数学模型与数学建模
数学模型是运用数学方法描述现实或抽象问题的一种工
具或方法。数学模型又可分为解析模型和仿真模型两种。解析模型是指基于已知公式和数据进行分析求解，得到数学表达式或数值解的模型。仿真模型是指利用计算机建立的模拟系统模型，根据模型建立的规则模拟输入变量所产生的输出结果。数学建模是指通过数学知识把实际问题抽象为数学问题，并基于其建立数学模型。数学建模技术可应用于各个领域，如自然科学、工程技术、社会科学、医学等。下面就对数学模型和数学建模的一些概念和应用进行详细介绍。
一、数学模型的分类
数学模型主要包括解析模型和仿真模型。下面分别介绍：
1、解析模型
解析模型是指通过已知数据和公式，进行分析推导求解
数学表达式或数值解的模型。它是基于数学理论和分析方法的，其主要步骤为：建立问题的数学模型、求解模型、验证模型和应用模型。解析模型主要包括以下几种类型：
（1）几何模型
几何模型是指通过几何图形描述实际问题的模型。如，
根据实际问题的条件，建立几何图形，求解图形的面积、周长、体积等数学问题，就是利用几何模型进行的建模。几何模型常用于计算机图形学、工程地质学、建筑工程学等领域。
（2）微积分模型
微积分模型是指通过微积分的方法求解实际问题的模型。
微积分是数学分析的基础，微积分模型广泛应用于科学工程领域。如在热力学、流体力学、电磁学、生物学等领域，常用微积分模型来研究问题。
（3）代数模型
代数模型是指通过代数方程和不等式描述实际问题的模型。如根据实际问题建立代数模型求解方程组、解析几何等问题。代数模型广泛应用于物理、经济、金融等领域。
（4）概率统计模型
概率统计模型是指通过概率统计理论描述实际问题的模型。如，许多保险公司的经营决策是基于概率统计模型的建立和分析的。又如，酒店的房价决定也取决于概率统计模型。
2、仿真模型
仿真模型是指利用计算机模拟系统建立的模型。计算机可以模拟出一些人工难以模拟或难以观测的复杂系统，并通过模拟结果对系统进行推理分析或进行决策。仿真模型主要有以下几种类型：
（1）离散事件仿真模型
离散事件仿真模型描述事件发生的顺序和持续时间，用于模拟物流、制造、金融等系统。离散事件仿真模型的优势是它能够在不改变实际系统的情况下进行多种情况的仿真，以便预测实际系统可能出现的各种情况。
（2）连续仿真模型
连续仿真模型是指模拟周期性事件或连续事件的模型。如物理、化学、生物、水力、气候、地球物理等领域的模拟系统。连续仿真模型可以对系统进行连续的模拟，这样可以更加准确地预测系统的行为和结果。
（3）组合仿真模型
组合仿真模型是指将两种或多种模型结合在一起，构成更为复杂的仿真模型。例如，将离散事件仿真模型和连续仿真模型结合起来，构建出更为精细的仿真模型。
二、数学建模的流程
数学建模是将实际问题抽象成数学问题，并应用数学建立模型，用数学方法对问题进行分析和求解的过程。数学建模流程主要包括模型建立、模型求解和模型评价三个阶段。
1、模型建立
模型建立是将实际问题转化为数学问题的过程，主要包括以下几个步骤：
（1）确定问题
确定问题是数学建模的第一步，需要将实际问题进行充分的调研和分析，了解问题的背景、目的和未来的应用范围，从而帮助确定问题。
（2）收集数据
收集数据是设计数学模型的重要环节。数据的质量和数量都十分重要，它们会直接影响到模型的正确性和精度。
（3）建立模型
建立模型是关键的一步，数学建模中必须选择适当的数学方法，如微积分、概率统计等，通过观察实际问题的规律与特点，把问题抽象为数学问题。
2、模型求解
模型求解是指根据所建立的模型进行分析推理，以获得问题的答案。模型求解主要包括以下几个步骤：
（1）选择方法
选择合适的数学方法对建立的模型进行求解。如，根据问题的特性选用线性规划、非线性规划、优化算法等方法。
（2）计算和模拟
将所选取的数学模型和方法运用到实际问题中进行计算和模拟。这一步需要使用数学软件进行处理和模拟，以获得合适的输出结果。
（3）结果的处理与分析
拿到计算结果后，还需要对数据进行处理与分析，以得到准确、可靠并且具体的结果。
3、模型评价
模型评价主要是对模型解决问题的效果进行评价，从而判断选取的数学模型是否合适并提出改进建议。主要包括以下几点：
（1）应用预测
将所建立的模型应用于实际问题中，并根据实际情况对模型预测结果进行评价和判断。
（2）误差分析
对模型误差进行分析和评价，确定模型误差的来源和性质，进而确定模型的应用注意事项以及模型的改进策略。
（3）灵敏度分析
灵敏度分析是通过改变模型的输入条件，评估输出结果的变化，以确定模型对输入条件的依赖性。根据对数据的分析和应用，可以对模型进行改进和完善。
三、数学模型和数学建模的应用领域
数学模型和数学建模技术可以应用于各个领域，如自然科学、工程技术、社会科学、医学等。下面我们来了解一下在各个领域的应用。
1、自然科学领域
在自然科学领域，数学建模技术被广泛地应用于物理、
化学、天文学、生物学等领域。数学建模常用的数学方法包括微积分、代数学等，其应用领域包括气候预报、地震预测、疾病预测和生态系统研究等。
2、工程技术领域
数学建模和模拟技术是现代工程技术的重要组成部分。
在这个领域，数学建模技术主要应用于工程设计、生产和运营管理等方面。数学建模常用的数学方法包括运筹学、优化学、概率统计等，其应用领域包括生产成本控制、质量控制、制造过程优化等。
3、社会科学领域
在社会科学领域，数学建模和仿真技术逐渐成为社会科
学中重要的研究手段，可应用于经济学、管理学、政治学、社会学、心理学等领域。数学建模常用的数学方法包括统计学、网络分析等，其应用领域包括市场需求预测、社会风险评估等。
4、医学领域
在医学领域，数学建模技术可以用于预测疾病的传播、
疾病的诊断和治疗以及药物的研发和剂量计算等方面。数学建模常用的数学方法包括微积分、概率统计等，其应用领域包括病毒传播预测、肿瘤治疗研究等。
总之，数学模型和数学建模技术应用广泛，可帮助人们
预测、评估和指导实际问题的解决，进一步促进人类社会发展。
数学模型与数学建模 数学模型是运用数学方法描述现实或抽象问题的一种工 具或方法。数学模型又可分为解析模型和仿真模型两种。解析模型是指基于已知公式和数据进行分析求解，得到数学表达式或数值解的模型。仿真模型是指利用计算机建立的模拟系统模型，根据模型建立的规则模拟输入变量所产生的输出结果。数学建模是指通过数学知识把实际问题抽象为数学问题，并基于其建立数学模型。数学建模技术可应用于各个领域，如自然科学、工程技术、社会科学、医学等。下面就对数学模型和数学建模的一些概念和应用进行详细介绍。 一、数学模型的分类 数学模型主要包括解析模型和仿真模型。下面分别介绍： 1、解析模型 解析模型是指通过已知数据和公式，进行分析推导求解 数学表达式或数值解的模型。它是基于数学理论和分析方法的，其主要步骤为：建立问题的数学模型、求解模型、验证模型和应用模型。解析模型主要包括以下几种类型： （1）几何模型 几何模型是指通过几何图形描述实际问题的模型。如， 根据实际问题的条件，建立几何图形，求解图形的面积、周长、体积等数学问题，就是利用几何模型进行的建模。几何模型常用于计算机图形学、工程地质学、建筑工程学等领域。 （2）微积分模型 微积分模型是指通过微积分的方法求解实际问题的模型。
微积分是数学分析的基础，微积分模型广泛应用于科学工程领域。如在热力学、流体力学、电磁学、生物学等领域，常用微积分模型来研究问题。 （3）代数模型 代数模型是指通过代数方程和不等式描述实际问题的模型。如根据实际问题建立代数模型求解方程组、解析几何等问题。代数模型广泛应用于物理、经济、金融等领域。 （4）概率统计模型 概率统计模型是指通过概率统计理论描述实际问题的模型。如，许多保险公司的经营决策是基于概率统计模型的建立和分析的。又如，酒店的房价决定也取决于概率统计模型。 2、仿真模型 仿真模型是指利用计算机模拟系统建立的模型。计算机可以模拟出一些人工难以模拟或难以观测的复杂系统，并通过模拟结果对系统进行推理分析或进行决策。仿真模型主要有以下几种类型： （1）离散事件仿真模型 离散事件仿真模型描述事件发生的顺序和持续时间，用于模拟物流、制造、金融等系统。离散事件仿真模型的优势是它能够在不改变实际系统的情况下进行多种情况的仿真，以便预测实际系统可能出现的各种情况。 （2）连续仿真模型 连续仿真模型是指模拟周期性事件或连续事件的模型。如物理、化学、生物、水力、气候、地球物理等领域的模拟系统。连续仿真模型可以对系统进行连续的模拟，这样可以更加准确地预测系统的行为和结果。 （3）组合仿真模型
数学建模的基本思路与方法数学建模是通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。它不仅是数学和统计学领域的重要研究方向，也在物理、化学、生物、经济和工程等众多学科中得到广泛应用。本文将介绍数学建模的基本思路与方法。 一、问题的理解与分析 在进行数学建模之前，首先需要全面理解和分析问题。这包括对问题的背景、目标及约束条件进行明确，对问题所涉及的各种变量和参数进行分类和整理，了解问题的局限性和可行性等。 二、数学模型的建立 基于对问题的理解与分析，接下来要建立数学模型。数学模型是对实际问题进行抽象和数学化的表示。常用的数学模型包括方程模型、差分模型、微分模型、最优化模型等。 1. 方程模型 方程模型是最常见且基础的模型之一。它将实际问题中的各种关系和规律用数学方程进行表示。常见的方程模型有线性方程模型、非线性方程模型、微分方程模型等。 2. 差分模型
差分模型是离散的数学模型，适用于描述实际问题中的离散数据和变化趋势。差分模型通常用递推关系式进行表示，可以通过差分方程求解。 3. 微分模型 微分模型是连续的数学模型，适用于描述实际问题中的连续变化和关系。微分模型通常用微分方程进行表示，可以通过求解微分方程获得结果。 4. 最优化模型 最优化模型是在一定约束条件下，寻找最优解或最优策略的数学模型。最优化模型可以是线性规划、非线性规划、整数规划等形式。 三、模型的求解与分析 建立数学模型后，需要对模型进行求解和分析。求解模型的方法有很多，包括解析解法、数值解法和优化算法等。 1. 解析解法 对于简单的数学模型，可以通过代数方法得到解析解。解析解法基于数学公式和运算，可以直接得到精确的解。 2. 数值解法 对于复杂的数学模型，常常需要借助计算机通过数值计算来求解。数值解法基于数值逼近和迭代算法，可以得到模型的近似解。 3. 优化算法
数学模型与数学建模 第一篇：数学模型的基本概念 在现代科学研究中，数学模型是一种非常重要的工具， 通过建立描述物理或社会现象的数学模型，我们可以更好地理解和控制这些现象。在本文中，我们将介绍数学模型的基本概念及其在现实中的应用。 一、数学模型的定义和分类 数学模型是用数学符号、方程和图表等数学表达方式来 描述现实世界的一个抽象表示。它可以用于解释和预测各种现象及其规律，从而帮助我们做出决策和解决问题。根据研究领域和目标，数学模型可以分为物理模型、经济模型、生物模型、社会模型等。 二、数学模型的建立过程 数学模型的建立通常包括以下步骤： 1.问题分析：确定研究对象、研究目的和相关因素。 2.假设建立：对研究对象进行适当的简化和假设，确定 研究范围和基本假设。 3.数学表示：用数学符号和方程来表示研究对象和变量 之间的关系。 4.参数设定：指明各个变量的具体数值和范围，以及与 现实世界的对应关系。 5.模型验证：通过模拟或实验验证模型的正确性和可行性。 三、数学模型的应用领域
数学模型被广泛应用于各个领域，如天文学、物理学、化学、生物学、经济学、社会学等。以下是一些典型的例子： 1.天文学中的数学模型可以用来描述星体和行星的运动轨迹，预测彗星和陨石的轨迹和时间，以及预测备选行星的轨迹和特性。 2.经济学中的数学模型可以用来预测市场供求关系、利率、汇率等，并进行政策规划和决策。 3.生物学中的数学模型可以用来描述生物进化、种群动态、生态系统和生物物种间的关系，以及预测疾病传播和药物研发。 四、数学模型的发展趋势 随着科技、数据采集和计算能力不断发展，数学模型也不断更新和进化。未来数学模型的发展趋势主要包括： 1.数据驱动模型：基于大数据的机器学习和人工智能等技术，依靠数据直接训练和生成模型。 2.多学科交叉模型：跨学科合作，利用多层次、多角度的学科与方法，进一步提升模型的准确性和实用性。 3.可解释性模型：提高模型的可解释性，利用统计学方法和可视化技术，使模型结果更易读懂和理解。 结论： 数学模型不仅是理论研究的基础，也是实践问题解决的重要手段。通过适当的建模、求解和验证，可以更好地理解自然和社会现象的本质和规律，为科技创新和社会发展做出更大的贡献。 第二篇：数学建模的案例分析 数学建模是指应用数学方法来解决实际问题，其实现过程涉及到数学、计算机、模型和实践等方面。本文将通过分析
数学模型与数学建模（Mathematical model and mathematical modeling） Edit reference materials for this competition Competition reference book L, Chinese Undergraduate Mathematical Contest in modeling, edited by Li Daqian, higher education press (1998).2, mathematical modeling contest tutorials, (a) (two) (three), edited by Ye Qixiao, Hunan Education Publishing House (199319971998).3, mathematical modeling education and international mathematics modeling contest "Engineering Mathematics" album, leaves its filial., "Engineering Mathematics" magazine, 1994). Two, domestic teaching materials, books 1, mathematical model, Jiang Qiyuan, higher education press (1987 edition, 1993 second edition; the first edition held in 1992 by the National Education Committee, the second national outstanding teaching award won the "national outstanding teaching award"), mathematical model and computer simulation of.2, Jiang Yuzhao and Xin Pei love series, electronic science and Technology University Press, (1989).3, a mathematical model about selection (to mathematics from the book), Hua Luogeng, Wang Yuan, Wang Ke, Hunan education press; (1991) with the example of.4, mathematical modeling method, Shou Jilin et al, Xi'an Jiao Tong University press (1993),.5 model, Dongpu set country, edited by Tian Yuwen, Southeast University press (1994) the mathematical model of.6.., Zhu Siming, Li Shanglian, Zhongshan University press, 7 (1995), mathematical model,
数学建模 内容摘要： 数学作为现代科学的一种工具和手段，要了解什么是数学模型和数学建模，了解数学建模一般方法及步骤。 关键词： 数学模型、数学建模、实际问题 伴随着当今社会的科学技术的飞速发展，数学已经渗透到各个领域，数学建模也显得尤为重要。数学建模在人们生活中扮演着重要的角色，而且随着计算机技术的发展，数学建模更是在人类的活动中起着重要作用，数学建模也更好的为人类服务。 一、数学模型 数学模型是对于现实世界的一个特定对象,一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构. 简单地说:就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述),即用数学式子(如函数,图形,代数方程,微分方程,积分方程,差分方程等)来描述(表述,模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律. 随着社会的发展,生物,医学,社会,经济……,各学科,各行业都涌现现出大量的实际课题,急待人们去研究,去解决.但是,社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才,而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题,取得经济效益和社会效益.他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就像在学校里做数学应用题),而是为了解决实际问题而需要用到数学.而且不止是要用到数学,很可能还要用到别的学科,领域的知识,要用到工作经验和常识.特别是在现代社会,要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机.可以这样说,在实际工作中遇到的问题,完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的.你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题,不是"干净的"数学,而是"脏"的数学.其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决,而是暗藏在深处等着你去发现.也就是说,你要对复杂的实际问题进行分析,发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律,把这个实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型. 数学模型具有下列特征:数学模型的一个重要特征是高度的抽象性.通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维,从而可以突破实际系统的约束,运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究.数学模型的另一个特征是经济性.用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具,可以节省大量的设备运行和维护费用,用数学模型可以大大加快研究工作的进度,缩短研究周期,特别是在电子计算机得到广泛应用的今天,这个优越性就更为突出.但是,数学模型具有局限性,在简化和抽象过程中必然造成某些失真.所谓"模型就是模型"(而不是原型),即是指该性质. 二、数学建模 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象,简化,假设,引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模. 模型是客观实体有关属性的模拟.陈列在橱窗中的飞机模型外形应当象真正的飞机,至于它是否真的能飞则无关紧要;然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同,如果飞行性能不佳,外形再象飞机,也不能算是一个好的模型.模型不一定是对实体的一种仿照,也可以是对实体的某些基本属性的抽象,例如,一张地质图并不需要用实物来模拟,它可以用抽象的符号,文字和数字来反映出该地区的地质结构.数学模型也是一种模拟,是用数学符号,数学式子,程序,图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展
数学建模中的模型建立与求解数学建模是一种通过数学模型描述和解决实际问题的方法，它在各 个领域具有重要应用。在数学建模过程中，模型的建立和求解是关键 步骤，决定了最终的分析和预测结果。本文将探讨数学建模中的模型 建立与求解的方法和技巧。 一、模型建立 模型建立是数学建模的基础，它要求根据实际问题的特点和背景进 行合理的抽象和假设，将复杂的实际问题转化为易于处理的数学形式。模型的建立需要遵循以下原则： 1. 简化与拟合：模型应该尽可能简化实际问题，将其关键特点和变 量进行提取和抽象。同时，模型也需要与实际数据进行拟合，以确保 模型的准确性和可靠性。 2. 合理性与可验证性：模型的建立应该基于科学的理论和推理，避 免主观臆断和不合理的假设。模型也需要通过实际数据和实验进行验证，确保其能够准确地描述和预测实际问题。 3. 可操作性与实用性：模型的建立需要考虑其可操作性和实用性， 以便能够得到实际问题的解决方案。模型应该能够提供可行的策略和 可靠的结果，帮助决策者做出正确的决策。 二、模型求解
模型求解是数学建模的核心，它要求通过数学的方法和工具对模型 进行求解，并得到实际问题的答案和解决方案。在模型求解的过程中，可以采用多种方法和技巧，包括数值方法、优化方法和统计方法等。 1. 数值方法：数值方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数值 计算和近似算法来求解复杂的数学模型。数值方法的优点是求解速度快，适用范围广，但精度相对较低。常用的数值方法包括数值积分、 数值逼近和数值解微分方程等。 2. 优化方法：优化方法是模型求解中常用的方法之一，它通过优化 算法和数学规划来求解最优化问题。优化方法的优点是能够得到全局 最优解或近似最优解，但求解复杂度较高。常用的优化方法包括线性 规划、非线性规划和整数规划等。 3. 统计方法：统计方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数据 分析和概率统计来求解和预测实际问题。统计方法的优点是能够考虑 不确定性和随机性因素，但需要依赖大量的实际数据。常用的统计方 法包括回归分析、时间序列分析和假设检验等。 三、案例分析 为了更好地理解数学建模中的模型建立与求解，以下以全国疫情预 测为例进行案例分析。在模型建立阶段，我们需要根据疫情数据和传 播特点进行合理的抽象和假设，建立数学模型来描述疫情的传播过程 和未来趋势。在模型求解阶段，我们可以采用统计方法和优化方法， 对建立的模型进行参数估计和优化求解，得到疫情的预测和防控策略。
数学模型与数学建模 一、引言 在科学的广阔天地中，数学无疑是一座高耸入云的山峰，它的高峰俯瞰着整个科学领域。数学模型和数学建模，则是攀登这座高峰的重要工具。数学模型是对现实世界中的现象、问题或过程进行抽象、简化、假设和形式化的一种数学结构。而数学建模，则是通过数学模型来模拟、预测、优化或控制现实世界中的现象、问题或过程的过程。 二、数学模型：理论的基础 数学模型是一种理论工具，它能够将现实世界中的问题转化为数学问题，从而使得我们可以利用数学工具进行分析和解决。例如，在物理学中，我们可以通过建立微分方程或积分方程来描述物体的运动规律；在生物学中，我们可以通过建立种群增长模型来预测生物种群的未来发展趋势。 三、数学建模：实践的桥梁 数学建模是将数学模型应用到实际问题中的过程。它是一种桥梁，连接了理论和实践。数学建模的过程通常包括问题的定义、模型的建立、模型的求解和结果的解释等步骤。在这个过程中，我们需要对问题进
行深入的理解和分析，然后选择合适的数学工具来建立模型，最后通过计算机软件或者其他工具进行求解。 四、数学模型与数学建模的应用 数学模型和数学建模的应用广泛存在于各个领域。例如，在经济学中，我们可以通过建立计量经济学模型来预测经济走势；在医学中，我们可以通过建立生物统计学模型来分析疾病的数据。数学模型和数学建模还在计算机科学、工程学、社会学等许多领域中发挥着重要的作用。 五、理论和实践的融合 数学模型和数学建模是理论和实践的融合。它们不仅是解决实际问题的重要工具，也是推动科学发展的重要动力。通过建立和应用数学模型，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题，推动科学的进步和发展。通过实践中的应用和反馈，我们也可以不断改进和完善我们的数学模型和理论。这种理论和实践的相互促进，正是科学进步的重要动力。 数学模型数学建模模型思想 数学模型与数学建模：理论与应用 数学模型和数学建模是现代数学应用中的重要概念。数学模型是对现
数学模型与数学建模 《经济数学基础》是电大财经与管理类专科学生的一门必修课程，也是学习其它技术基础课和专业课的必要基础课程，无论学生和教师都非常重视这门课程的教学。但是现在的经济数学教材，多数只注重理论和计算，对应用性不够重视，即使有个别的应用也是限于较少的几何方面以及经济方面的简单应用。很多学生都有这样的认识：数学很重要，但很枯燥，学了半天除了知道能在几何等方面的应用外，不知道还能有什么用，但又不得不学。学生学习数学的目的不明确、缺少自觉学习的动力。归于一点，就是学生不知道学了数学有什么用。在今后的学习和工作中数学到底有什么作用呢？学生很茫然，但数学又是非常重要的课程。因此，很多学生都是怀着不得不学的态度来学习数学的，缺乏自觉学习的动力。这就要求我们数学教师进行课程内容和教学方法的大胆改革，让学生明白数学除了在几何以及经济上应用以外，还有很多用处，可以说我们的生活中、工作中无时无刻的充满着数学，只是你没有认识它，不知道该怎样用它。近20年来发展起来的数学建模正是为数学的应用性提供了展示的舞台，也为大学生们提供了一个很好的学习机会。 一、数学模型 什么是数学模型呢？ 1、模型 所谓模型是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩，提炼而成的原型替代物。这里的原型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。模型可以分为形象模型与抽象模型，前者包括直观模型（如机械模型，玩具等）和物理模型（如核爆炸反应模拟设备等），后者包括思维模型（如个人凭经验行事的思维模式及习惯等）和符号模型（如地图，电路图，化学分子结构式等）。 模型的特征：目的性、应用性、功能性、抽象性是一般模型所普遍具有的特征。 这里特别强调模型的目的性，模型的基本特征是由模型的目的决定的。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。例如，为了制定大型企业的生产管理计划，模型就不必反映各生产装置的动态特性，但必须反映产品的产量、销售量和库存原料等变化情况。也就是说，各装置的动态特性对这种模型来说是非本质的。相反，为了实现各生产装置的最佳运行，模型就必须详细地描述各装置内部状态变化的生产过程动态特性。这时，各装置的动态待性就变成了本质的。可见，模型所反映的内容将因其使用的目的的不同而不同。 模型的分类：模型一般分为具体模型（物质模型）和抽象模型（理想模型）两大类。具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等。
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结数学建模是运用数学方法和技巧来研究和解决现实问题的一门学科。它将实际问题抽象化，建立数学模型，并通过数学推理和计算求解模型，从而得出对实际问题的理解和解决方案。本文将总结数学建模中 常用的模型类型和求解方法，并介绍每种方法的应用场景。 一、线性规划模型与求解方法 线性规划是数学建模中最常用的模型之一，其基本形式为： $$ \begin{align*} \max \quad & c^Tx \\ s.t. \quad & Ax \leq b \\ & x \geq 0 \end{align*} $$ 其中，$x$为决策变量向量，$c$为目标函数系数向量，$A$为约束 系数矩阵，$b$为约束条件向量。常用的求解方法有单纯形法、对偶单 纯形法和内点法等。 二、非线性规划模型与求解方法
非线性规划是一类约束条件下的非线性优化问题，其目标函数或约 束条件存在非线性函数。常见的非线性规划模型包括凸规划、二次规 划和整数规划等。求解方法有梯度法、拟牛顿法和遗传算法等。 三、动态规划模型与求解方法 动态规划是一种用于解决多阶段决策问题的数学方法。它通过将问 题分解为一系列子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的最优解。常见的动态规划模型包括最短路径问题、背包问题和任务分配等。求 解方法有递推法、记忆化搜索和剪枝算法等。 四、图论模型与求解方法 图论是研究图及其应用的一门学科，广泛应用于网络优化、城市规 划和交通调度等领域。常见的图论模型包括最小生成树、最短路径和 最大流等。求解方法有贪心算法、深度优先搜索和广度优先搜索等。 五、随机模型与概率统计方法 随机模型是描述不确定性问题的数学模型，常用于风险评估和决策 分析。概率统计方法用于根据样本数据对随机模型进行参数估计和假 设检验。常见的随机模型包括马尔可夫链、蒙特卡洛模拟和马尔科夫 决策过程等。求解方法有蒙特卡洛法、马尔科夫链蒙特卡洛法和最大 似然估计等。 六、模拟模型与求解方法
数学模型与数学建模教学设计 概述 数学模型和数学建模是数学学科中的两个重要领域。数学模型指的是利用数学 方法描述实际问题，并进行数学计算得出相应结果的过程。而数学建模则是指利用数学模型来解决实际问题的过程。数学模型和数学建模的学习可以提高学生的数学思维能力、计算能力和科学素养，是提高学生数学综合素质的有效途径。 在数学模型和数学建模的学习中，教师应该合理地设计课程，使学生能够从实 际问题出发，建立数学模型，并运用数学知识进行求解。因此，本文将探讨数学模型和数学建模教学设计的方法和技巧。 课程设计 在数学模型和数学建模的教学设计中，需要贯彻“问题驱动、过程性、综合性、探究性”等原则，充分调动学生的积极性和创造性。 1.选择适当的教材 在教学中，首先需要选择适当的教材。教材选用应考虑到教学的实际需要和教 学对象的实际情况，使其既符合教学大纲要求，又符合学生的认知和理解能力。 2.确定教学目标 在教学设计中，需要明确教学目标，以鼓励学生充分发挥自主学习的主体性， 提高学习效果。教学目标应该包括： •深入理解数学模型和数学建模的重要性； •熟练掌握数学知识，并能够运用于实际问题； •培养对实际问题的分析和解决问题的能力； •培养创新思维和团队合作精神。
3.设计教学过程 在教学过程中，应该注意以下几点： •通过具体的实例来引导学生理解和掌握构建数学模型的方法； •通过课堂讨论、小组讨论等形式来激发学生的兴趣，加深学生对数学模型和数学建模的了解； •利用网络、多媒体等现代化教学手段来丰富教学内容，提高教学效果； •在教学中体现数学思想的发展历程，培养学生的科学素养和理性思维。 4.评价与反馈 教师需要进行评价与反馈来检验学生所掌握的知识和技能。教师可以通过课堂 作业、小组讨论、测验等方式来检验学生的学习成果，并及时进行有针对性的反馈。 教学方法 教学方法在数学模型和数学建模的教学中起着至关重要的作用。以下是一些常 用的教学方法： 1.案例分析法 案例分析法是目前数学模型和数学建模教学中最常用的教学方法之一。教师通 过给出相关实例并进行分析，引导学生对实际问题进行理解和分析，培养学生运用数学模型分析并解决实际问题的能力。 2.小组讨论法 小组讨论法是让学生在小组内自由讨论，并形成各自的见解和想法的教学方法。教师可以设计问题让学生进行小组讨论，通过小组内共同思考和集体合作，培养学生开放性思维和团队合作精神。 3.网络教学法
数学模型与数学建模 数学模型是对实际问题的一种抽象表示，通过数学语言和符号来描 述问题的特征、关系和规律。数学建模是利用数学方法解决实际问题 的过程，它依靠数学模型来分析和研究问题，得到问题的解决方案或 优化结果。数学模型与数学建模在各个领域都得到了广泛应用，成为 解决实际问题的强有力工具。 一、数学模型的分类 数学模型分为确定性模型和随机模型两大类。确定性模型是指模型 中的所有参数和变量的取值都是确定的，不存在随机性；随机模型则 是指模型中的某些参数或变量的取值是随机的，存在一定的概率分布 特性。 1.1 确定性模型 确定性模型是最常见的模型类型，它包括数学分析模型、代数模型、几何模型等。确定性模型主要用于描述具有确定关系的事物，其中最 典型的就是几何模型。例如，平面几何中的三角形和圆形可以用确定 性模型来描述其属性、关系和性质，进一步进行几何推理和证明。 1.2 随机模型 随机模型是描述随机现象的数学模型，其中包括概率模型、统计模型、随机过程模型等。随机模型常用于处理实际问题中的不确定性和 随机性因素。例如，在金融领域，股票价格的变动通常具有一定的不 确定性，可以用随机模型中的随机过程来描述和预测。
二、数学建模的步骤 数学建模通常包括问题定义、建立数学模型、求解模型和验证模型 这四个步骤。 2.1 问题定义 在数学建模中，首先需要明确问题的定义和目标，包括问题的背景、需求和约束条件等。问题定义阶段需要对问题进行细致的分析和抽象，确保问题的本质特征能够被准确地反映在数学模型中。 2.2 建立数学模型 建立数学模型是数学建模的核心步骤，它需要将实际问题转化为数 学语言和符号来描述。建立数学模型时，需要进行参数选择、变量定义、关系建立等操作，以确保模型能够客观、准确地反映问题的特征 和规律。 2.3 求解模型 求解模型是通过数学方法和技术来实现对问题解决方案的确定。根 据具体问题的不同，求解模型的方法可以采用数值计算、符号计算、 优化算法等不同的技术手段。求解模型的过程需要进行精确的计算和 分析，以得到问题的最优解或接近最优解。 2.4 验证模型
数学模型与数学建模课程设计 一、引言 数学是一门极具实用性的学科，数学模型和数学建模则是数学在实际问题中的一种应用。因此，针对数学模型与数学建模的课程设计尤为重要。本文将介绍一种适用于高中数学课程的数学模型与数学建模课程设计，旨在增强学生的数学应用能力。 二、目标和意义 2.1 目标 本课程设计的目标是： •让学生了解什么是数学模型和数学建模 •让学生掌握构建简单数学模型的方法和技巧 •让学生能独立处理简单数学建模问题 •提高学生的数学分析能力和推理能力 2.2 意义 •增加学生的数学知识面，提高数学素养 •帮助加强学生数学应用能力，为将来走向创新型社会打下坚实的基础 •提高学生的自主学习和创新能力
三、教学内容 3.1 数学模型 数学模型又称数学建模，是用数学方法来表达实际问题的方法。本课程的第一部分将主要介绍什么是数学模型、数学模型的分类和构建数学模型的步骤。范例分别为：高空抛物运动的建模、燃油消耗量的建模、成本与效益之间的建模等。 3.2 数学建模 数学建模是将实际问题转化为数学问题，并用数学工具和方法来求解问题的过程。本课程的第二部分将主要介绍如何进行数学建模，包括问题分析、建立数学模型、数学模型求解和模型验证等。范例分别为：物品运输路径规划问题、信贷评级问题等。 3.3 数学软件 本课程的第三部分将主要介绍常用的数学软件及其使用方法和实现原理等，包括Microsoft Excel、Mathematica等。范例为利用数学软件解决数学问题并验证业务假设的应用案例。 四、教学方法 本课程主要采用“理论联系实际”的教学方法，即讲授理论知识同时注重实例分析，并通过案例的形式来讲解掌握课程中的方法和技巧。同时，本课程借助互联网技术，针对具体题目，要求学生自主查阅相关的文献和使用数学软件进行求解。此外，本课程还采用“拓展阅读”、“自主实践”、“小组研究”等教学方法，促进学生的全面发展。 五、评价方法 教师将按照以下方面对学生的知识、能力、主动性进行评价： •具备数学模型与数学建模的基本知识和方法
常用数学模型及建模方法-数学建模 第三章常用数学模型及建模方法 3.1 量纲分析与轮廓模型 一. 量与量纲 1. 量及其度量 10. 模型所涉及的主要是量不是数 20. 量（物理量）可以分为： 基本量：基础的，独立的量: 长度、质量、时间、… 导出量：由基本量通过自然规律导出的量: 速度、加速度、力、… 30. 量的度量体系—单位制：基本量及其度量单位 40. 国际单位（SI）制 基本量 名称单位符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s 电流强度 I 安培 A 温度θ开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd 物质的量 N 摩尔 mol 导出量 名称单位符号 力牛顿 N（kgms-2）能量焦耳 J（kgm2s-2） 功率瓦特 W（kgm2s-3）频率赫兹 Hz（s-1） 压强帕斯卡 Pa（kgm-1s-2） 2. 量纲： 10. 量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式 [Q]=Lα MβTγ Iηθδ J ξ Nζ 为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。αβγηδξζ称为量纲指数。 例. [长度]=L、[质量]=M、[时间]=T、[面积]=L2 [体积]=L3、 [速
度]=LT-1, [加速度]=LT-2、[力]=MLT-2, [能量]=ML2T-2. 注 1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。 2. 对于某个物理量Q, 如果[Q]=Lα MβTγ Iηθδ J ξ Nζ，有α=β=γ=η=δ=ξ=ζ=0， 则称之为无量纲量，记为[Q]=1 。它将不依赖于选定的基本量。 3. 无量纲量不一定是无单位的量。 20. 量纲齐次法则 一个物理规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。 例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT-2, [ma]=MLT-2 满足量纲齐次法则的物理规律与这个规律所涉及的物理量的量纲单位的选择无关。 二. 量纲分析 量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。 例1 建模描述单摆运动的周期 问题：质量为m的小球系在长度为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下做往复的周期运动。分析小球摆动周期的规律。 假设：1. 平面运动，忽略地球自转；2.忽略可能的磨擦力；3. 忽略空气阻力； 4.忽略摆线的质量和变形. 分析建模 10. 列出有关的物理量 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 x. 20. 写出量纲: [t]=T，[l]=L，[m]=M，[g]=LT-2，[x]=1. 30 . 写出规律: F(t, l, m, g, x)= 0. 40. 写出规律中加项π 的形式: π=t y1 l y2 m y3 g y4 x y5 50. 计算π 的量纲: [π] = T y1 L y2 M y3 （LT -2）y4= T y1-2y4
数学建模常用模型与算法 一、常用模型 ☐（一）、评价模型： ☐AHP(层次分析法)（确定权重)、模糊评价、聚类分析、因子分析、主成份分析、回归分析、神经网络、多指标综合评价、熵值法(确定权重)等 ☐（二）、预测模型： ☐指数平滑法、灰色预测法、回归模型、神经网络预测、时间序列模型、马尔科夫预测、差分微分方程 ☐（三）、统计模型： ☐方差分析、均值比较的假设检验 ☐（四）、方程模型： ☐常微分方程、差分方程、偏微分方程、以及各种方程的求解（数值解和解析解） ☐（五）运筹优化类： ☐线性规划、非线性规划、目标规划、整数规划、图论模型（最短路、最大流、遍历问题等）、排队论、对策论、以及各种模型的算法 ☐(六)其他模型： ☐随机模拟模型、等 二、十大算法 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用， 当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）
第一章 数学模型 一. 模 型 为了一定的目的，人们对原型的一个抽象 例如: 航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象 二. 数 学 模 型 用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。 例1：牛顿定律 物体受外力作用时，物体所获加速度大小与合外力的大小成正比，并与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。 引入变量 x(t)表示在t 时刻物体的位置，F 表示合外力大小，m 表示物体质量。则受力物体满足如下运动规律，数学模型 例2：哥尼斯堡七桥问题 问题：能否从某地出发， 通过每座桥恰好一次，回到原地？ 由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。 三. 数学模型的特征 1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。 2. 应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。 3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。 第二章 数学建模举例数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。 下面给出几个数学建模的例子，重点说明： 如何做出合理的、简化的假设； 如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题； 如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。 例 1. 管道包扎 问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。 假设： 1. 直圆管，粗细一致。 2. 带子等宽，无弹性。 3. 带宽小于圆管截面周长。 4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道. 参量、变量： W ：带宽，C ：圆管截面周长，θ：倾斜角 （倾斜角）包扎模型 θsin C W = （截口）包扎模型 22||W C OB -= 进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？ 设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W, 带子长 M. 带长模型 22/W C W LC M -+= 问题: 1. 若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上? 2. 现有带长M 1=51m ，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕时允许带子互相重叠 2 2dt x d m F = D A C B
第一章 数学模型与数学建模竞赛 §1.1 数学模型的建立过程 一、什么是数学模型？ 我们常见的模型 玩具、照片、飞机模型…——实物模型； 风洞中的飞机、水箱中的舰艇…——物理模型； 地图、电路图、分子结构图…——符号模型； 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征. 二、你碰到过的数学模型——“航行问题” 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 解：用x 表示船速，y 表示水速，列出方程 ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=⨯-=⨯+5 207505075030y x y x y x . 答：船速每小时20千米/小时. 三、航行问题建立数学模型的基本步骤 1）作出简化假设(船速、水速为常数)； 2）用符号表示有关量(x ，y 表示船速和水速)； 3）用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)列出数学式子(二元一次方程)； 4）求解得到数学解答(x =20，y =5)； 5）回答原问题(船速每小时20公里). 对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构. 建立数学模型的全过程(包括建立、求解、分析、检验). 四、几个建模示例 示例一：高跟鞋问题 女孩子都爱美，你知道你穿跟多高的高跟鞋最美吗？
设某人下肢躯干部分长为xcm ，身高为lcm ，鞋跟高dcm ，我们知道黄金分割比为0.618，当人的下肢与身高比为0.618时应该看起来最美，即 618.0=++d l d x ， 则 382 .0618.0618.01618.0x l x l d -=--=， 由此模型可计算出任何一个女孩子应该穿多高鞋跟的鞋子. 以身高168cm ，下肢长为102cm 的人为例，其所穿鞋子的鞋跟高度与好看程度的关系可由表1.1.1说明. 表1.1.1 鞋跟高度与好看程度的关系 原比（x/l ） 身高（cm ） 鞋跟高度 新比值 0.6071 168 2.5 0.6129 0.6071 168 3.55 0.6151 0.6071 168 4.5 0.6173 0.6071 168 4.7748 0.618 又如，按照上述模型，身高153cm ，下肢长为92cm 的女士，应该穿鞋跟高为6.6cm 的高跟鞋显得比较美. 示例二：如何选择广告上的优惠政策 实际背景：为配合客户不同的需要，广告商设有以下优惠计划，以供客户选择（见表1.1.2）. 表1.1.2 计划A 计划B 每月基本服务费 98￥ 168￥ 免费通话时间 首60分钟 首500分钟 以后每分钟收费 0.38￥ 0.38￥ 选择性项目 30￥ 30￥ 问题：若在两种计划中选择，你选择哪一种？ 分析：（1）两项服务的不同点：计划A 的每月基本服务费比计划B 少，而计划B 比计划A 给客户的首段免费通话时间多. （2）模型假设与建立 设t （分钟）为通话时间，而C （﹩）是所需付出的费用，则可列出计划A 与计划B 的付费函数关系式为： 计划A ：