n ，故应填答案21(1)(2,)1n n n n N n *=⎧⎪⎨⎛⎫≥∈ ⎪⎪-⎝⎭⎩。

2016-2017学年度第二学期高二数学期中测试卷数学 （文科）2017．04（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{}12,S x x x =+∈R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T = ▲ ．2.设复数z 满足(32)z i i =-，则z 的虚部为 ▲ ．3. 用反证法证明命题“已知x R ∈，21a x =-，22b x =+，则,a b 中至少有一个不小于0”应该反设为 ▲ ．4．满足条件M {}1,2＝{}1,23，的集合M 的个数是 ▲ ．5．若函数)(x f y =的定义域为[]2,2-，求函数(1)(1)y f x f x =+⋅-的定义域为 ▲ ．6．已知虚数z 满足216z z i -=+，则 z = ▲ ．7．若函数2()()F x f x x =+为奇函数，且()()2g x f x =+，已知(1)1f =，则(1)g -的值为 ▲ ．8. 由命题“x R ∃∈，220x x m ++<”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9．0<a 是方程0122=++x ax 至少有一个负数根的 ▲ 条件（填“必要不充分、充分不必要、充要、既不充分也不必要”）．10．已知=2，=3，=4=（a ，t 均为正实数），则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a t + = ▲ ．11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ▲ ．12．将正整数排成如图所示：其中第i 行，第j 列的那个数记为j i a ，则数表中的2017应记为 ▲ ．13．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有可能的取值构成的集合为 ▲ ．14．下列使用类比推理所得结论正确的序号是 ▲ ．（1）直线a ，b ，c ，若//a b ，//b c ，则//a c ．类推出：向量a ，b ，c ，若//a b ，//b c 则//a c ；（2）同一平面内，三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ．类推出：空间中，三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；（3）任意a ，b ∈R （实数集），a -b ＞0则a ＞b ．类比出：任意a ，b ∈C （复数集），a -b ＞0，则a ＞b ；（4）若a 为一平面向量，则有2a ＝2()a ．类比出：若z 为一复数，则22()z z =；（5）在△ABC 中，若BC ⊥AC ，AC=b ，BC=a ，则△ABC 的外接圆半径2r =，类比出：在四面体S ﹣ABC 中，若SA 、SB 、SC 两两垂直，SA=a ，SB=b ，SC=c ，则四面体S ﹣ABC的外接球半径． 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分14分）函数()f x =的定义域为集合A ，函数()g x x a =-（04x <<）的值域为集合B ．求集合A ，B ；若集合A ，B 满足A B B = ，求实数a 的取值范围．已知复数2(1)13z i i =-++（1）求z 及z ；（2）若212+z az b i i++=+，求实数a ，b 的值．17．（本小题满分14分） 已知函数()f x = （1）分别求(0)(1)f f +，(1)(2)f f -+，(2)(3)f f -+的值，（2）根据（1）的结果，归纳猜想一般性结论，并给出证明．18．（本小题满分16分） 已知函数2()1xx f x a x -=++，其中1a >； （1）证明：函数()f x 在(1,)-∞上为增函数； （2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =；已知函数()212a f x ax =-+，()a g x x x=+ （1）若()0f x >在[)1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a >时，对任意的[]11,3x ∈，存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）．（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？。

江苏省扬州中学高二年级开学考试高二数学2016．08一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为 ．2．在ABC ∆中,若错误!＝错误!＝错误!,则ABC ∆的形状是_________三角形． 3．已知n m ,为直线,βα,为空间的两个平面,给出下列命题：①αα//,n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥;②n m n m //,//⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊂βαβα;③βαβα//,⇒⎩⎨⎧⊥⊥m m ;④n m n m //,⇒⎩⎨⎧⊥⊥ββ．其中的正确命题为 ．4．已知||2a =,||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 5．数列{}n a 满足：2123()n a aa a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈，则通项公式是：n a = _ ____．6． 定义：区间[],()m n m n <的长度为n m -，已知函数12logy x=的定义域为[],,a b 值域为[]0,2,则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ．7．已知)(),(x g x f 均为R 上的奇函数且0>)x (f 解集为（4,10），0>)x (g 解集为（2，5），则0)()(>⋅x g x f 的解集为 ．8．设函数)0(sin >=ωωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,5ππ上是增函数,则ω的取值范围为 ____．9．已知()1,5x ∈，则函数2115y x x=+--的最小值为 ．10．设实数b y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x ,,02若y x z +=2的最小值为3，则实数b 的值为 ．11．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 ．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AB 的中点，在面ABCD 中取一点F ，使1EF FC +最小，则最小值为__________． 13．设{}na 是等比数列，公比2=q ，nS 为{}na 的前n 项和，记)(1712*+∈-=N n a S S T n nn n ，设0n T 为数列{}n T 的最大值,则0n = ．14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅, 设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n nSN N N N N N =+++++-+,则n S = ．二、解答题:（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15． (本题满分14分) 在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且错误! ＝－错误!．(1）求角B 的大小；（2）若b ＝错误!，a ＋c ＝4，求ABC ∆的面积．16．（本题满分14分) 如图，在四棱锥ABCD P -中,BCAD //，且ADBC 2=,CDPB CD AD ⊥⊥,,点E 在棱PD上，且ED PE 2=．(1)求证:平面⊥PCD 平面PBC ； (2）求证：//PB 平面AEC ．17．(本题满分15分)设不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 30所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点个数为n a （n ∈*N ），（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)(1）求数列｛a n ｝的通项公式；(2）记数列｛a n ｝的前项和为S n ，且123-⋅=n nns T,若对于一切正整数n ,总有≤nT m,求实数m 的取值范围．18．（本题满分15分）如图，半径为1,圆心角为错误!的圆弧AB 上有一点C ．（1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动,求|错误!＋错误!|的最小值;(2）若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时,求错误!•错误!的取值范围．19．（本题满分16分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[m ，n ］⊆D ，同时满足:①)(x f 在［m ，n ］内是单调函数;②当定义域是[m ，n ]时,)(x f 的值域也是[m ，n ］．则称［m ，n ］是该函数的“和谐区间"． (1）证明:［0，1]是函数)(x f y ==2x 的一个“和谐区间"．（2）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”．（3)已知：函数xa x a a x h y 221)()(-+==（∈a R ，0≠a )有“和谐区间"[m ，n ],当a 变化时，求出n ﹣m 的最大值．20． (本题满分16分）已知首项为1的正项数列{}na 满足221152n n n n a a a a +++<,n *∈N ． (1）若232a =，3a x =,44a =，求x 的取值范围;（2）设数列{}na 是公比为q 的等比数列,n S 为数列{}na 前n 项的和．若1122n n n S S S +<<,n *∈N ，求q 的取值范围； （3）若1a ,2a ,⋅⋅⋅，k a （3k ≥)成等差数列，且12120k a aa ++⋅⋅⋅+=，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，ka 的公差．扬州中学2016-2017高二第一学期开学考查(高二数学）2016．8 答案：1．(,0)-∞(亦可写成(,0]-∞) 2．等边 3．③④ 45．21(1)(2,)1n n n n N n *=⎧⎪⎨⎛⎫≥∈ ⎪⎪-⎝⎭⎩ 6．3 7．(5,4)(4,5)-- 8．(0,2]910．9411． 1213．414．423n +15.解：(1)由余弦定理知：cos B ＝错误!，cos C ＝错误!. 将上式代入错误!＝－错误!得：错误!·错误!＝－错误!，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac 。

2016-2017学年度高三第一学期期中测试数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案2016．11一、填空题1． 2．1 3．22x y = 4．(,0)(1,)-∞+∞ 56．8 7．2-或1 8．34- 9．[1,1]- 10． 27 11．23 12．20k -≤<13．2y x =± 14．)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：（1）2()2cos()sin (sin cos )sin 2cos222f x x x x x x x π=-++=-+)24x π-+ ……4分由()222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是()3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ……8分（2）由（1）知())24f x x π-+把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)24y x π=-+的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到 ())212g x x π++的图象， ……12分即())212g x x π=++，所以()36g π=． ……14分16．解：（1）由2280x x +->，解得：4x <-或2x >，则(,4)(2,)A =-∞-+∞ ，……2分 若4m =-，2()34g x x x =--，由2340x x --≤，解得：14x -≤≤，则[1,4]B =- ……4分 所以(2,4]A B = ； ……6分（2）存在1[0,]2x ∈使得不等式2(1)1x m x m +++≤-成立，即存在1[0,]2x ∈使得不等式211x x m x ++-≥+成立，所以2min 1()1x x m x ++-≥+ ……10分 因为2111111111x x x x x x x ++=+=++-≥+++，当且仅当11x +=，即0x =时取得等号所以1m -≥，解得：1m ≤-． ………14分17．解：（1）若8a =-，圆M ：22(1)9x y -+=，圆心M (1,0)，半径为3． ………2分 若切线斜率不存在，圆心M 到直线4x =的距离为3，所以直线4x =为圆M 的一条切线； ………4分 若切线斜率存在，设切线方程为：5(4)y k x -=-，化简为：450kx y k --+=，则圆心到直3=，解得：815k =． 所以切线方程为4x =或815430x y -+=； ………7分 （2）圆M 的方程可化为22(1)1x y a -+=-，圆心M (1,0)，则1OM =设圆的半径1)r a < …………9分 因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA MB =- ，且||||M A M B r ==，则222()()()()()()1OA OB OM MA OM MB OM MB OM MB OM MB r ⋅=+⋅+=-⋅+=-=- …12分 又因为6OA OB ⋅=-，解得：r………14分18．解：（1）在ABC ∆中，222900490064001cos 2230707AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⋅⨯⨯ ……3分所以sin ABC ∠=………5分 （2）在ABD ∆中，由sin sin sin AD AB BDABD BAD θ==∠∠得：30sin θ==所以7sin AD θ=，30sin 30777sin sin 7BD θθθθθ-==- ………9分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元，则运输总费用(53)282[5(70)34]y CD BD k k AD k BD BD AD =+⨯+⨯⨯==-++3o s3632c o s7720[352()4]20[35]sin 7sin 7sin k k θθθθθ-=--+⨯=++ ……11分令2cos ()sin H θθθ-=，则212cos '()sin H θθθ-=，设'()0H θ=，解得：1cos ,23πθθ==当03πθ<<时，()0,()H H θθ'<单调减；当32ππθ<<时，()0,()H H θθ'>单调增3πθ∴=时，()H θ取最小值，同时y 也取得最小值． ……14分此时30907sin 77BD θθ=-=，满足900707<<，所以点D 落在BC 之间所以3πθ=时，运输总成本最小．答：3πθ=时，运输总成本最小． ………16分19．解：（1）设(,0)F c 且222c a b =-，00(,)P x y ，则00(,)Q x y -， 所以00y k x c =-，00'y k x c =--，因为2NF FP = ，所以02()c x c =-，即032x c = ………3分 ∴0002y y k x c c ==-，0002'5y y k x c c ==--- ∴5'k k =-，即5'k k =-为定值 ………6分 （2）若AN FP =，则3AF FP =，所以3AF FP = ，解得：01(,3)2A c y --因为点A 、P 在椭圆C 上，则220222202291149124y c a b y c a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（）（），(1)9(2)⨯-得：228084c a =，解得：2225c a = ………10分则2223c b =，代入（1）得：22002213102y y c b ==，202320y c =因为0013462APQ S c y cy ∆=⨯⨯=且APQ S ∆=，解得：220125c y =，则24c = ………14分所以椭圆方程为：221106x y +=． ………16分20．解：（1）∵22(1)'()x ae x x f x x -+= ∴'(1)1f =, (1)1f ae =+∴函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：(1)1y ae x -+=-，又直线过点(0,1)-∴1(1)1ae --+=-，解得：1a e=- ………2分（2）若0a <，22(1)'()x ae x x f x x-+=， 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x >恒成立，函数在(,0)-∞上无极值；当(0,1)x ∈时，'()0f x >恒成立，函数在(0,1)上无极值；方法（一）在(1,)+∞上，若()f x 在0x 处取得符合条件的极大值0()f x ，则0001()0'()0x f x f x >⎧⎪>⎨⎪=⎩，…5分则00000200201102(1)03x x x ae x x ae x x x ⎧⎪>⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪-+⎪=⎪⎩（）（）（），由（3）得：02001x x ae x =--，代入（2）得： 00001x x x -+>-，结合（1）可解得：02x >，再由0000()0x ae f x x x =+>得：020x x a e >-，设2()x x h x e=-，则(2)'()xx x h x e -=，当2x >时，'()0h x >，即()h x 是增函数， 所以024()(2)a h x h e>>=-，又0a <，故当极大值为正数时，24(,0)a e ∈-，从而不存在负整数a 满足条件． ………8分 方法（二）在(1,+)x ∈∞时，令2()(1)x H x ae x x =-+，则'()(2)x H x ae x =+ ∵(1,+)x ∈∞ ∴(,+)x e e ∈∞ ∵a 为负整数 ∴1a ≤- ∴x ae ae e ≤≤- ∴20x ae +< ∴'()0H x < ∴()H x 在(1,)+∞上单调减又(1)10H =>，22(2)440H ae e =+≤-+< ∴0(1,2)x ∃∈，使得0()0H x = …5分 且01x x <<时，()0H x >，即'()0f x >；0x x >时，()0H x <，即'()0f x <； ∴()f x 在0x 处取得极大值0000()x ae f x x x =+ （*） 又02000()(1)0x H x ae x x =-+=∴00001x x ae x x =--代入（*）得：0000000(2)()011x x x f x x x x -=-+=<-- ∴不存在负整数a 满足条件． ………8分 （3）设2()(1)x g x ae x x =-+，则'()(2)x g x x ae =+，因为0a >，所以，当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x <时，'()0g x <，()g x 单调递减；故()g x 至多两个零点．又(0)0g a =-<，(1)10g =>，所以存在1(0,1)x ∈，使1()0g x = 再由()g x 在(0,)+∞上单调递增知， 当1(0,)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x =<，()f x 单调递减； 当1()x x ∈+∞，时，()0g x >，故2()'()0g x f x x=>，()f x 单调递增； 所以函数()f x 在1x 处取得极小值． ………12分 当0x <时，1x e <，且10x -<，所以222()(1)(1)x g x ae x x a x x x ax a =-+>-+=+-，函数2y x ax a =+-是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使()0g t >，又(0)0g a =-<， 故在(,0)t 上存在2x ，使2()0g x =， 再由()g x 在(,0)-∞上单调递减知， 当2()x x ∈-∞,时，()0g x >，故2()'()0g x f x x =>，()f x 单调递增； 当2(,0)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x=<，()f x 单调递减； 所以函数()f x 在2x 处取得极大值．综上，函数()f x 既有极大值，又有极小值． ………16分数 学 试 题Ⅱ参考答案21．解：解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f a a λλλλλ--==----- ………4分矩阵231M a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为4 ………8分 所以4为方程0)(=λf 的一个根，则2330a ⨯-=，解得2a =． ………10分22．解：解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．272107(0)15C P C ξ=== ………3分11372107(1)15C C P C ξ=== ………6分232101(2)15C P C ξ=== ………9分则7713()0121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯= 答：数学期望()E ξ为35． …………10分23．解：（1）如图，以A 为坐标原点，,,AD AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,1,0)C 、(0,0,2)P 、D(1,0,0)、1(0,,1)2E，………2分从而1(1,,1),(1,0,2).2CE PD =--=-∴cos ||||CE PDCE PD CE PD ⋅<>==⋅,即CE 与PD． ………4分 （2）点F 在棱PC 上，且P F P C λ=，所以P F P C λ=，于是(,,22F λλλ-，(,1,22)BF λλλ=-- ，又(0,1,0)CD =- ，1(1,,1)2CE =-- ．设(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，则00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得0102y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取1x =，则(1,0,1)n = ………6分 设直线BF 与平面CDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF n θ=<>=………8分令2t λ=-，则[1,2]t ∈，所以sin θ=当179t =，即9[1,2]7t =∈时，29146t t -+有最小值59，此时sin θBF 与平面CDE 所成的角最大，此时952277t λ=-=-=，即λ的值为57． ……10分24．解：（1）设121{}A A a = ，共有3种，即(2,1)3f =； ………1分 设1212{,}A A a a = ，若1A =∅，则有1种；若11{}A a =，则有2种；若12{}A a =，则有2种；若112{,}A a a =，则有4种；即(2,2)9f =； ………2分设12312{,}A A A a a = ，若1A =∅，则2312{,}A A a a = ，所以有(2,2)9f =种；若11{}A a =，则2312{,}A A a a = 或232{}A A a = ，所以有(2,2)(2,1)12f f +=；若12{}A a =，则有12种；若112{,}A a a =，则2312{,}A A a a = 或231{}A A a = 或232{}A A a = 或23A A =∅ ，所以有133916+++=种；即(3,2)49f =； ………4分（2）猜想2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈，用数学归纳法证明．当2n =时，(2,2)9f =，结论成立； ………5分 假设n k =时，结论成立，即2(,2)(21)k f k =-， 当+1n k =时，123112{,}k A A A A a a +=当1k A +=∅时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种； 当11{}k A a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种， 或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，共有2(21)k k -种； 同理当12{}k A a +=时，共有2(21)k k -种；当112{,}k A a a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种， 或1231{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或123k A A A A =∅ ，所以有1种，共有22k 种；则212(1,2)4(21)4(21)1(21)k k k f k ++=-+-+=-所以，当+1n k =时，结论成立； ………9分所以2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈………………10分。

江苏省扬州中学2016-2017学年度第一学期10月份测试高 二 数 学 试 卷 2016年10月7日（本试卷考试时间120分钟，满分160分，请将答案做在答题卡上） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.直线的倾斜角为 ▲ ．2. 焦点在轴上的椭圆m x2＋4y2＝1的焦距是2，则m 的值是____▲____． 3.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点____▲___．4. 从点引圆的切线，则切线长是 ▲ ．5. 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆25x2＋9y2＝1上一点，则三角形PF 1F 2的周长等于 ▲ ． 6. 圆，圆，则这两圆公切线的条数为▲ ．7. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ▲ ．8. 圆关于直线对称的圆的标准方程是 ▲ .9. 已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为 ▲ ． 10. 圆，则圆上到直线距离为3的点共有▲个．11. 在平面直角坐标系中，若直线与圆心为的圆相交于，两点，且为直角三角形，则实数的值是 ▲ ． 12. 已知椭圆，点依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 与直线的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____▲ __. 13. 已知圆，点在直线上，为坐标原点.若圆上存在点使得，则的取值范围为 ▲ ．14. 若对于给定的负实数，函数的图象上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为2，则的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.（本小题满分14分）已知直线和．问：m 为何值时，有：（1）；（2）．16.（本小题满分14分）已知椭圆818x2＋36y2＝1上一点，且，．（1）求的值；（2）求过点M 且与椭圆9x2＋4y2＝1共焦点的椭圆的方程．17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，己知点，，、分别为线段，上的动点，且满足.（1）若，求直线的方程;（2）证明：的外接圆恒过定点（异于原点）.18.（本小题满分15分）在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点正北55海里处有一个雷达观测站.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东(其中，)且与点相距海里的位置. （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.19.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，是线段上的动点，、是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点．（I）若，求直线的方程；（II）若是使恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值．20.（本小题满分16分）已知函数,．（1）当时，求的最小值；（2）若函数图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数的取值范围； （3）若函数在上有零点，求的最小值.10月份测试数学参考答案1.2π2.53. (0,2)4.35.186.27. 3y x =或2y x =+8. 22(4)1x y -+= 9. 2π10.3 11. －1 12.12 13. []0,2 14. 902k -<<15.解：（1）∵12l l ，∴(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-； 当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去．当25-=m 时，1211:50,:665,22l x y l x y -+-=-=即12l l∴当25-=m 时，12l l ．（2）由6(2)(3)(21)0m m m +++-=得1m =-或92m =-； ∴当1m =-或92m =-时，12l l ⊥．16.解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.故M 的横坐标03x =-.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.17. 解：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -， 由4BD =，得(5,0)D ，所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=．（2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =．则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=， 所以D 点的坐标为 (5+4,0)m又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,+2=0x y x y x y ⎧+--⎨⎩，所以0,0.x y =⎧⎨=⎩（舍）或2,1.x y =⎧⎨=-⎩ 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．18.解 ：（I ）如图，AB =402，AC=1013，26,sin .26BAC θθ∠==由于0<θ<90,所以cos θ=2265261().2626-= 由余弦定理得BC=222cos 10 5.AB AC AB AC θ+-=所以船的行驶速度为10515523=（海里/小时）.（II ）如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）,C （x 1，y 2）,BC 与x 轴的交点为D.由题设有，x 1=y 1=AB=40,x 2=ACcos )30CAD θ∠=-=, y 2=ACsin )20CAD θ∠=-=. 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d7.=<所以船会进入警戒水域.19.解：（I ）由题意可知，圆C 的直径为A D ，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=． 当直线2l 垂直于x 轴时，方程为1x =，不合题意；当直线2l 不垂直于x 轴时，设2l 方程为：(1)y k x =-，则222(21)3101k k-+=+， 解得 10k =，243k =， 当0k=时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=．（II ）设(,)M x y ，由点M 在线段A D 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=． 由AM ≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥． 依题意知，线段A D 与圆224220()()339x y -++≥至多有一个公共点，≥，解得t ≥或t ≥．因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以，t =4．所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= （1）当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQS =；（2）当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)yk x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)y x k =--，点1(0,)E k．所以，BE =．又圆心Ｃ到2l，所以，PQ ==故12EPQSBE PQ =⋅===．2<所以，()EPQ minS =20.解：（1）min ()1f x =- （2）由题意可知，()f x ax =+1x ≥-在[)1,-+∞上恒成立，把根式换元之后容易计算出12a ≤≤； （3）422()()(1)1h x x f x x bx ⎡=+-+++⎣=0，即2210a x ax b x x ++++=， 令1t x x=+,方程为220,2t at b t ++-=≥， 设2()2g t t at b =++-，2t ≥，当22a->，即4a <-时，只需2480a b ∆=-+≥，此时，2216a b +>； 当22a -≤，即4a -≤时，只需22220a b ++-≤，即220a b ++≤，此时2245a b +≥．故22a b +的最小值为45．。

2016-2017学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“?x＞0，”的否定为．
2．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．
3．如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为．
4．抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为．
5．将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图
中a的值为．
6．函数的图象在x=1处的切线方程为．
7．若双曲线的一条渐近线方程为，则m=．8．“a=3”
是“直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）
9．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则m的。

2015-2016学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是__________．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为__________命题．（填“真”、“假”）3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于__________．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的__________条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__________．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为__________．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是__________．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l⊂β8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为__________．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c （c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是__________．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=__________．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为__________．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下__________滴．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为__________．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC 经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．17．（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（y﹣m）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”．（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题．（填“真”、“假”）【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑；推理和证明．【分析】写出原命题的逆命题，再由不等式的基本性质，判断真假，可得答案．【解答】解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为：“若a＜bam2＜bm2，则am2＜bm2”，当m=0时，显然不成立，故为假命题；故答案为：假【点评】本题考查的知识点是四种命题，不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于4．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程即可求出m的值．【解答】解：椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），可得，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的必要不充分条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2＜1⇔﹣1＜x＜1推不出0＜x＜1，由0＜x＜1⇒x2＜1，∴“x2＜1”是“x＜1”的必要不充分，故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是l∥A1C1．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得l∥A1C1．【解答】解：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】由于与双曲线有共同的渐近线，故方程可假设为，再利用过点（2，2）即可求【解答】解：设双曲线方程为∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l⊂β【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】对于四个选项利用线面平行与垂直以及面面平行与垂直的定理，公理逐个进行判断即可．【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②【点评】本题主要考查空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系．是对课本定理，公理以及推论的考查，是基础题．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离．【分析】通过侧面展开图的面积，求出圆锥的母线长与底面圆的半径，即可求出圆锥的高．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h===．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意把|AF|用含有a，b的代数式表示，结合|AF|=c列式得到关于a，c的方程，转化为关于e的方程得答案．【解答】解：如图，由+=1（a＞b＞0），得，∴，取x=c，可得，∵|AF|=c，∴|AF|2=，整理得：c4﹣3a2c2+a4=0，即e4﹣3e2+1=0，解得（舍）或，∴．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆通径的应用，是基础的计算题．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程求出焦距，利用双曲线的定义和余弦定理能求出∠F1PF2．【解答】解：由，得a2=9，b2=16，∴c=5，∴|F1F2|=2c=10，设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=6，∴，∵|PF1||PF2|=64，∴，∴cos∠F1PF2==，∴∠F1PF2=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线是几何性质，考查双曲线的定义，注意余弦定理的合理运用，是中档题．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为3．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据椭圆方程设出x=3cosθ，y=sinθ，表示出S利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得S的最大值．【解答】解：椭圆+y2=1，设x=3cosx，y=sinx∴x+3y=3cosx+3sinx=3sin（x+）≤3．∴最大值为3．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下75滴．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；方程思想；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】设每分钟滴下k（k∈N*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．【解答】解：设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积=156πcm3，k滴球状液体的体积=mm3=cm3，∴156π=×156，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．故答案为：75．【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC 经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e 的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，可得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）若p为真命题，根据根式成立的条件进行求解即可求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，得到p与q一真一假，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，故p为真命题时a的取值范围为[0，3]．（2）故q为真命题时a的取值范围为由题意得，p与q一真一假，从而当p真q假时有a无解；当p假q真时有∴．∴实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断以及真假关系的应用，求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AB∥CD，利用直线与平面平行的判定定理证明AB∥平面CDE．（2）证明CD⊥平面ADE，CD⊥DE．通过体积转化V D﹣ACE=V A﹣CDE．求解即可．【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（2）因为AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°∴∠ADE=30°∴AE=1因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又DE⊂平面ADE，所以CD⊥DE．∵．∴．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．17．（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（y﹣m）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”．（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【专题】计算题；对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】（1）分别求出p，q为真时的m的范围，根据“p且q”是真命题，得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出s为真时的m的范围，结合q是s的必要不充分条件，得到关于t的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若p为真：（1+m）2+（3﹣m）2≥16解得m≤﹣1或m≥3，若q为真：则解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4若“p且q”是真命题，则，解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4；（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1，由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}，即或t≥4，解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意可得：，∴，进而求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x0，y0），则根据题意可得：x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，再联立椭圆的方程可得：A（0，﹣1）或，进而根据圆的有关性质求出元得方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，…∴，∴，…所以椭圆C的标准方程是．…（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），…设A（x0，y0），则，∵，∴x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，…代入，得：或，即A（0，﹣1）或．…当A为（0，﹣1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1；…当A为时，k BF=﹣1，k AF=1，所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆．由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为．…（14分）综上所述，△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质与向量的数量积表示．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）取棱AP中点F，连接DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，可得CE∥DF，即可证明CE∥平面ADP；（2）证明CE⊥平面PAB，利用CN∥DF，可得DF⊥平面PAB，即可证明平面PAD⊥平面PAB；（3）存在，．取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，证明NQ⊥平面ABCD，即可得出结论．【解答】（1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EF．∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且∵CD∥AB，且，∴EF∥CD，且EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF∵DF⊂平面ADP，CE⊂平面ADP，∴CE∥平面ADP（2）证明：由（1）可得CE∥DF∵PC=BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD∴AB⊥平面PBC又∵CE⊂平面PBC，∴AB⊥CE又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PBC，∴CE⊥平面PAB∵CN∥DF，∴DF⊥平面PAB又∵DF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB；（3）解：存在，．证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，在平面ABCD中由平几得，∴∥OP．∵O为等腰△PBC底边上的中点，∴PO⊥BC，∵PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，∵NQ⊂平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．【点评】本题考查线面垂直、线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，求得A的坐标，解方程可得a，b；（2）求出椭圆方程，求得A，B的坐标，①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4），联立直线方程求出M，N的坐标，可得直线MN的斜率；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，同理求得M，N的坐标，可得直线MN的斜率．【解答】解：（1）因为e==，即c2=a2，即a2﹣b2=a2，则a2=2b2；故椭圆方程为+=1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故a=2，b=2；（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；，所以k CB=﹣；同理k DB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；∴，从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；∴，即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N（，﹣2），从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．。

2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．sin240°=．2．复数z=i（1﹣i）的虚部为．3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为．4．不等式的解集为．5．已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．6．若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=．8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=．9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D 为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为．11．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．16．函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．20．已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．三、解答题（共4小题，满分40分）21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．24．已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．sin240°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由诱导公式sin=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin=﹣sinα得：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣2．复数z=i（1﹣i）的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为x2=2y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，∴﹣=﹣，∴p=1，∴抛物线方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．4．不等式的解集为{x|x＜0或x＞1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵，∴即，∴等价于x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．故答案为：{x|x＜0或x＞1}．5．已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0∴l1与l2间的距离d==．故答案为：．6．若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=x z，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由得到A（4，2），所以z的最大值为4+2×2=8；故答案为：8．7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=﹣2或1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，解得m=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D 为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为27．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为：=4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为：=27故答案为：2711．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．【考点】基本不等式．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是[﹣2，0）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值范围．【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出：y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．由图象可知k∈[﹣2，0）．故答案为：[﹣2，0）．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．解得：≤x≤，所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象．∴=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3．16．函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质．【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min，解得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…所以A∩B=（2，4]；…（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min…因为=x+1+﹣1≥1，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以﹣m≥1，解得：m≤﹣1．…17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为k，则l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…所以sin∠ABC=．…（2）在△ABD中，由得：AD=，BD=﹣…设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35++﹣）…令H（θ=，则H′（θ）=．当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增∴θ=时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．…此时BD=，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间所以θ=时，运输总成本最小．答：θ=时，运输总成本最小．…19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==，=﹣5为定值；（2）由，，=3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=，=，由三角形的面积公式可知：S=△APQ•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，∵．∴c=2（x2﹣c），即x2= c …∴k==，k'==，∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值．…（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）∵点A、P在椭圆C上，则，整理得：=8，解得：=，…则，代入得：=，=，=•3c•4y1=6cy1=，∵△APQ的面积为S△APQ解得：c2=，∴c2=4，…∴椭圆方程为：．…20．已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣…（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=ae x（x﹣1）+x2，则H′（x）=（ae x+2）x，∵x∈（1，+∞），∴e x∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴ae x≤ae≤﹣e∴ae x+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，=0 …又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值（*）又H（x0）=ae x0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（3）设g（x）=ae x（x﹣1）+x2，则g′（x）=（ae x+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…当x＜0时，e x＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=ae x（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…三、解答题（共4小题，满分40分）21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．【考点】特征向量的定义；矩阵特征值的定义．【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，由矩阵M的一个特征值为4，∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，解得：a=2，实数a的值2．1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．∴E（ξ）=+1×+2×=．答：数学期望为．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），…设直线BF与平面CDE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，…令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为．…24．已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．【考点】并集及其运算．【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；…设A1∪A2={a1，a2}，若A1=∅，则有1种；若A1={a1}，则有2种；若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；…设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=∅，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=∅，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，={a1，a2}当n=k+1时，A1∪A2∪…∪A k+1=∅时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；当A k+1={a1}时，A1∪A2∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，当A k+1或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；同理当A k+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，当A k+1或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k=∅，所以有1种，共有22k种；则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*．…2016年12月10日。

江苏省扬州中学2017-2018学年高二年级期中考试高二数学一、填空题：1.直线012:=+-y x l 的斜率为 .2.命题R x p ∈∃:，使得012≤+x 的否定为 . 3.直线02:=-+k y kx l 经过定点的坐标为 .4.若命题),(4:112121R y x y x p ∈<+，命题:q 点),(11y x 在圆422=+y x 内，则p 是q 的条件.5.已知两条直线22:1+=+a ay x l ，1:2+=+a y ax l ，若21l l ⊥，则=a .6.命题:p “若b a >，则ba 11<”的否命题是 （填：真、假）命题. 7.两圆04816622=-+-+y x y x 与0448422=--++y x y x 的公切线条数为 .8.若直线02=--y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22，则实数a 的值为 .9.离心率为2且与椭圆192522=+y x 有共有焦点的双曲线方程是 . 10.椭圆12622=+y x 和双曲线11-322=y x 的公共焦点21,F F ，P 是两曲线的一个交点，那么21cos PF F ∠的值是 .11.在平面直角坐标系xoy 中，由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+--100222222y x yy x x 所确定的图形的面积为 .12.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过原点O 的直线交椭圆于点P A ,，且PF 垂直于x 轴，直线AF 交椭圆于点B ，PA PB ⊥，则该椭圆的离心率=e .13.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线x y 22=的焦点为F ，设M 是抛物线上的动点，则MFMO的最大值为 .14.已知对于点)12,0(A ，)9,10(B ，)0,8(C ，)7,4(-D ，存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S 的不同边所在直线上，设正方形S 面积为k ，则k 10的值为 . 二、解答题15．已知命题:p “方程11922=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:q “方程1222=+-ky k x 表示双曲线”. （1）若p 是真命题，求实数k 的取值范围； （2）若“p 或q ”是真命题，求实数k 的取值范围.16.已知圆M 的方程为1)2(22=-+y x ，直线l 的方程为02=-y x ，点p 在直线l 上，过p点作圆M 的切线PB PA ,，切点为B A ,. （1）若060=∠APB ，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为)1,2(，过P 作直线与圆M 交于D C ,两点，当2=CD 时，求直线CD 的方程.17. 古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决，首先作一个通径为a 2（其中正数a 为原立方体的棱长）的抛物线1C ，如图，再作一个顶点与抛物线1C 顶点O 重合而对称轴垂直的抛物线2C ，且与1C 交于不同于点O 的一点P ，自点P 向抛物线1C 的对称轴作垂线，垂足为M ，可使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍. （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线1C 的标准方程；（2）为使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍，求抛物线2C 的标准方程（只须以一个开口方向为例）.18. 如图，AOB ∆的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，B A ,两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=∙MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W .（1）求轨迹W 的方程；（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .19. 已知椭圆C ：)0(12422>>=+b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切；（2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.20. 已知椭圆C ：1121622=+y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于D C ,，连结BC AD ,交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=.（1）求21,λλ的值；（2）求证：点Q 在一定直线上.试卷答案一、填空题1.22. R x ∈∀，使得012>+x 3. )0,2( 4.充要 5.0 6.假 7.28.0或4 9. 112422=-y x 10. 31 11. π50 12. 2213. 33214.1936 二、解答题15.（1）命题p ：“方程11922=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆”，则⎩⎨⎧>-->-0119k k k ，解得51<<k .（2）命题:q “方程1222=+-ky k x 表示双曲线”，则0)2(<-k k ，解得2>k 或0<k . 若“p 或q ”是真命题，则q p ,至少一个是真命题，即一真一假或全为真. 则⎩⎨⎧≤≤<<2051k k 或⎩⎨⎧><≥≤2051k k k k 或或或⎩⎨⎧<><<0251k k k 或，所以21≤<k 或0<k 或5≥k 或52<<k . 所以0<k 或1>k .16.（1）设),2(m m P ，由条件可知2=MP ，所以4)2()2(22=-+m m ，解之得：0=m ，54=m ， 故所求点P 的坐标为)0,0(P 或)54,58(P（2）设直线CD 的方程为：)2(1-=-x k y ，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以21|12|22k k +--=，解得：1-=k 或71-. 故所求直线CD 的方程为：03=-+y x 或097=-+y x . 17.（1）以O 为原点，OM 为x 轴正向建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线1C 的通径为a 2，所以标准方程为ax y 22=.（2）设抛物线)0(:22>=m my x C ，又由题意，3222a x OM P ==，所以a x p 32=，代入ax y 22=，得：23222a y p =，解得：a y p 34=所以点)4,2(33a a P 代入my x =2 得：a m a 3234)2(=，解得：a m = 所以抛物线2C 为：ay x =2.18.（1）因为B A ,两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行，设),(y x M ，由题意，得)3,(x x A ，)3,(x x B -， 所以y x AM -=3||，x y MB 3||+=， 因为3||||=∙MB AM ，所以3)3)(3(=+-x y y x ，即1322=-y x ， 所以点M 的轨迹W 的方程为1322=-y x )1(≥x （2）设),(y x M ，则22)(||y m x MP +-=，因为点M 在1322=-y x )1(≥x ，所以3322-=x y ， 所以32433)(||2222-+-=-+-=m mx x x m x MP 343)4(422-+-=m m x若14<m，即4<m ，则当1=x 时，|1|||min -=m MP ； 若14≥m，即4≥m ，则当4m x =时，12321||2min -=m MP 所以，||PM 的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=4,1232140|,1|)(2m m m m m f . 19.（1）由题设)2,0(D ，)0,2(F ，)0,2(A ， 又DF AP //，所以DF AP k k =，可得：2=t ， 所以122:=+yx AP ，即2=+y x ， 所以22|2|=-=d ，为圆222=+y x 的半径， 所以直线AP 与圆222=+y x 相切.（2）设)2,(0x Q ，),(11y x E ，由OE OQ ⊥，则⊥，可得02110=+y x x ， 而EQ ：0)(2)2()()2(0101011=-+-----x x x y y x x x y20121101201210101)()2(|2|)()2(|)(2)2(-|x x y x x y x x y x x x y d -+--=-+--+-=由02110=+y x x 得1102x y x -=代入上式， 得42))(4(||2)2()2(||221212122121212121212121212121++=+++=++-+=x x y y x x x y y x y x x y d又422121=+y x ，212124y x -=，代入上式得：2=d所以直线EQ 与圆222=+y x 相切.20.（1）因为)0,2(-F ，由x BF ⊥轴，由对称轴不妨设)3,2(--B ，则直线)4(23:+-=x y AB 又左准线8:-=x l ，所以)6,8(-P ，又CQ BC 1λ=，所以111λλ++=PQPB PC同理：由2λ=，得：221λλ++=又23=，所以11123λλ++=PQPA 又//，比较系数得：12312λλ=，所以2321=∙λλ（2）证明：设点),(11y x C ，),(22y x D ，),(00y x Q 由1λ=，得101112λλ++-=x x ，11113λλ++-=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)13(4)12(321012101=++-+++-λλλλy x ，整理得：0)962412()4843(100212020=++--+λλy x y x显然01≠λ，所以48439624122020001-+++=y x y x λ 同理：由2λ=，得：220214λλ+-=x x ，221λ+=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)1(4)14(32202220=+++-λλλyx同理可得：96244843020202+-+=x y x λ又由（1）2321=λλ，所以2396244843484396241202020202000=+-+∙-+++x y x y x y x整理得：0200=+-y x 即点Q 在定直线02=+-y x 上.。

江苏省扬州中学2017-2018学年高二年级期中考试高二数学一、填空题：1. 直线的斜率为____________.【答案】2【解析】将直线方程整理为斜截式即：，据此可得直线的斜率为.2. 命题，使得的否定为___________.【答案】，使得【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题，使得的否定为，使得.3. 直线经过定点的坐标为___________.【答案】【解析】直线方程即：,结合直线的点斜式方程可知，直线经过定点的坐标为4. 若命题，命题点在圆内，则是的___________条件. 【答案】充要【解析】由点与圆的位置关系有：若点在圆内，则；若点在圆上，则；若点在圆外，则；据此可知：是的充要条件.5. 已知两条直线，，若，则___________.【答案】0【解析】由直线垂直的充要条件结合题意可得：,求解关于实数的方程可得：.6. 命题“若，则”的否命题是___________（填：真、假）命题.【答案】假【解析】命题的否命题为：若，则，取可得该否命题为假命题.7. 两圆与的公切线条数为___________.【答案】2【解析】题中所给圆的标准方程即：与，两圆的圆心坐标为：，圆心距：，由于，故两圆相交，则两圆公切线的条数为2.点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．8. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为___________. 【答案】0或4【解析】圆心到直线的距离为：，结合弦长公式有：，求解关于实数的方程可得：或.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝ |x1－x2|9. 离心率为2且与椭圆有共有焦点的双曲线方程是___________.【答案】【解析】设曲线的方程为，由题意可得：，求解方程组可得：，则双曲线的方程为：.【答案】【解析】不妨假设，则：椭圆方程中，，①双曲线方程中，，②①②联立可得：,而，结合余弦定理有：11. 在平面直角坐标系中，由不等式所确定的图形的面积为___________.【答案】【解析】不等式：即：则不等式组即：或，由曲线的对称性可得：所求面积为半径为的圆的面积的一半，即.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．12. 椭圆的右焦点为，过原点的直线交椭圆于点，且垂直于轴，直线交椭圆于点，，则该椭圆的离心率___________.【答案】【解析】此题考查椭圆的相关性质和直线方程的相关知识，利用结论：若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即；求解较简单；由已知得，，取中点，可知，又因为,所以，又因为，由，13. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，设是抛物线上的动点，则的最大值为___________.【答案】【解析】试题分析：焦点F（，0），设M（m，n），则，m＞0，设M 到准线的距离等于d，则．令，，则，（当且仅当时，等号成立）．故的最大值为考点：抛物线的简单性质14. 已知对于点，，，，存在唯一一个正方形满足这四个点在的不同边所在直线上，设正方形面积为，则的值为___________.【答案】1936【解析】很明显，直线的斜率均存在，设经过点的直线的斜率为，则直线方程为：，两平行线之间的距离为：，设经过点的直线的斜率为，则直线方程为：，两平行线之间的距离为：，.四边形为正方形，则：,整理可得：，解得：.当时不合题意，舍去，取，正方形的边长为：，故：.二、解答题15. 已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”，命题“方程表示双曲线”.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若“或”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数k的不等式组，求解不等式组有.(2)由题意可得，命题至少一个是真命题，即一真一假或全为真.据此得到关于实数k的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是或.试题解析：（1）命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”，则，解得. （2）命题“方程表示双曲线”，则，解得或.若“或”是真命题，则至少一个是真命题，即一真一假或全为真.则或或，所以或或或.所以或.16. 已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1）或（2）所求直线的方程为：或.【解析】试题分析：(1)设出点P的方程，利用两点之间距离公式得到关于实数m的方程，解方程求得实数m的值可得点的坐标为或(2)由题意可得圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式得到关于实数k的方程，解方程可得直线的方程为：或.试题解析：（1）设，由条件可知，所以，解之得：，，故所求点的坐标为或（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得：或.故所求直线的方程为：或.点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．17. 古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决，首先作一个通径为（其中正数为原立方体的棱长）的抛物线，如图，再作一个顶点与抛物线顶点重合而对称轴垂直的抛物线，且与交于不同于点的一点，自点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为，可使以为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍.（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；（2）为使以为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍，求抛物线的标准方程（只须以一个开口方向为例）.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)以为原点，为轴正向建立平面直角坐标系，结合抛物线的性质可得抛物线的标准方程为.(2)不妨设焦点位于y轴正半轴，结合题意计算可得抛物线方程为.试题解析：（1）以为原点，为轴正向建立平面直角坐标系，由题意，抛物线的通径为，所以标准方程为.（2）设抛物线，又由题意，，所以，代入，得：，解得：所以点代入得：，解得：所以抛物线为：.18. 如图，的顶点在射线上，两点关于轴对称，为坐标原点，且线段上有一点满足，当点在上移动时，记点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）设为轴正半轴上一点，求的最小值.【答案】（1）（2）的最小值【解析】试题分析：(1)设，由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得，即点的轨迹的方程为(2)由题意设，计算可得，分类讨论和两种情况，结合二次函数的性质有：的最小值.试题解析：（1）因为两点关于轴对称，所以边所在直线与轴平行，设，由题意，得，，所以，，因为，所以，即，所以点的轨迹的方程为（2）设，则，因为点在，所以，所以若，即，则当时，；若，即，则当时，所以，的最小值.19. 已知椭圆：上顶点为，右焦点为，过右顶点作直线，且与轴交于点，又在直线和椭圆上分别取点和点，满足（为坐标原点），连接.（1）求的值，并证明直线与圆相切；（2）判断直线与圆是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)两直线平行，则斜率相等，据此解方程可得，且直线的方程为，考查圆心到直线的距离与圆的半径的关系可得直线与圆相切.(2)设，，则直线EQ的方程为，圆心到直线的距离，结合韦达定理可得直线与圆相切.试题解析：（1）由题设，，，又，所以，可得：，所以，即，所以，为圆的半径，所以直线与圆相切.（2）设，，由，则，可得，而：由得代入上式，得又，，代入上式得：所以直线与圆相切.20. 已知椭圆：左焦点，左顶点，椭圆上一点满足轴，且点在轴下方，连线与左准线交于点，过点任意引一直线与椭圆交于，连结交于点，若实数满足：，.（1）求的值；（2）求证：点在一定直线上.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意结合直线AB的方程为，结合向量平行的充要条件比较系数可得..................试题解析：（1）因为，由轴，由对称轴不妨设，则直线又左准线，所以，又，所以同理：由，得：又，所以又，比较系数得：，所以（2）证明：设点，，由，得，代入椭圆方程，得：，整理得：显然，所以同理：由，得：，代入椭圆方程，得：同理可得：又由（1），所以整理得：即点在定直线上.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

江苏省扬州市2016-2017学年度高三第一学期期中测试数 学 试 题 （Ⅰ）2016．11 一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）分）1.0240sin = 。

2.复数)1(i i z -=的虚部为的虚部为 。

3.抛物线)0(22>=p py x 的准线方程为21-=y ，则抛物线方程为，则抛物线方程为 。

4.不等式21<+xx 的解集为的解集为。

5.已知平行直线0142:,022:21=+-=--y x l y x l ，则1l 与2l 之间的距离为之间的距离为 。

6.若实数y x ,满足条件ïîïíì³+-£+-³-02540232y x y x y ，则目标函数y x z 2+=的最大值为的最大值为。

7.已知向量)2,(),1,1(m b m a =+=，则b a //的充要条件是m = 。

8.已知2tan ,3)4tan(==+b pa ，则)tan(b a -= 。

9.已知函数x a x x f sin )(+=在),(+¥-¥上单调递增，则实数a 的取值范围是的取值范围是 。

10.已知圆02024:22=---+y x y x C ，直线01534:=+-y x l 与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则ABD D 面积的最大值为面积的最大值为 。

11.若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。

12.已知函数kxx x x f ---=1|1|)(2无零点，则实数k 的取值范围是的取值范围是 。

13.双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，直线x y 34=与双曲线相交于A 、B 两点。

若BF AF ^，则双曲线的渐近线方程为，则双曲线的渐近线方程为 。

2016-2017学年度高三第一学期期中测试数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案2016．11一、填空题1． 2．1 3．22x y = 4．(,0)(1,)-∞+∞ 56．8 7．2-或1 8．34- 9．[1,1]- 10． 27 11．23 12．20k -≤<13．2y x =± 14．)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：（1）2()2cos()sin (sin cos )sin 2cos222f x x x x x x x π=-++=-+)24x π-+ ……4分由()222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是()3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ……8分（2）由（1）知())24f x x π-+把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)24y x π=-+的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到 ())212g x x π++的图象， ……12分即())212g x x π=++，所以()36g π=． ……14分16．解：（1）由2280x x +->，解得：4x <-或2x >，则(,4)(2,)A =-∞-+∞ ，……2分 若4m =-，2()34g x x x =--，由2340x x --≤，解得：14x -≤≤，则[1,4]B =- ……4分 所以(2,4]A B = ； ……6分（2）存在1[0,]2x ∈使得不等式2(1)1x m x m +++≤-成立，即存在1[0,]2x ∈使得不等式211x x m x ++-≥+成立，所以2min 1()1x x m x ++-≥+ ……10分 因为2111111111x x x x x x x ++=+=++-≥+++，当且仅当11x +=，即0x =时取得等号所以1m -≥，解得：1m ≤-． ………14分17．解：（1）若8a =-，圆M ：22(1)9x y -+=，圆心M (1,0)，半径为3． ………2分 若切线斜率不存在，圆心M 到直线4x =的距离为3，所以直线4x =为圆M 的一条切线； ………4分 若切线斜率存在，设切线方程为：5(4)y k x -=-，化简为：450kx y k --+=，则圆心到直3=，解得：815k =． 所以切线方程为4x =或815430x y -+=； ………7分 （2）圆M 的方程可化为22(1)1x y a -+=-，圆心M (1,0)，则1OM =设圆的半径1)r a < …………9分 因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA MB =- ，且||||M A M B r ==，则222()()()()()()1OA OB OM MA OM MB OM MB OM MB OM MB r ⋅=+⋅+=-⋅+=-=- …12分 又因为6OA OB ⋅=-，解得：r………14分18．解：（1）在ABC ∆中，222900490064001cos 2230707AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⋅⨯⨯ ……3分所以sin ABC ∠=………5分 （2）在ABD ∆中，由sin sin sin AD AB BDABD BAD θ==∠∠得：30sin θ==所以7sin AD θ=，30sin 30777sin sin 7BD θθθθθ-==- ………9分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元，则运输总费用(53)282[5(70)34]y CD BD k k AD k BD BD AD =+⨯+⨯⨯==-++3o s3632c o s7720[352()4]20[35]sin 7sin 7sin k k θθθθθ-=--+⨯=++ ……11分令2cos ()sin H θθθ-=，则212cos '()sin H θθθ-=，设'()0H θ=，解得：1cos ,23πθθ==当03πθ<<时，()0,()H H θθ'<单调减；当32ππθ<<时，()0,()H H θθ'>单调增3πθ∴=时，()H θ取最小值，同时y 也取得最小值． ……14分此时30907sin 77BD θθ=-=，满足900707<<，所以点D 落在BC 之间所以3πθ=时，运输总成本最小．答：3πθ=时，运输总成本最小． ………16分19．解：（1）设(,0)F c 且222c a b =-，00(,)P x y ，则00(,)Q x y -， 所以00y k x c =-，00'y k x c =--，因为2NF FP = ，所以02()c x c =-，即032x c = ………3分 ∴0002y y k x c c ==-，0002'5y y k x c c ==--- ∴5'k k =-，即5'k k =-为定值 ………6分 （2）若AN FP =，则3AF FP =，所以3AF FP = ，解得：01(,3)2A c y --因为点A 、P 在椭圆C 上，则220222202291149124y c a b y c a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（）（），(1)9(2)⨯-得：228084c a =，解得：2225c a = ………10分则2223c b =，代入（1）得：22002213102y y c b ==，202320y c =因为0013462APQ S c y cy ∆=⨯⨯=且APQ S ∆=，解得：220125c y =，则24c = ………14分所以椭圆方程为：221106x y +=． ………16分20．解：（1）∵22(1)'()x ae x x f x x -+= ∴'(1)1f =, (1)1f ae =+∴函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：(1)1y ae x -+=-，又直线过点(0,1)-∴1(1)1ae --+=-，解得：1a e=- ………2分（2）若0a <，22(1)'()x ae x x f x x-+=， 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x >恒成立，函数在(,0)-∞上无极值；当(0,1)x ∈时，'()0f x >恒成立，函数在(0,1)上无极值；方法（一）在(1,)+∞上，若()f x 在0x 处取得符合条件的极大值0()f x ，则0001()0'()0x f x f x >⎧⎪>⎨⎪=⎩，…5分则00000200201102(1)03x x x ae x x ae x x x ⎧⎪>⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪-+⎪=⎪⎩（）（）（），由（3）得：02001x x ae x =--，代入（2）得： 00001x x x -+>-，结合（1）可解得：02x >，再由0000()0x ae f x x x =+>得：020x x a e >-，设2()x x h x e=-，则(2)'()xx x h x e -=，当2x >时，'()0h x >，即()h x 是增函数， 所以024()(2)a h x h e>>=-，又0a <，故当极大值为正数时，24(,0)a e ∈-，从而不存在负整数a 满足条件． ………8分 方法（二）在(1,+)x ∈∞时，令2()(1)x H x ae x x =-+，则'()(2)x H x ae x =+ ∵(1,+)x ∈∞ ∴(,+)x e e ∈∞ ∵a 为负整数 ∴1a ≤- ∴x ae ae e ≤≤- ∴20x ae +< ∴'()0H x < ∴()H x 在(1,)+∞上单调减又(1)10H =>，22(2)440H ae e =+≤-+< ∴0(1,2)x ∃∈，使得0()0H x = …5分 且01x x <<时，()0H x >，即'()0f x >；0x x >时，()0H x <，即'()0f x <； ∴()f x 在0x 处取得极大值0000()x ae f x x x =+ （*） 又02000()(1)0x H x ae x x =-+=∴00001x x ae x x =--代入（*）得：0000000(2)()011x x x f x x x x -=-+=<-- ∴不存在负整数a 满足条件． ………8分 （3）设2()(1)x g x ae x x =-+，则'()(2)x g x x ae =+，因为0a >，所以，当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x <时，'()0g x <，()g x 单调递减；故()g x 至多两个零点．又(0)0g a =-<，(1)10g =>，所以存在1(0,1)x ∈，使1()0g x = 再由()g x 在(0,)+∞上单调递增知， 当1(0,)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x =<，()f x 单调递减； 当1()x x ∈+∞，时，()0g x >，故2()'()0g x f x x=>，()f x 单调递增； 所以函数()f x 在1x 处取得极小值． ………12分 当0x <时，1x e <，且10x -<，所以222()(1)(1)x g x ae x x a x x x ax a =-+>-+=+-，函数2y x ax a =+-是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使()0g t >，又(0)0g a =-<， 故在(,0)t 上存在2x ，使2()0g x =， 再由()g x 在(,0)-∞上单调递减知， 当2()x x ∈-∞,时，()0g x >，故2()'()0g x f x x =>，()f x 单调递增； 当2(,0)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x=<，()f x 单调递减； 所以函数()f x 在2x 处取得极大值．综上，函数()f x 既有极大值，又有极小值． ………16分数 学 试 题Ⅱ参考答案21．解：解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f a a λλλλλ--==----- ………4分矩阵231M a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为4 ………8分 所以4为方程0)(=λf 的一个根，则2330a ⨯-=，解得2a =． ………10分22．解：解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．272107(0)15C P C ξ=== ………3分11372107(1)15C C P C ξ=== ………6分232101(2)15C P C ξ=== ………9分则7713()0121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯= 答：数学期望()E ξ为35． …………10分23．解：（1）如图，以A 为坐标原点，,,AD AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,1,0)C 、(0,0,2)P 、D(1,0,0)、1(0,,1)2E，………2分从而1(1,,1),(1,0,2).2CE PD =--=-∴cos ||||CE PDCE PD CE PD ⋅<>==⋅,即CE 与PD． ………4分 （2）点F 在棱PC 上，且P F P C λ=，所以P F P C λ=，于是(,,22F λλλ-，(,1,22)BF λλλ=-- ，又(0,1,0)CD =- ，1(1,,1)2CE =-- ．设(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，则00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得0102y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取1x =，则(1,0,1)n = ………6分 设直线BF 与平面CDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF n θ=<>=………8分令2t λ=-，则[1,2]t ∈，所以sin θ=当179t =，即9[1,2]7t =∈时，29146t t -+有最小值59，此时sin θBF 与平面CDE 所成的角最大，此时952277t λ=-=-=，即λ的值为57． ……10分24．解：（1）设121{}A A a = ，共有3种，即(2,1)3f =； ………1分 设1212{,}A A a a = ，若1A =∅，则有1种；若11{}A a =，则有2种；若12{}A a =，则有2种；若112{,}A a a =，则有4种；即(2,2)9f =； ………2分设12312{,}A A A a a = ，若1A =∅，则2312{,}A A a a = ，所以有(2,2)9f =种；若11{}A a =，则2312{,}A A a a = 或232{}A A a = ，所以有(2,2)(2,1)12f f +=；若12{}A a =，则有12种；若112{,}A a a =，则2312{,}A A a a = 或231{}A A a = 或232{}A A a = 或23A A =∅ ，所以有133916+++=种；即(3,2)49f =； ………4分（2）猜想2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈，用数学归纳法证明．当2n =时，(2,2)9f =，结论成立； ………5分 假设n k =时，结论成立，即2(,2)(21)k f k =-， 当+1n k =时，123112{,}k A A A A a a +=当1k A +=∅时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种； 当11{}k A a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种， 或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，共有2(21)k k -种； 同理当12{}k A a +=时，共有2(21)k k -种；当112{,}k A a a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种， 或1231{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或123k A A A A =∅ ，所以有1种，共有22k 种；则212(1,2)4(21)4(21)1(21)k k k f k ++=-+-+=-所以，当+1n k =时，结论成立； ………9分所以2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈………………10分。

2016-2017学年江苏省扬州市邗江中学高二（上））期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．直线x+y+1=0的倾斜角是．2．若直线l1：x+y﹣2=0与直线l2：ax﹣y+7=0平行，则a=．3．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为．4．（文科做）已知曲线y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，则f（2）+f′（2）的值为．5．当函数f（x）=取到极值时，实数x的值为．6．抛物线y=3x2的准线方程是．7．若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点（2，2），则C的标准方程为．8．已知双曲线y2﹣4x2=16上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M到另一个焦点的距离为．9．过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为．10．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．12．设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是．13．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x2+3x+1的解集为．14．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的倾斜角α∈（0，），则e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P（﹣2，0）．（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．16．△ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点D（0，4）．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC外接圆M的方程；（3）若直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=2，求直线l的方程．17．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标．18．（文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．20．设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）．（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）当m=﹣12时，求f（x）的极小值；（3）若函数y=g（x）在x∈（，+∞）上的两个不同的数a，b（a＜b）处取得极值，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}﹣{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．2016-2017学年江苏省扬州市邗江中学高二（上））期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．直线x+y+1=0的倾斜角是135°．【考点】直线的一般式方程．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°．故答案为：135°．2．若直线l1：x+y﹣2=0与直线l2：ax﹣y+7=0平行，则a=﹣1．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】求出两条直线的斜率，利用两条直线的平行条件，求出a的值．【解答】解：由题意得，直线l1：x+y﹣2=0的斜率是﹣1，直线l2：ax﹣y+7=0平行的斜率是a，因为直线l1与直线l2平行，所以a=﹣1，故答案为：﹣1．3．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为2x+y+1=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（﹣2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直，∴设方程为2x+y+c=0∵直线过点（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1∴所求直线方程为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．4．（文科做）已知曲线y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，则f（2）+f′（2）的值为9．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，∴f（2）=2×2+3=4+3=7，切线的斜率k=2，即f′（2）=2，则f（2）+f′（2）=7+2=9，故答案为：95．当函数f（x）=取到极值时，实数x的值为1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出x的值即可．【解答】解：f′（x）==，令f′（x）=0，解得：x=1，故答案为：1．6．抛物线y=3x2的准线方程是﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．【解答】解：抛物线y=3x2，即x2=y的准线方程是：y=﹣．故答案为：y=﹣．7．若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点（2，2），则C的标准方程为．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】根据双曲线C的渐近线方程，设出双曲线的方程，代入点（2，2），即可求得C 的标准方程．【解答】解：由题意，∵双曲线C的渐近线方程为y=±2x，∴设双曲线C的方程为y2﹣4x2=λ∵双曲线C经过点（2，2），∴8﹣16=λ∴λ=﹣8∴双曲线C的方程为y2﹣4x2=﹣8，即故答案为：8．已知双曲线y2﹣4x2=16上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M到另一个焦点的距离为10．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=4，设|MF1|=2，运用双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，计算即可得到所求距离．【解答】解：双曲线y2﹣4x2=16即为﹣=1，可得a=4，设双曲线的两焦点为F1，F2，由题意可设|MF1|=2，由双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，即有|2﹣|MF2||=8，解得|MF2|=10或﹣6（舍去）．故答案为：10．9．过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】根据圆的标准方程，找出圆心坐标和半径，根据切线的性质得到三角形AMN为直角三角形，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，再由半径|AN|，利用勾股定理即可求出切线长|MN|的长．【解答】解：（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标A（1，0），半径|AN|=1，又M（3，0）∴|AM|=2，则切线长|MN|==．故答案为：．10．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是外切．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，与半径和与差的关系判断即可．【解答】解：由于圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0，即（x+1）2+（y+1）2=4，表示以C1（﹣1，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0，即（x﹣3）2+（y+1）2=4，表示以C2（3，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．由于两圆的圆心距等于4，等于半径之和，故两个圆外切．故答案为外切．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．12．设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是（0，1] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】求出函数的导数，问题转化为ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f'（x）=，∵f（x）为R上的单调增函数，∴f'（x）≥0在R上恒成立，又∵a为正实数，∴f'（x）≥0在R上恒成立，∴ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，∴△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，解得0≤a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1，∴a的取值范围为0＜a≤1，故答案为：（0，1]．13．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x2+3x+1的解集为（﹣∞，] ．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）﹣（x2+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（3x）≥g（1），最后利用单调性解不等式即可【解答】解：∵f′（x）＜2x+1，∴f′（x）﹣（2x+1）＜0，即[f（x）﹣（x2+x）]′＜0设g（x）=f（x）﹣（x2+x）则g（x）在R上为减函数，∵f（1）=3，∴g（1）=f（1）﹣（12+1）=3﹣2=1∵f（3x）≥9x2+3x+1=（3x）2+3x+1，∴f（3x）﹣[（3x）2+3x]≥1，∴g（3x）≥1=g（1）∴3x≤1，解得x≤，故不等式的解集为（﹣∞，]故答案：（﹣∞，]14．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的倾斜角α∈（0，），则e的取值范围是[﹣1，1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：|F1C|=|CO|=，由|CM|=|CN|．原点O在以线段MN为直径的圆上，则|OA|=|OB|=c=1．由椭圆的性质，可知，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为0＜k≤，求出a的取值范围，从而求出e的取值范围．【解答】解：由椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，记线段MN与x轴交点为C，由AF1的中点为M，BF1的中点为N，∴MN∥AB，|F1C|=|CO|=，∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，∴|CM|=|CN|．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴|CO|=|CM|=|CN|=．∴|OA|=|OB|=c=1．∵|OA|＞b，∴a2=b2+c2＜2c2，∴e=＞．设A（x，y），由，解得：．AB的倾斜角α∈（0，），∴直线AB斜率为0＜k≤，∴0＜≤3，∴1﹣≤a2≤1+，即为≤a≤，∴e==∈[﹣1， +1]，由于0＜e＜1，∴离心率e的取值范围为[﹣1，1）．故答案为：[﹣1，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P（﹣2，0）．（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）．由点P（﹣2，0）在双曲线上，可得a=2．利用=，可得c．利用c2=a2+b2，可得b．即可得出方程及其渐近线方程．（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），可得直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．即可得出相应的抛物线方程．【解答】解：（1）由题意，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）．∵点P（﹣2，0）在双曲线上，∴a=2．∵双曲线C的离心率为，∴c=2．∵c2=a2+b2，∴b=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线方程为：y=±x．（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），即y=2x+4，直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．∴以F1（﹣2，0）为焦点的抛物线的标准方程为y2=﹣8x；以F2（0，4）为焦点的抛物线的标准方程为x2=16y．16．△ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点D（0，4）．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC外接圆M的方程；（3）若直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据点的坐标分别求得AC，BC的斜率判断出两直线垂直，进而判断出三角形为直角三角形．（2）先确定圆心，进而利用两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可得．（3）先看直线斜率不存在时判断是否符合，进而看斜率存在时设出直线的方程，利用圆心到直线的距离求得k，则直线的方程可得．【解答】解：（1）因为A（1，0），B（1，4），C（3，2），所以k AC=1，k BC=﹣1，所以CA⊥CB，又CA=CB=2，所以△ABC是等腰直角三角形，（2）由（1）可知，⊙M的圆心是AB的中点，所以M（1，2），半径为2，所以⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（3）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为2时，圆心到直线的距离为=1．①当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它与圆心M（1，2）的距离为1，满足条件；②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，因为圆心到直线y=kx+4的距离为=1，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣16=0．综上可知，直线l的方程为x=0或3x+4y﹣16=0．17．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的性质可知c=1，准线方程x==4，即可求得a和c的值，由b2=a2﹣c2，求得b的值，代入即可求得椭圆方程；（2）由两点间的距离公式可知，根据二次函数的图象及简单性质，分类即可求得m的值及点N的坐标．【解答】解：（1）设椭圆的方程为：，…由题意得：，解得：，…∴b2=3，∴椭圆的标准方程：；…（2）设N（x，y），则，对称轴：x=4m，﹣2≤x≤2…①当0＜4m≤2即，x=4m时，，解得：，不符合题意，舍去；…②当4m＞2，即，x=2时，，解得：m=1或m=3；∵，∴m=1；…综上：m=1，N（2，0）；…18．（文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，f′x=0x=2∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2﹣2ln2；（2），①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；②当a=2时，∵，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的应用．【分析】（Ⅰ）由题意知，所以a2=4b2，由此可知椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由题设得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．由此入手可知直线PN的斜率的取值范围是：．（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．由此入手可知直线ME 与x轴相交于定点（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以，即a2=4b2，∴a=2b又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：．（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．20．设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）．（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）当m=﹣12时，求f（x）的极小值；（3）若函数y=g（x）在x∈（，+∞）上的两个不同的数a，b（a＜b）处取得极值，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}﹣{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）把m=1代入函数解析式，求得导函数，得到切线的斜率，则切线方程可求；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（3）根据函数的单调性得到函数y=g（x）在x∈（，+∞）上有两个极值点的m的范围，由a，b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根，及根与系数关系，得到a，b的范围，把m用a（或b）表示，得到g（a）（或g（b）），求导得到g（b）的取值范围，进一步求得{g（a）}（或{g（b）}），则答案可求．【解答】解：（1）函数y=g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，g′（x）=2x﹣2+，k=g′（1）=1，则切线方程为y=x﹣1，故所求切线方程为x﹣y﹣1=0；（2）m=﹣12时，g（x）=）=x2﹣2x+1﹣12lnx，（x＞0），g′（x）=2x﹣2﹣=，令g′（x）＞0，解得：x＞3，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜3，故g（x）在（0，3）递减，在（3，+∞）递增，=g（3）=4﹣12ln3；故g（x）极小值（3）函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）=2x﹣2+=，令g′（x）=0并结合定义域得2x2﹣2x+m＞0．①当△≤0，即m≥时，g′（x）≥0，则函数g（x）的增区间为（0，+∞）；②当△＞0且m＞0，即0＜m＜时，函数g（x）的增区间为（0，），（，+∞）；③当△＞0且m≤0，即m≤0时，函数g（x）的增区间为（，+∞）；故得0＜m＜时，a，b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根，＜b＜，＜a＜，又由2b2﹣2b+m=0，得m=﹣2b2+2b，∴g（b）=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+（﹣2b2+2b）lnb，b∈（，），g′（b）=2b﹣2+（﹣4b+2）lnb+2﹣2b=﹣4（b﹣）lnb，当b∈（，）时，g′（b）＞0，即函数g（b）是（，）上的增函数．故g（b）的取值范围是（，），则{g（b）}=0．同理可求得g（a）的取值范围是（，），则{g（a）}=0或{g（a）}=1．∴{g（a）}﹣{g（b）}=0或1．2016年12月27日。