数学建模33讲
中学数学建模作为一种研究性学习方式，有着悠久的历史。自八十年代以来，世界各国逐渐认识到这种教学方式的优越性，纷纷开展中学数学建模活动。数学建模(简称MC)是运用建立在数学理论基础
上的各种工具和方法，结合问题的背景知识及已有的数学知识，根据问题的条件寻找解决方案，从而构造新数学模型的过程。
数学建模是指运用建立在数学理论基础上的各种工具和方法，结合问题的背景知识及已有的数学知识，根据问题的条件寻找解决方案，从而构造新数学模型的过程。数学建模也称数学模拟或数值计算。它与数学模型、数学实验是密切相关的三个概念。数学建模作为数学与自然科学结合的产物，应该有两个显著的特点：第一，用数学语言描述现实世界中的客观规律;第二，用数学的理论方法研究这些客观规律。数学建模包括建立模型和求解两大步骤，由此可见，它的核心内容就是模型和方法。因此，数学建模与其说是一种教学方法，不如说是一种探索未知世界的科学方法。数学建模要求培养学生严谨、周密的逻辑思维能力，这是对学生数学素质的一个重要考察。数学建模的主要目的就是要使学生了解和掌握在数学理论的指导下，用数学模型和计算机求解问题的基本思想和方法，从而进一步提高学生的创新意识、实践能力和初步的科学研究能力。数学建模课程在中学数学课程体系中处于承上启下的地位，作为高中数学选修课程，它不仅能提供必须的数学知识，培养学生的应用意识，而且可以拓宽学生的视野，开发学生的潜能，提高学生的综合素质。在数学建模课程中，除了需
要一定的专业知识和技能外，还需要一定的数学文化修养，数学建模是需要大量运用数学知识，而数学知识又来源于对数学的整体理解。因此，数学建模既是一门集科学性和趣味性于一身的课程，也是培养学生的一项基本能力，它注重创新意识的培养，注重理论联系实际，把实践和理论结合起来，不断提高学生解决实际问题的能力。数学建模通常采取问题解决的方法去探索和发现问题，同时通过提出假设、建立模型、求解模型、检验模型、评估模型等一系列操作将所获得的成果用书面语言和口头语言加以表达和交流。数学建模过程强调发挥学生的创造性思维，在激烈的竞争中提倡创新精神和实践能力。
数学建模33讲 中学数学建模作为一种研究性学习方式，有着悠久的历史。自八十年代以来，世界各国逐渐认识到这种教学方式的优越性，纷纷开展中学数学建模活动。数学建模(简称MC)是运用建立在数学理论基础 上的各种工具和方法，结合问题的背景知识及已有的数学知识，根据问题的条件寻找解决方案，从而构造新数学模型的过程。 数学建模是指运用建立在数学理论基础上的各种工具和方法，结合问题的背景知识及已有的数学知识，根据问题的条件寻找解决方案，从而构造新数学模型的过程。数学建模也称数学模拟或数值计算。它与数学模型、数学实验是密切相关的三个概念。数学建模作为数学与自然科学结合的产物，应该有两个显著的特点：第一，用数学语言描述现实世界中的客观规律;第二，用数学的理论方法研究这些客观规律。数学建模包括建立模型和求解两大步骤，由此可见，它的核心内容就是模型和方法。因此，数学建模与其说是一种教学方法，不如说是一种探索未知世界的科学方法。数学建模要求培养学生严谨、周密的逻辑思维能力，这是对学生数学素质的一个重要考察。数学建模的主要目的就是要使学生了解和掌握在数学理论的指导下，用数学模型和计算机求解问题的基本思想和方法，从而进一步提高学生的创新意识、实践能力和初步的科学研究能力。数学建模课程在中学数学课程体系中处于承上启下的地位，作为高中数学选修课程，它不仅能提供必须的数学知识，培养学生的应用意识，而且可以拓宽学生的视野，开发学生的潜能，提高学生的综合素质。在数学建模课程中，除了需
要一定的专业知识和技能外，还需要一定的数学文化修养，数学建模是需要大量运用数学知识，而数学知识又来源于对数学的整体理解。因此，数学建模既是一门集科学性和趣味性于一身的课程，也是培养学生的一项基本能力，它注重创新意识的培养，注重理论联系实际，把实践和理论结合起来，不断提高学生解决实际问题的能力。数学建模通常采取问题解决的方法去探索和发现问题，同时通过提出假设、建立模型、求解模型、检验模型、评估模型等一系列操作将所获得的成果用书面语言和口头语言加以表达和交流。数学建模过程强调发挥学生的创造性思维，在激烈的竞争中提倡创新精神和实践能力。
专题讲座 初中数学建模思想的策略研究 一、什么是数学建模？ 1.1 数学建模（ Mathematical Modeling ）是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称，有代表的定义如下： （ 1 ）、普通高中数学课程标准 [4] 中认为，数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育的重要内容和基本内容 . （ 2 ）、叶其孝在《数学建模教学活动与大学数学教育改革》一书中认为，数学建模(Mathematical Modeling) 就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些“ 规律” 建立起变量、参数间的确定的数学问题( 也可称为一个数学模型 ) ，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。 两种定义的区别在于课程标准对数学建模的定义没有强调建立特定的解决问题的数学模型。数学建模的过程中当然会运用数学思想、方法和知识解决实际问题，但仅仅如此很难称得上是“数学建模”。处理很多事情，比如法律和组织上的问题，常常会用到分类讨论的思想、转化的思想、类比的思想，而并没有建立数学模型，这就不能说是进行了数学建模。这里所谈（实际上，同大部分人认为的一样）的数学建模，其过程是要建立具体的数学模型的。 什么是数学模型？根据徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中所谈到，所谓“数学模型”（ Mathematic Model ）是一个含义很广的概念，粗略的讲，数学模型是指参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一个数学结构。广义的说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型；狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。 本论文所谈到的数学建模，其过程一定是建立了一定的数学结构。 另外，我们所谈的数学建模主要侧重于解决非数学领域内的问题。这类问题往往来自于日常生活、经济、工程、医学等其他领域，呈现“原胚”状态，需要分析、假设、抽象等加工，才能找出其隐含的数学关系结构。 一般地，数学建模的过程可用下面的框图表示： 1.2 什么是中学数学建模？ 这里的“中学数学建模”有两重含义， 一是按数学意义上的理解、在中学中做的数学建模。主要指基于中学范围内的数学知识所进行的建模活动，同其它数学建模一样，它仍以现实世界的具体问题为解决对象，但要求运用的数学知识在中学生认知水平内，专业知识不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教学价值。 二是按课程意义理解，它是本文要展开讨论的，一种要在中学中实施的特殊的课程形态。它是一种以“问题引领、操作实践”为特征的活动型课程。学生要通过经历建模特有的过程，真实地解决一个实际问题，由此积累做数学、学数学、用数学的经验，提升对数学及其价值的认识。其设置目的是希望通过教师对数学建模有目标、有层次
数学建模与竞赛案例选讲 数学建模和竞赛是现代数学教育中不可或缺的一部分。数学建模是指利用数学方法，对实际问题进行分析、建模、求解和评价的过程。竞赛则是通过比赛形式，来提高学生的数学能力和创造力。本文将选取一些有代表性的数学建模和竞赛案例进行讲解。 一、数学建模案例 1. 旅游路径规划 旅游路径规划是一个非常有趣的建模问题。假设一个人要参加某个国家的旅游，他想尽可能地游览这个国家的所有城市。但是由于时间和费用有限，他不可能去到所有城市。问题是，如何规划他的路线，使他在游览尽可能多的城市的同时，不会浪费太多时间和费用？ 这个问题可以建立一个旅游路径规划模型。我们可以按照以下步骤进行： 第一步，将这个国家的所有城市标注在地图上，并确定城市之间的距离。 第二步，制定一个有效的算法来求解最优路径。一种常用的算法是旅行商问题（TSP）算法。 第三步，考虑一些现实因素的影响，如交通拥堵、天气等因素，
将这些因素纳入到模型中。 通过这个建模过程，我们可以得到一个规划出的旅游路径，从而帮助人们更加有效地规划旅游行程。 2. 环境污染模拟 现代化城市发展中，环境污染问题越来越受到关注。环境污染模拟可以有效地评估城市中各种环境因素的影响。我们可以按照以下步骤来建立环境污染模拟模型： 第一步，建立一个三维城市地图。这个城市地图可以包括建筑物、道路、污染源等信息。 第二步，将城市地图中的各种环境因素纳入到模型中，如空气污染、噪音污染等。 第三步，利用数学方法对各种环境因素进行模拟，发现环境污染的趋势和程度。 第四步，根据模拟结果，提出环境污染防治的措施。 通过这个建模过程，我们可以帮助城市规划师有效地评估和控制城市环境污染。 二、竞赛案例 1. 国际数学奥林匹克竞赛（IMO）
数学建模题目及答案-数学建模100题 假设每个宿舍的委员数与该宿舍的学生数成比例，即每个宿舍的委员数为该宿舍学生数除以总学生数的比例乘以10. 则A宿舍应分配的委员数为235/1000×10=2.35，但委员 数必须为整数，所以可以向上取整，即A宿舍分配3个委员。 同理，B宿舍应分配的委员数为333/1000×10=3.33，向上 取整为4个委员；C宿舍应分配的委员数为432/1000×10=4.32，向下取整为4个委员。 因此，A宿舍分配3个委员，B宿舍分配4个委员，C宿 舍分配3个委员，剩下的委员数（10-3-4-3=0）为0. 按照各宿舍人数占总人数的比例分配各宿舍的委员数。设 A宿舍、B宿舍、C宿舍的委员数分别为x、y、z人。根据题意，我们可以列出以下方程组： x + y + z = 10 x/10 = 235/1000 y/10 = 333/1000 z/10 = 432/1000
其中，小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。解方 程组得到x=3，y=3，z=4.因此，A宿舍、B宿舍、C宿舍的委 员数分别为3、3、4人。 一家饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，预计每天可使一头80公斤重的生猪增加2公斤。假设生猪出售 的市场价格为每公斤8元，每天会降低0.1元。我们设在第t 天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为 z元。根据题意，我们可以列出以下方程： 每头猪投入：5t元 产出：（8-0.1t）（80+2t）元 利润：Z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t^2 + 13t +640 我们可以求得二次函数的顶点，即t=32.5时，Z取得最大 值851.25元。因此，该饲养场应该在第33天出售这样的生猪，以获得最大利润。 一家奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶 牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备 乙上用8小时加工成4公斤A2.市场需求量与生产量相等，每 公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。加工厂每天能得
数学建模专题复习讲义 导言 数学建模是应用数学的一种重要方法，通过数学模型对实际问题进行描述、分析和求解，旨在解决现实生活中的一系列问题。为了帮助学生顺利复数学建模专题，本讲义提供了相关知识点的概述和复要点，帮助学生快速回顾和掌握数学建模的核心内容。 一、数学建模基础 1. 模型的定义和特点： - 模型是对实际问题的简化和抽象，描述问题的关键要素和规律。 - 模型应具备准确性、简洁性、实用性和可验证性等特点。 2. 建模的步骤： - 问题的分析与理解 - 模型的假设和建立 - 模型的求解和分析 - 模型的验证和评价
二、数学建模方法 1. 数理统计方法： - 样本的收集和统计分析- 参数的估计和假设检验- 相关性分析和回归分析 2. 最优化方法： - 线性规划和整数规划 - 非线性规划和动态规划- 多目标规划和随机规划 3. 随机模型和概率模型：- 随机过程和马尔可夫链- 概率分布和随机变量 - 随机模拟和蒙特卡罗方法 三、数学建模实例 1. 交通流量预测： - 数据的收集和处理 - 建立交通流量模型
- 预测未来的交通流量 2. 股票价格预测： - 历史数据的分析和挖掘 - 建立股票价格模型 - 预测未来的股票价格 3. 自然灾害预警： - 监测数据的采集和分析 - 构建自然灾害模型 - 预警和防灾措施的制定 四、数学建模技巧 1. 问题分析的深入： - 充分理解问题的背景和限制条件- 归纳和提炼问题的核心要素 2. 模型建立的简化： - 简化模型中的复杂因素 - 利用适当的假设和近似方法
3. 模型求解的有效性： - 使用合适的数学方法和工具 - 分析模型的解的意义和合理性 结语 数学建模是一门综合性强、应用广泛的学科，通过对数学建模的复习和学习，能够增强学生的问题分析和解决能力，培养科学思维和创新意识。希望本讲义对学生复习数学建模专题有所帮助，祝愿大家学有所成！
《数学建模》课程教学大纲 <总学时30~48课时，2~3学分> 一、课程性质教学目的与要求 《数学建模》是数学与应用数学专业的必修课,也可作为工科院校工科及其它专业的选修课程。 通过本课程的学习，逐步培养学生利用数学工具解决实际问题的能力。能够将实际问题“翻译”为数学语言，并予以求解，然后再解释实际现象，甚至应用于实际。最终提高学生的数学素质和应用数学知识解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 依据模型的研究方法分类，分别讲授了初等模型、微分方程模型、优化模型、随机模型及更复杂的模型。学时分配及进度安排如下： 一）教学内容 建立数学模型的基本知识 初等数学方法建模 量纲分析法建模 微分法建模 变分法建模 差分法建模 随机性模型（选讲） 二）教学重点与难点 教学重点： (1).对实际问题的分析； (2).模型的合理假设； (3).数学工具的恰当应用； (4).模型的建立； (5).模型的求解； (6).模型结果的合理解释； (7).模型的应用； 教学难点： (1).对实际问题的分析；
(2).模型的合理假设； (3).数学工具的恰当应用； (4).模型结果的合理解释与模型的应用； 三、学时分配 四、说明 1．使用教材与参考书 教材选用的是高教出版社出版，姜启源主编的《数学模型》一书。 教学参考书有：[1] 袁震东，洪渊，林武忠等，数学建模，华东师范大学出版社，1997.11[2] 吴翊，吴孟达，成礼智，数学建模的理论与实践，国防科技大学出版社，1999.8 2．课程教学方法与手段 本课程采用课堂讲授，结合实际范例深入浅出讲解讨论。 3．课程考核方法与要求 本课程考核采用平时与期末考核相结合的办法，特别注重平时的考核，作业采用简单练习、论文等形式，期末考试采用简单考题或论文形式。 4．实践性教学内容安排 实践性教学内容一般安排在课外进行，作为练习或思考题。 制定人：黄泽兴 审核人：沈京一 批准人：金文俊 2000年7月
货机装运模型 问题重述：一架货机有三个货舱：前舱、中舱和后舱。三个货舱所能装载的货物的最大重量 和体积有限制如下表所示。并且为了飞机的平衡，三个货舱共装载的货物重量必须与其最大 的容许量成比例。 现有四类货物共该货机本次飞行装运，货物的规格以及装运后获得的利润如下表 应如何安排装运，使得货机本次飞行获利最大？ 模型假设： （1） 每种货物可以无限细分； （2） 每种货物可以分布在一个或者多个货舱内； （3） 不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。 模型建立： 决策变量：每种货物放在每个货舱内的重量。 用 x ij 表示第 i 种货物放在第 j 个货舱内的重量， i = 1,2,3,4 分别表示货物 1，货物 2，货物 3 和货物 4。 j = 1,2,3 分别表示前舱、中舱和后 舱。
⎪ 决策目标：总利润的最大化，目标函数为 3100( x 11 + x 12 + x 13 ) + 3800( x 21 + x 22 + x 23 ) + 3500( x 31 + x 32 + x 33 ) + 2850( x 41 + x 42 + x 43 ) 约束条件： （1） 供装载的四种货物的总重量约束， ⎧ x 11 + x 12 + x 13 ≤ 18 ⎪x 21 + x 22 + x 23 ≤ 15 ⎨ ⎪x 31 + x 32 + x 33 ≤ 23 x 41 + x 42 + x 43 ≤ 12 （2） 三个货舱的空间限制
⎪ ⎪ ⎧480x 11 + 650x 21 + 580x 31 + 390x 41 ≤ 6800 ⎪ ⎨480x 12 + 650x 22 + 580x 32 + 390x 42 ≤ 8700 ⎩480x 13 + 650x 23 + 580x 33 + 390x 43 ≤ 5300 （3） 三个货舱的重量限制 ⎧x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ≤ 10 ⎪ ⎨x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ≤ 16 ⎩x 13 + x 23 + x 33 + x 43 ≤ 8 （4） 三个货舱装入重量的平衡约束 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = x 13 + x 23 + x 33 + x 43 10 16 8 模型求解： 使用计算软件求解（在 M ATLAB 中，可以使用 l inprog 命令求解） 求解结果为： ( x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = (0,0,0;10,0,5;0,12.947,3, ;0,3.053,0) MATLAB 实现线性规划的运算 为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 min c T x such that Ax ≤ b Aeq ⋅ x = beq lb ≤ x ≤ ub 其中 c 和 x 为 n 维列向量， A 、 A eq 为适当维数的矩阵， b 、 b eq 为适当维数的列向量。 例如线性规划 的 Matlab 标准型为
小学数学教学中的数学建模思想 单赟涛 在《数学课程标准》有这样一句话——“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”,这实际上就是要求把学生学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程,并在建模过程中培养学生的数学应用意识,引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。 一、数学模型的概念 数学模型是对某种事物系统的特征或数量依存关系概括或近似表述的数学结构。数学中的各种概念、公式和理论都是由现实世界的原型抽象出来的。狭义地理解,数学模型指那些反映了特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构,是相应系统中各变量及其相互关系的数学表达。数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法。在小学阶段,数学模型的表现形式为一系列的概念系统,算法系统,关系、定律、公理系统等。 二、小学生如何形成自己的数学建模 1、创设情境，感知数学建模思想 数学来源于生活，因此，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，这样很容易激发学生的兴趣，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。 如教学平均数一课，新课开始出示两个小组一分钟做题： 第一组 9 8 9 6 第二组 7 10 9 8 教师提问：哪组获胜，为什么？ 这时出示，第一组请假的一位同学后来加入比赛。 第一组 9 8 9 6 8
第二组 7 10 9 8 师：根据比赛成绩我们判定一组获胜。 此时有学生提出异议：虽然第一组做对的总道数比第二组多，但是两个队的人数不同，这样比较不公平。 师：那怎么办呢？生：可以用平均数比较。师：什么是平均数？ 本节课平均数这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中，学生在两次评判中解读、整理数据，产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行。学生从具体的问题情境中抽出平均数这一数学问题的过程就是一次建模的过程。 2、参与探究，主动建构数学模型 我们在学习书本中的某些原理、定律、公式的时候，不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生对过程、材料、发现主动归纳，力求建构出人人都能理解的数学模型。 如教学圆锥的体积一课： 1）回顾、猜想： 师：我们在学习圆柱的体积推导过程中，应用了哪些数学思想？ 生：运用了转化的思想。 师：猜一猜圆锥的体积能否转化成已经学过的图形的体积？它可能与学过的哪种立体图形有关？ 学生大胆进行猜想，猜能转化成圆柱、长方体、正方体。 2）动手验证 师：请利用手中的学具进行操作，研究圆锥体积的计算方法。 教师给学生提供多个圆柱、长方体、正方体和圆锥空盒（其中圆柱和圆锥有等底等高关系的、有不等底不等高关系的，圆锥与其他形体没有等底或等高关系）、沙子等学具，学生分小组动手实验。
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。〔15分〕解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可 能是否认的。 因此对这个问题我们假设： 〔1〕地面为连续曲面 〔2〕长方形桌的四条腿长度一样 〔3〕相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 〔4〕方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条 件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中 心为坐标原点作直角坐标系如下图，方桌的 四条腿分别在A、B、C、D处，A、、D的 初始位置在及x轴平行，再假设有一条在x 轴上的线,那么也及A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线及x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() gθ为 fθ为A、B离地距离之与，() C、D离地距离之与，它们的值由θ唯一确定。由假设〔1〕，() gθ fθ,()
均为θ的连续函数。又由假设〔3〕，三条腿总能同时着地， 故 ()f θ()g θ=0必成立〔∀θ〕 。不妨设(0)0f =(0)0g >〔假设(0)g 也为0，那么初始时刻已四条腿着地，不必再旋转〕，于是问题归结为： ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，及互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。〔15分〕 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数局部最大的整数进1，其余取整数局部。 那么 10； 10=235/1000； 10=333/1000； 10=432/1000；
传染病问题研究（数学建模精讲） 传染病问题的研究社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。本论文通过建立传染病模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来等等。 一﹑模型假设 1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例； 感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例； 恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。 2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺
陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率 传染力是不变的。 二﹑模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到 移出的过程框图表示如下： s i λsi r μi 在假设1中显然有： s(t) + i(t) + r(t) = 1 对于病愈免疫的移出者的数量应为不 妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为（＞0），（＞0），=0. SIR基础模型用微分方程组表示如下： s(t) ， i(t)的求 解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般 变化规律。三﹑数值计算在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程： function y=ill(t,x) a=1;b=0.3; y=; ts=0:50; x0=; =ode45(＇ill＇,ts,x0); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)) pause plot(x(:,2),x(:,1)) 输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t) 的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线,初值 i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨 线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约 t=7时达到最大值,然后减少,t→∞,i→0,s(t)则单调减少,t→∞,s→0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律. t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i(t) 0.0200 0.0390 0.0732 0.1285 0.2033 0.2795 0.3312 0.3444 0.3247 s(t) 0.9800 0.9525 0.9019 0.8169 0.6927 0.5438 0.3995 0.2839 0.2027 t 9 10
学建模知识讲座 一、 数学建模思路 数学产生于实践，服务于实践，数学的学习也应该最终服务于实践，对于数学的教学，应该是“与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化。” 几个概念： 数学化：就是运用数学思想和方法，来分析和研究客观世界的种种现象，并加以整理和组织的过程。 数学模型：就是针对或参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式化数学语言，概括地、近似地表示出的一种数学结构，这种结构应该是借助于数学概念、符号刻划出来的某种系统的纯数学关系结构。 数学建模：就是设计并对数学模型求解检验的过程。 对于应用问题的数学建模思路框图为： 现实世界的 问题或情况 是否符合实际 修改、深化、扩展 实际 问题 的解 简 回译、检验 化 数学方法、 计算工具 现实模型 翻译 数学模型 例一：买水果现象的数学证明 平时与大人上街实水果时，一个习以为常的，一代教诲一代的做法是：在市场上实桃子、梨子、苹果时，一般总是先从大的挑选，这种购买方法是合算的，但为什么呢？恐怕很少人会去考虑过。我们下面用建立数学模型的知识解释这种做法的合理性。 实际模型：考虑到外界对这三种水果表皮的污染，众食用卫生的角度出发，一般是去皮后食用，买这三种水果是按重量付钱的，而无论它们的大小如何，其各自的比重是一样的，则重量相等必定体积相等。因此在体积一定的条件下，当然是水果的表面积（皮）之和越小越好。 数学模型：是否重量相等的桃子、梨子、苹果，个数越少，其表面积之和越小呢？于是我们将这三种水果近似看作成球体，并且暂不考虑核对食用体积的影响来研究它。从而就三种水果中某种而言，其对应的数学模型为： 设甲、乙两堆体积相等的球，甲堆有球m 个，半径分别为12,,,,m r r r 乙堆有球n （n m ）
传染病问题的研究 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。本论文通过建立传染病模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来等等。 一﹑模型假设 1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。 2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 二﹑模型构成 在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下： 在假设1中显然有： s(t) + i(t) + r(t) = 1 对于病愈免疫的移出者的数量应为 r t d N Ni d μ= 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为0s （0s ＞0），0i （0i ＞0），0r =0.
最优控制建模 现实生活中很多现象可以表达为求泛函的极大与极小值问题，我们称之为泛函极值问题。其求解方法通常有三种：古典变分法，动态规划方法，最大值原理--------它们都属于最优控制的范畴。关于最优控制的近似计算方法用得较多的有：无约束最优控制问题的梯度方法（或者最速下降方法），Newton方法,以及有约束最优控制问题的罚函数方法.读者可参考有关文献.另外，需要指出来的是最优控制的近似计算方法远较有限维非线性规划问题的计算方法复杂。迄今为止，最优控制的计算方法的研究，在深度和广度方面都远不如非线性规划的最优化计算方法的研究，一些最优控制的计算方法，如最优控制的罚函数方法，其收敛速度等问题都还未解决. 我在这要介绍的是古典变分法方法（不准备介绍近代变分方法）. 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函
数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的新分支—-变分学。 有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我们还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程
数学建模 第一讲数学建模引言 通过对数学建模的介绍、数学建模竞赛的介绍，让学生认识数学建模的内涵和外延和学习数学建模的意义。通过几个比较有趣味的数学建模问题，激发学生学习数学建模的兴趣。数学建模的内涵和外延 什么是数学模型？什么是数学建模？为什么要学习数学建模？这些是想学数学建模的人首先关心的问题。因此在这里，我们先就此些问题作简要阐述。 广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以称为数学模型；各种数学分支也都可看作数学模型。然而，我们在此提及的数学模型，其内涵指解决实际问题时所用的一种数学框架，这种数学框架也可以是方程、计算机程序乃至图标和图形。数学建模指根据具体问题，在一定假设下找出解这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。 数学模型的外延指各类具体的数学模型，如社会经济的数学模型、生态系统的数学模型、医学生物工程和遗传的数学模型、交通流的数学模型、过程控制的数学模型等。可以说，我国古代的《九章算术》是一本最早的数学建模专著。纵观中国数学史，大部分古代数学经典著作都以问题集形式出现，但由于时代的不同，今天数学建模关注的问题与古代经典数学著作所记述的问题已有了很多的变化。而由于当前学生现有知识水平的受限，在这里我们更多地介绍简单的数学模型举例和一些算法应用。 学习数学建模的意义 那么，我们为什么要学习数学建模呢？这在对研究数学应用问题上具有重要意义。 第一，数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。它与生产活动、其他学科有着密切的关系。数学是认识世界和改造世界不可缺少的工具。数学建模是数学应用的必由之路。尤其在迈向知识经济的今天，科学技术的竞争十分激烈。而数学是科技发展必不可少的组成部分。许多科学技术问题说到底是数学问题。 第二，实际问题需要我们对研究对象提供分析、预报、决策或控制的定量结果。如炼钢厂的工程师们希望有炼钢过程的数学模型，以实现计算机自动控制；金融工作者需要计算期权定价的数学模型等。从中我们不难发现，社会和人类发展对数学建模的需要是说不尽、道不完的。 第三，数学建模课的开设顺应了当前素质教育和教学改革的需要。尤其是在中学阶段让学生初步接触数学建模，可以更早地让学生看到数学在现实生活中的作用，充分理解“数学是有用的”。同时通过数学建模的学习和实践活动不仅仅提高了学生学习数学的积极性，培养学生的形象思维能力，同时为学生的个性发展和创造力的发展提供了极好的场景。 因此，在中学阶段逐步开设以数学建模为思想内容的数学应用课程，其意义是极为深远的。 数学模型和建模方法的分类 数学模型按不同的分类标准可作如下不同的分类。 第一，按模型的应用领域不同可分为人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、城市规划模型、生产过程模型等。 第二，按建立模型所采用的方法分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等。 第三，按模型的特性分，有确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、离散模型和连续模型等。 第四，按建模的目的分为描述模型、仿真模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
城市交通能力分析 2013年11月18日 一、摘要 近年来，交通拥挤已成为困扰世界各大城市的主要社会问题之一，严重影响着城市的可持续发展和人们的日常工作与生活。 本文根据近年来国内各项经济指标，运用计量经济学模型中的多
元线性回归方法以及EVIEWS软件对我国四个城市私人汽车拥有量进行了科学的分析及预测，并对北京市的未来城市道路的汽车容量进行了评估，并分析了四个城市的综合交通能力，揭示了影响交通的几个因素，可以为城市道路交通拥挤问题的解决提供一定的理论依据和技术参考 关键字：经济汽车保有量交通能力影响因素 二、问题提出 城市是国家政治、经济、文化、科技、信息的中心，是国家经济和社会发 展的重要基地。城市是经济、政治、文化、科技、信息的有机综合体，而城市交通是维系城市这一有机整体正常运转的基本条件。通畅的城市交通对城市的经济和社会发展具有重要的保证和促进作用。 近年来，交通拥挤已成为困扰世界各大城市的主要社会问题之一。交通拥 挤不仅使道路通行能力降低、行车速度下降、交通延误增大、燃油消耗量增加，
同时还造成了巨大的经济损失和严重的环境污染。 首先，交通拥挤使城市车辆运行速度降低，出行时间延长，这直接增加了汽油消耗等物资成本和出行时间成本，从而降低了社会经济运行效率，带来严 重的经济损失。我国2003年因交通拥挤造成的经济损失大约为1700亿元，相当于我国国民生产总值的 3.5%。其次，交通拥挤所造成的低速行驶、频繁的加速和减速，致使汽车排污加倍，加剧环境污染，影响城市人居环境水平。我国的城市交通拥挤问题，出现于20世纪80年代后期，尤其是在大城市 表现得尤为明显。例如目前，北京全市道路有很大比例处于饱和或过饱和状态。二三环之间部分路段的汽车时速在1994年为45km/h，1995年下降到33km/h，1996年降至20km/h，而到了2003年，北京市区部分主要干道高峰期的车速已降至12km/h，有的道路机动车时速不到7km/h。2003年，上海等城市中心区50%的车道上高峰小时的利用率已达到95%，全天利用率超过70%，平均车速下降到10km/h。 交通拥挤已成为世界各国共同关注的焦点和急需解决的重要问题。因此，研究我国城市交通拥挤的成因，探讨解决城市交通拥挤的对策，已成为当务之急。 二、符号说明 ：年份 X X 地区生产总值 1 ： ：人均可支配收入 X 2 ：私人汽车拥有量 Y 1 ：机动车总数 Y 2 Y 换算标准当量小汽车总数 3 2 R：决定系数