学士学位论文
矩阵的分解
学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学
学生姓名林意
学号200920134781
指导教师姓名周末
指导教师职称教授
2014 年4 月16 日
矩阵的分解
摘要
众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的 QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来 .
关键词：矩阵；分解； QR 分解；三角分解；满秩分解
The Decomposition of the Matrix
ABSTRACT
As everyone knows ，matrix is one of the most important concepts in algebra ，whose appearance promotes the development of algebra． While as a significant part of the theory of matrix ，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices ．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms ，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems ．In this paper ， the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below ， such as QR
decomposition ，full rank decomposition ，LU decomposition and so
on ．Firstly ，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given ．And then ，specific decomposition ways of theirs are illustrated ． Finally ，these decomposition methods are clearly presented by the forms of some examples．
Keywords ：Matrix ；Decomposition ；QR Decomposition ；LU Matrix Decomposition ；Full Rank Decomposition
目录
摘要................................................................ I
ABSTRACT ............................................................ II
目录................................................................ III
一、引言 (1)
二、矩阵的 QR分解 (1)
（一）矩阵 QR分解的基本概念及定理 (1)
（二）矩阵 QR 分解的常用方法及应用举例 (1)
三、矩阵的三角分解 (8)
（一）矩阵三角分解的基本概念及定理 (8)
（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例 (9)
四、矩阵的满秩分解..................................................
15
（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理 (15)
（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例 (15)
五、矩阵的奇异值分解................................................
17
（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理 (17)
（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例 (18)
六、结论............................................................
20
参考文献 (20)
致谢................................................. 错误！未定义书签。
、引言
矩阵分解是代数学中的一个重要概念．把一个矩阵分解成若干个矩阵的和或乘积的形式 是解决某些线性代数问题的重要方法，如解矩阵方程和最小二乘问题等．本文将从矩阵的 QR 分解，满秩分解，三角分解以及奇异值分解等方面对矩阵分解进行探讨．
对于本文中所涉及到的一些概念，我们做如下规定：
用R 表示实数域； R n
表示实数域上 n 维向量空间； C n
表示复数域上 n 维向量空间； R
m n
表示实数域上 m n 矩阵空间； C
m n
表示复数域上 m n 矩阵空间； E n 表示单
位矩阵； A T
表 示矩阵（或向量） A 的转置； A H
表示矩阵（或向量） A 的共轭转置；
diag 1, 2,L , n 表 示 n 阶对角矩阵．
二、矩阵的 QR 分解
（一）矩阵 QR 分解的基本概念及定理
定义 2.1 对于 n 阶复矩阵 A ，若满足 A H
A AA H
E ，则称 A 是酉矩阵． 定义 2.22
如果方阵 A 可以分解成一个酉 （正交）矩阵 Q 与一个复（实）上三角矩阵 R 的乘积，即 A QR ，则称上式为 A 的一个 QR 分解．
定理 2.12 如果 n 阶方阵 A 为非奇异实 （复）矩阵，则存在正交 （酉）矩阵 Q 和非奇异实 （复） 上三角矩阵 R ，使得
A QR 且除去相差一个对角元绝对值 （模）全
等于 1 的对角矩阵因子外，分解式是唯一的．
（二）矩阵 QR 分解的常用方法及应用举例
1、利用 Schmidt 正交化方法进行 QR 分解
方法： 1 ．写出矩阵的列向量组；
则a1, a2 ,a3 b1,b2,b3 C q1,q2,q3 HC ，
2、Givens 变换法求矩阵的QR 分解
所以它是正交变换，从而A是正交矩阵，且detA 1．
定义2.3 3一般的，在n维欧式空间R n中取定一组标准正交基e1,
e ,L ,e，在平面
2．把列向量组按照Schmidt 方法进行正交化；3．得出矩阵的QR 分解．
例 2.1 用Schmidt 正交化方法求矩阵124
A 2 1 4 的QR 分解．
122
T T T 令a1 1,2,1 ，a2
2,1,2 ，a3 4,4,2 将a1,a2,a3 正交化得
T
b 1 a
1
1,2,1 ,b
2
a
2
a2,b1
b,b b1
a2 b1 1, 1,1T,b3 a3 32b2 37b1 1,0, 1 T
b1,b1 3 3
1 1 7 3
记C 0 1 2 3 ，则a1,a2,a3 b1,b2,b 3 C ，再将b1, b2 ,b3单
位化，得
0 0 1
q1
66
,
36
63
,q2
33 3 3
23
3
, 3,q3
33 22
33 0
33 22
2
2,0,
2
2 T．
22
R HC 7
3
2
3
1
763
2 3
3 ，
则有A QR ．
在平面解析几何中，使向量x顺时针旋转角度后变为向量y 的旋转变换为
cos y sin sin
x Ax
cos
cos
，其中A c s o i s n
sin
cos
因为旋转变换不改变向量的模，
，记H
66
令Q q1 ,q2, q3 = 6 3
66