2020-2021学年江苏省扬州中学高二上学期期中考试数学试卷

江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期开学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题A．6==PA BCV=B．6C．直线PC与平面PABP ABC内切球的半径为D．-三、填空题四、解答题17．已知复数z 满足()13i i z +=+．(1)求复数z ；(2)若复数i z a +在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3．(1)求证：PA ⊥平面PCD ；(2)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．19．已知直线:210l x y -+=，点()3,0A ．(1)求点A 关于直线:210l x y -+=的对称点；(1)求图中a 的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)采用分层抽样的方法从[)[)1,1.5,1.5,2这两组中抽取求抽取的2人恰好在同一组的概率.22．已知函数()()23221,f x x a x a a R =-+++∈.(1)求()f x 在[]0,2上的最小值；(2)设函数(),11xg x x x =>-+，若方程()()0f g x =有且只有两个不同的实数根，参考答案：如图，因为//m α，所以存在直线a ，a α⊂同理存在直线b ，b α⊂且满足//b n ，又l ⊥因为m 、n 是异面直线，所以a 与b 相交，设又,a b α⊂，所以l α⊥，故④正确.故选：B 5．Aπ⎛⎫π故答案为：10 10 -16．86π则有1322OF BM a==，即O到平面因此D到平面PAC距离的最大值为又14242PACS a a=⨯⨯=，即有13所以，6R=，所以球O的体积为（2）连接AN ，由（1）可知，DN ⊥平面则∠DAN 为直线AD 与平面PAC 所成的角，因为PCD 为等边三角形，CD ＝2且所以DN ＝3，又DN ⊥AN ，在Rt DAN △中，sin ∠DAN ＝3=DN AD 故直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为。

江苏省扬州市邗江区2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知等差数列n a 中， 26a =， 515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A. 30 B. 45 C. 90 D. 1862.下列函数的最小值为2的是（ ） A.1y x x=+ B.1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C.y =D.1tan (0)tan 2y x x x π=+<< 3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A.174B.184C.188D.1604.在数列{ a n }中，已知a 1=2，a n =2a n−1a n−1+2，(n ≥2)，则a n 等于( )A.2n+1 B. 2n C. 3n D. 3n+11.B 【解析】1.将数列的等式关系两边取倒数1a n −1a n−1=12,{1a n }是公差为12的等差数列，再根据等差数列求和公式得到数列通项1a n=12+(n −1)×12=n2，再取倒数即可得到数列{a n }的通项. 将等式a n=2a n−1a n−1+2两边取倒数得到1a n=1a n−1+12，1a n−1a n−1=12,{1a n}是公差为12的等差数列，1a 1=12，根据等差数列的通项公式的求法得到1a n=12+(n −1)×12=n 2，故a n =2n. 故答案为：B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知S n 和a n 的关系，求a n 表达式，一般是写出S n−1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；还有构造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等等.【题型】单选题 【结束】 95.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30] (D) [20,30]6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21n n S a =-+，则6S 的值为（ ） A.665729B.486665C.665243D.6597.已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B.1C.2D.2-8.已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A.若,a b c d >>，则ac bd > B.若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C.若,a b c d >>，则a d b c +>+D.若,0a b c d >>>，则a b d c> 9.设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则()()21230a a a a -->10.下列命题中，既是存在性命题又是真命题的有（ ）A.至少有一个实数x ，使x 3+1=0B.所有正方形都是矩形C.,x R ∃∈使2104x x -+≤ D.,x R ∃∈使2220x x ++=第II 卷（非选择题）二、填空题11.命题 “2,(1)0x R x ∀∈->”的否定是_____.12.已知正数,x y 满足22x y +=，则1121x y ++的最小值为________． 13.对任意[]0,2x ∈不等式()2230x a ax a-++≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.14.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,2n S a a ==且()*21320,n n n n S S S a n N ++-++=∈，记()*12111,n nT n N S S S =+++∈，若()6n n T λ+≥对*n N ∈恒成立，则λ的最小值为三、解答题15.命题：实数满足22430x ax a -+<（其中0a >）,命题q ：实数x 满足12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩. (1)若1a =,且命题p q 、均为真命题,求实数x 的取值范围； (2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 16.已知函数()221f x x ax a =--+，a R ∈.（1）若2a =，试求函数()f x y x=（0x >）的最小值；（2）不等式()2f x >-对于任意[]0,2x ∈恒成立，试求a 的取值范围.17.在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18.已知函数()1axf x x =-，a R ∈. （1）若关于x 的不等式()2f x x >-在()1,+∞有解，求a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x ≥.19.某房地产开发公司计划在一小区内建造一个矩形口袋公园ABCD ，公园由三个相同的矩形休闲区(如图空白部分所示) 和公园人行道组成（如图阴影部分所示）.已知口袋公园ABCD 占地面积为900平方米，人行道的宽均为2米.（1）若设口袋公园ABCD 的长AB x =米；试求休闲区所占地总面积S 关于x 的函数()S x 的解析式；（2）要使休闲区占地总面积最大，则口袋公园ABCD 的长和宽如何设计？ 20.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和()12n n n a a S +=，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22log 1n n n a b a +=+；若称使数列{}n b 的前n 项和为整数的正整数n 为“优化数”，试求区间()0,2020内所有“优化数”的和S .四、新添加的题型21.如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，且对称轴为1x =-，则以下选项中正确的为（ ）A.24b ac >B.21a b -=C.0a b c -+=D.5a b <22.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是182C.此数列偶数项的通项公式为222n a n = D.此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-23.已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( )A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100B.若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C.若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D.若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512参考答案2.C【解析】2.由2115163{{4153a a d a a a d d =+==⇒=+==， ()3313n a n n ∴=+-=， 26n nb a n ==，所以56305902S +=⨯=。

高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是()A. ∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0B. ∃x∈Z，使x2+2x+m>0C. ∀x∈Z，都有x2+2x+m>0D. 不存在x∈Z，使x2+2x+m>02.两数√2+1与√2−1的等比中项是()A. −1B. 12C. 1D. ±13.“0<m<1”是“方程x2m +y22−m=1表示椭圆”的()A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为()A. 2B. √3C. 3D. 2√35.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，S n是数列{a n}的前n项和，则S9等于()A. −8B. −6C. 10D. 06.双曲线x2m −y2n=1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为()A. 316B. 38C. 163D. 837.已知S n是数列{a n}的前n项和，则“{a n}是等差数列”是“{S nn}是等差数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，S n，T n分别是它们的前n项和，并且S nT n =7n+3n+3，则a2+a23b8+b17=()A. 176B. 134C. 193D. 1369.过(14,0)的直线与抛物线y2=x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于()A. 74B. 94C. 4D. 210.已知数列{a n}，如果a1，a2−a1，a3−a2，…，a n−a n−1，…，是首项为1，公比为13的等比数列，则a n=()A. 32(1−13n) B. 32(1−13n−1) C. 23(1−13n) D. 23(1−13n−1)11.已知点M(1,0)，A，B是椭圆x24+y2=1上的动点，且MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值是()A. [23,1] B. [1,9] C. [23,9] D. [√63,3]12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为()A. 13B. 12C. √32D. √63二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是______．14.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+2，则数列{a n}的通项公式a n=______ ．15.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A、B两点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，若∠F1AF2=π2，且该椭圆的离心率e∈[√22,√63]，则θ的取值范围为______．16.过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆(x−1)2+y2=r2交于C，D两点，若有三条直线满足|AC|=|BD|，则r的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+2n+1，求a n．(2)已知{a n}是各项为正的等比数列，a1=2，a3=2a2+16，设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．18.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且a2c=√23．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．19.已知p：(x+1)(2−x)≥0，q：关于x的不等式x2+2mx−m+6>0恒成立．(1)当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a1，S11=11b4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b2n−1}的前n项和(n∈N∗)；(3)设c n=log2b2n−1，P n为数列{4n2c n c n+1}的前n项和，求不超过P2019的最大整数．21.如图，已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点M(−2,1)是抛物线上的一点．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若点P，Q在抛物线C上，且抛物线C在点P，Q处的切线交于点S，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，且满足k2−k1=1，当P，Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由．22.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右准线方程为x=4，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求k的值；(3)设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE 的斜率分别为k1，k2，k3，求k2⋅(k1−k3)的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是：∀x∈Z，都有x2+2x+m>0，故选：C．将“存在”换为“∀”同时将结论“x2+2x+m≤0”换为“x2+2x+m>0”．求含量词的命题的否定，应该将量词交换同时将结论否定．2.【答案】D【解析】解：设两数√2+1与√2−1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2= (√2+1)(√2−1)=1，∴x=±1，故选：D．设两数√2+1与√2−1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2=(√2+1)(√2−1)=1，解方程求得x的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，等比中项的定义．属于基础题．3.【答案】B【解析】解：若方程x2m +y22−m=1表示椭圆，则{m>02−m>0m≠2−m；解得0<m<2且m≠1；故“0<m<1”⇒方程x2m +y22−m=1表示椭圆；反之，方程x2m +y22−m=1表示椭圆推不出“0<m<1“．∴“0<m<1”是“方程x2m +y22−m=1表示椭圆”的充分不必要条件．故选：B．根据椭圆的标准方程，先推出方程x2m +y22−m=1表示椭圆的等价条件，再根据充分必要条件的定义得出结论即可．本题考查了椭圆的标准方程，充分必要条件的定义，属于基础题．【解析】解：由题得：其焦点坐标为(±4,0).渐近线方程为y=±√3x所以焦点到其渐近线的距离d=√3√3+1=2√3．故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式及其前n项和公式，属于基础题．由a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，∴(a1+2×2)2=a1⋅(a1+3×2)，化为2a1=−16，解得a1=−8．∴则S9=−8×9+9×82×2=0，故选D．6.【答案】A【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，则双曲线的焦距为2，则有{m+n=11m=4解得m=14，n=34∴mn=316故选：A．先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．本题主要考查了圆锥曲线的共同特这．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．【解析】解：∵{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn ⇔S n n=An +B ⇔{Snn }是等差数列，∴“{a n }是等差数列”是“{Snn}是等差数列”的充要条件． 故选：C ．等差数列的判定结合充要条件的判定可得结果．本题考查了等差数列的判定、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S nT n=7n+3n+3，则a 2+a 23b8+b 17=a 1+a 24b 1+b 24=S 24T 24=7×24+324+3=193，故选：C ．由题意利用等差数列的性质、前n 项和公式，求得要求式子的值． 本题主要考查等差数列的性质、前n 项和公式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，而抛物线y 2=x 的焦点F 为(14,0)， ∴弦AB 的中点到准线x =−14的距离为2，则弦AB 的中点到直线x +12=0的距离等于2+14=94． 故选：B ．求出弦AB 的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB 的中点到直线x +12=0的距离．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n−1)=1−(13)n1−13=32(1−13n)故选：A ．因为数列a 1，(a 2−a 1)，(a 3−a 2)，…，(a n −a n−1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{a n }的通项． 考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．利用MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，设A(2cosα,sinα)，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(2cosα−1)2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围． 【解答】解：∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 设A(2cosα,sinα)，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(2cosα−1)2+sin 2α=3cos 2α−4cosα+2=3(cosα−23)2+23，∴cosα=23时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最小值为23；cosα=−1时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最大值为9， 故选：C ．12.【答案】A【解析】解：如图所示，设P(x 0,y 0)，不妨设y 0>0． F 1(−c,0)，F 2(c,0)．则G(x 03,y3)，∵IG ⊥x 轴，∴x I =x 03．设三角形内切圆的半径为r ．由三角形内切圆的性质可得：12r(2a +2c)=12⋅2c ⋅y 0．解得r =cy 0a+c ，∴y I =cya+c ．设PF 1，PF 2分别与内切圆相切于点D ，E ． 则PD =PE =12(2a −2c)=a −c ．在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2=PI2．∴(a−c)2+(cy0a+c )2=(x0−x03)2+(y0−cy0a+c)2，化为：x029 4(a−c)2+y02b2=1．与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)比较可得：a2=94(a−c)2，∴a=32(a−c)，可得ca=13．∴e=13．故选：A．如图所示，设P(x0,y0)，不妨设y0>0.利用三角形重心性质可得G(x03,y03)，根据IG⊥x轴，可得x I=x03.设三角形内切圆的半径为r.由三角形内切圆的性质可得：12r(2a+2c)=12⋅2c⋅y0.可得r=cy0a+c=y I.设PF1，PF2分别与内切圆相切于点D，E.可得PD=PE=12(2a−2c)=a−c.在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2=PI2.化简整理即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】m>3【解析】解：若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则{x|x>m}⫋{x|x>3}，即m>3，即实数m的取值范围是m>3，故答案为：m>3．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．14.【答案】2×3n−1−1【解析】解：由a n+1=3a n+2，得a n+1+1=3(a n+1)，又a1=1，所以{a n+1}是以2为首项、3为公比的等比数列，∴a n+1=2×3n−1，a n=2×3n−1−1．故答案为：2×3n−1−1．由a n+1=3a n +2，得a n+1+1=3(a n +1)，从而可判断{a n }是以2为首项、3为公比的等比数列，进而可求得a n +1．本题考查由数列递推公式求数列通项，属中档题．15.【答案】[π6,5π6]【解析】解：由题可知，AF 1+AF 2=2a ，即2ccos θ2+2csin θ2=2a ．∴c a =1sin θ2+cos θ2=√2sin(θ2+π4)，又∵e ∈[√22,√63]，∴sin(θ2+π4)∈[√32,1]． 又∵θ∈[0,π]∴θ∈[π6,5π6]．故答案为：[π6,5π6]．根据直角三角形的性质，找到e 与θ的数量关系，利用函数思想可求出来．本题主要考查椭圆的简单几何性质，利用了三角函数恒等变形，并考查了给值求角．16.【答案】(2,+∞)【解析】解：抛物线y 2=4x 焦点为(1,0)，(1)当直线l ⊥x 轴时，直线l ：x =1与抛物线交于A(1,2)、B(1,−2)， 与圆(x −1)2+y 2=r 2交于C(1,r)，D(1,−r)，满足|AC|=|BD|．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 方程y =k(x −1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程组{y =k(x −1)y 2=4x，化简得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，由韦达定理x 1+x 2=2+4k 2，由抛物线得定义，过焦点F 的线段|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=4+4k 2，当四点顺序为A 、C 、D 、B 时，∵|AC|=|BD|，∴AB 的中点为焦点F(1,0)，这样的不与x 轴垂直的直线不存在； 当四点顺序为A 、C 、B 、D 时， ∵|AC|=|BD|， ∴|AB|=|CD|， 又∵|CD|=2r ，∴4+4k 2=2r ，即2k 2=r −2，当r >2时存在互为相反数的两斜率k ，即存在关于x =1对称的两条直线．综上，当r ∈(2,+∞)时有三条满足条件的直线． 故答案为：(2,+∞)．求得抛物线的焦点，讨论直线l 的斜率不存在，可得A ，B ，C ，D ，满足题意；当直线的斜率存在，设直线l 方程y =k(x −1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，讨论当四点顺序为A 、C 、D 、B 时，当四点顺序为A 、C 、B 、D 时，考虑是否存在与直线x =1对称的直线，即可得到所求范围． 本题考查抛物线的定义、方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)当n =1时，a 1=s 1=6；当n ≥2时，a n =s n −s n−1=(3n +2n +1)−[3n−1+2(n −1)+1]=2⋅3n−1+2， 由于a 1不适合此式，所以a n ={6,n =12⋅3n−1+2,n ≥2．(2)设等比数列的公比为q ，q >0，由a 1=2，a 3=2a 2+16，得2q 2=4q +16， 即q 2−2q −8=0，解得q =−2(舍)或q =4．∴a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1；b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1， ∵b 1=1，b n+1−b n =2(n +1)−1−2n +1=2， ∴数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和T n =n ×1+n(n−1)×22=n 2．【解析】(1)应用数列的递推式，化简可得所求通项公式；(2)设等比数列的公比为q ，q >0，应用等比数列的通项公式解方程可得q ，可得a n ，b n ，再由等差数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的递推式的应用，等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意，{ca =√3a 2c=√23，解得a =√63，c =√2．∴b 2=c 2−a 2=2−23=43． ∴双曲线C 的方程为3x 22−3y 24=1；(2)由{3x 22−3y 24=1x −y +m =0，得3x 2−6mx −3m 2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=2m ，又中点在直线x −y +m =0上， ∴中点坐标为(m,2m)，代入x 2+y 2=5得m =±1，满足判别式Δ>0． ∴m 的值为±1．【解析】本题考查双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交的性质，是中档题． (1)由已知可得关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则双曲线方程可求；(2)联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系求得AB 的中点坐标，代入圆的方程求得m 值．19.【答案】解：(1)∵4m 2+4m −24<0，∴m 2+m −6<0，∴−3<m <2， ∴实数m 的取值范围为：(−3,2)． (2)p ：−1≤x ≤2，设A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2+2mx −m +6>0}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B①由(1)知，−3<m <2时，B =R ，满足题意；②m =−3时，B ={x|x 2−6x +9>0}={x|x ≠3}，满足题意； ③m =2时，B ={x|x 2+4x +4>0}={x|x ≠−2}，满足题意； ④m <−3，或m >2时，设f(x)=x 2+2mx −m +6， f(x)对称轴为x =−m ，由A ⊊B 得 {−m <−1f(−1)>0或{−m >2f(2)>0， ∴{m >1−3m +7>0或{m <−23m +10>0，∴1<m <73或−103<m <−2，∴−103<m <−3或2<m <73综上可知：−103<m <73【解析】(1)由△<0得含m 的不等式，解之得m 的取值范围；(2)把p 是q 的充分不必要条件转化为由A ⊊B ，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m的取值范围．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q>0，由b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，∴q2+q−6=0．由q>0，解得q=2.∴b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①，由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n−2．∴数列{a n}的通项公式为a n=3n−2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．(2)设数列{a2n b2n−1}的前n项和为T n，由a2n=6n−2，b2n−1=2×4n−1，有a2n b2n−1=(3n−1)×4n，∴T n=2×4+5×42+8×43+⋯+(3n−1)×4n，4T n=2×42+5×43+8×44+⋯+(3n−4)×4n+(3n−1)×4n+1，上述两式相减，得−3T n=2×4+3×42+3×43+⋯+3×4n−(3n−1)×4n+1=12×(1−4n)1−4−4−(3n−1)×4n+1=−(3n−2)×4n+1−8．得T n=3n−23×4n+1+83.∴数列{a2n b2n−1}的前n项和为3n−23×4n+1+83．(3)由(1)知：b2n−1=22n−1，则c n=log222n−1=2n−1．∴4n2c n c n+1=4n2(2n−1)(2n+1)=4n24n2−1=1+1(2n−1)(2n+1)=1+12×(12n−1−12n+1)，∴P n=[1+12(11−13)]+[1+12(13−15)]+⋯+[1+12(12n−1−12n+1)]=n+n2n+1，∴P2019=2019+20194039>2019，∴不超过P2019的最大整数为2019．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q>0，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求通项公式；(2)求得a2n b2n−1=(3n−1)×4n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；(3)求得b2n−1=22n−1，c n=log222n−1=2n−1．4n2c n c n+1=1+12×(12n−1−12n+1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和P n，计算可得所求最大值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设抛物线C 的标准方程为x 2=2py(p >0)，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程得2p =4，得p =2， 因此，抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则y 1=x 124，y 2=x 224，k 2−k 1=y 2−1x 2+2−y 1−1x1+2=x 224−1x 2+2−x 124−1x 1+2=x 2−24−x 1−24=x 2−x 14=1，∴x 2−x 1=4.①对函数y =x 24求导得y′=x2，所以，直线PS 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 1x 2−x124，同理可知，直线QS 的方程为y =x 2x 2−x 224，联立直线PS 和QS 的方程{y =x 1x2−x 124y =x 2x 2−x 224，得{x =x 1+x22y =x 1x 24， 所以，点S 的坐标为(x 1+x 22,x 1x 24)，PS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 12,x 1x 2−x 124)=(2,x 1)，同理可得QS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−x 2)， 由三角形面积的向量公式可得S △PQS =12|−2x 2+2x 1|=|x 1−x 2|=4． 因此，△PQS 的面积为定值4．【解析】(1)先设抛物线C 的标准方程为x 2=2py(p >0)，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，可求出p 的值，于是可得出抛物线C 的标准方程；(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，利用已知条件得出x 2−x 1=4，利用导数求出抛物线C 在点P 、Q 处的切线方程，联立求出点S 的坐标，然后利用三角形面积的向量公式求出△PQS 的面积，进而解答题中的问题．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查利用导数求切线方程，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题．22.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．依题意，ca =12，且a 2c=4，解得a =2，c =1．故b 2=a 2−c 2=3． 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).据题意，S 1S 2=32，即12×|AF|×|y 1|12×|BF|×|y 2|=32，整理可得|y 1||y 2|=12，所以NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 代入坐标，可得{1−x 2=2(x 1−1) −y 2=2y 1 ，即{x 2=3−2x 1 y 2=−2y 1 又点M ，N 在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1 (3−2x1)24+(−2y 1)23=1 ，解得{x 1=74y 1=3√58 所以直线l 的斜率k =3√5874−1=√52． (3)法一：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)．联立方程组{y =k(x −1) x 24+y 23=1 整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．故x D =x 1+x 22=4k 24k 2+3，y D =k(x D −1)=−3k4k 2+3，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x =4，得y E =−3k ，即E(4 , −3k )． 所以k 3=−3k4−1=−1k．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+1k )， =k(x 2−1)x 2−2⋅[k(x 1−1)x 1+2+1k ]=k 2(x 1−1)(x 2−1)+(x 2−1)(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−x 1+2x 2−2x 1x 2−2x 1+2x 2−4，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−(x 1+x 2)−2+3x 2x 1x 2−2(x 1+x 2)−4+4x 2=，k 2[4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1]+4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3−2+3x 24k 2−124k 2+3−2×8k 24k 2+3−4+4x 2，=3x 2−21k 2+184k 2+34x 2−28k 2+244k 2+3=3(x 2−7k 2+64k 2+3)4(x 2−7k 2+64k 2+3)=34．法二：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)，即x =1k y +1，记m =1k ， 则直线l 的方程为x =my +1，与椭圆C 联立方程组{x =my +1 x 24+y 23=1 整理得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 所以y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2． 故y D =y 1+y 22=−3m 4+3m 2，x D =my D +1=44+3m 2，所以直线OD 的方程为y =−3m 4x ，令x =4，得y E =−3m ，即E(4,−3m)．所以k 3=−3m 4−1=−m ．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+m)=y 1y 2+my 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=y 1y 2+my 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2−1)=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−my 1+3my 2−3，=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−m(y 1+y 2)−3+4my 2=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−9m 24+3m 2+6m24+3m 2−3+4my 2，=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−12(m 2+1)4+3m 2+4my 2=34．法三：依题意，点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1 x 224+y 223=1 两式相减，得x 22−x 124+y 22−y 123=0，即y 2+y 1x2+x 1⋅y 2−y 1x 2−x 1=−34，所以k OD ⋅k =−34，即k OD =−34k，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x =4，得y E =−3k ，即E(4 , −3k )，所以k 3=−3k4−1=−1k． 又直线AM 的方程为y =k 1(x +2)，与椭圆C 联立方程组{y =k 1(x +2) x 24+y 23=1 整理得(4k 12+3)x 2+16k 12x +16k 12−12=0，所以−2⋅x 1=16k 12−124k 12+3，得x 1=6−8k 124k 12+3，y 1=k 1(x 1+2)=12k14k 12+3．所以点M 的坐标为(6−8k 124k 12+3 , 12k14k 12+3)． 同理，点N 的坐标为(8k 22−64k 22+3 , −12k24k 22+3)． 又点M ，N ，F 三点共线， 所以k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=−12k 24k 22+38k 22−64k 22+3−1，整理得(4k 1k 2+3)(3k 1−k 2)=0，依题意，k 1>0，k 2>0，故k 2=3k 1． 由k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=4k11−4k 12可得，1k =1−4k 124k 1=14k1−k 1，即1k +k 1=14k 1． 所以k 2⋅(k 1−k 3)=3k 1⋅(k 1+1k )=3k 1⋅14k 1=34．【解析】(1)根据椭圆的性质和离心率公式即可求出a ，c 的值，即可求出b ，椭圆方程可得，(2)设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据三角形面积，即可求出NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据点在椭圆上，即可求出点M 的坐标，即可求出直线的斜率，(3)法一：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法二：设直线l 的方程为x =my +1，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法三：依题意，点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)在椭圆C 上，根据点差法，三点共线，直线方程，斜率公式，化简整理即可本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理和斜率公式等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想，是难题．。

2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1. 若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )A.a−b>c−dB.a+c>b+dC.a−c>b−cD.a−c<a−d2. 不等式2x2+x−6<0的解集为( )A.(−32,2) B.(−2,32)C.(−∞−32)∪(2,+∞) D.⌀3. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，则a5=( )A.25B.30C.32D.644. 已知实数x，y满足x2+y2=1，则xy的最大值是( )A.1B.√32C.√22D.125. 条件p:x2−4x−5<0是条件q:|x+3|>2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 若A(m+1, n−1, 3)，B(2m, n, m−2n)，C(m+3, n−3, 9)三点共线，则m+n的值为( )A.0B.−1C.1D.−27. 若方程5x2+(a−11)x+a−2=0的一个根在(0, 1)内，另个一根在(1, 2)内，则实数a的取值范围是( )A.(43, 2) B.(2, +∞) C.(43, 4) D.(2, 4)8. 若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2，则m的值为( )A.1B.4C.1或7D.4或69. 已知等比数列{a n}中，若a1+a2+a3=13，a1a2a3=27且q>1，则a6=( )A.−35B.35C.24或2−2D.−35或35二、多选题如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1=√6，AB=BC=2，AC=2√2，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是( )A.异面直线BC与B1M所成的角为90∘B.在B1C上存在点D，使MD//平面ABCC.二面角B1−AC−B的大小为60∘D.B1M⊥CM已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线l:y=2√2x，设F1，F2是C的左、右焦点，点P在l上，且|OF1|=|OP|，O为坐标原点，则( )A.C的虚轴长为4√2B.∠F1PF2=90∘C.||PF1|−|PF2||=2D.△PF1F2的面积为6√2已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是( )A.a1=22B.d=−2C.当n=10或n=11时，S n取得最大值D.当S n>0时，n的最大值为21三、填空题命题“∃x0∈R，x02−x0−1≤0”的否定为________.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n2a n+3，则a7=________.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与直线y=3x无交点，则离心率e的取值范围是________.已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|=32|BF|，则直线l的斜率k=________.四、解答题已知函数f(x)=x2−3x+m.(1)当m=−4时，解不等式f(x)≤0；(2)若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，求1a +4b的最小值．已知集合A={x|x2−4x−12≤0}，B={x|x2−2x+1−m2≤0,m>0}.(1)求集合A与B；(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)直线x−2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；(2)过点(√3,−√5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+⋯+2n−1a n=n(n+1)2,n∈N∗.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n.如图①，在菱形ABCD中，∠A=60∘且AB=2，E为AD的中点．将△ABE沿BE折起使AD=√2，得到如图②所示的四棱锥A−BCDE．(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；(2)若P为AC的中点，求二面角P−BD−C的余弦值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右顶点A(2, 0)，上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2=60∘，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．(1)求椭圆C的方程；(2)设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】A【考点】不等式性质的应用【解析】根据a>b，c>d即可判断选项B，C，D都成立，而选项A显然不一定成立，从而得出正确的选项．【解答】解：∵a>b，c>d，∴a+c>b+d，故选项B正确；a−c>b−c，故选项C正确；又−c<−d，∴a−c<a−d，故选项D正确.故选A.2.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得−2<x<32；所以该不等式的解集为(−2,32) .故选：B．【解答】解：不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得：−2<x<32，所以该不等式的解集为(−2,32) .故选B.3.【答案】A【考点】数列递推式等差数列【解析】将a1=1代入式子a n+1=a n+6得出a2，以此类推可得出a5．【解答】解：∵ 数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，∴a2=a1+6=7，a3=a2+6=13，a4=a3+6=19，a5=a4+6=25.故选A.4.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】因为x2+y2=1，则x≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号，故选：D．【解答】解：因为x2+y2=1，所以xy≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号.故选D.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：条件p:x2−4x−5<0的解集为−1<x<5，条件q:|x+3|>2的解集为x<−5或x>−1，∴命题p⇒命题q，反之则不可以，故条件p是条件q的充分不必要条件.故选A．6.【答案】A【考点】平行向量的性质三点共线【解析】根据点A ，B ，C 的坐标，分别求出AB →，AC →的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而可求m +n 的值 【解答】解：∵ A(m +1, n −1, 3)，B (2m, n, m −2n)， C( m +3, n −3, 9)，∴ AB →=(m −1,1,m −2n −3)，AC →=(2,−2,6). ∵ A ，B ，C 三点共线， ∴ AB →//AC →， ∴m−12=1−2=m−2n−36解得：m =0，n =0，∴ m +n =0. 故选A . 7.【答案】 D【考点】由函数零点求参数取值范围问题 一元二次不等式与二次函数【解析】 此题暂无解析 【解答】解：令f(x)=5x 2+(a −11)x +a −2，则f(x)与x 的轴的两个交点分别在(0, 1)和(1, 2)内，∴ {f(0)=a −2>0，f(1)=5+(a −11)+a −2<0，f(2)=20+2(a −11)+a −2>0，解得2<a <4. 故选D . 8.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9,b 2=m +4，得c =√5−π，∴ 焦距2c =2√5−π=2，解之得m =4， ②椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4,b 2=9，得c =√m −5，焦距2c =2√n −5=2，解之得m =6， 综上所述，得m =4或6 . 故选：D ． 【解答】解：①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9，b 2=m +4，∴ c =√5−m ，∴ 焦距2c =2√5−m =2， 解得：m =4；②当椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4，b 2=9， ∴ c =√m −5，∴ 焦距2c =2√m −5=2， 解得：m =6.综上所述，m =4或6 . 故选D . 9.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：由题意，设等比数列{a n }的公比为q ． ∵ a 1a 2a 3=27，即(a 2)3=27， 解得a 2=3.又a 1+a 2+a 3=13，即a2q +a 2+a 2q =13， ∴ 3q 2−10q +3=0， 解得q =3或q =13. 又由q >1， ∴ q =3，∴ a 6=a 2q 4=35. 故选B ． 二、多选题 【答案】 A,B,C【考点】二面角的平面角及求法空间中直线与平面之间的位置关系 异面直线及其所成的角【解析】选项A ，连接MC 1，易知BC//B 1C 1，故∠MB 1C 1即为所求．由勾股定理可知A 1B 1⊥B 1C 1，由三棱柱的性质可知BB 1⊥B 1C 1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B 1C 1⊥MB,，即∠MB 1C 1=90∘； 选项B ，连接BC 1，交B 1C 于点D ，连接MD ，再取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，易知四边形AMDE 为平行四边形，故MD//AE ，再由线面平行的判定定理即可得证；选项C ，取AC 的中点N ，连接BN 、B 1N, 则∠BNB 1即为所求，在Rt △BNB 中，由三角函数可求出tan ∠BMB 1的值，从而得解；选项D ，在△CMB 中，利用勾股定理分别算出CM 、MB 和B 1C 的长，判断其结果是否满足CM 2+MB 12≠B 1C 2即可．【解答】解：A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC//B1C1，∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M所成的角．∵AB=BC=2，AC=2√2，∴∠ABC=∠A1B1C1=90∘，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1．又A1B1∩BB1=B1，A1B1，BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1=90∘，故选项A正确；B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE，AE，则DE//AM，DE=AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD//AE.∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD//平面ABC，故选项B正确；C，取AC的中点N，连接BN，B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1−AC−B的平面角．在Rt△BNB1中，BB1=√6，BN=√22AB=√2，∴tan∠BNB1=BB1BN=√3，∴∠BNB1=60∘，故选项C正确；D，在△CAM中，CM2=AC2+AM2=192，在△B1A1M中，MB12=A1B12+A1M2=112，在△B1BC中，B1C2=B1B2+BC2=10，显然CM2+MB12≠B1C2，∴B1M与CM不垂直，故选项D错误．故选ABC．【答案】A,B,D【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程余弦定理【解析】利用双曲线渐近线求出b=2√2，得到双曲线方程，利用双曲线性质以及平面几何知识即可判断AB选项,利用余弦定理计算得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cosθ=2√3,|PF2|=2√6，结合三角形为直角三角形，即可判断CD是否正确.【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为y=2√2x，所以ba=2√2.又a=1，所以b=2√2,所以虚轴长为4√2，故A选项正确；因为F1，F2为双曲线的左、右焦点，所以|OF1|=|OF2|=3.又因为|OF1|=|OP|，所以|OP|=12|F1F2|,所以∠F1PF2=90∘，故B选项正确；设渐近线的倾斜角为θ，所以tanθ=2√2，所以cosθ=13.由余弦定理得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cos(π−θ)=2√6,同理|PF2|=2√3，所以||PF1|−|PF2||≠2，故C选项错误；因为△PF1F2为直角三角形,所以△PF 1F 2的面积为12×2√6×2√3=6√2，故D 选项正确.故选ABD . 【答案】 B,C【考点】 等比中项等差数列与等比数列的综合 二次函数的性质 等差数列的前n 项和【解析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【解答】解：由公差d ≠0，S 6=90，可得6a 1+15d =90， 即2a 1+5d =30，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 72=a 3a 9， 即为(a 1+6d)2=(a 1+2d)(a 1+8d)， 化为a 1=−10d ，②由①②解得a 1=20，d =−2，故A 错误，B 正确； 由S n =20n +12n(n −1)⋅(−2)=21n −n 2=−(n −212)2+4414，由于n 为正整数，可得n =10或11时，S n 取得最大值110，故C 正确； 由S n >0，解得0<n <21，可得n 的最大值为20．故D 错误． 故选BC ． 三、填空题【答案】∀x ∈R ，x 2−x −1>0 【考点】 命题的否定 【解析】命题为特称命题，则命题的否定为∀x ∈R ,x 2−x −1>0，故答案为：∀x ∈R ,x 2−x −1>0 . 【解答】解：特称命题的否定为全称命题，则该命题的否定为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0. 故答案为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0 . 【答案】 15【考点】 数列递推式 等差数列【解析】 由a n+1=3a n 2a n +3，得1a n+1=1a n+23，所以(1an)是等差数列， 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13,a n =32n+1，所以a 7=15.故答案为：15. 【解答】 解：由a n+1=3a n 2a n +3，得1an+1=1a n+23，∴ 数列{1a n}是公差为23的等差数列，∴ 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13，∴ a n =32n+1， ∴ a 7=15 . 故答案为：15 .【答案】 (1,√10 ]【考点】双曲线的离心率 【解析】将双曲线的方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与直线方程y =3x 联立方程组，得到：(b 2−9a 2)x 2=a 2⋅b 2，显然当b 2−9a 2≤0时方程无解，即两曲线无公共点，从而可求得离心率e 的取值范围． 【解答】解：由题意，联立{x 2a 2−y 2b 2=1，y =3x ，解得(b 2−9a 2)x 2=a 2b 2.∵ 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)与直线y =3x 无公共点， ∴ b 2−9a 2≤0. 又c 2=b 2+a 2，∴ c 2−a 2−9a 2≤0，即c 2≤10a 2， 两端同除以a 2，得(ca )2≤10，即e 2≤10. 又e >1，∴ 1<e ≤√10． 故答案为：(1,√10 ]. 【答案】±2√6【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的定义直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解∶当直线的倾斜角为锐角时，如图，从点A，B分别作准线的垂线，设垂足分别为M，N，从点B作AM的垂线，设垂足为P．设|BF|=|BN|=a，则|AF|=|AM|=32a，则|AP|=12a，所以|PB|=√6a，由图可知直线的倾斜角等于∠BAP，故k=tan∠BAP=2√6．同理当直线的倾斜角为钝角时，可得k=−2√6 .故答案为：±2√6.四、解答题【答案】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba +4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a +4b≥13(5+4)=3．故1a +4b的最小值为3.【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次不等式的解法函数的零点【解析】【解答】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba+4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a+4b≥13(5+4)=3．故1a+4b的最小值为3.【答案】解：(1)∵x2−4x−12≤0，整理，得(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x≤6，∴A=[−2,6] .∵x2−2x+1+m2≤0,m>0，整理，得[x−(1−m)][x−(1+m)]≤0，解得：1−m≤x≤1+m，∴B=[1−m,1+m] .(2)∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B⫋A，∴{−2≤1−m，1+m≤6，m>0，且等号不能同时成立，解得：0<m≤3，∴m∈(0,3] .【考点】一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】（1）x2−4x−12≤0，化为：(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x<6 .∴A=[−2,6] .x2−2x+m2≤0,m>0，∴[x−(1−m)][x−(1+m)≤0，解得1−m≤x≤1+m . ∴B=[−m,1+m] .（2）∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴ B ⫋A∴ {−2≤1−m1+m <6m >0, 且等号不能同时成立．解得：0<m ≤3 . ∴ m ∈(0,3] .【解答】解：(1)∵ x 2−4x −12≤0， 整理，得(x +2)(x −6)≤0， 解得：−2≤x ≤6 ， ∴ A =[−2,6] .∵ x 2−2x +1+m 2≤0,m >0，整理，得[x −(1−m )][x −(1+m )]≤0， 解得：1−m ≤x ≤1+m ， ∴ B =[1−m,1+m] .(2)∵ x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件， ∴ B ⫋A ，∴ {−2≤1−m ，1+m ≤6，m >0， 且等号不能同时成立，解得：0<m ≤3 ， ∴ m ∈(0,3] .【答案】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 . (2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k+39+k=1，整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【考点】椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】【解答】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5， 所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 .(2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k +39+k =1， 整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【答案】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【考点】 数列的求和 数列递推式等比数列的前n 项和 【解析】 无 无【解答】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【答案】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘，∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1. 在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED .∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD→=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)，由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×√7=√217，∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘， ∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1.在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED . ∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD →=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)， 由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×7=√217， ∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【答案】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=ba =√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)，令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， x A +x D =16k 23+4k 2，解得x D =8k 2−63+4k ，y D =k(8k 2−63+4k −2)=−12k3+4k ， 设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x 03+4k2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】（1）由右顶点的坐标可得a 的值，再由上顶点与左右焦点所成的角可得b ，c 的关系，又由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）法一）设直线AD 的方程，由题意可得E 的坐标，将直线AD 的方程代入椭圆的方程可得D 的坐标，进而求出AD 的中点P 的坐标，求出向量OP →，假设存在Q 的坐标，求出向量EQ →，由OP →⋅EQ →=0，可得4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，所以x 0=32，y 0＝0；法二）设A ，B ，P 的坐标，将A ，B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减可得OP 的斜率，假设存在Q 的坐标使OP ⊥EQ ，可得斜率之积为−1恒成立，求出Q 的坐标． 【解答】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=b a=√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)， 令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0，x A +x D =16k 23+4k 2， 解得x D =8k 2−63+4k2，y D =k(8k 2−63+4k 2−2)=−12k 3+4k 2，设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x3+4k 2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ．。

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。

专题27 排列与组合一、单选题1．（2020·山东省高二期中）若，则（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】因为，所以，所以有，即，解得：.故选：C.2．（2020·山东省高二期中）若，则（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】∵，∴，即，∴，故选：D ．3．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48【答案】A 【解析】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为．故选A.33210n n A A =n =33210n n A A =*3,n n N ³Î()()()()221221012n n n n n n ×-×-=×-×-()()22152n n -=-8n =3212n n n A C -=n =3221212n n nn A C C -==()()()112122n n n n n ---=´26n -=8n =法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A4．（2020·山东省高二期中）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（ ）A ．420B ．660C ．840D ．880【答案】B 【解析】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，共有种选法，其中不含女生的有种选法，所以服务队中至少有1名女生的选法种数为.故选：B5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）用0，1，2，3，4，5这个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有：种；当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有：种,两类相加一共有300种，故选B.6．（2020·北京大峪中学高二期中）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( )A ．240种B ．120种C ．96种D ．480种【答案】A2286840A C ×=2264180A C =840180660-=636030024018045120A =1335180A A =【解析】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A.7．（2020·福建省高三二模（理））在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（ ）．A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种【答案】A 【解析】（1）当甲排第1名时，则第5名从乙、丙两个选一个，其它三名任意排列，；（2）当甲排第2，3，4名时，则第5名必排丙，第1名排乙，其它三名任意排列，；，故选：A.8．（2019·佛山市顺德区容山中学高二开学考试）高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】1班、2班的安排方式有种，剩余4个班的安排方式有种，所以共有各安排方式，故选D ．二、多选题9．（2020·南京市秦淮中学高二期中）下列各式中，等于的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】根据题意，依次分选项：2510C =4424A =1024240´=\313212N A ==\3236N A ==\12618N =+=2454C A 2456C 2454A A 2456A 25A 462456A !n 1n nA -1nn A +11n n nA --!mnm C对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，故正确；对于，，故错误；故选：AC ．10．（2020·江苏省高二期中）下列等式中，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】选项A ，左边==右边，正确；选项B ，右边左边，正确；选项C ，右边左边，错误；选项D ，右边左边，正确.故选：ABD11．（2020·山东省潍坊一中高二月考）某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ）A ．18B ．C ．D ．【答案】CD 【解析】A 1(1)2!n nA n n n -=´-´¼¼´=AB 1(1)(1)2(1)!nn A n n n n +=+´´-´¼¼´=+B C 11(1)1!n n nA n n n --=´-´¼¼´=C D !!!mm mn nnA m C m A m ==D 11m m m n nn A mA A -++=11r r n n rC nC --=111111m m m m n n n n C C C C +--+--=++11mm n nm C C n m++=-()()()()()()()1!1!!!!!1!1!1!1!n m n n n n n n m m n m n m n m n m n m -+×+×+×=+×=--+-+-+-+()()1!1!n n m +=-+()()()()()()1!!!1!11!1!!!!n r n n n r r n r r r n r r n r -=×=×=×=-×--+-×-×-11m m mn n n C C C -+=+=¹()()()()()()()1!1!!1!1!1!1!!!m n m n n n m m n m m m n m n m m n m +×+=×===-+×--+××-×--×-11113213C C C C 122342C C A 2343C A根据捆绑法得到共有，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有..故选：.12．（2020·临淄区英才中学高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A ．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．甲乙不相邻的排法种数为72种D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】ACD 【解析】A.甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确.B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，故不正确.C.甲乙不相邻的排法种数为种，故正确.D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种,故正确.故选：ACD.点睛：排列组合中的排序问题，常见类型有：（1）相邻问题捆绑法；（2）不相邻问题插空排；（3）定序问题缩倍法(插空法)；（4）定位问题优先法.三、填空题13．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有______种（用数字作答）【答案】48【解析】因为甲、乙相邻，则利用捆绑法，看作一个人，则有种，再与其余3人看作4人全排列有种，234336C A ×=122342C C A 36=11113213C C C C 1836=¹CD 4424A =A 1311333323+=54A A A A A B 3234=72A A C 5533=20A A D 5222A =4424A =所以人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有种，故答案为：4814．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答）．【答案】72【解析】可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有种，则甲、乙两不相邻的排法有种．15．（2020·山东省高二期中）用1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为______.（用数字作答）【答案】24【解析】由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，只有1种方法，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列有，故答案为：2416．（2020·浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字,可以组成______个无重复数字的三位数, 也可以组成______个能被5整除且无重复数字的五位数.【答案】100 216 【解析】第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有种方法；第二步，确定另外二个数位上的数，有种方法，所以可以组成个无重复数字的三位数；第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个数上的数有2种情况：当个数上的数字是0时，其他数位上的数有个；当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有种方法，而后确定其他三个数位上的数有种方法，所以共有个数，5242448A A ×=33A 24A 3234A A 72=34=432=24A ´´155C =255420A =´=520100´=455432120A =´´´=14C 4=3443224A =´´=24496´=根据分类计算原理共有个数．四、解答题17．（2020·江苏省扬州中学高二期中）有5名男生，4名女生排成一排.（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？【答案】（1）504（2）43200【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人从中选出3人排成一排，共有种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有种方法故共有种方法18．（2020·黑龙江省铁人中学高二期中（理））从名运动员中选出人参加接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数：（1）甲、乙两人都不跑中间两棒；（2）甲、乙二人不都跑中间两棒.【答案】（1）144（2）336【解析】（1）先选跑中间的两人有种，再从余下的4人中选跑、棒的有，则共有种.（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法，再去掉甲、乙跑中间的安排方法种，故满足条件的安排方法有种.19．（2020·江苏省泰州中学高二期中）从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛．（1）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？（2）如果4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？【答案】（1）91种；（2）120种．【解析】12096216+=39504A =55A 46A 545643200A A =644100´24A 1424A 2244144A A =46A 2224A A 246224336A A A =-分析:（1）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数，即可得答案；（2）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数，即可得答案.详解:（1）先在9人中任选4人，有种选法, 其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有种, 则甲与女姓中的乙至少要有1人在内的选法有种.（2）先在9人中任选4人，有种选法，其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有种.20．（2019·佛山市顺德区容山中学高二开学考试）以下问题最终结果用数字表示 (1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？(2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？【答案】（1）60 （2）72 （3）20【解析】（1）偶数末位必须为0，2，4对此进行以下分类：当末位是0时，剩下1，2，3，4进行全排列，=24当末位是2时，注意0不能排在首位，首位从1，3，4选出有种方法排在首位，剩下的三个数可以进行全排列有种排法，所以当末位数字是2时有=18个数．同理当末位数字是4时也有18个数，所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.（2）由1、2、3、4、5组成五位数一共有个．第一步，把2.3捆定，有种排法；第二步，捆定的2，3与1，4，5一起全排列，共有个数，49126C =4735C =1263591-=49126C =455C =441C =12651120--=44A 13A 33A 1333A A 5554321120A =´´´´=122A =44432124A =´´´=根据分步计数原理，2，3相邻的五位数共有=48个数，因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有个数．（3）把五位数每个数位看成五个空，数字4，5共有个，然后把数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式，根据分步计数原理，可知由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数为个．21．（2020·浙江省效实中学高二期中）（1）由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数共有几种？（2）我校高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，求不同的选取法的种数.【答案】（1）280种；（2）472种.【解析】（1）十位数字与千位数字之差的绝对值等于7，可得千位数字和十位数字的组合有五种，每种组合中百位和个位的数共有种组合，所以符合条件的四位数共有种.（2）情形一：不选三班的同学，从12个人中选出3人，有种选取方法，其中来自同一个班级的情况有种，则此时有种选取方法；情形二：选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有4种，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有种选取方法，则此时有种选取方法.根据分类计数原理，共有种选取方法.22．（2020·北京大峪中学高二期中）一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？12A 44A 1204872-=255420A =´=25120A ´=(1,8)(2,9)(7,0)(8,1)(9,2)2856A =285280A =312C 343C 33124322012208C C -=-=212C 2124264C =208264472+=3222（4）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）将个相声节目进行捆绑，与其它个节目形成个元素，然后进行全排，所以，排法种数为种；（2）将个相声节目插入其它个节目所形成的个空中，则排法种数为种；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它个节目排在中间，进行全排，由分步乘法计数原理可知，排法种数为种；（4）在个节目进行全排的排法种数中减去前个节目中没有相声节目的排法种数，可得出前个节目中要有相声节目的排法种数为.3487236108234242448A A =234323472A A =3233336A A =53353253212012108A A A -=-=。

江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学2022．04试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知从甲地到乙地有飞机或轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有大巴车、高铁或者飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A．4B．5C．6D．82．直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A．a b c -+-B．a b c -+C．a b c-++D.cb a -+3．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A．23B．13C．19D．1184．设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A．5B．6C．7D．85．青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A．1115B．415C．215D．7156．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（）117．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）D．68．23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A．a c b <<B．c a b <<C．a b c <<D．b a c<<二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b = ，则下列结论正确的是（）A．()2//a b a+B．5a =C．()56a a b⊥+ D．a 与b 夹角的余弦值为10．已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<，则下列结论正确的是()A．12()()E E ξξ<B．12()()E E ξξ>C．12()()D D ξξ<D．12()()D D ξξ>11．已知)66016xa a x a x =+++ ，则（）A．20log 3a =B．016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C．3a =-D．25123636a a a++++= 12．已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A、B 两点(A、B 两点在椭圆的下半部分)，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A．若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B．OAB 的面积OAB S 是定值1C．线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值4D．设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则=)(X E _________.X 123P0.2a0.514．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60 ，则1AC 的长为__________。

江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π62. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 83. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 164. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10B. 16C. 20D. 266. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A 小于1B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关.7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB +的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A. 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =- B. 121=x x C. 254PQ =D. 1l 与2l 之间的距离为412. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 最小值为6.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.15. 阿基米德是古希腊著名数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.的的四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8xty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .21.已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.的的江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1. 经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】求出直线AB 的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则0πα≤<，且tan α==，故π3α=.故选：B.2. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的准线求得p 的值【详解】由题意可得：22p-=，则4p =-故选：B3. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】根据题意，可设12cos ,5sin x y θθ==，得到13sin()x y θϕ+=+，求得x y +的取值范围，即可求解.【详解】由椭圆22114425x y +=，可设12cos ,5sin x y θθ==，其中[]0,2πθ∈，则12cos 5sin 13sin()x y θθθϕ=+=++，其中12tan 5ϕ=，因为1sin()1θϕ-≤+≤，所以1313x y -≤+≤，即x y +的取值范围为[]13,13-，结合选项，可得A 符合题意.故选：A.4. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程220x y x y a +-++=可以表示圆，则22(1)140a -+->，得12a <；由点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部可知：2221210a +-++>，得4a >-.故142a -<<.故选：C5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10 B. 16C. 20D. 26【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义可得122MF MF a +=，122NF NF a +=，代入即可求出答案.【详解】由椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，.则2MNF 的周长为：22112244520MN MF NF MF NF MF NF a ++=+++==⨯=.故选：C .6. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A. 小于1 B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关【答案】B 【解析】【分析】求出,A B 的坐标，由对称性可得OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，由正弦定理得到12sin OM R OAB =∠，22sin OMR OBA=∠，故12R R =，故面积比值为1.【详解】由题意得，抛物线2:16C y x =的焦点坐标为()4,0F ，将4x =代入2:16C y x =中，8y =±，不妨令()()4,8,4,8A B -，由对称性可知,A B 两点关于y 轴对称，OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，当点M 在A 点上方时，()12sin sin πsin OM OM OM R OAM OAB OAB===∠-∠∠，当点M 在A 点上方时，12sin OMR OAB=∠，同理22sin OMR OBA=∠，因为OBA OAB ∠=∠，所以12R R =，所以圆1C 圆2C 面积的比值为1.故选：B7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=【答案】B 【解析】【分析】首先根据题意得到22222b c a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为()0,c ，一条渐近线方程为a y x b=，则焦点到渐近线的距离2d b ===，所以2222224234b a ca b c a b=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为：223144y x -=.故选：B8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB + 的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6【答案】A 【解析】【分析】设AB 中点(),P x y ，根据垂径定理可得点P 的轨迹方程，进而可得MP的取值范围，又2MA MB MP +=，即可得解.【详解】设AB 中点(),P x y ，则()6,CP x y =- ，()4,NP x y =-，所以()()2640CP NP x x y ⋅=--+= ，即()2251x y -+=，所以点P 的轨迹为以()5,0E 为圆心，1为半径的圆，所以11ME MP ME -≤≤+，5ME ==，所以46MP ≤≤，又2MA MB MP +=，所以MA MB +的最大值为12，故选：A.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=【答案】ABD 【解析】【分析】坐标代入方程检验判断A ，根据垂直的条件判断B ，求出两坐标轴上截距判断C ，求出平行线间距离判断D ．【详解】选项A ，把坐标(0,1)代入直线方程而立，A 正确；选项B ，1a =-时直线l 方程为10x y -+=，斜率是1，直线0x y +=斜率是1-，两直线垂直，B 正确；选项C ，0a =时直线方程为10x y -+=，在x 轴上截距为=1x -，在y 轴上截距为1y =，不相等，C 错；选项D ，211a a ++=即0a =或1-时，直线l 方程为10x y -+=与直线0x y -=平行，距离为d ==D 正确．故选：ABD ．10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上【答案】ABD.【解析】【分析】逐项代入分析即可求解.【详解】根据222a b c =+之间的关系即可求解，故选项A 正确；根据2221,22,2c e b a b c a ====+即可求解，故选项B 正确；12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定12,2c a c e a ===，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确；设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上，所以()2222224,09c c b c b a =-+=+==，即可求出椭圆E 标准方程,故选项D 正确.故选：ABD.11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =-B. 121=x xC. 254PQ = D. 1l 与2l 之间的距离为4【答案】BC【解析】【分析】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =，由韦达定理得124y y =-，进而求得121=x x ，可判断B ；先求点P 的坐标，再结合124y y =-可得点Q 的坐标，然后利用斜率公式即可判断A ；根据抛物线的定义可知12Q x p P x ++=，可判断C ；由于1l 与2l 平行，所以1l 与2l 之间的距离12d y y =-，可判断D .【详解】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =得2440y my --=，则124y y =-，所以()212121616y y x x ==，所以121=x x ，故B 正确；点P 与M 均在直线1l 上，则点P 的坐标为(1,14)，由124y y =-得24y =-，则点Q 的坐标为(4,4)-，则4141344PQ k --==--，故A 错误；由抛物线的定义可知，121254244PQ x x p =++=++=，故C 正确；1l 与2l 平行，1l ∴与2l 之间的距离125d y y =-=，故D 错误.故选：BC.12. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8B. 212PF PF OP -为定值C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6.【答案】AB【解析】【分析】设00(,)P x y ，由2221208PF PF x -=，可判定A 正确；化简2122PF PF OP -=，可判定B 正确；设直线l 的方程为x my n =+，联立方程组，结合Δ0=，得到2213n m =-，在化简123y y =-，可判定C 不正确；根据通经长和实轴长，可判定D 错误.【详解】由题意，双曲线2213y x -=，可得1,a b ==2c ==，所以焦点12(2,0),(2,0)F F -，且1222PF PF a -==，设00(,)P x y ，则01x ≥，且220013y x -=，即220033=-y x ，双曲线C的两条渐近线的方程为y =，对于A 中，由()][()22222212000002288PF PF x y x y x ⎡⎤-=++--+=≥⎣⎦，所以A 正确；对于B中，2221200()PF PF OP x y -=-+2200(33)x x =-+-2000(21)(21)(43)2x x x =+---=（定值），所以B 正确；对于C 中，不妨设1122(,),(,)M x y N x y ，直线l 的方程为x my n =+，联立方程组2213x my n y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(31)6330m y mny n -++-=，若直线l 与双曲线C 相切，则22223612(31)(1)0m n m n ∆=---=，整理得2213n m =-，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =M的纵坐标为1y =，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =N的纵坐标为2y =，则点,M N的纵坐标之积为21222233(13)33113y n m mm y ---===-=--所以C 不正确；对于D 中，若点Q 在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为226b a=，若点Q 在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为226a =<，所以D 错误.故选：AB.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．【答案】y =【解析】【分析】由c e a ===b a =，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>c e a ===222b a =，所以b a =，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>渐近线方程为：b y x a =±=.故答案为：y =14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.【答案】1,14⎛⎫-⎪⎝⎭##()0.25,1-【解析】【分析】作出图象，结合题意可知A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，此时P 点的纵坐标为1，代入抛物线即可求得P 点的坐标.【详解】根据题意，由y 2＝－4x 得p ＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图，.因为PF 等于P 到准线的距离PQ ，所以PF PA PQ PA AQ +=+≥，可知当A ，P 及P 到准线垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，此时点P 的纵坐标为1，将y ＝1代入抛物线方程求得14x =-，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.15. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，再结合222a c b -=即可求解出a 、b ，进而求出面积.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，记AB 的中点为M ，即(2,1)M -，因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得121242x x y y +=⎧⎨+=-⎩，因为直线AB 过椭圆焦点()3,0F ，所以直线AB 斜率为121201132y y k x x --===--，又因为A ，B 在椭圆22221x y a b+=上，的所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，代值化简得222b a =，因为椭圆22221x y a b+=的焦点为()3,0F ，所以22a b 9-=，得a =，3b =，由题意可知，椭圆的面积为ab π=.故答案为：.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，由P 在两圆上，将坐标代入对应圆的方程整理，易知,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，进而求直线12C C 的斜率，再根据直线12C C 、(0)y kx k =>倾斜角的关系求k 值.【详解】由题设，圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，且一个交点P (3,2)，∴1C 和2C 在第一象限，若,a b 分别是圆1C 和圆2C 的半径，可令1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，∴222222(3)+(2){(3)+(2)ma a a mb b b --=--=，易知：,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，又132ab =，∴213132m =，可得m =12C C k =，而直线12C C 的倾斜角是直线(0)y kx k =>的一半，∴1212221C C C C k k k ==-.故答案为：【点睛】关键点点睛：分析圆心的坐标并设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，结合已知确定,a b 为方程的两个根，应用韦达定理求参数m ，进而求12C C 斜率，由倾斜角的关系及二倍角正切公式求k 值.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.【答案】（1）163m = （2）4m =-，()±【解析】【分析】（1）根据题中条件及离心率公式直接计算即可；（2）根据题中条件得4m =-，进一步计算得到c 的值，即可求解.【小问1详解】因为方程为焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b ==则离心率12c e a ===，解得163m =故163m =【小问2详解】由题意得 4m =-，c ===故焦点坐标为()±18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．【答案】（1）250x y +-=（2）2340x y -+=【解析】的.【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由341102380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 和2l 的交点为(1,2)M ．直线l 还经过点()3,1P ，∴l 的方程为211231y x --=--，即250x y +-=．【小问2详解】由直线l 与直线3250x y ++=垂直，可设它的方程为230x y n -+=．再把点(1,2)M 的坐标代入，可得260n -+=，解得4n =，故直线l 的方程为2340x y -+=.19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.【答案】（1）()22116x y -+=（2）3x =或3490x y --=【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的一般式方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设圆C 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，令0y =，可得20x Dx F ++=，则122x x D +=-=，将()()1,4,5,0A B 代入可得，116402550D E F D F ++++=⎧⎨++=⎩，解得2015D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆C 方程为222150x y x +--=，即()22116x y -+=.【小问2详解】圆C 的圆心()1,0C ，圆M 的圆心与()1,0C 关于10x y -+=对称，∴设圆M 的圆心为(),M a b 则11022111a b b a +⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，圆M 的标准方程为：()()221216x y ++-=，若过点()3,0的直线斜率不存在，则方程为3x =，此时圆心()1,2C -到直线3x =的距离为314r +==，满足题意；若过点()3,0且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为()3y k x =-，即30kx y k --=，则圆心到直线30kx y k --=4，解得34k =，所以切线方程为39044x y --=，即3490x y --=，综上，过点()3,0且与圆C 相切的直线方程为3x =或3490x y --=.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8x ty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .【答案】（1）28y x =（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.（2）直线l 与抛物线联立后，利用韦达定理求出0OA OB ⋅= 即可得证.【小问1详解】由双曲线方程()2211551x y m m m -=<<--知其焦点在x 轴上且焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以2(2,0)F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，得242p p =⇒=，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22886408x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，2644640t ∆=+⨯>由韦达定理得128y y t +=，1264y y =-所以12121212(8)(8)OA OB x x y y ty ty y y ⋅=+=+++ 21212(1)8()64t y y t y y =++++2(1)(64)8(8)640t t t =+-++=所以OA OB ⊥ ，所以以AB 为直径的圆经过原点O .得证21. 已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB （O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.【答案】（11k <<（2）k =【解析】【分析】（1）设点坐标，联立方程组，根据根与系数的关系求解；（2）通过OAB 面积求解出12x x -，从而求解出k 的值.【小问1详解】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩，整理得：()221390,k x ---=因为直线:R)l y kx k =∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点，所以()2212212130361090130k k x x k x x ⎧-≠⎪=->⎪⎪⎪-⎨=>⎪-⎪⎪+=<⎪⎩ ，解得210,13k k ><<1k <<，【小问2详解】设点O到直线:R)l y kx k =∈的距离为d，则d =，212OAB S AB d x ==-=- ，又因为S =，所以1212,5x x -=又因为12125x x -==，代入12212913x x k x x -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩125，整理得4236210k k+-=1k <<，解得k =，此时直线l的斜率k.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22:184x y C += （2）存在，1y =【解析】【分析】（1）由椭圆离心率可得222a b =，再将(2代入椭圆的方程可得228,4a b ==，即可求出椭圆的方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立直线MN 和椭圆的方程求出两根之积和两根之和，设直线AN 的方程和直线BM 的方程，两式联立求得交点的纵坐标的表达式，将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上.【小问1详解】，即c e a ===，所以2212b a =，所以222a b =，又因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2，所以224212b b +=，解得：228,4a b ==，所以椭圆C 方程为22184x y +=.【小问2详解】因为()()0,2,0,2A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立方程221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221216240k x kx +++=，()()222Δ164241264960,k k k =-⨯⋅+=->得232k >则1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++直线AN 的方程为：2222y y x x --= ，直线BM 的方程为：1122y y x x ++=，联立两直线方程消元：()()2112112122222226y x kx x x y y y x kx x x -+-==+++ 法1：由()221216240k x kx +++=解得：12x x ==，代入化简，2123y y -===-+，解得：1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法2：由韦达定理得1221612k x x k-=-+代入化简()()22222222224162824211212242324612612k k x k k x y k k k y k k x x k -⎛⎫+- ⎪--+-++⎝⎭===-+++++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法3：由1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++，得()121232x x kx x -+=⋅代入化简()()1211223221232362x x x y y x x x -++-==-+-++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法4： 代()11,M x y 点进椭圆方程得2211184x y +=化简得()()221111221844y y x y +-=-=进而得到()()1111222y x y x -=+，代入化简()()121222222y y y y x x ----=+⋅转化为韦达定理代入()()()()1212121222222222y y kx kx y y x x x x ----++-==+⋅⋅()22221212122241622422412122412k k k k x x k x x k k x x k ⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⎡⎤-+++++⎣⎦⎝⎭==⋅+22222243248211224312k k k k k -++-⋅+=-+，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.。

江苏省扬州中学2020—2021学年高二第二学期期中考试数学试卷2021．04一、单选题(共8题，每题5分)1. 甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示()A．甲赢三局B．甲赢一局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局或甲、乙平局三次2．把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）A．12种B．18种C．24种D．36种3．水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以sm/3的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2s末时圆面积的变化速率为（）A．24π2/m s B．36π2/m s C．72π2/m s D．144π2/m s 4.某种心脏手术成功率为7.0，现釆用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是7.0，故我们用0、1、2表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.55．已知复数13izi-=则(1)i z-=（）A ．42i -+B ．42i --C ．42i +D ．42i -6．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成大小为60︒的二面角A BD C --，点P 为线段AC 上的一动点，下列结论正确的是（ ）．A ．异面直线AC 与BD 所成的角为60︒B ．ACD △是等边三角形C ．BDP ∆面积的最小值为3 D ．四面体ABCD 的外接球的体积为34π7．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数1)(,2ln )(,12)(3-=+=+=x x x x h xe x g x ϕ的“新驻点”分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>8.已知e 为自然对数的底数，设函数xb ax x x f ln 21)(2+-=存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值0)(0<x f ,则下列结论中正确的是（ ）A ．存在0x =使得ex f 21)(0-<B ．存在0x =20)(e x f ->C ．b 的最大值为3eD ．b 的最大值为22e二、多选题（共5题，每题至少两个正确答案，每题5分） 9．下列命题中错误的有（ ） A ．若复数z 满足20z <，则z 是虚数； B ．若复数z R ∈，则其虚部不存在；C ．“2=z ”是“11=-⋅z z ”的充分不必要条件；D ．若复数1z ､2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =.10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：mn mn nC C -=B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122nn n n n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051=11．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ） A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F –AE –C 的正切值为25C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为10 D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 12．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于()0)(,,0<∈∀x f x π恒成立C ．若π<<<210x x ，则2121sin sin x x x x >D ．若sin x a b x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1三、填空题（共4题，每题5分） 13. 若复数z 满足21=-z ，则iz +的最大值为________.14.二项式2nx ⎫-⎪⎪⎝⎭的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值,项的系数是________.15.已知三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的表面上，ABC PA 平面⊥,,4,2,32,6====BC AC AB PA 则（1）球O 的表面积为________；（2）若D 是BC的中点，过点D 作球O 的截面，则截面的面积的最小值是________.（第一空2分，第二 空3分）16.设实数0m >，若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式ln 0mxxe m-≥成立，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（共6题，第17题10分，其余每题各12分） 17．已知z 是复数，i z 2-和1zi-都是实数.（1）求复数z ；（2）设关于x 的方程2(1)(31)0x x z m i ++--=有实根，求纯虚数m .18．从C B A ,,等6人中选出4人排成一排. （1）若A 必须被选中，有多少种排法？（2）若C B A ,,三人不全被选中，有多少种排法？19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =. （1）求证：PA ⊥平面PCD ；（2）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值； （3）求四棱锥P ABCD -的体积.20.已知函数()R a x ax x x f ∈-+-=231)(23 B（1）当23=a 时，求()x f 的单调区间； （2）若过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-310，可作函数()x f y =图像的三条不同切线，求实数a 的取值范围.21．设整数4n >，记f (x ，y )=()1nx +. （1）若令n n x a x a x a a x f ++++= 2210)1,(.求：⊥0a ；⊥()na n a a a 132210+++++ .（2）若f (x ，y )的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，求n 的值.22．已知函数()sin xf x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，对[)+∞∈∀,0x ，⊥证明：1)(≥x f ；⊥若bx x x f ≥-+2cos 2)('恒成立，求实数b 的范围；（2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围.江苏省扬州中学2020—2021学年高二第二学期期中考试数学试卷答案一、单选题1. D 2．D 3．B 4.C 5．A 6．C 7．B 8.C 二、多选题：9.BD 10.ABC 11．BCD 12．BD 三、填空题13. 22+ 14.4273- 15.ππ452； 16.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e 四、解答题：17．（1）i 22-；（2）i 127- 18．（1）240；（2）28819. （1）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（2）解：连接AN ，由（II ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角. 因为PCD ∆为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点， 所以3DN =，又DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，3sin DN DAN AD ∠==，所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3. （3）2220.（1）单调区间：()()()+∞∞-,2,2,1,1, （2）1>a21．（1）① 01a =； ②()122-⋅+n n .（2）因为()()2121nnrrn rnr x y C x y -=+-=-∑，其中4n x -项仅出现在4r =时的展开式()44421n nC xy --中，4n x -项系数为()441nC -；而xy 项仅出现在1=-r n 时的展开式()1121n n nCx y ---中，xy 项系数为()3122121n n n n C C ----，因此有()()4341221121n n n n n C C C ----=-，注意到4n >，化简得()33148n n --=-⋅，故只能是n 为奇数且348n -=.解得51n =.22．（1）①当1a =时，()sin x f x e x =-，于是，()cos xf x e x '=-.又因为，当()0,x ∈+∞时，1x e >且cos 1x ≤. 故当()0,x ∈+∞时，cos 0x e x ->，即()0f x '>.所以，函数()sin xf x e x =-为()0,+∞上的增函数，于是，()()01f x f ≥=.因此，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥； ②（2）方法一：由题意()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，①当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 所以00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点； ②当1a ≥时，()cos cos 0x xf x ae x e x ≥-'=->在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值； ③当0a ≤时，()cos 0xf x ae x =-<'在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有极值， 综上所述，使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1. 方法二：由题意，函数()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点.即cos x x a e =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点. 设()cos xx g x e =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数. 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点.下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值. 事实上，当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数， 注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 即00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点. 综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值.。

江苏省邗江中学2021-2021学年度第一学期高二数学期中试卷命题人：说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，全卷总分值150分，考试时间120分钟。

第I 卷〔选择题 共60分〕一、单项选择题：此题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．命题“，20x x -≤〞的否认是〔〕A.x ∀∈R ，20x x -<B.x ∃∈R ，20x x -≤C.x ∃∈R ，20x x -≥D.x ∃∈R ，20x x ->2．m ，n ∈R 那么“m ＞0且n ＞0〞是“曲线221x y m n+=为椭圆〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在正项等比数列{}n a 中，假设657,3,a a a 依次成等差数列，那么{}n a 的公比为〔〕A ．2B ．12 C ．3 D ．134．等差数列{}n a 中，243,5a a ==，那么1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=〔 〕 A ．25B ．922 C ．910D ．10115. 设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．假设C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，那么双曲线C 的方程为〔〕A. 22144x y -=B. 2214y x -= C. 2214x y -= D. 221x y -=6．关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集为(,)a b ，那么32a b +的最小值是〔〕 A 322+．526+C ．562+．37.为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，方案以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为〔〕 A ．6 B ．12C ．18D ．248．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．假设对于任意实数a ∈[﹣2，2]，且任意的*N n ∈，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，那么实数t 的取值范围为〔 〕A ．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕B ．〔﹣∞，﹣2]∪[1，+∞〕C ．〔﹣∞，﹣1]∪[2，+∞〕D ．[﹣2，2]二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分。