本科毕业论文开题报告
题目：正交矩阵的秩及其性质
学院：数学学院
专业：数学与应用数学
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一．本课题的研究意义
（一）理论意义
矩阵是数学中重要的基本概念,是代数学的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,正交矩阵在矩阵论中占有重要地位，有着广泛的应用.对其本身的研究来说是富有创造性的领域.
正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中。本文对矩阵进行了较为深入的研究，得到了正交矩阵的一系列常用性质，相关性质的概括、改进和推广，以及正交矩阵在近世代数，点集拓扑中的应用等的研究，对矩阵的理论研究有重要意义.
二．本课题的基本内容
1 正交矩阵及其相关定义
2 正交矩阵的性质
3 正交矩阵在线性代数中的应用
4 正交矩阵在点集拓扑中的应用
5 正交矩阵在近世代数中的应用
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3．本课题的重点和难点
重点
正交矩阵的定义及其相关性质
难点
正交矩阵在某些领域的灵活运用
4．论文提纲
1 正交矩阵的定义及其简单性质
1.1 正交矩阵的定义及其判定
1.2 正交矩阵的性质
2 正交矩阵的应用
2.1 正交矩阵在线性代数中的应用
2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用
2.3 正交矩阵在物理中的作用
参考文献
[1] 张凯院, 徐仲．矩阵论同步学习辅导[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2002. 10．160-164
[2] 赵大成等．物质机构[M]．人民教育出版社 1982.9 219-226
[3] 熊金城. 点集拓扑讲义[M]. 高等教育出版社, 1998.5 110-111, 193-195
[4] 严志达等. Lie群及其lie代数[M]. 高等教育出版社, 1985.10 16-17
[5] 戴立辉. 正交矩阵的若干性质[M]. 华东地质学院学报, 2002.9 第25卷第31期 267-268
[6] 刘钊南．正交矩阵的作用[M]. 湘潭师范学院学报, 1987．11-16
[7] 刘国志. 欧氏空间子空间的标准正交基德全新方法—Givens变换法[J]. 抚顺石油学院学报, 1996.3 16卷1期 78-81
[8] 张焕玲. 一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法[J].山东科
学,1996.3 9卷1期 14-16
[9] 陈少白. 空间曲线的刚体运动基不变量[J]. 武汉科技大学学报,
2003.12 26卷4期 424-426
[10]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社,2007.
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鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日
一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson 联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价：
阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的. 根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式. 二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题: 研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用. 解决的主要问题: 1．了解分块矩阵的基本概念. 2．探讨分块对角化的性质. 3．研究分块矩阵的应用. 三、研究步骤、方法及措施: 研究步骤: 1．查阅相关资料, 做好笔记; 2．仔细阅读研究文献资料; 3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告; 4．翻译英文资料; 5．撰写毕业论文; 6．上交论文初稿; 7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述; 8．论文定稿.
摘要 本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。 关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组
Abstract This article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible. Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The System of linear equations.
目录 1 引言 (1) 2 预备知识 (2) 3 可逆矩阵的性质及其应用 (3) 4 行（列）满秩矩阵的性质 (5) 5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11) 5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11) 5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12) 5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15) 5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17) 参考文献 (20)
设计题目线性方程组理论及其应用 学生姓名陈彦语学号1111124123 专 业 数学与应用数 学（师范类） 一、课题的目的意义： 高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（Cramer's Rule）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组的方法，本文将更加系统的阐述求解线性方程组的几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中的应用。 线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支，其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。线性方程组的求解是数值计算领域十分活跃的研究课题之一，大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化。可以说，线性方程组的求解在现代科学领域占有重要地位。 二、近几年来研究现状： 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有的优点是：需要计算机的存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度的问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速还有待进一步研究。 。三、设计方案的可行性分析和预期目标： 可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组的一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件的学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究的基础上，给出利用matlab软件求解几类常见线性方程组的方法。通过广泛收集线性方程组应用方向的文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域的应用，并实现线性方程组的求解过程。 预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高的角度来审视高等代数，对其中的线性方程组部分有一个更加深刻的理解和认识，锻炼自己的发散性思维和缜密的思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题的能力，从而达到对所学知识的融会贯通。
矩阵的开题报告 篇一：矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号： 30 指导教师：裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：
矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词， 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容， 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的
CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础， 近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用
关于矩阵秩的证明 -----09数应鄢丽萍 中文摘要 在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。 关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组
约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2） r(kA)=? ??=≠0 00 )(k k A r （3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0 (5) r ???? ??B O O A =r(A)+r(B)≤r ??? ? ??B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B) 矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。
定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得 ???? ??B O O A →???? ??B A O A →???? ??+B B A O A 即???? ??E E O E ???? ??B O O A ???? ??E E O E =??? ? ??+B B A O A 由性质5可得 r ???? ??B O O A =r ??? ? ??+B B A O A 则有r(A)+r(B)≥r(A+B) 定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m 阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB) 证：由初等变换可得 ???? ??O A B E n →? ??? ??-AB O B E n →???? ??-AB O O E n 即? ??? ??-s n E A O E ??? ? ??O A B E n ? ??? ? ?-m n E O B E ＝???? ??-AB O O E n 则r ???? ??O A B E n =r ??? ? ??-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)
毕业论文开题报告 数学与应用数学 矩阵特征值、特征向量的研究 一、选题的背景、意义 （1）选题的背景、意义 “矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。 线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。 由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量
空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今[]3[]4。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 （2）国内外研究现状和发展趋势 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）[]5。 ①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； ②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； ③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； ④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如
开题报告 线性方程组的求解方法及应用开题报告 一、选题的背景、意义(所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势) 线性方程组求解在中国历史久矣。对线性方程组的研究,中国比欧洲至少早1500年,记载在公元初《九章算术》方程章中。现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。在科学计算中的许多问题,例如,电学中的网络问题,船体放样中的样条函数计算,实验数据的曲线拟合以及微分方程的差分方法或有限元方法求解等问题,最终都归结为求解线性代数方程组。现行高等代数教材只用行初等变换来解线性方程组,存在一定的局限性。本文主要讨论了解线性方程组的直接法中的Gauss消元法,以及行初等变换、克莱姆法则、标准上三角形求解法等。 对于不同类型的问题,线性方程组的求解方法不尽相同。同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解,如在实践中遇到的线性方程组,它的方程个数未必等于未知量个数,即使方程个数等于未知量个数,也未必有唯一解,有可能无解或有无穷多解。这就需要我们去根据相关问题去探究。 马克思曾经说过“一门科学只有成功地应用数学时,才算达到了完善的地步”。随着科学技术的进步,数学已迅速渗透到各门学科之中,因而能强烈感受到数学的重要性。而应用数学中很多用到了线性代数的相关知识,而本选题涉及的线性方程组知识尤为重要,在实际生活的数学应用中,对所需目标进行确定,接着进一步明确一些决策中的关键因素,即而确立线性方程组,进而对此方程求解。因
而求线性方程组解是线性代数中的精髓部分,恰当地使用方法,可以使计算过程比较简洁,避免了迂回复杂的计算。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 也许会觉得解线性方程组会很容易,但事实上想要彻彻底底的完整得出方程组的解是非常不容易的。若要正确完整得出方程解,首先要具备一定的线性代数的知识,其次要分析对于什么样类型,采用什么样的方法去解决更便捷、更有效。对于不同类型的问题,线性方程组解法的适用就至关重要。同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解,如在实践中遇到的线性方程组,它的方程个数未必等于未知量个数,即使方程个数等于未知量个数,也未必有唯一解,有可能无解或有无穷多解。这就需要我们去根据相关问题去探究。 本报告主要涉及到一些方程求解的方法,比如初等行变换、回代法、高斯消元法、标准上三角形法等。同时还介绍了线性方程组在以下几方面的应用,在几何方面求点到平面的方程,空间中向量相关性的判别方法。 2.1线性方程组的一些性质线性方程组即一次方程组。线性方程组有一般形式、矩阵形式、向量形式。 含个方程,个未知量的线性方程组的一般形式为:表示未知量,称系数项,称常数项。将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解称为系数矩阵,在系数矩阵的右边添上一列,这一列是线性方程组的等号右边的值形成了增广矩阵。线性方程组也可以用矩阵表示。型线性方程组可表示为,称为线性方程组的系数矩阵;为线性方程组的增广矩阵;方程组的解是使矩阵等式成立的维向量。在矩阵形式下,对增广矩阵作初等变换不改变方程组的解。如矩阵和是行初等变换下等价的矩阵,即存在可逆矩阵,使,则线性方程组是等价的线性方程组。线性方程组也可以用向
毕业论文开题报告 信息与计算科学 分块矩阵的初等变换及其应用 一、选题的背景、意义 1．选题的背景 在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。 通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。 2．选题的意义 矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用[1]。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 分块矩阵及其初等变换 2.1.1 分块矩阵的定义： 将一个分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为A 的子块。以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。 我们将单位矩阵E分块：
??? ? ? ??=s r r E E E 0 00 001O ，其中E r 是r i 阶单位矩阵(1 矩阵的秩的性质和 矩阵秩与矩阵运算之间的关系 要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。” 那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质： 1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。 2、秩为r 的n 级矩阵（n r ≥），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r 阶子式不为0. 3、)}(),(min{)(B rank A rank AB rank ≤ )'()(A r a n k A r a n k =，)()()(B rank A rank B A rank ±=± )()(A rank kA rank = 4、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则+)(A rank )}(),(min{)()(B rank A rank AB rank n B rank ≤≤- 5、设A 是n s ?矩阵，P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵，则 )()()(A rank AQ rank PA rank == 6、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且AB=0，则 n B rank A rank ≤+)()( 7、设A 是n s ?矩阵，则)()'()'(A rank A A rank AA rank == 其中，也涉及到线性方程组解得问题： 8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A ，n A rank =)( 则方程组有惟一非零解，n A rank <)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则， 非齐次线性方程组有解时，n A rank =)(惟一解，n A rank <)( 有无穷多解。 还有满秩矩阵： 9、可逆?满秩 10、行（列）向量组线性无关，即n 级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n 。 扩展到矩阵的分块后： 11、110(A )(A )0n n A rank rank rank A ?? ?=++ ? ??? 12、()()0A C rank rank A rank B B ??≥+ ??? 矩阵秩的8大性质: ①A,宀)冬mini加小I ; ③若A?叭则R(A) = K(B)j ④若可逆?则R(PAQ) = R(A), 下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质： ⑤maxi R( A )>R(B)|^J R(A t B)^J R(A) + P (B), 特别地，当 B = b为非零列向量时，有 R(A)MR(A』)MR(A)+ 1. ⑦R(AB)^min{K(A)t K(B)|,(见下节定理7) ⑧若A…B“二0,则R(A) + R(B)Mm(见下章例13) 设AB= O■若A为列满秩矩阵，则B-0. 线性方程组的解: 定理3 H元线性方程组A x=& (i)无解的充分必要条件是K(A)CR(A』)； (ii)有惟一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b)=n; (iii)有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A』)Cr?? 定理4 n元齐次线性方程组Ax=OW零解的充分必要条件是R(A)Cm ￡35翹方聽AE鬧械酬髓件默⑷=R(A" 定理6解方gAX=￡有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B). 定理7 ?AB = C,则R(C)Wmin|R(A),R(B)h 向量组的线性相关性: 定鰹1向跖能由向量组严心线憐示的充分必要桑件是 j￡^A=(a H fl J1? 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤?? ?? ? ? ?----=11 145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1 1564321 3-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0,r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0. A ≠?? ? ?? ??=000007204321B 0 2021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ????? ??=10 010011 C 1 250 3400 0D ?? ? = ? ?? ?2 123508153000720 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2 R D =()3 R E = 浅析分块矩阵的应用开题报告 开题报告 浅析分块矩阵的应用选题的背景、意义 1、选题的背景 矩阵(Matrix)本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用,比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统(有深圳网域提出)等等。“矩阵”的本意也常被应用,比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。 矩阵理论是经典数学的基础,也是实用性最强的数学分支之一,是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具.矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用.计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展. 为了便于分析和计算,根据矩阵的特点和实际运算的需要,用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵,以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。这些运算会使许多问题化繁为简。 2、选题的意义 矩阵理论是经典数学的基础,也是实用性最强的数学分支之一,是处理大 量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具.矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用.计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展. 为了便于分析和计算,根据矩阵的特点和实际运算的需要,用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵,以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。这些运算会使许多问题化繁为简。 分块矩阵是一个矩阵,它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。然后把每个小矩阵看成一个元素。 由矩阵A的若干行、若干列的交叉位置元素按原来顺序排成的矩阵称为A的一个子矩阵。把一个矩阵A的行分成若干组,列也分成若干组,从而A被分成若干个子矩阵,把A看成是由这些子矩阵组成的,这称为矩阵的分块,这种由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1分块矩阵概念介绍 2.1.1 分块矩阵概况 把一个大型矩阵分成若干小块,构成一个分块矩阵,这是矩阵运算中的一个重要技巧,它可以把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算,使运算更为简明。 首先通过例子说明矩阵分块的基本思想。 对于一个矩阵A,在A的行之间加入条横线,在A的列之间加入条竖线,则 A被分成个小矩阵,一次记为:。此时A可写成 。 把A视作以为元素的形式上的矩阵,称之为分块矩阵,或称为对A的分块,每个小块称为A 的子块。 2.2矩阵产生的历史背景 詹姆斯?约瑟夫?西尔维斯特(//.vester,1814-1897)出生于英国伦敦的一个犹太人家庭。西尔维斯特一生致力于纯数学的研究,他在不同领域里孕育了丰富的矩 本科数学论文开题报告 选题的意义及研究状况 意义： (1)通过对若尔当标准型理论的深入研究，有助于对若尔当标准型的进一步和巩固，能更好的体现数学的思想方法在科技，生活各个方面的应用。通过对若尔当标准理论应用的学习，有助于更好地理解数学和生活的密切联系，提高逻辑思维能力，从而更好地处理问题。比如对若尔当标准形的推导过程和过渡矩阵的求法及在n阶矩阵中标准形的求法 研究状况： 若尔当标准型理论是以矩阵的若尔当标准型为基础的一种数学思想方法。矩阵其中有王莲花发表的关于若尔当标准形与有理标准形的探究及其他数学家在若尔当标准形上进行的一系列关于矩阵的秩和正交矩阵个方面的应用。 主要内容、研究方法和思路 主要内容： (1)矩阵的历史背景和发展状况，矩阵若尔当标准形的基本定义及计算; (2)矩阵若尔当标准形的求法; (3)依据具体实例论述若尔当标准形理论的应用，并阐述自己的观点见解。 研究方法： (1)文献资料法：搜集整理相关研究资料，为研究做准备; (2)总结说明法：对微积分中值定理的推广及应用进行逻辑分析。 思路：首先说明若尔当标准形理论是以矩阵的若尔当标准形为基础的一种数学思想方法，矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要组成部分，然后说明它通过数字矩阵的相似变换得到，那么可以知道矩阵的标准形具有结构简单、易于计算等优点，尤其关于化矩阵为若尔当标准形的理论及方法，然后着重总结说明矩阵的若尔当标准形在线性代数上的广泛应用，例如解矩阵方程，求矩阵的秩，分解矩阵等。 准备情况(已发表或撰写的相关文章、查阅过的文献资料及调研情况、现有仪器、设备情况等) [1]王莲花，矩阵的若尔当标准形与有理标准形的关系探究[j]，《河南教育学院学报(自然科学版)》，XX(03) [2]王英，若尔当标准形问题新探[j]，《湖南理工学院学报(自然科学版)》，XX(01) [3]顾江永，若尔当标准形的一个标注[j]，《河南教育学院学报(自然科学版)》，XX(04) [4]高芳征，常瑾瑾;若尔当标准形的标注[j]，《安阳师范学院学报》，XX(02) [5]北京大学数学系几何与代数小组，高等代数[m].北京: 鞍山师范学院 本科毕业生毕业论文开题 报告 题目：浅谈矩阵的秩及其应用 系别：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 年级：13级2班 姓名：杨笑 导师：张立新 （一）选题意义 1. 理论意义： 高等代数作为数学专业基础课程之一，矩阵理论又是它主要的内容，其中矩阵的秩特别重要，它是反映矩阵固有性质的一个重要概念。不管是数学专业还是非数学专业，掌握矩阵的秩的定义以及简单性质，有助于我们解决一些基本的矩阵的秩的相关问题。通过本篇论文,可以让我们对矩阵的秩有更加深刻的理解,及灵活运用矩阵的秩分析相关问题有一定的意义和作用。 2. 现实意义： 矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始末，是矩阵的一个重要的本质属性，在解线性方程组，判断线性空间中点线面的位置关系，以及在解析几何中，判断空间两直线位置关系等领域都有广泛的应用。 （二）论文综述 1、国内外研究现状及分析： 矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具。最初，矩阵概念的产生是作用于解线性方程组，英国数学家凯莱在矩阵论的研究中作出了巨大贡献，定义了矩阵的秩、初等因子、矩阵初等变换等概念，并且讨论了矩阵初等变换的一些重要性质，同时，弗罗伯纽斯的贡献也不是不可磨灭的，在凯莱的基础上，引进了正交矩阵、矩阵的相似变换等概念，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。矩阵本身所具 有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。 矩阵的应用也是相当广泛的，不仅仅是在数学领域，在物理、力学、科技等方面也发挥了不可忽视的作用，目前，虽然很多数学家在矩阵的秩的研究中做出了很多贡献，但是，矩阵的秩作为矩阵的一个重要性质，在高等代数、几何空间、数学分析等方面都有密切关系，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用。在解析几何中,矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。在控制论中,矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的。此外,矩阵的秩也可用来判定向量组的线性相关性、两个向量组之间的等价、求向量组的极大无关组、向量组的线性表示、求齐次线性方程组的基础解系、求解非齐次线性方程组等等。分块矩阵是矩阵论中一个比较重要的内容，它的应用研究非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中分块矩阵的应用更加广阔，例如在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要是在证明和计算等方面。如研究用分块矩阵解决行列式和方程组等问题，研究用分块矩阵解循环分块矩阵方程问题，研究用分块矩阵求逆矩阵问题。但在分块矩阵的推广方面很少有研究，难以创新，但分块矩阵的应用的研究不能仅仅停留于现在这个程度，应该使其推广和应用到其它领域之中，使之能够成为我们学习和研究便利的工具。所以矩阵依然有着很大的研究价值。 毕业设计（论文）材料之二（2） 本科毕业设计(论文)开题报告 题目：矩阵的特征值与特征向量 的理论与应用 课题类型：科研□ 论文√ 模拟□ 实践□ 学生姓名：王家琪 学号：3090801105 专业班级：数学091 学院：数理学院 指导教师：万上海 开题时间：2013年3月16日 2013 年3月15日 开题报告内容与要求 一、毕业设计（论文）内容及研究意义（价值） 矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特征向量应用于方程组的求解问题是高等代数中的重要内容。 随着计算机的迅速发展 , 现代社会的进步和科技的突飞猛进 , 高等代数作为一门基础的工具学科已经向一切领域渗透 , 它的作用越来越为世人所重视。在多数高等代数教材中,特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换A的特征值与特征向量；而在大部分线性代数教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n阶矩阵A的特征值与特征向量.从理 论上来讲,只要求出线性变换A的特征值与特征向量,就可知矩阵A的特征值与特征向量,反之亦然。因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性。 物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题。又特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，给出一种能够迅速找出特征值和特征向量以及它们在解题解决一些复杂问题方面有较其他方法更为方便实用的地方。 二、毕业设计（论文）研究现状和发展趋势（文献综述） 汤正华[1]在2008年讨论了矩阵的特征值与特征向量的定义、性质；特征值与特征向量的求法等问题。 李延敏[2]在2004年通过对矩阵进行行列互换，同步求出矩阵特征值与特征向量，解决了不少带参数求特征值问题，并给出一些新定理。 赵院娥、李顺琴[3]在2009年进一步研究几种矩阵的特征值问题。邵丽丽[4]在2006年通过对n阶矩阵的特征值与特征向量的研究，针对n阶矩阵的特征值与特征向量的应用进行了3方面的探讨，并给出了相关命题的证明及相应的例题。 黄金伟[5]在2007年给出求解矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法：列行互逆变换方法与列初等变换方法。向以华[6]在对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，同时讨论了反问题。 张红玉[7]在2009年通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值，再由特征值与正定矩阵关系得出正定矩阵的结论。王英瑛[8]在2008年利用矩阵的初等变换理论，详细讨论了矩阵特征值和特征向量的求法。 夏慧明、周永权[9]在2008年提出一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法。郭华、刘小明[10]在2004年从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用。 岳嵘[11]在2007年通过对已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及 k 个特征向量，给出矩阵A的计算公式，并给出证明及应用举例。 1 贤锋[12]在2006年通过建模实例介绍了最大特征值及特征向量的应用。 王秀芬[13]在2004年推导出一种方法，通过此方法可以利用特征值与特征向量 高等代数第二次大作业 1120133839 周碧莹30011303班 矩阵的秩的性质 1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。 2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 证明：设矩阵A的行向量组是a 1，…,a s. 设A经过1型初等行变换变成矩阵B， 则B的行向量组是a 1，…,a i ,ka i +a j ,…,a s .显然a 1 ，…,a i ,ka i +a j ,…,a s 可以 由a 1，…,a s 线性表处。由于a j =1*(ka i +a j )-ka i ,因此a 1 ，…,a s 可以由 a 1，…,a i ,ka i +a j ,…,a s 线性表处。于是它们等价。而等价的向量组由相同的 秩，因此A的行秩等于B的行秩。 同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。 3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。 证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式? 第一个问题： 设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价! 第二个问题以一个具体例子来说明。 例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。矩阵的秩的性质
(线性代数)矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系
矩阵的秩及其求法
浅析分块矩阵的应用开题报告
本科数学论文开题报告.doc
浅谈矩阵的秩及其应用的开题报告汇总
矩阵的特征值与特征向量的理论与应用开题报告
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
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