江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试卷含答案

姓名，年级：时间：邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟 总分:150分)一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f (x ）＝x 2﹣sin x 在［0，π］上的平均变化率为( ）A ．1B ．2C ．πD ．π2 2．复数z 满足z =2i 1−i ，则复数z 的虚部为( )A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．已知随机变量X 服从正态分布N （1，4），若P （X ≥2）＝0。

2，则P （0≤X ≤1）为（ ）A ．0。

2B ．0.3C ．0。

4D ．0.6 4．已知C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N ＊）,则n 等于（ )A ．14B ．12C ．13D ．155．已知f （x ）＝x •sin2x ,则)2(πf '为（ ） A ．﹣πB ．−π2C ．π2D ．π 6．二项式（√x +2x 2）10展开式中的常数项是（ )A ．180B ．90C ．45D ．3607．从1,2，3，4，5,6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则P （B ｜A ）＝（ ）A．38B．1340C．1345D．348．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A．48种B．72种C．96种D．144种9．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x）,且函数f(x）在x＝﹣1处取得极大值,则函数y＝xf′(x）的图象可能是（)A．B．C．D．10．已知（x﹣1)9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8＝（）A．﹣45 B．27 C．﹣27 D．4511．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是（）A．每人都安排一项工作的不同方法数为54B．每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A3312．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈［1，e］的最小值为3，若存在x1，x2,…，x n∈[1，e］，使得f（x1)+f(x2)+…+f（x n﹣1）＝f(x n），则正整数n的最大值为（)A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为．14．若(1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝．15．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________16．若存在a＞0,使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为．三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分,其他每题12分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z是复数,z+2i与z2−i均为实数．（1）求复数z；(2）复数（z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数（结果用数字作答)．（1）选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起;（5）全体排成一排，男生互不相邻。

江苏省扬州中学2019——2020学年度第一学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的。

)1.命题“∃x ∈Z ，使x 2+2x+m≤0”的否定是（ ）A ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m≤0B ．∃x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞0C ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m ＞0D ．不存在x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞011−的等比中项是（ ）A.B.1C.-1D. 1±3. “01m <<”是“方程2212x y m m+=−表示椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.双曲线221412x y −=的焦点到渐近线的距离为（ ）A． B ．2 CD ．15.已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则9S 等于（ ）A ．8−B ．6−C ．10D ．06.双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．38B ． 316C ．163D ．837.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“{a n }是等差数列”是“{}nS n是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且733n n S n T n +=+，则223817b +b a a +=( )A.176 B. 134 C. 193 D. 136 9.过104（，）的直线与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若||4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ）A.74B.94C.4D.2 10.已知数列{}n a ，如果1a ，21a a −，32a a −，……，1n n a a −−，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a =（ ） A.31123n （）− B .131123n −−（） C.21133n −（） D.121133n −−（） 11.已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）A. [1,9]B. 2[,9]3C.2[,1]3D.[312.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果．) 13.若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．14.已知数列{}n a 满足：11a =，*132()n n a a n N +=+∈，则n a = .15.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A B 、两点，12,F F为椭圆的左,右焦点，若122F AF π∠=,且该椭圆的离心率2e ∈，则θ的取值范围为 ．16.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与圆()2221x y r −+=交于C ，D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为 . 三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分10分）（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321n n S n =++，求n a .（2）已知{a n }是各项为正的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2+16,设b n ＝2log n a ，求数列{b n }的前n 项和．18.（本小题满分12分）已知双曲线C ：22221x y a b −=（a ＞0，b ＞023a c = （1）求双曲线C 的方程.（2）已知直线0x y m −+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B 且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值19.（本小题满分12分）已知:(1)(2)0,:p x x q +−≥关于x 的不等式2260x mx m +−+>恒成立 (1)当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围.(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =−，11411S b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b −的前n 项和()n *∈N .（3）设221log n n c b −=，n P 为数列214n n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求不超过2019P 的最大整数．21. （本小题满分12分）如图,已知抛物线C 顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点(2,1)M −是抛物线上的一点.（1）求抛物线C 的标准方程（2）若点,P Q 在抛物线C 上,且抛物线C 在点,P Q 处的切线交于点S ,记直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，且满足211k k −=,当,P Q 在C 上运动时，PQS ∆的面积是否为定值？若是，求出PQS ∆的面积；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右准线方程为4x =，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程.（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =求k 的值.（3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与右准线相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为k 1，k 2，k 3 ，求k 2·(k 1－k 3)的值．出题人：蒋红慧 江金彪 校对：韩悦 审核：姜卫东高二数学期中考试答案1.C2.D3.B4.A5.D6.B7.C8.C9.B 10.A 11.B 12.A13. 3m > 14. 123-1n n a −=⋅ 15.5[,]66ππ16.()2,+∞16.详解：（1）当直线l x ⊥轴时，直线l ：1x =与抛物线交于(1,2)(1,2)−、，与圆222(1)x y r −+=交于(1,)(1,)r r −、，满足AC BD =. （2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 方程(1)y k x =−.1122(,),(,)A x y B x y联立方程组2(1)4y k x y x=−⎧⎨=⎩ 化简得2222(24)0k x k x k −++=由韦达定理 12242x x k+=+由抛物线得定义，过焦点F 的线段122424AB AF BF x x k=+=++=+当四点顺序为A C D B 、、、时AC BD =∴AB 的中点为焦点F （1，0），这样的不与x 轴垂直的直线不存在；当四点顺序为A C B D 、、、时，AC BD = ∴AB CD =又2CD r =，2442r k ∴+=，即222r k=− 当2r >时存在互为相反数的两斜率k ，即存在关于1x =对称的两条直线。

江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()sin cos x x '=-B ．'2e e e x x xx x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()22xx'=D ．'=2．()412x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．643．学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（ ） A ．43B ．36C ．24D ．344．如图，三棱柱111ABC A B C -中，G 为棱AD 的中点，若BA a =u u u r r ，BC b u u u r r=，BD c =u u u r r ，则CG =u u u r （ ）A ．1122a b c -+r r rB ．1122a b c ++r r rC ．311222a b c -+r r rD ．311222a b c ++r r r5．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4100⨯接力比赛．记事件A 为“甲同学不跑第一棒”，事件为B “乙同学跑第二棒”，则()P B A 的值为（ ）A ．19B ．49C ．13D ．296．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项7．下列命题中正确的是（ ）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线l 的方向向量为()1,1,2e =-r ，平面α的法向量为()6,4,1m =-r，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120o ，则直线l 与平面α所成的角为30oD ．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12m =-8．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()11e 2f =-，()e xf x x '+>，则不等式()22e 2x f x x ->的解集为（ ）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．()()0,11,+∞U二、多选题9．已知m n ≤且*,m n ∈N ，则下列等式中正确的是（ ） A ．!A !m n n m =B ．11A (1)!n n n n ++=+C ．A C !mmn nm =D ．111C C C m m mn n n +-+=+10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，122AA AB ==，则（ ）A ．AM CM ⊥B ．1//B D 平面MACC ．BC 与平面MACD ．三棱锥1D MAC -的体积为1211．定义：设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数()331f x x x =-+，则下列说法中正确的有（ ）A ．()f x 的对称中心为()0,1B ．若关于x 的方程()f x m =有三解，则13m -<<C ．若()y f x =在[)2,n -上有极小值，则1n >-D ．若()f x 在[],a b 上的最大值、最小值分别为8,6-，则0a b +=三、填空题12．已知1221616C C x x -+=，则x =．13．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示）点P 是正方形1111D C B A 的中心，则向量1AA AP ⋅=u u u r u u u r．14．已知()ln 1f x x =+，则()f x 在点()1,1处切线方程为；若()()2g x ax bx f x =+-，其中0a >，且对于一切()0,x ∈+∞都有()0g x ≥，则ba的最小值是．四、解答题15．在2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，______．给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求n 的值并求展开式中的常数项； (2)求()221nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数．16．如图，在几何体ABCD EF -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//BF DE ，22DE BF ==，ED ⊥平面ABCD ．(1)求直线AF 与直线CE 所成角的余弦值； (2)求二面角B CF E --的余弦值． 17．某校学生文艺部有男生4人，女生2人(1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率；②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．18．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，E 、F 、M 、O 分别是PC 、PD 、BC 、AD 的中点，⊥PO 平面ABCD ．(1)求证：EF PA ⊥；(2)求点B 到平面EFM 的距离；(3)在线段PA 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面EFM 求线段PN 的长度，若不存在，说明理由．19．已知函数()ln f x x x mx =+． (1)若2m =-，求()f x 的极值；(2)若对任意()0,x ∈+∞，()1ef x ≥-都成立，求实数m 的取值范围；(3)若()()()2112h x f x x m x m=--+有两个极值点1x ，2x ，且212x x >，求证：312e mx x >．。

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1．化简：A 52=（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 2．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．(sin )cos x 'x =- C ．(3)'3x x = D ．1(ln )x '=x 3． (a +b)5的展开式中a 3b 2的系数为（ ）A ．20B ．10C ．5D ．1 4．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ） A ．950 B ．12 C ．910D ．14 5．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若512020+a 能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ）A ．11113213C C C CB ．2343C A C ．122342C C AD ．18 11．已知()n a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数f(x)=x 2,当∆x →0时，f (1+∆x )−f(1)∆x →A ,则A = __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=c k+1，k =0，1，2，3，则P(ξ=2)= __________.16. 若对任意0x >，恒有()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分）已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++L ，①求012n a a a a ++++L ；②若在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值； （2）设2012()(1)(1)(1)n n f x b b x b x b x =+++++++L ，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0. （1）求实数a 的值；（2）若直线y =b 与函数f(x)图象交于A,B 两点,A(x 1,f(x 1)), B(x 2,f(x 2)),且12x x <，A,B 两点的中点M 的横坐标为x 0,证明：x 0>1.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >.（1）若a =1，证明：f(x)≤0；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：徐小美、张茂城审核人：蒋红慧。

2019-2020学年扬州中学高二下学期期中数学试卷(文科)一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={1,2，3，4}，B={−2,0，2}，则A∩B=______．2.据国家海洋研究机构统计，中国有约120万平方公里的海洋国土处于争议中，该数据可用科学记数法表示为平方公里．3.下列命题中(1)在等差数列{a n}中，m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)是a m+a n=a s+a t的充要条件；(2)已知等比数列{a n}为递增数列，且公比为q，若a1<0，则当且仅当0<q<1；(3)若数列{n2+λn}为递增数列，则λ的取值范围是[−2,+∞)；(4)已知数列{a n}满足12a1+122a2+123a3+⋯+12na n=2n+5，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1(5)若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零．其中正确命题是______(只需写出序号)4.已知f(x)=a sin3x+b tan x+1，若f(2)=3，则f(2π−2)=______ ．5.设P为曲线C：f(x)=x2−x+1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[−1,3]，则点P的纵坐标的取值范围是________．6.实数x，y>0，且x+2y=4，那么log2x+log2y的最大值是______ ．7.已知f(2x+1)=3x−2，且f(a)=4，则a的值是______ ．8.“sinθ≠12”是“θ≠30°”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)9.函数y=√3−x+1x2−x−6的定义域为______ ．10.对于mn，且m，n∈N且m，n≥2可以按如下的方式进行“分解”，例如72的“分解”中最小的数是1，最大的数是13.若m3的“分解”中最小的数是651，则m=______11.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．12.若f′(2)=1，则lim△x→0f(2+2△x)−f(2)△x=______ ．13.定义域为R的奇函数y=f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，则y=f(x)在区间[0,2]上至少有______个零点．14.函数f(x)=4x2−mx+5在[2,+∞)上为增函数，则m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.实数a取什么值时，复数z=a2−1+(a+1)i.是(I)实数；(Ⅱ)虚数；(Ⅲ)纯虚数．16.设命题p：函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上单调递增；q：关于x的方程x2+2x+log a32=0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17.发烧是因为体内的白细胞为了吞掉细菌而迅速增加，耗氧增加而引起．发烧本身不是疾病，而是一种症状，它是体内抵抗感染的机制之一．为避免体温持续过高引发肺炎、脑膜炎、心肌炎等多种疾病，持续高烧的患者需要及时服用退烧药．某退烧药在病人血液中的含量不低于2克时，具有治疗作用．已知每服用a(1≤a≤5且a∈R)个单位的药，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系近似地表示为y=a⋅f(x)，其中f(x)={94+x ,0≤x<5,7−x 2,5≤x≤7.．(1)若病人一次服用2个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，5小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．18.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x．(1)求函数f(x)的解析式及其值域；(2)设x0是方程f(x)=4−x的解，且x0∈(n,n+1)，n∈Z，求n的值；(3)若存在x≥1，使得(a+x)f(x)<1成立，求实数a的取值范围．19.(本小题满分12分)已知函数，的最大值为．(1)求的值；(2)若，，求．−alnx+1(a∈R)．20.设函数f(x)=x−4x(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，求f(x)的极值；(2)当a≤4时，若不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：{2}解析：解：∵A={1,2，3，4}，B={−2,0，2}；∴A∩B={2}．故答案为：{2}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：解析：试题分析：根据科学计数法的规定可知120万用科学计数法可以表示为．考点：本小题主要考查科学计数法的应用．点评：科学计数法的应用十分广泛，要注意准确应用．3.答案：(2)(5)解析：解：(1)在等差数列{a n}中，m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)⇒a m+a n=a s+a t，反之不成立，例如常数列a n=0，不正确；(2)等比数列{a n}为递增数列，且公比为q，若a1<0，则当且仅当0<q<1，正确；(3)数列{n2+λn}为递增数列，则(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn，化为：λ>−(2n+1)，∴λ>−3，因此λ的取值范围是(−3,+∞)，因此不正确；(4)数列{a n}满足12a1+122a2+123a3+⋯+12na n=2n+5，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，n=1时，a1=14，不成立，因此不正确；(5)若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，若q≠1，则S n=a11−q−a11−q q n，则A+B=0−q=1时，S n=na1，不满足条件，舍去．因此A+B为零，正确．其中正确命题是(2)(5)．故答案为：(2)(5)．(1)在等差数列{a n}中，由m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)⇒a m+a n=a s+a t，反之不成立，可举反例；(2)利用等比数列的单调性即可判断出正误；(3)数列{n2+λn}为递增数列，则(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn，化简即可得出；(4)n=1时，a1=14，不成立；(5)由已知q≠1，S n=a11−q −a11−qq n，即可验证A+B=0−本题考查了等差数列等比数列的定义通项公式求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：−1解析：解：f(x)=a sin3x+btanx+1，若f(2)=3，则f(2π−2)=a sin3(2π−2)+btan(2π−2)+1=−a sin32−btan2+1=−(a sin32+btan2+1)+2=−3+2=−1故答案为：−1利用诱导公式以及函数值求解即可．本题考查诱导公式以及函数值的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．5.答案：解析：设P(x0,y0)，则f′(x)=2x−1．∴−1≤2x0−1≤3，即0≤x0≤2．∵y0=f(x0)=−x0+1= 2+，∵x0∈[0,2]，∴≤y0≤3，故点P的纵坐标的取值范围是．6.答案：1解析：解：∵实数x，y>0，且x+2y=4，∴4≥2√2xy，化为xy≤2，当且仅当x=2y=12时取等号．则log2x+log2y=log2(xy)≤log22=1．因此log2x+log2y的最大值是1．故答案为：1．利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．本题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题．7.答案：5解析：解：令t=2x+1得，x=t−12，代入f(2x+1)=3x−2得，f(t)=32t−72，则f(x)=32x−72，则f(a)=32a−72=4，解得a=5，故答案为：5．令t=2x+1得x=t−12，代入解析式求出f(x)的解析式，再由f(a)=4列方程求出a的值．本题考查了函数的解析式的求法：换元法，以及函数的值，属于基础题．8.答案：充分不必要解析：解：“sinθ≠12”能推出“θ≠30°是充分条件，“θ≠30°推不出sinθ≠12，不是必要条件，故答案为：充分不必要根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．9.答案：{x|x<3且x≠−2}解析：解：由{3−x ≥0x 2−x −6≠0，解得x <3且x ≠−2． ∴函数y =√3−x +1x 2−x−6的定义域为{x|x <3且x ≠−2}．故答案为：{x|x <3且x ≠−2}．由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 10.答案：26解析：解：由题意，m 2−(m −1)=651，∴m =26或−25(负数舍去)，即m =26．故答案为：26．观察m 的3次方分解规律中，发现：所分解的最小数是m 的平方与m −1的差．根据发现的规律进行计算即可．本题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解．规律为：在m 2中所分解的最大的数是2m −1；在m 3中，所分解的最小数是m 2−m +1．11.答案：解析：解析：略 12.答案：2解析：解：∵f′(2)=1，∴lim △x→0f(2+2△x)−f(2)△x =lim △x→0f(2+2△x)−f(2)2△x×2 =2f′(2)=2×1=2．故答案为：2．根据题意，由导数在某一处的定义，求出计算结果．本题考查了导数的定义的应用问题，解题时应明确导数的定义公式，从而得出计算结果，是基础题．13.答案：3解析：解：f(x−1)=f(x+1)，∴f(x)=f(x+2)，即函数是周期为2的周期函数，∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，则f(2)=f(0)=0，令f(x−1)=f(x+1)中x=0，则f(−1)=f(1)=−f(1)，则f(1)=0，即0，1，2为y=f(x)在区间[0,2]上的零点，则y=f(x)在区间[0,2]上至少有3个零点，故答案为：3根据条件判断函数的周期是2，结合函数奇偶性和周期性，以及函数零点的定义进行判断即可．本题主要考查函数零点的个数，结合条件判断函数的周期，利用函数的周期以及奇偶性进行转化是解决本题的关键．难度中等．14.答案：(−∞,16],+∞)，解析：解：函数f(x)的增区间为[m8又f(x)在[2,+∞)上为增函数，所以[2,+∞)⊆[m，+∞)，8≤2，解得m≤16，则m8所以m的取值范围是(−∞,16]．故答案为：(−∞,16]．由f(x)在[2,+∞)上为增函数，得[2,+∞)为f(x)增区间的子集，由此得到不等式，解出即可．本题考查二次函数的单调性，属基础题，若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则[a,b]为f(x)增区间的子集．15.答案：解：(I)当a+1=0，即a=−1时，复数z是实数；(II)当a+1≠0，即a≠−1时，复数z是虚数；(III)当{a2−1=0，即a=1时，复数z是纯虚数．a+1≠0解析：(I)当a +1=0，复数z 是实数；(II)当a +1≠0，复数z 是虚数；(III)当{a 2−1=0a +1≠0，复数z 是纯虚数． 本题考查了复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16.答案：解：由命题p 得a >1；由命题q 知关于x 的方程x 2+2x +log a 32=0无解，∴△=4−4log a 32<0，解得1<a <32； 由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假知p ，q 中一真一假；∴若p 真q 假，则：a >1，且0<a <1，或a ≥32，∴a ≥32；若p 假q 真，则0<a <1，或1<a <32，解得a ∈⌀；综上得，实数a 的取值范围为[32,+∞)．解析：先求出命题p ，q 下的a 的取值范围，根据p ∨q 为真，p ∧q 为假可知p ，q 一真一假．所以讨论，p 真q 假，和p 假q 真两种情况，求出a 的范围求并集即可．考查对数函数的单调性，一元二次方程的解和判别式△的关系，p ∨q ，p ∧q 的真假情况和p ，q 真假情况的关系．17.答案：解：(1)a =2时，y ={184+x ,0≤x <514−2x 2,5≤x ≤7； 当0≤x <5时，由184+x ≥2，解得x ≤5，此时0≤x <5；当5≤x ≤7时，由14−2x 2≥2，解得x ≤5， 此时x =5；综上0≤x ≤5，故有效治疗的时间可达5小时；(2)当5≤x ≤7时，y =2×7−x 2+m ⋅94+x−5=7−x +9m x−1，其中1≤m ≤4，m ∈R ； 又函数y 1=7−x 与y 2=9m x−1在区间[5,7]上单调递减，∴函数y =7−x +9m x−1在区间[5,7]上单调递减；∴当x =7时，y min =9m 6≥2，解得m ≥43；∴m 的最小值是43．解析：(1)利用分段函数表示a =2时函数y 的解析式，求出有效治疗的时间；(2)判断函数y 的单调性，根据函数的性质求出满足题意的m 的最小值．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题．18.答案：解：(1)若x <0，则−x >0，则当−x >0时，f(−x)=2−x ．∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=2−x =−f(x)，则f(x)=−2−x ，x <0，当x =0时，f(0)=0，则f(x)={2x , x >0 , 0 , x =0 , −2−x , x <0 ． …3分值域为(−∞,−1)∪{0}∪(1,+∞).…5分(2)令g(x)=f(x)−(4−x)={2x +x −4 , x >0 , −4 , x =0 , −2−x +x −4 , x <0 ． 显然x =0不是方程f(x)=4−x 的解．当x <0时，g(x)=−2−x +x −4<0，∴方程f(x)=4−x 无负数解． …7分当x >0时，g(x)=2x +x −4单调递增，所以函数g(x)至多有一个零点；…8分又g(1)=−1<0，g(2)=2>0，由零点存在性原理知g(x)在区间(1,2)上至少有一个零点．…9分 故g(x)的惟一零点，即方程f(x)=4−x 的惟一解x 0∈(1,2)．所以，由题意，n =1. …10分(3)设ℎ(x)=2−x −x ，则ℎ(x)在[1,+∞)上递减．∴ℎ(x)max =ℎ(1)=−12.…13分当x ≥1时，f(x)=2x ，不等式(a +x)f(x)<1，即a <2−x −x ．∴当a <−12时，存在x ≥1，使得a <2−x −x 成立，即关于x的不等式(a+x)f(x)<1有不小于1的解．…16分．解析：(1)根据函数奇偶性的对称性即可求函数f(x)的解析式及其值域；(2)根据函数和方程之间的关系进行求解即可；(3)构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．19.答案：解析：20.答案：解：(1)∵f(x)=x−4x −alnx+1，∴f′(x)=1+4x2−ax，由题意，切线斜率k=f′(1)=1+4−a=0，∴a=5．∴f(x)=x−4x −5lnx+1，f′(x)=1+4x2−5x=x2−5x+4x2(x>0)．由f′(x)=0，得x=1或x=4．x(0,1)1(1,4)4(4,+∞)f′(x)+0−0+f(x)增函数极大值减函数极小值增函数∴f(x)的极小值为f(4)=4−1−5ln4+1=4−10ln2，f(x)的极大值为f(1)=1−4−0+1=−2．(2)由题意，当a≤4时，f(x)在[1,4]上的最大值M≥2．f′(x)=x2−ax+4x2(1≤x≤4)．(i)当−4≤a≤4时，f′(x)=(x−a2)2+4−a 24x2≥0，故f(x)在[1,4]上单调递增，M=f(4)，(ii)当a<−4时，设x2−ax+4=0(△=a2−16>0)的两根为x1，x2，则x1+x2=a<0，x1x2=4，故x1，x2<0．∴在[1,4]上f′(x)=x2−ax+4x2>0．故f(x)在[1,4]上单调递增，M=f(4)．综上所述，当a≤4时，f(x)在[1,4]上的最大值M=f(4)=4−1−aln4+1≥2．解得：a≤1ln2．∴a的取值范围是(−∞,1ln2].解析：(1)求出原函数的导函数，由题意得到f′(1)=0，求得a值，代入f(x)后利用导数求得极值点，进一步求得极值；(2)把不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解转化为f(x)在[1,4]上的最大值M≥2，把原函数求导后对a 分类求得函数的最大值，再由最大值M≥2求得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，把不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解转化为f(x)在[1,4]上的最大值M≥2是解答该题的关键，是压轴题．。

江苏省扬州中学2022-2023学年第二学期期中考试试题高二化学(选修)可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Ni-59第Ⅰ卷(选择题，共39分)一、单项选择题：共13题，每题3分，共39分。

每小题只有一个选项最符合题意。

1. 2022年12月，中国航天员乘组完成首次在轨交接，中国航天员“天宫”会师创造历史。

下列说法不正确．．．的是A. 运载火箭的燃料偏二甲肼(C 2H 8N 2)在反应中作还原剂B. 航天器使用的太阳能电池帆板的主要成分是SiO 2，制造光纤也与SiO 2有关C. 天和核心舱的霍尔发动机燃料13154Xe 原子核中含77个中子 D. 航天员的耳机使用的双层蛋白质皮革属于有机高分子材料 2. 下列化学用语使用正确的是A. 乙烯的球棍模型B. 一氯甲烷的电子式：C. 聚丙烯的结构简式：[222CH -CH -CH ]nD. 甲醇的结构简式为：4CH O3. 氮是生命的基础，氮及其化合物在生产生活中具有广泛应用。

下列氮及其化合物的性质与用途具有对应关系的是A. N 2不溶于水，可用作保护气B. NH 3极易溶于水，可用作制冷剂C. NO 2具有强氧化性，可用作火箭燃料推进剂 D HNO 3具有易挥发性，可用来制备TNT 4. 苯硝化反应实验如下：步骤1：在试管中将1.5mL 浓硝酸和2mL 浓硫酸混合均匀，冷却到50℃以下，不断振荡下逐滴加入约1mL 苯，并注意避免使混合物的温度超过60℃。

步骤2：塞上带有导管的橡皮塞，在50~60℃的水浴中加热几分钟。

步骤3：反应完后，将混合物倒入盛有水的烧杯中，观察生成物的状态。

步骤4：向生成物中加入适量NaOH 溶液，搅拌后用分液漏斗分液。

.下列说法不正确．．．的是 A. 步骤1中，控制温度不超过60℃，主要目的是防止副产物生成 B. 步骤2中，橡胶塞上长导管的主要作用是通气并冷凝回流 C. 步骤4中，加入适量NaOH 溶液是为了洗去硝基苯中混有的杂质 D. 该实验如温度升高到100~110℃，则易生成邻二硝基苯5. 前4周期元素(非0族)X 、Y 、Z 、W 的原子序数依次增大。

江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A. 1 B. 2C. πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-.故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 2.复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A. ﹣1 B. 1C. iD. ﹣i【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果. 【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+， 则复数z 的虚部为1． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．3.已知随机变量X 服从正态分布14N （，），若(2)=0.2P X ≥，则(01)P X ≤≤为（ ） A. 0.2 B. 0.3C. 0.4D. 0.6【答案】B 【解析】 【分析】X 服从正态分布(14)N ，，对称轴1μ＝，利用正态曲线的对称性可解 【详解】解：∵随机变量X 服从正态分布(14)N ， ∴12μσ＝，＝， 又(2)=0.2P X ≥，∴(01)=(12)=0.50.2=0.3P X P X ≤≤≤≤-； 故选：B ．【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝； (2)()00()1P X x P X x <-≥=；(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．4.若7781n n n C C C +-=，则n 等于（ ）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】C 【解析】试题分析：由7781n n n C C C +-=和组合数公式得()()()()1!!!7!6!7!7!8!8!n n n n n n +-=---,化简得()()1116778n n n n +-=-⋅--,解之得14n =.考点：组合数计算.5.已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ） A. π- B. 2π-C.2π D. π【答案】A 【解析】 【分析】根据导数运算,求得()'f x ,代入即可求解. 【详解】因为()sin 2f x x x =⋅所以由导数运算公式可得()'sin 22cos2f x x x x =+ 所以sin 22'2cos 2222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⨯⨯⨯⎭+0cos πππ=+=-故选:A【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.6.二项式1022)x展开式中的常数项是( ) A. 180 B. 90C. 45D. 360【答案】A 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【详解】解：二项式1022)x展开式的通项公式为5521102r r r r T C x -+=⋅⋅，令5502r -=，求得 2r =，可得展开式中常数项是22102180C ⋅=， 故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A. 38B.1340C.1345D.34【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯ 由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.8.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A. 48种B. 72种C. 96种D. 144种【答案】B 【解析】 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．9.设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）AB.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由极值与导数的关系确定，确定当0>x >﹣1以及x >0时，()xf x '的符号；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；当x <﹣1时，()xf x '符号．由此观察四个选项能够得到正确结果． 【详解】∵函数f （x ）在R 上可导，其导函数()f x '， 且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，∴当x >﹣1时，()f x '<0；当x ＝﹣1时，()f x '＝0；当x <﹣1时，()f x '>0．∴当0>x >﹣1时，()xf x '>0；x >0时，()xf x '<0； 当x ＝﹣1时，()xf x '＝0； 当x <﹣1时，()xf x '＜0． 故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10.已知()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++，则8a =（ ） A. 45- B. 27 C. 27- D. 45【答案】A 【解析】 【分析】分两类求解，当()1x -，取 1时， ()91-x 取8个x ，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，分别求值，再相加.【详解】当()1x -取 1时， ()91-x 取8个x ，则1891a C =-⨯，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，则()278911a C =-⨯⨯-，所以()27189911145a C C =-⨯⨯--⨯=- .故选：A【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了分类讨论的方法，属于基础题. 11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C ，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ，故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.12.已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=，则正整数n 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a 的值,从而求得()f x 的最大值与最小值,再根据题意推出min max (1)()()n f x f x -,即可求得n 的最大值.【详解】11()ax f x a x x '-=-=, ①当0a ≤或10a e<≤时,()0f x '<在[]1,x e ∈恒成立,从而()f x 在[]1,e 单调递减,所以min ()()13f x f e ae ==-=,解得41,a e e ⎛⎤=∉-∞ ⎥⎝⎦,不合题意; ②当11a e <<时,易得()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, 所以min 11()1ln 3f x f a a ⎛⎫==-=⎪⎝⎭,解得21,1a e e ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,不合题意; ③当1a >时,()f x 在[]1,e 单调递增, 所以min ()(1)31f x f a ===>,满足题意; 综上知3a =.所以()3ln f x x x =-,[]1,x e ∈,所以min ()(1)3f x f ==,max ()()31f x f e e ==-依题意有min max (1)()()n f x f x -≤,即(1)331n e -≤-,得23n e ≤+, 又*n N ∈,所以3n ≤. 从而n 的最大值为3. 故选:B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ． 【答案】 【解析】试题分析：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10），利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10） ∴Eξ=故答案为点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．14.若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．【答案】1023 【解析】 【分析】赋值法 令0x =得：01a =；令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++(),再两式相减可得. 【详解】解：∵102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，令0x ＝得：01a = ；①令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++()； ②由①②可得：12310102411023a a a a +++⋯+-==； 故答案为：1023．【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()n ax b +，2()max bx c ++ (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可．(2)对形如()()nax by a b R +∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．(3)若()2012nn f x a a x a x a x +++⋯+=，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ．15.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是_________【答案】827【解析】 【分析】先分别求出顺时针、逆时针方向跳的概率，分析跳四次之后停在A 叶上，有两种情况：有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，再分别计算对应的概率即可. 【详解】解：设按照顺时针跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ， 则2=3=1p p p +，解得p 13=，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23， 若青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，①若先按逆时针开始从A →B ，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为123221124()3338127C ⨯⨯⨯==， ②若先按顺时针开始从A →C ，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为123112124()3338127C ⨯⨯⨯==， 则概率为448272727+=， 故答案为:827【点睛】求复杂互斥事件概率的步骤：第一步，分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．16.若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为________. 【答案】213e 【解析】【分析】分别求出函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的导函数，设公共点为()00,g x y ，则00()()f x g x ''=解得03x a =，又()()00f x g x =，则2236ln 3(0)b a a a a =-->，令22()36ln 3(0)h a b a a a a ==-->，求出函数的导数，研究函数的最值.【详解】解：设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,g x y ，因为26(),a f x x'=()24g x x a '=-，所以200624a x a x -=，化简得2200230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =. 因为()()00f x g x =. 所以2200046ln ,x ax b a x --=2236ln 3(0)b a a a a =-->.设()h a b =，所以()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13a e=， 所以当103a e <<时，()0'>h a ；当13a e>时，()0h a '<. 即()h a 在10,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以b 的最大值为21133h e e⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：213e 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数．（1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） z=4-2i ．（Ⅱ）2＜a ＜6 【解析】【详解】（1）设(,)z x yi x y R =+∈ 所以，2(2)z i x y i +=++；(2)(2)225z x yi x y x y ii i +-++==-- 由条件得，20y +=且20x y +=， 所以4,2x y ==-(2)222()(42)(124)8(2)z ai i ai a a a i +=-+=+-+-由条件得：21240{8(2)0a a a +->->，解得26a <<所以，所求实数a 的取值范围是(2,6)-18.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻.【答案】（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种 【解析】 【分析】（1）按照排列的定义求解..（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解..（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.【详解】（1）从7人中选5人排列，有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=（种）. （2）分两步完成，先选4人站前排，有47A 种方法，余下3人站后排，有33A 种方法，共有4373A A 5040=（种）.（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有44A 种方法，再将女生全排列，有44A 种方法，共有4444A A 576=（种）.（5）（插空法）先排女生，有44A 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有35A 种方法，共有4345A A 1440=（种）.【点睛】本题主要考查了对排列的理解和排列数的计算，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.19.已知n的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）358x ；（2）747x 和527x . 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解n 的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.【详解】（1）由题意，n+的展开式是1rn rrr nT C -+=， 化简得23244122n r r n r r rr rr nnTC xxC x-----+=⋅=⋅⋅则02211n n nT C x x =⋅=⋅，23231144222n n nn T C x x ---=⋅⋅=⋅，()3322223128n n n n n T C x x ----=⋅⋅=⋅因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128n n n-⋅=+，解得8n =或1n =（舍去）则8n =，则8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 二项式系数是8rC ，当4r =时，二项式系数最大，则1612444583528T C xx --=⋅⋅=（2）由（1）得，8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 根据组合数性质，48C 最大，而2r -随着r 的增大而减小，且21r -<， 则计算0441821T C x x =⋅⋅=⋅，131311442824T C x x-=⋅⋅=⋅， 5522223827T C x x -=⋅⋅=⋅， 7733444827T C x x -=⋅⋅=⋅，44583528T C x x -=⋅⋅=⋅ 则当2r或3r =时，系数最大，则系数最大项是747x 和527x【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.20.有一块半圆形的空地，直径200AB =米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD ，如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上，其余为绿化部分，设BOC θ∠=.（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AB 、CD 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大. 【答案】（1）75003；（2）4πθ=时，总造价最大.【解析】 【分析】（1）根据梯形的面积公式可得()()sin cos sin ,0,2f πθθθθθ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得三角函数的性质和导数求得()f θ的最大值.（2）求得花圃的总造价，然后利用导数求得4πθ=时，总造价最大.【详解】（1）设半径r ，则100r =米，作CE AB ⊥，垂足为E ，因为BOC θ∠=，所以sin sin ,cos CE OC R OE r θθθ=⋅==， 所以22cos CD OD r θ==， 所以()()()2122cos sin sin cos sin 2f r r r r θθθθθθ=⨯+⨯=+ ()410sin cos sin ,0,2πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.()()()()'42410cos 2cos 110cos 12cos 1f θθθθθ=+-=+-，所以当π0θ3时，()'0f θ>，()f θ递增；当32ππθ<<时，()'0f θ<，()f θ递减.所以当3πθ=时()fθ最大，最大值为43310750033f π⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）设花圃总造价为()()()()()51050022cos 10sin 11cos W f r r θθθθθ=++=++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()()'52210cos cos sin sin W θθθθθ=+--()()510cos sin cos sin 1θθθθ=-++.令()'0Wθ=，则cos sin 0θθ-=，由于0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4πθ=. 当04πθ<<时，()'0Wθ>，函数()W θ单调递增，当42ππθ<<时，()'0Wθ<，函数()W θ单调递减，所以当4πθ=时，函数()W θ有最大值，即总造价最大.【点睛】本小题主要考查函数导数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，属于中档题. 21.已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望()E X ；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？ 【答案】（1）625；（2）219100；（3）详见解答. 【解析】 【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，求出()P B ，每个人获奖的概率相等，获奖人数X服从二项分布(3,())XP B ，求出X 可能值0,1,2,3的概率，由此求出X 的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，求出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论. 【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则21111232323222556()25C C C C C C P A C C +==， 所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率625； （2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，则获得一等奖的概率为2232122553100C C P C C ==， 获得三等奖的概率为2211112233322322222552350C C C C C C C C P C C ++==， 所以362373()1002550100P B =++=， 每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等， 获奖人数X 服从二项分布73(3,)100X， 3373270,1,2,3,()()(),0,1,2,3100100i i iX P X i C i -====，X 分布列为：73219()3100100E X =⨯=； （3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，36(300),(200)10025P P ηη====，23(100)50P η==， 1122112223232323225527(0)100C C C C C C C C P C C η++===， η的分布列为：3244627()3002001000103100100100100E η=⨯+⨯+⨯+⨯=， 如果购买1200选择打九折，优惠金额为120103>，∴选择打九折更有利.【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.22.已知函数()xf x e ax a =--（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若对任意2(]0,x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设*n N ∈，证明：123()()()()1nnnn n e nn nn e ++++<-. 【答案】（1）见解析；（2）(,1)e -∞-（3）见证明 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论0a ≤和0a >两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将()f x x a >-化为1xe a x<-，再由导数的方法求1x e x -在(]0,2的最小值即可；（3）先由（1）令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥，即1x x e +≤，再令()11,2,3,,kx k n n+==，即可证明结论成立.【详解】解：（1）因为()x f x e ax a =--，所以()xf x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； ②当0a >时，()0ln xf x e a x a >⇒>⇒>'，()0ln x f x e a x a <⇒<⇒<'所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）因为对任意的(]0,2x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，即不等式()1xa x e +<恒成立.即当(]0,2x ∈时，1x e a x<-恒成立.令()(]()10,2x e g x x x =-∈，则()()21xx e g x x -'=.显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，(]1,2x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增. ∴1x =时()g x 取最小值1e -. 所以实数a 的取值范围是(),1e -∞-（3）在（1）中，令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥， 即1x x e +≤（等号当且仅当0x =时成立）令()11,2,3,,kx k n n+==，则1k n k e n -<，即nk k n n k e e n e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭故123nnnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1231n n e e e e e <++++ ()()()111n ne e ee e e -=<-- 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.。

江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．化简：（ ）A ．B ．C ．30D ．402．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．(sin )cos x 'x =-C ．(3)'3x x= D ．1(ln )x '=x 3．的展开式中的系数为（ ）A ．20B ．C ．5D ．14．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ）A ．950 B ．12C ．910D ．145．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ） A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ） A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） A ．-3是()f x 的一个极小值点； B ．-2和-1都是()f x 的极大值点； C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞； D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ） A ．11113213C C C CB ．2343C AC ．122342C C AD ．1811．已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin xf x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数当时，,则= __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为，，则 __________.16. 若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分）已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++，①求012n a a a a ++++；②若在012,,,,n a a a a 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值；（2）设2012()(1)(1)(1)nn f x b b x b x b x =+++++++，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0.（1）求实数a 的值； （2）若直线与函数图象交于两点,,,且12x x <，两点的中点的横坐标为证明：.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >. （1）若，证明：；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：徐小美、张茂城审核人：蒋红慧江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥．令()ln xf x x =，则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e-=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14． 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+.设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点.所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人 从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法. 18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合.（2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表)又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-， ∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率.答：甲答对1题乙答对2题的概率为（2）m 的所有取值有1，2，3，，，，1 2 3故或.由题意可知，，，，1 2 3故或.答：甲、乙两位同学答对题目数的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)n nnf x x a a x a x a x=+++++=，①令1x=，则0123nna a a a+++=+；②因为二项式(2)nx+展开式的通项为：12r n r rr nT C x-+=，又在012,,,,na a a a中，唯一的最大的数是4a，所以445544332222n nn nn nn nC CC C----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n nn nA AA AA AA A⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411nn<⎧⎨>⎩，即1114n<<，又*n N∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nn nnf x x x b b x b x b x=+++=++++++=+，根据二项展开式的通项公式，可得，rr nb C=，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!1 11nrr rnn nC Cr r r n r n r n r nbr+++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++，则()11231111112(1)12112111n nnn n nnrrn nbrC C Cn n n+++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x xx x-+'=-+=（0x>）.因为0a <，所以180a ->，令得11184a x --=，21184ax +-=， 且10x <，20x >，在118,4a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上；在1180,4a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭上；所以函数()f x 在1184a x +-=时，取最小值0，又()10f =，所以11814a +-=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--， 设（），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤），则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即22．【解析】（1）,增；减；.（2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=.令()00f x '=可得04a x +=（负值舍去）. 在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，014a x +=<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，014a x +=>，所以()f x 在(0,1)上递增. 又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =.结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点.综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =；当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥．令()ln xf x x =，则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e -=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14．2 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+.设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点. 所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人 从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法.18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合.（2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表) 又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-，∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率 P(A)=C 32(23)2(13)=49. 答：甲答对1题乙答对2题的概率为49. （2）m 的所有取值有1，2，3，m~H(3,4,6) P (m =1)=C 41C 22C 63=15，P (m =2)=C 42C 21C 63=35，P (m =3)=C 43C 63=15，故E (m )=1×15+2×35+3×15=2或E (m )=3×46=2. 由题意可知n ∼B (3,23)，P (n =1)=C 31(23)1(13)2=29，P (n =2)=C 32(23)2(13)=49，P (n =3)=C 33(23)3=827，故E (n )=1×29+2×49+3×827=2或E (n )=3×23=2. 答：甲、乙两位同学答对题目数m,n 的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)nnn f x x a a x a x a x =+++++=L ， ①令1x =，则0123n n a a a a +++=+L ；②因为二项式(2)nx +展开式的通项为：12rn rr r n T C x -+=，又在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，所以445544332222n n n n n n n n C C C C ----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n n n nA A A A A A A A ⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411n n <⎧⎨>⎩，即1114n <<， 又*n N ∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nn n n f x x x b b x b x b x =+++=++++++=+L ， 根据二项展开式的通项公式，可得，rr n b C =，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!111n r r r n n n C C r r r n r n r n r n b r +++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++， 则()11231111112(1)12112111n n n n n n nr r n n b r C C C n n n +++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x x x x-+'=-+=（0x >）.因为0a <，所以180a ->， 令f ′(x )=0得1x =2x =， 且10x <，20x >，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上f ′(x )>0；在⎛ ⎝⎭上f ′(x )<0； 所以函数()f x在x =时，取最小值0，又()10f =1=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--，设f (x 1)=f (x 2)=b （b >0），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤）， 则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即x 0>1. 22．【解析】（1）f ′(x )=1x −2x +1=−(x−1)(2x+1)x,x ∈(0,1),f ′(x )>0,f(x)增；x ∈(1,+∞),f ′(x )<0,f(x)减；∴f (x )≤f (1)=0. （2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=. 令()00f x '=可得0x =（负值舍去）.在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，014a x +=<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，014a x +=>，所以()f x 在(0,1)上递增.又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =. 结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点.综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =； 当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。

江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学2022．04试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知从甲地到乙地有飞机或轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有大巴车、高铁或者飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A．4B．5C．6D．82．直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A．a b c -+-B．a b c -+C．a b c-++D.cb a -+3．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A．23B．13C．19D．1184．设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A．5B．6C．7D．85．青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A．1115B．415C．215D．7156．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（）117．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）D．68．23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A．a c b <<B．c a b <<C．a b c <<D．b a c<<二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b = ，则下列结论正确的是（）A．()2//a b a+B．5a =C．()56a a b⊥+ D．a 与b 夹角的余弦值为10．已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<，则下列结论正确的是()A．12()()E E ξξ<B．12()()E E ξξ>C．12()()D D ξξ<D．12()()D D ξξ>11．已知)66016xa a x a x =+++ ，则（）A．20log 3a =B．016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C．3a =-D．25123636a a a++++= 12．已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A、B 两点(A、B 两点在椭圆的下半部分)，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A．若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B．OAB 的面积OAB S 是定值1C．线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值4D．设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则=)(X E _________.X 123P0.2a0.514．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60 ，则1AC 的长为__________。