山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用
姓名杨敏娜
院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学
班级11510102
学号1151010240
指导教师王栋
答辩日期
成绩
矩阵的秩及其应用
内容摘要
矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。
论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。
本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。
【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何
The Rank of Matrix and the Application of the Rank of
Matrix
Abstract
The matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.
First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.
This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.
【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry
目录
一、引言 (01)
二、矩阵的秩 (01)
(一)矩阵的秩的定义 (01)
(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)
（三）求抽象矩阵的秩 (02)
三、矩阵的秩的应用 (03)
(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)
(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)
(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)
(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)
(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)
四、小结 (09)
参考文献 (10)
致谢 (11)
矩阵的秩及其应用
学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋
一、引言
矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。通过对矩阵的秩的探讨，能更好地理解矩阵的有关概念，同时对判别向量组之间的线性相关性，求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基础解系有一定意义。分析矩阵的秩在线性空间方面的应用，能准确快速地判断空间中直线的位置关系。另外，在求解一些复杂行列式的值的过程中，将行列式问题转换成矩阵问题，大大简化了计算过程。
深刻地理解矩阵的秩将对今后线性代数方面的学习有很大的帮助。
二、矩阵的秩
(一)矩阵的秩的定义
介绍矩阵的秩，首先应该了解矩阵的k 阶子式，借助k 阶子式的定义，进一步来了解矩阵秩的概念。下面对k 阶子式进行简单介绍：
1.k 级子式[1]:
在一个n 阶行列式D 中任意选取k 行和k 列（k n ≤）。位于这些行和列的交点上的2k 个元素依照原来的序次构成一个k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式。
例如 : 118
339
512104A ?? ?=
? ??
?
矩阵A 的第一、三行，第二、三列相交处的元素所构成的
二阶子式为183104D ??
= ???
。当然，矩阵的k 阶子式并不是唯一的。
显然,m n ?矩阵A 共有k k
m n
C C 个k 阶子式。 2. 矩阵的秩[1] :
设()ij m n
A a ?=有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式(如果存在的话)全为0 , 称
r 为矩阵A 的秩，记作()R A 或秩A 。
矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，同理，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组 的秩。矩阵的行秩等于矩阵的列秩，所以一般就统称为矩阵的秩。
(二)矩阵的秩的一般性质及求法
1.矩阵的秩的一些简单性质
我们通常规定零矩阵的秩即为0。
(1).如()R A r =，则A 中最少有一个r 阶子式0r D ≠，其余1r +阶子式全部为0，且更高阶子式为0,此中r 是A 中非零的子式的最高阶数。 (2).初等矩阵均满秩，任何矩阵乘满秩方阵，秩均不变的。
(3).n n ?矩阵的行列式为零的充分必要条件是，矩阵A 的秩小于n 。
(4).由行列式的性质知，()()
T
R A R A =。
(5).()()()}{,,0min ,R A m R A n R A m n <<<<。
(6).如果n n A ?，且
0A ≠，则()R A n =。反之，如()R A n =，则0A ≠
所以有，方阵A 可逆的充分必要条件是()R A n =。此时称矩阵A 是满秩的。 (7).A 可逆时，()()R AB R B =；B 可逆时，()()R AB R A =。 2.具体矩阵的秩的求法
(1).根据矩阵的秩的定义,求矩阵的非零阶子式的最高的阶数,即为矩阵的秩。 (2).应用等价矩阵有相同秩的结论,利用矩阵的初等变换，先将一般矩阵简化成阶梯形，那么矩阵的秩即为阶梯矩阵中非零的行数，在初等变换中，可以只进行初等行变换，也可以初等行变换或初等列变换混用来对它进行化简。 例一：对如下的矩阵求它的秩
012114210A ??
?= ? ?-??
求法一：由于012
11
420210A ==≠-，而A 的最高阶数是三阶，所以
()3R A =。
求法二：10
1
21141
1401
2210002A ????
?
?
=→ ? ? ? ?--?
???
对它进行初等变换以后, 最后的阶梯矩阵中，非零行数为3，所以该矩阵秩为3,即()3R A =。
注：以上的两种求矩阵秩的方法中，两者各有千秋，运用初等变换的方法求矩
阵的秩，一般适用于超过三阶的矩阵，比较快速方便。因为对于高阶子式来说，其k 级子式的个数较多，计算比较冗长且难度较大。而对于低阶的矩阵，求k 级子式更直接易理解。 （三）、求抽象矩阵的秩
遇到抽象矩阵求秩，用上面的两种方法是不能解决问题的，所以，求抽象矩阵的秩，除了以上介绍矩阵的秩的相关性质外，还需补充一些有关矩阵的秩的有关结果。
结论一：设A 是秩为r 的m n ?矩阵，则A 可以表示成r 个秩是1的矩阵的和。
例二 : 证明0()()0A r r A r B B ??
=+ ???
。
证明 设(),()R A r R B s ==,那么肯定有可逆的矩阵11,P Q 与可逆的矩阵22,P Q ，使得
11121211122
212000
000r
s E E P ABQ P AQ Q P P BQ Q P ----????==
? ?????
化简,A B 为等价标准形,故一定有可逆矩阵112200,00P Q P Q ????
? ?????
，使成立
1111222200
00000000000000000000r r E P Q P AQ A P Q P BQ B E ?? ?
????????
?
== ? ? ? ? ?
????????
?
??，因为左乘及右乘和
原来矩阵的秩仍然相等，最终有00000000()()000000
00r r E A r r r s r A r B B E ??
??? ?
==+=+ ?
?
??
???
。
结论二：设A 是n 阶方阵（2n ≥），则有
当()R A n =，时，*
()R A n =
当()1R A n =-时，*
()1R A =
当()1R A n ≤-时，*
()0R A =
例题三：已知A 是3阶非奇异矩阵,那么**(())r A =?
解:从结论二得***
**3,()3(())1,()20,()2r A r A r A r A ?=?==??
,又从题知A 为3阶不可逆矩阵,所以()2r A ≤,
所以*()1r A =或0,故**(())0r A =
结论三[3]：,A B 为n 阶方阵且0AB =时，()()r A r B n +≤。
例四：已知123244812Q t ?? ?
= ? ???，P 为3阶非零矩阵,且还有0PQ =成立,则 ( )
A. 6t =时,P 的秩必为1
B. 6t =时，P 的秩必为2
C. 6t ≠时,P 的秩必为1
D. 6t ≠时, P 的秩必为2
解：因为0P ≠，所以秩()1r P ≥，又由题知道0PQ =，所以()()3r P r Q +≤。当6t =时，()1,r Q =故可以得1()2r P ≤≤，当6t ≠时，()2r Q =，又可以得1()321r P ≤≤-=，即肯定有()1r P =。
结论四[3]：,A B 为n 阶方阵且0AB =时，()()r A r B n +≤。
例五：设A 为n 阶方矩阵，另有22A A E +=，其中E 是n 阶的单位矩阵，试证()()r A E r A E n -++=。此中的()r A 表示矩阵A 的秩。
解：由题中已知22A A E +=可知()(2)0A E A E -+=，进而可以得到()()r A E r A E n -++≤，又因为()(2)[()(2)](3)r A E r A E r A E A E r E n -++≥--+=-=，所以最后可以得到()()r A E r A E n -++=。
三、矩阵的秩的应用
(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用
矩阵的秩对研究向量组间是否线性相关有重要的意义, 咱们可以通过把向量组转换成矩阵的形式，通过判断矩阵的秩的情况来间接判定向量组是相关还是无关的。那么我们首先从向量组之间的关系着手。 1.向量组间的关系
(1).定义[4]：若向量组A 中每个向量都可以由向量组B 线性表示，则称向量组A 组能由向量组B 线性表出。两个向量组若能互相线性表出，则称这两个向量组等价。 向量组中任何一个最大的线性无关组所含有的向量数称为这个向量组的秩。 (2).有关定理
①[4]若向量组A 能由向量组B 线性表示，则知秩A ≤秩B ； ②[4]等价的向量组必等秩,但是其逆不真；
③[4]矩阵中行向量组的秩和列向量组的秩都等于其非零子式的最高阶数,所以矩阵的秩既等于其行秩(即其行向量组的秩),又等于其列秩(即其列向量组的秩)。
④[4]一个向量组中，其任何两个极大线性无关组都是等价的。 2.判定向量组是否线性相关
利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性,通常用来判断有m 个n 维向量的向量组。
令12,(,,)m A =???，当()R A m =，此向量组1,2,,m ???是线性无关的，当
()R A m <，此向量组是线性相关的。
例六: 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)T T T
t ?=?=?=。 （1）问t 的值取多少时，该向量组线性相关？ （2）问t 的值取多少时，该向量组线性无关？
解: 1,2,3111111()12301213021A t t ????
? ?=???=→ ? ?
? ?-????
从最后一个矩阵可知：
（1）t ≠5时，()3R A =,向量组线性无关；
（2）t=5时，()2R A =,向量组线性相关。 3.根据矩阵的秩判断向量组线性相关性
利用矩阵的秩证明向量组的线性相关性，就是把向量组中每一个向量用矩阵形式表示出来，根据矩阵秩的性质，分析向量组间相关性。通常用于证明具有两对向量的向量组。
例七: 设向量组123,,???是线性无关的，根据矩阵的秩的有关性质试证：
122331,,?+??+??+?也是线性无关的。 证明 令 112223331,,,βααβααβαα=+=+=+
则 123123101(,,)(,,)110011βββααα??
?= ?
???
因矩阵 101110011??
? ? ???
可逆，故123123(,,)(,,)3R R βββααα==
所以123,,βββ即122331,,?+??+??+?线性无关。
（二）、矩阵的秩在线性方程组方面的应用
1.矩阵的秩和非齐次线性方程组
矩阵的秩在判断线性方程组解情况中，有很重要作用，能够快速确定方程组解的个数。接下来我们从定理的证明入手，来探究矩阵的秩与线性方程组之间的关系
。
定理[4] ：对于非齐次线性方程组
1111221121122222
1122n n n n r r rn n r
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??+++=? 此方程组有解的充分必要条件即为方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。 例八: 分析以下方程组，探究λ分别取什么值时，方程组的解是什么样子?
12312312
3022
x x x x x x x x x λλλ++=??
++=-??++=? 解: 其系数矩阵
111111A λλλ?? ?= ? ???
增广矩阵
11011
2112B λλλ??
?=- ? ??
?
若要方程组有解则需rankA rankB =.
221111111101101111011002A λλλλλλλλλλλλλ??????
? ? ?=→--→-- ? ? ? ? ? ?--+-??????
2211011211211201140114112011200224B λλλλλλλλλλλλλλλ?????? ? ? ?=-→---→--- ? ? ? ? ? ?-----+--??????
由此可以看出
当1λ=时 ()1R A = ()3R B = 方程组无解。
当2λ=-时 ()()2R A R B == 方程组含无穷多个解。 当1λ≠,且2λ≠-时 ()()3R A R B == 方程组有唯一解。 总结：
对于非齐次线性方程组，我们设A 为其系数矩阵，B 为其增广矩阵。
当0A ≠且()()R A R B =时，方程组有唯一的解。
当0A =，方程组有无穷多个解。
当()()R A R B ≠时，方程组无解。
由上可以看出，矩阵的秩和线性方程组的解之间是紧密的相连的，从矩阵的秩入手，不仅可以简单判断出非齐次线性方程组是否有解，而且可以判断出齐次线性方程组解的情况。
2.矩阵的秩与齐次线性方程组 定理2[1] :对于齐次线性方程组
111122121122221122000
n n n n
r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??
??+++=? 在齐次线性方程组有非零解时，它有基础解系，并且基础解系所含有解的个数等于n r -，这里r 表示系数矩阵的秩。 例九
123123123000
x x x x x x x x x λλλ++=??
++=??++=? （1） 解: 方程组的系数矩阵为A ，
111111A λλλ??
?= ? ???
计算系数矩阵的行列式,
211
11(1)(2)11A λλλλλ
==--+
1λ=时，0A =方程组有非零解，
111111111000111000A ???? ? ?=→ ? ? ? ?????
2λ=-时，
21
1101121011112000A --???? ? ?=-→- ? ? ? ?-????
综上可得，当1λ=时，()1R A =,此时方程组有两个非零解。
此时方程组可化简为
1230x x x ++= （2） 方程组(1)与(2)同解，且为
132330x x x x x =-??=??=?和12223
x x x x x =-??
=??=? 由于12110,110αα--????
? ?== ? ? ? ?????
两个向量组线性无关，故为方程组的基础解系，令X 表
示方程组的通解。
因此，方程组的通解为1122,X k k αα=+ 其中.k R ∈
当2λ=-时，()R A ＝2,此时方程组有一个非零的解
方程组化简为
1323
0x x x x -=??
-+=? （3） 方程组(1)与方程组(3)同解
13
233
3x x x x x x
=??
=??=? 由于111α??
?= ? ???
线性无关，故而可以作为方程组的一个基础解系， 所以，此方程组的通解为,X k α= 其中.k R ∈
当1λ≠且2λ≠-时，0A ≠,此时方程组只有零解。
(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用
通过以上对矩阵秩的相关定理和结论的证明，我们还将矩阵的秩推广到解析几何中，来判断空间几何中两条直线的位置关系。主要用直线的方程构造方程组，运用上面介绍矩和方程组的关系，分析方程组系数矩阵与它的增广矩阵的秩的情况，就能够确定方程组的解的情况，进而判断空间中两条直线的位置关系，下面详细阐述有关解法。
给定以下两条直线的方程
1
111122220
:0a x b y c z d L a x b y c z d +++=??+++=? ； 3
333244440
:0
a x
b y
c z
d L a x b y c z d +++=??+++=? ； 那么这两条直线之间的位置关系取决于方程组
11112222
333344440000
a x
b y
c z
d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +++=??+++=??
+++=??+++=? 解的情况，那么由上面结果我们可以知道，此方程组解的情况又由其系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩决定。
各个方程都表示着一个平面，那么线性方程组则表示这两个平面的交线。 因此有2()3,2()4R A R B ≤≤≤≤
,A B 分别表示该方程组的系数矩阵和它的增广矩阵。
当()()R A R B =时，那么该方程组有解，即说明两条直线存在交点。
特别地，若()()2R A R B ==，此方程组的解是无穷多的，即代表两直线完全一样。
当()()3R A R B ==时,此时方程组的解仅有一个，代表两条直线相交。
当()()R A R B ≠此时方程组无解，那么两条直线没有交点。在空间几何里，这两条直线为平行或者异面。
(四)矩阵的秩在特征值方面的应用
矩阵的秩与特征值之间的关系讨论中，着重研究特殊情况，即当矩阵的秩为1
的时候时，特征值得取值如何。
引理[1] ：设()ij A a =是3阶矩阵，那么它的特征多项式为
32112233()E A a a a s A λλλλ-=-+++-，其中
111322
231112313332
332122a a a a a a s a a a a a a ????
??=++
? ? ???????
，特别地，若秩()1R A =，那么特征多项式为
3
22
(
)()ii ii E A a a λλλλλ-=-=-∑∑，则矩阵A 的特征值是
3
3121
,0ii i a λλλ====∑
例十: 根据矩阵的秩求下列行列式的值。
x z z z z z x z z z z
z x z z
z z z x z z
z
z
z
x
解
0000000000000
0000x z
z z z z z z z z x z z x z z z z z z z z x z z z x z z z z z z z x z z
z
z
x z z
z z
z z x z
z z z z x z z z z z x z ---=
+--
(1) (2)
从上易直观看出，矩阵(1)的秩是1,因此其特征值是123,n nz λλλλ====。 矩阵(2)的秩为n,因此其特征值为12n x z λλλ====-。 所以，原矩阵的特征值为12,n nz x z x z λλλ=+-===-。
综上可得
x z z z z z x z z z z
z x z z
z z z x z z
z
z
z
x
＝112
()()n n nz x z x z λλλ-=+--
(五)矩阵的秩在其他方面的应用
1.矩阵的秩在多项式方面的应用
矩阵的秩在多项式中的应用,主要体现在互素的多项式中，通过运用多项式互素的有关性质，确定多项式秩之间的数量关系来解题。
(1).(),()f x g x 是多项式，且次数均大于1,若(),()f x g x 互素，且()()0f x g x =，则(())(())R f A R g A n +=。
(2).设()[],1,2,3i f x P x i m ∈=,()n A M P ∈，若()()()12,,...,m f x f x f x 互素,且
()()()12...0m f A f A f A =, 则()()()()()()()12...1m n r f A r f A r f A m n ≤+++≤-。 (3).设()[],1,2,3i f x P x i m ∈=,()n A M P ∈，若()()()12,,...,m f x f x f x 两
两互素，()()0i i f A f A =，,,1,2,
i j i j m ≠=则()()()()()()12...m R f A R f A R f A n
+++=。
2.矩阵的秩判定二次型正定问题
设二次型1,2(,)T n f x x x x Ax =,其中T A A =,可以有以下结论:
(1).()f x 的正惯性指数与秩都等于n ?正定。 (2).()f x 的负惯性指数与秩都等于n ?正定。 (3).()f x 的正惯性指数与秩相等?半正定。
例十一：设A 是n 阶半正定矩阵，B 为n 阶正定矩阵，证明A B B +≥，等号成立当并且只当0A =。
证： 由题目知A B +正定，()A B B +-半正定，B 正定，由矩阵的正定的结论知A B B +≥。
当0A =时，A B B +=,
当0A ≠时，秩1A ≥，B 正定， 所以必有实可逆矩阵P ，有 'P BP E =
''()P A B P P AP E C E +=+=+
其中'C P AP =，所以秩 1C ≥
设C n 个特征值为1,,n λλ，而秩1C ≥，由C 半正定，因此最少有个0i λ>，不妨设10λ>。那么C E +的n 个特征值为11,,1n λλ++， 故有2
1(1)(1)n C E P A B λλ+=++=?+
所以2
1A B P
+>
，故2
1B P
=，即证得A B B +>。
3．用矩阵的秩解决线性空间问题
在n 维线性空间里，n 个线性无关的向量12,,,n εεε称为空间一组基，设α为任一向量，那么α=1122n n a a a εεε+++，其中系数是唯一的，这组数即为α在一组基下的坐标，可以看出线性空间的维数和它的一组基中含有的向量是相等的。这样就把解决维数问题简化成分析向量的个数问题，就是来分析向量组的秩。
四、小结
矩阵的秩是线性代数重要组成部分，其教学方法一直被广泛探讨，本文基于一些研究和具体的例子，以及自身的学习实践，探究以知识点为基础的应用。同时给出了一些具体求法与分析过程，要求熟练掌握矩阵的性质与秩的概念，灵活推广一些结论，并能充分利用它解决相关问题。
矩阵的秩在代数中的应用十分广泛，除了以上介绍的以外，在矩阵的逆以及伴
随矩阵的计算中也占据重要地位。另外，矩阵在一些物理，化学，经济学，控制论
等等学科研究中也分布较多，是学科研究的一个重要分支。在这个快速发展的社会
，数学与生活关系逐渐密切，本文所介绍只是矩阵的秩在数学和生活中的一部分应用。矩阵的秩作为代数的重要部分，它的引入为解决某些数学问题提供新的探索途
径和秘诀，在一些实际运用中大大简便了运算过程和步骤，为我们的学习和应用带
来极大好处和便捷，关于矩阵的秩的其他方面的知识还需要大家继续探索。
参考文献：
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[2] 黄光谷,黄东,李杨,蔡晓英编高等代数辅导与习题解答[M]华中科技大学出版社， 2005，3。
[3] 周泰文,王家宝,贺伟奇编线性代数全程导学湖南科学技术出版社，2002，11。
[4] 陈志杰编高等代数与解析几何(上册) [M] 北京：高等教育出版社，2008.12。
[5] 冯锡刚编解析几何中矩阵秩的应用[J] 教学管理与研究社，
[6] 邹晓光编互素多项式与矩阵的秩的一个简单结论及其应用[J] 金华职业技术学院学报，2006年第6卷第1期。
. I 矩阵秩的研究与应用 [摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。矩阵一旦确定秩也就确定了。它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。 本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。这里就不细说了，具体容还得从文章中来了解。[1][2][3] [关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。 矩阵秩的研究与应用
. I 1 前言 矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？ 本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。 理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。
矩阵的逆的研究及应用 摘要 本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。 关键词：矩阵矩阵的逆线性方程组保密通信 Research and application of inverse matrix Summary:This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples. Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, secure
摘要 本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。 关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组
Abstract This article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible. Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The System of linear equations.
目录 1 引言 (1) 2 预备知识 (2) 3 可逆矩阵的性质及其应用 (3) 4 行（列）满秩矩阵的性质 (5) 5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11) 5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11) 5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12) 5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15) 5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17) 参考文献 (20)
题目广义逆矩阵及其应用学院 专业通信与信息系统学生 学号
目录 第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1 广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)
第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。 第二章广义逆矩阵
山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用 姓名杨敏娜 院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学 班级11510102 学号1151010240 指导教师王栋 答辩日期 成绩
矩阵的秩及其应用 内容摘要 矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。 论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。 本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。 【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何
The Rank of Matrix and the Application of the Rank of Matrix Abstract The matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations. First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space. This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples. 【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用 姓名：刘欣 班级：14级数计1班 专业：数学与应用数学 学号：1408020129 一、矩阵的逆的概念 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得 ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为 Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作。 二、逆矩阵的性质和定理 ㈠逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。 若都是ｎ阶可逆矩阵，则 也可逆，且＝ . 2、若A可逆，则也可逆，且=A； 3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且 =； 4、若A可逆，则也可逆，且=； 5、=；
6、矩阵的逆是唯一的； 证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都 是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝Ｂ Ｅ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ 矛盾），所以是唯一的。 ㈡逆矩阵的定理 １、初等变换不改变矩阵的可逆性。 ２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵等价。 ３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。 ４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。 ５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。 三、逆矩阵的计算方法 ㈠定义法 定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为。 例１、求矩阵Ａ＝的逆矩阵。 解：∵｜Ａ｜≠０ ∴存在
设＝，由定义知，∴ 由矩阵乘法得 由矩阵相乘可解得；； 故 ㈡、伴随矩阵法 ｎ阶矩阵Ａ＝（）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当 ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵， 注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余 子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意 元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ＝，其伴随矩阵 ，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 目录 摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法
矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。 第1章 矩 阵 1.1矩阵的定义 定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算 定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两
关于矩阵秩的证明 -----09数应鄢丽萍 中文摘要 在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。 关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组
约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2） r(kA)=? ??=≠0 00 )(k k A r （3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0 (5) r ???? ??B O O A =r(A)+r(B)≤r ??? ? ??B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B) 矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。
定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得 ???? ??B O O A →???? ??B A O A →???? ??+B B A O A 即???? ??E E O E ???? ??B O O A ???? ??E E O E =??? ? ??+B B A O A 由性质5可得 r ???? ??B O O A =r ??? ? ??+B B A O A 则有r(A)+r(B)≥r(A+B) 定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m 阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB) 证：由初等变换可得 ???? ??O A B E n →? ??? ??-AB O B E n →???? ??-AB O O E n 即? ??? ??-s n E A O E ??? ? ??O A B E n ? ??? ? ?-m n E O B E ＝???? ??-AB O O E n 则r ???? ??O A B E n =r ??? ? ??-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
百度文库-让每个人平等地提升自我 3 矩阵秩的研究与应用 [摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。矩阵一旦确定秩也就确定了。它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。 本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。[1][2][3] [关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。
百度文库-让每个人平等地提升自我 4 矩阵秩的研究与应用 1 前言 矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？ 本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。 理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。
矩阵及其秩在高等代数中的应用 玲毓 师高等专科学校数学教育 摘要：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系。通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解。 关键词：矩阵；秩；变换；可逆
1 引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线 性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用。高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程它常见于很多科学中, 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的积的表示。 这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述。 2矩阵的基本理论 定义2.1 矩阵是一简化了的表格,一般地
111212122212 n n m m mn a a a a a a ? ? ? ??? 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列,共n m ?个元素,其中第i 行、第j 列的元素用ij a 表 示.通常我们用大写黑体字母,,A B C 表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用 m n A ?或() ij m n a ?表示.矩阵既然是一表,就不能像行列式那样算出一个数来. 定义2.2 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作0. 定义2.3 如果矩阵A 的行、列数都是n ,则称A 为n 阶矩阵,或称为n 阶方阵. 定义2.4 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵.若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得, AB BA I == 那么A 叫作一个可逆矩阵,而B 叫作A 的逆矩阵.用1 A -来表示. 定义2.5 主对角线上元素全为1的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为I ,即 1000100 1I ?? ? ?= ? ??? n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母a ,b ,x ,y 表示.向量中的元素又称为向量的分量.11?矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即()a a =. 定义2.6 把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵,记为T A ,即 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ?? ,11 21 11222212m m T n n mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 若方阵A 满足T A A =,则称A 为对称矩阵. 定义2.7n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线.n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记作A . 定义2.8 设有n 阶方阵 111212122212 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 的行列式A 有2 n 个代数余子式ij A （j i ,=1,2,…,n ）,将它们按转置排列,得到矩阵
矩阵的秩及其应用 摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。 关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式 引言： 阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵 的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。 1．矩阵的秩及其求法 1.1矩阵的秩的定义 定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。 定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。 定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。零矩阵的秩规定为零。 注：由定义可以看出
(1)若A 为n m ?矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法 定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。 方法1 按定义 例1.2.1 求矩阵A =?? ????????--413112212228 32的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式 12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式 13 1 2122832--=0，43112122232-=0，41312212 2 8 3--=0，4 1112222 8 2 -=0 所以 ()2r A = 方法2 初等变换法 引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。 例1.2.1求矩阵23822122121314A -?? ??=-?? ????的秩 解 用“→”表示对A 作初等变换，则有 A →13142122122382????-????-??→131406440966????-????-??→131406440000?? ?? -??????=B ，在矩阵B 中易 知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式 1306 ≠0. 所以()2r B =, 可得
摘要 本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。 关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂
Abstract In this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication. The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix； powers of a matrix ；Encrypted secure communications
目录 1 引言 (1) 2 可逆矩阵的定义和性质 (1) 2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1) 2.2可逆矩阵的相关性质 (2) 3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4) 3.1定义法求矩阵的逆 (4) 3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5) 3.3特征值法判定矩阵的逆 (6) 3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6) 3.5初等变换法求矩阵的逆 (7) 3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10) 4 可逆矩阵的若干应用 (13) 4.1求方阵的幂 (13) 4.1.1方阵的幂及其运算律 (13) 4.1.2求方阵的幂 (13) 4.2 解矩阵方程 (15) 4.3构造通信模型 (16) 参考文献 (19)
矩阵的秩及其应用 摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。 关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式 引言： 阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵 的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。 1．矩阵的秩及其求法 1.1矩阵的秩的定义 定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。 定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。 定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。零矩阵的秩规定为零。 注：由定义可以看出
(1)若A 为n m ?矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法 定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。 方法1 按定义 例1.2.1 求矩阵A =?? ????????--413112212228 32的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式 12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式 13 1 2122832--=0，43112122232-=0，41312212 2 8 3 --=0，4 1112222 8 2 -=0 所以 ()2r A = 方法2 初等变换法 引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。 例1.2.1求矩阵23822122121314A -?? ??=-?? ????的秩 解 用“→”表示对A 作初等变换，则有 A →13142122122382????-????-??→131406440966????-????-??→131406440000?? ?? -??????=B ，在矩阵B 中易 知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式 1306 ≠0. 所以()2r B =, 可得
矩阵的逆及其应用 姓名：刘欣 班级：14级数计1班 专业：数学与应用数学 学号：1408020129 一、矩阵的逆的概念 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为 Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ１。 二、逆矩阵的性质和定理 ㈠逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ， 当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。 若Ａ １，Ａ ２ ，，Ａ ｍ 都是ｎ阶可逆矩阵，则 Ａ １Ａ ２ Ａ ｍ 也可逆，且（Ａ １ Ａ ２ Ａ ｍ ） １ ＝ （Ａ ｍ） １ （Ａ ２ ） １ （Ａ １ ） １ . 2、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=A； 3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λ ）= λ ； 4、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=（ ）； 5、=； 6、矩阵的逆是唯一的；
证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都 是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛 盾），所以是唯一的。 ㈡逆矩阵的定理 １、初等变换不改变矩阵的可逆性。 ２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉ ｎ 等价。 ３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。 ４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。 ５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。 三、逆矩阵的计算方法 ㈠定义法 定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那 么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ１。 例１、求矩阵Ａ＝２２３ １１０ １２１ 的逆矩阵。 解：∵｜Ａ｜≠０ ∴Ａ１ 存在
矩阵的秩的应用 (一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 矩阵的秩对研究向量组间是否线性相关有重要的意义, 咱们可以通过把向量组转换成矩阵的形式，通过判断矩阵的秩的情况来间接判定向量组是相关还是无关的。那么我们首先从向量组之间的关系着手。 1.向量组间的关系 (1).定义[4]：若向量组A 中每个向量都可以由向量组B 线性表示，则称向量组A 组能由向量组B 线性表出。两个向量组若能互相线性表出，则称这两个向量组等价。 向量组中任何一个最大的线性无关组所含有的向量数称为这个向量组的秩。 (2).有关定理 ①[4]若向量组A 能由向量组B 线性表示，则知秩A ≤秩B ； ②[4]等价的向量组必等秩,但是其逆不真； ③[4]矩阵中行向量组的秩和列向量组的秩都等于其非零子式的最高阶数,所以矩阵的秩既等于其行秩(即其行向量组的秩),又等于其列秩(即其列向量组的秩)。 ④[4]一个向量组中，其任何两个极大线性无关组都是等价的。 2.判定向量组是否线性相关 利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性,通常用来判断有m 个n 维向量的向量组。 令12,(,,)m A =???L ，当()R A m =，此向量组1,2,,m ???L 是线性无关的，当 ()R A m <，此向量组是线性相关的。 例: 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)T T T t ?=?=?=。 （1）问t 的值取多少时，该向量组线性相关？ （2）问t 的值取多少时，该向量组线性无关？ 解: 1,2,3111111()12301213021A t t ???? ? ?=???=→ ? ? ? ?-???? 从最后一个矩阵可知： （1）t ≠5时，()3R A =,向量组线性无关； （2）t=5时，()2R A =,向量组线性相关。 3.根据矩阵的秩判断向量组线性相关性 利用矩阵的秩证明向量组的线性相关性，就是把向量组中每一个向量用矩阵形式表示出来，根据矩阵秩的性质，分析向量组间相关性。通常用于证明具有两对向量的向量组。 例: 设向量组123,,???是线性无关的，根据矩阵的秩的有关性质试证： 122331,,?+??+??+?也是线性无关的。 证明 令 112223331,,,βααβααβαα=+=+=+ 则 123123101(,,)(,,)110011βββααα?? ?= ? ???
山西师范大学本科毕业论文 浅谈矩阵的秩及其应用 姓名李欢 院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学 班级07510101 学号0751010125 指导教师张富荣 答辩日期2010.12.20 成绩
浅谈矩阵的秩及其应用 内容摘要 矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。 论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。 本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。 【关键词】矩阵矩阵的秩线性方程组非零子式的最高级数初等变换
A Brief Introduction on the rank of Matrix and the Application of the rank of Matrix Abstract In matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations. At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations. In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application. 【Key Words】matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation