江苏省扬州中学2015-2016学年高二数学上册期中试题

2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：每题5分，14小题，满分70分1．（5分）已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是．2．（5分）已知复数z=（1+i）（2﹣i），则|z|=．3．（5分）若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=．4．（5分）函数f（x）=+的定义域是．5．（5分）命题“∀x∈[1，2]，使x2﹣a≥0”是真命题，则a的范围是．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．7．（5分）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=e x时，上述结论中正确结论的序号是．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＞0的解集是．9．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与在区间[1，2]上都是减函数，则a的值范围是．10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2016）=．11．（5分）当x∈（﹣∞，1]，不等式1+2x+4x•a＞0恒成立，则实数a的取值范围为．12．（5分）若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=6，则实数t的值为．13．（5分）如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=．14．（5分）设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．当a=时，g（x）=t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围．二、解答题：6小题，满分90分.15．（14分）已知复数，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若z1∈R，求a的值；（2）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围．16．（14分）已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0，其中m＞0．（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解不等式f（x）＜；（3）求f（x）的值域．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）成立②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1 恒成立（1）求f（1）的值．（2）求f（x）的解析式（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤x．19．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．20．（16分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：每题5分，14小题，满分70分1．（5分）已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是﹣1．【考点】12：元素与集合关系的判断．【解答】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=﹣1时，集合为{1，0，﹣1}，满足条件．故答案是：﹣1．2．（5分）已知复数z=（1+i）（2﹣i），则|z|=．【考点】A8：复数的模．【解答】解：复数z=（1+i）（2﹣i）=3+i，则|z|==，故答案为：．3．（5分）若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=﹣1．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【解答】解法一：（换元法求解析式）令t=2x+1，则x=则f（t）=﹣2=∴∴f（3）=﹣1解法二：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x=∴∴f（3）=﹣1解法三：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x令2x+1=3则x=1此时x2﹣2x=﹣1∴f（3）=﹣1故答案为：﹣14．（5分）函数f（x）=+的定义域是{2}．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：要使函数有意义，则，解得：x=2．函数的定义域为：{2}．故答案为：{2}．5．（5分）命题“∀x∈[1，2]，使x2﹣a≥0”是真命题，则a的范围是（﹣∞，1]．【考点】2H：全称量词和全称命题．【解答】解：命题p：a≤x2在[1，2]上恒成立，y=x2在[1，2]上的最小值为1；∴a≤1；故答案为：（﹣∞，1]．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4．【考点】EF：程序框图．【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：47．（5分）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=e x时，上述结论中正确结论的序号是（1）、（3）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：∵f（x）=e x时，f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），∴f（x1+x2）===f（x1）f（x2），故（1）正确；f（x1x2）=≠+=f（x1）+f（x2），故（2）不正确；∵f（x）=e x是增函数，∴，故（3）正确．故答案为：（1）、（3）．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＞0的解集是（﹣，）．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：当x≤0时，∵2f（x）﹣1＞0，即2x+4﹣1＞0，解得x＞﹣，∴﹣＜x≤0．∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴当0时，2f（x）﹣1＞0仍成立．∴2f（x）﹣1＞0的解集为（﹣，）．故答案为：．9．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与在区间[1，2]上都是减函数，则a的值范围是（0，1]．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，∴单调减区间为[a，+∞）又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1∵在区间[1，2]上是减函数，∴a＞0综上得0＜a≤1故答案为（0，1]10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2016）=．【考点】3T：函数的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足，∴f（2016）=f（﹣2016+3×672）=f（0）=30﹣1=．故答案为：．11．（5分）当x∈（﹣∞，1]，不等式1+2x+4x•a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（，+∞）．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：由题意：设2x=t，则不等式1+2x+4x•a＞0转化为1+t+at2＞0恒成立，∵x∈（﹣∞，1]，∴0＜t≤2，令函数f（t）=a•t2+t+1，当a=0时，函数f（t）=t+1在（0，2]恒大于0．当a≠0时，要使函数f（t）在（0，2]大于0恒成立，则：，解得：，∴实数a的取值范围为（+∞）．故答案为（，+∞）．12．（5分）若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=6，则实数t的值为3．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【解答】解：由题意，f（x）==t+，函数y=是奇函数，函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=6，∴2t=6，∴t=3，故答案为：3．13．（5分）如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=﹣1．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：从图中得出：第一个到第二个OA转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依此类推每一次边上是60度，转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以x sin180°+cos180°=﹣1．故答案为：﹣114．（5分）设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．当a=时，g（x）=t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x）得kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0，∵g（x）=a f（x）﹣1=（a2）x﹣1，①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1；②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，∴g（x）最大值为g（﹣1）=﹣1，∴g（x）max=；由②得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为g（1）=﹣1=1，∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立，令h（m）=﹣2mt+t2，∴即，∴t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．二、解答题：6小题，满分90分.15．（14分）已知复数，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若z1∈R，求a的值；（2）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】A1：虚数单位i、复数；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：（1）复数，z1∈R，可得a2﹣3=0，解得：；（2）由条件复数，z2=2+（3a+1）i得，因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有，∴，解得﹣2＜a＜﹣1．16．（14分）已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0，其中m＞0．（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；2E：复合命题及其真假．【解答】解（1）由x2﹣7x+10＜0，解得2＜x＜5，所以p：2＜x＜5；又x2﹣4mx+3m2＜0，因为m＞0，解得m＜x＜3m，所以q：m＜x＜3m．当m=4时，q：4＜x＜12，又p∧q为真，p，q都为真，所以4＜x＜5．（2）由¬q是¬p的充分不必要条件，即¬q⇒¬p，¬p≠＞¬q，其逆否命题为p⇒q，q≠＞p，由（1）p：2＜x＜5，q：m＜x＜3m，所以，即：．17．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解不等式f（x）＜；（3）求f（x）的值域．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0⇒﹣1+b=0，解得b=1，又由f（1）=﹣f（﹣1）⇒，解得a=2．（2）不等式f（x）＜，即不等式＜，化简可得2x＞，∴x＞，∴不等式的解集为{x|x＞}；（3）f（x）=﹣+，∵2x+1＞1，∴﹣＜f（x）＜，∴f（x）的值域是（﹣，）．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）成立②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1 恒成立（1）求f（1）的值．（2）求f（x）的解析式（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤x．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【解答】解：（1）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1 恒成立，∴当x=1时，1≤f（1）≤2|1﹣1|+1；∴f（1）=1；（2）∵f（x﹣1）=f（﹣x﹣1），∴函数f（x）=ax2+bx+c的图象关于x=﹣1对称，又∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，∴f（x）=a（x+1）2，a＞0；又∵f（1）=4a=1；∴a=；故f（x）=（x+1）2；（3）∵f（x+t）=（x+t+1）2≤x，∴x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1≤0；设g（x）=x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1，则g（1）=t2+4t≤0，g（m）=m2+（2t﹣2）m+t2+2t+1≤0；则﹣4≤t≤0，1﹣t﹣2≤m≤1﹣t+2，所以m≤1+4+2•=9，故m的最大值为9．19．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；（2）∴0≤M≤30，∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；设=t，则≤t≤1，．由≤（x=4时取等号），可得m≥，由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，∴≤m≤．20．（16分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4E：指数函数综合题．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．…（4分）（2）∵函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又a＞0，∴1＞a＞0．…（6分）由于y=a x单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，…（8分）∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．…（10分）（3）∵f（1）=，a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2，或a=﹣（舍去）．…（12分）∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x﹣2﹣x，显然是增函数．∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）…（15分）若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2…（16分）若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去…（17分）综上可知m=2．…（18分）。

2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．2．直线y=x+1的倾斜角是．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是．4．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是．5．与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是．7．如果p：x＞2，q：x＞3，那么p是q的条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=．10．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为．13．已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数）与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M 的面积最小值为．14．已知直线l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q：“∀x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．16．已知直线l过点P（2，1）（1）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程．17．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°（1）求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求△AF1B的面积．18．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．（1）求灯罩轴线所在的直线方程；（2）若路宽为10米，求灯柱的高．19．已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P作圆O 的切线，切点为T（1）若a=8，切点T（，﹣1），求点P的坐标；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；（3）在（1）的条件下，是否存在定圆M，使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直？若存在，求出定圆M；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x ∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．2．直线y=x+1的倾斜角是．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是a＞7．【考点】椭圆的标准方程．【分析】方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：a＞7．∴实数m的取值范围是a＞7．故答案为：a＞7．4．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，故答案为：“若a2＞b2，则a＞b”5．与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±，0），离心率为，由此能求出椭圆方程．【解答】解：由椭圆+=1，得a2=9，b2=4，∴c2=a2﹣b2=5，∴该椭圆的焦点坐标为（±，0）．设所求椭圆方程为，a＞b＞0，则，又，解得a=5．∴b2=25﹣5=20．∴所求椭圆方程为：．故答案为：．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是（﹣1，2）．【考点】恒过定点的直线．【分析】由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0，进而有x﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论．【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0∴x=﹣1，y=2∴对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）7．如果p：x＞2，q：x＞3，那么p是q的必要不充分条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接利用充要条件的判断方法结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：因为p：x＞2，得不到q：x＞3；但是x＞3；得到x＞2；所以么p是q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的第一定义求出点M到左焦点的距离，再用第二定义求出点M到右准线的距离d 即可．【解答】解：由椭圆+，得a=5，b=3，c==4，由椭圆的第一定义得点M到右焦点的距离等于10﹣8=2，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点M到右准线的距离d=．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出直线方程的斜率，并表示出双曲线方程的渐近线，再由双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直可知两直线的斜率之积等于﹣1，可求出a的值．【解答】解：直线l：2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的渐近线可以表示为：y=±又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，∴2×（﹣）=﹣1，∴a=2，故答案为210．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．【解答】解：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到，即为的最大值．故答案为：11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意设出圆心坐标，由相切列出方程求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可．【解答】解：由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切，∴|t|=t2+，∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．故答案为：（x±1）2+（y﹣）2=1．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得|PF2|=b，运用余弦函数的定义和余弦定理，计算即可得到所求值．【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，F2（c，0）到渐近线的距离为d=|PF2|==b，cos∠POF2==，在△POF1中，|PF1|2=|PO|2+|OF1|2﹣2|PO|•|OF1|•cos∠POF1=a2+c2﹣2ac•（﹣）=3a2+c2，则|PF1|2﹣|PF2|2=3a2+c2﹣b2=4a2，∵|PF1|2﹣|PF2|2=c2，∴4a2=c2，∴e=2．故答案为2．13．已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数）与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M 的面积最小值为（3﹣2）π．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，即可得出结论．【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，由椭圆的性质，可知最小值为﹣1．所以圆M的面积最小值为π（﹣1）2=（3﹣2）π．故答案为：（3﹣2）π．14．已知直线l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是（0，）∪（，6）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，进而可得b的范围，结合=，可得a的范围，再由菱形ABCD的面积S=a2，得到答案．【解答】解：设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，又由1＜r＜2，∴﹣2＜b＜4，且b≠1∵=，∴b=4﹣a，∴a=（4﹣b）∴0＜a＜，或＜a＜2，∴菱形ABCD的面积S=a2∈（0，）∪（，6），故答案为：（0，）∪（，6）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q：“∀x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】（1）若命题p为真，则4a2﹣4（2a2﹣5a+4）＞0，解得实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）若命题p为真，则4a2﹣4（2a2﹣5a+4）＞0，整理得到a2﹣5a+4＜0，解得1＜a＜4；（2）若命题q为真，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，即a2﹣2a﹣3＜0解得：﹣1＜a＜3若p∧q为真，则1＜a＜3．16．已知直线l过点P（2，1）（1）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）若直线斜率不存在，点A，B到直线l的距离不相等．故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，代入点到直线距离公式，求出k值，可得答案；（2）由题可设l的截距式方程为：，结合已知构造方程，可得a，b的值，进而得到答案．【解答】解：（1）若直线斜率不存在，即x=2，此时，点A，B到直线l的距离不相等．故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，由题意得：=解之得：k=﹣或k=﹣1，故所求直线方程为x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0（2）由题可知，直线l的横、纵截距a，b存在，且均为正数，则l的截距式方程为：，又l过点（2，1），△ABO的面积为4，∴，解得，故l方程为，即x+2y﹣4=0．17．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°（1）求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求△AF1B的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：△AF1B为等边三角形，因此a=2c，e===，即可求得椭圆C的离心率；（2）由题意题意可知：当a=2，则c=1，由b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程，由直线的斜率k=﹣tan ∠AF1F2=﹣，即可求得直线方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，由=+=丨F1F2丨•丨AO丨+丨F1F2丨•丨y B丨，代入即可求得△AF1B的面积．【解答】解：（1）由题意可知，△AF1B为等边三角形，∴a=2c，∴e===，椭圆C的离心率；（2）由（1）可知：a=2c，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2，b=，∴椭圆方程为：，∴A（0，），F2（1，0），∴直线AC的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣，∴直线AC的方程为y﹣0=﹣（x﹣1）=﹣x+，∴，解得：或（舍）∴点B的坐标为（，﹣），所以=+=丨F1F2丨•丨AO丨+丨F1F2丨•丨y B丨=•2•+•2•=，∴△AF1B的面积．18．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．（1）求灯罩轴线所在的直线方程；（2）若路宽为10米，求灯柱的高．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）求出A的坐标，设点A处的切线方程，代入抛物线方程，求出斜率，即可得出灯罩轴线所在的直线方程；（2）求出FD，利用CF，可求灯柱的高．【解答】解：（1）由题意知，BF=，则x A=1.5+=2，代入y2=2x得y A=2，故A（2，2）．设点A处的切线方程为y﹣2=k（x﹣2），代入抛物线方程y2=2x消去x，得ky2﹣2y+4﹣4k=0．则△=4﹣4k（4﹣4k）=0，解得k=．故灯罩轴线的斜率为﹣2，其方程为y﹣2=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+6．（2）由于路宽为10，则当x=时，y=﹣5，从而FD=5．又CF=1，则CD=6．答：灯柱的高为6米．19．已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P作圆O 的切线，切点为T（1）若a=8，切点T（，﹣1），求点P的坐标；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出k OT，k PT，直线l和PT，求出P的坐标．（2）设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点，列出不等式求解即可．（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立，设B（x1，y1），C（x2，y2），利用k OB k OC===k2，求解即可．【解答】解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，又切点T（，﹣1），所以k OT=﹣，∴k PT=，故直线PT的方程为y+1=（x﹣），即．联立直线l和PT，解得即P（2）．（2）设P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），即3x2+3y2﹣4x﹣20=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=，所以问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点，所以d=，解得．（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，所以设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立并消去y得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=，因为则y1y2=，故k OB k OC===k2，即b2（k2﹣1）=0，因为b≠0，所以k2=1，即k=±1．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；（3）在（1）的条件下，是否存在定圆M，使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直？若存在，求出定圆M；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：=，求得A点坐标，由e==，将A代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据=m，求得．代入椭圆方程+=1，由直线OA，OB的斜率之积﹣，利用斜率公式求得，代入整理得：，解得：m=，；（3）假设存在否存在定圆M，求得直线的切线方程，代入椭圆方程，由△=0，求得（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0，则椭圆的两条切线斜率k1，k2分别是（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0的两解，由韦达定理求得k1k2====﹣1，因此椭圆的两条切线垂直，则当x0=±时，显然存在两条互相垂直的切线，即可求得圆的方程．【解答】解：（1）由P（2，），设A（x，y），则=（2，），=（﹣x，﹣y），由题意可知：=，∴，则，A（﹣1，﹣），代入椭圆方程，得，又椭圆的离心率e==，则=，②由①②，得a2=2，b2=1，故椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=，∴P（﹣2x1，﹣2y1），．∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），即，于是．代入椭圆方程，得+=1，（+）+（+）﹣（+）=1，∵A，B在椭圆上，，，由直线OA，OB的斜率之积﹣，即•=﹣∴，∴，解得：m=，（3）存在定圆M，x2+y2=3，在定圆M上任取一点T（x0，y0），其中x0≠±，设过点T（x0，y0）的椭圆的切线方程为y﹣y0=k（x﹣y0），即y=kx﹣kx0+y0，∴，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（﹣kx0+y0）x+2（﹣kx0+y0）2﹣2=0，由△=16k2（﹣kx0+y0）2﹣8（1+2k2）=0，整理得：（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0故过点T（x0，y0）的椭圆的两条切线斜率k1，k2分别是（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0的两解．故k1k2====﹣1，∴椭圆的两条切线垂直．当x0=±时，显然存在两条互相垂直的切线．2017年1月4日。

江苏省扬州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A . 球B . 三棱锥C . 正方体D . 圆柱2. （2分） (2018高二上·万州期末) 若直线过点（1，2），（4，2+ ）则此直线的倾斜角是（）A .B .C .D .3. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定4. （2分）(2019·黄冈模拟) 过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为A .B .C . 或D . 或5. （2分） (2016高二上·天心期中) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AB的中点，则直线DB1与MC所成角的余弦值为（）A . ﹣B .C .D .6. （2分）经过圆（x﹣2）2+y2=1的圆心且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程是（）A . 2x﹣y﹣4=0B . 2x﹣y+4=0C . x+2y﹣2=0D . x+2y+2=07. （2分）已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是（）A .B . 或C .D . 或8. （2分） (2018高一下·鹤岗期末) 如图，正四棱锥的所有棱长相等，E为PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的余弦值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·静海期末) 直线与的位置关系是（）A . 相离或相切B . 相切C . 相交D . 相切或相交10. （2分）直线l：2x﹣2y+1=0的倾斜角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°11. （2分） (2019高二上·余姚期中) 一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·江北期中) 圆x2+（y﹣1）2=1被直线x+y=0分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（）A . 1：1B . 2：1C . 3：1D . 4：1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·江阴期中) 已知正三棱锥的底面边长是3，高为，则这个正三棱锥的侧面积为________．14. （1分）(2018高二下·河北期中) 已知实数，满足，，则的最小值为________．15. （1分）已知点P(－1,2m－1)在经过M(2，－1)、N(－3,4)两点的直线上，则m＝_________.16. （1分）(2017·海淀模拟) 设D为不等式（x﹣1）2+y2≤1表示的平面区域，直线x+ y+b=0与区域D有公共点，则b的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·长阳期末) 如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面 .（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.18. （5分）设直线l的方程为（a﹣1）x+3y+3﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．19. （10分） (2017高二上·大连期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=4，点E、F分别为AB和PD的中点．（1）求证：直线AF∥平面PEC；（2）求平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值．20. （10分）(2018·孝义模拟) 如图，三棱柱中，，平面 .（1）证明：平面平面；（2）若，，求点到平面的距离.21. （15分）(2018·兴化模拟) 已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点 .（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得(为坐标原点)，求的取值范围；（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.22. （10分） (2019高二上·安徽月考) 已知三棱锥中：，，，是的中点，是的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数z=的共轭复数为．2．（5分）命题“x=π”是“sin x=0”的条件．3．（5分）设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．4．（5分）的二项展开式中，x3的系数是．（用数字作答）5．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．6．（5分）已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式的解集是．7．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．8．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．9．（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是．10．（5分）已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=．11．（5分）某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要（以求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为．数字作答）．12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．13．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是．14．（5分）我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x 轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．17．（14分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．18．（16分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．（16分）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N+），并用数学归纳法证明．20．（16分）已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n∈N+）求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数z=的共轭复数为．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．2．（5分）命题“x=π”是“sin x=0”的充分不必要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：x=π⇒sin x=0，反之不成立，例如取x=0，满足sin x=0．∴“x=π”是“sin x=0”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．3．（5分）设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：∵异面直线l 1，l2的方向向量分别为，∴cos＜＞===，∴＜＞=．∴异面直线l1，l2所成角的大小为．故答案为：．4．（5分）的二项展开式中，x3的系数是﹣10．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【解答】解：T r+1=，令5﹣2r=3得r=1，所以x3的系数为（﹣2）1•C51=﹣10．故答案为﹣105．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿．共种；所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有种．则甲、乙两人恰好对门的概率为p（A）=．故答案为．法二、仅思考甲乙2人那钥匙的情况，甲可以拿走6个房间中的任意一把钥匙，有6种拿法，乙则从剩余的5把钥匙中那走一把，共有6×5=30种不同的拿法，而甲乙对门的拿法仅有种，所以甲乙恰好对门的概率为．故答案为．6．（5分）已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式的解集是（1，+∞）．【考点】63：导数的运算．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（x）＞f（1）e x，得：，即g（x）＞g（1），因为函数不等式，所以g（x）＞g（1），所以，x＞1．故答案为（1，+∞）．7．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．【考点】3T：函数的值．【解答】解：∵f（k）=+++…+（k∈N*），∴f（k+1）=++…++；（k∈N*），则f（k+1）﹣f（k）=++…++﹣（+++…+）=；故答案为：8．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．【考点】8B：数列的应用；8H：数列递推式；F1：归纳推理．【解答】解：∵∴又∵f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）∴，…由此归纳推理：∴===故答案为：9．（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是336．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故答案为：336．10．（5分）已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=1024．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：∵[1+（x+1）]8=a0+a1（x+1）+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，两边分别对x求导数，可得8（x+2）7=a1+2a2（x+1）+…+7a7（x+1）6+8a8（x+1）7，再令x=0，可得则a1+2a2+…+7a7+8a8=8•27=1024，故答案为：1024．11．（5分）某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要（以求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为312．数字作答）．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：分两类，数学科排在第一节，或不排在第一节，第一类，当数学课排在第一节时，其它课任意排有种，第一类，当数学课排在第二或第三节课时，第一节从语文、政治、英语、艺术四门科种任排一节，再排数学，然后排其它节次，共有=192种，根据分类计数原理得不同的排法种数为120+192=312种．故答案为：312．12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（2，2，0），=（0，1，1），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），平面DEC的法向量=（0，0，1），设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是（﹣16，10]．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：由题意，f′（x）=x2+ax+b，∵f（x）的两个极值点分别是x1，x2，x1∈（﹣1，1），x2∈（1，3），∴，对应的平面区域如图所示：令z=a﹣4b，得：b=a﹣z，平移直线b=b=a﹣z，显然直线过A（﹣4，3）时，z最小，最小值是﹣16，过B（﹣2，﹣3）时，z最大，最大值是10，故答案为：（﹣16，10]．14．（5分）我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x 轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积a2hπ．【考点】F3：类比推理．【解答】解：由题意，图形是一个圆环，圆环的半径为AC，BC，其面积S=π（AC2﹣BC2）∵⇒，同理∴AC2﹣BC2=a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积为a2hπ．故答案为：a2hπ．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；2K：命题的真假判断与应用；73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴；（2）在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环，其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆．∴在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π．17．（14分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：的展开式的通项，由已知，得出化简，解得（1）在展开式两端令x=1，得展开后所有项的系数之和为37=2187．所有项的二项式系数之和27=128．（2）当为整数时，项为有理项．所以r=0，2，4，6．有理项分别为1，22C72x=84x，24C74x2=560x2，26C76x3=448x3．18．（16分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【解答】解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）19．（16分）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N+），并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得…4分（2）因为lnE n=2lnn!，F n=n（n+1），所以lnE1=0＜F1=2，lnE2=ln4＜F2=6，lnE3=ln36＜F3=12，…，由此猜想：当n∈N*时，都有lnE n＜F n，即2lnn!＜n（n+1）…6分下用数学归纳法证明2lnn!＜n（n+1）（n∈N*）．①当n=1时，该不等式显然成立．②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），则当n=k+1时，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），要证当n=k+1时不等式成立，只要证：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），只要证：ln（k+1）≤k+1…8分令f（x）=lnx﹣x，x∈（1，+∞），因为，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，从而f（x）＜f（1）=﹣1＜0，而k+1∈（1，+∞），所以ln （k+1）≤k+1成立，则当n=k+1时，不等式也成立．综合①②，得原不等式对任意的n∈N*均成立…10分20．（16分）已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n∈N+）求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．【考点】63：导数的运算；8B：数列的应用．【解答】解：（1）证明：设ϕ（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），则ϕ'（x）=f'（x）﹣f'（x0）∵g'（x）＜0故g（x）=f'（x）为减函数，则x=x0为ϕ（x）的极大值点．∵ϕ（x）≤ϕ（x0）=0，即f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）（当且仅当在x=x0取到）（2）证明：由（1）可知：f（x1）≤f（x0）+f'（x0）（x1﹣x0），两边同乘以λ1得λ1f（x1）≤λ1f（x0）+λ1f'（x0）（x1﹣x0），λ2f（x2）≤λ2f（x0）+λ2f'（x0）（x2﹣x0），…λn f（x n）≤λn f（x0）+λn f'（x0）（x n﹣x0），上式各式相加，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤（λ1+λ2+…+λn）f （x0）+f'（x0）•[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）]，因为λ1+λ2+…+λn=1，设x0=λ1x1+λ2x2+…+λn x n，则λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）=0，由此，λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n））等号当且仅当在x1=x2=…=x n时成立，（3）证明：记公比为q，q＞0，则f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，取x1′=a，，λ=∈（0，1），则λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，又∵λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）=λf（a）+（1﹣λ）f（aq2），=λf（a）+（1﹣λ）f{f[f（a）]}，=λaq+（1﹣λ）aq3，=aq3+λaq﹣λaq3，=aq3+λaq（1﹣q2），=aq3+aq（1﹣q2），=aq2，即aq3+λaq（1﹣q2）=aq2=f[λx1+（1﹣λ）x2]，在（2）中取n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，当且仅当x1=x2时成立，即a=aq2⇒q=1，∴f（a）=a．。

2015-2016学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．2．某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=75．解：设出样本容量为n，∵由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，∴=，∴n=75，3．在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率是．解：数集（2，4]的长度为2，数集[0，4]的长度为4，∴在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率为=，4．根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为5．解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x≥0，y=5．5．若f（x）=5sinx，则=0．解：∵f（x）=5sinx，∴f′（x）=5cosx，∴则′=0．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率．解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．7．如上图，该程序运行后输出的y值为32．解：模拟该程序的运行过程，如下；n=1，n≤3，n=1+2=3，y=23=8；n≤3，n=3+2=5，y=25=32；n＞3，终止循环，输出y=32．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为12πcm3．解：圆锥的高h==4，∴圆锥的体积V=×π×32×4=12π．9．若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=7．解：双曲线的a=2，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即有|3﹣|PF2||=4，解得|PF2|=7（﹣1舍去）．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中真命题的序号有①④．（写出所有正确命题的序号）解：由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在①中，若α∥β，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β，故①正确；在②中，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，故③错误；在④中，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．11．已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为y=±x．解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣，双曲线=1的左准线为x=﹣，由题意可得=﹣=﹣，解得a=±2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=4，即有渐近线的方程为y=±x．12．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则不等式f（x）≥f（2016）e x﹣2016的解集是[2016，+∞）．解：由f（x）≥f（2016）e x﹣2016，得：≥，令g（x）=，g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，∴g（x）在R递增，∴x≥2016，13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=﹣4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为．解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，=4，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的方程为=1，联立，得7x2+8x﹣8=0，设直线y=x+1与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为：|AB|==．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=ae x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值，则ab 的最大值等于2．解：f′（x）=ae x+b2﹣3；∵f（x）在x=0处取得极值；∴f′（0）=a+b2﹣3=0；∴a=3﹣b2；∴ab=（3﹣b2）b=﹣b3+3b；∵a＞0，b＞0；∴3﹣b2＞0；∴；设g（b）=﹣b3+3b，g′（b）=﹣3b2+3=3（1﹣b2）；∴b∈（0，1）时，g′（b）＞0，b时，g′（b）＜0；∴b=1时，g（b）取最大值2；即ab的最大值为2．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[50，100]之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．解：（1）由题（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，∴20a×10=1，∴a=0.005，（2）该班级的平均分为=76.5；（3）成绩为优秀等级有16人，∴从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率为=0.416．如图，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AB⊥AD．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面ACD．证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．…（7分）（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又AB⊥CD，AB⊥AD，故MN⊥AD，MN⊥CD．…（9分）因为AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ACD，所以MN⊥平面ACD又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面ACD．…（14分）17．已知命题p：“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题r：t＜m＜t+1（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．解：（1）若p为真：△=4﹣4m≥0 解得m≤1若q为真：则解得﹣1＜m＜2若“p且q”是真命题，则解得﹣1＜m≤1（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（﹣1，2）即（等号不同时成立）解得﹣1≤t≤118．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为22，求它在该区间上的最小值．解：（1）f（x）的导数为f′（x）=﹣3x2+6x+9，可得切线的斜率为f′（2）=9，切点为（2，20），所以f（x）在x=2处的切线方程为y﹣20=9（x﹣2），即9x﹣y+2=0．（2）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=3（舍）或x=﹣1，当x∈（﹣2，﹣1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（﹣2，﹣1）时单调递减，当x∈（﹣1，2）时f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递增，又f（﹣2）=2+a，f（2）=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=22，解得a=0．故f（x）=﹣x3+3x2+9x，因此f（﹣1）=﹣5，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣5．19．椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为．（4分）证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意P（1，0），Q（2，0），∵．∴，若y1=y2，则k1=k2=0，结论成立．（此处不交代扣1分）若y1≠y2，则x1y2+x2y1=2（y1+y2），∴．（10分）解：（3）当直线l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点，如果存在定点Q满足条件，则有，即QC=QD，∴Q在x轴上，可设Q点的坐标为（x0，0）．当直线l与y轴垂直时，设直线与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为，由，有，解得．∴若存在不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为．下面证明：对任意直线l，均有．记直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意，∵．∴若y1=y2，则k1=k2=0．∴．点B于x轴对称的点B'的坐标为（﹣x2，y2）．∴k Q A=k QB′，∴Q，A，B'三点共线．∴．∴对任意直线l，均有．（16分）20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞kg（x），求实数k的取值范围．解：（1）函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x ＞0），由f′（x）＜0，可得x＞，即有f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）由题意可得﹣a=lnx﹣﹣（x﹣1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx﹣﹣（x﹣1），h′（x）=﹣（x﹣1）﹣1=，即有h（x）在（，1）递增，（1，e）递减，且h（1）=0，h（）=﹣（1﹣）2﹣＞h（e）=2﹣e﹣（e﹣1）2，由题意可得﹣（1﹣）2﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜（1﹣）2+；（3）由题意可得当x∈（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x﹣1）的上方，由f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x＞0），可得f（x）的增区间为（1，）减区间为（，+∞）；直线y=k（x﹣1）为过定点（1，0）的直线．画出它们的图象，当直线与曲线y=f（x）相切时，切点为（1，0），可得k=f′（1）=1﹣（1﹣1）=1，通过直线绕着定点（1，0）旋转，可得k的取值范围是k≤1．。

一、填空题（题型注释）1、设集合．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）2、不等式的解集为________．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）3、．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）4、在等差数列中，若，则= ．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）5、经过两点M（-2，m），N（1,4）的直线MN的倾斜角等于45°，则m= ．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）6、若直线．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）7、下列命题：①分别在两个平面内的两条直线是异面直线；②和两条异面直线都垂直的直线有且仅有一条；③和两条异面直线都相交的两条直线异面或相交；④若则．其中真命题的个数是．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）8、若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x+8y+25-m2=0相外离,则实数m的取值范围是________．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）9、一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）10、在空间四边形所成的角为．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）11、设数列的前项和，且成等差数列，则．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）12、设,则的最大值为________．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）13、若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）14、若实数满足，则的最小值是．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）二、解答题（题型注释）15、在中，角的对边分别为，且．（1）求的值；（2）若求的面积．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）16、已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：（a－1）x＋y＋b＝0．（）求分别满足下列条件的a，b的值．（1）直线l1过点（－3，－1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）17、和的中点，求：（1）（2）来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）18、如图，四边形为矩形，，，．（1）；（2）．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）19、已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程；（3）设点在圆上，试问使△的面积等于8的点共有几个？证明你的结论．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）20、已知数列{}满足是数列{}的前n项和．（1）若数列{}为等差数列：①求数列{}的通项公式；②若数列满足，数列满足，试比较数列的前n项和与的前n项和的大小；（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围．来源：【百强校】2015-2016学年江苏省扬州中学高二上学期开学考数学试卷（带解析）参考答案1、2、3、4、85、16、7、18、9、或10、45°11、12、13、914、．15、（1）；（2）2．16、（1）；（2）或．17、（1）；（2）．18、证明见解析．19、（1）；（2）或；（3）两个．20、（1）①；②当时，；当时，；当时，（2）．【解析】1、试题分析：由已知，所以．考点：集合的运算．2、试题分析：由得，，所以．考点：解指数不等式．3、试题分析：．考点：两角和与差的正弦（余弦）公式．4、试题分析：由题意，，所以．考点：等差数列的性质．5、试题分析：由题意，解得．考点：直线的斜率．6、试题分析：当直线不在平面时，，也可能有直线在平面上，不可能相交．考点：直线与平面的位置关系．7、试题分析：分别在两个平面内的两条直线也可能相交或平行，①错；和两条异面直线都垂直的直线有无数条，②错；和两条异面直线都相交的两条直线异面或相交，不可能平行，③正确；若与是异面直线，gn 也是异面直线，则与可能相交，可能平行，可能异面④错．正确的命题只有1个．考点：两条直线的位置关系．8、试题分析：的标准方程为，圆心为，半径为，由题意，又，所以．考点：两圆位置关系．9、试题分析：根据反射定律，反射光线就是过点所作圆的切线，设其斜率为，反射光线所在直线方程为，即，所以，解得．考点：直线与圆的位置关系．10、试题分析：如图，取中点，连接，则，，是与所成的，因为所以，，所以，即与所成的角为．考点：异面直线所成的角．11、试题分析：因为，所以，所以，所以，因为成等差数列，则，即，，所以是等比数列，．考点：等比数列的通项公式．12、试题分析：，当且仅当，即时等号成立，故最大值为．考点：基本不等式．【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．三是运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤，≥（a，b>0）逆用就是ab≤2（a，b>0）等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．13、试题分析：由题意，又，所以，不妨设，则成等差数列，成等比数列，所以，解得，所以．考点：等差数列与等比数列的性质．【名师点睛】本题通过一元二次方程根与系数的关系把等差数列与等比数列联系起来，由等差数列的性质知三个数（不相等）成等差数列，这三个一定是按从小到大（或从小到大）的顺序排列的，由等比数列的性质知，等比数列中奇数项一定同号，偶数项也一定同号．由此我们把适当排列可得等差数列，也可得等比数列，从而得的值．14、试题分析：表示圆及其内部，易得直线与圆相离，且，当时，，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数为，则可知当，时，，当时，，可行域为大的弓形内部，目标函数为，同理可知当，时，，综上所述，的最小值为3．考点：1．线性规划的运用；2．分类讨论的数学思想；3．直线与圆的位置关系【名师点睛】本题主要考查了以线性规划为背景的运用，属于中档题根据可行域是圆及其内部的特点，结合直线与圆的位置关系的判定，首先可以将目标函数的两个绝对值号中去掉一个，再利用分类讨论的数学思想去掉其中一个绝对值号，利用线性规划知识求解，理科试卷的线性规划问题基本考查含参的线性规划问题或者是利用线性规划的知识解决一些非线性的目标函数或可行域的问题，常需考查目标函数或可行域的几何意义求解，在复习时应予以关注．15、试题分析：（1）观察已知式，应用三角形的性质知，这样，条件就变为两角和的余弦公式形式，从而求得，再同角关系式得；（2）只要用余弦定理求得边，就可得三角形的面积．试题解析：（1）由cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=，得cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=．则cos（A-B+B）=，即cosA=，又0<A<π,则sinA=．（2）根据余弦定理，有，解得c=1或c=-7（负值舍去）．∴考点：两角和的余弦公式，余弦定理，三角形的面积．16、试题分析：直线与直线垂直的充要条件是，直线与直线平行的充要条件是且（或）．试题解析：（1）∵，∴，①又点（－3，－1）在上，∴－3a＋b＋4＝0．②由①②得a＝2，b＝2．（2）∵，∴a＋b（a－1）＝0，∴b＝，故的方程可分别表示为：（a－1）x＋y＋＝0，（a－1）x＋y＋＝0，又原点到的距离相等．∴4＝，∴a＝2或a＝，∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2．考点：两条直线的垂直与平行，点到直线的距离．【名师点睛】（1）利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系，注意斜率不存在的情况不能忽略．（2）利用两直线一般式方程的系数判定平行或垂直，可有效避免分类讨论．17、试题分析：（1）求异面直线所成的角，关键是要作出这个角，（1）由，，知就是要求的角；（2），作交延长线于，则，就是所求的角（或补角）．试题解析：AD1==a=BC1A1B== aA1C1==2 a∴cos∠A1BC1==∴sin∠A1BC1=（2）延长D1A1到F使A1F=D1A1,则AF∥DA1∥CB1．所求角为AF与AC1的夹角．AF=B1C= aAC1==3aFC1= acos∠FAC1=∴AC1与B1C所成角的余弦值为．考点：异面直线所成的角．18、试题分析：（1）立体几何中要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑到平面（因为），故的，又有平面，从而有，于是有平面；（2）要证线面平行，只要证线线平行，由于是中点，因此我们取中点，可证是平行四边形，从而有，由此可得线面平行．试题解析：（1）证明：，∴，则又∵，则∴又∴（2）取DE中点N，连结AN,FN,FM,∵由N、F为ED、CE的中点，又NFMA是平行四边形考点：线面垂直与线面平行．【名师点睛】1．判断或证明线面平行的常用方法:（1）利用线面平行的定义（无公共点）;（2）利用线面平行的判定定理（a⊂α,b⊂α,a∥b⇒a∥α）;（3）利用面面平行的性质定理（α∥β,a⊂α⇒a∥β）;（4）利用面面平行的性质（α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β）．2．证明直线和平面垂直的常用方法:（1）利用判定定理;（2）利用面面垂直的性质定理;（3）利用结论:直线a∥直线b,a⊥平面α⇒b⊥α;（4）利用结论:直线a⊥直线α,α∥平面β⇒a⊥β．19、试题分析：（1）求出中点坐标，且的斜率与的斜率互为负倒数，可得方程；（2）要求圆的方程，关键是求出圆心坐标，（半径已知是），可设圆心为，由圆心在直线上，且半径为联立方程组可解得；（3）由三角形面积为8，可得边上的高为，即到的距离，下面只要判断圆上有几个点到直线的距离为，也即判断到直线距离为的两条平行线与圆的位置关系．试题解析：⑴直线的斜率，中点坐标为，∴直线方程为⑵设圆心，则由在上得：①又直径,, ②由①②解得或∴圆心或．∴圆的方程为或．（3），∴当面积为8时，点到直线的距离为．又圆心到直线的距离为，圆的半径，且，∴圆上共有两个点使面积为8．考点：圆的标准方程，圆的性质，直线与圆的位置关系．20、试题分析：（1）①只要由成等差数列，求出，公差即可；②由①，这样，，因此，要比较大小，只要作差，有，其中，讨论的正负即得结论；（2），已知的等式，一般处理方法是，由知，两式作差，得，所以，再作差得，这说明数列中，，，分别成等差数列，故要使数列递增，则要求且，由此可得的范围．试题解析：（1）①因为，所以，即，又，所以，因为数列是等差数列，所以，即，解得，则．所以．②因为，所以，其前项和．又因为，所以其前项和，所以．当时，；当时，；当时，．（2）由知，两式作差，得，所以，再作差得．所以当时，，当时，，当时，，当时，．因为对任意的恒成立，所以且．所以解得．故实数的取值范围是．考点：等差数列的通项公式，数列的和，数列的单调性．。

江苏省扬州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知平面∥平面，点P∈平面,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10的点的轨迹是（）A . 一个圆B . 四个点C . 两条直线D . 两个点2. （2分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·广东期末) 直线的倾斜角是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·湖南期中) 设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（）A . c⊥α，若c⊥β，则α∥βB . b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥bC . b⊂β，若b⊥α则β⊥αD . b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c5. （2分）自点 A（﹣1，4）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线长为（）A .B . 3C .D . 57. （2分） (2017高三上·山东开学考) “a＞4”是“方程x2+ax+a=0有两个负实数根”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于（）A .B .C .9. （2分）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·温州期末) 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ②和④11. （2分） (2017高一下·定州期末) 曲线y=1+ 与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A .C .D .12. （2分）某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）228A . 12万元B . 16万元C . 17万元D . 18万元二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，则直线l1⊥l2的概率为________14. （1分） (2019高二上·长治月考) 已知不等式恒成立，则的取值范围是________．15. （1分） (2019高二上·长春月考) 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上．若，，，，则球的体积为________．16. （1分） (2017高一上·滑县期末) 在空间直角坐标系中，设A（0，1，2），B（1，2，3），则|AB|=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2017高一上·福州期末) 如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点．将△ADE 沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE．（1）求证：平面BDE⊥平面ADE（2）求三棱锥 C﹣BDE的体积18. （10分） (2016高二上·成都期中) 已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0（1）若l1⊥l2，求m的值，；（2）若l1∥l2，且它们的距离为，求m、n的值．19. （10分） (2015高二上·黄石期末) 已知圆A：（x+2）2+y2=1，圆B：（x﹣2）2+y2=49，动圆P与圆A，圆B均相切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）已知点N（2，），作射线AN，与“P点轨迹”交于另一点M，求△MNB的周长．20. （5分） (2018高三上·大连期末) 已知直角梯形ABCD中，是边长为2的等边三角形，AB=5．沿CE将折起，使B至处，且；然后再将沿DE折起，使A至处，且面面CDE，和在面CDE的同侧．(Ⅰ) 求证：平面CDE；(Ⅱ) 求平面与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值．21. （5分） (2016高三上·嘉兴期末) 如图，已知矩形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，，为线段的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成的角的余弦值．22. （10分） (2016高一下·鹤壁期末) 已知长为2的线段AB中点为C，当线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上运动时，C点的轨迹为曲线C1；（1）求曲线C1的方程；（2）直线 ax+by=1与曲线C1相交于C、D两点（a，b是实数），且△COD是直角三角形（O是坐标原点），求点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

2015-2016学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题：∀x∈R，cos x＜2的否定是．2．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是命题（填“真”、“假”之一）．3．（5分）已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2﹣y2=2的左准线重合，则p的值为．4．（5分）已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（选填“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”中的一种）．5．（5分）若一个长方体水槽的长、宽、高分别为3、1、2，则它的外接球的表面积为．6．（5分）若“x2+2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为．7．（5分）下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中所有真命题的序号是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若∠MOB=60°，则该椭圆的离心率e=．9．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0）的一条渐近线的倾斜角为150°，则b的值为．10．（5分）已知棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M分别为线段BD1、B1C1上的点，若=2，则三棱锥M﹣PBC的体积为．11．（5分）圆心在抛物线x2=2y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．12．（5分）有下面四个判断：①命题“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；③在△ABC中，“A ＞30o”是“sinA＞”的充分不必要条件；④设向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），则“∥”是“tanθ=”成立的必要不充分条件．其中所有错误的判断有．（填序号）13．（5分）已知椭圆的中心、左焦点、左顶点、左准线与x 轴的交点依次为O，F，G，H，则取得最大值时a的值为．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，设线段AB的中点为M，若2•+2＜0，则该椭圆离心率的取值范围为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知命题p：双曲线=1的离心率，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：AD⊥平面PBC；（2）若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，求的值．17．（15分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B={y|y=x2﹣4x+a}，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}．命题p：A∩B≠Ø；命题q：A∩C=A．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p且q为真命题，求实数a的取值范围．18．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=．（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；（2）如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题：∀x∈R，cos x＜2的否定是∃x∈R，cosx≥2．【解答】解：∵命题“∀x∈R，cosx＜2”是全称命题．∴命题的否定是存在x值，使cosx＜2不成立，即“∃x∈R，cosx≥2”．故答案为：∃x∈R，cos x≥2．2．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是真命题（填“真”、“假”之一）．【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2≥4”∵a＞2∴a2＞4∴a2≥4∴否命题为真命题故答案为：真3．（5分）已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2﹣y2=2的左准线重合，则p的值为2．【解答】解：抛物线y2=2px的准线为：x=，双曲线x2﹣y2=2的左准线为：x==﹣，由题意可知，p=2．故答案为：2．4．（5分）已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件（选填“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”中的一种）．【解答】解：∵α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，∴“m⊥β，根据判定定理得出：α⊥β”∵α⊥β”，反之运用平面的垂直的定义得出：m不一定垂直β∴根据充分必要条件的定义得出：“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故答案为：充分不必要条件5．（5分）若一个长方体水槽的长、宽、高分别为3、1、2，则它的外接球的表面积为36π．【解答】解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r==6，所以这个球的表面积：4πr2=36π．故答案为：36π．6．（5分）若“x2+2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为﹣3．【解答】解；∵“x2+2x﹣3＞0”∴x＜﹣3或x＞1，∵“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件∴（﹣∞，a）⊊（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）∴a≤﹣3故答案为：﹣37．（5分）下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中所有真命题的序号是②③④．【解答】解：在①中，过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故①错误；在②中，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故②正确；在③中，如果两个平行平面和第三个平面相交，那么由平面与平面平行的性质定理知所得的两条交线平行，故③正确；在④中，如果两个平面互相垂直，那么由平面与平面垂直的性质定理知：经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，故④正确．故答案为：②③④．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若∠MOB=60°，则该椭圆的离心率e=．【解答】解：如图所示，在Rt△OAB中，M为线段AB的中点，∠MOB=60°，∴△OMB为等边三角形，∴∠OBM=60°．∴c=b，∴c2=3b2=3（a2﹣c2），可得，可得=．故答案为：．9．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0）的一条渐近线的倾斜角为150°，则b的值为．【解答】解：双曲线﹣=1（b＞0）的一条渐近线的倾斜角为150°，所以=tan30°=，所以b=．故答案为．10．（5分）已知棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M分别为线段BD1、B1C1上的点，若=2，则三棱锥M﹣PBC的体积为24．【解答】解：∵棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M分别为线段BD1，B1C1上的点，BP=2PD1，∵几何体是正方体，∴B1M∥BC，∴M到面PBC的距离与B1到面PBC的距离相等，三棱锥M﹣PBC的体积转化为三棱锥P﹣B1BC的体积，正方体的棱长为6，BP=2PD1，P到平面B1BC的距离为4，==××6×6×4=24．∴V M﹣PBC故答案为：24．11．（5分）圆心在抛物线x2=2y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．【解答】解：由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切，∴|t|=t2+⇒t=±1．∴圆的标准方程为．故答案为：．12．（5分）有下面四个判断：①命题“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；③在△ABC中，“A ＞30o”是“sinA＞”的充分不必要条件；④设向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），则“∥”是“tanθ=”成立的必要不充分条件．其中所有错误的判断有①②③．（填序号）【解答】解：：①命题“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：命题“设a、b∈R，若a=3且b=3，则a+b=6”是一个真命题，故原命题也是真命题，故①错误；②若“p或q”为真命题，则p、q存在真命题，但不一定均为真命题，故②错误；③在△ABC中，“sinA＞”⇔“30o＜A＜150o”，故“A＞30o”是“sinA＞”的必要不充分条件，故③错误；④设向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），则“∥”⇌“sin2θ﹣cos2θ=0”⇌“tanθ=，或tanθ不存在”，故“∥”是“tanθ=”成立的必要不充分条件．故④正确；故答案为：①②③13．（5分）已知椭圆的中心、左焦点、左顶点、左准线与x 轴的交点依次为O，F，G，H，则取得最大值时a的值为2．【解答】解：∵椭圆方程为，∴椭圆的左焦点是F（﹣c，0），左顶点是G（﹣a，0），左准线方程为x=，其中c2=a2﹣3．由此可得H（，0），|FG|=a﹣c，|OH|=，∴===﹣，∵∈（0，1），∴当且仅当=时，取得最大值为，此时，解得a=2．故答案为：2．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，设线段AB的中点为M，若2•+2＜0，则该椭圆离心率的取值范围为（﹣1，1）．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则M（﹣，），=（﹣，﹣），=（﹣a，﹣b），∵2•+2＜0，•+＜0∴（﹣a，﹣b）（c+，﹣）+b2+c2＜0，∴﹣ac﹣++a2＜0，整理得：c2+2ac﹣2a2＞0，由椭圆的离心率e=，两边同除以a2，∴e2+2e﹣2＞0∴e＜﹣1﹣或e＞﹣1，∵0＜e＜1，∴﹣1＜e＜1，故答案为：（﹣1，1）．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知命题p：双曲线=1的离心率，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵双曲线=1的离心率，∴a2=5，b2=m，c2=5+m，∴＜＜2，解得：2.5＜m＜5故p：2.5＜m＜5，∵方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：3＜m＜9，故q：3＜m＜9，∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真时q为假，即2.5＜m≤3，p假时q真，即5≤m＜9，综上：2.5＜m≤3或5≤m＜9．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：AD⊥平面PBC；（2）若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，求的值．【解答】解：（1）∵BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD．∵PA=AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB∵PB、BC是平面PBC内的相交直线，∴AD⊥平面PBC；（2）连结DC，交PE于点G，连结FG、DE∵AD∥平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，∴AD∥FG．∵D、E分别是PB、BC的中点，∴DE为△BPC的中位线，因此，△DEG∽△CPG，可得，∴=，即的值为．17．（15分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B={y|y=x2﹣4x+a}，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}．命题p：A∩B≠Ø；命题q：A∩C=A．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p且q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={y|y=x2﹣4x+a}，∴A=[1，2]，B=[a﹣4，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分若p为假命题，则A∩B=Φ，故a﹣4＞2，即a＞6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分（2）命题p为真，则a≤6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分命题q为真，即转化为当x∈[1，2]时，f（x）=x2﹣ax﹣4≤0恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（解法1）则解得a≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分{（解法2）当x∈[1，2]时，a≥x﹣恒成立，而x﹣在[1，2]上单调递增，故a≥（x﹣）max=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分}故实数a的取值范围是[0，6]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣15分．18．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=．（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；（2）如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD．【解答】证明：（1）在，∴A1C=1，在△A 1BC中，BC=1，A1C=1，，∴，∴∠A1CB=90°，∴BC ⊥A1C，又AA1⊥BC，AA1∩A1C=A1，∴BC⊥平面ACC1A1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ACC1A1．（2）连接A1C交AC1于O，连接DO，则由D为AB中点，O为AC1中点得，OD∥BC1，∵OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，∴右焦点F到直线l的距离为，∴a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，∴，将此代入上式解得a=2，c=1，∴b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，联立方程组，解得或（舍），即，∴直线l的斜率．方法二：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，，∴，，当B，F，P三点共线时有，k BP=k BF，即，解得或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得（6分）∵x1=﹣，∴，∴，∴（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）（12分）则由，从而得m=0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分．）1.已知命题"0,:"<∈∀x e R x p ，则p ⌝是 ．【答案】,0x x R e ∃∈≥【解析】试题分析：全称命题的否定，改成存在性命题，所以答案应填：,0xx R e ∃∈≥．考点：命题的否定．2.命题 “若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为 命题．（填“真”、“假”）【答案】假考点：逆命题．3．若椭圆1522=+my x 的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m 的值等于______________． 【答案】4【解析】试题分析：焦点在x 轴上，1c =，所以51m -=，即4m =，所以答案应填：4．考点：椭圆的标准方程．4．“12<x ”是“10<<x ”成立的 条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分【解析】试题分析：12<x 成立，推不出10<<x ；10<<x 成立，能推出12<x ，所以答案应填：必要不充分． 考点：充分条件、必要条件．5．在正方体1111D C B A ABCD -中，过B C A 11的平面与底面ABCD 的交线为l ，则直线l 与11C A 的位置关系为 .(填“平行”或“相交”或“异面”)【答案】平行考点：两个平面平行的性质定理．6．与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为______________． 【答案】221312x y -= 【解析】 试题分析：与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，设所求双曲线方程为224y x λ-=，代入点（2，2），得：3λ=，所以答案应填：221312x y -=． 考点：双曲线的几何性质．7．设l ，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是______________． ①．若l ⊥m ，m ⊥α，则l ⊥α或 l ∥α ②．若l ⊥γ，α⊥γ，则l ∥α或 l ⊂α ③．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或 l 与m 相交 ④．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或l ⊂β【答案】②【解析】试题分析：若,l γαγ⊥⊥，考虑l 与α两种情形，l α⊂时，条件都满足，l α⊄时，推出//l γ正确，所以答案应填：②．考点：1、直线与面垂直性质；2、面与面垂直性质；3、直线与面平行判定．【方法点晴】本题主要考查的是空间线、面的位置关系，属于中档题．解题时一定要依据平行垂直的判定定理和性质定理，考虑全面，特别是特殊情形， 否则很容易出现错误．解决空间线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的高为______________．【答案】3考点：1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．9．已知点A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，F 为椭圆的一个焦点，且x AF ⊥轴， =AF c (c 为椭圆的半焦距)，则椭圆的离心率是__________． 【答案】21-5 【解析】 试题分析：由题意不妨设(,)A c c ，代入椭圆方程得：22221c c a b +=，解得2e =e =，所以答案应填：21-5． 考点：1、椭圆的离心率；2、椭圆中222a b c =+．10．若1F ，2F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且6421=⋅PF PF ，则 21PF F ∠=______________． 【答案】3π 【解析】 试题分析：由双曲线定义知12-6PF PF =±，在12PF F ∆中，由余弦定理得：222121212121212+100(-)2100361281001cos 221282PF PF PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⋅-+-∠====⋅⋅，123F PF π∠=，所以答案应填：3π．考点：1、椭圆的定义；2椭圆的几何性质；3、余弦定理．【方法点晴】本题考查双曲线的定义与余弦定理的结合，属于中档题．首先应用双曲线定义12-6PF PF =±，再根据三角形中余弦定理，2212+PF PF 需要处理成定义中12-PF PF 的形式，在椭圆中也有类似应用，需要换成12PF PF +的形式，这是圆锥曲线中焦点三角形的常用处理方法．11．点),(y x P 为椭圆x 29＋y 2＝1上的任意一点，则y x 3+的最大值为______________． 【答案】23考点：1、均值不等式；2、不等式等号成立的条件．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米，滴管内液体忽略不计. 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下 滴．【答案】75【解析】试题分析：设每分钟滴下x 滴，则共有156x 滴，每滴体积344033ππ=，利用体积相等，223404923=1563x ππ⨯+⨯⨯⨯（）10，解得75x =，所以答案应填：75． 考点：1、空间组合体的体积2、球的体积．13．在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝3，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是______________．【答案】π9考点：1、正三棱锥性质；2、线面垂直；3、线线垂直；4、球的内接几何体、5、球表面积．【方法点晴】本题考查正三棱锥中线面，线线垂直的性质及球的有关知识，属于难题．首先应推出正三棱锥对棱垂直，再根据MN ⊥AM ，得到三条侧棱互相垂直，所以构造以三条侧棱为长宽高的正方体，由球的知识知，其体对角线就是球直径，从而求解．构造球内接长方体、正方体是常见处理球内接问题的方法．14．如图所示，,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且||||BF CF =，则该双曲线的离心率是______________．【答案】210 【解析】 试题分析：由题意可得在直角三角形F AB 中，F O 为斜边AB 上的中线，即有22F 2c AB =OA =O =，设(),m n A ，则222m n c +=，又22221m n a b -=，解得：m =，2b n c =，即2)b A c ，由双曲线对称性知：2B()b c-,又F(c,0)，设C(x,y)，根据BF AC ⊥且||||BF CF =有2222221(()()y x c b c x c y c ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=-+⎪⎩，解得：22c b x c y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入代入双曲线方程，可得：222222222()()1c b c c a c b+-=223)b a a -=，再由222,c b a c e a =-=可得：222(21)(2)1e e --=，解得e =考点：1、直角三角形的性质；2双曲线的对称性；3；双曲线的离心率；4、双曲线的方程.【方法点晴】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率的求法，属于难题．注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意双曲线的对称性， 运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A 的坐标，由对称性得B 的坐标，由于F C B ⊥A 且F CF B =，求得C 的坐标，代入双曲线方程，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，化简整理成离心率e 的方程，求双曲线的离心率．二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.(本小题满分14分)设命题:{|}p a y y x R ∈=∈，命题:q 关于x 的方程20x x a +-=有实根．（1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围．【答案】（1）[0,3] ；（2）1[,0)(3,)4-⋃+∞．当p真q假时有0314aa≤≤⎧⎪⎨<-⎪⎩a无解；当p假q真时有0314a aa<>⎧⎪⎨≥-⎪⎩或1304a a∴>-≤<或．∴实数a的取值范围是1[,0)(3,)4-⋃+∞．考点：1、复合命题的真假性；2、二次函数求值域； 3、二次方程根的判定．16.(本小题满分14分) 如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，A D与平面CDE所成角为︒30．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D-ACE的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）3．331322131=⋅⋅⋅==∴--CDE A ACE D V V 考点：1、线面平行；2、线面垂直；3、线线垂直；4、三棱锥体积．17.(本小题满分14分) 已知命题p ：点(1,3)M 不在圆22()()16x m y m ++-=的内部，命题q ： “曲线2212:128x y C m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:s “曲线222:11x y C m t m t +=---表示双 曲线”．（1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围；（2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．【答案】（1）24-<<-m 或4>m ；（2）34-≤≤-t 或4≥t ．考点：1、复合命题的真假；2、充分条件、必要条件；3、不等式组．18.(本小题满分16分) 已知椭圆C :2222 1 (0)x y a b a b+=>>两个焦点之间的距离为2，且其离心率为. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满足=2BA BF ⋅， 求ABF ∆外接圆的方程.【答案】(１)1222=+y x ；(２)122=+y x 或95)32()32(22=-+-y x .考点：1、椭圆的标准方程；2、向量的数量积；3、圆的标准方程；4、三角形的外接圆．19.(本小题满分16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ＝2，侧面PBC ⊥底面ABCD ，点M 在AB 上，且2:1:=MB AM ，E 为PB 的中点．（1）求证：CE ∥平面ADP ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PAB ；（3）棱AP 上是否存在一点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，若存在，求出NPAN 的值；若不存在，请说明理 由．【答案】(1)证明见解析； (2) 证明见解析；(3) 存在，74 NP AN ．考点：1、线面平行；2、面面垂直；3、线面垂直；4、平行线分线段成比例．【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、线面平行、面面垂直和线线平行及平行线分线段成比例，属于难题．解题时一定要注意平面几何知识在立体几何中的应用，本题第三步特别考查了平行线分线段成比例及其逆定理，要注意使用；线面平行一般都要转化成找线线平行，面面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线及两条平行直线中一条和面垂直．20.(本小题满分16分) 如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆E ：22x a ＋22y b ＝1()0>>b a 的离心率为22，直线l ：y =21x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB =54，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．（1）求a ，b 的值；（2）求证：直线MN 的斜率为定值．【答案】（1）a =b =（2）证明见解析．（2）由（1）知，椭圆E 的方程为1122422=+y x ，从而A （4，2），B （﹣4，﹣2）； ①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C （x 0，y 0），显然k 1≠k 2；21162816442422020202000001-=--=--=++⋅--=⋅x x x y x y x y k k CB 所以k CB =﹣； 同理k DB =﹣， 于是直线AD 的方程为y ﹣2=k 2（x ﹣4），直线BC 的方程为y+2=﹣（x+4）； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=+--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+∴1228412488)4(2)4(212212212112121k k k k k y k k k k k x x k y x k y 从而点N 的坐标为)12284,12488(2122121121++--+--k k k k k k k k k k ；考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、分类讨论；4、直线的斜率．【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系及直线斜率，直线相交的问题，属于难题．解决第二问时，涉及直线较多，采用设两条直线斜率，表示另外两条的方法，控制引入未知数个数，然后利用直线相交，表示交点坐标，需要较强的类比推理能力及运算能力，还要注意斜率是否存在，要有较强的分类讨论意识．：。