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矩阵的秩的性质与应用论文1

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学生毕业论文

（ 2012 届）

题目（中文）矩阵的秩的性质与应用

（英文）The properties and applications of matrix rank 专业：数学与应用数学班级：姓名：学号: 指导教师：

****学院教务处制

诚信声明

我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信.

毕业论文作者签名：签名日期：年月日

摘要：本文探讨了矩阵的秩的不变性，矩阵秩的Sylvester与

Frobenius

不等式及其等式成立的条件及应用，矩阵秩与矩阵运算的关

系，与矩阵可逆的关系，与向量组的线性相关、与零特征值代数重数的关系等一些性质．从而得到矩阵的秩在线性代数方面，解析几何，概率论等中的应用．

关键词：矩阵秩；矩阵秩不变性；矩阵秩不等式；矩阵秩恒等式；

线性方程组；零特征值代数重数；齐次线性方程组

Abstract: This article discuss the invariant of matrix rank, Sylvester and Frobenius inequality and the condition of its equality, and the relationship of matrix operations and matrix rank, the relation ship of invertible matrix and matrix rank, and the vectors of linear correlation, and zero Eigen valu e algebra and heavy number relation and so on. Thus we can obtain the rank of matrix’s applicatio n in linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on.

Keyword: matrix rank; invariance of matrix rank; rank of matrix inequalities; rank of matrix equal ities; linear equations; zero Eigen value algebra and heavy number; homogeneous linear equations .

1 矩阵秩的性质 (2)

1.1矩阵的秩的不变性..........................................................................................

2 1.2 矩阵的秩的一些基本性质...........................................................................

7 1.3矩阵的秩与矩阵的运算..................................................................................

7 1.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用.................................................

8 1.5 矩阵的秩与可逆...........................................................................................

2 求矩阵的秩............................................................................................................

13 3 矩阵的秩在线性代数中的应用............................................................................

13 3.1 矩阵的秩与解线性方程组.........................................................................

13 3.2 矩阵的秩与向量组的相关性.....................................................................

14 3.3 矩阵的秩与零特征值代数重数相关性讨论...............................................

15 4 矩阵的秩在解析几何中的应用．........................................................................

17 4.1 矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用．...............................

17 4.2 矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用．.................................

19 4.3 矩阵的秩在判定直线与直线的位置关系的应用．...................................

19 5 矩阵的秩在判定齐次Markov链遍历性中的应用 ..............................................

20 参考文献......................................................................................................................

22 致谢..............................................................................................................................

矩阵的秩的性质及应用

矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成，1801年德国数学家高斯.FGauss，17771855 把一个线性变换的全部系数作为一个整体．

1844年,德国数学家爱森斯坦.,18231852FEissenstein 讨论了“变换”（矩阵）及其乘积．1850年,英国数学家西尔维斯特,18411897

James

Joseph

Sylvester

首先使用了矩阵一词．1858年,英国数学家凯莱.,18211895AGayley 发表《关于矩阵理论的研究报告》．他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列的文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、两矩阵之和，一个数与一个矩阵的数量积、两矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等．并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且mn 矩阵只能用nk 矩阵去右乘．1854年，法国数学家埃米尔特.,18221901CHermitem 使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学

家费罗贝乌斯..18491817FGFroheniousm

发表．1879年，费罗贝乌斯引入矩阵秩的概念．

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要的工具．

矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论是在线性代数中，还是在解析几何中，甚至在概率论中，都有不可忽略的作用．

本文在1.4提到的Sylvester与Frobenius不等式分别由Sylveste

与Frobenius

在1884年及1911年给出的，百年来很多数学家研究了使其等式成立

的条件，2004年，2008年，胡付高分别给出了矩阵多项式秩的Sylvester与

Frobenius

不等式成立条件：定理1.4.4，定理1.4.5.

本文参考文献[1]、[3]、[9]，给出了矩阵的三种等价的定义，并且探讨了矩阵的几种重要的

性质，矩阵的秩与矩阵的运算、零特征值代数重数、可逆的关系．以及矩阵的秩在线性代数，解析几何，概率论中的应用.

之后的以照片形式查看

《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.

目录第一章绪论 (1) 第二章预备知识 (2) 第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3) 第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6) 第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10) 第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15) 第七章小结 (23) 参考文献 (24) 致谢 (25)

第一章绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学. 目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握. 本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.

关于某矩阵秩地证明

关于矩阵秩的证明 -----09数应鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组

约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质：（1） r(A)=r(A T ); （2） r(kA)=? ??=≠0 00 )(k k A r （3）设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0 (5) r ???? ??B O O A =r(A)+r(B)≤r ??? ? ??B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B) 矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得 ???? ??B O O A →???? ??B A O A →???? ??+B B A O A 即???? ??E E O E ???? ??B O O A ???? ??E E O E =??? ? ??+B B A O A 由性质5可得 r ???? ??B O O A =r ??? ? ??+B B A O A 则有r(A)+r(B)≥r(A+B) 定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n × m 阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB) 证：由初等变换可得 ???? ??O A B E n →???? ??-AB O B E n →???? ??-AB O O E n 即? ??? ??-s n E A O E ??? ? ??O A B E n ? ??? ? ?-m n E O B E ＝???? ??-AB O O E n 则r ???? ??O A B E n =r ??? ? ??-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)

矩阵秩重要知识点总结_考研必看

一．矩阵等价行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二．向量的线性表示 Case1：向量b r 能由向量组A 线性表示: 充要条件: 1.线性方程组A x r =b 有解 (A)=R(A,b) Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示充要条件： R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示充要条件： R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示充要条件是: R(A)=R(A,E)

n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E) 三．线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组（1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一. （3） R(A)=R(A,B)

矩阵的秩及其应用

山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102 学号1151010240 指导教师王栋答辩日期成绩

矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何

The Rank of Matrix and the Application of the Rank of Matrix Abstract The matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations. First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space. This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples. 【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry

行(列)满秩矩阵的性质及其应用

摘要本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组

Abstract This article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible. Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The System of linear equations.

目录 1 引言 (1) 2 预备知识 (2) 3 可逆矩阵的性质及其应用 (3) 4 行（列）满秩矩阵的性质 (5) 5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11) 5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11) 5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12) 5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15) 5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17) 参考文献 (20)

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。一基本的定理 1 设A是数域P上n m ?矩阵，于是 ?矩阵，B是数域上m s 秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩 2设A与B是m n ?矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式 1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n 证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，

从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n 2设A 为m n ?矩阵，B 为n s ?矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n 证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于 000S E B A AB A E E E B ??????= ? ? ?-?????? 而 0S E B E ?? ?-?? 可逆，故 r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ?? ? ?? =秩 0A AB E ?? ???=秩 0 0AB E ?? ??? =r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n 3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --?? ? -??00B E ?? ???00AB E B E -?? = ?-?? 故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -?? ?-??≤秩0A E B E B E --?? ?-?? =秩（A-E ）+秩（B-E ）因此秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ） 4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ???的矩阵，证明 r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)

矩阵秩的研究与应用毕业论文

百度文库-让每个人平等地提升自我 3 矩阵秩的研究与应用 [摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。矩阵一旦确定秩也就确定了。它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。[1][2][3] [关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。

百度文库-让每个人平等地提升自我 4 矩阵秩的研究与应用 1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。

矩阵秩的一些著名结论

引言矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵A 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A 的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论. 1. 证明: 设B A ,为两个同阶矩阵,则有r(A ﹢B)≤r(A)﹢r(B) 证设A =(α1,α 2 ,…, αn ), B =() ββ βn ,...,,2 1 则 A +B =( α1 +β1 ,α2 +β 2 ,…, αn +βn ) 不妨设A 列向量的极大线性无关组为 α1 ,α 2 ,…, α r . (1≤r ≤n)； B 列向量的极大线性无关组为β1，β2，…βs . (1≤s ≤n). 则k i i 1 =αα1 +α 2 2 k i +…+ α r ir k ; βi =β1 1 l i +β 2 2 l i +…+ β s is l ; 则 αi +β i = k i 1 α1 +α 2 2 k i +…+αr ir k +β1 1 l i +β 2 2 l i +…+ β s is l ; 即A +B 的列向量可由 α1 ,α 2 ,…, α r ， β 1 ， β 2 ，… β s 线性表出，故)()()(B +A =+≤B +A r r s r r . 2. 若AB =O ,则)()(B r A r +n ≤. 证记 ),...,,(2 1 ββ βn B =，由AB =O ，知B 的每一列都是O =AX 解, 即O =A β i ,i =1,2,…,n 又因O =AX 的基础解系所含向量个数为)(A r n -, 换言之, O =AX 的所有解所构成的向量组的秩为)(A r n -.故≤)(B r )(A r n -, 即)()(B r A r +n ≤.

矩阵的秩学年论文

学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级2009级姓名张晓函论文题目矩阵的秩指导教师彭玉成职称讲师成绩 2009年5月25日

学年论文成绩评定表

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1预备知识 (1) 2矩阵的秩的性质 (2) 3矩阵秩的计算 (4) 4矩阵秩的应用 (8) 5结束语 (9) 参考文献 (9)

矩阵的秩学生姓名：张晓函学号：20095034048 数学与信息科学学院信息与计算科学系指导教师：彭玉成职称：讲师摘要：本文是关于求一个数字矩阵的秩的方法的初步探究.归纳总结了求矩阵秩的常用方法. 关键词：矩阵；初等变换；子式；极大线性无关组 Matrix rank Abstract:This article is about for a digital matrix rank of the preliminary inquiry method. Summarizes the commonly used method of matrix rank Keywords: matrix,elementary transformation, son,great linearly independent groups 前言矩阵是贯穿线性代数的一块重要内容．而对矩阵秩的探究是我们学习矩阵的一个重要部分.也是我们判断线性方程组解的情形的重要手段．下面就来具体讨论、探究数字矩阵秩的求解方法. 1．预备知识定义1.1：矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为A的秩.记作() r A 定义1.2：矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩. 矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点定义1.3：在一个s n 上的2k个元素按原来的次序所组成k级行列式，称为A的一个k级子式. 定义1.4：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 2.矩阵的秩的性质 1）现在我们来研究矩阵的秩具有哪些性质，从而利用这些性质求矩阵的秩。性质2.1矩阵的行秩与列秩相等．

矩阵的秩及其多样性的解法

矩阵的秩及其多样性的解法数学学院数学与应用数学（师范）专业摘要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组； Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank. Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations; 引言、引理矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。矩阵的秩的等价刻划设A F m n ?∈ ，则rank(A)=r ?A 中不为零的子式的最大阶数是r ； ?A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ? 存在可逆矩阵m n P F ?∈，m n Q F ?∈，使得000r E P A Q ?? = ??? ； ? A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r;

正交矩阵的秩及其性质开题报告

本科毕业论文开题报告题目：正交矩阵的秩及其性质学院：数学学院专业：数学与应用数学班级：姓名：指导教师：申报日期：

开题报告填写要求 1、开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业论文（设计）工作前期内完成，经指导教师签署意见审查后生效。 2、开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写，按教务处统一设计的电子文档标准格式打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见。 3、学生查阅资料的参考文献应在3篇及以上（不包括辞典、手册），开题报告的字数要在1000字以上。 4、有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2004年9月26日”或“2004-09-26”。

毕业论文开题报告一．本课题的研究意义（一）理论意义矩阵是数学中重要的基本概念,是代数学的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,正交矩阵在矩阵论中占有重要地位，有着广泛的应用.对其本身的研究来说是富有创造性的领域. 正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中。本文对矩阵进行了较为深入的研究，得到了正交矩阵的一系列常用性质，相关性质的概括、改进和推广，以及正交矩阵在近世代数，点集拓扑中的应用等的研究，对矩阵的理论研究有重要意义. 二．本课题的基本内容 1 正交矩阵及其相关定义 2 正交矩阵的性质 3 正交矩阵在线性代数中的应用 4 正交矩阵在点集拓扑中的应用 5 正交矩阵在近世代数中的应用毕业论文开题报告

线性代数重要结论大全.

线性代数必考知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基；

对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用

对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用摘要：本文叙述了矩阵秩的几个等价定义，并且给出了几个相关秩的解法.通过例子来验证和探讨了矩阵秩在线性代数中的应用，这些知识对我们理解矩阵的本质,灵活运用矩阵的秩去分析相关问题有一定的意义和作用. 关键词：矩阵的秩；秩的解法；秩的应用 On the Rank of Matrix relating to the understanding Extremely in the Application of Linear Algebra Abstract : This article describes several equivalent definitions of matrix rank, and gives the solution of some rank. Through example to verify that the discussion and application of matrix in linear algebra, this knowledge to our understanding of the nature of the matrix, flexible use of matrix rank to have a certain meaning and analysis of related problems. Key words : rank of matrix; rank method; the application of rank 0 前言矩阵的理论是线性代数的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的理论概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，他在初等变换下是一个不变量.它是反应矩阵固有特性的一个重要概念.矩阵作为线性代数的重要工具，已渗透到各章内容之中,并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带,它把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，是矩阵一个重要的、本质的属性,在求方阵的逆、判断线性方程组是否有解以及有多少个解、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面,矩阵的秩都有着广泛的应用. 1 矩阵秩的概念首先给出矩阵秩的几个等价定义定义1 设s ，矩阵中不为0子式的最高阶数，即A 有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式（如果存在的话）全为0，称r 为矩阵A 的秩。记做()R A r =. 从本质上说，矩阵的秩就是矩阵中不等于0的姿势的最高阶数。这个不为0的子

矩阵秩的相关结论证明及举例

华北水利水电大学矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：能源与动力工程（热动）101班成员组成：王威威联系方式： 2014年12月30日

一：摘要矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。关键词：矩阵秩结论证明英文题目 Abstract: Matrix rank is an extremely important and widely us ed in the mathematical concept, is an important res earch object of linear algebra, as a result, the c onclusion of the rank of matrix as an important co nclusion of linear algebra has penetrated into chapt er, associate the content of the positive linear al gebra and matrix of rank as an important essential attribute of the matrix, however, throughout the c ourse of the theory of matrix so that the study o f matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we learn good linear algebra Key words:matrix rank conclusion proof

矩阵的分解毕业论文.

学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学学生姓名林意学号200920134781 指导教师姓名周末指导教师职称教授 2014 年4 月16 日

矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的 QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来 . 关键词：矩阵；分解； QR 分解；三角分解；满秩分解

The Decomposition of the Matrix ABSTRACT As everyone knows ，matrix is one of the most important concepts in algebra ，whose appearance promotes the development of algebra． While as a significant part of the theory of matrix ，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices ．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms ，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems ．In this paper ， the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below ， such as QR decomposition ，full rank decomposition ，LU decomposition and so on ．Firstly ，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given ．And then ，specific decomposition ways of theirs are illustrated ． Finally ，these decomposition methods are clearly presented by the forms of some examples． Keywords ：Matrix ；Decomposition ；QR Decomposition ；LU Matrix Decomposition ；Full Rank Decomposition

矩阵的秩的性质

矩阵的秩的性质和矩阵秩与矩阵运算之间的关系要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。” 那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质： 1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。 2、秩为r 的n 级矩阵（n r ≥），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r 阶子式不为0. 3、)}(),(min{)(B rank A rank AB rank ≤ )'()(A r a n k A r a n k =，)()()(B rank A rank B A rank ±=± )()(A rank kA rank = 4、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则+)(A rank )}(),(min{)()(B rank A rank AB rank n B rank ≤≤- 5、设A 是n s ?矩阵，P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵，则 )()()(A rank AQ rank PA rank ==

6、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且AB=0，则 n B rank A rank ≤+)()( 7、设A 是n s ?矩阵，则)()'()'(A rank A A rank AA rank == 其中，也涉及到线性方程组解得问题： 8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A ，n A rank =)( 则方程组有惟一非零解，n A rank <)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则，非齐次线性方程组有解时，n A rank =)(惟一解，n A rank <)( 有无穷多解。还有满秩矩阵： 9、可逆?满秩 10、行（列）向量组线性无关，即n 级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n 。扩展到矩阵的分块后： 11、110(A )(A )0n n A rank rank rank A ?? ?=++ ? ??? 12、()()0A C rank rank A rank B B ??≥+ ???

矩阵,行列式, 秩, 相关计算

矩阵，行列式, 秩, 相关计算：例：已知矩阵211121112A ?? ?= ? ??? ，且A 与矩阵X 满足112AXA XA I --=+，求X 。例：已知3阶方阵 123023003A ?? ?= ? ??? ，计算行列式 6A I *+。例：已知32212232,26223A B ?? -?? ? == ? ?-?? ? ?? ，求行列式 10 2A B - 例：证明：若n 阶方阵A ,B ,C 满足：AB =AC ,B ≠C ，则A 不满秩。例：举例说明：由AB =AC ,A ≠0不能导出B =C 。例对于n 阶方阵A, 求证: r(A n )=r(A n+1) 例 A 和伴随阵的秩的关系。方程组及其求解：例：对下列线性方程组 ??? ??=++=++=++2 321 3213211a ax x x a x ax x x x ax

试讨论：当a 取何值时，它有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。（用导出组的基础解系表示通解）例：已知线性方程组 123123123123121(1)2(1)3 ax x x x x ax x x x a x x a x -++=-?? ++=-?? ++=-??-+++=-? 问参数a 取何值时，上述方程组无解？有唯一解？有无穷多解例：已知A 是n m ?矩阵，m n >，m A =)(r ，B 是)(m n n -?矩阵， m n B -=)(r ，且 0=AB 。证明：B 的列向量组为线性方程组0=AX 的一个基础解系。例：设有齐次线性方程组（I ） 12312300 ax x x x ax x ++=?? ++=? （II ） 1230x x ax ++= （III ） 1231231 23000 ax x x x ax x x x ax ++=?? ++=??++=? 已知方程组（I ）的解都是方程组（II ）的解，（1）证明：方程组（I ）与方程组（III ）的同解；（2）证明：方程组（III ）有非零解；（3）求参数a 的值。例：已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4元列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=。

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