二元一次不等式(组)的解集

二元一次方程组及解不等式组1、二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1, 二元一次方程有无数多个解.2、二元一次方程组：有一个解，可以用代入消元法和加减消元法解.3、三元一次方程组：先转化为二元一次方程组.4、应用题：解、设、列、解、验、答5、典型例题：①二元一次方程满足的条件：系数≠0，次数=1②平方＋绝对值= 0③已知方程（组）的解，求其它未知数的值4、解不等式组的步骤：（1）先求出各个不等式的解集（2）将这些解集表示在同一个数轴上（3）在数轴上找出这些解集的公共部分，就是这个不等式组的解集。

5、典型例题：①已知解集求未知数范围：看解集不等号方向是否改变，不变则系数＞0，改变则系数＜0 ②已知不等式（组）的解求未知数的值：令所求解集等于已知解集③已知不等式（组）的整数解求未知数的值：先求出解集，令解集满足一定条件解法:消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；2.将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；3.解这个一元一次方程，求出x 或y 值；4.将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；5。

把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。

[1]例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89得y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7得x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。

2）加减消元法①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。

TIANJIN EDUCATION在普通高中数学课程标准修订（2017版）中指出：数学抽象是通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。

本文主要从“二元一次不等式（组）与平面区域”这节课的教学设计上，阐述如何让学生通过数量关系与空间形式的抽象，提升他们的数学抽象核心素养。

“二元一次不等式（组）与平面区域”是人教A 版《普通高中课程标准实验教科书•数学5（必修）》第三章不等式的第3节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题，第1课时内容，其相关概念是将一元一次不等式抽象出几何背景，再以几何直观推理的方法解决二元一次不等式的解集问题，它是线性规划问题的基础和前提，为后面寻求线性规划“最优解”奠定了基础。

一、教学设计及课堂实录（一）创设情景，引入新知数学源于生活又服务于生活，让学生从生活中的具体实例入手，由文字语言转化到符号语言，建立起二元一次不等式的概念，使学生经历、体验从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，让学生从已知到对未知的冲突，从而引出本节课要研究的对象。

例：某高中食堂主要以面食和米食为主，面食和米食中的蛋白质和淀粉含量如下表所示。

学校要求食堂给学生配置成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和12个单位的淀粉，请问食堂应该如何调配面食和米食分量呢？设每份盒饭中面食为x 百克，米食为y 百克。

学生：ìíîïïïï6x +2y ≥84x +8y ≥12x ≥0y ≥0=ìíîïïïï3x +y ≥4x +2y ≥3x ≥0y ≥0（得出二元一次不等式（组）的概念）教师：如何求二元一次不等式（组）的解（集）？如果将有序实数对看做点坐标，那么二元一次不等式（组）的解（集）又表示什么图形？（二）类比旧知，由数抽象出形二元一次不等式表示什么样的平面区域？这是一个比较抽象的问题，学生需要通过已经学习过的、熟悉的知识进行类比、对接。

第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组) 表示区域Ax＋By＋C>0(<0) 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x,y的函数解析式,如z＝x＋2y 线性目标函数关于x,y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是________,________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(－1,－1),B(2,－1),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12,画直线l 0：y ＝－2x,平移l 0过点B 时,z max ＝4,平移l 0过点A 时,z min ＝－2.答案：4 －22．(必修5P91练习T2改编)投资生产A 产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米；投资生产B 产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,则上述要求可用不等式组表示为________________．(用x,y 分别表示生产A,B 产品的吨数,x 和y 的单位是百吨)解析：用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出,x ≥0,y ≥0,200x ＋300y≤1 400,200x ＋100y≤900. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y≤1 400，200x ＋100y≤900，x ≥0，y ≥0[易错纠偏](1)不会用代点法判断平面区域；(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．点(－2,t)在直线2x －3y ＋6＝0的上方,则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示,所以由点(－2,t)在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0,解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 2．已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x －y ＝0,平移直线经过点A(1,0)时,目标函数z ＝x －y 取得最大值,最大值为1.答案：13．已知x,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示,问题转化为区域上哪一点与点M(－3,1)连线斜率最大,观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52,使k MA 最大,z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3. 答案：34．已知x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x,y)有无数个,则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时,z 取得最大值的点(x,y)有无数个,所以－a ＝k AB ＝1,所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y ≥0，x ＋y≤a 表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A(1,1),易得B(0,4),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,|BC|＝4－43＝83.故S △ABC ＝12×83×1＝43.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a≤1或a≥43.【答案】 (1)C (2)(0,1]∪[43,＋∞)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时,边界应画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点,属必考内容,题型多为选择题和填空题,难度适中,属中档题．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)． 角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2019·高考浙江卷)若实数x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示,数形结合可知,当直线z ＝3x ＋2y 过点(2,2)时,z 取得最大值,z max ＝6＋4＝10.故选C.【答案】 C角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2020·嘉兴市高考模拟)已知实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0y －1≥0x －y ＋1≥0,若ax ＋y 的最大值为10,则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 画出满足条件的平面区域,如图所示(阴影部分)：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋1＝0, 解得A(3,4),令z ＝ax ＋y,因为z 的最大值为10,所以直线在y 轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10), 所以z ＝ax ＋y 与可行域有交点, 当a ＞0时,直线经过A 时z 取得最大值．即ax ＋y ＝10,将A(3,4)代入得,3a ＋4＝10,解得a ＝2,当a≤0时,直线经过A 时z 取得最大值,即ax ＋y ＝10,将A(3,4)代入得,3a ＋4＝10,解得a ＝2,与a≤0矛盾,综上a ＝2.【答案】 C角度三 求非线性目标函数的最值(范围)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2C.322D. 5【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(1,2)、B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A 与B,又两平行直线的斜率为1,直线AB 的斜率为－1,所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离,易得|AB|＝2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B.【答案】 B(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 ①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点； ③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值． 常见的目标函数有：(ⅰ)截距型：形如z ＝ax ＋by ；(ⅱ)距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；(ⅲ)斜率型：形如z ＝y －bx －a. (2)含参数的线性规划问题参数的位置可能在目标函数中,也可能在约束条件中,求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里,寻求最优解．[提醒] 求目标函数的最值时,易弄错目标函数的几何意义而求错．如x 2＋y 2是距离的平方,易忽视平方而求错．1．(2020·温州七校联考)实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0|x ＋y|≤1,使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个,则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示,因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个,所以－a ＝1,a ＝－1,所以当x ＝1,y ＝0或x ＝0,y ＝－1时,z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1,所以ax ＋y ＋1的最小值是0,故选A.2．(2020·温州市高考模拟)若实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0,则y 的最大值为________,y ＋1x ＋2的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0,对应的平面区域如图(阴影部分)：可知A 的纵坐标取得最大值2.设z ＝y ＋1x ＋2,则z 的几何意义为区域内的点到定点D(－2,－1)的斜率,由图象知BD 的斜率最小,AD 的斜率最大,则z 的最大为2＋10＋2＝32,最小为0＋11＋2＝13,即13≤z ≤32,则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.答案：2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，323．(2020·绍兴一中高三期中)设x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y≥2x－1x≥0，y ≥0,若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0,b ＞0)的最大值为35,则a ＋b 的最小值为________．解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y≥2x－1x≥0，y ≥0的区域是一个四边形,如图所示四个顶点分别是(0,0),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,(2,3),由图易得目标函数在(2,3)取最大值35,即35＝2ab＋3,所以ab ＝16,所以a ＋b≥2ab ＝8,当a ＝b ＝4时等号成立, 所以a ＋b 的最小值为8. 答案：8线性规划的实际应用某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意,设产品A 生产x 件,产品B 生产y 件,利润z ＝2 100x ＋900y,线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y≤150，x ＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又由x∈N ,y ∈N,可知取得最大值时的最优解为(60,100), 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000利用线性规划解决实际问题的步骤(1)审题：仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多,为了了解题目中量与量之间的关系,可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数； (3)作图：准确作图,平移找点(最优解)； (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)； (5)检验：根据结果,检验反馈．某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设旅行社租用A 型客车x 辆,B 型客车y 辆,租金为z,则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21，y －x≤7，36x ＋60y≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y.画出可行域(图中所示阴影中的整点部分),可知目标函数过点N(5,12)时,有最小值z min ＝36 800(元)．[基础题组练]1．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤12，2x ＋3y≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分,四边形ABCD 是平行四边形,由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.2．设变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z,作出直线y ＝－x,平移使之经过可行域,观察可知,最优解在B(0,3)处取得,故z max ＝0＋3＝3,选项D 符合．3．(2020·浙江名校联盟联考)已知实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋2y ）≥0x≥1,则2x －y( )A ．有最小值,无最大值B ．有最大值,无最小值C ．有最小值,也有最大值D ．无最小值,也无最大值解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设2x －y ＝z,则y ＝2x －z,z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．平移直线y ＝2x －z,可得当直线过点A 时z 取得最小值,z 没有最大值．故选A.4．(2020·台州高三质检)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，x ≥0，y ≥m 表示的平面区域的面积为2,则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A.32 B.43 C ．2D ．4解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分),由区域面积为2,可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1,y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1,－1)连线的斜率,所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13,所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43. 5．(2020·金华十校联考)设变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤a，x ＋y≥8，x ≥6且不等式x ＋2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然a≥8,否则可行域无意义．由图可知x＋2y 在点(6,a －6)处取得最大值2a －6,由2a －6≤14得,a ≤10,故选A.6．(2020·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个,则yx －a的最大值是( )A.25B.23C.16D.14解析：选A.易知a≠0,那么目标函数可化为y ＝－1a x ＋1a z.要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个,则－1a ＝k AC ＝1,则a ＝－1,故y x －a ＝yx ＋1,其几何意义为可行域内的点(x,y)与点M(－1,0)的连线的斜率,可知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋1max＝k MC＝25,故选A. 7．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4则z ＝－x ＋y 的最小值是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部,其中A(1,1),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,C(0,4)．经过点A 时,目标函数z 达到最小值． 所以z min ＝－1＋1＝0. 答案：08．(2020·杭州中学高三期中)已知点A(3,3),O 为坐标原点,点P(x,y)满足⎩⎨⎧3x －y≤0x －3y ＋2≥0y≥0,则满足条件的点P 所形成的平面区域的面积为________,OP →在OA →方向上投影的最大值为________．解析：由已知得到平面区域如图,P 所在区域即为阴影部分,由⎩⎨⎧3x －y ＝0x －3y ＋2＝0得到C(－2,0),B(1,3),所以其面积为12×2×3＝ 3.令OP →在OA →方向上投影为z ＝OA →·OP →|OA →|＝3x ＋3y 23＝32x ＋12y,所以y ＝－3x ＋2z,过点B 时z 最大,所以,OP →在OA →方向上投影的最大值为32＋32＝ 3.答案： 339．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0,y 0)∈D|x 0,y 0∈Z,(x 0,y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D,如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点 A(0,1)处取得最小值,在线段BC 处取得最大值,而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标,在取最大值时线段BC 上共有5个整点,分别为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：610．(2020·温州市高考实战模拟)若变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y≤12,则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2x －y ,令u ＝x －y,则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值,此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1611．(2020·杭州市高三模拟)若实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0x≤1x －2y≥0.求：(1)x 的取值范围； (2)|x|＋|y|的取值范围．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0x≤1x －2y≥0作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,0≤x ≤1. (2)当x≥0,y ≥0时,z ＝|x|＋|y|＝x ＋y 过(1,12)时有最大值为32,过O(0,0)时有最小值0； 当x≥0,y ≤0时,z ＝|x|＋|y|＝x －y 过(1,－1)时有最大值为2, 过O(0,0)时有最小值0.所以|x|＋|y|的取值范围是[0,2]． 12．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A(3,4)时z 取最小值－2,过C(1,0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1,最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1<－a2<2,解得－4<a<2.故a 的取值范围是(－4,2)．[综合题组练]1．(2020·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y≥－2x －y≤0x≥－4,若不等式2x －y＋m 2≥0恒成立,则实数m 的取值范围为( )A ．[－6,6]B ．(－∞,－6]∪[6,＋∞)C ．[－7,7]D ．(－∞,－7]∪[7,＋∞)解析：选 D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y≥－2x －y≤0x≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分),令z ＝－2x ＋y,当直线经过点A(－4,－1)时,z 取得最大值,即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7,即实数m 的取值范围为(－∞,－7]∪[7,＋∞),故选D.2．(2020·温州校级月考)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0x －y －2≤0x －3y ＋4≥0所表示的平面区域为M.若M 与圆(x －4)2＋(y －1)2＝a(a>0)至少有两个公共点,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B ．(1,5) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．(1,5]解析：选C.如图所示(阴影部分),若使以(4,1)为圆心的圆与平面区域M 至少有两个交点,结合图形,当圆与直线x －y －2＝0相切时,恰有一个公共点,此时a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12,当圆的半径增大到恰好过点C(2,2)时,圆与平面区域M 至少有两个公共点,此时a ＝5,故实数a 的取值范围是12<a ≤5.3．(2020·丽水模拟)已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥1，x －y≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a,b,且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b,a)上有两个不同的实数解,则实数k 的取值范围是____________．解析：作出可行域,如图所示(阴影部分),则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1,在点(－1,1)处取得最小值－3,所以a ＝1,b ＝－3,从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同的实数解．令f(x)＝x 2－kx ＋1,则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＞0，f （1）＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0⇒－103＜k ＜－2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 4．设a ＞0,集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x≤3，x ＋y －4≤0，x －y ＋2a≥0,B ＝{(x,y)|(x －1)2＋(y －1)2≤a 2}．若“点P(x,y )∈A”是“点P(x,y)∈B ”的必要不充分条件,则a 的取值范围是____________．解析：由题意知B A,从而得到圆面的半径≤圆心到相应直线的距离,即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a≤3，|1＋1－4|2≥a，|1－1＋2a|2≥a，解得0＜a≤ 2.答案：0＜a≤ 25．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者订做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异．甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费如下表所示,求组委会订做该工艺品的费用总和最低为多少元．解：设甲厂生产一等奖奖品x 件,二等奖奖品y 件,x,y ∈N, 则乙厂生产一等奖奖品(3－x)件,二等奖奖品(6－y)件．则x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，3－x≥0，6－y≥0，x ，y ≥0，设费用为z 元,则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x －200y ＋6000,作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A(3,1),故组委会订做该工艺品的费用总和最低为z min ＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．6．已知正数a,b,c 满足：5c －3a≤b≤4c－a,cln b ≥a ＋cln c,求ba 的取值范围．解：条件5c －3a≤b≤4c－a,cln b ≥a ＋cln c 可化为：⎩⎪⎨⎪⎧3·a c ＋bc≥5，a c ＋b c≤4，b c ≥e a c.设a c ＝x,bc＝y,则题目转化为：已知x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≥5，x ＋y≤4，y ≥e x，x ＞0，y ＞0，求yx 的取值范围．求目标函数z ＝b a ＝y x 的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分),过原点作y ＝e x的切线,切线方程为y ＝ex,切点P(1,e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P(1,e)时,z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72时,z max ＝7,故b a ∈[e,7]．。

二元一次方程组1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程。

注意：一般说二元一次方程有无数个解。

2. 二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组。

3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。

注意：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）。

4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法；（3）注意：判断如何解简单是关键.5．一次方程组的应用：（1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则“难列易解”；（2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；（3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。

一元一次不等式（组）1. 不等式：用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式。

2．不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。

3. 不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

4．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是ax+b ＞0或ax+b ＜0 ，(a≠0)。

5．一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应用；注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点。

6．一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组；注意：； ；；7. 一元一次不等式组的解集与解法：所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集。

初中数学二元一次不等式(组)精选试题一.选择题1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3.则m的取值范围是（）A．m＞4 B．m≥4C．m＜4 D．m≤4【分析】先求出每个不等式的解集.再根据不等式组的解集和已知得出关于m的不等式.再求出解集即可．【解答】解：.∵解不等式①得：x＞3.解不等式②得：x＞m﹣1.又∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3.∴m﹣1≤3.解得：m≤4.故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组.能根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解此题的关键．2. （2018·湖北襄阳·3分）不等式组的解集为（）A．x＞B．x＞1 C．＜x＜1 D．空集【分析】首先解每个不等式.两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞1﹣x.得：x＞.解不等式x+2＜4x﹣1.得：x＞1.则不等式组的解集为x＞1.故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组.熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3.（2018•江苏宿迁•3分）若a＜b.则下列结论不一定成立的是（）A. a-1＜b-1B. 2a＜2bC.D.【答案】D【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A.∵a＜b.∴ a-1＜b-1.正确.故A不符合题意；B.∵a＜b.∴ 2a＜2b.正确.故B不符合题意；C.∵a＜b.∴ .正确.故C不符合题意；D.当a＜b＜0时.a2>b2.故D选项错误.符合题意.故选D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质.熟练掌握不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数.不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数.不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数.不等号方向改变.4.（2018•江苏苏州•3分）若在实数范围内有意义.则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式.解不等式.把解集在数轴上表示即可．【解答】解：由题意得x+2≥0.解得x≥﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件.掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．一.选择题5.（2018•山东聊城市•3分）已知不等式≤＜.其解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【分析】把已知双向不等式变形为不等式组.求出各不等式的解集.找出解集的方法部分即可．【解答】解：根据题意得：.由①得：x≥2.由②得：x＜5.∴2≤x＜5.表示在数轴上.如图所示.故选：A．【点评】此题考查了解一元一次不等式组.以及在数轴上表示不等式的解集.熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.（2018•山东东营市•3分）在平面直角坐标系中.若点P（m﹣2.m+1）在第二象限.则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数.纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（m﹣2.m+1）在第二象限.∴.解得﹣1＜m＜2．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式.记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键.四个象限的符号特点分别是：第一象限（+.+）；第二象限（﹣.+）；第三象限（﹣.﹣）；第四象限（+.﹣）．7. （2018•嘉兴•3分）不等式的解在数轴上表示正确的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：因为1－x≥2.3≥x.所以不等式的解为x≤3.故答案为A。

第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)续表名称意义目标函数关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A ．右上方 B.右下方 C ．左上方D ．左下方解析：选C .画出x －2y ＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C .点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，所以S 阴＝S △ABC ＝12×4×2＝4.答案：4已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为________． 解析：依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2，4]，即y ＝－2x ＋9，x ∈[2，4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2，4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在[2，4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.答案：7已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，最大值为3.答案： 3二元一次不等式(组)表示的平面区域 [学生用书P111][典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A .32B.23 C .43D ．34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．(3)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A ⎝⎛⎭⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C .(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，所以S △ABD ＝S ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， 所以m ＝1或m ＝－3，又因为当m ＝－3时，不满足题意，应舍去， 所以m ＝1.(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)C (2)1 (3)(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法①“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．②当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．(2)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C .(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C .2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面阴影区域．因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时， 52＝k 2＋43， 所以k ＝73.答案：73求目标函数的最值(高频考点) [学生用书P112]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，且常与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)求参数值或取值范围．[典例引领]角度一 求线性目标函数的最值(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以z min ＝－5.【答案】 －5角度二 求非线性目标函数的最值 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域， 如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)， 所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)， 所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．1.保持本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．2．保持本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值． 解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12， 所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.角度三 求参数值或取值范围(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5 B.3 C ．－5或3D ．5或－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．【解析】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B .(2)画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.【答案】 (1)B (2)10(1)求目标函数的最值的三个步骤①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线．②平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置．③求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． (2)常见的三类目标函数 ①截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.表示点(x ，y )与(a ，b )的距离的平方． ③斜率型：形如z ＝y －bx －a.表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．[通关练习]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 若m ＝0， 则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m <0，则－1m >0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时， 有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上， 使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m ＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1. 答案：1线性规划的实际应用问题[学生用书P113][典例引领](2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放 时长(分钟)收视 人次(万) 甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解】 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．[注意] 在实际应用问题中，变量x ，y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在涉及以人数为变量的实际应用问题中，人数必须是自然数，在解题时不要忽略了这些隐含的制约条件．[通关练习]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件， 利润z ＝2 100x ＋900y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000求目标函数最值的方法(1)求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．(2)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 由目标函数求最值的方法求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[学生用书P293(单独成册)]1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B .根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0， 解得－7<a <24.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－1 B.1 C ．3 D ．2解析：选C .如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x －y 的几何意义是直线3x －y －z ＝0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值．由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A (1，0)． 故z 的最小值为3×1－0＝3. 故选C .3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3] B.[－1，1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选D .直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D .4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15 B.－9 C ．1D ．9解析：选A .法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A .法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2，(a <1)且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A .211 B.14 C .12D ．34解析：选B .在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1，1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－17．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案：58．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0，1)，B (1，0)，C (3，4)． 目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.答案：－129.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0， 解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)． 10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A .13 B.23 C ．1D ．2解析：选D .由选项得m >0，作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0（m >0），3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2，4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m＝2.2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2，2]3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：214．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案：－1或25．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，求n 的值．解：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点． 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示． 设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－3.又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ， 解得n ＝103.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝103.6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料 肥料A B C 甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

初中数学知识归纳二元一次方程组与不等式初中数学知识归纳：二元一次方程组与不等式在初中数学学习中，二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。

本文将对这两个概念进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、二元一次方程组二元一次方程组由两个含有两个未知数的方程组成，一般形式为：{ax + by = cdx + ey = f}其中a、b、c、d、e、f为已知的实数，x、y为未知数。

1. 解的概念解即是满足方程组中所有方程的变量值，使方程组中的等式成立。

对于二元一次方程组，它可能有唯一解、无解或者无穷解三种情况。

2. 解的求解方法（1）消元法：通过将方程组中的一方程乘以适当因子，使得两个方程中的某一未知数系数相等或当前系数可消去。

（2）代入法：将方程组中的一方程解出其中一个未知数，再代入另一个方程中去求解。

（3）等式法：将方程组两个方程相加或相减，消去一个未知数，再求解另一个未知数。

3. 实际应用二元一次方程组在日常生活和实际问题中有广泛应用。

例如，通过解决方程组可以计算某商品的单价和数量，或者找到两架飞机的速度等。

二、不等式不等式是数学中的一种表达式形式，表示两个数或表达式的大小关系。

不等式有三种基本形式：大于（>）、小于（<）和大于等于（≥）。

1. 解的概念不等式中的解是使不等式成立的取值范围。

对于一元不等式，解可以用数轴表示；对于多元不等式，解可以用数平面或空间中的区域表示。

2. 不等式的性质（1）加减性质：对不等式两边同时加或减一个数，不等号方向不改变。

（2）乘除性质：对正数乘除不等式两边，不等号方向不改变；对负数乘除不等式两边，不等号方向改变。

3. 实际应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。

例如，通过解决不等式可以求解某个数的范围或满足某种条件的取值范围。

综上所述，初中数学知识中的二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。

通过对二元一次方程组的解法和不等式的性质的学习，我们可以更好地理解和应用这些知识。

二元一次方程组及解不等式组1、二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1, 二元一次方程有无数多个解.2、二元一次方程组：有一个解，可以用代入消元法和加减消元法解.3、三元一次方程组：先转化为二元一次方程组.4、应用题：解、设、列、解、验、答5、典型例题：①二元一次方程满足的条件：系数≠0，次数=1②平方＋绝对值= 0③已知方程（组）的解，求其它未知数的值4、解不等式组的步骤：（1）先求出各个不等式的解集（2）将这些解集表示在同一个数轴上（3）在数轴上找出这些解集的公共部分，就是这个不等式组的解集。

5、典型例题：①已知解集求未知数范围：看解集不等号方向是否改变，不变则系数＞0，改变则系数＜0 ②已知不等式（组）的解求未知数的值：令所求解集等于已知解集③已知不等式（组）的整数解求未知数的值：先求出解集，令解集满足一定条件解法:消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；2.将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；3.解这个一元一次方程，求出x 或y 值；4.将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；5。

把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。

[1]例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89得y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7得x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。

2）加减消元法①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。