北师大版高考数学一轮总复习7.4《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》ppt课件.ppt

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决．(1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x,y的函数解析式,如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[常用结论]二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时,区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．(2)若B(Ax＋By＋C)<0时,区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编1．下列各点中,不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3)D ．(2,－3)C [∵－1＋3－1＞0,∴点(－1,3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内,故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＜0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )A B C DC [把点(0,0)代入不等式组可知,点(0,0)不在x －3y ＋6＜0表示的平面区域内,点(0,0)在x －y ＋2≥0表示的平面区域内,故选C.]3．已知x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≤1，y≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( )A ．3,－3B ．2,－4C ．4,－2D ．4,－4C [不等式组所表示的平面区域如图所示．其中A(－1,－1),B(2,－1),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12, 画直线l 0：y ＝－2x,平移l 0过B 时,z max ＝4, 平移l 0过点A 时,z min ＝－2.]4．投资生产A 产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米；投资生产B 产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,则上述要求可用不等式组表示为________．(用x,y 分别表示生产A,B 产品的吨数,x 和y 的单位是百吨)⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y≤1 400，200x ＋100y≤900，x≥0，y≥0[用表格列出各数据：A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出,x≥0,y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900. ]考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)平面区域的确定：直线定界,特殊点定域．①直线定界：当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线； ②特殊点定域：常用的特殊点为(0,0),(1,0),(0,1)． (2)平面区域的形状问题主要有两种题型①确定平面区域的形状,求解时先画满足条件的平面区域,然后判断其形状；②根据平面区域的形状求解参数问题,求解时通常先画满足条件的平面区域,但要注意对参数进行必要的讨论．1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )A BC DC [(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.]2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y≥0，x ＋y≤a 表示的平面区域的形状是三角形,则a 的取值范围是( )A ．a≥43B ．0<a≤1C ．1≤a≤43D ．0<a≤1或a≥43D [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知,要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形,只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1,l 2之间(包含l 2,不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．]3．(2019·南昌模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤－x ＋2，y≤kx－1，y≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形,则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1D [由题意知k>0,且不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤－x ＋2，y≤kx－1，y≥0所表示的平面区域如图所示．∵直线y ＝kx －1与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，0, 直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋1，2k －1k ＋1,∴三角形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ×2k －1k ＋1＝14,解得k ＝1或k ＝27,经检验,k ＝27不符合题意,∴k ＝1.]4．若函数y ＝2x图像上存在点(x,y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x≥m，则实数m 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2B [在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图像及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x≥m，所表示的平面区域,如图中阴影部分所示．由图可知,当m≤1时,函数y ＝2x的图像上存在点(x,y)满足约束条件,故m 的最大值为1.](1)平面区域内的点满足 “同侧同号、异侧异号”的规律,如T 1,T 4.(2)计算平面区域的面积时,根据平面区域的形状,先求出有关的交点坐标、线段长度,最后根据相关图形的面积公式进行计算,如果是不规则图形,则可通过割补法计算面积．考点2 求目标函数的最值求线性目标函数的最值 截距型：形如z ＝ax ＋by.求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式,通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．注意平面区域要画对,特别是图中涉及到直线的斜率大小关系．(2018·全国卷Ⅰ)若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．6 [作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域,作出直线3x ＋2y ＝0,并平移该直线,当直线过点A(2,0)时,目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值,且z max ＝3×2＋2×0＝6.][母题探究] 本例条件不变,试求z ＝3x －2y 的范围．[解] z ＝3x －2y 变形为y ＝32x －12z,由本例可行域知直线y ＝32x －12z 过A 点时截距取得最小值,而z恰好取得最大值,即z ＝6.过C 点时截距取得最大值而z 恰好取得最小值,即z ＝－6, ∴z ＝3x －2y 的范围为[－6,6]．充分理解目标函数的几何意义是求解本类问题的关键．(2019·北京高考)若x,y 满足|x|≤1－y,且y≥－1,则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7C [由题意⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y≥－1,作出可行域如图阴影部分所示.设z ＝3x ＋y,y ＝z －3x,当直线l 0：y ＝z －3x 经过点C(2,－1)时,z 取最大值5.故选C.]求非线性目标函数的最值非线性目标函数的常见代数式的几何意义主要有：(1)距离型：x 2＋y 2表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离,x －a2＋y －b2表示点(x,y)与点(a,b)间的距离．(2) 斜率型：y x 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y －bx －a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．(2019·广州模拟)若实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x≥0，y≤2.则yx的取值范围为________． [2,＋∞) [作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示．z ＝y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在,即z max 不存在)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B(1,2),所以k OB ＝21＝2,即z min ＝2,所以z 的取值范围是[2,＋∞)．][母题探究]1．本例条件不变,则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为________． [1,5] [z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2,最大值为OB 2. 易知A(0,1),所以OA 2＝1,OB 2＝12＋22＝5,所以z 的取值范围是[1,5]．]2．本例条件不变,则目标函数z ＝y －1x －1的取值范围为______．(－∞,0] [z ＝y －1x －1可以看作点P(1,1)与平面内任一点(x,y)连线的斜率．易知点P(1,1)与A(0,1)连线的斜率最大,为0.无最小值．所以z 的取值范围是(－∞,0]．]求非线性目标函数的最值时,注意目标函数的几何意义及转化的等价性,如x 2＋y 2是距离的平方,易忽视平方而求错,y －1x －1是点(x,y)与(1,1)连线的斜率,易误认为点(x,y)与(－1,－1)连线的斜率．(2019·海南五校模拟)已知实数x,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y≥－2，y≥1，则(x －3)2＋(y ＋2)2的最小值为________．13 [画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，x －y≥－2，y≥1表示的平面区域(图略),易知(x －3)2＋(y ＋2)2表示可行域内的点(x,y)与(3,－2)两点间距离的平方,通过数形结合可知,当(x,y)为直线x ＋y ＝2与y ＝1的交点(1,1)时,(x －3)2＋(y ＋2)2取得最小值,最小值为13.]求参数值或取值范围由目标函数的最值求参数的2种基本方法一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数．(1)已知z ＝2x ＋y,其中实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋y≤2，x≥a，且z 的最大值是最小值的4倍,则a的值是( )A.211 B.14C.4D.112(2)(2019·湖南湘东六校联考)若变量x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1≥0，3x ＋y －11≤0，y≥2，且z ＝ax －y 的最小值为－1,则实数a 的值为________．(1)B (2)2 [(1)作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z,由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时,直线的纵截距最大,z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A(1,1),z max ＝2×1＋1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时,直线的纵截距最小,此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a ，则点B(a,a)．∴z min ＝2×a＋a ＝3a, ∵z 的最大值是最小值的4倍, ∴3＝4×3a ,即a ＝14.(2)画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知,若a≥3,则直线z ＝ax －y 经过点B(1,2)时,z 取得最小值,由a －2＝－1,得a ＝1,与a≥3矛盾；若0<a<3,则直线z ＝ax －y 经过点A(2,5)时,z 取得最小值,由2a －5＝－1,解得a ＝2；若a≤0,则直线z ＝ax －y 经过点A(2,5)或C(3,2)时,z 取得最小值,此时2a －5＝－1或3a －2＝－1,解得a ＝2或a ＝13,与a≤0矛盾,综上可知实数a 的值为2.](1)“目标函数”含参,使问题从“静态”化为“动态”,即对线性规则问题融入动态因素,用运动变化的观点来探究参数,此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力．(2)当“约束条件”含参时,可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线,进而确定“约束条件”中所含有的参数值,然后画出可行域,把问题转化为一般形式的线性规划问题．x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1D [作出可行域(如图),为△ABC 内部(含边界)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由k AB ＝－1,k AC ＝2,k BC ＝12可得a ＝－1或a ＝2或a ＝12,验证：a ＝－1或a ＝2时,成立；a ＝12时,不成立．故选D.]考点3 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么． (2)转化——设元,写出约束条件和目标函数．(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C 甲 4 8 3 乙5510现有A 1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元．分别用x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由题意知,x,y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y≤200，8x ＋5y≤360，3x ＋10y≤300，x≥0，y≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分． 图1(2)设利润为z 万元,则目标函数为z ＝2x ＋3y.考虑z ＝2x ＋3y,将它变形为y ＝－23x ＋z 3,它的图像是斜率为－23,随z 变化的一族平行直线,z 3为直线在y 轴上的截距,当z 3取最大值时,z 的值最大． 根据x,y 满足的约束条件,由图2可知,当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时,截距z 3最大,即z 最大．图2解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24),所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x,y 的取值范围,特别注意分析x,y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料,生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产A 产品x 件,B 产品y 件,则⎩⎪⎨⎪⎧ 1.5x ＋0.5y≤150，x ＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，x ∈N ＋，y≥0，y ∈N ＋.目标函数z ＝2 100x ＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时,z 取得最大值,z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-4二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)(2014·福州调研)若x >0，则x ＋4x 的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4[答案] D[解析] ∵x >0，∴x ＋4x≥4.(理)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 [答案] B[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．2．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 [答案] B[解析] 设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16>x >0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝(x 4)2＋(16－x 4)2≥(x 4＋16－x 4)22＝8，当且仅当x 4＝16－x4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8.3．(文)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14 [答案] B[解析] 本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用．根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.(理)下列函数最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0＜x ＜π) C ．y ＝3x ＋4·3－xD ．y ＝lg x ＋4log x 10[答案] C[解析] A 中没有强调x ＞0不能直接运用基本不等式，故不对．B 中虽然x ∈(0，π)，sin x ＞0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sin x ＝4sin x 即sin x ＝±2矛盾，所以等号取不到，故不对．C 中3x ＞0，∴可直接运用基本不等式3x ＋4·3－x ≥24＝4，当且仅当3x ＝43x ，即3x ＝2，x ＝log 32时取等号，故正确．D 中由于没有给出x 的范围，所以lg x 不一定大于0，故不对．4．(2013·福建高考)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2][答案] D[解析] 本题考查均值不等式．由2x ＋2y ≥22x ·2y ，则2x ＋y ≤12即2x ＋y ≤2－2，x ＋y ≤－2.5．当x >54时，f (x )＝4x ＋14x －5的最小值是( )A ．－3B ．2C ．5D ．7 [答案] D[解析] ∵x >54，∴4x －5>0.f (x )＝4x ＋14x －5＝(4x －5)＋14x －5＋5≥2(4x －5)×14x －5＋5＝7(当x ＝32时取等号)．6．(文)若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8[答案] C[解析] 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．(理)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <R D ．P <R <Q[答案] B[解析] 解法1：取a ＝100，b ＝10. P ＝2，Q ＝32＝lg1032＝lg 1 000，则有R ＝lg55＝lg 3 025>Q ， 即P <Q <R . 解法2：∵a >b >1， ∴lg a >lg b >0.∴P ＝lg a ·lg b ＝lg a ·lg b <lg a ＋lg b2＝Q ，∴Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg ab <lg a ＋b 2＝R ，∴P <Q <R . 二、填空题7．(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[答案] 36[解析] 本题主要考查均值不等式等号成立的条件． 由于x >0，a >0，f (x )＝4x ＋ax≥4a .此时当4x ＝ax 时，f (x )取得最小值4a ，即a ＝4x 2.∴a ＝4×32＝36.8．设点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图像上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．[答案] －2[解析] ∵(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限的图像上运动， ∴m ＋n ＝1且m >0，n >0. ∴mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n 时等号成立．∴log 2m ＋log 2n ＝log 2(m ·n )≤log 214＝－2.∴log 2m ＋log 2n 最大值为－2.9．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是________．[答案] 4[解析] 由已知易得x ＋3y ＝1， 所以1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ·(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ·x3y＝4， 当且仅当3y x ＝x3y 时取得等号．三、解答题10．(1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值．(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值．[分析] (1)由于x >0，且12x ·3x ＝36是常数，故可直接利用基本不等式求值．(2)由于4x －3·x 不是常数，故需利用拆、凑项将原函数变为f (x )＝4x －3＋(x －3)＋3，然后再用基本不等式求解．[解析] (1)∵x >0， ∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12， 当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号．∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3， ∴x －3<0.∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1.当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.能力强化训练一、选择题1．(文)已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值是( ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．6 D ．7[答案] D[解析] ∵3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1 ≥23x＋3y＋1＝2×3＋1＝7，(当且仅当x ＝3y ＝1等号成立)∴所求最小值为7.(理)若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4[答案] D[解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4， 则直线应过圆心，∴－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋1＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4 (等号在a ＝b ＝12时成立)． 2．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、汽油费约为9 000元，年维修费第一年是2 000元，以后逐年递增2 000元．问这种汽车使用________年时，它的年平均费用最小( )A ．11B ．10C ．9D ．8[答案] B[解析] 设汽车使用n 年时，年平均费用为y ，则y ＝10＋0.2n ＋n (n －1)2×0.2＋0.9nn ＝10＋n ＋0.1n 2n ＝10n ＋n10＋1≥2＋1＝3，当且仅当n ＝10时，年平均费用y 最小，选B.二、填空题3．设x >1，y >1，且lg(xy )＝4，则lg x ·lg y 的最大值为________． [答案] 4[解析] ∵x >1，y >1， ∴lg x >0，lg y >0，∴lg x ·lg y ≤(lg x ＋lg y 2)2＝lg 2(xy )4＝4(当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号)．∴当x ＝y ＝100时，lg x ·lg y 有最大值4.4．当a >0，a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n 的最小值是________．[答案] 2 2[解析] A (2,1)，故2m ＋n ＝1. ∴4m ＋2n ≥24m ·2n ＝222m ＋n ＝2 2.当且仅当4m ＝2n ，即2m ＝n ， 即n ＝12，m ＝14时取等号．∴4m ＋2n 的最小值为2 2. 三、解答题5．(文)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.[分析] 两次利用基本不等式时，注意等号能否成立及成立时的条件． [解析] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab. 当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立．又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝2 2.当且仅当2ab ＝ab 时等号成立．所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．(理)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. [分析] 由不等式左边含字母a ，b 右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a ，b ，不等号方向又不对，因a ＋b ＝1，能否把左边展开，实行“1”的代换．[解析] 方法一 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1. 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋ab.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1， 所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8，因此⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 6．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (x >0)(单位：元)．(1)将总费用y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用．[解析] 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360， 由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x－360(x >0)(2)∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．。

2013年高考数学一轮复习课时训练 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 北师大版A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )．解析 将点(1,0)代入x －2y 得1－2×0＝1＞0. 答案 D2．(2011·浙江)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y的最小值是( )． A ．14B ．16C ．17D ．19解析 线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16. 答案 B3．(2011·西安模拟)满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3，x ＋2y ≤3，x ≥0，y ≥0的目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )． A ．1B.32C ．2D ．3解析 由线性约束条件画出可行域如图，A 、B 、C 的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，B (1,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，由图可知z max ＝1＋1＝2.答案 C4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )． A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值．解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时z min＝2 200. 答案 B5．(2011·重庆一诊)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )．A.256B.83C.113D ．4解析 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b 2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256. 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·成都月考)若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________. 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝4，2m ＋3＜3，解得m ＝－3.答案 －37．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析 由约束条件画出可行域如图．当直线3x －y ＝0移至直线x ＋2y ＝4与直线x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数z ＝3x －y 取得最大值等于3×2－1＝5. 答案 58．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：ab /万吨c /百万元A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产2万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．解析 可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，作图可知当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15(百万元)．答案 15三、解答题(共23分)9．(11分)用不等式组表示图中阴影部分表示的区域．解 先求出四边形各边所在的直线方程如下AB ：2x －11y ＋17＝0， BC ：2x －y －3＝0， CD ：2x －11y ＋67＝0， DA ：2x －y ＋7＝0.∴所求不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧2x －11y ＋17≤0，2x －11y ＋67≥0，2x －y －3≤0，2x －y ＋7≥0.10．(12分)画出2x －3＜y ≤3表示的区域，并求出所有正整数解．解 先将所给不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧y ＞2x －3，y ≤3.而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎩⎪⎨⎪⎧y ＞2x －3，y ≤3，x ＞0，y ＞0的整数解．所给不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧y ＞2x －3，y ≤3.依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)．对于2x －3＜y ≤3的正整数解，再画出⎩⎪⎨⎪⎧y ＞2x －3，y ≤3，x ＞0，y ＞0表示的平面区域．如图(2)所示：可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M有公共点，则k 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13 解析 如图所示，画出可行域，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.答案 C2．(2011·湖南)设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )． A ．(1,1＋2) B ．(1＋2，＋∞) C ．(1,3) D ．(3，＋∞)解析 变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A (11＋m ，m1＋m )，所以目标函数的最大值是11＋m ＋m 21＋m<2，即m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·全国新课标)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析 根据⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9得可行域如图所示；根据z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z 2，平移直线y ＝－x2，在M 点z 取得最小值．根据⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝92x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－5，此时z ＝4＋2×(－5)＝－6.答案 －64．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，x －2y －1≤0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.解析 由题意可知，不等式组表示的可行域是由A (1,3)，B (3,1)，C (5,2)组成的三角形及其内部．当m ＞0时，z ＝x ＋my 与x ＋y －4＝0重合时满足题意，得m ＝1，当m ＜0时，z ＝x＋my 在点A 处取得最小值不合题意，当m ＝0时不合题意，综上，m ＝1.答案 1三、解答题(共22分)5．(10分)若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，求以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积．解 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax ＋by ≤1恒成立，只要ax ＋by 的最大值不超过1即可．令z ＝ax ＋by ，则y ＝－a b x ＋z b.因为a ≥0，b ≥0，则－1＜－a b ≤0时，b ≤1，或－a b≤－1时，a ≤1. 此时对应的可行域如图，所以以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的面积为1.6．(12分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童S 这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．。

第七章 不等式、推理与证明7.1 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识预案自诊知识梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C ≥0所表示的平面区域时,此区域应 边界直线,则把边界直线画成 .(2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x ,y )代入Ax+By+C ,所得的符号都 ,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0,y 0)作为测试点,由Ax 0+By 0+C 的 即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的相关概念名 称 意 义线性约束条件 由x ,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x ,y 的约束条件目标函数关于x,y 的解析式 线性目标函数 关于x ,y 的一次解析式可行解 满足 的解(x ,y ) 可行域 所有 组成的集合最优解使目标函数达到 或 的可行解线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的 或 的问题1.二元一次不等式表示的平面区域 二元一次 不等式 Ax+By+C ≥0(A>0,B>0) Ax+By+C≤0(A>0,B >0) Ax+By+C ≥0(A>0,B<0) Ax+By+C≤0(A>0,B<0) 平面 区域2.点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2)位于直线Ax+By+C=0考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的上方. ( ) (2)两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )<0.( )(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (5)在目标函数z=ax+by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax+by-z=0在y 轴上的截距.( ) 2.不等式组{x -3x +6<0,x -x +2≥0表示的平面区域是( )3.(2020湖南长沙一中第三次调研)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x +3x -6≤0,x +x -2≥0,x ≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是( ) A.1B.√2C.2D.2√24.(2020福建漳州二模,文14)若实数x ,y 满足{x +x ≥2,x +3x -3≤0,x ≥0,则xx的最大值是 .5.(2020全国2,文15)若x ,y 满足约束条件{x +x ≥-1,x -x ≥-1,2x -x ≤1,则z=x+2y 的最大值是 .关键能力学案突破考点二元一次不等式(组)表示的平面【例1】(1)(2020河南天一大联考)不等式组{x -2≤0,x -2x +4≥0,-x -x +2≤0表示的平面区域的面积为 .(2)已知实数x ,y 满足{x ≥1,x -2x +1≤0,x +x ≤x ,若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则m 的取值范围为 .思考确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是什么?求平面区域的面积的技巧是什么?解题心得1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则①当B (Ax+By+C )>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B (Ax+By+C )<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.2.求平面区域的面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;(2)对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高;若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解;若为不规则四边形,则可分割成几个三角形分别求解再求和.(3)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.对点训练1(1)已知不等式组{x ≥0,x -√3x ≤0,x +√3x -2√3≤0,表示的可行域为D ,则可行域D 的面积为( )A.2√3B.2C.√3D.√32(2)设命题p :实数x ,y 满足{x -x ≤0,x +2x ≤2,x ≥-2,命题q :实数x ,y 满足(x+1)2+y 2≤m ,若p 是q的必要不充分条件,则正实数m 的取值范围是 .考点求目标函数的最值问题(多考向探究)考向1 求线性目标函数的最值【例2】(1)(2020全国1,理13)若x ,y 满足约束条件{2x +x -2≤0,x -x -1≥0,x +1≥0,则z=x+7y 的最大值为 .(2)(2020福建福州模拟,理13)设x ,y 满足约束条件{2x +x -2≥0,x -2x +4≥0,x ≤2,则z=x-3y 的最小值为 .思考求线性目标函数的最值的注意事项是什么? 考向2 求非线性目标函数的最值【例3】(1)(2020河南郑州质检)已知变量x ,y 满足{x -2x +4≤0,x ≥2,x +x -6≥0,则k=x +1x -3的取值范围是( )A.(-∞,-5]∪12,+∞B.-5,12 C.(-∞,-5)∪12,+∞D.-5,12(2)(2020安徽马鞍山模拟)已知实数x,y满足{x≤1,x≤x+1,x≥1-x,则x2+y2的最大值与最小值之和为.思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?考向3求参数值或取值范围【例4】(1)设x,y满足不等式组{x+x-6≤0,2x-x-1≤0,3x-x-2≥0,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为()A.[-1,2]B.[-2,1]C.[-3,-2]D.[-3,1](2)(2020江西南昌十中月考)若实数x,y满足不等式组{x+x-1≥0,x-x+1≥0,x≤x,若目标函数z=ax-2y的最大值为13,则实数a的值是()A.3B.4C.5D.6思考如何利用可行域及最优解求参数及其取值范围?考向4最优解不唯一的条件下求参数的值【例5】已知x,y满足约束条件{x+x-2≤0,x-2x-2≤0,2x-x+2≥0.若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为.思考最优解有无数多个时,目标函数有什么特点?解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.对点训练2(1)(2020山西太原五中二模,理5)若x,y满足约束条件{x-2x-2≤0,x-x+1≥0, x≤0,则z=3x+2y的最大值为()A.4B.5C.6D.7(2)(2020浙江衢州二中检测)若实数x ,y 满足约束条件{x -x +1≥0,2x +3x ≤6,x +1≥0,则z=2|x |-y 的最小值是( )A.-25B.5C.-1D.-2(3)(2020江西高三月考,文7)已知{x -x +1≥0,7x -x -7≤0,x ≥0,x ≥0表示的平面区域为D ,若“存在(x ,y ),2x+y>a ”为假命题,则实数a 的取值范围是( )A.[5,+∞)B.[2,+∞)C.[1,+∞)D.[0,+∞)(4)(2020重庆一中模拟,文15)已知实数x ,y 满足{x -x -2≤0,x +2x -5≥0,x -2≤0,则函数z=4x·(18)x 的最小值为 .考点线性规划的实际应用【例6】某家具厂有方木料90 m 3,五合板600 m 2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3,五合板2 m 2,生产每个书橱需要方木料0.2 m 3,五合板1 m 2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少? (2)怎样安排生产可使所得利润最大?思考利用线性规划解决实际应用问题的步骤是什么?其注意事项是什么?解题心得利用线性规划求解实际问题的一般步骤 (1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据; (2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知量; (3)根据问题的特点,写出约束条件;(4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.对点训练3(2020河北张家口二模,理9)某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2 000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5 000斤,成本3 000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为()A.4万元B.5.5万元C.6.5万元D.10万元1.非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.2.线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值.第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×2.C3.B作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O到直线=√2.x+y-2=0的距离,所以|OM|min=|-2|√24.13 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分,设xx =k OP ,P 为可行域上一点,其中O (0,0),P (x ,y ),由{x +x =2,x +3x -3=0,得A32,12,所以由图可知,当P 位于A 时,(xx )max=k OA =13.5.8 作出可行域如图所示(阴影部分).因为z=x+2y ,所以y=-12x+x2.作出直线y=-12x ,平移直线可知,当直线过点A 时,x2最大,即z 最大. 由{2x -x =1,x -x =-1,解得{x =2,x =3,故A (2,3).所以z max =2+2×3=8.关键能力·学案突破例1(1)3 (2)(2,+∞) (1)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,平面区域为△ABC 及其内部,其中A (2,0),B (0,2),C (2,3), 所以所求面积为12×2×|AC|=3.(2)如图所示,{x ≥1,x -2x +1≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知直线x=1与x-2y+1=0的交点坐标为A (1,1),不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A 位于直线x+y=m 下方,据此有1+1<m ,即m 的取值范围为(2,+∞).对点训练1(1)C (2)0,12 (1)作出不等式组{x ≥0,x -√3x ≤0,x +√3x -2√3≤0对应的可行域如图,由{x =0,x -√3x =0,得A (0,0),由{x -√3x =0,x +√3x -2√3=0,得C (√3,1),由{x =0,x +√3x -2√3=0,得B (0,2),则区域D 的面积S=12×2×√3=√3.故选C.(2)根据题意,m 为正实数,所以满足q 的点(x ,y )在以(-1,0)为圆心,以√x 为半径的圆周及其内部,记作Q ,满足条件p 的点构成的集合记作P ,因为p 是q 的必要不充分条件,所以Q ⫋P.如图,设直线x=-2和直线x+2y=2的交点为A ,直线x-y=0和直线x+2y=2的交点为B ,直线x=-2和直线y-x=0的交点为C , 则点(-1,0)到直线AC 的距离d 1=1, 点(-1,0)到直线BC 的距离d 2=1√12+12=√22, 点(-1,0)到直线AB 的距离d 3=|-1+0-2|√12+22=3√55,所以点(-1,0)到三角形ABC 边界的最小距离为√22.所以√x ≤√22, 即m ∈0,12.例2(1)1 (2)-7 (1)画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y 变形可得y=-17x+17z ,平移直线y=-17x.由图可得直线经过点A 处时,z 取得最大值.由{x -x -1=0,2x +x -2=0,得{x =1,x =0,所以A (1,0),所以z max =1+7×0=1.(2)在坐标系中画出x ,y 满足约束条件{2x +x -2≥0,x -2x +4≥0,x ≤2的可行域,如图所示,由z=x-3y 可得y=13x-13z ,则-13z 表示直线z=x-3y 在y 轴上的截距,截距越大,z 越小,平移直线x-3y=0,经过点A 时,z 最小,由{x =2,x -2x +4=0,可得A (2,3),此时z min =2-3×3=-7.例3(1)A (2)112 (1)作不等式组表示的可行域,如图所示.由于k=x +1x -3表示动点M (x ,y )与定点P (3,-1)连线的斜率. 又k PA =4-(-1)2-3=-5,且直线x-2y+4=0的斜率为12.所以k 的取值范围为(-∞,-5]∪12,+∞.(2)作出不等式组{x ≤1,x ≤x +1,x ≥1-x表示的可行域,如图阴影部分所示,x 2+y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方,由图可知,点O 到直线x+y-1=0的距离最小,为√22.可行域内的点B 与坐标原点的距离最大,为√22+12=√5.所以x2+y2的最大值与最小值之和为5+12=112.例4(1)B(2)A(1)由z=ax+y得y=-ax+z,如图,作出不等式组对应的可行域(阴影部分),则A(1,1),B(2,4).由题意和图可知,直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,过点A时,取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满足条件,若a>0,k=-a<0,则目标函数的斜率满足-a≥k BC=-1,即0<a≤1,若a<0,k=-a>0,则目标函数的斜率满足-a≤k AC=2,即-2≤a<0.综上,a的取值范围是[-2,1].(2)画出满足条件{x+x-1≥0,x-x+1≥0,x≤x的可行域,如下图所示,根据图像可得a>0,目标函数化为y=x2x-x2,当目标函数过A(a,-a+1)时,z取得最大值,所以a2+2a-2=13,a2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去).故选A.例5-1或2作出不等式组表示的可行域,如图.目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.对点训练2(1)C (2)C (3)A (4)116 (1)作出不等式组表示的可行域,如图所示,由z=3x+2y ,得y=-32x+x2,根据图像可知,当过M 点时,z 取最大值, 联立{x -2x -2=0,x =0,解得x=2,y=0,所以M (2,0),则z 的最大值为6.故选C.(2)作不等式组表示的可行域如图,由z=2|x|-y 可得y=2|x|-z ,作y=2|x|图像,由图像可知,当向上平移y=2|x|过点A 时,-z 最大,即z 最小,令x=0,由y=x+1可得A (0,1),所以z min =2×0-1=-1,故选C.(3)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,令Z=2x+y ,得y=-2x+Z ,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值,联立直线方程{x -x +1=0,7x -x -7=0,得点A 43,73,所以Z=2x+y 的最大值为5,因为“存在(x ,y )∈R ,2x+y>a ”为假命题,所以“任意(x ,y ),2x+y ≤a ”为真命题,所以实数a 的取值范围是[5,+∞),故选A.(4)作出不等式组所表示的可行域如下,因为z=4x·(18)x=22x-3y,令t=2x-3y ,则y=23x-x3,当直线y=23x-x3过点M 时,在y 轴截距最大,此时t 取最小值,则z=2t最小. 由{x =2,x +2x -5=0,得M (1,2),所以t min =2-3×2=-4,则z min =116.例6解由题意可画表格如下家具方木料/m 3 五合板/m 2 利润/元书桌/个 0.1 2 80 书橱/个0.2 1120(1)设只生产书桌x 个,可获得利润z 元, 则{0.1x ≤90,2x ≤600,解得{x ≤900,x ≤300,则x ≤300. 因为z=80x ,所以当x=300时,z max =80×300=24000(元),即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24000元. (2)设生产书桌x 张,书橱y 个,利润总额为z 元.由题可得{x +2x ≤900,2x +x ≤600,x ≥0,x ≥0,z=80x+120y.在直角坐标平面内作出不等式组所表示的可行域,如图.作直线l 0:80x+120y=0,即直线l 0:2x+3y=0.把直线l 0向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的点M (100,400), 此时z=80x+120y 取得最大值.所以当x=100,y=400时,z max =80×100+120×400=56000(元), 即生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大.对点训练3B 设冬瓜和茄子的种植面积分别为x ,y 亩,总利润z 万元,则目标函数z=(0.5x×10000-2000x )+(1.4y×5000-3000y ) =3000x+4000y=1000(3x+4y ),由题可得{x +x ≤15,2000x +3000x ≤40000,x ≥0,x ≥0,即{x +x ≤15,2x +3x ≤40,x ≥0,x ≥0,作出可行域如图,由{x +x =15,2x +3x =40,可得{x =5,x =10,即A (5,10),平移直线l 0:3x+4y=0,可知直线l 0经过点A (5,10)时,即x=5,y=10时,z 取得最大值5.5万元,即该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为5.5万元.。

第三节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题［考纲传真］（教师用书独具）1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（对应学生用书第97页）［基础知识填充］1•二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l : ax + by+ c = 0把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线l上的点（x, y）的坐标满足ax+ by+ c= 0;（2）直线l 一侧的平面区域内的点（x, y）的坐标满足ax+ by+ c>0;（3）直线l另一侧的平面区域内的点（x, y）的坐标满足ax+ by+ c v0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x o, y o），从ax o+ by o+ c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.2•线性规划相关概念名称意义结束条件由变量x, y组成的一次不等式组线性约束条件由x, y的一次不等式（或方程）组成的等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x, y的一次解析式可行解在线性规划问题中，满足约束条件的解（x, y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处取得二元线性规划问题如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题3. 重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：（1）直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；（2）特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取（0,1）或（1,0）来验证.［知识拓展］1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:双基自主测评I 梳理自浪」对于Ax+ By+ C> 0 或Ax+ By+ C v 0,则有(1)当B( Ax+ By+ C) > 0时，区域为直线Ax+ By+ C= 0的上方;⑵当B(Ax+ By+ C) v 0时，区域为直线Ax+ By+ C= 0的下方.2 •最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解. 最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.［基本能力自测］1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 不等式Ax+ By+ C>0表示的平面区域一定在直线Ax+ By+ C= 0的上方.()(2) 线性目标函数的最优解可能不唯一. ()(3) 目标函数z= ax+ by( 0)中，z的几何意义是直线ax+ by—z = 0在y轴上的截距.()(4) 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. ()［答案］⑴X (2) V (3) X ⑷Vx—3y + 6<0,2. (教材改编)不等式组* 表示的平面区域是()x—y+ 2>0C ［x—3y+ 6<0表示直线x —3y+ 6= 0左上方的平面区域,x —y + 2》0表示直线x —y + 2 = 0及其右下方的平面区域，故选 C.］x + 3y w 3,3. （2017 •全国卷I ）设x, y满足约束条件x —y > 1, 则z= x+ y的最大值为（）y> 0,A. 0B. 1C. 2D. 3D ［根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z= x+ y得y= —x +乙作出直线y = —x，并平移该直线，当直线y = —x+ z过点A时，目标函数取得最大值. 由图知A(3,0)，标都是整数的点，则整数 a 的值为（故 Z max = 3+ 0 = 3. 故选D.]4.若点（m,1）在不等式2x + 3y — 5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是 ________ .（1,+^） •点（m,1）在不等式2x + 3y — 5> 0所表示的平面区域内，二2 m 卄3 — 5> 0,即 m> 1.]'>1,5.在平面直角坐标系中， 不等式组"jx + yw 0, ________________ 表示的平面区域的面积是.x —y —4<0【导学号：79140199】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，\yac-/-4=O0 -] \ A<17JC +7=0由 x = 1, x + y = 0 得 A (1 , — 1), 由 x = 1, x — y — 4= 0 得巳1 , — 3), 由 x + y = 0, x — y — 4= 0 得 q2 , — 2),1•'•I AE | = 2 ,二ABC= 2 X 2 X 1 = 1.]（对应学生用书第98页）|題型1|二兀 次不等式（组）表示的平面区域卜"；’ （1）（2018 •北京西城区二模）在平面直角坐标系中，不等式组 3x — y w 0 ,x — ■ 3y + 2> 0,表示的平面区域的面积是 （ ）Iy >0A.f B. .3 C. 2D. 2 3x — y >0 ,（2）若满足条件 妆+ y — 2w 0,的整点（x , y ）恰有9个，其中整点是指横、纵坐y > a题型分类突破I 灼录求规律方5A. — 3 (1) B (2)C ［⑴ 作出不等式组表示的平面区域是以点0(0,0) , B ( — 2,0)和A (1 , - 3)1 为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为2X 2X 3 =3,故选B.(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当 4 个整点(1,1) , (0,0) , (1,0) , (2,0)；当 a =— 1 时，正好增加(一1, — 1), (0 ,［规律方法］确定二元一次不等式 组表示的平面区域的方法1 '‘直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式 •若满足不等式,则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域•不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分2当不等式中不等号为》或w 时，边界为实线，不等号为＞或＜时，边界应画为虚线，若直线不过原点，特殊点常取原点.x + y — 3》0,［跟踪训练］若平面区域＜2x — y — 3＜0,夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两iX — 2y + 3＞0条平行直线间的距离的最小值是( )C.— 1a = 0时，平面区域内只有 —1) , (1 , — 1) , (2 ,1) , (3 , — 1)共5个整点，故选C.B.— 2A. C鉅C. 2D. 5B ［根据约束条件作出可行域如图中阴影部分,满足条件，联立方程组当斜率为1的直线分别过A点和B点时5别过A , B 点且斜率为1的两条直线方程为 x — y + 1= 0和x — y — 1 = 0,由两平行线间的距线性规划中的最值问题◎角度1求线性目标函数的最值[2x + 3y — 3w 0, (2017 •全国卷n )设 x , y 满足约束条件2x — 3y + 3>0,y + 3> 0,小值是( )A.— 15B.— 9C. 1D. 9A [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.将目标函数z = 2x + y 化为y =— 2x + z ,作出直线y =— 2x 并平移，当直线y =— 2x + z 经过点A ( — 6, — 3)时，z 取最小值，且 Z min = 2 X ( — 6) — 3 = — 15.故选A.] ◎角度2求非线性目标函数的最值x + y — 3= 0, x — 2y + 3 = 0求得A (1,2) ,联立方程组 2x — y — 3 =0,x + y — 3= 0求得B (2,1),可求得分B.]I 題型 则z = 2x + y 的最2*-y-3=0离公式得距离为 故选 7y=-2x（2018 •济南一模）若变量x , y 满足约束条件 x — y w 0,x — 2y + 2> 0,B. 3C. 3D. 52y为顶点的三角形区域（包含边界）（图略），-表示平面区域内的点与原点的连线的斜率,x3y 2 3的最大值为1 = 2，故选C.］ x 12'◎角度3线性规划中的参数问题x,（2017 •河南安阳一模）已知z = 2x + y ，其中实数x , y 满足x + y w 2,x > a ,的最大值是最小值的 4倍，则a 的值是（）【导学号：79140200】B. 11 B. 4D.三B ［作出不等式组对应的平面区域如图：由 z = 2x + y 得 y = — 2x + z , 平移直线y = — 2x ,A. 1则y 的最大值为C ［在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以(1,1),1，3，(2,2)由题意得点2与原点的连线斜率最大，即由图可知当直线y=—2x+ z经过点A时，直线的纵截距最大, 此时z最大，]x+ y = 2, x= 1,由解得y = x y= 1,即A(1,1) , Z max= 2X 1+ 1 = 3 ,当直线y =—2x+ z经过点B时，直线的纵截距最小,此时z最小，x= a, X = a,由t 解得什y = x y = a,即B(a, a) , Z min=2x a+ a= 3a,•/ z的最大值是最小值的4倍，13x + 2y—6W 0,[跟踪训练]（1）（2017 •全国卷川）设x, y满足约束条件^；x>0, 则z= x —y[y》0,的取值范围是（）A. [ —3,0] C. [0,2]B. [ —3,2] D. [0,3]"x + y w 2,(2)若变量 x , y 满足 j ；2x - 3y w 9,〔x > 0, A. 4 C. 10x +y >i⑶(2017 •石家庄质检(一))若x , y 满足丿mx — y <0,且z = 3x -y 的最大3x - 2y + 2>0值为2,则实数m 的值为()1 A.32 B3 C. 1 D. 2(1) B (2)C(3) D [(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y = x - z 过点A (2,0)时，z 取得最大值,y = x — z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即Z min = 0— 3 =— 3. 所以z = x —y 的取值范围是[—3,2].故选B.⑵ 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x 2+ y 2表示平面区域内的x + y = 2,22 2点到原点距离的平方，由彳得A (3 , — 1)，由图易得(X 2+ y 2)max =|OA 2I2x — 3y = 922=3 + ( — 1) = 10.故选 C.则x 2+ y 2的最大值是()B. 9即Z max = 2— 0= 2；当直线⑶若z = 3x—y的最大值为2，则此时目标函数为y= 3x —2,直线y = 3x —2与3x —2y + 2= 0和x+ y= 1分别交于A(2,4) , B |, 1, mx- y= 0经过其中一点，所以1 1mi= 2或mi= 3，当mi= 3时，经检验不符合题意，故mi= 2,选D.］线性规划的实际应用■训(2 016・全国卷I )某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为__________ 元.216 000 ［设生产产品A x件，产品B y件，则1.5 x+ 0.5 y < 150,x+ 0.3 y w 90,5x + 3y w 600,x>0, x € N+,y>0, y € N+.目标函数z = 2 100 x + 900y.O作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100) , (0,200) , (0,0) , (90,0).当直线z = 2 100x+ 900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，Z max= 2 100X 60+ 900X 100=216 000(元).］［规律方法］解线性规划应用题的步骤1设变量，2列约束条件，J建目标函数，1画可行域，5 求最优解，E作答.［跟踪训练］某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示•如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元C. 17万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元, ，3x + 2y<12,*；x+ 2y w 8, [x>0, y>0, z = 3x+ 4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线则有z=3x + 4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3X 2+ 4X 3= 18.]。