数学建模
内容摘要：
数学作为现代科学的一种工具和手段，要了解什么是数学模型和数学建模，了解数学建模一般方法及步骤。
关键词：
数学模型、数学建模、实际问题
伴随着当今社会的科学技术的飞速发展，数学已经渗透到各个领域，数学建模也显得尤为重要。数学建模在人们生活中扮演着重要的角色，而且随着计算机技术的发展，数学建模更是在人类的活动中起着重要作用，数学建模也更好的为人类服务。
一、数学模型
数学模型是对于现实世界的一个特定对象,一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构.
简单地说:就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述),即用数学式子(如函数,图形,代数方程,微分方程,积分方程,差分方程等)来描述(表述,模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律.
随着社会的发展,生物,医学,社会,经济……,各学科,各行业都涌现现出大量的实际课题,急待人们去研究,去解决.但是,社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才,而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题,取得经济效益和社会效益.他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就像在学校里做数学应用题),而是为了解决实际问题而需要用到数学.而且不止是要用到数学,很可能还要用到别的学科,领域的知识,要用到工作经验和常识.特别是在现代社会,要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机.可以这样说,在实际工作中遇到的问题,完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的.你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题,不是"干净的"数学,而是"脏"的数学.其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决,而是暗藏在深处等着你去发现.也就是说,你要对复杂的实际问题进行分析,发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律,把这个实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型.
数学模型具有下列特征:数学模型的一个重要特征是高度的抽象性.通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维,从而可以突破实际系统的约束,运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究.数学模型的另一个特征是经济性.用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具,可以节省大量的设备运行和维护费用,用数学模型可以大大加快研究工作的进度,缩短研究周期,特别是在电子计算机得到广泛应用的今天,这个优越性就更为突出.但是,数学模型具有局限性,在简化和抽象过程中必然造成某些失真.所谓"模型就是模型"(而不是原型),即是指该性质.
二、数学建模
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象,简化,假设,引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模.
模型是客观实体有关属性的模拟.陈列在橱窗中的飞机模型外形应当象真正的飞机,至于它是否真的能飞则无关紧要;然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同,如果飞行性能不佳,外形再象飞机,也不能算是一个好的模型.模型不一定是对实体的一种仿照,也可以是对实体的某些基本属性的抽象,例如,一张地质图并不需要用实物来模拟,它可以用抽象的符号,文字和数字来反映出该地区的地质结构.数学模型也是一种模拟,是用数学符号,数学式子,程序,图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展
规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略.数学模型一般并非现实问题的直接翻版,它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析,又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识.这种应用知识从实际课题中抽象,提炼出数学模型的过程就称为数学建模.实际问题中有许多因素,在建立数学模型时你不可能,也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑,只能考虑其中的最主要的因素,舍弃其中的次要因素.数学模型建立起来了,实际问题化成了数学问题,就可以用数学工具,数学方法去解答这个实际问题.如果有现成的数学工具当然好.如果没有现成的数学工具,就促使数学家们寻找和发展出新的数学工具去解决它,这又推动了数学本身的发展.例如,开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律,牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它,但当时已有的数学工具是不够用的,这促使了微积分的发明.求解数学模型,除了用到数学推理以外,通常还要处理大量数据,进行大量计算,这在电子计算机发明之前是很难实现的.因此,很多数学模型,尽管从数学理论上解决了,但由于计算量太大而没法得到有用的结果,还是只有束之高阁.而电子计算机的出现和迅速发展,给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路.而在现在,要真正解决一个实际问题,离了计算机几乎是不行的.数学模型建立起来了,也用数学方法或数值方法求出了解答,是不是就万事大吉了呢不是.既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律,到底反映得好不好,还需要接受检验,如果数学模型建立得不好,没有正确地描述所给的实际问题,数学解答再正确也是没有用的.因此,在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验,看它是否合理,是否可行,等等.如果不符合实际,还应设法找出原因,修改原来的模型,重新求解和检验,直到比较合理可行,才能算是得到了一个解答,可以先付诸实施.但是,十全十美的答案是没有的,已得到的解答仍有改进的余地,可以根据实际情况,或者继续研究和改进;或者暂时告一段落,待将来有新的情况和要求后再作改进.
应用数学知识去研究和和解决实际问题,遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型.从这一意义上讲,可以说数学建模是一切科学研究的基础.没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果,所以,建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一.数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们应用所学知识分析问题,解决问题的能力的必备手段之一.
三、数学建模的一般方法
建立数学模型的方法并没有一定的模式,但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征:模型的可靠性和模型的使用性
建模的一般方法:
1.机理分析
机理分析就是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,所建立的模型常有明确的物理或现实意义.
(1) 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法.
(2) 代数方法--求解离散问题(离散的数据,符号,图形)的主要方法.
(3) 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际
问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用.
(4) 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"
的表达式.
(5) 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律.
2.测试分析方法
测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱"系统,内部机理无法直接寻求,通过测量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型.
(1) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.
(2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.
(3) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.
(4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.
将这两种方法结合起来使用,即用机理分析方法建立模型的结构,用系统测试方法来确定模型的参数,也是常用的建模方法, 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定.机理分析法建模的具体步骤大致可见左图.
3.仿真和其他方法
(1) 计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验.
①离散系统仿真--有一组状态变量.
②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图.
(2) 因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构.
(3) 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统.(参见:齐欢《数学模型方法》,华中理工大学出版社,1996)
四、数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍常用的几种.
1.按照模型的应用领域(或所属学科)分:如人口模型,交通模型,环境模型,生态模型,城镇规划模型,水资源模型,再生资源利用模型,污染模型等.范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学,医学数学,地质数学,数量经济学,数学社会学等.
2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分:如初等数学模型,几何模型,微分方程模型,图论模型,马氏链模型,规划论模型等.
按第一种方法分类的数学模型教科书中,着重于某一专门领域中用不同方法建立模型,而按第二种方法分类的书里,是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用.在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模.
3.按照模型的表现特性又有几种分法:
确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响.近年来随着数学的发展,又有所谓突变性模型和模糊性模型.
静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化.
线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的.
离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的.
虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的,动态的,非线性的,但是由于确定性,静态,线性模型容易处理,并且往往可以作为初步的近似来解决问题,所以建模时常先考虑确定性,静态,线性模型.连续模型便于利用微积分方法求解,作理论分析,而离散模型便于在计算机上作数值计算,所以用哪种模型要看具体问题而定.在具体的建模过程中将连续模型离散化,或将离散变量视作连续,也是常采用的方法.
4.按照建模目的分:有描述模型,分析模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型等.
5.按照对模型结构的了解程度分:有所谓白箱模型,灰箱模型,黑箱模型.这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关,要通过建模来揭示它的奥妙.白箱主要包括用力学,热学,电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题,这方面的模型大多已经基本确定,还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了.灰箱主要指生态,气象,经济,交通等领域中机
理尚不十分清楚的现象,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做.至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象.有些工程技术问题虽然主要基于物理,化学原理,但由于因素众多,关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理.当然,白,灰,黑之间并没有明显的界限,而且随着科学技术的发展,箱子的"颜色"必然是逐渐由暗变亮的.
五、数学建模的一般步骤
建模的步骤一般分为下列几步:
1.模型准备.首先要了解问题的实际背景,明确题目的要求,搜集各种必要的信息.
2.模型假设.在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼,简化,提出若干符合客观实际的假设,使问题的主要特征凸现出来,忽略问题的次要方面.一般地说,一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题,即使可能,也很难求解.不同的简化假设会得到不同的模型.假设作得不合理或过份简单,会导致模型失败或部分失败,于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细,试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去,可能使你很难甚至无法继续下一步的工作.通常,作假设的依据,一是出于对问题内在规律的认识,二是来自对数据或现象的分析,也可以是二者的综合.作假设时既要运用与问题相关的物理,化学,生物,经济等方面的知识,又要充分发挥想象力,洞察力和判断力,善于辨别问题的主次,果断地抓住主要因素,舍弃次要因素,尽量将问题线性化,均匀化.经验在这里也常起重要作用.写出假设时,语言要精确,就象做习题时写出已知条件那样.
3.模型构成.根据所作的假设以及事物之间的联系, 利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型.把问题化为数学问题.要注意尽量采取简单的数学工具,因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.
4.模型求解.利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题,这时往往还要作出进一步的简化或假设.在难以得出解析解时,也应当借助计算机求出数值解.
5.模型分析.对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能要给出数学上的最优决策或控制,不论哪种情况还常常需要进行误差分析,模型对数据的稳定性或灵敏性分析等.
6.模型检验.分析所得结果的实际意义,与实际情况进行比较,看是否符合实际,如果结果不够理想,应该修改,补充假设或重新建模,有些模型需要经过几次反复,不断完善.
7.模型应用.所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益,在应用中不断改进和完善.应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的.
参考文献：
(1)齐欢《数学模型方法》,华中理工大学出版社,1996。
(2)《数学的实践与认识》,(季刊),中国数学会编辑出版
数学建模的几个过程 数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通常包括四个基本过程：问题建模、模型建立、模型求解和模型验证。下面将详细介绍这四个过程。 一、问题建模： 问题建模是数学建模的第一步，其目的是明确问题的具体解决要求和限制条件。具体步骤如下： 1.问题描述：对问题进行全面准确的描述，了解问题的背景、目标和约束条件。 2.数据收集与处理：收集和整理与问题相关的数据，并进行必要的处理和分析，以便后续建模和求解。 3.确定目标函数与约束条件：明确问题的目标和约束条件，将其转化为数学表达式。 二、模型建立： 模型建立是数学建模的核心过程，其目的是将问题转化为数学形式。具体步骤如下： 1.建立模型的数学描述：根据问题的特点和要求，选取适当的数学方法，将问题进行数学化描述。 2.假设与简化：对问题进行适度的简化和假设，以降低问题的复杂性和求解难度。
3.变量定义和量纲分析：明确定义模型中的各个变量和参数，并进行量纲分析和归一化处理，以确保模型的合理性和可靠性。 三、模型求解： 模型求解是对建立的数学模型进行求解，以得到问题的解答。具体步骤如下： 1.求解方法选择：根据模型的特点和求解要求，选择适当的数学方法进行求解，如解析解法、数值解法、近似解法等。 2.模型编程与计算：对所选的求解方法进行程序设计和算法实现，利用计算机进行模型求解，得到问题的数值解。 3.求解结果分析与解释：对求解结果进行分析和解释，解释结果的含义和对问题的解答进行验证。 四、模型验证： 模型验证是对建立的数学模型进行验证和评估，以确定模型的合理性和可靠性。 1.合理性检验：对模型的假设和简化进行合理性的检验，检查是否存在明显的偏差和不合理的结果。 2.稳定性与敏感性分析：对模型的稳定性和敏感性进行分析，研究模型对参数变化和扰动的响应情况。 3.模型与数据的拟合度：比较模型的预测结果与实际观测数据之间的拟合度，评估模型对实际问题的适用性。
数学建模方法和应用 数学作为一门学科和一种工具，一直在各个领域中发挥着重要 的作用。数学建模是一种解决实际问题的方式，不仅可以帮助人 们理清复杂的问题脉络，还能够精确地描述问题的本质和规律。 本文将介绍数学建模的概念、方法和应用领域。 一、数学建模的概念 数学建模是指利用数学语言和方法来解决实际问题的过程。其 具体步骤一般包括问题的分析、模型的建立、模型的求解及模型 的验证等。数学建模主要涉及数学分析、统计学、概率论、图论、运筹学、优化理论等多个学科。 数学建模的核心在于建立一个恰当的模型，即根据问题的特征 和需求，选择合适的数学工具和方法，将问题抽象成一个可以用 数学语言和符号表示的模型。这个模型不仅要简单明了，而且还 要尽量贴近实际情况，并且具有可解性和可行性。只有建立了一 个好的模型，才能够得到一个有效的解决方案。 二、数学建模的方法
数学建模的方法根据问题的类型和需求而不同。一般来说数学建模可以分为以下几个步骤： 1. 问题分析：明确问题背景、目标和限制条件等，确定问题的类型和性质。 2. 建立模型：将问题抽象成一个可以用数学方法求解的模型，选择合适的数学工具和方法。 3. 模型求解：利用数学工具和方法求解模型，得到问题的最优解或近似解。 4. 模型验证：将模型的结果与实际情况进行比较，评估模型的可靠性和适用性。 数学建模的方法需要结合具体的问题和数据来分析和处理。在建模过程中需要注意对数据的处理，同时也要注意不要过度追求数学细节而将问题复杂化。
三、数学建模的应用 数学建模可以应用于众多领域，如经济、物理、化学、医学、生物学、环境科学等。下面介绍其中的几个应用领域： 1. 生态学 生态学是一门综合性学科，用数学工具和方法解决复杂的生态系统问题已成为一个重要的趋势。生态建模可以对生态系统的结构和功能进行定量描述，从而预测生态系统的演化和变化趋势。 2. 金融 数学建模在金融领域中应用广泛，主要涉及到风险管理、资产定价、投资策略、股票波动率预测等问题。数学建模可以帮助人们制定合理的投资策略和风险管理方案。 3. 物理学
数学建模步骤 数学建模是一种通过数学方法解决实际问题的方法。下面将介绍数学建模的步骤。 一、问题的提出 数学建模的第一步是确定问题的范围和目标。问题的提出需要从实际问题出发，明确解决的问题是什么。例如，设计一个航空航天器、预测未来气候变化等。要求问题清晰明确、具有可行性和实用性。 二、建立模型 建立模型是数学建模的核心。模型是指将实际问题抽象成为数学模型，通过数学语言和符号表达出来。建立模型需要根据问题的特征和要求，选择合适的数学方法和理论，构建出合理的数学模型。常用的数学方法包括微积分、概率论、统计学、最优化、动力系统等。 三、求解模型 求解模型是指通过数学方法对建立的数学模型进行求解，得到问题的解答。在求解模型时，需要根据实际情况选择适当的数值计算方法、数值计算软件等。常用的数值计算方法包括迭代法、差分法、有限元法等。求解的结果需要进行验证和
分析，以确保解的正确性和合理性。 四、模型的评价 模型的评价是对建立的数学模型进行评估，判断模型的适用性和可靠性。评价模型需要考虑模型的合理性、可行性、稳定性、准确性等方面。评价的结果用于改进和优化模型，或者选择更合适的数学方法和理论。 五、应用模型 应用模型是指将建立好的数学模型应用到实际问题中，得到解决方案。应用模型需要将建立好的数学模型与实际场景结合起来，进行具体的应用。在应用模型时，需要考虑模型的实用性、可行性、成本效益等方面。 六、模型的优化 模型的优化是指对已经建立好的数学模型进行优化和改进，以提高模型的精度和效率。模型的优化需要根据实际问题的特点和要求，选择合适的优化方法和技术。常用的优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、神经网络等。 总之，数学建模是一种复杂的过程，需要全面考虑问题的各个方面，运用多种数学方法和技术，以达到解决实际问题的目的。
数学建模常用方法以及常见题型 核心提示： 数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自 数学建模方法 一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 4.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 三、仿真和其他方法 1.计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 ①离散系统仿真--有一组状态变量。 ②连续系统仿真--有解析达式或系统结构图。 2.因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。 3.人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。 数学建模题型 赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 一、实际问题背景 1.涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。 2.一般都有一个比较确切的现实问题。 二、若干假设条件有如下几种情况：
数学建模知识点总结 本文对数学建模的知识点进行总结，旨在帮助读者快速了解数学建模的核心概念和方法。 一、数学建模的基础知识 1. 数学建模的定义：数学建模是通过数学方法解决实际问题的过程，包括问题的分析、建立数学模型、求解模型、结果的分析和验证等步骤。 2. 常用的数学模型：常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型等，不同类型的模型适用于不同的问题。 3. 数学建模的步骤：数学建模一般包括问题的形式化、模型的建立、模型的求解、模型的验证和结果的分析等步骤，每个步骤都需要仔细思考和合理选择方法。 二、数学建模的常用方法
1. 数理统计方法：数理统计是数学建模中常用的方法之一，通 过对问题数据的统计分析来获得问题的特征和规律，从而建立数学 模型。 2. 最优化方法：最优化是数学建模中求解优化问题的常用方法，通过选择合适的优化目标函数和约束条件，求解出问题的最优解。 3. 微分方程方法：微分方程是数学建模中描述变化和关系的常 用工具，通过建立微分方程模型，可以有效地描述问题的动态变化 情况。 4. 图论方法：图论是数学建模中研究图结构和图算法的重要分支，通过构建问题的图模型，可以利用图论的方法解决相关问题。 5. 随机过程方法：随机过程是数学建模中研究随机事件发生的 规律和模式的数学工具，通过建立随机过程模型，可以对问题进行 概率分析和预测。 三、数学建模的案例应用
1. 交通流量预测：通过建立交通流量模型，预测不同时间段和不同路段的交通流量，以便制定合理的交通管理策略。 2. 股票价格预测：通过建立股票价格模型，预测未来股票价格的变动趋势，为投资者提供参考和决策依据。 3. 环境污染控制：通过建立环境污染模型，分析污染源和传播规律，提出合理的环境保护措施和污染治理方案。 4. 生产优化调度：通过建立生产优化模型，分析生产过程中的瓶颈和制约因素，优化生产调度方案，提高生产效率。 5. 疾病传播模拟：通过建立疾病传播模型，分析疾病传播的潜在风险和影响因素，制定合理的防控措施。 以上仅是数学建模的一些应用案例，数学建模的应用领域非常广泛，涉及到生物、经济、环境、工程等多个领域。 四、数学建模的发展趋势
数学建模的主要建模方法 数学建模是一种用数学语言描述实际问题，并通过数学方法求解问题 的过程。它是数学与实际问题相结合的一种技术，具有广泛的应用领域， 如物理、工程、经济、生物等。数学建模的主要建模方法可以分为经典建 模方法和现代建模方法。 经典建模方法是数学建模的基础，主要包括数理统计、微积分、线性 代数等数学工具。经典建模方法的特点是基于简化和线性的假设，并通过 解析或数值方法来求解问题。 1.数理统计：统计学是数学建模的重要工具之一，它的主要任务是通 过对样本数据的分析，推断出总体的特征。数理统计中常用的方法有概率论、抽样理论、假设检验等。 2.微积分：微积分是数学建模中常用的工具，它研究变化率和积分问题。微积分的应用范围广泛，常用于描述物体的运动，求解最优化问题等。 3.线性代数：线性代数是研究向量空间与线性变换的数学学科。在数 学建模中，线性代数经常出现在模型的描述和求解过程中，如矩阵运算、 线性回归等。 现代建模方法是近年来发展起来的一种新的建模方法，主要基于现代 数学工具和计算机技术。现代建模方法的特点是模型更为复杂，计算更加 精确，模拟和实验相结合。 1.数值模拟：数值模拟是一种基于计算机技术的建模方法，通过离散 和近似的数学模型，利用数值计算方法求解模型。数值模拟常用于模拟和 预测实际问题的复杂现象，如天气预报、电路仿真等。
2.优化理论：优化理论是数学建模中的一种重要工具，它研究如何找到最优解或最优化方案。优化问题常用于求解资源分配、生产排程等实际问题。 3.系统动力学：系统动力学是一种研究系统结构和行为的数学方法，它通过建立动态模型，分析系统的变化趋势和稳定性。系统动力学常用于研究生态系统、经济系统等复杂系统。 4.随机过程：随机过程是描述随机事件随时间变化的数学模型。它在数学建模中常用于分析随机现象的特征和规律，如金融市场变动、人口增长等。 总体而言，数学建模的方法多种多样，建模方法的选择取决于问题的性质、可用数据和计算资源等因素。合理选择和组合不同的建模方法，可以更好地解决实际问题，提高建模的准确性和可行性。
数学建模知识点总结 一、数学建模的基本概念 数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行数学化描述和求解的过程。数学建模的核心是将实际问题抽象化为数学模型，并通过数学方法对模型进行求解，从而得出对实际问题的合理解释和解决方案。 二、数学建模的基本步骤 1. 问题的分析与建模：对实际问题进行深入分析，明确问题的目标和约束条件，然后将问题转化为数学模型的形式。数学模型可以是代数方程、差分方程、微分方程、优化问题等。 2. 模型的求解：根据具体问题的特点，选择合适的数学方法和技术对模型进行求解。常见的数学方法包括数值计算、概率统计、优化算法等。 3. 模型的验证与评估：对求解得到的数学模型进行验证，检验模型的有效性和可行性。可以通过实际数据的拟合度、模型的稳定性等方面来评估模型的质量。 4. 结果的解释与应用：将数学模型的求解结果进行解释和分析，得出对实际问题的合理解释和解决方案。根据实际需求，可以对模型
进行调整和优化，进一步提高模型的准确性和实用性。 三、常见的数学建模方法和技术 1. 线性规划：线性规划是一种优化方法，用于解决目标函数线性、约束条件线性的优化问题。通过线性规划可以求解最大化或最小化目标函数的最优解，广泛应用于生产调度、资源分配等领域。 2. 非线性规划：非线性规划是一种优化方法，用于解决目标函数非线性、约束条件非线性的优化问题。非线性规划相比线性规划更加复杂，但可以处理更为实际的问题，如经济增长模型、能源消耗模型等。 3. 微分方程模型：微分方程模型是一种描述系统演化过程的数学模型，广泛应用于物理、生物、经济等领域。通过求解微分方程模型，可以揭示系统的动力学行为和稳定性特征。 4. 差分方程模型：差分方程模型是一种递推关系式，描述系统在离散时间点上的变化规律。差分方程模型常用于描述离散事件系统、人口增长模型等。 5. 概率统计模型：概率统计模型是一种利用概率统计方法对随机事件进行建模和分析的方法。通过概率统计模型，可以对实际问题的不确定性进行量化和分析，如风险评估、市场预测等。
数学建模的基本步骤及方法 数学建模是一种应用数学的方法，通过对实际问题进行抽象和建立 数学模型，以求解问题或进行预测和模拟。它在各个领域都有广泛的 应用，如物理学、工程学、经济学等。本文将介绍数学建模的基本步 骤及方法。 一、问题理解与建模目标确定 在进行数学建模之前，首先需要对问题进行全面的理解，并明确建 模的目标。了解问题的背景、限制条件和需求，明确要解决的主要问题。确定建模目标是指明建模的最终目的，如是否需要进行预测，求 解最优解或模拟系统行为等。 二、问题假设与参数设定 在建立数学模型时，为了简化问题和计算，我们常常需要进行一些 假设。假设可以是对某些变量的约束条件，或对系统行为的特定假设。另外，还需要确定模型中的参数，即直接影响模型行为和计算结果的 变量值。 三、模型构建与分析 模型构建是指根据问题的特性和建模目标，选择适当的数学方法和 公式，将问题转化为数学表达式。常用的数学方法包括微积分、线性 代数、随机过程等。模型构建后，需要对模型进行分析，检验模型的 可行性和有效性，评估模型与实际问题的拟合程度。
四、模型求解与结果验证 模型的求解是指通过计算或优化方法，求得模型的解析解或数值解。求解的方法多种多样，如数值计算、优化算法、模拟仿真等。求解后，需要对结果进行验证，比较模型求解的结果与实际情况的差异，并分 析产生差异的原因。 五、结果分析与报告撰写 对模型的结果进行分析是数学建模的重要环节。通过对结果的解释 和分析，了解模型对问题的预测、优化或模拟效果。在分析过程中， 需要注意结果的合理性和稳定性，以及对结果的可靠性和可解释性进 行评估。最后，撰写模型报告，将整个建模过程和结果进行系统化的 呈现和总结，并提出进一步改进的建议。 六、模型验证与应用 模型验证是指将建立好的数学模型应用于实际问题，并进行实验验 证和应用效果评估。通过与实际数据和实验结果进行比较，验证模型 的有效性和适用性。若模型符合实际要求，则可以将其应用于类似问 题的求解和预测。 总结： 数学建模的基本步骤包括问题理解与建模目标确定、问题假设与参 数设定、模型构建与分析、模型求解与结果验证、结果分析与报告撰写，以及模型验证与应用。在建模过程中，需要灵活运用数学工具和
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。他们不是为了应用数学知 识而寻找实际问题（就像 在学校里做数学应用题）， 而是为了解决实际问题而 需要用到数学。而且不止 是要用到数学，很可能还 要用到别的学科、领域的 知识，要用到工作经验和 常识。特别是在现代社会， 要真正解决一个实际问题 几乎都离不开计 算机。可以这样 说，在实际工作中 遇到的问题，完全 纯粹的只用现成 的数学知识就能 解决的问题几乎 是没有的。你所能 遇到的都是数学 和其他东西混杂 在一起的问题，不是“干 净的”数学，而是“脏” 的数学。其中的数学奥妙 不是明摆在那里等着你去 解决，而是暗藏在深处等 着你去发现。也就是说， 你要对复杂的实际问题进 行分析，发现其中的可以 用数学语言来描述的关系 或规律，把这个实际问题 化成一个数学问题，这就 称为数学模型。 数学模型具有下列特 征：数学模型的一个重要 特征是高度的抽象性。通 过数学模型能够将形象思 维转化为抽象思维，从而 可以突破实际系统的约 束，运用已有的数学研究 成果对研究对象进行深入 的研究。数学 模型的另一个 特征是经济 性。用数学模 型研究不需要 过多的专用设 备和工具，可 以节省大量的 设备运行和维 护费用，用数 学模型可以大大加快研究 工作的进度，缩短研究周 期，特别是在电子计算机 得到广泛应用的今天，这 个优越性就更为突出。但 是，数学模型具有局限性， 在简化和抽象过程中必然 造成某些失真。所谓“模 型就是模型”(而不是原 型)，即是该性质。