数学建模模型和技巧
数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法进行分析
和求解的过程。数学建模模型是对问题进行抽象和形式化的表示，而数学
建模技巧则是在建立数学模型和解决问题时的常用方法和技术。以下是一
些常用的数学建模模型和技巧。
一、常用数学建模模型
1.优化模型：优化模型利用数学方法求解最优解，包括线性规划、整
数规划、非线性规划等。这种模型通常用于求解资源分配、生产调度、物
流优化等问题。
2.统计模型：统计模型通过概率统计方法对问题进行分析和预测，包
括回归分析、时间序列分析、假设检验等。这种模型通常用于市场调研、
风险评估、金融预测等问题。
3.动力学模型：动力学模型描述系统随时间变化的规律，包括微分方
程模型、差分方程模型等。这种模型通常用于研究物理过程、生态系统、
经济波动等问题。
4.图论模型：图论模型利用图的概念和算法解决问题，包括最短路径、流网络、最小生成树等。这种模型通常用于网络优化、交通规划、电路设
计等问题。
5.随机模型：随机模型描述随机变量的分布和统计性质，包括随机过程、蒙特卡洛模拟等。这种模型通常用于风险评估、信号处理、金融衍生
品定价等问题。
二、常用数学建模技巧
1.合理假设：在建立数学模型时，需要根据实际情况进行适当的简化
和假设。通过合理的假设，可以使模型更易求解，同时保持对原问题的关
键特征进行准确描述。
2.变量选择：选择合适的变量是建立数学模型的重要一步。需要根据
问题的特点和求解的目标选择与问题相关的变量，并对它们进行合理的定
义和界定。
3.数据处理：在数学建模中，经常需要处理大量的数据。这包括数据
的清洗、转换、归一化等操作，以便更好地与模型对接和求解。
4.模型求解：根据模型的数学特征，选择适当的方法和算法进行求解。这包括常见的数值求解方法、优化算法、统计推断等技术。
5.模型评价：在得到数学模型的解后，需要对解的可行性和有效性进
行评价。通常可以利用灵敏度分析、稳定性分析等方法对模型进行评价和
优化。
6.结果解释：数学模型最终的结果需要与实际问题进行对应和解释。
这包括将数学结果转化为可操作的建议和决策，并对结果进行可视化和沟通。
总之，数学建模是一个综合运用数学知识和技术解决实际问题的过程。通过合适的数学建模模型和技巧，可以更好地理解和分析问题，为决策和
优化提供科学的依据。
数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法
数学建模模型和技巧 数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法进行分析 和求解的过程。数学建模模型是对问题进行抽象和形式化的表示，而数学 建模技巧则是在建立数学模型和解决问题时的常用方法和技术。以下是一 些常用的数学建模模型和技巧。 一、常用数学建模模型 1.优化模型：优化模型利用数学方法求解最优解，包括线性规划、整 数规划、非线性规划等。这种模型通常用于求解资源分配、生产调度、物 流优化等问题。 2.统计模型：统计模型通过概率统计方法对问题进行分析和预测，包 括回归分析、时间序列分析、假设检验等。这种模型通常用于市场调研、 风险评估、金融预测等问题。 3.动力学模型：动力学模型描述系统随时间变化的规律，包括微分方 程模型、差分方程模型等。这种模型通常用于研究物理过程、生态系统、 经济波动等问题。 4.图论模型：图论模型利用图的概念和算法解决问题，包括最短路径、流网络、最小生成树等。这种模型通常用于网络优化、交通规划、电路设 计等问题。 5.随机模型：随机模型描述随机变量的分布和统计性质，包括随机过程、蒙特卡洛模拟等。这种模型通常用于风险评估、信号处理、金融衍生 品定价等问题。 二、常用数学建模技巧
1.合理假设：在建立数学模型时，需要根据实际情况进行适当的简化 和假设。通过合理的假设，可以使模型更易求解，同时保持对原问题的关 键特征进行准确描述。 2.变量选择：选择合适的变量是建立数学模型的重要一步。需要根据 问题的特点和求解的目标选择与问题相关的变量，并对它们进行合理的定 义和界定。 3.数据处理：在数学建模中，经常需要处理大量的数据。这包括数据 的清洗、转换、归一化等操作，以便更好地与模型对接和求解。 4.模型求解：根据模型的数学特征，选择适当的方法和算法进行求解。这包括常见的数值求解方法、优化算法、统计推断等技术。 5.模型评价：在得到数学模型的解后，需要对解的可行性和有效性进 行评价。通常可以利用灵敏度分析、稳定性分析等方法对模型进行评价和 优化。 6.结果解释：数学模型最终的结果需要与实际问题进行对应和解释。 这包括将数学结果转化为可操作的建议和决策，并对结果进行可视化和沟通。 总之，数学建模是一个综合运用数学知识和技术解决实际问题的过程。通过合适的数学建模模型和技巧，可以更好地理解和分析问题，为决策和 优化提供科学的依据。
数学建模的基本思路与方法数学建模是通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。它不仅是数学和统计学领域的重要研究方向，也在物理、化学、生物、经济和工程等众多学科中得到广泛应用。本文将介绍数学建模的基本思路与方法。 一、问题的理解与分析 在进行数学建模之前，首先需要全面理解和分析问题。这包括对问题的背景、目标及约束条件进行明确，对问题所涉及的各种变量和参数进行分类和整理，了解问题的局限性和可行性等。 二、数学模型的建立 基于对问题的理解与分析，接下来要建立数学模型。数学模型是对实际问题进行抽象和数学化的表示。常用的数学模型包括方程模型、差分模型、微分模型、最优化模型等。 1. 方程模型 方程模型是最常见且基础的模型之一。它将实际问题中的各种关系和规律用数学方程进行表示。常见的方程模型有线性方程模型、非线性方程模型、微分方程模型等。 2. 差分模型
差分模型是离散的数学模型，适用于描述实际问题中的离散数据和变化趋势。差分模型通常用递推关系式进行表示，可以通过差分方程求解。 3. 微分模型 微分模型是连续的数学模型，适用于描述实际问题中的连续变化和关系。微分模型通常用微分方程进行表示，可以通过求解微分方程获得结果。 4. 最优化模型 最优化模型是在一定约束条件下，寻找最优解或最优策略的数学模型。最优化模型可以是线性规划、非线性规划、整数规划等形式。 三、模型的求解与分析 建立数学模型后，需要对模型进行求解和分析。求解模型的方法有很多，包括解析解法、数值解法和优化算法等。 1. 解析解法 对于简单的数学模型，可以通过代数方法得到解析解。解析解法基于数学公式和运算，可以直接得到精确的解。 2. 数值解法 对于复杂的数学模型，常常需要借助计算机通过数值计算来求解。数值解法基于数值逼近和迭代算法，可以得到模型的近似解。 3. 优化算法
常见数学建模模型 一、线性规划模型 线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。 二、整数规划模型 整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。 三、非线性规划模型 非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。 四、动态规划模型 动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。通过定义状态变量、状态转移方程和边
界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。 五、排队论模型 排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。 六、图论模型 图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。 七、随机模型 随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。 八、模糊模型 模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。模糊模型通过引入模糊集合和模糊逻辑，描述不确定性和模糊性，并利用模糊推理和模糊控制方法求解问题。九、神经网络模型
数学建模的基本步骤及方法数学建模是一种应用数学的方法，通过数学模型来描述、解释和预测现实世界中的问题。它在科学研究、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。本文将介绍数学建模的基本步骤及方法，以帮助读者更好地理解和应用数学建模。 一、问题定义 数学建模的第一步是明确问题，并对问题进行定义、限定和分析。要做到具体明确，确保问题的可行性和实际性。同时，在问题定义阶段，需要理解问题所处的背景和条件，收集所需的数据和信息。 二、建立数学模型 在问题定义的基础上，需要选择合适的数学工具和方法，建立数学模型。数学模型是通过数学符号和方程来描述问题的规律和关系。常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、动态模型等。根据实际情况，选择适合的模型形式，并进行相关的假设和简化。 三、模型求解 通过数学方法，对建立的数学模型进行求解。求解的过程中，可以运用数值计算、优化算法、数值逼近等方法。根据问题的具体要求，选择合适的求解方法，并编写相应的程序进行计算。 四、模型验证
模型求解完成后，需要对求解结果进行验证。验证的目的是检验模 型的有效性和准确性。可以通过与实际数据的对比，对模型的预测能 力进行评估。如果模型与实际结果相符合，说明模型具有较好的预测 能力。 五、结果分析与应用 在模型验证的基础上，对求解结果进行分析和解释。通过对结果的 分析，可以得到对于问题本质的深刻理解。同时，根据分析结果，可 以制定相应的决策和策略，在实际问题中得到应用和推广。 六、模型优化和调整 数学建模是一个循环迭代的过程，在实际应用中，可能会遇到新的 情况和问题。为了提高模型的稳定性和预测能力，需要对模型进行优 化和调整。可以通过改变模型的参数、调整模型的结构、增加新的变 量等方式来优化模型。 七、模型评价 对建立的数学模型进行评价是数学建模的重要环节。评价的指标包 括模型的准确性、稳定性、可靠性等。通过评价，可以发现模型的不 足和改进的空间，并为进一步应用提供指导和参考。 综上所述，数学建模是一个系统而复杂的过程，需要综合运用数学、计算机、统计学、优化算法等多个学科的知识和方法。数学建模的目 的是通过数学模型来解决实际问题，为决策提供科学依据。通过掌握 数学建模的基本步骤和方法，我们可以更好地应用数学工具和技巧，
数学建模的基本方法和应用 数学建模是将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行分析、求解的过程。它在现代科学和工程领域中发挥着重要的作用。本文将 介绍数学建模的一些基本方法和应用。 一、问题的数学建模 数学建模过程通常包括问题描述、建立数学模型、求解和验证模型 等步骤。首先，对于给定的实际问题，我们需要准确地描述问题的背 景和要解决的核心问题。然后，根据问题的特点和要求，选择合适的 数学模型来描述问题。数学模型可以是方程、函数、图形或者统计模 型等。接下来，我们使用数学方法对模型进行求解，并在解的基础上 得出对问题的回答。最后，我们需要验证我们的模型和解是否符合实 际情况，通过与实际数据进行比较和分析来验证模型的有效性。 二、常用的数学建模方法 1. 数理统计法 数理统计是利用数学统计方法对实际数据进行分析和推断的过程。 在建模过程中，我们可以使用数理统计方法对数据进行收集、整理和 清洗，然后通过统计分析来描述数据的分布规律，从而得到对问题的 解答。 2. 最优化方法
最优化方法是寻找最优解的数学方法。在建模过程中，我们常常需 要优化某个目标函数，例如最大化利润、最小化成本等。通过建立数 学模型和应用最优化方法，我们可以求解出最优解，并得到对问题的 最佳回答。 3. 微分方程模型 微分方程是描述变量之间变化关系的数学模型。在建模过程中，我 们经常遇到一些动态变化的问题，例如人口增长、化学反应等。通过 建立微分方程模型，我们可以研究变量之间的关系，预测未来的发展 趋势，并得出对问题的解答。 4. 离散数学模型 离散数学模型是以离散对象和离散关系为基础的数学模型。在建模 过程中，我们常常需要处理离散的数据和变量，例如图论、排队论等。通过建立离散数学模型，我们可以对离散问题进行分析和求解，得出 对问题的解答。 三、数学建模的应用领域 数学建模在各个领域都有广泛的应用，例如： 1. 自然科学领域：物理学、化学、生物学等领域都需要通过数学建 模来研究和解决实际问题，例如天体力学、药物代谢等。 2. 工程技术领域：工程和技术领域都需要通过数学建模来进行设计 和优化，例如交通规划、电力系统调度等。
数学建模方法和应用 数学作为一门学科和一种工具，一直在各个领域中发挥着重要 的作用。数学建模是一种解决实际问题的方式，不仅可以帮助人 们理清复杂的问题脉络，还能够精确地描述问题的本质和规律。 本文将介绍数学建模的概念、方法和应用领域。 一、数学建模的概念 数学建模是指利用数学语言和方法来解决实际问题的过程。其 具体步骤一般包括问题的分析、模型的建立、模型的求解及模型 的验证等。数学建模主要涉及数学分析、统计学、概率论、图论、运筹学、优化理论等多个学科。 数学建模的核心在于建立一个恰当的模型，即根据问题的特征 和需求，选择合适的数学工具和方法，将问题抽象成一个可以用 数学语言和符号表示的模型。这个模型不仅要简单明了，而且还 要尽量贴近实际情况，并且具有可解性和可行性。只有建立了一 个好的模型，才能够得到一个有效的解决方案。 二、数学建模的方法
数学建模的方法根据问题的类型和需求而不同。一般来说数学建模可以分为以下几个步骤： 1. 问题分析：明确问题背景、目标和限制条件等，确定问题的类型和性质。 2. 建立模型：将问题抽象成一个可以用数学方法求解的模型，选择合适的数学工具和方法。 3. 模型求解：利用数学工具和方法求解模型，得到问题的最优解或近似解。 4. 模型验证：将模型的结果与实际情况进行比较，评估模型的可靠性和适用性。 数学建模的方法需要结合具体的问题和数据来分析和处理。在建模过程中需要注意对数据的处理，同时也要注意不要过度追求数学细节而将问题复杂化。
三、数学建模的应用 数学建模可以应用于众多领域，如经济、物理、化学、医学、生物学、环境科学等。下面介绍其中的几个应用领域： 1. 生态学 生态学是一门综合性学科，用数学工具和方法解决复杂的生态系统问题已成为一个重要的趋势。生态建模可以对生态系统的结构和功能进行定量描述，从而预测生态系统的演化和变化趋势。 2. 金融 数学建模在金融领域中应用广泛，主要涉及到风险管理、资产定价、投资策略、股票波动率预测等问题。数学建模可以帮助人们制定合理的投资策略和风险管理方案。 3. 物理学
数学建模常用模型及算法 数学建模主要是通过现实世界的数据，利用一定的数学方法和算法， 借助计算机，使用一定的软件工具，结合相应的算法去建立一定的数 学模型，从而对实际问题进行研究和解决，称之为数学建模。常用的 数学建模模型有基于概率的模型、基于最优性的模型、非线性规划模型、组合优化模型、灰色系统模型、网络流模型、层次分析模型、模 糊系统模型等等，而常用的数学建模算法可以分为局部搜索算法、精 确算法、启发式算法等三大类。 一、基于概率的模型 1. 最大熵模型：是一种最大化熵的统计学方法，应用熵来描述不确定度，并在要求最大熵原则的条件下确定参数，从而最大程度的推广模 型中的统计分布，从而达到优化的目的。 2. 贝叶斯模型：贝叶斯模型是基于概率的统计模型，用于描述各种随 机现象，主要是通过贝叶斯公式结合先验概率以及似然度来推测结果，求出客观事件发生的概率。 二、基于最优性的模型 1. 模糊优化方法：模糊优化方法是以模糊集，而不是确定性集，对优 化问题加以解决，是一种基于最优性的模型。它将目标函数和约束条 件分解成模糊函数，然后形成模糊优化模型，用模糊图的方法求得最 优解，使问题的解决变得更加容易和有效率。
2. 模拟退火算法：模拟退火算法通过数值模拟来求解最优性模型，是一种模拟对象的能量计算的算法，其本质为元胞自动机和目标函数的计算，基于物理反应速率理论实现，利用“热量”的概念，从而模拟从温度较高到低温过程，求解最终最优解。 三、非线性规划模型 1. 单约束模型：单约束模型旨在求解目标函数，给定一个约束条件，求解一个最优解。 2. 线性规划模型：线性规划模型利用线性函数来描述算法模型，尝试求得最大或最小的解。 四、组合优化模型 1. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种组合优化模型，它能够模拟热力学反应，并利用物理反应速率理论来求解组合优化问题，从而使问题更加容易解决。 2. 遗传算法：遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，通过模拟种群的变异和进化过程，来搜索出最优的解。 五、网络流模型 1. 最大流最小割：最大流最小割是网络流模型的经典算法，利用最大流最小割定理求解网络的最大流量。它的核心思想是在给定的流网络中，从源点到汇点
数学建模的方法和步骤 数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行分析和求解的过程。数学建模方法和步骤如下： 一、问题理解与分析： 1.了解问题的背景和目标，明确问题的具体需求； 2.收集相关的数据和信息，理解问题的约束条件； 3.划定问题的范围和假设，确定问题的数学建模方向。 二、问题描述与假设： 1.定义问题的数学符号和变量，描述问题的数学模型； 2.提出问题的假设，假定问题中的未知参数或条件。 三、建立数学模型： 1.根据问题的特点选择合适的数学方法，包括代数、几何、概率统计等； 2.基于问题的约束条件和假设，通过推理和分析建立数学方程组或函数模型； 3.利用数学工具求解数学模型。 四、模型验证与分析： 1.对建立的数学模型进行验证，检验解的合理性和有效性； 2.分析模型的稳定性、灵敏度和可行性。
五、模型求解与结果解读： 1.利用数学软件、计算机程序或手工计算的方法求解数学模型； 2.对模型的解进行解释、分析和解读，给出问题的答案和解决方案。 六、模型评价与优化： 1.对建立的数学模型和求解结果进行评价，判断模型的优劣； 2.如果模型存在不足，可以进行优化和改进，重新调整模型的参数和假设。 七、实施方案和应用： 1.根据模型的求解结果，制定实施方案和行动计划； 2.将模型的解决方案应用到实际问题中，监测实施效果并进行调整。 八、报告撰写与展示： 1.将建立的数学模型、求解方法和结果进行报告撰写； 2.使用图表、表格等方式进行结果展示，并进行清晰的解释和讲解。 九、模型迭代和改进： 1.随着问题的发展和实际情况的变化，及时调整和改进建立的数学模型； 2.针对模型的不足，进行迭代和改进，提高模型的准确性和实用性。总结： 数学建模方法和步骤的关键是理解问题、建立数学模型、求解和分析结果。在建模的过程中，需要根据实际问题进行合理的假设，并灵活运用
常用数学建模方法及实例 数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行求解和分 析的过程。常用的数学建模方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、 图论、动态规划等。 一、线性规划 线性规划是一种用于求解线性约束下目标函数的最优值的方法。它常 用于资源分配、生产计划、供应链管理等领域。 例1：公司有两个工厂生产产品A和产品B，两种产品的生产过程需 要使用原材料X和Y。产品A和产品B的利润分别为10和8、工厂1每小 时生产产品A需要1个单位的X和2个单位的Y，每小时生产产品B需要 2个单位的X和1个单位的Y。工厂2每小时生产产品A需要2个单位的 X和1个单位的Y，每小时生产产品B需要1个单位的X和3个单位的Y。公司给定了每种原材料的供应量，求使公司利润最大化的生产计划。 二、整数规划 整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值为整数。整数规划 常用于离散决策问题。 例2：公司有5个项目需要投资，每个项目的投资金额和预期回报率 如下表所示。公司有100万元的投资资金，为了最大化总回报率，应该选 择哪几个项目进行投资？ 项目投资金额（万元）预期回报率 1207% 2306%
3409% 4104% 5508% 三、非线性规划 非线性规划是一种求解非线性目标函数下约束条件的最优值的方法。它广泛应用于经济、金融和工程等领域。 例3：公司通过降低售价和增加广告费用来提高销售额。已知当售价为p时，销量为q=5000-20p，广告费用为a时，销售额为s=p*q-2000a。已知售价的范围为0≤p≤100，广告费用的范围为0≤a≤200，公司希望最大化销售额，求最优的售价和广告费用。 四、图论 图论是一种用于研究图（由节点和边组成）之间关系和性质的数学方法，常用于网络分析、路径优化、社交网络等领域。 例4：求解最短路径问题。已知一个有向图，图中每个节点表示一个城市，每条边表示两个城市之间的道路，边上的权重表示两个城市之间的距离。求从起始城市到目标城市的最短路径。 五、动态规划 动态规划是一种通过将问题划分为子问题进行求解的方法，常用于求解最优化问题。 例5：背包问题。已知有一个背包可以装重量为W的物品，现有n个物品，每个物品的重量为wi，价值为vi。求背包能够装的最大价值。
数学建模的基本步骤及方法 数学建模是一种应用数学的方法，通过对实际问题进行抽象和建立 数学模型，以求解问题或进行预测和模拟。它在各个领域都有广泛的 应用，如物理学、工程学、经济学等。本文将介绍数学建模的基本步 骤及方法。 一、问题理解与建模目标确定 在进行数学建模之前，首先需要对问题进行全面的理解，并明确建 模的目标。了解问题的背景、限制条件和需求，明确要解决的主要问题。确定建模目标是指明建模的最终目的，如是否需要进行预测，求 解最优解或模拟系统行为等。 二、问题假设与参数设定 在建立数学模型时，为了简化问题和计算，我们常常需要进行一些 假设。假设可以是对某些变量的约束条件，或对系统行为的特定假设。另外，还需要确定模型中的参数，即直接影响模型行为和计算结果的 变量值。 三、模型构建与分析 模型构建是指根据问题的特性和建模目标，选择适当的数学方法和 公式，将问题转化为数学表达式。常用的数学方法包括微积分、线性 代数、随机过程等。模型构建后，需要对模型进行分析，检验模型的 可行性和有效性，评估模型与实际问题的拟合程度。
四、模型求解与结果验证 模型的求解是指通过计算或优化方法，求得模型的解析解或数值解。求解的方法多种多样，如数值计算、优化算法、模拟仿真等。求解后，需要对结果进行验证，比较模型求解的结果与实际情况的差异，并分 析产生差异的原因。 五、结果分析与报告撰写 对模型的结果进行分析是数学建模的重要环节。通过对结果的解释 和分析，了解模型对问题的预测、优化或模拟效果。在分析过程中， 需要注意结果的合理性和稳定性，以及对结果的可靠性和可解释性进 行评估。最后，撰写模型报告，将整个建模过程和结果进行系统化的 呈现和总结，并提出进一步改进的建议。 六、模型验证与应用 模型验证是指将建立好的数学模型应用于实际问题，并进行实验验 证和应用效果评估。通过与实际数据和实验结果进行比较，验证模型 的有效性和适用性。若模型符合实际要求，则可以将其应用于类似问 题的求解和预测。 总结： 数学建模的基本步骤包括问题理解与建模目标确定、问题假设与参 数设定、模型构建与分析、模型求解与结果验证、结果分析与报告撰写，以及模型验证与应用。在建模过程中，需要灵活运用数学工具和
第二讲数学建模的基本方法和步骤 数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法。下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的。（注：用最初等的方法解决，越受人尊重） 一数学建模的基本方法 一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。 机理分析：是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数 量规律，建立的数学模型常有明确的物理或现实意义。 建模方法 测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”（意思是内部机理看不清楚）， 通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模 型。 面对于一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的。如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内部特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部机理规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特征，那么可以用测试分析。对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来，用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型的参数。 二数学建模的一般步骤 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质和建模的目的等有关。下面给出建模的一般步骤，如图所示。
图数学建模步骋示意图 ⑴模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索必要信息，弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”(即问题的提出)。情况明才能方法对，在这个阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第一手资料。 ⑵模型假设：根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。假 设不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作。常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷，要不段积累经验，并注意培养和充分发挥对事物的洞察力和判断力。 ⑶模型的建立：根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构。这里除了需要一些相关的专门知识外，还常常需要较为广阔的应用数学方面的知识，要善于发挥想象力，注意使用类比法，分析对象与熟悉的其他对象的共性，借用已有的数学模型。建模时还应遵循的一个原则是尽量采用简单数学工具，因为你的模型总希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏。 ⑷模型求解：使用各种数学方法、数学软件和计算机技术对模型求解。 ⑸模型分析：对求解结果进行数学上的分析，如对结果进行误差分析，分析模型对数据的稳定性或灵敏性等。 (6)模型检验：把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际现象、数据进行比较，检验模型的合理性与适用性。如果结果与实际不符，问题常常出现在模型假设上，应该修改或补充假设，重新建模。这一步对于模型是否真的有用是非常关键的，要以严肃
数学建模常用模型方法总 结 Revised by Jack on December 14,2020
数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模 型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型
数学建模常用方法以及常见题型 核心提示： 数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自 数学建模方法 一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 4.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 三、仿真和其他方法 1.计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 ①离散系统仿真--有一组状态变量。 ②连续系统仿真--有解析达式或系统结构图。 2.因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。 3.人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。 数学建模题型 赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 一、实际问题背景 1.涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。 2.一般都有一个比较确切的现实问题。 二、若干假设条件有如下几种情况：
数学建模的方法和步骤 数学建模（Mathematical modeling）是指运用数学方法及理论来描 述某一实际问题，并在此基础上构建数学模型，进而对问题进行分析和求 解的过程。数学建模是一个综合应用学科，它将数学、物理、化学、工程、统计学、计算机科学等学科有机结合起来，用数学语言对现实世界进行描述，可用于各种领域的问题求解，如经济、金融、环境、医学等多个领域。下面我将从数学建模的方法和步骤两方面来探讨这一学科。 一、数学建模的方法 数学建模方法是指解决某一具体问题时所采用的数学建模策略和概念。数学建模方法可分为以下几类： 1.现象模型法：这种方法总是从某一实际问题的具体现象入手，把事 物之间的关系量化为一种数学模型。 2.实验模型法：这种方法通过一些特定的实验，首先收集实验数据， 然后通过分析数据建立一种数学模型，模型中考虑实验误差的影响。 3.参数优化法：这种方法通常是指通过找到最优参数的一种方法建立 一个数学模型。 4.时间序列模型法：这种方法主要是通过观察时间内某一变量的变化，构建该变量的时间序列特征，从而建立一个时间序列模型。 二、数学建模的步骤 数学建模步骤是指解决一个实际问题时所采用的数学建模过程，根据 一些经验和规律推导出一个可行的模型。数学建模步骤通常分为以下几步：
1.钟情问题的主要方面并进行分析：首先要分析问题的背景和主要的影响因素，以便制定一个可行的局部策略。 2.建立初步模型：通过向原问题中引入某些常数或替换一些符号为某一特定变量，以使模型更方便或更加精确地描述问题。 3.策略选择和评估：要选择一个最优的策略，需要在模型的基础上进行评估，包括确定哪个方案更优等。 4.内容不断完善：在初步模型的基础上，不断加深对问题的理解，以逐步提高模型描述问题的准确度和逼真度。 5.模型的验证和验证：要验证模型，需要将模型应用到一些简单问题中，如比较不同方案的结果，并比较模型结果与实际情况。 总之，数学建模是一种复杂的、长期的、有启发性的过程，它要求从一个模糊的、自由的问题开始，通过有计划、有方法的工作，构建出一个能够解决实际问题的数学模型。数学建模的有效性是通过模型的检验和验证来实现的，而数学建模的可持续性需要运用科技创新和不断超越自己的思考方式，加深对问题的理解，提高模型描述问题的准确度和逼真度。
数学建模中的模型建立与求解数学建模是一种通过数学模型描述和解决实际问题的方法，它在各 个领域具有重要应用。在数学建模过程中，模型的建立和求解是关键 步骤，决定了最终的分析和预测结果。本文将探讨数学建模中的模型 建立与求解的方法和技巧。 一、模型建立 模型建立是数学建模的基础，它要求根据实际问题的特点和背景进 行合理的抽象和假设，将复杂的实际问题转化为易于处理的数学形式。模型的建立需要遵循以下原则： 1. 简化与拟合：模型应该尽可能简化实际问题，将其关键特点和变 量进行提取和抽象。同时，模型也需要与实际数据进行拟合，以确保 模型的准确性和可靠性。 2. 合理性与可验证性：模型的建立应该基于科学的理论和推理，避 免主观臆断和不合理的假设。模型也需要通过实际数据和实验进行验证，确保其能够准确地描述和预测实际问题。 3. 可操作性与实用性：模型的建立需要考虑其可操作性和实用性， 以便能够得到实际问题的解决方案。模型应该能够提供可行的策略和 可靠的结果，帮助决策者做出正确的决策。 二、模型求解
模型求解是数学建模的核心，它要求通过数学的方法和工具对模型 进行求解，并得到实际问题的答案和解决方案。在模型求解的过程中，可以采用多种方法和技巧，包括数值方法、优化方法和统计方法等。 1. 数值方法：数值方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数值 计算和近似算法来求解复杂的数学模型。数值方法的优点是求解速度快，适用范围广，但精度相对较低。常用的数值方法包括数值积分、 数值逼近和数值解微分方程等。 2. 优化方法：优化方法是模型求解中常用的方法之一，它通过优化 算法和数学规划来求解最优化问题。优化方法的优点是能够得到全局 最优解或近似最优解，但求解复杂度较高。常用的优化方法包括线性 规划、非线性规划和整数规划等。 3. 统计方法：统计方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数据 分析和概率统计来求解和预测实际问题。统计方法的优点是能够考虑 不确定性和随机性因素，但需要依赖大量的实际数据。常用的统计方 法包括回归分析、时间序列分析和假设检验等。 三、案例分析 为了更好地理解数学建模中的模型建立与求解，以下以全国疫情预 测为例进行案例分析。在模型建立阶段，我们需要根据疫情数据和传 播特点进行合理的抽象和假设，建立数学模型来描述疫情的传播过程 和未来趋势。在模型求解阶段，我们可以采用统计方法和优化方法， 对建立的模型进行参数估计和优化求解，得到疫情的预测和防控策略。
构建小学数学模型的基本步骤与技巧 数学模型是数学与实际问题相结合的产物，它能够帮助我们更好地理解和解决 实际问题。在小学阶段，培养学生的数学建模能力对于他们的数学学习和综合素质的提高都具有重要意义。本文将介绍构建小学数学模型的基本步骤与技巧。 一、明确问题 构建数学模型的第一步是明确问题。在小学数学教学中，问题通常是以文字形 式出现的，学生需要仔细阅读并理解问题的含义。在明确问题时，学生需要思考问题的背景、条件和要求，以便能够准确地把握问题的关键点。 例如，一个典型的问题是：“小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有 多少个苹果？”在明确问题时，学生需要理解问题的背景是小明和小红有苹果，条 件是小明有5个苹果，小红有3个苹果，要求是计算他们一共有多少个苹果。 二、建立数学模型 在明确问题后，学生需要根据问题的特点和要求，建立相应的数学模型。数学 模型是数学符号和表达式的组合，它能够准确地描述问题的关系和规律。建立数学模型的关键是将问题中的信息转化为数学符号，并建立符合问题要求的数学关系。 以前面的问题为例，学生可以将小明有的苹果数表示为x，小红有的苹果数表 示为y，他们一共有的苹果数表示为x+y。因此，数学模型可以表示为x+y=5+3=8。 三、解决数学模型 建立数学模型后，学生需要解决数学模型，即求解模型中的未知数。解决数学 模型的方法有多种，包括代入法、消元法、图像法等。根据问题的特点和要求，选择合适的方法进行求解。
对于前面的问题，学生可以通过代入法求解。假设小明有2个苹果，小红有6个苹果，代入数学模型x+y=8，得到2+6=8，符合题意。因此，小明有2个苹果，小红有6个苹果。 四、检验解答 解决数学模型后，学生需要对解答进行检验，以确保解答的准确性和合理性。检验解答的方法有多种，包括代入原问题、逻辑推理、实际操作等。 对于前面的问题，学生可以通过代入原问题进行检验。代入小明有2个苹果，小红有6个苹果，代入原问题“他们一共有多少个苹果”，得到2+6=8，与前面的解答一致。因此，解答正确。 五、拓展应用 构建数学模型的基本步骤与技巧掌握后，学生可以进一步拓展应用，将数学模型应用到其他实际问题中。通过不断练习和实践，学生可以提高数学建模的能力，培养解决实际问题的能力。 例如，学生可以通过类似的方法解决其他关于苹果数量的问题，如“小明有x 个苹果，小红有y个苹果，他们一共有多少个苹果？”通过建立数学模型x+y=？，求解未知数，得到解答。 总结起来，构建小学数学模型的基本步骤包括明确问题、建立数学模型、解决数学模型和检验解答。在实践中，学生可以通过不断练习和拓展应用，提高数学建模的能力，培养解决实际问题的能力。数学模型的构建不仅能够帮助学生更好地理解和解决实际问题，还能够培养他们的逻辑思维和创新能力，为他们未来的学习和工作打下坚实的基础。