【20套试卷合集】江苏省扬州市扬州中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1．经过A(0，√3)、B （﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．抛物线x 2＝2ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．83．已知P （x ，y ）是椭圆x 2144+y 225=1上的点，则x +y 的值可能是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．164．若点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部，则a 的取值范围是（ ） A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(−4，12)D ．(−∞，−4)∪(12，+∞)5．已知F 1，F 2是椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，则△MNF 2的周长为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．266．已知抛物线C ：y 2＝16x ，直线l ：x ＝4与C 交于A 、B 两点，M 是射线BA 上异于A 、B 的动点，圆C 1与圆C 2分别是△OMA 和△OMB 的外接圆（O 为坐标原点），则圆C 1与圆C 2面积的比值（ ） A ．小于1 B ．大于1C ．等于1D ．与M 点的位置有关7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A ．y 212−x 24=1B ．3y 24−x 24=1C ．x 24−y 24=1D ．y 216−x 24=18．已知点M （2，4），若过点N （4，0）的直线l 交圆于C ：（x ﹣6）2+y 2＝9于A ，B 两点，则|MA →+MB →|的最大值为（ ） A ．12B ．8√2C ．10D ．6√2二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知直线l ：（a 2+a +1）x ﹣y +1＝0，其中a ∈R ，则（ ） A ．直线l 过定点（0，1）B ．当a ＝﹣1时，直线l 与直线x +y ＝0垂直C ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D ．若直线l 与直线x ﹣y ＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为√2210．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ） A ．a ＝2，c ＝1B ．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C ．△BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D ．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线l 1从点M （3，1）射入，经过抛物线上的点P （x 1，y 1）反射后，再经抛物线上另一点Q （x 2，y 2）反射后，沿直线l 2射出，则下列结论中正确的是（ ） A ．k PQ =−34B ．x 1x 2＝1C ．|PQ|=254D ．l 1与l 2之间的距离为412．已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N ，则（ ）A ．PF 12−PF 22的最小值为8B ．PF 1•PF 2﹣OP 2为定值C ．若直线l 与双曲线C 相切，则点M ，N 的纵坐标之积为﹣2D ．若直线l 经过F 2，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.） 13．双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为 ．14．在抛物线y 2＝﹣4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是 ．15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则该椭圆的面积为 ．16．已知圆C 1和圆C 2均与x 轴及直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2），已知两圆半径的乘积为134，则实数k 的值为 ．四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.） 17．（10分）已知方程x 24+y 2m=1（m ∈R 且m ≠0）．（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值； （2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标．18．（12分）已知直线l 经过直线l 1：3x +4y ﹣11＝0，l 2：2x +3y ﹣8＝0的交点M ． （1）若直线l 经过点P （3，1），求直线l 的方程； （2）若直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，求直线l 的方程．19．（12分）已知圆C 经过A （1，4），B （5，0）两点，且在x 轴上的截距之和为2． （1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线x ﹣y +1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M 相切的直线方程． 20．（12分）已知双曲线：x 25−m−y 2m−1=1(1＜m ＜5)的一个焦点与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ty +8交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O ． 21．（12分）已知直线l ：y =kx +√2(k ∈R)，与双曲线C ：x 23−y 2=1的左支交于A ，B 两点．（1）求实数k 的取值范围； （2）若△OAB 的面积为6√25（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，且离心率为√22． （1）求椭圆C 方程；（2）点A ，B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点P （0，4）且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，探究直线BM ，AN 的交点是否在一条定直线l 0上，若存在，求出该直线l 0的方程；若不存在，请说明理由．2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1．经过A(0，√3)、B （﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：设直线AB 的倾斜角为α，则0≤α＜π， 故k =tanα=√3−00−(−1)=√3， 故α=π3． 故选：B ．2．抛物线x 2＝2ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．8解：由题意可得−a2=2，则a ＝﹣4． 故选：B ．3．已知P （x ，y ）是椭圆x 2144+y 225=1上的点，则x +y 的值可能是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16解：由椭圆x 2144+y 225=1，可设x ＝12cos θ，y ＝5sin θ，其中θ∈[0，2π]，则x +y ＝12cos θ+5sin θ＝13sin （θ+φ），其中tanφ=125， 因为﹣1≤sin （θ+φ）≤1，所以﹣13≤x +y ≤13，即x +y 的取值范围为[﹣13，13]，结合选项，可得A 符合题意． 故选：A ．4．若点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部，则a 的取值范围是（ ） A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(−4，12)D ．(−∞，−4)∪(12，+∞)解：依题意，方程x 2+y 2﹣x +y +a ＝0可以表示圆，则（﹣1）2+12﹣4a ＞0，得a ＜12； 由点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部可知：22+12﹣2+1+a ＞0，得a ＞﹣4． 故−4＜a ＜12．故选：C ． 5．已知F 1，F 2是椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，则△MNF 2的周长为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．26解：利用椭圆的定义可知，|F 1M |+|F 2M |＝2a ＝10，|F 1N |+|F 2N |＝2a ＝10， ∴△MNF 2的周长为|F 1M |+|F 2M |+F 1N |+|F 2N |＝10+10＝20． 故选：C ．6．已知抛物线C ：y 2＝16x ，直线l ：x ＝4与C 交于A 、B 两点，M 是射线BA 上异于A 、B 的动点，圆C 1与圆C 2分别是△OMA 和△OMB 的外接圆（O 为坐标原点），则圆C 1与圆C 2面积的比值（ ） A ．小于1 B ．大于1C ．等于1D ．与M 点的位置有关解：由抛物线C ：y 2＝16x ，可得焦点F （4，0），因为直线x ＝4与抛物线交于A ，B 两点，不妨设A 在B 的上方， 所以A （4，8），B （4，﹣8）， A ，B 两点关于x 轴对称， 所以OA ＝OB ， 所以∠OAB ＝∠OBA ，设圆C 1与圆C 2的半径分别为R 1，R 2， 在△OMA 和△OMB 中，由正弦定理可得，2R 1=OMsin∠OAB ，2R 2=OMsin∠OBA ， 所以有2R 1＝2R 2， 即R 1＝R 2， 故两圆的面积相等， 所以面积的比值为1， 故选：C ．7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A ．y 212−x 24=1B ．3y 24−x 24=1C ．x 24−y 24=1D ．y 216−x 24=1解：设双曲线的一个焦点为（0，﹣c ），一条渐近线方程为y =a bx ，即ax ﹣by ＝0， 则焦点到渐近线的距离d =√a 2+b=b =2，∵e =ca =2，c 2＝a 2+b 2，b ＝2， ∴a 2=43，b 2＝4， ∴双曲线方程为：3y 24−x 24=1．故选：B ．8．已知点M （2，4），若过点N （4，0）的直线l 交圆于C ：（x ﹣6）2+y 2＝9于A ，B 两点，则|MA →+MB →|的最大值为（ ） A ．12B ．8√2C ．10D ．6√2解：由已知圆的方程可得：圆心C （6，0），半径为r ＝3， 设AB 的中点为P （x ，y ），则由圆的性质可得：NP ⊥CP ， 即NP →⋅CP →=0，而NP →=（x ﹣4，y ），CP →=（x ﹣6，y ）， 所以（x ﹣4）（x ﹣6）+y 2＝0，即点P 的轨迹方程为（x ﹣5）2+y 2＝1， 设E 为NC 的中点，则E （5，0），半径为1，所以|MP |的最大值为|ME |+1=√(2−5)2+42+1＝5+1＝6， 又|MA →+MB →|＝2|MP →|， 所以|MA →+MB →|的最大值为12， 故选：A ．二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知直线l ：（a 2+a +1）x ﹣y +1＝0，其中a ∈R ，则（ ） A ．直线l 过定点（0，1）B ．当a ＝﹣1时，直线l 与直线x +y ＝0垂直C ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D ．若直线l 与直线x ﹣y ＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为√22解：选项A ，把坐标（0，1）代入直线方程而立，A 正确；选项B ，a ＝﹣1时直线l 方程为x ﹣y +1＝0，斜率是1，直线x +y ＝0斜率是﹣1，两直线垂直，B 正确； 选项C ，a ＝0时直线方程为x ﹣y +1＝0，在x 轴上截距为x ＝﹣1，在y 轴上截距为y ＝1，不相等，C 错；选项D ，a 2+a +1＝1即a ＝0或﹣1时，直线l 方程为x ﹣y +1＝0与直线x ﹣y ＝0平行，距离为d =|1−0|√1+(−1)=√22，D 正确．故选：ABD ． 10．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ） A ．a ＝2，c ＝1B ．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C ．△BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D ．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上 解：根据a 2＝b 2+c 2之间的关系可得选项A 正确； 根据e =c a =12，2b =2，a 2=b 2+c 2即可求解，故选项B 正确； △BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定a =2c ，e =c a =12，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确； 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上，所以2c ＝4，（0﹣c ）2+b 2＝c 2+b 2＝a 2＝9，即可求出椭圆E 标准方程，故选项D 正确．故选：ABD ．11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线l 1从点M （3，1）射入，经过抛物线上的点P （x 1，y 1）反射后，再经抛物线上另一点Q （x 2，y 2）反射后，沿直线l 2射出，则下列结论中正确的是（ ） A ．k PQ =−34 B ．x 1x 2＝1C ．|PQ|=254D ．l 1与l 2之间的距离为4解：A ．由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过抛物线的焦点F （1，0）， 又MP 是水平的，所以可得P(14，1)，因此k PQ =k PF =1−014−1=−43，即A 错误； B ．易知直线PQ 的方程为y =−43(x −1)，联立直线和抛物线{y =−43(x −1)y 2=4x ，消去y 可得4x 2﹣17x +4＝0，由韦达定理可知x 1+x 2=174，x 1x 2=1，即B 正确； C ．由x 1=14可得x 2＝4，所以点Q 的坐标为Q （4，﹣4），利用抛物线定义可知|PQ|=|PF|+|QF|=x 1+x 2+p =174+2=254，即C 正确； ∵l 1与l 2两直线平行，∴l 1与l 2之间的距离为d ＝|y 1﹣y 2|＝5，即D 错误． 故选：BC ．12．已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N ，则（ ）A ．PF 12−PF 22的最小值为8B ．PF 1•PF 2﹣OP 2为定值C ．若直线l 与双曲线C 相切，则点M ，N 的纵坐标之积为﹣2D ．若直线l 经过F 2，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6 解：依题意得a ＝1，b =√3，c ＝2，F 1（﹣2，0），F 2（2，0），|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ＝2， 设P （x 0，y 0），则x 0≥1，x 02−y 023=1，即y 02=3x 02−3，双曲线C 的两条渐近线方程为y =±√3x ，对于A ，PF 12−PF 22=(x 0+2)2+y 02−[(x 0−2)2+y 02]=8x 0≥8，A 正确；对于B ，|PF 1|⋅|PF 2|−|OP|2=√(x 0+2)2+y 02⋅√(x 0−2)2+y 02−(x 02+y 02)=√(x 0+2)2+3x 02−3⋅√(x 0−2)2+3x 02−3−(x 02+3x 02−3) =(2x 0+1)⋅(2x 0−1)−(4x 02−3)=2是定值，B 正确；对于C ，不妨设M(x 1，√3x 1)，N(x 2，−√3x 2)，直线l 的方程为x ＝my +n ， 由{x =my +n x 2−y 23=1，得（3m 2﹣1）y 2+6mny +3n 2﹣3＝0， 若直线l 与双曲线C 相切，则Δ＝36m 2n 2﹣12（3m 2﹣1）（n 2﹣1）＝0， 化简整理得n 2＝1﹣3m 2，则点M ，N 的纵坐标之积y 1y 2=−3x 1x 2=−3n 1−√3m n 1+√3m=−3n 21−3m 2=−3，C 错误；对于D ，若Q 在双曲线C 的右支，则通径最短，通径为2b 2a=6，若Q 在双曲线C 的左支，则实轴最短，实轴长为2a ＝2＜6，D 错误． 故选：AB ．三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.） 13．双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为 y ＝±√2x ．解：由题意可得e =ca =√3， 即c =√3a ，b =√c 2−a 2=√2a ， 可得双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，即为y ＝±√2x ． 故答案为：y ＝±√2x ．14．在抛物线y 2＝﹣4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是 （−14，1） ．解：由抛物线方程为y 2＝﹣4x ，可得2p ＝4，p2=1，∴焦点坐标为F （﹣1，0），准线方程为x ＝1．设点P 在准线上的射影为Q ，连结PQ ，则根据抛物线的定义得|PF |＝|PQ |，由平面几何知识，可知当A 、P 、Q 三点共线时，|PQ |+|P A |达到最小值，此时|PF |+|P A |也达到最小值．∴|PF |+|P A |取最小值，点P 的纵坐标为1，将P （x ，1）代入抛物线方程，得12＝﹣4x ，解得x =−14，∴使P 到A 、F 距离之和最小的点P 坐标为（−14，1）．故答案为：（−14，1）15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则该椭圆的面积为 9√2π ．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），记AB 的中点为M ，即M （2，﹣1），因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得{x 1+x 2=4y 1+y 2=−2， 因为直线AB 过椭圆焦点F （3，0），所以直线AB 斜率为k =y 1−y 2x 1−x 2=0−13−2=1， 又因为A ，B 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上， 所以{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， 整理得y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 2y 1+y 2⋅b 2a 2，代值化简得2b 2＝a 2， 因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点为F （3，0），所以a 2﹣b 2＝9，得a =3√2，b ＝3，由题意可知，椭圆的面积为abπ=9√2π．故答案为：9√2π．16．已知圆C 1和圆C 2均与x 轴及直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2），已知两圆半径的乘积为134，则实数k 的值为 43 ．解：∵圆C 1和圆C 2与x 轴和直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2）， ∴C 1和C 2在第一象限，设a ，b 为圆C 1和圆C 2的半径，则C 1（ma ，a ），C 2（mb ，b ）（m ＞0），∵点P 在圆C 1和圆C 2，∴{(ma −3)2+(a −2)2=a 2(mb −3)2+(b −2)2=b 2， 又∵圆C 1和圆C 2与x 轴相切，∴a ，b 是m 2r 2﹣（6m +4）r +13＝0的两个根，又∵ab =134，∴13m 2=134，解得m ＝2或m ＝﹣2（舍去）， ∴k C 1C 2=12，∵直线C 1C 2的倾斜角是直线y ＝kx （k ＞0）的一半，∴k =2k C 1C 21−k C 1C 22=43． 故答案为：43． 四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．（10分）已知方程x 24+y 2m =1（m ∈R 且m ≠0）．（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标．解：（1）因为方程为焦点在y 轴上，所以a 2＝m ，b 2＝4，则离心率e =c a =√m−4√m =12，解得m =163， 故m =163．（2）由题意得 m ＝﹣4，c =√a 2+b 2=√4+4=2√2，故焦点坐标为(±2√2，0)．18．（12分）已知直线l 经过直线l 1：3x +4y ﹣11＝0，l 2：2x +3y ﹣8＝0的交点M ．（1）若直线l 经过点P （3，1），求直线l 的方程；（2）若直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，求直线l 的方程．解：（1）由{3x +4y −11=02x +3y −8=0得{x =1y =2， 即直线l 1和l 2的交点为M （1，2）．∵直线l 还经过点P （3，1），∴l 的方程为y−21−2=x−13−1，即x +2y ﹣5＝0；（2）由直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，可设它的方程为2x ﹣3y +n ＝0．再把点M （1，2）的坐标代入，可得2﹣6+n ＝0，解得n ＝4，故直线l 的方程为2x ﹣3y +4＝0．19．（12分）已知圆C 经过A （1，4），B （5，0）两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线x ﹣y +1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M 相切的直线方程．解：（1）设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0（D 2+E 2﹣4F ＞0），令y ＝0，可得x 2+Dx +F ＝0，则x 1+x 2＝﹣D ＝2，将A （1，4），B （5，0）代入可得，{1+16+D +4E +F =025+5D +F =0， 解得{D =−2E =0F =−15，所以圆C 方程为x 2+y 2﹣2x ﹣15＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝16．（2）圆C 的圆心C （1，0），圆M 的圆心与C （1，0）关于x ﹣y +1＝0对称，∴设圆M 的圆心为M （a ，b ）则{a+12−b 2+1=0b a−1×1=−1，解得{a =−1b =2， 圆M 的标准方程为：（x +1）2+（y ﹣2）2＝16，若过点（3，0）的直线斜率不存在，则方程为x ＝3，此时圆心C （﹣1，2）到直线x ＝3的距离为3+1＝4＝r ，满足题意；若过点（3，0）且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为y ＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ＝0，则圆心到直线kx ﹣y ﹣3k ＝0的距离为√k 2=4，解得k =34， 所以切线方程为34x −y −94=0，即3x ﹣4y ﹣9＝0，综上，过点（3，0）且与圆C 相切的直线方程为x ＝3或3x ﹣4y ﹣9＝0．20．（12分）已知双曲线：x 25−m −y 2m−1=1(1＜m ＜5)的一个焦点与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ty +8交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O ． 解：（1）由双曲线方程x 25−m −y 2m−1=1(1＜m ＜5)，可得其焦点在x 轴上且焦点坐标为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），又F 2（2，0）为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，所以p 2=2⇒p =4， 即可得抛物线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =ty +8y 2=8x⇒y 2−8ty −64=0，Δ＝64t 2+4×64＞0， 由韦达定理得y 1+y 2＝8t ，y 1y 2＝﹣64，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=(ty 1+8)(ty 2+8)+y 1y 2＝（t 2+1）y 1y 2+8t （y 1+y 2）+64＝（t 2+1）（﹣64）+8t （8t ）+64＝0，所以OA →⊥OB →，即以AB 为直径的圆经过原点O ．21．（12分）已知直线l ：y =kx +√2(k ∈R)，与双曲线C ：x 23−y 2=1的左支交于A ，B 两点． （1）求实数k 的取值范围；（2）若△OAB 的面积为6√25（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值．解：（1）不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx +√2x 23−y 2=1，消去y 并整理得(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0，因为直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，所以1﹣3k 2≠0且Δ＞0，由韦达定理得x 1x 2=−91−3k 2＞0，x 1+x 2=6√2k 1−3k 2＜0，① 所以k ＞0，13＜k 2＜1，解得√33＜k ＜1， 则实数k 的取值范围为(√33，1)；（2）易知点O 到直线l 的距离d =√2√k +1， 若△OAB 的面积为6√25， 此时12|AB|⋅d =12√1+k 2|x 1−x 2|⋅√2√k 2+1=√22|x 1−x 2|=6√25，② 联立①②，解得6√1−k 2|3k 2−1|=125，即36k 4+k 2﹣21＝0，因为√33＜k ＜1， 所以k =√32， 故直线l 的斜率k 的值为√32． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，且离心率为√22． （1）求椭圆C 方程；（2）点A ，B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点P （0，4）且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，探究直线BM ，AN 的交点是否在一条定直线l 0上，若存在，求出该直线l 0的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）因为椭圆的离心率为√22， 可得e =c a =√1−b 2a 2=√22， 即a 2＝2b 2，① 又因为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)， 所以42b 2+2b 2=1，②联立①②，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 方程为x 28+y 24=1：（2）易知A （0，2），B （0，﹣2），不妨设直线MN 的方程为y ＝kx +4，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 28+y 24=1y =kx +4，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+16kx +24＝0， 此时Δ＝（16k ）2﹣4×24•（1+2k 2）＝64k 2﹣96＞0， 解得k 2＞32，由韦达定理得x 1+x 2=−16k1+2k 2，x 1⋅x 2=241+2k 2，直线AN 的方程为y −2=y 2−2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ， 联立{y −2=y 2−x x 2x y +2=y 1+2x 1x ，可得y−2y+2=(y 2−2)x 1(y 1+2)x 2=kx 1x 2+2x 1kx 1x 2+6x 2， 因为x 1=−16k 1+2k 2−x 2， 所以y−2y+2=24k 1+2k 2+2(−16k 1+2k 2−x 2)24k 1+2k 2+6x 2=−8k−(2+4k 2)x 224k+(6+12k 2)x 2=−13，解得y ＝1，故直线BM ，AN 的交点在定直线y ＝1上．。

江苏省扬州中学2019——2020学年度第一学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的。

)1.命题“∃x ∈Z ，使x 2+2x+m≤0”的否定是（ ）A ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m≤0B ．∃x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞0C ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m ＞0D ．不存在x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞011−的等比中项是（ ）A.B.1C.-1D. 1±3. “01m <<”是“方程2212x y m m+=−表示椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.双曲线221412x y −=的焦点到渐近线的距离为（ ）A． B ．2 CD ．15.已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则9S 等于（ ）A ．8−B ．6−C ．10D ．06.双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．38B ． 316C ．163D ．837.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“{a n }是等差数列”是“{}nS n是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且733n n S n T n +=+，则223817b +b a a +=( )A.176 B. 134 C. 193 D. 136 9.过104（，）的直线与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若||4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ）A.74B.94C.4D.2 10.已知数列{}n a ，如果1a ，21a a −，32a a −，……，1n n a a −−，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a =（ ） A.31123n （）− B .131123n −−（） C.21133n −（） D.121133n −−（） 11.已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）A. [1,9]B. 2[,9]3C.2[,1]3D.[312.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果．) 13.若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．14.已知数列{}n a 满足：11a =，*132()n n a a n N +=+∈，则n a = .15.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A B 、两点，12,F F为椭圆的左,右焦点，若122F AF π∠=,且该椭圆的离心率2e ∈，则θ的取值范围为 ．16.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与圆()2221x y r −+=交于C ，D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为 . 三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分10分）（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321n n S n =++，求n a .（2）已知{a n }是各项为正的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2+16,设b n ＝2log n a ，求数列{b n }的前n 项和．18.（本小题满分12分）已知双曲线C ：22221x y a b −=（a ＞0，b ＞023a c = （1）求双曲线C 的方程.（2）已知直线0x y m −+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B 且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值19.（本小题满分12分）已知:(1)(2)0,:p x x q +−≥关于x 的不等式2260x mx m +−+>恒成立 (1)当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围.(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =−，11411S b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b −的前n 项和()n *∈N .（3）设221log n n c b −=，n P 为数列214n n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求不超过2019P 的最大整数．21. （本小题满分12分）如图,已知抛物线C 顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点(2,1)M −是抛物线上的一点.（1）求抛物线C 的标准方程（2）若点,P Q 在抛物线C 上,且抛物线C 在点,P Q 处的切线交于点S ,记直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，且满足211k k −=,当,P Q 在C 上运动时，PQS ∆的面积是否为定值？若是，求出PQS ∆的面积；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右准线方程为4x =，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程.（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =求k 的值.（3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与右准线相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为k 1，k 2，k 3 ，求k 2·(k 1－k 3)的值．出题人：蒋红慧 江金彪 校对：韩悦 审核：姜卫东高二数学期中考试答案1.C2.D3.B4.A5.D6.B7.C8.C9.B 10.A 11.B 12.A13. 3m > 14. 123-1n n a −=⋅ 15.5[,]66ππ16.()2,+∞16.详解：（1）当直线l x ⊥轴时，直线l ：1x =与抛物线交于(1,2)(1,2)−、，与圆222(1)x y r −+=交于(1,)(1,)r r −、，满足AC BD =. （2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 方程(1)y k x =−.1122(,),(,)A x y B x y联立方程组2(1)4y k x y x=−⎧⎨=⎩ 化简得2222(24)0k x k x k −++=由韦达定理 12242x x k+=+由抛物线得定义，过焦点F 的线段122424AB AF BF x x k=+=++=+当四点顺序为A C D B 、、、时AC BD =∴AB 的中点为焦点F （1，0），这样的不与x 轴垂直的直线不存在；当四点顺序为A C B D 、、、时，AC BD = ∴AB CD =又2CD r =，2442r k ∴+=，即222r k=− 当2r >时存在互为相反数的两斜率k ，即存在关于1x =对称的两条直线。

2019—2020学年度第一学期高二数学期中测试卷（2019.11）一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分.） 1、设n S 是等差数列{}na的前项和，若1353a a a ++=，则5S =（）A ．5B ．7C ．9D ．112、若0a b <<，则下列不等式中正确的是 （） A ．11<a bB ．11a b a >- C ．a b > D ．22<a b 3、等比数列{}n a 中，12a =,2q =,126n S =,则n =（） A ．9 B ．8 C ． 7 D ． 6 4、不等式 的解集为（）A.B.C.D.5、“410k <<”是“方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6、不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集是11(,)23-，则a ＋b 的值是（）A ．5B ．－5C ．－7D ．77、椭圆22116x y m+=的焦距是27，则m 的值为（）A ．9B ．23C ．9或23D ．16-或168、已知n S 是数列{}n a 的前项和，若*24()n n S a n N =-∈，则n a =（）A ．+12nB ．2nC ．12n -D ．22n -9、已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．42m m ≥≤-或 B ．24m m ≥≤-或 C ．24m -<< D ．42m -<<10、已知椭圆()222:124x y C a a +=>，直线:2l y x =-过C 的一个焦点，则C 的离心率为（） A.13 B ．12 C ．2 D ．311、已知数列{}n a 满足133,a =12n n a a n +-=，则na n的最小值为（） A. B ．212 C ．535 D ．11212、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，115a =，且满足112325n n a a n n +=+--，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最小值为（）A ．494-B ．498- C ．14- D ．28- 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、命题“1>∃x ，使得22≥x ”的否定是▲ .14、如果椭圆22114436x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于10，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是 ▲ .15、已知数列1231,,,,9a a a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则212a b b =+▲.16、已知,,4,a b R a b ∈+=则221111a b +++的最大值为 ▲ . 三、解答题（本题共6题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分10分） （1）m 为何实数时，关于x 的方程()2240x m x m +-+=有两个不等实根？（2）设实数x 满足1x >-，求11y x x =++的最小值，并求对应的x 的值。

2019—2020 学年度第一学期期中考试高二数学一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）11，两数的等比中项是（）A.1B.-1C. ±1D.122.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3+a 5+a 7＝15，则S 9＝（ ）A ．18B ．36C ．45D ．603.若不等式x 2+bx+1≤0的解集是空集，则b 的取值范围是（） A.[-2,2] B.(,2)(2,)-∞-⋃+∞ C.(-2,2) D.(,2][2,)-∞-⋃+∞4.命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（）A.2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B.2000(0,1),0x x x ∃∈-≥C.2(0,1),0x x x ∀∉-<D.2(0,1),0x x x ∀∈-≥ 5.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.椭圆（1﹣m ）x 2﹣my 2＝1的长轴长是（ ）A.1m - B.m - C.m D.1m --7.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 5＝b 6，则（） A ．a 3+a 7≤b 4+b 8B ．a 3+a 7≥b 4+b 8 C ．a 3+a 7≠b 4+b 8D ．a 3+a 7＝b 4+b 88.已知不等式()x y +(1ax y+)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89.椭圆221169x y +=中，以点M （1，2）为中点的弦所在直线斜率为（ ） A ．916B ．932C ．964D ．932-10.抛物线 x 2=2py( p>0)上的点到直线 y=x-5的最短距离为，则正数 p 的值为（） A.3 B.4 C.5 D.611.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈*N 都有S n +S n+1=n 2，若{a n }为单调递增的数列，则a 1的取值范围为（ ） A ．11(,)22-B ．11(,)33- C.11(,)44- D.11(,)43-12.设F 是椭圆2211115x y += 的一个焦点，椭圆上至少有 21 个点 P 1，P 2，P 3，…，P 21， 使得数列{P i F}（i ＝1，2，…，21）成公差为d 的等差数列，则d 的一个可取值是（ ）A.12 B.13- C.14 D.15- 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13.已知 a+b+c=0, a>b>c, 则ca的取值范围是．14.已知焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为6π，且其焦点到渐近线的距离为2， 则该双曲线的标准方程为 ． 15.当 x ，y ，z 为正数时，2224xz yzx y z +++的最大值.16.已知椭圆22143x y +=的右焦点为 F ，A 为椭圆在第一象限内的点，连接 AF 并延长交椭圆于点B ，连接AO （O 为坐原点）并延长交椭圆于点C ，若S △ABC ＝3，则点A 的坐标为 ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解下列关于x 的不等式： （1）1213xx -≥+ （2）(2)(3)0x x -+≥18.已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 4＝9，a 2a 3＝8（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{n •S n }的前 n 项和 T n ．19.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点. （1）若直线l 过点 F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点 E(-2, 0)，若直线l 不与坐标轴垂直，且∠AEO=∠BEO ，证明：直线l 过定点．20.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 x （x ∈N *）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润10（3500xa -）万元（a>0）,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取值范围是多少？21.在数列{a n }中，a 1=0，且对任意k ∈N *，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为d k ． （1）若 d 1＝2，求 a 2，a 3的值；（2）若 d k =2k ，证明21221,,k k k a a a -+成等比数列（k ∈N *）（3）若对任意的k ∈N *，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为q k ，设q 1≠1，证明数列1{}1k q -是等差数列.22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2214xy+=，椭圆C2：22221x ya b+=（a>b>0）,C2与C1，离心率相同.（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点P为椭圆C2上一点．①射线PO 与椭圆C1依次交于点 A，B，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为 k1，k2的直线 l1，l2，且直线 l1，l2与椭圆 C1均有且只有一个公共点，求证：k1•k2为定值。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式 24S R π= V Sh =球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 334R V π=台体的体积公式 其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=锥体的体积公式 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积 13V Sh = h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线2310x y ++=的斜率为 A. 23-B. 23C. 32-D. 322. 直线20()kx y k R +-=∈与圆222210x y x y ++-+=的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．与k 值有关 3．直线1111 :0l A x B y C ++=与直线2222 : 0l A x B y C ++=平行，则 A ．1122A B A B = B ．12211221A B A B AC A C =≠且C ．111222A B C A B C =≠ D ．1212A A B B +=0 4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．8+B ．223π+C．23π+ D ．283+5.已知m 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题：①,m αβα⊥⊂若则m β⊥； ②若,//,m ααβ⊂则//m β；③若//,//,m m αβ则//αβ； ④若,m m αβ⊂⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题的序号是A. ① ③B. ②C. ①④D. ②④ 6．过点(3,2)-且与直线4310x y --=垂直的直线方程为A ．4360x y +-=B ．34170x y --=C ．43180x y --=D ．3410x y +-=7．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠=，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60，则异面直线BC 与PA 所成角的余弦值是A. 0B.4 C. 12D. 2 8．若圆224x y +=与圆2260x y ay ++-=的公共弦长为32，则a 的值为A ．2±B ．2C ．2-D ．无解9. 一个三棱锥的三条侧棱互相垂直，且侧棱长都为2，则此三棱锥的外接球的表面积为 A ．4πB ．12πC ．24πD ．48π10．在斜三棱柱'''ABC A B C -中，''3A AC A AB CAB π∠=∠=∠=，'2,AA =1,AB AC ==,O 为侧面四边形''BB C C 对角线的中点，则AO 的长度为A B C D二、填空题：本大题有7小题, 每小题4分, 共28分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.11．两异面直线,m n 分别垂直于二面角l αβ--的两个半平面，且,m n 所成的角为60，则二面角l αβ--的大小是 ▲ ．12．直线12:10:2230l x y l x y ++=++=与的距离是 ▲ ． 13. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 ▲ ．14．函数y =的最小值是 ▲ ．15. 已知△ABC 的直观图'''A B C 是边长为 1 的正三角形, 则△ABC 的面积是 ▲16. 若过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 17. 已知圆 22:4O x y += ,圆内有定点(1,1)P , 圆周上有两个动点A ，B ，使P A P B ⊥，则AB 的中点Q 的轨迹方程为 ▲ ．数学（文）答题卷（1）选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中的横线上.11. 12. 13. 14.15. 16. 17.三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18．（本小题8分）PD ⊥底面如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB于点F ．（Ⅰ）证明PA //平面EDB ；（II ）证明PB ⊥平面EFD .19．（本小题10分）已知△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的内角平分线所在直线的方程分别为12:10, :10l y l x y +=++=.（Ⅰ）求BC 边上的高所在直线的方程；（II ）求△ABC 的内切圆方程.20． （本小题12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，2AC BC ==,︒=∠90ACB ，侧棱2AA 1=，D 是1CC 的中点.（Ⅰ）求二面角D AB C --的平面角的正切值； （II ）求B A 1与平面11BB C C 所成角的正弦值；21．（本小题12分）已知圆O 224x y +=与直线:l y x b =+，在x 轴上有点(3,0)P , （Ⅰ）当实数b 变化时，讨论圆O 上到直线l 的距离为2的点的个数； （II ）若圆O 与直线l 交于不同的两点,A B ，且PA ·9PB =，求b 的值.数学（文） 参考答案一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中的横线上.11.60120或 12.4 13.314.2-3-312a a <<<或17.2210x y x y +---= 三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.18．（本小题8分）PD ⊥底面如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB于点F ．（Ⅰ）证明PA //平面EDB ；（II ）证明PB ⊥平面EFD .证明：（1）连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在P A C ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDB（II ）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴PC DE ⊥． ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ．∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC ． 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥． ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC ． 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD ．19．（本小题10分）已知△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的内角平分线所在直线的方程分别为12:10, :10l y l x y +=++=.（Ⅰ）求BC 边上的高所在直线的方程；（II ）求△ABC 的内切圆方程.解：（1）设点A （－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A ′（x 1，y 1），则x 1=－1，y 1=2×（－1）－（－4）=2，即A ′（－1，2）.在直线BC 上，再设点A （－1，－4）关于l 2：x+y+1=0的对称点为A ″（x 2，y 2），则有1422++x y ×（－1）=－1，212-x+242-y+1=0.x2 =3，y2 =0，即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得22--y=131++x，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程，则BC边上的高所在的直线的斜率为2，且过A点（－1，－4），故其方程为220x y--=（II）内角平分线l1与l2的交点即为内切圆的圆心，联立方程，得（0,-1），圆心到直线BC的距离为半径，即r==ABC的内切圆方程为22(1)5x y++=20．（本小题12分）如图，在直三棱柱111CBAABC-中，底面是等腰直角三角形，2AC BC==,︒=∠90ACB，侧棱2AA1=，D是1CC的中点.（Ⅰ）求二面角D AB C--的平面角的正切值；（II）求BA1与平面11BB C C所成角的正弦值；解法一：（Ⅰ）解：取AB中点E,连接DE ,CE因为直棱柱，CC1⊥面ABC，所以CC1⊥AB，又因为△ABC为等腰直角三角形，所以CE⊥AB,所以AB⊥面DEC，即AB⊥DE，所以∠DEC即为二面角D AB C--的平面角因为CD=1，,tan=2DCDECCE∠则（II）连接BC1因为直棱柱，所以CC1⊥AC，且AC∥A1C1，所以CC1⊥A1C1而由于AC⊥BC，所以A1C1⊥B1C1，所以A1C1⊥面11BB C C，所以∠A1BC1即为BA1与平面11BB C C所成角解得因为A1C1=2，BC1=11111sin =2AC A BC BC ∠则21． （本小题12分）已知圆O 224x y +=与直线:l y x b =+，在x 轴上有点(3,0)P , （Ⅰ）当实数b 变化时，讨论圆O 上到直线l 的距离为2的点的个数； （II ）若圆O 与直线l 交于不同的两点,A B ，且9PA PB =，求b 的值. 解：（Ⅰ）圆心到直线的距离为d =，则当4d =>，即||b >0；当4d ==，即||b =1；当4d =<，即||b <2； （II ）设1122(,),(,)A x y B x y ，9PA PB =， 则1212(3)(3)9x x y y --+=，即1212123()0x x x x y y -++=224y x b x y =+⎧⎨+=⎩，联立，得222240x bx b ++-=，则212212324022b x x b b x x ⎧⎪=->⎪+=-⎨⎪⎪=-⎩，212212822b x x b b x x ⎧⎪<⎪+=-⎨⎪⎪=-⎩ 21212()()22b y y x b x b =++=-，代入，得2340b b +-=，(4)(1)0b b +-=，41b b =-=或，由于28b <，故1b =2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1. 已知,a b 是两个不相等的正数，A 是,a b 的等差中项，B 是,a b 的等比中项，则A 与B 的大小关系是A. A B < B. A B > C. A B = D.11A B< 2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 等于A ．30B ．60C ． 30或150 D.60或1203．若关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是 A ．2m ≤-或2m ≥ B. 22m -≤≤ C.2m <-或2m > D.22m -<<4．下列各函数中，最小值为2的是 A ．1y x x =+, 0x ≠且x R ∈ B ．sin 22sin x y x=+，(0,)x π∈ C．y =, x R ∈ D ．x x ye e -=+ , x R ∈5.等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,若2610a a a ++为常数,则下列各数中恒为常数的是A ． 6SB ． 11SC ．12SD ． 18S6.已知变量,x y 满足约束条件02200x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为A ．2-B ．1-C ．2D ．7. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40° 的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮 在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向 是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是 A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里8.关于x 的不等式20x px q -+<的解集为(,)(0)a b a b <<，且,,2a b -这三个 数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．99. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b ()a b <，其全程的平均时速为v ，则A.a v<<2a bv+<<v b<< D.2a bv+=10．设等差数列的首项和公差都是非负的整数，项数不少于3，且各项和为297，则这样的数列共有 A.2个B.3个 C.4个 D.5个第1页（共4页）第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 在等比数列{}n a中，4525a a==，，则128lg lg lga a a+++等于▲ .12. 已知ABC∆的等比数列，则其最大角的余弦值为▲ .13.设函数(1)()1(1)x xf xx>⎧=⎨-≤⎩，则不等式()2f xx x-≤的解集是▲ .14.要制作一个容积为34m，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是▲ (单位：元)．15.已知方程220x ax b++=(,)a Rb R∈∈，其一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则31ba--的取值范围为▲ .16．平面内有()n n N*∈个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成()f n个区域，那么()f n=▲ .三、解答题：本大题共6小题，共76分。

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。

江苏省扬州市邗江区2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知等差数列{a n }的前9项和S 9=45，则a 2+a 5+a 8=( )A. 10B. 15C. 20D. 25 2. 已知a <b ，则下列不等式正确的是( )A. 1a >1b B. 1−a >1−bC. a 2>b 2D. 2a >2b3. 在等比数列{a n }中，a 2=2，a 6=8a 3，S n 是数列{a n }的前n 项和．若S m =63，则m =( )A. 5B. 6C. 7D. 84. 不等式x 2x−1>1的解集为( )．A. (12,1)B. (−∞,1)C. (−∞,12)∪(1,+∞)D. (12,2)5. 命题p:方程x 25−m +y 2m−1=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是( )A. 3<m <5B. 4<m <5C. 1<m <5D. m >1 6. 已知关于x 的不等式(1−b)x 2+ax ≤0的解集为[−1,0]，则a +b 的值为( )A. −2B. −1C. 1D. 37. 若椭圆x 2m+y 216=1焦距为6，则m 等于( )A. 7B. 25C. 7或25D. 7或15 8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，当S n =n 2+2n 时，a 4+a 5=( ) A. 11 B. 20 C. 33 D. 35 9. 当x >0时，不等式x 2−mx +9>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,6)B. (−∞,6]C. [6,+∞)D. (6,+∞)10. 已知椭圆C ：y 2a2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距是( )A. 2√2B. 2√6C. 4√2D. 4√611. 数列{a n }的通项a n =nn 2+90，则数列{a n }中的最大项是( )A. 3√10B. 19C. 119 D. √106012. 已知数列{a n }的前n 项和S n ≠0，a 1=2，且满足a n+1=S n+1S n ，则S 50=( )A. −297B. −972 C. −97D. 972二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 命题：“∃x <−1，x 2≥1”的否定是______ ．14.设椭圆C：x2a2+y216=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，如果|PF1|+|PF2|=10，那么椭圆C的离心率为_________．15.已知数列{a n}是等比数列，且a2a6=2a4，则a3a5=__________．16.若函数f(x)=xx2+a (a>0)在[1,+∞)上的最大值为√33，则a的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知关于x的不等式ax2−3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}．(1)求a,b的值；(2)求函数f(x)=(2a+b)x−9(a−b)x(x∈A)的最小值．18.已知：p：x2−x−6≥0；q：(x−m−1)(x−m+1)≥0(m是常数).若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.已知{a n}为正项等比数列，a2=3，a6=243，S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设T n=a1b1+a2b2+⋯+a n b n，求T n．20.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用H(万元)与隔热层厚度x(毫米)满足关系H(x)=403x+5(0≤x≤10)设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)请解释H(0)的实际意义，并求f(x)的表达式；(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f(x)最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且短轴长为2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=x+√2与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．22.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1−2S n=1(n∈N∗)．(1)求证：数列{a n}为等比数列；(2)若数列{b n}满足：b1=1，b n+1= b n2+ 1a n+1．①求证：数列{2n−1b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得∑b i n i=1=4−n 成立⋅若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的求和．利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得a5，利用等差数列的性质得到a2+a5+a8=3a5，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}的前9项和S9=45，∴S9=92(a1+a9)=9a5=45，解得a5=5，∴a2+a5+a8=(a2+a8)+a5=2a5+a5=3a5=15．故选B．2.答案：B解析：【分析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．利用不等式的性质即可得出．【解答】解：当a<0，b>0时，满足a<b，1a <1b，故A错，∵a<b，∴−a>−b，∴1−a>1−b，故B正确，当a=−1，b=2时，满足a<b，a2<b2，故C错，∵a<b，f(x)=2x为增函数，∴2a<2b，故D错．故选B．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查等比数列性质与等比数列的求和公式，属于基础题．由a3q3=8a3，得q=2，由a2=2，得a1=1，代入等比数列前n项和公式即可解得m．【解答】解：设{a n }的公比为q ，则a 3q 3=8a 3，解得q =2， ∵a 2=a 1q =2，∴a 1=1， ∴S m =1−2m 1−2=2m −1=63，得m =6．故选B ．4.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 将原式移项，化为一元二次不等式求解即可． 【解答】 解：∵x2x−1>1， ∴x 2x−1−1>0，−x+12x−1>0，等价于(x −1)(2x −1)<0， ∴12<x <1． 故选A ．5.答案：B解析： 【分析】本题给出含有字母参数的椭圆，求它表示焦点在y 轴上椭圆的充分不必要条件，着重考查了椭圆的标准方程和充分必要条件的判断等知识，属于基础题． 根据题意，先求出“方程x 25−m+y 2m−1=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件对应的取值集合A ，再将集合A 的不等式范围与各个选项加以对照，即可得到所求充分不必要条件． 【解答】解：设条件p ：“方程x 25−m+y 2m−1=1表示焦点在y 轴上的椭圆”， 则{5−m >0m −1>0m −1>5−m，解得3<m <5，∵条件p的充分不必要条件对应的取值集合必定是集合A的真子集，∴对照各个选项，可得B项是符合题意的选项．故选B．6.答案：C解析：【分析】本题考查一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题．利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出结果．【解答】解：∵关于x的不等式(1−b)x2+ax≤0的解集为[−1,0]，∴−1，0是一元二次方程(1−b)x2+ax=0的两个实数根且1−b>0，∴−1+0=−a1−b，整理得a+b=1．故选C．7.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题．利用椭圆的几何性质求解即可．【解答】解：椭圆x2m +y216=1焦距为6，则c=3，若椭圆的焦点在x轴上，则m−16=3²，解得m=25；若椭圆的焦点在y轴上，则16−m=3²，解得m=7．综上所述m=25或7，故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了递推关系的应用，属于基础题．利用a4+a5=S5−S3，计算即可得出结论．【解答】解：∵S n=n2+2n，∴a4+a5=S5−S3 =52+2×5−(32+2×3)=20，故选B．9.答案：A解析：【分析】本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式，属于基础题．分离出m，由基本不等式求出最值可得m的范围．【解答】解：因为当x>0时，不等式x2−mx+9>0恒成立，所以不等式mx<x2+9恒成立，即m<x+9x恒成立，由基本不等式可得，当x>0时，x+9x ≥2√x·9x=6，当且仅当x=9x 即x=3时，x+9x取最小值6，故由恒成立可得实数m的取值范围是(−∞,6)．故选A．10.答案：C解析：解：椭圆C：y2a2+x216=1(a>4)的离心率是√33，可得√a2−16a =√33，解得a=2√6．可得c=√24−16=2√2．则椭圆C的焦距是：4√2．故选：C．利用椭圆的离心率求出a，然后求解焦距即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.答案：C解析：【分析】本题考查数列的函数特点及利用基本不等式的性质，属于基础题． 利用数列的通项公式结合基本不等式的性质即可得到结论． 【解答】解：a n =n n 2+90=1n+90n，∵f(n)=n +90n在(0,3√10)上单调递减，在(3√10,+∞)上单调递增，∴当n =9时，f(9)=9+10=19，当n =10时，f(10)=9+10=19， 即f(9)=f(10)为最小值，此时a n =nn 2+90取得最大值为a 9=a 10=119． 故选C ．12.答案：A解析： 【分析】本题考查递推关系及等差数列的通项公式，属于中档题． 【解答】解：因为a n +1=S n +1S n ， 所以S n+1−S n =S n+1S n ,1Sn+1−1S n=−1，1S 1=12，所以{1S n}为首项为12，公差为−1的等差数列，1S 50=12−49=−972,S 50=−297，故选A ．13.答案：∀x <−1，x 2<1解析： 【分析】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x <−1，x 2≥1”的否定是∀x <−1，x 2<1； 故答案为：∀x <−1，x 2<1．14.答案：35解析：【分析】本题考查椭圆的定义以及简单性质的应用，考查计算能力．利用椭圆的定义求出a，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆C：x2a2+y216=1 (a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，如果|PF1|+|PF2|=10，可得a=5，b=4.c=3，则e=ca =35．故答案为35．15.答案：4解析：【分析】本题考查了等比数列的性质，属于基础题．【解答】解：因为数列{a n}是等比数列，且a2a6=2a4,所以a3a5=a2a6=a42=2a4 所以a4=2所以a3a5=a42=416.答案：√3−1解析：解：f′(x)=x 2+a−2x2(x2+a)2=a−x2(x2+a)2，x>√a时，f′(x)<0，f(x)单调减，当−√a<x<√a时，f′(x)>0，f(x)单调增，当x=√a时，f(x)=√a2a =√33，√a=√32<1，不合题意．∴f(x)max=f(1)=11+a =√33，a=√3−1，故答案为√3−1对函数f(x)=xx2+a(a>0)进行求导，讨论a研究函数在[1,+∞)上的极值从，而求出最大值，反求出a．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题的反求问题，属于研究最值问题的中档题．17.答案：解：(1)由题意知：{1+b =3a 1×b =2a a >0,解得a =1，b =2．(2)由(1)知a =1，b =2，∴A ={x|1<x <2}，f(x)=4x +9x (1<x <2)，而x >0时，4x +9x ≥2√4x ⋅9x=2×6=12， 当且仅当4x =9x ，即x =32时取等号，而x =32∈A ，∴f(x)的最小值为12．解析：本题考查一元二次不等式的解集，考查基本不等式的运用，属于基础题．(1)利用不等式的解集与方程解的关系，利用韦达定理组成方程组，即可求得结论；(2)利用基本不等式，可求函数的最小值．18.答案：解：x 2−x −6≥0的解集为A =(−∞,−2]∪[3,+∞)，(x −m −1)(x −m +1)≥0的解集为B =(−∞,m −1]∪[m +1,+∞)，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A 是B 的真子集，即{m −1≥−2m +1≤3，且m −1=−2与m +1=3不同时成立， 解得−1≤m ≤2．∴实数m 的取值范围是[−1,2]．解析：求解一元二次不等式可得命题p 与q 成立的x 的集合，结合p 是q 的充分不必要条件可得A 是B 的真子集，再由两集合间的关系列式求解．本题考查充分必要条件的判定方法，考查复合命题的真假判断与应用，考查一元二次不等式的解法，是基础题．19.答案：解：(1)∵{a n }为正项等比数列，a 2=3，a 6=243，∴{a 1q =3a 1q 5=243，解得a 1=1，q =3，或a 1=−1，q =−3(舍)， ∴a n =3n−1．∵S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35，∴5×3+5×42d =35，解得d =2，∴b n =3+(n −1)×2=2n +1．(2)由(1)知a n b n =(2n +1)⋅3n−1，∴T n=3+5×3+7×32+9×33+⋯+(2n+1)×3n−1，①3T n=3×3+5×32+7×33+9×34+⋯+(2n+1)×3n.②①−②，得−2T n=3+2(3+32+33+34+⋯+3n−1)−(2n+1)×3n=3+2×3(1−3n−1)1−3−(2n+1)×3n=−2n×3n，∴T n=n⋅3n．解析：(1)利用正项等比数列的性质，结合已知条件列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a n= 3n−1.利用等差数列的前n项和公式由已知条件求出公差，由此能求出等差数列{b n}的通项公式．(2)由(1)知a n b n=(2n+1)⋅3n−1，由此利用错位相减法能求出T n=n⋅3n．本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20.答案：解：(1)H(0)=405=8，H(0)的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元．f(x)的解析式为：f(x)=8003x+5+6x(0≤x≤10)．(2)f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+2(3x+5)−10≥2√1600−10=70．当且仅当8003x+5=2(3x+5)即x=5时取等号．∴厚度为5mm时，总费用最小70万元．若不使用隔热材料，则20年的能源消耗总费用为8×20=160万元，故业主可节省90万元．解析：(1)将建造费用和能源消耗费用相加得出f(x)的解析式；(2)利用基本不等式得出f(x)的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．21.答案：解：(1)短轴长2b=2，b=1，e=ca=√22又a2=b2+c2，所以a=√2,c=1，所以椭圆的方程为x22+y2=1(2)设直线l的方程为y=x+√2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴{y=x+√2x2+2y2=2，消去y得，3x2+4√2x+2=0，由韦达定理可知：{x 1+x 2=−4√23x 1x 2=23,由弦长公式可知：丨AB 丨=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(−4√23)2−4×23=43 根据点到直线的距离公式：d =√2丨√12+(−1)2=1， S △AOB =12×d ×丨AB 丨=12×1×43=23，∴S △AOB =23解析：本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，考查计算能力，属于中档题．(1)由b =1，e =c a =√22及a 2=b 2+c 2，即可求得a 和c 的值，求得椭圆方程；(2)将直线方程代入椭圆方程，消去y ，根据韦达定理求得x 1+x 2及x 1x 2，根据弦长公式及点到直线的距离公式，代入三角形面积公式即可求得△AOB 的面积．22.答案：解：(1)由S n+1−2S n =1，得S n −2S n−1=1 (n ≥2)，两式相减，得a n+1−2a n =0，即 a n+1a n =2 (n ≥2)．因为a 1=1，由(a 1+a 2)−2a 1=1，得a 2=2，所以a 2a 1=2，所以a n+1a n =2对任意n ∈N ∗都成立，所以数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2．(2)①由(1)知，a n =2n−1，由b n+1=b n2+1a n+1，得b n+1=b n2+12n ， 即2n b n+1=2n−1b n +1，即2n b n+1−2n−1b n =1，因为b 1=1，所以数列{2n−1b n }是首项为1，公差为1的等差数列．所以2n−1b n =1+(n −1)×1=n ，所以b n =n2n−1．②设T n =∑b i n i=1，则 T n =1×(12)0+2×(12)1+3×(12)2+⋯+n ×(12)n−1， 所以12T n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+(n −1)×(12)n−1+n ×(12)n ，两式相减，得12T n =(12)0+(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1−n ×(12)n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n =2−(n +2)×(12)n ，所以T n =4−(2n +4)×(12)n ．由∑b i n i=1=4−n ，得4−(2n +4)×(12)n =4−n ，即n+2n =2n−1．显然当n =2时，上式成立，设f(n)=n+2n −2n−1 ( n ∈N ∗)，即f(2)=0．因为f(n +1)−f(n)=(n+3n+1−2n )−(n+2n −2n−1)=[2n (n+1)+2n−1]<0， 所以数列{f(n)}单调递减，所以f(n)=0只有唯一解n =2， 所以存在唯一正整数n =2，使得∑b i n i=1=4−n 成立．解析：本题考查数列通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，函数的单调性的应用，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．(1)直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．(2)①利用(1)的结论，进一步利用构造新数列法求出新数列的通项公式，②进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和，再利用存在性问题利用函数的单调性求出n 的存在．。

高二上学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线的倾斜角为__________．【答案】【解析】试题分析：由直线方程可知斜率考点：直线倾斜角与斜率2.已知函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是______．【答案】2+△x【解析】【分析】利用平均变化率的公式即可得解．【详解】解：函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：=2+△x．故答案为：2+△x．【点睛】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．3.过点（1，0）且与直线平行的直线方程是【答案】【解析】试题分析：直线x－2y－2＝0的斜率为，所以所求直线为考点：直线方程4.若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：由题意得：考点：椭圆几何性质5.若a+b=1，则直线2ax-by=1恒过定点______．【答案】（，-1）【解析】【分析】由题得a=1-b,所以直线方程为2x-1-(2x+y)b=0,再解方程组得直线的定点坐标.【详解】解：若a+b=1，所以a=1-b,所以直线方程为2(1-b)x-by=1,所以2x-1-(2x+y)b=0,所以所以直线经过定点（，-1），故答案为：（，-1）．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．6.若某物体运动规律是S=t3-6t2+5（t＞0），则在t=______时的瞬时速度为0．【答案】4【解析】【分析】由题得S′=3t2-12t=0，解方程即得解.【详解】解：∵质点按规律S=t3-6t2+5运动，∴S′=3t2-12t，令S′=3t2-12t=0，解得t=4， (t=0舍去)∴质点在4s时的瞬时速度为0．故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是变化的快慢与变化率，其中根据质点位移与时间的关系式求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键．7.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为______．【答案】x2+y2-2x=0【解析】【分析】由抛物线y2=4x可求出圆心为（1，0）又过坐标原点则半径为R=1再代入圆的标准方程即可求解．【详解】解：∵抛物线y2=4x∴焦点（1，0）∴所求圆的圆心为（1，0）又∵所求圆过坐标原点∴所求圆的半径R=1∴所求圆的方程为（x-1）2+y2=1即x2-2x+y2=0故答案为：x2-2x+y2=0．【点睛】本题以抛物线的有关知识为载体求圆的方程有较强的综合性，关键是会求抛物线的焦点和利用题中条件求圆的半径.8.已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为______．【答案】【解析】【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，再利用点到直线的距离公式求CD, 即得C上各点到l的距离的最小值为CD-r.【详解】解：如图可知：过圆心作直线l：x-y+4=0的垂线，则AD长即为所求；∵圆C：（x-1）2+（y-1）2=2的圆心为C（1，1），半径为，点C到直线l：x-y+4=0的距离为，∴AD=CD-AC=2-=，故C上各点到l的距离的最小值为．故答案为：【点睛】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C 到直线l的距离距离公式．9.函数f（x）=x+2cos x在（0，2π）上的单调递减区间为______．【答案】【解析】【分析】先求导得再解不等式即得函数的单调递减区间.【详解】解：∵函数y=x+2cosx，∴y′=1-2sinx＜0，∴sinx＞，又∵x∈（0，2π），∴x∈，故答案为：．【点睛】本题主要考查用导数法求函数的单调区间,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在A，使,且，则双曲线的离心率为__.【答案】【解析】【分析】设，根据双曲线定义表示，再利用勾股定理表示，从而可得解. 【详解】设分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A, 使,且，设双曲线中，∴离心率，故答案为：.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，关键是通过几何条件和双曲线的定义求得a和c的比值，属于中档题.11.已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=______．【答案】【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，令x=0可得f′（0）=ln2+3f′（0），计算可得f′（0）=-，即可得f′（x）=2x ln2-，将x=1代入计算可得答案．【详解】解：根据题意得f′（x）=2x ln2+3f′（0），当x=0时，有f′（0）=ln2+3f′（0），即可得f′（0）=-，则f′（x）=2x ln2-，则f′（1）=，故答案为：．【点睛】本题考查导数的计算，关键是求出f′（0）的值，属于基础题．12.已知椭圆+=1的左焦点为F，直线x-y-2=0，x-y+2=0与椭圆分别相交于A，B，C，D，则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=______．【答案】12【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为F′，由题分析得到|AF |+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF′|+|BF|+|BF′|，再利用椭圆的定义求解. 【详解】解：设椭圆的右焦点为F′，由椭圆定义可知|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a=6．∵直线x-y-2=0和直线x-y+2=0关于原点对称，且椭圆是中心对称图形，对称中心为原点， ∴|DF|=|AF′|，|CF|=|BF′|，∴|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF′|+|BF|+|BF′|=4a=12． 故答案为：12．【点睛】本题考查了椭圆的定义及对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分） 13.已知双曲线C 1：-=1．（1）若点M （3，t ）在双曲线C 1上，求M 点到双曲线C 1右焦点的距离； （2）求与双曲线C 1有共同渐近线，且过点（-3，2）的双曲线C 2的标准方程．【答案】（1）4（2）x 2-=1 【解析】 【分析】（1）由题得t 2=12（-1）=15，再利用两点间的距离公式求得M 点到双曲线C 1右焦点的距离；（2）设双曲线C 2的方程为-=m （m ≠0，m ≠1），代入点（-3，2），即得m 的值和双曲线的标准方程.【详解】解：（1）双曲线C1：-=1的右焦点为（4，0），点M（3，t）双曲线C1上，可得t2=12（-1）=15，则M点到双曲线C1右焦点的距离为=4；（2）与双曲线C1有共同渐近线，可设双曲线C2的方程为-=m（m≠0，m≠1），代入点（-3，2），可得m =-=，则双曲线C2的标准方程为x2-=1．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查共渐近线的双曲线的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y ＝x－3，当x＝2时，y ＝．又f′(x)＝a ＋，于是，解得故f(x)＝x －．(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y ＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．15.如图是一种加热食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为8m，镜深1m．（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度．【答案】（1）标准方程是y2=16x，焦点坐标是F（4，0）（2）5【解析】【分析】（1）在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径，根据点A（1,4）可以求出抛物线的标准方程；（2）由题得A、F 两点间的距离即为每根铁筋长，求|AF|的长度即可得解.【详解】解：（1）在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，如图所示；使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径；由已知，得A点坐标是（1，4），设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则16=2p ×1，求得p =8；所以所求抛物线的标准方程是y 2=16x ， 所以焦点坐标是F （4，0）.（2）盛水的容器在焦点处，所以A 、F 两点间的距离即为每根铁筋长. 计算|AF |=x 1+=1+4=5，即每根铁筋的长度是5m ．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法和简单几何性质，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2-4x =0及点A （-1，0），B （1，2） （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN =AB ，求直线l 的方程； （2）若圆C 上存在两个点P ，使得PA 2+PB 2=a （a ＞4），求a 的取值范围．【答案】（1）x -y =0或x -y -4=0；（2）（22-8，22+8）【解析】 【分析】(1)由题得直线AB 方程为x -y +1=0， 设直线l 的方程为x -y +m =0，由r 2=（）2+（）2，解得m =0或-4，即得直线l 的方程为x -y =0或x -y -4=0；（2）设P （x ，y ），由题得x 2+（y -1）2=-2，即得P 的轨迹是以（0，1）为圆心，为半径的圆，由两圆相交可得-2＜＜+2，解不等式即得a 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，圆C 的标准方程为（x -2）2+y 2=4， 所以圆心C （2，0），半径为2．因为l ∥AB ，A （-1，0），B （1，2），直线AB 的方程为x -y +1=0，且|AB |==2，设直线l 的方程为x -y +m =0， 又由MN =AB =2，圆心C 到直线l 的距离d =则有r2=（）2+（）2，即（）2=2，解可得m=0或-4，故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0；（2）根据题意，设P（x，y），若PA2+PB2=a，则PA2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2+（y-2）2=a，变形可得：x2+y2-2y+3=，即x2+（y-1）2=-2，则P的轨迹是以（0，1）为圆心，为半径的圆；若圆C上存在两个点P，使得PA2+PB2=a，则圆C与圆x2+（y-1）2=4相交，两圆的圆心距d′==，则有-2＜＜+2，解可得：22-8＜a＜22+8，故a的取值范围为（22-8，22+8）.【点睛】本题主要考查平行直线方程的求法，考查圆中的轨迹问题，考查两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右准线l：x=4．圆C2：x2+y2=b2．A、B为椭圆上不同的两点，AB中点为M．（1）求椭圆C1的方程；（2）若直线AB过F点，直线OM交l于N点，求证：NF⊥AB；（3）若直线AB与圆C2相切，求原点O到AB中垂线的最大距离．【答案】（1）=1（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由椭圆的右焦点和右准线得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设AB：x=my+1，联立直线AB方程和椭圆方程求出点M的坐标和点N的坐标，再计算得k NF•k AB=-1，即得NF⊥AB；（3）设AB：x=my+n，求出AB中垂线方程为mx+y-=0，再求出O到AB中垂线的距离，再利用基本不等式求最大距离.【详解】解：（1）椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右准线l：x=4．∴，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为=1．（2）由题意，AB的斜率不为0，故设AB：x=my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0，由题意得△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-，y1y2=-，∴M（），所以OM方程为y=-，∴N（4，-3m），又F（1，0），∴k NF=-m，∵k NF•k AB=-m•=-1，∴NF⊥AB，当m=0时，NF⊥AB，综上，NF⊥AB．（3）C2：x2+y2=3，设AB：x=my+n，与圆C2相切，得=，与=1联立，得（3m2+4）y2+6mny+3n2-12=0，M（），所以AB中垂线方程为：y+=-m（x-），即mx+y-=0，所以O到其距离d==≤=，当3|m|=，即m=时，取等号．综上，点O到AB的中垂线的最大距离为．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法和椭圆的简单几何性质，考查两条直线垂直的斜率表示，考查点到直线的距离的求法和最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.已知函数f（x）=|ax-2|+ln x（其中a为常数）（1）若a=0，求函数g（x）=的极值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）令F（x）=f（x）-，当a≥2时，判断函数F（x）在（0，1]上零点的个数，并说明理由．【答案】（1）极大值为e，无极小值．（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）直接利用导数求函数的极值；（2）对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（3）由题得|ax-2|=-ln x，先求出函数y=-ln x在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，再对a分类讨论，结合数形结合分析得到函数F（x）在（0，1]上零点的个数. 【详解】解：（1）当a=0时，f（x）=2+ln x，g（x）=，g'（x）=-，由g'（x）=0，得x=，当0＜x＜时，g′（x）＞0 g（x）单调递增：当x＞时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，即当x=，时函数g（x）取得极大值，极大值为g（）=e，无极小值．（2）若a≤0．则f（x）=-ax+2+ln x，f′（x）=-a+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则f（x）=，当x≥时，f′（x）=a+＞0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增，当0＜x＜时，f′（x）=-a+，由f′（x）＞0得0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得＜x＜，此时函数单调递减，综上当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），[，+∞），单调递减区间为（，）．（3）F（x）=f（x）-=|ax-2|+ln x-，由F（x）=0得|ax-2|=-ln x，则k(x)=-ln x，则函数在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，当时，y=|ax-2|的零点为∈（0，1],当x时，F（x）=f（x）-=|ax-2|+ln x，由F（x）=0，得，即.令，，所以在单调递增，，又，所以时，因为，所以时F（x）无零点.当x≥时，y=ax-2，设h（x）=ax-2，当h（1）≥1．即a-2≥1，即a≥3时，两个函数有1个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，当h（1）＜1．即a-2＜1，即2＜a＜3时，两个函数有0个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，综合得2≤a＜3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，a≥3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

江苏省扬州市高邮市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知数列{a n}为等差数列，且a7−2a4=−1，a3=0，则公差d=()A. −2B. −12C. 12D. 22.已知a<0，−1<b<0，则下列各式正确的是()A. a>ab>ab2B. ab>a>ab2C. ab2>ab>aD. ab>ab2>a3.若x>3，则函数y=x+1x−3的最小值为()A. 2B. 2√3+1C. 2√2+6D. 54.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a16=3，则S20=()A. 10B. 15C. 20D. 305.“2<m<6”是“方程x2m−2+y26−m=1为椭圆方程”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.不等式−x2+bx+c>0的解集是{x|−2<x<1}，则b+c−1的值为()A. 2B. −1C. 0D. 17.当0<m<12时，若1m+21−2m≥k2−2k恒成立，则实数k的取值范围为()A. [−2,0)∪(0,4]B. [−4,0)∪(0,2]C. [−4,2]D. [−2,4]8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其大意为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则该人第四天走的路程为()A. 3里B. 6里C. 12里D. 24里9.已知椭圆x225+y216=1内一点P(2,1)，直线过点P且与椭圆相交两点，则以P为中点的直线方程为______ ．A. 32x−25y−89=0B. 32x+25y−89=0C. 32x−25y+89=0D. 32x+25y+89=010.椭圆x216+y29=1的焦距为()A. 10B. 5C. √7D. 2√711.倾斜角为60°的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A，B两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与a⃗=(4,−√3)共线，则椭圆的离心率为()A. 12B. 13C. √22D. √3212.已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1 , n∈N∗则数列{a n}=()A. {a n}是等比数列B. {a n}不是等差数列C. a2=1.5D. S5=122二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x>0，x2−x≤0”的否定是______．14.已知正实数x，y满足x+4y−xy=0，则x+y的最小值为______ ．15.已知椭圆C：x216+y212=1，过点P(0,6)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若A是线段PB的中点，则点A的坐标为______．16.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。