专题突破秘籍功能关系在电学中的应用

第一篇专题知能突破专题二功能关系的应用第2讲功能关系在电学中的应用1．如图2－2－9所示，空间中有一静电场，在x轴上场强E随位置x的变化规律为E(x)＝－kx，其中k为大于0的常数，单位为V/m2，x的单位为m.有一带正电的试探电荷在x＝0.4 m处由静止释放．若不考虑其他力的作用．则试探电荷()A．释放后将一直沿x轴正方向运动B．释放后将一直沿x轴负方向运动C．在x＝0.4 m处的电势能最大D．在x＝0.4 m处的加速度最小解析：本题考查电场力．由题意中电场强度变化规律可知，正电荷在x＝0.4 m处，由静止释放将沿x轴负方向加速运动，根据a ＝qEm可知，加速度减小．当到达O点场强为零，加速度为零，速度最大；越过O点粒子减速运动直到停止然后反向运动，故A 、B、D选项错误；根据电场力做功与电势能的关系可知，C选项正确．答案：C2．a、b、c、d 四个带电液滴在如图2－2－10所示的匀强电场中，分别水平向左、水平向右、竖直向上、竖直向下做匀速直线运动，可知()A．a、b为同种电荷，c、d为异种电荷B．a、b的电势能、机械能均不变C．c的电势能减少，机械能增加D．d的电势能减少，机械能减少解析：c、d受力平衡电场力均向上，为同种电荷，A错；ab在同一高度同一等势面上运动，电场力和重力不做功，电势能不变机械能不变，B对；c重力做负功重力势能增加电势能减少，d重力做正功重力势能减少电势能增加，C对，D错；选B、C，本题容易．答案：BC3．如图2－2－11所示，光滑绝缘斜面的底端固定着一个带正电的小物块P，将另一个带电小物块Q在斜面的某位置由静止释放，它将沿`斜面向上运动．设斜面足够长，则在Q向上运动过程中()A．物块Q的动能一直增大B．物块P、Q之间的电势能一直增大C．物块P、Q的重力势能和电势能之和一直增大D．物块Q的机械能一直增大解析：本题考查电势能，机械能等知识．电场力做正功电势能减少，电场力做负功电势能增加，由题意知，电场力对Q做了正功，故Q电势能减少，根据除重力外(或弹力)，其余外力做正功，则机械能增加(反之减少)，可知D选项正确．答案：D4.如图2－2－12所示，甲、乙是两个完全相同的闭合正方形导线线框，a、b是边界范围、磁感应强度大小和方向都相同的两个匀强磁场区域，只是a区域到地面的高度比b高一些．甲、乙线框分别从磁场区域的正上方相同高度处同时由静止释放，穿过磁场后落到地面．下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直．以下说法正确的是()A．落地时甲框的速度比乙框小B．落地时甲框的速度比乙框大C．落地时甲乙两框速度相同D．穿过磁场的过程中甲、乙线框中产生热量相同图2－2－9图2－2－10图2－2－11图2－2－12解析：本题考查动能定理．由图可知乙线框进入磁场时的速度比甲线框进入磁场时速度大，分析可知安培力对乙做的负功多，产生的热量多，故D选项错误；重力做的功一部分转化为导线框的动能，一部分转化为导线框穿过磁场产生的热量，根据动能定理可知，甲落地速度比乙落地速度大，故B选项正确．答案：B5. (改编题)在粗糙的斜面上固定一点电荷Q，如图2－2－13所示．在M点无初速度释放带有恒定电荷的小物块，小物块在Q的电场中沿斜面运动到N点静止．则从M到N的过程中()A．点电荷Q一定带正电B．小物块所受的电场力可能增大C．电场力可能对小物块做功为零D．小物块电势能变化量的大小一定小于克服摩擦力做的功解析：小物块在M点无初速度释放沿斜面向N运动，运动到N点静止，说明小物块受到点电荷的排斥力作用，小物块与点电荷带同种电荷，但带电种类未知，A错误；从M到N小物块与点电荷的距离增大，小物块受到的电场力减小，B错误；由于小物块受到排斥力作用，电场力对小物块做正功，C错误；由动能定理可知，小物块电势能的减少量与重力势能的减少量之和等于克服摩擦力做的功，D正确.答案：D6.如图2－2－14所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F 将小球向下压至某位置静止．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上述过程中()A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒B．小球的重力势能增加－W1C．小球的机械能增加W1＋12m v2D．小球的电势能减少W2解析：本题考查势能大小和机械能守恒．由于电场力做正功，故小球与弹簧组成的系统机械能增加，机械能不守恒，故A选项错误；重力做功是重力势能变化的量度，由题意知重力做负功，重力势能增加，故B选项正确；小球增加的机械能在数值上等于重力势能和动能的增量，即－W1＋12m v2，故C选项错误；根据电场力做功是电势能变化的量度，电场力做正功电势能减少，电场力做负功电势能增加，故D选项正确．答案：BD7. 两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m，电阻也为R的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒与导轨接触良好，导轨所在的平面与磁感应强度为B的磁场垂直，如图2－2－15所示．除金属棒和电阻R外，其余电阻不计．现将金属棒从弹簧的原长位置由静止释放，则()A．金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为b→aB．最终弹簧的弹力与金属棒的重力平衡C．金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝B2L2vRD．金属棒的速度为v时，金属棒两端的电势差为U＝BL v解析：本题考查欧姆定律、右手定则和安培力．由右手定则可判断电流方向为b→a，故A选项正确；根据能量守恒可知，最终弹簧的弹力与金属棒的重力平衡金属棒处于静止状态，故B选项正确；根据F＝BIL，E＝BL v，I＝E/2R，联立可得F＝B2L2v2R，故C选项错误；金属棒速度为v时，金属棒两端的电势差为外压U＝BL v/2，故D选项错误．图2－2－13图2－2－14图2－2－15答案：AB8. 如图2－2－16所示，a 、b 两个带电小球，质量分别为m a 、m b ，用绝缘 细线悬挂．两球静止时，它们距水平地面的高度均为h (h 足够大)，绳 与竖直方向的夹角分别为α和β(α<β)．若剪断细线Oc ，空气阻力不计， 两球电荷量不变，重力加速度为g ，则( ) A ．a 球先落地，b 球后落地B ．落地时，a 、b 水平速度相等，且方向向右C ．整个运动过程中，a 、b 系统的电势能增加D ．落地时，a 、b 两球的动能之和为(m a ＋m b )gh解析：绳断后小球在竖直方向做自由落体运动，落地时间取决于竖直下落高度，故选项A 错误；两球整体水平方向不受外力，由动量守恒可知，最终两球水平分速度为零，故选项B 错误；由于绳断后，两球在库仑斥力的作用下，电场力做正功，电势能减小，故选项C 错误；由以上分析可知小球落地时只有竖直速度，且是由重力引起的，故选项D 正确．答案：D9. 如图2－2－17所示，相距为l 的光滑平行金属导轨ab 、cd 放置在水平桌面上，阻值为R 的电阻与导轨的两端a 、c 相连．滑杆MN 质量为m ，垂直于导轨并可在导轨上自由滑动，不计导轨、滑杆以及导线的电阻．整个装置放于竖直方向的范围足够大的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B .滑杆的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后，与另一质量也为m 的物块相连，绳处于拉直状态．现将物块由静止释放，当物块达到最大速度时，物块的下落高度h ＝2m 2gR 2(Bl )4，用g 表示重力加速度，则在物块由静止开始下落至速度最大的过程中( ) A ．物块达到的最大速度是mgR(Bl )2B ．通过电阻R 的电荷量是2m 2gR(Bl )3C ．电阻R 放出的热量为2m 3g 2R 2(Bl )4D ．滑杆MN 产生的最大感应电动势为mgRBl答案：ABD10. 如图2－2－18所示，水平光滑绝缘轨道MN 的左端有一个固定挡板，轨道所在空间存在E ＝4.0×102 N/C 、水平向左的匀强电场．一个质量m ＝0.10 kg 、带电荷量q ＝5.0×10－5C 的滑块(可视为质点)，从轨道上与挡板相距x 1＝0.20 m 的P 点由静止释放，滑块在电场力作用下向左做匀加速直线运动．当滑块与挡板碰撞后滑块沿轨道向右做匀减速直线运动，运动到与挡板相距x 2＝0.10 m 的Q 点，滑块第一次速度减为零．若滑块在运动过程中，电荷量始终保持不变，求： (1)滑块沿轨道向左做匀加速直线运动的加速度的大小； (2)滑块从P 点运动到挡板处的过程中，电场力所做的功； (3)滑块第一次与挡板碰撞过程中损失的机械能．解析：(1)设滑块沿轨道向左做匀加速运动的加速度为a此过程滑块所受合外力F ＝qE ＝2.0×10－2 N根据牛顿第二定律F ＝ma ，解得a ＝0.20 m/s 2.(2)滑块从P 点运动到挡板处的过程中，电场力所做的功W 1＝qEx 1＝4.0×10－3 J.(3)滑块第一次与挡板碰撞过程中损失的机械能等于滑块由P 点运动到Q 点过程中电场力所做的功． 即ΔE ＝qE (x 1－x 2)＝2.0×10－3 J.答案：(1)0.2 m/s 2 (2)4.0×10－3 J (3)2.0×10－3 J11．(·淮安市第四次调研)如图2－2－19甲所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上两轨道相距L ＝1 m ，两图2－2－16图2－2－17图2－2－18轨道之间用R ＝3 Ω的电阻连接，一质量m ＝0.5 kg 、电阻r ＝1 Ω的导体杆与两轨道垂直，静止放在轨道上，轨道的电阻可忽略不计．整个装置处于磁感应强度B ＝2 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上，现用水平拉力沿轨道方向拉导体杆，拉力F 与导体杆运动的位移x 间的关系如图2－2－19乙所示，当拉力达到最大时，导体杆开始做匀速运动，当位移x ′＝2.5 m 时撤去拉力，导体杆又滑行了一段距离x 后停下，在滑行x ′的过程中电阻R 上产生的焦耳热为12 J ．求：图2－2－19(1)拉力F 作用过程中，通过电阻R 上电量q .(2)导体杆运动过程中的最大速度v m .(3)拉力F 作用过程中，电阻R 上产生的焦耳热．解析：(1)拉力F 作用过程中，在时间Δt 内，磁通量为ΔΦ，通过电阻R 上电量qq ＝I tI ＝ER ＋rE ＝ΔΦΔtq ＝ΔΦR ＋r ＝BS R ＋r ＝2×2.5×13＋1 C ＝1.25 C. (2)撤去F 后金属棒滑行过程中动能转化为电能 ∵Q R Q r ＝R r ＝31由能量守恒定律，得12m v 2m＝Q R ＋Q r∴v m ＝8 m/s.(3)匀速运动时最大拉力与安培力平衡F m ＝B 2L 2v m R ＋r ＝22×12×83＋1 N ＝8 N由图象面积，可得拉力做功为W F ＝18 J 由动能定理，得W F －W 安＝12m v 2m－0回路上产生的热量Q ＝W 安，∴Q R ＝34Q ＝1.5 J.答案：(1)1.25 C (2)8 m/s (3)1.5 J 12. (·山东理综，25)如图2－2－20所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d ，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m 、带电量＋q 、重力不计的带电粒子，以初速度v 1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：(1)粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W 1. (2)粒子第n 次经过电场时电场强度的大小E n . (3)粒子第n 次经过电场所用的时间t n .(4)假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线(不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值．)解析：(1)设磁场的磁感应强度大小为B ，粒子第n 次进入磁场时的半径为R n ，速度为v n ，由牛顿第二定律得q v n B ＝m v n 2R n①图2－2－20由①式得v n ＝qBR nm ②因为R 2＝2R 1，所以v 2＝2v 1③对于粒子第一次在电场中的运动，由动能定理得 W 1＝12m v 22－12m v 12④ 联立③④式得W 1＝3m v 1 22. ⑤(2)粒子第n 次进入电场时速度为v n ，出电场时速度为v n ＋1，有v n ＝n v 1，v n ＋1＝(n ＋1)v 1⑥ 由动能定理得qE n d ＝12m v n 2＋1－12m v n 2⑦联立⑥⑦式得E n ＝(2n ＋1)m v 122qd. ⑧(3)设粒子第n 次在电场中运动的加速度为a n ，由牛顿第二定律得 qE n ＝ma n⑨由运动学公式得v n ＋1－v n ＝a n t n⑩联立⑥⑧⑨⑩式得t n ＝2d(2n ＋1)v 1.答案：(1)32m v １ ２(2)(2n ＋1)m v １ ２2qd (3)2d (2n ＋1)v 1(4)如图所示。

专题5 功能关系在电学中的应用说明：1．本卷主要考查功能关系在电学中的应用。

2．考试时间60分钟，满分100分。

一、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～8题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1.(2017·九江模拟)如图所示，一无限长通电直导线固定在光滑水平面上，金属环质量为0.2 kg ，在该平面上以初速度v 0＝4 m/s 、朝与导线夹角为60°的方向运动，最后达到稳定状态，此过程金属环中产生的电能最多为( )A ．1.6 JB ．1.2 JC ．0.8 JD ．0.4 J【解析】 由题意可知沿导线方向分速度v 1＝v 0cos 60°＝2 m/s ，根据能量守恒定律得：Q ＝12mv 02－12mv 12＝1.2 J ，故环中最多能产生1.2 J 的电能。

【答案】 B2.（2017年衡水三调）在研究微型电动机的性能时，应用如图所示的实验电路。

当调节滑动变阻器R 并控制电动机停止转动时，电流表和电压表的示数分别为0.50 A 和2.0 V 。

重新调节R 并使电动机恢复正常运转，此时电流表和电压表的示数分别为2.0 A 和24.0 V 。

则这台电动机正常运转时的输出功率为 ( )A.32 WB.44 WC.47 WD.48 W【解析】电动机停止转动时，电动机的内阻r =Ω=4 Ω，电动机正常运转时输出功率为P =UI －I 2r =32 W 。

【答案】A 3.（2017·广东省揭阳市高三二模）如图所示，同为上下开口、内壁光滑的铜管P 和塑料管Q 竖直放置。

小磁块先后在两管中从相同高度处由静止释放，并落至底部。

则小磁块 （ ）A ．在P 和Q 中都做自由落体运动B ．在两个下落过程中的机械能都守恒C ．在P 中的下落时间比在Q 中的长D．落至底部时在P中的速度比在Q中的大【解析】由于电磁感应，在铜管P中还受到向上的磁场力，而在塑料管中只受到重力，即只在Q中做自由落体运动，选项A错误；在铜管P中下落的过程中，有内能产生，机械能不守恒，落至底部时在P中的速度比在Q中的小，B、D错误；在P中加速度较小，下落时间再Q中的场，C正确。

新王牌 高中物理学习之功能关系在电学中的综合应用五、能力突破4. 功能关系在电学中的综合应用例4如图所示，将边长为a 、质量为m 、电阻为R 的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b 、磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f 且线框不发生转动． 求：（1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度V 2；(2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度V 1；（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q ．解析：线框在上升过程中受到向下的重力和安培力还有空气阻力的作用，其中克服重力做功只是使重力势能发生变化，不改变线框的机械能，而安培力做功和克服空气阻力做功转化成焦耳热。

在上升过程中已知进入磁场和离开磁场的速度关系，可由能量守恒定律列出产生焦耳热的表达式；由于线框向上离开磁场时还有一定的速度，在重力和空气阻力的作用下继续向上运动到最高点又返回进入磁场，这个过程中克服空气阻力做功使机械能继续减小；再次进入磁场时，线框匀速运动，重力、空气阻力和安培力平衡。

（1）由于线框匀速进入磁场，则合力为零，有222B a v mg f R=+，解得222()mg f R v B a -= （2）设线框离开磁场能上升的高度为h,则从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中211()2mg f h mv +⨯=221()2mg f h mv -⨯=解得1v =2v =（3）在线框向上刚进入到磁场到刚离开磁场的过程中，根据能量守恒定律和转化定律可得：221111(2)()22m v mv mg b a Q =+++ 解得：2443()()()2m mg f mg f R Q mg b a B a +-=-+。

反思：能量守恒定律和功能关系是物理解题中特别倚重的规律，本题在研究线框上升时，利用而安培力做功和克服空气阻力判断机械能的变化，进而判断物体的运动。

功能关系在电学中的应用利用动态圆求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题模型一 如图3－1－24，一束带负电的粒子以初速度v 垂直进入匀强磁场，若初速度v 方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上，速度增大时，轨道半径随着增大，所有粒子的轨迹组成一组动态的内切圆．【例1】如图3－1－25所示，一束带负电的粒子(质量为m 、带电量为e )以速度v 垂直磁场的边界从A 点射入磁感应强度为B 、宽度为d 的匀强磁场中．若粒子的速度大小可变，方向不变，要使粒子不能通过磁场的右边界，则粒子的速度最大不能超过多少？解析：学生解题时若能从动态圆模型角度思考，就可以迅速得出粒子轨迹符合模型一，从而得到临界轨迹圆弧，如右图所示．由几何关系可知：R ＝d ①又因e v B ＝m v 2R② 由①②得v ＝eBd m. 答案：eBd m图3－1－24图3－1－25模型二 如图3－1－26所示，一束带负电的粒子以初速度v 垂直进入匀强磁场，若初速度v 大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心、以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹．【例2】电子源S 能在图3－1－27所示平面360°范围内发射速率相同、质量为m 、电荷量为e 的电子，MN 是足够大的竖直挡板，S 离挡板水平距离L ＝16 cm ，挡板左侧充满垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B ＝5.0×10－4 T ，电子速度大小为v ＝1.0×107 m/s ，方向可变(只在纸面内变化)，电子的比荷e /m ＝2×1011 C/kg ，求电子打中竖直挡板的区域长度？ 解析：该题粒子运动轨迹形状的改变符合动态圆模型二，应该注意的是学生容易忽视一点：粒子速度方向与轨迹的弯曲方向的关系(如图a)．打在最上端的轨迹与挡板的交点到S 的距离恰好是直径，打在最下端的轨迹与挡板相切，应用模型二找到临界轨迹圆(如图b)．设电子的轨道半径为R ，则e v B ＝m v 2R图3－1－26 图3－1－27即R ＝m v eB ＝ 1.0×1072×1011×5×10－4m ＝10 cm 由图b 可知：AD ＝(2R )2－d 2＝(2×10)2－162 cm ＝12 cm 又因R ＋R cos θ＝d ，得cos θ＝0.6，所以θ＝53° AC ＝R sin 53°＝10×0.8 cm ＝8 cm.所以电子打中挡板区域长度l ＝AD ＋AC ＝12 cm ＋8 cm ＝20 cm.答案：20 cm。

（一）三年考试命题分析（二）必备知识与关键能力与方法一、必备知识1．静电力做功与路径无关．若电场为匀强电场，则W＝Fl cos α＝Eql cos α；若是非匀强电场，则一般利用W＝qU来求．2．磁场力又可分为洛伦兹力和安培力．洛伦兹力在任何情况下对运动的电荷都不做功；安培力可以做正功，可以做负功，还可以不做功．3．电流做功的实质是电场对移动电荷做功，即W＝UIt＝Uq.4．导体棒在磁场中切割磁感线时，棒中感应电流受到的安培力对导体棒做负功，使机械能转化为电能．5．静电力做的功等于电势能的变化，即W AB＝－ΔE p.二、关键能力与方法1．功能关系在电学中应用的题目，一般过程复杂且涉及多种性质不同的力，因此，通过审题，抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特点来选择相应规律求解．2．动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题时仍然是首选的方法．（三）命题类型剖析命题类型一：几个重要的功能关系在电学中的应用例1．如图1所示，平行板电容器水平放置，两极板间电场强度大小为E，中间用一光滑绝缘细杆垂直连接，杆上套有带正电荷的小球和绝缘弹簧，小球压在弹簧上，但与弹簧不拴接，开始时对小球施加一竖直向下的外力，将小球压至某位置使小球保持静止．撤去外力后小球从静止开始向上运动，上升h时恰好与弹簧分离，分离时小球的速度为v ，小球上升过程不会撞击到上极板，已知小球的质量为m ，带电荷量为q ，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )图1A ．与弹簧分离时小球的动能为mgh ＋qEhB ．从开始运动到与弹簧分离，小球增加的机械能为mgh ＋qEhC ．从开始运动到与弹簧分离，小球减少的电势能为qE hD ．撤去外力时弹簧的弹性势能为12mv 2－(qE －mg )h【答案】D深入剖析1．若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变．2．若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． 3．除重力、弹簧弹力之外，其他各力对系统做的功等于系统机械能的变化． 4．所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化． 5．洛伦兹力对运动电荷不做功．练1．一带电小球在空中由A 点运动到B 点的过程中，只受重力、电场力和空气阻力三个力的作用．若重力势能增加5 J ，机械能增加1.5 J ，电场力做功2 J ，则小球( )A ．重力做功为5 JB ．电势能减少2 JC ．空气阻力做功0.5 JD ．动能减少3.5 J【答案】BD【解析】小球的重力势能增加5 J ，则小球克服重力做功5 J ，故A 错误；电场力对小球做功2 J ，则小球的电势能减少2 J ，故B 正确；小球共受到重力、电场力、空气阻力三个力作用，小球的机械能增加1.5 J ，则除重力以外的力做功为1.5 J ，电场力对小球做功2 J ，则知，空气阻力做功为－0.5 J ，即小球克服空气阻力做功0.5 J ，故C 错误；重力、电场力、空气阻力三力做功之和为－3.5 J ，根据动能定理，小球的动能减少3.5 J ，故D 正确．练2．如图2甲所示，一质量m ＝0.5 kg 、电荷量q ＝＋1×10－2C 的物块静止在绝缘的粗糙水平面上，在物块所在的足够大的空间内，加一与水平方向成θ＝37°、斜向右下的匀强电场，电场强度E ＝1×103V/m.物块在电场力的作用下开始运动．物块运动后还受到空气阻力，其大小与速度的大小成正比．物块的加速度a 与时间t 的关系如图乙所示．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g 取10 m/s 2.以下判断正确的是( )图2A ．物块与水平面间的动摩擦因数μ＝311B ．t ＝2 s 时物块的动能为56.25 JC ．t ＝3 s 时物块受到的空气阻力为5 ND ．前5 s 内合外力对物块做的功为100 J 【答案】ABD命题类型二：功能观点在电磁感应问题中的应用例2.如图3所示，两根等高光滑的四分之一圆弧形轨道与一足够长水平轨道相连，圆弧的半径为R 0，轨道间距为L 1＝1 m ，轨道电阻不计．水平轨道处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B 1＝1 T ，圆弧轨道处于从圆心轴线上均匀向外辐射状的磁场中，如图所示．在轨道上有两长度稍大于L 1、质量均为m ＝2 kg 、阻值均为R ＝0.5 Ω的金属棒a 、b ，金属棒b 通过跨过定滑轮的绝缘细线与一质量为M ＝1 kg 、边长为L 2＝0.2 m 、电阻r ＝0.05 Ω的正方形金属线框相连．金属棒a 从轨道最高处开始，在外力作用下以速度v 0＝5 m/s 沿轨道做匀速圆周运动到最低点MN 处，在这一过程中金属棒b 恰好保持静止．当金属棒a 到达最低点MN 处被卡住，此后金属线框开始下落，刚好能匀速进入下方h ＝1 m 处的水平匀强磁场B 3中，B 3＝ 5 T ．已知磁场高度H >L 2.忽略一切摩擦阻力，重力加速度为g ＝10 m/s 2.求：图3(1)辐射磁场在圆弧处磁感应强度B 2的大小；(2)从金属线框开始下落到进入磁场前，金属棒a 上产生的焦耳热Q ；(3)若在线框完全进入磁场时剪断细线，线框在完全离开磁场B 3时刚好又达到匀速，已知线框离开磁场过程中产生的焦耳热为Q 1＝10.875 J ，则磁场的高度H 为多少．【答案】(1)2 T (2)2 J (3)1.2 m(2)根据能量守恒定律有Mgh ＝12Mv 2＋12mv 2＋2Q线框进入磁场的瞬间，由力的平衡条件得Mg ＝B 1I 1L 1＋B 3I 2L 2其中，I 1＝B 1L 1v2RI 2＝B 3L 2v r联立方程，代入数值求得Q ＝2 J深入剖析1．克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能；安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能．2．若回路中电流恒定，可以利用W ＝UIt 或Q ＝I 2Rt 直接进行电能计算．3．若电流变化，则：(1)利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；(2)利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能．练3.如图4所示，固定放置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d ，其右端接有阻值为R 的电阻，整个装置处在竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中．一质量为m (质量分布均匀)的导体杆ab 垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F 作用下从静止开始沿导轨运动距离l 时，速度恰好达到最大(运动过程中杆始终与导轨保持垂直)．设杆接入电路的电阻为r ，导轨电阻不计，重力加速度大小为g ，则此过程中( )图4A ．杆的速度最大值为(F －μmg )RB 2d2B ．安培力做的功等于电阻R 上产生的热量C ．恒力F 做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量D ．恒力F 做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量【答案】D练4．如图5所示，一对平行的粗糙金属导轨固定于同一水平面上，导轨间距L ＝0.2 m ，左端接有阻值R ＝0.3Ω的电阻，右侧平滑连接一对弯曲的光滑轨道．水平导轨的整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B ＝1.0 T ．一根质量m ＝0.2 kg 、电阻r ＝0.1Ω的金属棒ab 垂直放置于导轨上，在水平向右的恒力F 作用下从静止开始运动，当金属棒通过位移x ＝9 m 时离开磁场，在离开磁场前已达到最大速度．当金属棒离开磁场时撤去外力F ，接着金属棒沿弯曲轨道上升到最大高度h ＝0.8 m 处．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.1，导轨电阻不计，棒在运动过程中始终与轨道垂直且与轨道保持良好接触，取g ＝10 m/s 2.求：图5(1)金属棒运动的最大速率v ；(2)金属棒在磁场中速度为v2时的加速度大小；(3)金属棒在磁场区域运动过程中，电阻R 上产生的焦耳热． 【答案】(1)4 m/s (2)1 m/s 2(3)1.5 J【解析】(1)金属棒从出磁场到达到弯曲轨道最高点，根据机械能守恒定律得： 12mv 2＝mgh ① 由①得：v ＝2gh ＝4 m/s ②(2) 金属棒在磁场中做匀速运动时，设回路中的电流为I ，根据平衡条件得F ＝BIL ＋μmg ③ I ＝BLv R ＋r④ 联立②③④式得F ＝0.6 N ⑤金属棒速度为v2时，设回路中的电流为I ′，根据牛顿第二定律得F －BI ′L －μmg ＝ma ⑥ I ′＝BLv2(R ＋r )⑦联立②⑤⑥⑦解得：a ＝1 m/s 2(3)设金属棒在磁场区域运动过程中，回路中产生的焦耳热为Q ，根据功能关系：Fx ＝μmgx ＋12mv 2＋Q ⑧则电阻R 上的焦耳热Q R ＝RR ＋rQ ⑨ 联立⑤⑧⑨解得：Q R ＝1.5 J ．命题类型三：动力学和功能观点在电场中的应用例3.如图7，空间有一竖直向下沿x 轴方向的静电场，电场的场强大小按E ＝mg4qL x 分布(x 是轴上某点到O 点的距离)．x 轴上，有一长为L 的绝缘细线连接均带负电的两个小球A 、B ，两球质量均为m ，B 球带电荷量大小为q ，A 球距O 点的距离为L .两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用．图7(1)求A 球的带电荷量大小q A ；(2)剪断细线后，求B 球下落速度达到最大时，B 球距O 点距离x 0； (3)剪断细线后，求B 球下落最大高度h . 【答案】(1)6q (2)4L (3)4Lmgh －q ×mg 4qL ×2L ＋q ×mg4qL(2L ＋h )2h ＝0解得：h ＝4L .练5．一质量为m 、带电量为＋q 的小球从距地面高h 处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离L 处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管．管上口距地面h2，为使小球能无碰撞地通过管子，可在管子上方的整个区域加一个场强方向水平向左的匀强电场，如图8所示，求：图8(1)小球初速度v 0、电场强度E 的大小； (2)小球落地时的动能． 【答案】(1)2Lgh h 2mgL qh(2)mgh。

专题5 功能关系在电学中的应用本专题包括三个部分：电场中的功能关系；电磁感应中的功能关系；应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题。

电场中的功能关系中，电粒子(或带电体)在电场中的运动问题是近几年高考常考的问题，高考命题角度集中在动能定理在平行板电容器中的应用，动能定理在非匀强电场中的应用，抛体运动、功能关系在匀强电场中的应用；题目难度以中档题为主,有选择亦有计算题。

电磁感应中的功能关系，高考命题命题角度有能量守恒定律在电磁感应中的应用，电磁感应电路中的电功、电功率，试题难度以中档题为主。

应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题，在高考中常以压轴题的形式出现，题目综合性强，分值高，难度大。

高频考点：电场中的功能关系；电磁感应中的功能关系；应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题。

考点一、电场中的功能关系例 (2020·全国I 卷T 20)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r 的关系如图所示。

电场中四个点a 、b 、c 和d 的电场强度大小分别E a 、E b 、E c 和E d 。

点a 到点电荷的距离r a 与点a 的电势φa 已在图中用坐标（r a ，φa ）标出，其余类推。

现将一带正电的试探电荷由a 点依次经b 、c 点移动到d 点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为W ab 、W bc 和W cd 。

下列选项正确的是( )A ．E a : E b = 4:1B ．E c : E d = 2:1C ．W ab : W bc = 3:1D ．W bc : W cd = 1:3【审题立意】本题考查点电荷的电场、电势、电场力做功等知识。

(1)点电荷电场中场强的计算；(2)点电荷电场中电势高低的判断；(3)点电荷电场中电场力做功的计算。

【解题思路】由图可知，a 、b 、c 、d 到点电荷的距离分别为1 m 、2 m 、3 m 、6 m ，根据点电荷的场强公式2Q E k r =可知，2241a b b a E r E r ==，2241c d d c E r E r ==，故A 正确，B 错误；电场力做功W qU =，a 与b 、b 与c 、c 与d 之间的电势差分别为2 V 、1 V 、1 V ，所以21ab bc W W =，11bc cd W W =，故C 正确，D 错误。

功能关系在电学中的应用1．(2013·山东日照高三上学期模块考试)一带电粒子射入一固定的正点电荷Q 的电场中，沿如图所示的虚线由a 点经b 点运动到c 点，b 点离Q 最近．若不计重力，则( )A ．带电粒子带正电荷B ．带电粒子到达b 点时动能最大C ．带电粒子从a 到b 电场力对其做正功D ．带电粒子从b 到c 电势能减小 2．(2013·信阳市第二次调研)如图所示，质量为m 的金属线框A 静置于光滑平面上，通过细绳跨过定滑轮与质量为m 的物体B 相连，图中虚线内为一水平匀强磁场，d 表示A 与磁场左边界的距离，不计滑轮摩擦及空气阻力，设B 下降h (h ＞d )高度时的速度为v ，则此时以下关系中能够成立的是( )A ．v 2＝gh B ．v 2＝2ghC ．A 产生的热量Q ＝mgh －m v 2D ．A 产生的热量Q ＝mgh －12m v 23.(2013·重庆万州高三第一次诊断性考试)如图所示，长为L ，倾角为θ的光滑绝缘斜面处于匀强电场中，一带电荷量为＋q 、质量为m 的小球，以初速度v 0由斜面底端的A 点开始沿斜面上滑，到达斜面顶端时速度仍为v 0.则下列说法正确的是( )A ．小球在B 点的电势能一定大于小球在A 点的电势能B ．由上述条件可以求得A 、B 两点的电势差C ．电场方向与AC 垂直时，电场强度最大D ．电场方向与斜面平行时，电场强度最小4.图中甲是匀强电场，乙是孤立的正点电荷形成的电场，丙是等量异种点电荷形成的电场(a 、b 位于两点电荷连线上，且a 位于连线的中点)，丁是等量正点电荷形成的电场(a 、b 位于两点电荷连线的中垂线上，且a 位于连线的中点)．有一个正检验电荷仅在电场力作用下分别从电场中的a 点由静止释放，动能E k 随位移x 变化的关系图象如图中的①②③图线所示，其中图线①是直线．下列说法正确的是( )A ．甲对应的图线是①B ．乙对应的图线是②C ．丙对应的图线是②D ．丁对应的图线是③ 5.(2013·辽宁重点中学高三上学期期末)如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L ＝1 m ，导轨平面与水平面成θ＝37°角，下端连接阻值R ＝2 Ω的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量m ＝0.2 kg 、电阻r ＝1 Ω的金属棒ab 放在两导轨上．棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数μ＝0.25(设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小)．当金属棒由静止下滑60 m 时速度达到稳定，电阻R 消耗的功率为8 W ，金属棒中的电流方向由a 到b ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )A ．金属棒沿导轨由静止开始下滑时，加速度a 的大小为 4 m/s 2B ．金属棒达到稳定时速度v 的大小为10 m/sC ．磁场方向垂直导轨平面向上，磁感应强度B 的大小为 0.4 TD ．金属棒由静止到稳定过程中，电阻R 上产生的热量为 25.5 J6.(2013·安庆市第三模拟)如图所示，一个带正电的小球穿在一根绝缘的粗糙直杆AC 上，杆与水平方向成θ角，整个空间存在着竖直向上的匀强电场和垂直于杆方向斜向上的匀强磁场．小球沿杆向下运动，在A 点时的动能为100 J ，在C 点时动能减为零，D 为AC 的中点，在运动过程中，则( )A ．小球在D 点时的动能为50 JB ．小球电势能的增加量一定等于重力势能的减少量C ．到达C 点后小球可能沿杆向上运动D ．小球在AD 段克服摩擦力做的功与小球在DC 段克服摩擦力做的功相等 7.(2013·山东泰安模拟)如图所示，间距为L ，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m ，电阻也为R 的金属棒，金属棒与轨道接触良好．整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v 0沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q .下列说法正确的是( )A ．金属棒在导轨上做匀减速运动B ．整个过程中电阻R 上产生的焦耳热为m v 202C ．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为qRBLD ．整个过程中金属棒克服安培力做功为m v 2028．(2013·浙江卷·24)“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成．偏转器是由两个相互绝缘、半径分别为R A 和R B 的同心金属半球面A 和B 构成，A 、B 为电势值不等的等势面，其过球心的截面如图所示．一束电荷量为e 、质量为m 的电子以不同的动能从偏转器左端M 板正中间小孔垂直入射，进入偏转电场区域，最后到达偏转器右端的探测板N ，其中动能为E k0的电子沿等势面C 做匀速圆周运动到达N 板的正中间．忽略电场的边缘效应．(1)判断半球面A 、B 的电势高低，并说明理由； (2)求等势面C 所在处电场强度E 的大小；(3)若半球面A 、B 和等势面C 的电势分别为φA 、φB 和φC ，则到达N 板左、右边缘处的电子，经过偏转电场前、后的动能改变量ΔE k左和ΔE k 右分别为多少？(4)比较|ΔE k 左|与|ΔE k 右|的大小，并说明理由．9．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ所在平面与水平面成30°角，两导轨的间距l＝0.50 m，一端接有阻值R＝1.0 Ω的电阻．质量m＝0.10 kg的金属棒ab置于导轨上，与导轨垂直，电阻r＝0.25 Ω.整个装置处于磁感应强度B＝1.0 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下．t＝0时刻，对金属棒施加一平行于导轨向上的外力F，使之由静止开始运动，运动过程中电路中的电流随时间t变化的关系如图乙所示．电路中其他部分电阻忽略不计，g取10 m/s2.求：(1)4.0 s末金属棒ab瞬时速度的大小；(2)3.0 s末力F的瞬时功率；(3)已知0～4.0 s时间内电阻R上产生的热量为0.64 J，试计算F对金属棒所做的功．10．(2013·四川卷·10)在如图所示的竖直平面内，物体A和带正电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，分别静止于倾角θ＝37°的光滑斜面上的M点和粗糙绝缘水平面上，轻绳与对应平面平行．劲度系数k＝5 N/m的轻弹簧一端固定在O点，一端用另一轻绳穿过固定的光滑小环D与A相连，弹簧处于原长，轻绳恰好拉直，DM垂直于斜面．水平面处于场强E＝5×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中．已知A、B的质量分别为m A＝0.1 kg和m B＝0.2 kg，B所带电荷量q＝＋4×10－6 C．设两物体均视为质点，不计滑轮质量和摩擦，绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，B电荷量不变．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.(1)求B所受静摩擦力的大小；(2)现对A施加沿斜面向下的拉力F，使A以加速度a＝0.6 m/s2开始做匀加速直线运动．A 从M到N的过程中，B的电势能增加了ΔE p＝0.06 J．已知DN沿竖直方向，B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.求A到达N点时拉力F的瞬时功率．功能关系在电学中的应用1．解析： 从轨迹可知，粒子受到排斥力作用，所以粒子带正电，选项A 正确．粒子从a 到b 电场力对其做负功，动能减小，电势能增大；从b 到c 电场力对其做正功，动能增大，电势能减小，故粒子在b 点动能最小，势能最大，所以选项B 、C 错误，D 正确．答案： AD2．解析： 因h ＞d ，故线框一定经过磁场区域，由Q ＋12(m ＋m )v 2＝mgh ，得Q ＝mgh－m v 2，选项C 正确．答案： C 3.解析： 小球从A 到B 动能不变，重力势能增加量等于电势能减小量，所以A 错误．由于重力做功与电场力做功大小相等，所以mgh ＝qU AB ，A 、B 两点间电势差U AB ＝mgL sin θq，B 正确．小球受重力、斜面的支持力和电场力作用，当电场力与重力沿斜面的分力相等，电场力沿垂直斜面方向的分力、重力沿垂直斜面方向的分力和支持力平衡时，小球就会做匀速运动，所以当电场力沿斜面向上时电场力有最小值，而电场力没有最大值，所以C 错误，D 正确．答案： BD4.解析： 正检验电荷仅在电场力作用下，由静止开始运动，其中甲、乙、丙中正检验电荷沿电场方向运动，丁中正检验电荷静止不动．电场力对正检验电荷做功改变其动能，有Eqx ＝E k ，动能E k 随x 的变化率E kx∝E ，而电场强度E 随x 的变化情况是：甲中E 为常数，乙图中E 减小，丙图中E 增大，所以A 、C 选项正确，B 、D 选项错误．答案： AC5.(解析： 开始下滑时不受安培力，由牛顿第二定律得a ＝g sin θ－μg cos θ＝4 m/s 2，选项A 正确．速度达到稳定时合力为零：B 2L 2v R ＋r＋μmg cos θ＝mg sin θ，得B 2L 2v R ＋r ＝0.8 N ，由已知(Bl v )2R ＋r ·RR ＋r＝8 W ，得v＝15 m/s ，选项B 错误．根据左手定则可得，磁场方向垂直于导轨平面向上，由B 2L 2vR ＋r＝0.8 N ，将v ＝15 m/s 代入得B ＝0.4 T ，选项C 正确．根据能量守恒，产生的总焦耳热量为Q ＝mgx sin θ－12m v 2－μmgx cos θ＝25.5 J ，R 上产生的热量为Q R ＝23Q ＝17 J ，选项D 错误． 答案： AC 6.解析： 小球做减速运动，F 洛将减小．球与杆的弹力将变小，所受摩擦力也将变小，合力为变力．据F 合·x ＝ΔE k 可知A 错误；重力势能的减少量等于电势能和内能增量之和，B 错误；若电场力大于重力，小球可能沿杆向上运动，C 正确．由于摩擦力为变力，D 错误．答案： C7.(解析： 设某时刻的速度为v ，则此时的电动势E ＝Bl v ，安培力F 安＝B 2L 2vR，由牛顿第二定律有F 安＝ma ，则金属棒做加速度减小的减速运动，选项A 错误；由能量守恒定律知，整个过程中克服安培力做功等于电阻R 和金属棒上产生的焦耳热之和，即W 安＝Q －12m v 20，选项B 错误，D 正确；整个过程中通过导体棒的电荷量q ＝ΔΦ2R ＝BS 2R ＝Blx2R，得金属棒在导轨上发生的位移x ＝2qRBL，选项C 错误．答案： D8．解析： (1)电子(带负电)做圆周运动，电场力方向指向球心，电场方向从B 指向A ，半球面B 的电势高于A .(2)据题意，电子在电场力作用下做圆周运动，考虑到圆轨道上的电场强度E 大小相同，有eE ＝m v 2R E k0＝12m v 2 R ＝R A ＋R B 2 联立解得：E ＝2E k0eR ＝4E k0e (R A ＋R B ).(3)电子运动时只有电场力做功，根据动能定理，有 ΔE k ＝qU对到达N 板左边缘的电子，电场力做正功，动能增加，有 ΔE k 左＝e (φB －φC )对到达N 板右边缘的电子，电场力做负功，动能减小，有 ΔE k 右＝e (φA －φC )．(4)根据电场线特点，等势面B 与C 之间的电场强度大于C 与A 之间的电场强度，考虑到等势面间距相等，有|φB －φC |＞|φA －φC |即|ΔE k 左|＞|ΔE k 右|.答案： 见解析9．解析： (1)由题图乙可得：t ＝4.0 s 时，I ＝0.8 A.根据I ＝ER ＋r，E ＝Bl v解得：v ＝2.0 m/s.(2)由I ＝Bl vR ＋r和感应电流与时间的线性关系可知，金属棒做初速度为零的匀加速直线运动．由运动学规律v ＝at解得4.0 s 内金属棒的加速度大小a ＝0.5 m/s 2 对金属棒进行受力分析，根据牛顿第二定律得： F －mg sin 30°－F 安＝ma 又F 安＝BIl由题图乙可得，t ＝3.0 s 时，I ＝0.6 A 解得F 安＝0.3 N ，外力F ＝0.85 N由速度与电流的关系可知t ＝3.0 s 时v ＝1.5 m/s 根据P ＝F v ，解得P ＝1.275 W.(3)根据焦耳定律：Q ＝I 2Rt Q ′＝I 2rt解得在该过程中金属棒上产生的热量Q ′＝0.16 J 电路中产生的总热量为：Q 总＝0.80 J 根据能量守恒定律有：W F ＝ΔE p ＋Q 总＋12m v 2ΔE p ＝mgx sin 30° x ＝12at 2 解得ΔE p ＝2.0 JF 对金属棒所做的功W F ＝3.0 J.答案： (1)2.0 m/s (2)1.275 W (3)3.0 J10．解析： A 、B 处于静止状态时，对于A 、B 根据共点力的平衡条件解决问题；当A 、B 做匀加速直线运动时，根据运动学公式、牛顿第二定律和功能关系解决问题．(1)F 作用之前，A 、B 处于静止状态．设B 所受静摩擦力大小为F f 0，A 、B 间绳中张力为F T 0，有对A ：F T 0＝m A g sin θ ① 对B ：F T 0＝qE ＋F f 0 ② 联立①②式，代入数据解得F f 0＝0.4 N ．③(2)物体A 从M 点到N 点的过程中，A 、B 两物体的位移均为x ，A 、B 间绳子张力为F T ，有qEx ＝ΔE p ④ F T －μm B g －qE ＝m B a ⑤设A 在N 点时速度为v ，受弹簧拉力为F 弹，弹簧的伸长量为Δx ，有 v 2＝2ax ⑥F 弹＝k ·Δx ⑦F ＋m A g sin θ－F 弹sin θ－F T ＝m A a ⑧由几何关系知Δx ＝x (1－cos θ)sin θ⑨设拉力F 的瞬时功率为P ，有P ＝F v ⑩联立④～⑩式，代入数据解得 P ＝0.528 W.。

专题四功能关系的应用第2讲：功能关系在电学中的应用一、学习目标1、掌握几个重要的功能关系在电学中的应用2、掌握动能定理在电场中的应用3、掌握电功能观点在电磁感应问题中的应用4、学会应用动力学和功能观点处理电学综合问题二、课时安排2课时三、教学过程（一）知识梳理1.静电力做功与路径无关.若电场为匀强电场，则W＝Fl cosα＝Eql cosα；若是非匀强电场，则一般利用W＝qU来求.2.磁场力又可分为洛伦兹力和安培力.洛伦兹力在任何情况下对运动的电荷都不做功；安培力可以做正功、负功，还可以不做功.3.电流做功的实质是电场对移动电荷做功.即W＝UIt＝Uq.4.导体棒在磁场中切割磁感线时，棒中感应电流受到的安培力对导体棒做负功，使机械能转化为电能.5.静电力做的功等于电势能的变化，即W AB＝－ΔE p.（二）规律方法1.功能关系在电学中应用的题目，一般过程复杂且涉及多种性质不同的力，因此，通过审题，抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特点来选择相应规律求解.2.动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题时仍然是首选的方法.（三）典例精讲高考题型1 几个重要的功能关系在电学中的应用【例1】(多选)如图1所示地面上方存在水平向右的匀强电场.现将一带电小球从距离地面O点高h处的A点以水平速度v0抛出，经过一段时间小球恰好垂直于地面击中地面上的B点，B到O的距离也为h.当地重力加速度为g，则下列说法正确的是( )图1A.从A 到B 的过程中小球的动能先减小后增大B.下落过程中小球机械能一直增加C.小球的加速度始终保持2g 不变D.从A 点到B 点小球的的电势能增加了mgh解析 由题意分析知，小球在水平方向匀减速，竖直方向匀加速，由于时间相等，两方向位移相同，故qE ＝mg ，合力大小为2mg ，斜向左下方45°，故小球的动能先减小后增大；电场力一直做负功，小球机械能一直减小，小球的加速度始终保持2g 不变，从A 点到B 点电场力做负功，大小为qEh ＝mgh ，故电势能增加了mgh .答案 AD高考题型二 动能定理在电场中的应用【例2】如图2所示，两个带正电的点电荷M 和N ，带电量均为Q ，固定在光滑绝缘的水平面上，相距2L ，A 、O 、B 是MN 连线上的三点，且O 为中点，OA ＝OB ＝L2，一质量为m 、电量为q 的点电荷以初速度v 0从A 点出发沿MN 连线向N 运动，在运动过程中电荷受到大小恒定的阻力作用，但速度为零时，阻力也为零，当它运动到O 点时，动能为初动能的n 倍，到B 点速度刚好为零，然后返回往复运动，直至最后静止.已知静电力恒量为k ，取O 处电势为零.求：图2(1)A 点的场强大小； (2)阻力的大小； (3)A 点的电势；(4)电荷在电场中运动的总路程.解析 (1)由点电荷电场强度公式和电场叠加原理可得：E ＝kQ L22－kQ 3L22＝32kQ 9L2； (2)由对称性知，φA ＝φB ，电荷从A 到B 的过程中，电场力做功为零，克服阻力做功为：W f ＝F f L ，由动能定理：－F f L ＝0－12mv 20，得：F f ＝mv 22L(3)设电荷从A 到O 点电场力做功为W F ，克服阻力做功为12W f ，由动能定理：W F －12W f ＝12nmv 20－12mv 2得：W F ＝mv 24(2n －1)由：W F ＝q (φA －φO )得：φA ＝W F q ＝mv 24q(2n －1)(4)电荷最后停在O 点，在全过程中电场力做功为W F ＝mv 204(2n －1)，电荷在电场中运动的总路程为s ，则阻力做功为－F f s .由动能定理：W F －F f s ＝0－12mv 02即：mv 204(2n －1)－12L mv 20s ＝－12mv 02解得：s ＝(n ＋0.5)L .答案 (1)32kQ 9L 2 (2)mv 202L (3)mv 24q (2n －1) (4)(n ＋0.5)L归纳小结1.电场力做功与重力做功的特点类似，都与路径无关.2.对于电场力做功或涉及电势差的计算，选用动能定理往往最简便快捷，但运用动能定理时要特别注意运动过程的选取.高考题型三 电功能观点在电磁感应问题中的应用【例3】 如图3所示，足够长光滑导轨倾斜放置，导轨平面与水平面夹角θ＝37°，导轨间距L ＝0.4m ，其下端连接一个定值电阻R ＝2Ω，其它电阻不计.两导轨间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.5T.一质量为m ＝0.02kg 的导体棒ab 垂直于导轨放置，现将导体棒由静止释放，取重力加速度g ＝10m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.图3(1)求导体棒下滑的最大速度；(2)求ab 棒下滑过程中电阻R 消耗的最大功率；(3)若导体棒从静止加速到v ＝4m/s 的过程中，通过R 的电量q ＝0.26C ，求R 产生的热量Q . 解析 (1)E ＝BLvI ＝E R ＝BLv R F 安＝BIL ＝B 2L 2vR当安培力与重力沿导轨向下的分力相等时，速度最大，棒ab 做匀速运动，即mg sin θ＝B 2L 2v mRv m ＝mgR sin37°B 2L 2＝6m/s(2)由(1)可知v m ＝mgR sin37°B 2L 2代入P ＝BLv m2R得P ＝m 2g 2R sin 237°B 2L 2＝0.72W(3)q ＝It ＝ΔΦR ＝BLxRx ＝qRBL＝2.6m 由能量关系有Q ＝mgx sin37°－12mv 2＝0.152J.答案 (1)6m/s (2)0.72W (3)0.152J 归纳小结1.电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能.“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能.2.当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能.安培力做功的过程，或通过电阻发热的过程，是电能转化为其他形式能的过程.安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能.3.若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W ＝UIt 或Q ＝I 2Rt 直接进行计算电能.4.若电流变化，则：(1)利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；(2)利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能.高考题型4 应用动力学和功能观点处理电学综合问题【例4】 如图4所示，水平地面QA 与竖直面内的、半径R ＝4m 的光滑圆轨道ACDF 相连，FC 为竖直直径，DO 水平，AO 与CO 夹角α＝60°.QA 上方有一水平台面MN ，MN 正上方分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B ＝4T.P 是竖直线AP 与DO 的交点，PA 的右侧、PO 的下面、OC 的左侧分布着竖直向下、场强为E 的匀强电场.一个质量m ＝2kg 、电量q ＝＋1C 的小滑块(可视为质点)放在MN 上，在水平推力F ＝4N 的作用下正以速度v 1向右做匀速运动.已知滑块与平台MN 的动摩擦因数μ＝0.5；重力加速度g ＝10m/s 2.图4(1)求小滑块在平台MN 上的速度v 1；(2)小滑块从N 点飞出后，恰从A 点无碰撞地(沿轨道切线)进入圆轨道AC ，为了使小滑块不向内脱离AF 间的圆弧轨道，求电场强度E 的取值范围.解析 (1)F f ＝F ①F f ＝μF N ② F N ＝mg －Bqv 1③由①②③解得：v 1＝3m/s (2)在A 处：cos α＝v 1v A，v A ＝6m/s小滑块不脱离AF 的圆弧轨道，刚好滑到D 点时：v D ＝0 根据能量守恒得－mgR cos α＋qE 1(R －R cos α)＝0－12mv 2A解出：E 1＝2N/C小滑块不脱离AF 的圆弧轨道，刚好滑到F 点时：mg ＝m v 2FR－mg (R ＋R cos α)＋qE 2(R －R co s α)＝12mv 2F －12mv 2A解出：E 2＝62N/C综上：为了使滑块不向内脱离AF 间的圆弧轨道，电场强度E 的取值范围为E ≤2N/C 或E ≥62 N/C答案(1)3m/s (2)E≤2 N/C或E≥62N/C四、板书设计1、几个重要的功能关系在电学中的应用2、动能定理在电场中的应用3、电功能观点在电磁感应问题中的应用4、应用动力学和功能观点处理电学综合问题五、作业布置完成功能关系的应用（2）的课时作业六、教学反思借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。

1．一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d ，极板分别与电池两极相连，上极板中心有一小孔(小孔对电场的影响可忽略不计)．小孔正上方d2处的P 点有一带电粒子，该粒子从静止开始下落，经过小孔进入电容器，并在下极板处(未与极板接触)返回．若将下极板向上平移d3，则从P 点开始下落的相同粒子将 ( )A ．打到下极板上B ．在下极板处返回C ．在距上极板d 2处返回D ．在距上极板25d 处返回答案 D2．将带正电的甲球放在乙球的左侧，两球在空间形成了如图1所示的稳定的静电场，实线为电场线，虚线为等势线．A 、B 两点与两球球心的连线位于同一直线上，C 、D 两点关于直线AB 对称，则 ( )图1A ．乙球一定带负电B ．C 点和D 点的电场强度相同C ．正电荷在A 点具有的电势能比其在B 点具有的电势能小D ．把负电荷从C 点移至D 点，电场力做的总功为零 答案 D解析 电场线从正电荷出发指向负电荷，根据电场线知乙球左侧带负电，右侧带正电，整体带电情况不确定，A 错误；电场强度是矢量，C 、D 两点电场强度的方向不同，B 错误；电场线的方向是电势降落最快的方向，A 点的电势比B 点的电势高，由电势能的定义式E p ＝qφ知，正电荷在A 点的电势能比在B 点的电势能大，C错误；C、D两点在同一等势面上，故将电荷从C点移至D点电势能不变，电场力做功是电势能变化的量度，故电场力不做功，D正确．3．如图2所示，在一个点电荷形成的电场中，M、N、L是三个间距相等的等势面．一重力不计的带电粒子从p点无初速度释放后，沿图中直线依次经过q、k两点，且p、q、k三点是带电粒子的运动轨迹与等势面的交点．设带电粒子从p点到q点电场力做的功为W pq，从q点到k点电场力做的功为W qk，则( )图2A．W pq＝W qkB．W pq<W qkC．粒子从p点到q点做匀加速直线运动D．粒子从p点到q点其电势能逐渐减小答案D4．如图3所示，质量为m的物块(可视为质点)，带正电Q，开始时让它静止在倾角α＝60°的固定光滑绝缘斜面顶端，整个装置放在水平方向向左、大小为E＝3mg/Q的匀强电场中(设斜面顶端处电势为零)，斜面高为H.释放后，物块落地时的电势能为ε，物块落地时的速度大小为v，则( )图3A．ε＝33mgH B．ε＝－33mgHC．v＝2gH D．v＝2gH答案C解析由电场力做功等于电势能的变化可得物块落地时的电势能为ε＝－QEH/tan 60°＝－3mgH/3＝－mgH ，选项A 、B 错误；由动能定理，mgH ＋QEH /tan 60°＝12mv 2，解得v ＝2gH ，选项C 正确，D 错误．5．如图4所示，绝缘轻弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q (可视为质点)固定在光滑绝缘斜面上的M 点，且在通过弹簧中心的直线ab 上．现把与Q 大小相同、电性相同的小球P ，从N 点由静止释放，在小球P 与弹簧接触到压缩至最短的过程中(弹簧始终在弹性限度内)，以下说法正确的 ( )图4A ．小球P 和弹簧组成的系统机械能守恒B ．小球P 和弹簧刚接触时其速度最大C ．小球P 的动能与弹簧弹性势能的总和增大D ．小球P 的加速度先减小后增大 答案 CD6．如图5所示，在倾角为θ的斜面上固定两根足够长的光滑平行金属导轨PQ 、MN ，相距为L ，导轨处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下．有两根质量均为m 的金属棒a 、b ，先将a 棒垂直导轨放置，用跨过光滑定滑轮的细线与物块c 连接，连接a 棒的细线平行于导轨，由静止释放c ，此后某时刻，将b 也垂直导轨放置，a 、c 此刻起做匀速运动，b 棒刚好能静止在导轨上，a 棒在运动过程中始终与导轨垂直，两棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计．则 ( )图5A ．物块c 的质量是2m sin θB ．b 棒放上导轨前，物块c 减少的重力势能等于a 、c 增加的动能C ．b 棒放上导轨后，物块c 减少的重力势能等于回路消耗的电能D ．b 棒放上导轨后，a 棒中电流大小是mg sin θBL答案 AD7．如图6所示，间距为L 、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m 、电阻也为R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好．整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v 沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q .下列说法正确的是 ( )图6A ．金属棒在导轨上做匀减速运动B ．整个过程中金属棒克服安培力做功为12mv 2C ．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为2qRBLD ．整个过程中电阻R 上产生的焦耳热为12mv 2答案 BC解析 由题意可知金属棒在安培力作用下做减速运动直至静止，由于速度一直减小，故安培力的大小一直减小，金属棒的加速度减小，故金属棒做加速度减小的减速运动，选项A 错误．在整个过程中，只有安培力做负功，由动能定理可知金属棒克服安培力做功为12mv 2，选项B 正确．由q ＝ΔΦR 总可知q ＝BLx 2R ，解得x ＝2qRBL ，选项C 正确．由B 项可知整个回路中产生的焦耳热为12mv 2，电阻R 上产生的焦耳热为14mv 2，选项D 错误．8．如图7所示，一轻弹簧的左端固定，右端与一带电小球相连接，小球静止在光滑水平面上，施加一个水平方向的匀强电场，使小球从静止开始向右运动，则向右运动的这一过程中(运动过程中始终未超过弹簧的弹性限度)( )图7A．小球动能最大时，小球电势能最小B．弹簧弹性势能最大时，小球和弹簧组成的系统机械能最大C．小球电势能最小时，小球动能为零D．当电场力和弹簧弹力平衡时，小球的动能最大9．如图8所示，处于真空中的匀强电场与水平方向成15°角，在竖直平面内的直线AB与场强E互相垂直，在A点以大小为v0的初速度水平向右抛出一质量为m、电荷量为＋q的小球，经时间t，小球下落一段距离过C点(图中未画出)时其速度大小仍为v0，已知A、B、C三点在同一平面内，则在小球由A点运动到C点的过程中( )图8A．小球的电势能增加B．小球的机械能增加C．小球的重力势能增加D．C点位于AB直线的右侧答案：AD 解析：由题，小球由A点运动到C点的过程中，重力做正功，重力势能减少，动能不变，由动能定理得知，电场力必定做负功，小球的电势能增加，故A正确，C错误；小球具有机械能和电势能，根据能量守恒，小球的电势能增加，则知小球的机械能一定减少，故B错误；小球的电势能增加，而小球带正电，则知C点的电势比A点电势高，故C点一定位于AB直线的右侧，故D正确．10．如图9所示，三根绝缘轻杆构成一个等边三角形，三个顶点分别固定A、B、C三个带正电的小球．小球质量分别为m、2m、3m，所带电荷量分别为q、2q、3q.CB边处于水平面上，ABC处于竖直面内，整个装置处于方向与CB边平行向右的匀强电场中．现让该装置绕过中心O并与三角形平面垂直的轴顺时针转过120°角，则A、B、C三个球所构成的系统的( )图9A ．电势能不变B ．电势能减小C ．重力势能减小D ．重力势能增大11．带电小球以一定的初速度v 0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h 1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v 0，小球上升的最大高度为h 2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v 0，小球上升的最大高度为h 3，若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v 0，小球上升的最大高度为h 4，如图10所示．不计空气阻力，则 ( )图10A ．一定有h 1＝h 3B ．一定有h 1<h 4C ．h 2与h 4无法比较D ．h 1与h 2无法比较答案：AC 解析：第1个图：由竖直上抛运动的最大高度公式得：h 1＝v 202g .第3个图：当加上电场时，由运动的分解可知：在竖直方向上有，v 20＝2gh 3，所以h 1＝h 3，故A 正确；而第2个图：洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时球的动能为E k ，则由能量守恒得：mgh 2＋E k ＝12mv 20，又由于12mv 20＝mgh 1，所以h 1>h 2，所以D 错误；第4个图：因电性不知，则电场力方向不清，则高度可能大于h 1，也可能小于h 1，故C 正确，B 错误．12．质量为m 的带电小球由空中某点A 无初速度地自由下落，在t 秒末加上竖直方向且范围足够大的匀强电场，再经过t 秒小球又回到A 点．整个过程中不计空气阻力且小球从未落地，则 ( ) A ．匀强电场方向竖直向上B ．从加电场开始到小球运动到最低点的过程中，小球动能变化了mg 2t 2C ．整个过程中小球电势能减少了2mg 2t 2D ．从A 点到最低点的过程中，小球重力势能变化了23mg 2t 2整个过程中小球速度增量为 Δv ＝v ′－v ＝－3gt ， 速度增量的大小为3gt .由牛顿第二定律得：a ＝qE －mgm ，联立解得电场力大小：Eq ＝4mg 整个过程中电场力做的功 W ＝4mg ·12gt 2＝2mg 2t 2；电场力做的功等于电势能的减少量，故整个过程中小球电势能减少了2mg 2t 2，故C 正确；设从A 点到最低点的高度为h ，根据动能定理得：mgh －qE (h －12gt 2)＝0解得：h ＝23gt 2，故D 正确．13．如图11所示，竖直平面内有两条水平的平行虚线ab 、cd ，间距为d ，其间(虚线边界上无磁场)有磁感应强度为B 的匀强磁场，一个正方形线框边长为L ，质量为m ，电阻为R .线框位于位置1时，其下边缘到ab 的距离为h .现将线框从位置1由静止释放，依次经过2、3、4三个位置，其下边框刚进入磁场和刚要穿出磁场时的速度相等，重力加速度为g ，下列说法正确的是 ( )图11A ．线框在经过2、3、4三个位置时，位置3时线框速度一定最小B ．线框进入磁场过程中产生的电热Q ＝mg (d －L )C ．线框从位置2下落到位置4的过程中加速度一直减小D ．线框在即将到达位置3的瞬间克服安培力做功的瞬时功率为2B 2L 2g h －d ＋LR14．如图12甲所示，左侧接有定值电阻R ＝2Ω的水平粗糙导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B ＝1T ，导轨间距L ＝1m ．一质量m ＝2kg ，阻值r ＝2Ω的金属棒在水平拉力F 作用下由静止开始从CD 处沿导轨向右加速运动，金属棒的v －x 图象如图乙所示，若金属棒与导轨间动摩擦因数μ＝0.25，则从起点发生x ＝1m 位移的过程中(g ＝10m/s 2)( )图12A ．金属棒克服安培力做的功W 1＝0.5JB ．金属棒克服摩擦力做的功W 2＝4JC ．整个系统产生的总热量Q ＝4.25JD ．拉力做的功W ＝9.25J15．如图13所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与定值电阻R 1和R 2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面．有一导体棒ab ，质量为m ，导体棒的电阻R 0与固定电阻R 1和R 2的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab 沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v 时，受到安培力的大小为F .此时( )图13A ．电阻R 1消耗的热功率为Fv3B ．电阻R 0消耗的热功率为Fv6C ．整个装置消耗的热功率为μmgv sin θD ．整个装置消耗的机械功率为(F ＋μmg cos θ)v答案：D 解析：设ab 长度为L ，磁感应强度为B ，电阻R 1＝R 2＝R . 电路中感应电动势E ＝BLv ， ab 中感应电流为：I ＝E R ＋12R＝2BLv3R ，ab 所受安培力为：F ＝BIL ＝2B 2L 2v3R ①电阻R 1消耗的热功率为： P 1＝(12I )2R ＝B 2L 2v 29R②由①②得：P 1＝16Fv ，电阻R 0和R 1阻值相等，P 0＝I 2R ＝23Fv ，故A 、B 错误；整个装置因摩擦而消耗的热功率为：P f ＝F f v ＝μmg cos θ·v ＝μmgv cos θ，故C 错误；整个装置消耗的机械功率为：P 3＝Fv ＋P f ＝(F ＋μmg cos θ)v ，故D 正确．16．如图14所示，倾角为θ＝37°的传送带以较大的恒定速率逆时针转动，一轻绳绕过固定在天花板上的轻滑轮，一端连接放在传送带下端质量为m 的物体A ，另一端竖直吊着质量为m2、电荷量为q ＝mgl 28k(k 为静电力常量)带正电的物体B ，轻绳与传送带平行，物体B 正下方的绝缘水平面上固定着一个电荷量也为q 带负电的物体C ，此时A 、B 都处于静止状态．现将物体A 向上轻轻触动一下，物体A 将沿传送带向上运动，且向上运动的最大距离为l .已知物体A 与传送带的动摩擦因数为μ＝0.5，A 、B 、C 均可视为质点，重力加速度为g ，不计空气阻力．求：图14(1)物体A、B处于静止状态时物体B、C间的距离；(2)从物体B开始下落与物体C碰撞的过程中，电场力对物体B所做的功．答案：(1)l2(2)mgl。

专题5 功能关系在电学中的应用考向预测本专题包括三个部分：电场中的功能关系；电磁感应中的功能关系；应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题。

电场中的功能关系中，电粒子(或带电体)在电场中的运动问题是近几年高考常考的问题，高考命题角度集中在动能定理在平行板电容器中的应用，动能定理在非匀强电场中的应用，抛体运动、功能关系在匀强电场中的应用；题目难度以中档题为主,有选择亦有计算题。

电磁感应中的功能关系，高考命题命题角度有能量守恒定律在电磁感应中的应用，电磁感应电路中的电功、电功率，试题难度以中档题为主。

应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题，在高考中常以压轴题的形式出现，题目综合性强，分值高，难度大。

高频考点：电场中的功能关系；电磁感应中的功能关系；应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题。

知识与技巧的梳理考点一、电场中的功能关系例(2017·全国I卷T20)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图所示。

电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别E a、E b、E c和E d。

点a到点电荷的距离r a与点a 的电势φa已在图中用坐标（r a，φa）标出，其余类推。

现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为W ab、W bc和W cd。

下列选项正确的是( ) A．E a : E b = 4:1B．E c : E d = 2:1C．W ab : W bc = 3:1D．W bc : W cd = 1:3【审题立意】本题考查点电荷的电场、电势、电场力做功等知识。

(1)点电荷电场中场强的计算；(2)点电荷电场中电势高低的判断；(3)点电荷电场中电场力做功的计算。

【解题思路】由图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1 m、2 m、3 m、6 m，根据点电荷的场强公式可知，，，故A正确，B 错误；电场力做功，a与b、b与c、c与d 之间的电势差分别为2 V 、1 V 、1 V ，所以，，故C 正确，D 错误。

专题05 功能关系在电学中的应用高考常对电学问题中的功能关系进行考查，特别是动能定理的应用．此类题目的特点是过程复杂、综合性强，主要考查学生综合分析问题的能力．预计2017年高考此类题目仍会出现．一、电场中的功能关系的应用1.电场力的大小计算电场力做功与路径无关．其计算方法一般有如下四种．(1)由公式W＝Fl cos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝Eql cos α.(2)由W＝qU计算，此公式适用于任何电场．(3)由电势能的变化计算：W AB＝E p A－E p B.(4)由动能定理计算：W电场力＋W其他力＝ΔE k.2．电场中的功能关系(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变．(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．(3)除重力、弹簧弹力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化．(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化．二、磁场中的功能关系的应用1.磁场力的做功情况(1)洛伦兹力在任何情况下对运动电荷都不做功．(2)安培力对通电导线可做正功、负功，还可能不做功，其计算方法一般有如下两种①由公式W＝Fl cos α计算．②由动能定理计算：W安＋W其他力＝ΔE k2．电磁感应中的功能关系(1)电磁感应电路为纯电阻电路时产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W克安(2)电磁感应发生的过程遵从能量守恒．焦耳热的增加量等于其他形式能量的减少量．考点一电场中的功能关系例1．如图2－6－3所示为某示波管内的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等势线．两电子分别从a、b两点运动到c点，设电场力对两电子做的功分别为W a和W b，a、b点的电场强度大小分别为E a和E b，则( )图2－6－3A．W a＝W b，E a >E b B．W a≠W b，E a >E bC．W a＝W b，E a<E b D．W a≠W b，E a <E b解析由于a、b在同一等势线上，故从a到c与从b到c的电势差相等，即U ac＝U bc，又由电场力做功公式W＝qU可知：W a＝W b，故B、D错误．又由电场线的疏密表示电场的强弱，从图可知a处比b处电场线密集，故E a>E b，故A对，C错．答案 A【变式探究】如图2－6－4所示，在绝缘水平面上方存在着足够大的水平向右的匀强电场，带正电的小金属块以一定的初速度从A点开始沿水平面向左做直线运动，经L长度到达B点，速度变为零．在此过程中，金属块损失的动能有23转化为电势能．金属块继续运动到某点C(图中未标出)时的动能和A点时的动能相同，则金属块从A开始运动到C的整个过程中经过的总路程为图2－6－4A．1.5L B．2LC．3L D．4L答案 D考点二功能观点在电磁感应问题中的应用例2．如图2－6－7所示，上下开口、内壁光滑的铜管P和塑料管Q竖直放置，小磁块先后在两管中从相同高度处由静止释放，并落至底部，则小磁块( )A．在P和Q中都做自由落体运动B．在两个下落过程中的机械能都守恒C．在P中的下落时间比在Q中的长D．落至底部时在P中的速度比在Q中的大图2－6－7解析由于电磁感应，小磁块在铜管P中还受到向上的磁场力，而在塑料管中只受到重力，即只在Q中做自由落体运动，机械能守恒，故A、B错误；而在P中加速度较小，下落时间较长，落至底部的速度较小，故C正确，D错误．答案 C【变式探究】(多选)如图2－6－8所示，竖直平面内有一足够长的宽度为L的金属导轨，质量为m的金属导体棒ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，且导体棒ab与金属导轨接触良好，ab电阻为R，其他电阻不计．导体棒ab由静止开始下落，过一段时间后闭合开关S，发现导体棒ab立刻做变速运动，则在以后导体棒ab的运动过程中，下列说法中正确的是( )图2－6－8A．导体棒ab做变速运动期间加速度一定减小B．单位时间内克服安培力做的功全部转化为电能，电能又转化为内能C．导体棒减少的机械能转化为闭合电路中的电能和电热之和，符合能的转化和守恒定律D．导体棒ab最后做匀速运动时，速度大小为v＝mgRB2L2答案ABD考点三、应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题例3、在如图2－6－11所示的竖直平面内，物体A和带正电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，分别静止于倾角θ＝37°的上的M点和粗糙绝缘水平面上，轻绳与对应平面平行．劲度系数k＝5 N/m的轻弹簧一端固定在O点，一端用另一轻绳穿过固定的光滑小环D与A相连．弹簧处于原长，轻绳恰好拉直，DM垂直于斜面．水平面处于场强E＝5×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中．已知A、B的质量分别为m A＝0.1 kg和m B＝0.2 kg，B所带电荷量q＝＋4×10－6C.设两物体均视为质点，不计滑轮质量和摩擦，绳不可伸长，弹簧始终处在弹性限度内，B电荷量不变．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.(1)求B所受静摩擦力的大小；(2)现对A施加沿斜面向下的拉力F，使A以加速度a＝0.6 m/s2开始做匀加速直线运动．A 从M到N的过程中，B的电势能增加了ΔE p＝0.06 J．已知DN沿竖直方向，B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.求A到达N点时拉力F的瞬时功率．图2－6－11(2)物体A 从M 点到N 点的过程中，A 、B 两物体的位移均为s ，A 、B 间绳子张力为T ，有qEs ＝ΔE p ④(2分)T －μm B g －qE ＝m B a ⑤(2分)设A 在N 点时速度为v ，受弹簧拉力为F 弹，弹簧的伸长量为Δx ，有v 2＝2asF 弹＝k ·ΔxF ＋m A g sin θ－F 弹sin θ－T ＝m A a⑧(2分)由几何关系知Δx ＝s 1－cos θsin θ⑨(2分)设拉力F 在N 点的瞬时功率为P ，有P ＝Fv 联立④～⑩式，代入数据解得P ＝0.528 W 答案 (1)0.4 N (2)0.528 W【变式探究】如图2－6－12所示，倾角为60°的倾斜平行轨道与竖直面内的平行圆形轨道平滑对接，轨道之间距离为L ，圆形轨道的半径为r .在倾斜平行轨道的上部有磁感应强度为B 的垂直于轨道向上的匀强磁场，磁场区域足够大，圆形轨道末端接有一电阻值为R 的定值电阻．质量为m 的金属棒从距轨道最低端C 点高度为H 处由静止释放，运动到最低点C 时对轨道的压力为7mg ，不计摩擦和导轨、金属棒的电阻，求：图2－6－12(1)金属棒通过轨道最低端C 点的速度大小； (2)金属棒中产生的感应电动势的最大值；(3)金属棒整个下滑过程中定值电阻R 上产生的热量；(4)金属棒通过圆形轨道最高点D 时对轨道的压力的大小．解析 (1)设金属棒通过轨道最低端C 点的速度为v C ，轨道对金属棒的支持力为F C ，金属棒对轨道的压力为F C ′，由牛顿第二定律可知F C －mg ＝mv 2Cr而F C ＝F C ′＝7mg解得v C ＝6gr .(3)由能量守恒定律，在金属棒的整个下滑过程中电阻器R 上产生的热量等于金属棒损失的机械能，所以Q ＝mgH －12mv 2C联立③⑦得Q ＝mg (H －3r )(4)金属棒由C 点运动到D 点，根据机械能守恒，有 12mv 2C ＝12mv 2D ＋mg ·2r金属棒通过圆形轨道最高点D 时，设轨道对金属棒竖直向下的压力为F D ，由牛顿第二定律有F D ＋mg ＝mv 2Dr联立解得F D ＝mg由牛顿第三定律可知金属棒通过圆形轨道最高点D 时对轨道的压力为mg . 答案 (1)6gr (2)3mgR2BL(3)mg (H －3r ) (4)mg1.【2016·全国卷Ⅱ】如图1­所示，P 是固定的点电荷，虚线是以P 为圆心的两个圆．带电粒子Q 在P 的电场中运动．运动轨迹与两圆在同一平面内，a 、b 、c 为轨迹上的三个点．若Q 仅受P 的电场力作用，其在a 、b 、c 点的加速度大小分别为a a 、a b 、a c ，速度大小分别为v a 、v b 、v c ，则( )图1­A．a a>a b>a c，v a>v c>v bB．a a>a b>a c，v b>v c>v aC．a b>a c>a a，v b>v c>v aD．a b>a c>a a，v a>v c>v b2.【2016·全国卷Ⅲ】关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )A．两个电势不同的等势面可能相交B．电场线与等势面处处相互垂直C．同一等势面上各点电场强度一定相等D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功【答案】B 【解析】静电场中的电场线不可能相交，等势面也不可能相交，否则的话会出现一个点有两个电场强度和两个电势值的矛盾，A错误；由W AB＝qU AB可知，当电荷在等势面上移动时，电荷的电势能不变，如果电场线不与等势面垂直，那么电荷将受到电场力，在电荷运动时必然会做功并引起电势能变化，这就矛盾了，B正确；同一等势面上各点电势相等，但电场强度不一定相等，C错误；对于负电荷，q<0，从电势高的A点移到电势低的B点，U AB>0，由电场力做功的公式W AB＝qU AB可知W AB<0，电场力做负功，D错误．3．【2016·江苏卷】一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图1­所示．容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )图1­A．A点的电场强度比B点的大B．小球表面的电势比容器内表面的低C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同4．【2016·北京卷】如图1­所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于板面的方向射入偏转电场，并从另一侧射出．已知电子质量为m ，电荷量为e ，加速电场电压为U 0，偏转电场可看作匀强电场，极板间电压为U ，极板长度为L ，板间距为d .(1)忽略电子所受重力，求电子射入偏转电场时的初速度v 0和从电场射出时沿垂直板面方向的偏转距离Δy ；(2)分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法．在解决(1)问时忽略了电子所受重力，请利用下列数据分析说明其原因．已知U ＝2.0×102V ，d ＝4.0×10－2m ，m ＝9.1×10－31kg ，e ＝1.6×10－19 C ，g ＝10 m/s 2.(3)极板间既有静电场也有重力场．电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势φ的定义式．类比电势的定义方法，在重力场中建立“重力势”φG 的概念，并简要说明电势和“重力势”的共同特点．图1­【答案】(1)2eU 0m UL 24U 0d(2)略 (3)略 【解析】(1)根据功和能的关系，有eU 0＝12mv 2电子射入偏转电场的初速度v 0＝2eU 0m在偏转电场中，电子的运动时间Δt ＝Lv 0＝L m 2eU 0偏转距离Δy ＝12a (Δt )2＝UL 24U 0d..(3)电场中某点电势φ定义为电荷在该点的电势能E p 与其电荷量q 的比值，即φ＝E p q由于重力做功与路径无关，可以类比静电场电势的定义，将重力场中物体在某点的重力势能E G 与其质量m 的比值，叫作“重力势”，即φG ＝E G m.电势φ和重力势φG 都是反映场的能的性质的物理量，仅由场自身的因素决定． 5．【2016·四川卷】中国科学院2015年10月宣布中国将在2020年开始建造世界上最大的粒子加速器．加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用．如图1­所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极．质子从K 点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变．设质子进入漂移管B 时速度为8×106m/s ，进入漂移管E 时速度为1×107m/s ，电源频率为1×107Hz ，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的12.质子的荷质比取1×108C/kg.求：(1)漂移管B 的长度； (2)相邻漂移管间的加速电压．【答案】(1)0.4 m (6)6×104V(2)设质子进入漂移管E 的速度为v E ，相邻漂移管间的加速电压为U ，电场对质子所做的功为W .质子从漂移管B 运动到E 电场做功W ′，质子的电荷量为q 、质量为m ，则W ＝qU ④ W ′＝3W ⑤W ′＝12mv 2E －12mv 2B ⑥联立④⑤⑥式并代入数据得U ＝6×104 V ⑦.6．【2016·全国卷Ⅲ】某同学用图1­中所给器材进行与安培力有关的实验．两根金属导轨ab 和a 1b 1固定在同一水平面内且相互平行，足够大的电磁铁(未画出)的N 极位于两导轨的正上方，S 极位于两导轨的正下方，一金属棒置于导轨上且与两导轨垂直．图1­(1)在图中画出连线，完成实验电路．要求滑动变阻器以限流方式接入电路，且在开关闭合后，金属棒沿箭头所示的方向移动．(2)为使金属棒在离开导轨时具有更大的速度，有人提出以下建议： A ．适当增加两导轨间的距离 B ．换一根更长的金属棒 C ．适当增大金属棒中的电流其中正确的是________(填入正确选项前的标号)． 【答案】(1)连线如图所示(2)AC(2)由动能定理BIL ·s ＝12mv 2－0可知，要增大金属棒离开导轨时的速度v ，可以增大磁感应强度B 、增大电流I 、增大两导轨间的距离L 或增大导轨的长度s ；但两导轨间的距离不变而只是换一根更长的金属棒后，等效长度L 并不会发生改变，但金属棒的质量增大，故金属棒离开导轨时的速度v 减小．7．【2016·江苏卷】回旋加速器的工作原理如图1­甲所示，置于真空中的D 形金属盒半径为R ，两盒间狭缝的间距为d ，磁感应强度为B 的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m ，电荷量为＋q ，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压值的大小为U 0.周期T ＝2πmqB.一束该种粒子在t ＝0～T2时间内从A 处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零．现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用．求：(1)出射粒子的动能E m ；(2)粒子从飘入狭缝至动能达到E m 所需的总时间t 0；(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出，d 应满足的条件．图1­【答案】(1)q 2B 2R 22m (2)πBR 2＋2BRd 2U 0－πmqB(3)d <πmU 0100qB 2R【解析】(1)粒子运动半径为R 时qvB ＝m v 2R且E m ＝12mv 2解得E m ＝q 2B 2R 22m(3)只有在 0～⎝ ⎛⎭⎪⎫T2－Δt 时间内飘入的粒子才能每次均被加速 则所占的比例为η＝T2－ΔtT2由η>99%，解得d <πmU 0100qB 2R .1.(2015·新课标全国Ⅱ·24)如图5，一质量为m 、电荷量为q (q ＞0)的粒子在匀强电场中运动，A 、B 为其运动轨迹上的两点．已知该粒子在A 点的速度大小为v 0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B 点时速度方向与电场方向的夹角为30°.不计重力．求A 、B 两点间的电势差．图5【答案】mv 20q【解析】 设带电粒子在B 点的速度大小为v B .粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即v B sin30°＝v 0sin60°①由此得v B ＝3v 0②设A 、B 两点间的电势差为U AB ，由动能定理有qU AB ＝12m (v 2B －v 20)③联立②③式得U AB ＝mv 20q1．（2014·四川卷）如图所示，水平放置的不带电的平行金属板p 和b 相距h ，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应．p 板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O 点右侧相距h处有小孔K ；b 板上有小孔T ，且O 、T 在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面．质量为m 、电荷量为－q (q >0)的静止粒子被发射装置(图中未画出)从O 点发射，沿p 板上表面运动时间t 后到达K 孔，不与板碰撞地进入两板之间．粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g .(1)求发射装置对粒子做的功；(2)电路中的直流电源内阻为r ，开关S 接“1”位置时，进入板间的粒子落在b 板上的A 点，A 点与过K 孔竖直线的距离为l .此后将开关S 接“2”位置，求阻值为R 的电阻中的电流强度；(3)若选用恰当直流电源，电路中开关S 接“1”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场(磁感应强度B 只能在0～B m＝()21＋5m ()21－2qt范围内选取)，使粒子恰好从b 板的T 孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面的夹角的所有可能值(可用反三角函数表示)．【答案】(1)mh 22t 2 (2)mh q （R ＋r ）⎝ ⎛⎭⎪⎫g －2h 3l 2t 2 (3)0<θ≤arcsin 25(2)S 接“1”位置时，电源的电动势E 0与板间电势差U 有E 0＝U ④板间产生匀强电场的场强为E ，粒子进入板间时有水平方向的速度v 0，在板间受到竖直方向的重力和电场力作用而做类平抛运动，设加速度为a ，运动时间为t 1，有U ＝Eh ⑤ mg －qE ＝ma ⑥h ＝12at 21⑦ l ＝v 0t 1⑧S 接“2”位置，则在电阻R 上流过的电流I 满足I ＝E 0R ＋r⑨ 联立①④～⑨得I ＝mh q （R ＋r ）⎝ ⎛⎭⎪⎫g －2h 3l 2t 2⑩(3)由题意知此时在板间运动的粒子重力与电场力平衡，当粒子从K 进入板间后立即进入磁场做匀速圆周运动，如图所示，粒子从D 点出磁场区域后沿DT 做匀速直线运动，DT 与b 板上表面的夹角为题目所求夹角θ，磁场的磁感应强度B 取最大值时的夹角θ为最大值θm ，设粒子做匀速圆周运动的半径为R ，有qv 0B ＝mv20R○11 过D 点作b 板的垂线与b 板的上表面交于G ，由几何关系有DG ＝h －R (1＋cos θ)○12 TG ＝h ＋R sin θ○13 tan θ＝sin θcos θ＝DG TG○14 联立①○11～○14，将B ＝B m 代入，求得 θm ＝arcsin 25○15则题目所求为 0<θ≤arcsin 25○17 . （2013·新课标Ⅰ卷）16.一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d ，极板分别与电池两极相连，上极板中心有一小孔(小孔对电场的影响可忽略不计)。