山西师范大学本科毕业论文
浅谈矩阵的秩及其应用
姓名李欢
院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学
班级07510101
学号0751010125
指导教师张富荣
答辩日期2010.12.20
成绩
浅谈矩阵的秩及其应用
内容摘要
矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。
论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。
本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。
【关键词】矩阵矩阵的秩线性方程组非零子式的最高级数初等变换
A Brief Introduction on the rank of Matrix and the
Application of the rank of Matrix
Abstract
In matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations.
At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations.
In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application.
【Key Words】matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation
目录
一、引言 (01)
二、矩阵的秩的有关概念 (01)
三、矩阵中的相关定理及命题 (02)
四、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣的比较 (03)
(一)矩阵的秩两种计算方法 (03)
(二)两种计算方法的优劣比较 (04)
五、矩阵运算中矩阵的秩的关系 (05)
六、矩阵秩的应用 (08)
(一)矩阵的秩在线性方程组中的应用 (08)
(二)矩阵的秩在解析几何中的应用 (10)
(三)矩阵的秩在其它方面的应用 (10)
参考文献 (12)
致谢 (12)
浅谈矩阵的秩及其应用
学生姓名：李欢 指导老师：张富荣
一、引言
矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。许多学者都认为，“在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且是初等变换下的不变量，矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况有密切的联系”。分析矩阵的秩在行列式、线性空间中的应用，可以将有关行列式、线性方程组问题转化矩阵的问题来解决,可以省略一些中间过程，减少计算量，使复杂的问题简单化，有利于线性代数的学习。
深刻地理解矩阵的秩会对学习、研究线性代数后续课程有很大帮助。
二、矩阵的秩的有关概念
为了介绍矩阵的秩，首先介绍k 级子式的概念
定义1[1] k 级子式 在m n ?阶矩阵A 中任意选定矩阵的k 行和k 列,将位于这些所选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序组成的一个新的行列式,称为矩阵的的一个k 级子式。
定义2[2] 矩阵的秩 设m n A F ?∈所含的非零子式的最高阶数为r ,则称r 为矩阵A 的秩,记为ra n kA .当0A =时,A 不含任何非零子式,定义矩阵A 的秩为0，记为 0rankA =.
矩阵的秩可分为行秩和列秩。所谓矩阵的行秩是将矩阵的每一行看成一个向量,那么该矩阵就可以认为是由这些行向量组成的,这些行向量组的秩就是矩阵的行秩；同样,将每一列看成一个向量,那么列向量组的秩就是矩阵的列秩。我们将行秩与列秩统称为矩阵的秩。
简单地说,矩阵的行秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的列向量的个数。
显然，m n ?阶矩阵A 的非零子式的最高阶数比,m n 中的任何一个都小，可记为
{}min ,rankA m n ≤.若m n ≤,当rankA m =时称A 为行满秩,同样，若n m ≤，当
r a n k A n =
时称A
为列满秩；如果m n =,并且当ra n kA 达到最大值n 时，称A 为满秩
方阵。
例 对于矩阵
11231
0111
3A ?? ?= ? ??
?
矩阵1A 的行向量为()()()123123,101,113ααα===,计算可得，向量组123,,ααα的秩为3,那么可知，矩阵1A 的行秩为3.
矩阵1A 的列向量为1231231,0,1113βββ??????
? ? ?
=== ? ? ? ? ? ???????
,计算可得，向量组123,,βββ的秩为
3,那么可知，矩阵1A 的列秩为3.
21111011110010
1A ?? ? ?= ? ???
矩阵2A 的行向量
()()()()12341111,0111,1
00
1,0
00
1αααα====,
1234,,,,3
αααα经计算向量组的秩为,则矩阵2,3A 的行秩为.
矩阵2A 列向量为123411110111
,,,10010001ββββ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
,经计算向量组
1234,,,ββββ,的秩为3,则矩阵2A 的列秩为3.
三、矩阵中的相关定理及命题
命题1[1]一个矩阵的秩为r 等价于该矩阵存在一个非零的r 级子式,而所有的1r +级子式(若矩阵存在1r +级子式)全都为0.
命题2 矩阵经初等变换后，矩阵的秩不发生改变. 定理1[1] 矩阵的行秩和列秩是相等的. 证明[1] 设所讨论的矩阵为
1111
n m m n a a A a a ??
?= ? ???
而A 的行秩为r ,列秩为1r .要证1r r =,先证1r r ≤.
以12,,,m ααα 代表矩阵A 的行向量组,不妨设1,,r αα 是它的一个极大线形无关组。因为1,,r αα 是线性无关的,所以
110r r x x αα++=
只有零解,这也就是说,齐次线形方程组
1112121121222211
2200
r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??
+++=??
?
?+++=? 只有零解.
则方程组的系数矩阵11
11r n
rn a a a a ??
?
? ???
的行秩.r ≥因此在它的行向量中可以找到r 个是线性无关的,比如向量组
()()()112111222212,,,,,,,,,,,,r r r r rr a a a a a a a a a
线性无关，在这些向量上再添加若干个分量后所得的新的向量组
()()()11211112222212,,,,,,,,,,,,,,,,,,r m r m r r rr mr a a a a a a a a a a a a
依然是线性无关的。并且它们正好是矩阵A 的r 个列向量,由于它们的线性无关性，由此可知矩阵A 的列秩1r 至少是r ,也就是说1r r ≤.
同理可得1r r ≤.这样就证明了1r r =,进而说明矩阵行秩与列秩相等。 由此可以看出上例中12,A A 的行秩和列秩相等绝非偶然情况，而是对任意的矩阵都有行秩等于列秩。因此，我们将矩阵的行秩和列秩通称为矩阵的秩,且三者相等。
定理2[1] n n ?阶矩阵
1111
n n nn a a A a a ??
?= ? ???
的行列式为零的充要条件为rankA n <.
证明[1] 充分性 因为矩阵的秩等于矩阵的行秩,且rankA n <,所以矩阵的行秩小于n ,因此可知矩阵的行向量组是线形相关的,由行列式的性质可得,矩阵A 的行列式为零。
必要性 用数学归纳法证明
当1n =时,矩阵为零,结论显然成立。 假设结论对1n -成立。讨论n 的情形,若第一列元素均为零,则rankA n <.若存在不为零的元素,不妨设110a ≠利用初等变换将其余各行的第一列元素消成零, 则
11
121'
'
22
2'
'
22211'
'
2
''200
n n n n nn
n nn a a a a a a a A a a a a a
=
=
其中()''
12111
0,i i in i a a a a αα=-
,2,,.i n = 且12,,,n ααα 为矩阵A 的行向量。
因为矩阵的行列式为零,所以
'
'
222''
2
n n nn
a a a a =
由归纳假设''
222''
2
n n nn a a a a ??
?
? ???
的行向量线性相关。 因此，向量组
12121111
11
,,n n a a a a αααα-
-
线性相关，进而可得出12,,,n ααα 也是线性相关的，即rankA n <. 由归纳假设可得结论对任意n 得都成立。
由定理2可得出推论,0A ≠的充要条件是.rankA n =
四、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣比较
(一) 矩阵的秩的两种计算方法
方法一 求矩阵A 的非零子式的最高级数
由定义知，矩阵A 的秩为矩阵中存在的非零子式的最高级数。又根据命题1可知
若一个矩阵的秩为r 等价于矩阵中有一个r 级子式不为0,同时所有的1r +级子式全都为0.因此,我们可以得到计算矩阵的秩的一种方法，若存在r 级子式不为0,而所有的1r +级子式(如果有的话)全部为0,那么矩阵A 的秩即为r .
方法二 进行初等变换
由上述定理可知，矩阵的秩等于矩阵行秩或列秩,且由命题2可知矩阵经初等变换后矩阵的秩不发生改变,因此，我们可以得到计算矩阵的秩的另一种方法，利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵,所得矩阵中的非零的行数或列数即为矩阵的秩。
对于上述所给的例子 对于矩阵1A
11231
0111
3A ?? ?= ? ??
?
方法一 因为 1
2
3
101201
1
3
A ==-≠
所以3rankA ≥,又因为该矩阵不存在4级子式,因此得出13rankA =.
方法二 11
231231
231
010*******
301
000
2A ??????
? ? ?=→→ ? ? ? ? ? ??
??
??
?
矩阵有3个非零的行向量,因此行秩为3,从而矩阵的秩为3.
对于矩阵2A
211110111100100
1A ?? ?
?= ? ???
方法一 因为211110*********
1
A =
= 所以24rankA <.
对于2A 的3级子式由16种可能,取1,2,4行和1,3，4列计算得111
011100
1
=≠
所以23rankA =.
方法二 211111111111101110111011
10010110000100010001000
0A ?????? ? ? ?
? ? ?=→→ ? ? ? ? ? ???????
3,3, 3.矩阵有个非零的行向量因此行秩为从而矩阵的秩为
(二) 两种计算方法的优劣比较
对于两种方法,初等变换逻辑性不强,没有层次感,相比之下求k 级子式，直接明了易于理解。
当矩阵阶数3≤时,两种方法相差无几,计算量与难度也相差不大。而当阶数>3时,初等变换法明显优于求矩阵的k 级子式,并且随着阶数的增加两种方法的难度差
距也随之增大。对于n 阶矩阵，若行列式不为零,它的1n -级子式有11
n n C C 种可能,2n -级子式有22n n C C 种可能,其他子式的可能情况更多,因而用这种方法的计算量比较大,相对的正确率也比较低,而用初等变换的方法步骤简练,中间过程比较少,相对来说计算量比较小,出错的可能性也比较低。
因此, 求k 级子式的方法有局限性，相对而言初等变换的方法优于求非零子式最高级数的方法。
3,3, 3.矩阵有个非零的行向量因此行秩为从而矩阵的秩为
五、矩阵运算中矩阵的秩的关系
(以下讨论的关系中,A B 均为可进行运算的矩阵) 关系1 {}min ,rankAB rankA rankB ≤.
证明 若能证明rankA B rankA ≤,rankA B rankB ≤则可证明结论成立。 以rankA B rankA ≤为例
11111
11
1
,m n s sm m m n a a b b A B a a b b ????
? ?== ? ? ? ?????
令12,,,m A A A 表示A 的列向量,12,,,n M M M 表示A B 的列向量,计算可得
1122i i i im m M b A b A b A =+++ ,()
1,2,,i n =
也就是说，A B 的列向量组 12,,,n M M M 可以由A 的列向量组 12,,,m A A A 线
性表出,所以
rankA B rankA ≤.
同样,可得rankA B rankB ≤,因此得出{}min ,rankAB rankA rankB ≤.
关系2 ()rank A B rankA rankB +≤+.
证明 令A 的列向量组为12,,,,m A A A 12,,,,s A A A 且极大线性无关组为B 的列向量为12,,,m B B B 12,,,t B B B 且极大线性无关组为则A B +的列向量为
1122,,,m m A B A B A B +++ .
因而可以得A B +的列向量组
1122,,,m m A B A B A B +++ ,
可以由12,,,,s A A A 12,,,t B B B ,线性表出,
即 ()rank A B rankA rankB +≤+.
结论成立。
关系3 rankA B rankA rankB n ≥+-. 证法一
()A
O A O A
AB rankA rankB rank rank rank rank AB n O
B E
B E
O -??????
+=≤==-+
? ? ???????
因为
()rank AB rankAB -=
所以
rankA B rankA rankB n
≥+-.
证法二 设rankA s =,rankB t =,rankA B r =， 因此 存在可逆矩阵,P Q 使得
s
E O P A Q O
O ??=
???
, 令()1s m
n s m
B Q B B
?--???=
? ???
,则
()1
s m
s
s m n s m B E O B PAB PAQ Q B B O
O O ??--???????
=== ?
? ? ????
??? 因此可得
()()()s m rank B rank PAB rank AB r ?===,而1rankQ B t -=,
所以()n s m B -? 中的线性无关的行数为t r -,而总行数为n s -，可以得出
n s t r
-≥-.即
r t s n
≥+-.
结论成立。
关系4 若AB O =,则
+≤. 证法一 AB O =可得0rankA B =， 由关系3可得rankA rankB n +≤.
证法二 12,,,n B B B 表示矩阵B 的列向量,则
()()1212,,,,,,n n AB A B B B AB AB AB O
=== ,
因此有12n AB AB AB O ==== .
12,,,.n AX O n B B B = 即齐次线性方程组有组解
设rankA s =, n s -可知方程的基础解系所含向量的个数为,则12,,,n B B B 可以由n s -个,rankB n s ≤-线性无关的解向量线性表出则,即
rankA rankB n +≤.
关系5 若2
A E = 则()()rank A E rank A E n ++-=.
证明 由2
A E =可得2A E O -=,进而可得()()A E A E O -+=,
由关系4得 ()()rank A E rank A E n ++-≤.
又因为()()2A E A E E +--=,可得()()2A E E A E ++-=,且
()2rankE rank E n ==,()()rank A E rank E A -=-,
由关系2得
()()rank A E rank A E n ++-≥.
所以
()()rank A E rank A E n ++-=.
关系6 若2
A A = 则()rank A E rankA n -+=.
证明 由2
A A =可得2A A O -=,进而可得()A A E O -=
由关系4得 ()rankA rank A E n +-≤.
又因为()A A E E --=,可得()A E A E +-=且
rankE n
=,()()rank A E rank E A -=-.
由关系2得()rankA rank A E n +-≥,
所以 ()rankA rank A E n +-=.
关系7 T rankA rankA A =.
证明 利用方程组同解进行证明，
若α方程组A X O =的任意非零解，有A O α=，那么T A A O α=,则α也是方程组 T
A AX O =的非零解。
若β方程组T A AX O =的任意非零解，有T A A O β=，在T A A O β=的两边同左乘T β得T T A A O ββ=,即()T
A A O ββ=.由此可得β方程组A X O =的非零解。
可以看出，方程组A X O =与方程组T A AX O =同解，则两个方程组基础解系所含向量的个数相同。
因为方程组的基础解系所含解的个数等于方程组未知量的个数减去系数矩阵的秩，所以结论成立，即
T
rankA rankA A =
关系8 若A 是n s ? n n ?的列满秩矩阵当且仅当存在 阶可逆矩阵T 使得
s E A T O ??= ?
??
.
证明[3]
充分性 s E A T O ??
=
???
，其中T 为n n ?可逆矩阵，则
s s E E rankA rank T rank s O O ??????=== ? ? ??
?????,
所以矩阵为列满秩.
必要性 矩阵A 经过一系列的初等变换可以转化为 B ,B 的前n 行线性无关,于是存在n n ?阶可逆矩阵1M 使得112B M A B B ??
==
???
,其中1B 为s s ?阶可逆矩阵 令1
12
n s B O M O E --??= ? ??
?
，则有212
2s E M M A M B B ??
== ???
再令32s n s E O M B E -??=
?-??,则有32132s s E E M M M A M B O ????
== ? ???
?? 于是令111123T M M M ---=,则结论成立。
同样的，若A 是n s ?的行满秩矩阵当且仅当存在s s ?阶可逆矩阵T 使得 ()n E O T A =. 关系9 m n ?阶矩阵A 的秩为s ,则有m s ?的M 列满秩矩阵和s n ?的行满秩矩阵 N ,使得A M N =.
证明[3]由于rankA s =因此存在m m ?阶可逆矩阵1M 和n n ?阶可逆矩阵1N ，使得
()11s
s s E O E M A N E O O
O O ????==
? ?????
则有()1111s s
E A M E O N M N
O --??
==
???
,其中
11
s E M M O -??= ???
，()1
1s E O N N -=，
由关系8
可知，,M N 分别为列满秩和行满秩矩阵，则结论成立。分
六、矩阵秩的应用
()一矩阵的秩在线性方程组中的应用
矩阵与线性方程组有密切的关系,在判断线性方程组的解得情况时,矩阵的秩起
着十分重要的作用。
定理1[4]
线性方程组
1111221121122222
11
22n n n n r r rn n r a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
+++=??
+++=??
?
?+++=? .有解的充要条件为方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同
证明 必要性 记系数矩阵为A ,列向量组为12,,,n ααα ,增广矩阵为B ,列向量组为12,,,,n αααβ .则线性方程组可以写成
11n n x x ααβ
++=
由此可以看出β可以由12,,,n ααα 线性表出,因此,
12,,,n ααα 与12,,,,n αααβ
是等价的,因而有相同的秩,即
.rankA rankB =
充分性[4] 若rankA rankB =,说明12,,,n ααα 与12,,,,n αααβ 有相同的秩,,因而两个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数相同。
若12,,,s ααα 为列向量组12,,,n ααα ,的极大线性无关组则同时也是列向量组 12,,,,n αααβ ,的极大线性无关组因此可知， β可以由12,,,s ααα 线性表出,又因
为一个向量组与其极大线性无关组是等价的。于是，向量组12,,,n
ααα 与其极大线
性无关组12,,,s ααα 是等价的。
所以，β可以由12,,,n ααα 线性表出,即β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合,由此可以看出线性方程组有解。
例 对于方程组
1231231
23222
x x x x x x x x x λλλ++=??
++=??++=? 讨论λ,取何值时方程组有解。
解 系数矩阵
1
11
111
A λλλ?? ?= ? ??
?
增广矩阵
1121
1
211
2B λλλ?? ?= ? ??
?
若要方程组有解则需rankA rankB =.
22
1
1111
11
10110
111101
100
2A λ
λ
λ
λλ
λλλλλλλλ??????
? ? ?
=→--→-- ? ? ? ? ? ?--+-?????
?
2
2
1
121
1
21
12
1
1
201100
11011
201
1
2200
2
22B λλλλλ
λλλλ
λλλλλλ??????
? ? ?=→--→-- ? ? ? ? ? ?---+--?
??
??
?
由此可以看出
当1λ=时 1rankA rankB ==，方程组有无穷多个解。
当1λ≠,且2λ≠-时 3rankA rankB == 方程组有唯一解。 当2λ=-时 2rankA = 3rankB = 方程组无解。
对于非齐次线性方程组来说，A 为其系数矩阵，B 为其增广矩阵，当rankA rankB =时，若0A ≠,则方程组有唯一解，若0A =,则方程组有无穷多组解；当rankA rankB ≠时，方程组无解。
矩阵的秩不仅可以用来判断非齐次线性方程组有无解,而且还可以用来判断线性方程组解的情况，进而确定其通解的结构。以下定理可根据矩阵的秩判断解的情况。
定理2[1]
在齐次线性方程组 1111221211222211
220
n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??
+++=??
?
?+++=? ,在方程组有非零解的情况下方程组的基础解系所含解的个数等于n r -.其中A 为方
程组的系数矩阵,且r rankA =.
例 λ当取不同值时，计算下列齐次线性方程组的通解
1231231
2330230230
x x x x x x x x x λ++=??
-+=??++=? （1） 解 方程组的系数矩阵为A ，
3
11
23
23
1A λ??
?=- ? ??
? 计算系数矩阵的行列式,
()311231231
230
75
075
742
3
1
7
90
4
A λ
λλλ--=-=-=-=---
4,λ=当时0A =方程组有非零解，
3141231
231
2307507523
107
500
0A --??????
? ? ?=-→-→- ? ? ? ? ? ?-?
??
??
?
方程组的系数矩阵为A 2 1.的秩为，由定理可得方程组的基础解系所含解的个数为
则方程组化简为
12323230
750x x x x x -+=??
-=?
（2） 12方程组（）与方程组（）同解，且解为
132********x x x x x x ?
=-??
?
=??
=???
由于117571α??- ? ?
?= ? ? ? ???
线性无关，则可以作为方程组的基础解系，以X 表示方程组的
通解。
因此，方程组的通解为,X k α= 其中.k R ∈
当4λ
≠时，0
A ≠,方程组只有零解。
()二矩阵的秩在解析几何中的应用
,根据以上两个定理我们还可以将矩阵的秩应用到解析几何中，用来判断给出一般方程的空间两直线的位置关系。
如以下给出两条直线的一般方程
1111122220
:0a x b y c z d L a x b y c z d +++=??+++=? ； 333324444
0:0a x b y c z d L a x b y c z d +++=??+++=? ；
两直线的位置关系取决于方程组
11112222333344
440000
a x
b y
c z
d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +++=??
+++=??
+++=??+++=?
解的情况，而方程组解的情况又取决于方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩。
由于每个线性方程都代表一个平面,方程组表示两平面的交线，即所给出的直线 所以有
23,24rankA rankB ≤≤≤≤.
,A B 表示系数矩阵与增广矩阵。
若,,rankA rankB =表示方程组有解两直线有交点。 当2rankA rankB ==时,
,方程组有无穷多个解表明两直线重合。 当3rankA rankB ==时,
,方程组有唯一解表明两直线相交。
若,,rankA rankB ≠表示方程组无解两直线没有交点。 在此种情况下两直线异面或平行。
(三)矩阵的秩再其它方面的应用
1,rankA n A =、矩阵的秩与矩阵可逆若则可逆。
2、矩阵的秩与矩阵的伴随矩阵
A 为n n ?阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则 当rankA n =时，
*
.rankA n =
当1rankA n =-时，
*
1.rankA =
当1rankA n ≤-时，
*
0.rankA =
例 已知A 为n n ?阶矩阵且0A =，求*rankA .
解 由 0A =
可知 1rankA n ≤-.
当1rankA n =-时,
由矩阵的秩的定义可知，矩阵A 存在1n -级非零的子式， 因此
*
1rankA =.
当1rankA n <-时,
矩阵A 不存在级非零的子式 因此
*A O =,*
0.rankA =
3、矩阵的秩与特征值
若()rank E A n λ-<，可知0E A λ-=，A λ则为的一个特征值。
例[5] 设A 为n 阶方阵, A E ≠，且()()5rank A E rank A E n ++-=，求A 的一个特征值
解 因为 A E ≠, 所以 A E O -≠,
从而 ()0rank A E ->
，
故由 ()()5rank A E rank A E n ++-=. 得 ()5rank A E n +<
所以 50A E +=，
即 -5为A 的一个特征值。
矩阵的秩在线性代数中的应用非常广泛，除了在解线性方程组中的应用，矩阵
的秩还可以用来判断矩阵是否可逆,确定伴随矩阵的秩，通过矩阵的秩计算矩阵的特
征值……除此之外，矩阵在其它学科中，如经济学、控制论中也应用广泛。
参考文献：
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编王萼芳石生明修订高等代数-3版.[M]北京:高等教育出版社，2003，9。
[2] 李尚志编著线性代数[M]北京：高等教育出版社，2006.5。
[3] 黄光谷黄东李杨蔡晓英编高等代数辅导与习题解答[M]华中科技大学出版社，2005.3。
[4] 陈志杰编高等代数与解析几何(上册) [M] 北京：高等教育出版社，2008.12。
[5] 钱吉林编著高等代数题解精粹北[M]京：中央民族大学出版社，2002.10。
[6]闫国松矩阵的秩的两种常用求法之比较[J]-科技信息（学术版），2008（14）。
致谢：
大学四年的学习即将结束，经过将近半年的准备，我的毕业论文也
即将完成。由于是第一次做论文，对于论文的内容格式要求都不是很了解，在论文的完成过程中我得到了我的老师和同学们的帮助，在论文完
成之际我要对你们说声谢谢！
我要特别感谢我的指导老师张富荣老师，从选题到论文完成，张老
师利用自己的休息时间耐心的指导，帮我调整文章顺序，优化论文的结构，规范论文格式。在这里要表达我最诚挚的谢意!
还要感谢大学四年来我的辅导员和所有的代课老师，为我打下坚实
的数学专业知识基础。
最后我还要感谢数计学院和我的母校—山西师范大学四年来对我的
栽培。
摘要 本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。 关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组
Abstract This article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible. Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The System of linear equations.
目录 1 引言 (1) 2 预备知识 (2) 3 可逆矩阵的性质及其应用 (3) 4 行（列）满秩矩阵的性质 (5) 5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11) 5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11) 5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12) 5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15) 5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17) 参考文献 (20)
. I 矩阵秩的研究与应用 [摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。矩阵一旦确定秩也就确定了。它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。 本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。这里就不细说了，具体容还得从文章中来了解。[1][2][3] [关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。 矩阵秩的研究与应用
. I 1 前言 矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？ 本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。 理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。
tianpeng.72pines./ 从不同的角度看矩阵的行秩与列秩——兼论如何学好线性代数 线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？ 这本来应该是一个基本又简单的事实。但是，请回忆一下你当初初学线性代数时的容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当时又是怎样解决这个问题的？ 传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n 元数组引入向量，线性相关和无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。总之，一切以方程组为核心，给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方程组问题。 在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。下面简述两个典型的教材中的证明方法： 第一个证明来自志杰《高等代数与解析几何》。 证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关或无关性。 接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,…,ak，它们线性无关的充要条件是线性方程组a1×1+a2×2+…+akxk=0只有零解。而对矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k个列向量的线性相关或无关性。这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。同理矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩。 接下来，可以把A经过初等行变换和初等列变为只有对角线上有1或0，其它位置都为0的矩阵，在这个过程中行秩和列秩都不改变，从这个矩阵中看出行秩等于列秩，因此原来的矩阵行秩也等于列秩。 第二个证明来自北大数学系几何与代数教研室前代数小组编《高等代数》 证明：考虑线性方程组AX=0，首先证明如果未知数的个数超过A的行秩，那么它有非零解。设m*n阶矩阵A的行秩为r，考虑方程组AX=0，它由m个方程n个未知数组成。从A的行向量中选取r个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B，那么方程组AX=0和BX=0同解。这时，如果B的列数大于行数，那么方程组BX=0必有非零解，从而AX=0也有非零解。 接着证明行秩等于列秩。设m*n阶矩阵A的行秩为r，列秩为s。考虑A的任意r+1个列向量组成的矩阵C，因为C的行秩不大于r（因为C的行向量都是A的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0有非零解，这说明这r+1个列向量线性相关。所以A的列秩最大为r，即s<=r。同理可证r<=s，因此s=r。 有了行秩等于列秩的性质，完全可以用行秩或列秩定义矩阵的秩了。编写教材的人和老师们都认为，只要能够顺利定义出矩阵的秩，这个证明就足以满足初学时的需要了，既没有必要又没有条件再将它深入地挖掘下去。 但是它仍然让我困惑，即使把书上的这个证明看得明明白白，也不理解为什么行秩等于列秩。因为向量是个几何的概念，现在这个证明中看不出一点几何上向量的影子，这两个例子都依赖于线性方程组理论，都离不开高斯消元法，都是代数上的推导。虽然从代数上推导出了这个结果，但是在几何上我依然无法接受这个结果。矩阵的行向量和列向量“从图形上”到底是什么关系？可不可以让我一下子就能看出来它们的
山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用 姓名杨敏娜 院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学 班级11510102 学号1151010240 指导教师王栋 答辩日期 成绩
矩阵的秩及其应用 内容摘要 矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。 论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。 本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。 【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何
The Rank of Matrix and the Application of the Rank of Matrix Abstract The matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations. First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space. This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples. 【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry
关于矩阵秩的证明 -----09数应鄢丽萍 中文摘要 在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。 关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组
约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2） r(kA)=? ??=≠0 00 )(k k A r （3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0 (5) r ???? ??B O O A =r(A)+r(B)≤r ??? ? ??B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B) 矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。
定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得 ???? ??B O O A →???? ??B A O A →???? ??+B B A O A 即???? ??E E O E ???? ??B O O A ???? ??E E O E =??? ? ??+B B A O A 由性质5可得 r ???? ??B O O A =r ??? ? ??+B B A O A 则有r(A)+r(B)≥r(A+B) 定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m 阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB) 证：由初等变换可得 ???? ??O A B E n →? ??? ??-AB O B E n →???? ??-AB O O E n 即? ??? ??-s n E A O E ??? ? ??O A B E n ? ??? ? ?-m n E O B E ＝???? ??-AB O O E n 则r ???? ??O A B E n =r ??? ? ??-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)
百度文库-让每个人平等地提升自我 3 矩阵秩的研究与应用 [摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。矩阵一旦确定秩也就确定了。它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。 本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。[1][2][3] [关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。
百度文库-让每个人平等地提升自我 4 矩阵秩的研究与应用 1 前言 矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？ 本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。 理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。
https://www.doczj.com/doc/93270152.html,/ 从不同的角度看矩阵的行秩与列秩——兼论如何学好线性代数 线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？ 这本来应该是一个基本又简单的事实。但是，请回忆一下你当初初学线性代数时的内容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当时又是怎样解决这个问题的？ 传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n元数组引入向量，线性相关和无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。总之，一切以方程组为核心，给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方程组问题。 在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。下面简述两个典型的教材中的证明方法： 第一个证明来自陈志杰《高等代数与解析几何》。 证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关或无关性。 接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,…,ak，它们线性无关的充要条件是线性方程组a1×1+a2×2+…+akxk=0只有零解。而对矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k 个列向量的线性相关或无关性。这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。同理矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩。 接下来，可以把A经过初等行变换和初等列变为只有对角线上有1或0，其它位置都为0的矩阵，在这个过程中行秩和列秩都不改变，从这个矩阵中看出行秩等于列秩，因此原来的矩阵行秩也等于列秩。 第二个证明来自北大数学系几何与代数教研室前代数小组编《高等代数》 证明：考虑线性方程组AX=0，首先证明如果未知数的个数超过A的行秩，那么它有非零解。设m*n阶矩阵A的行秩为r，考虑方程组AX=0，它由m个方程n个未知数组成。从A的行向量中选取r个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B，那么方程组AX=0和BX=0同解。这时，如果B的列数大于行数，那么方程组BX=0必有非零解，从而AX=0也有非零解。 接着证明行秩等于列秩。设m*n阶矩阵A的行秩为r，列秩为s。考虑A的任意r+1个列向量组成的矩阵C，因为C的行秩不大于r（因为C的行向量都是A的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0有非零解，这说明这r+1个列向量线性相关。所以A的列秩最大为r，即s<=r。同理可证r<=s，因此s=r。 有了行秩等于列秩的性质，完全可以用行秩或列秩定义矩阵的秩了。编写教材的人和老师们都认为，只要能够顺利定义出矩阵的秩，这个证明就足以满足初学时的需要了，既没有必要又没有条件再将它深入地挖掘下去。 但是它仍然让我困惑，即使把书上的这个证明看得明明白白，也不理解为什么行秩等于列秩。因为向量是个几何的概念，现在这个证明中看不出一点几何上向量的影子，这两个例子都依赖于线性方程组理论，都离不开高斯消元法，都是代数上的推导。虽然从代数上推导出了这个结果，但是在几何上我依然无法接受这个结果。矩阵的行向量和列向量“从图形上”到底是什么关系？可不可以让我一下子就能看出来它们的秩是相等的？尽管经过了行列变换之后行列秩相等是显然的，但这个过程中却把原来的行列向量给变得面目全非了。 更有甚者，有些教材上竟然用矩阵的子式和行列式理论推导行秩等于列秩，由于这种证明过于复杂，这里就不列出了。 直到最近的一次偶然机会，又让我想起了这个问题。一开始，发现它和对偶空间与对偶映射有关系。记得当初学习线性代数时，直到最后才接触了一些有关对偶空间和对偶映射的知识，教材还写得十分抽象，以至于我们都囫
授课题目：第五节 矩阵的秩 教学目的：理解矩阵的秩的定义，掌握秩的求法，重点掌握线性方程组有解的充 要条件. 教学重点：掌握秩的求法和线性方程组有解的充要条件. 教学难点：线性方程组有解的充要条件. 课时安排：2学时. 授课方式：多媒体与板书结合. 教学基本内容： 2.5 矩阵的秩 1概念 定义1 在矩阵m n A ?中任取k 行k 列，位于这些行列交叉处的2 k 个元素按原次序组成的 k 阶行列式称为A 的k 阶子式.则A 中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为()R A ，并规定(0)0 R =. 注1） 若()R A r =，则A 中至少有一个r 阶子式不等于零；而若存在1r +阶子式，则所有的1r +阶子式全为0. 2）对m n A ?，有()m in (,)R A m n ≤. 3）()()T R A R A =. 4） 对于n 阶方阵A ，()R A n =的充分必要条件是0A ≠，故也称0A ≠的A 为满秩矩阵. 5) 定义1 对给定的m n ?矩阵A ，称其非零子式的最高阶数为A 的秩，记作()R A ，并规定(0)0R =.一些教科书称这样定义的秩为矩阵的行列式秩. 在第4章建立向量组秩的概念后，分别定义矩阵的行秩与列秩，届时指出矩阵秩就是其列向量组的秩或行向量组的秩. 6) 若发现A 有一k 阶非零子式，则必成立()R A k ≥. 2 计算 直接按定义去计算矩阵的秩，需要求出矩阵最高阶的非零子式，在一般情形下这决非轻而易举的事情，但对形状特殊的行阶梯形矩阵而言，这却是极为简单的. 性质1 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数. 定理1 矩阵经行初等变换后，其秩不变. 推论1 矩阵经列初等变换后，其秩不变. 推论2 设A 为m n ?矩阵，B 为m 阶满秩方阵, C 为n 阶满秩方阵，则 ()()()()r A r B A r A C r B A C ===.
矩阵的秩及其应用 摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。 关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式 引言： 阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵 的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。 1．矩阵的秩及其求法 1.1矩阵的秩的定义 定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。 定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。 定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。零矩阵的秩规定为零。 注：由定义可以看出
(1)若A 为n m ?矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法 定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。 方法1 按定义 例1.2.1 求矩阵A =?? ????????--413112212228 32的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式 12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式 13 1 2122832--=0，43112122232-=0，41312212 2 8 3 --=0，4 1112222 8 2 -=0 所以 ()2r A = 方法2 初等变换法 引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。 例1.2.1求矩阵23822122121314A -?? ??=-?? ????的秩 解 用“→”表示对A 作初等变换，则有 A →13142122122382????-????-??→131406440966????-????-??→131406440000?? ?? -??????=B ，在矩阵B 中易 知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式 1306 ≠0. 所以()2r B =, 可得
矩阵及其秩在高等代数中的应用 玲毓 师高等专科学校数学教育 摘要：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系。通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解。 关键词：矩阵；秩；变换；可逆
1 引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线 性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用。高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程它常见于很多科学中, 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的积的表示。 这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述。 2矩阵的基本理论 定义2.1 矩阵是一简化了的表格,一般地
111212122212 n n m m mn a a a a a a ? ? ? ??? 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列,共n m ?个元素,其中第i 行、第j 列的元素用ij a 表 示.通常我们用大写黑体字母,,A B C 表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用 m n A ?或() ij m n a ?表示.矩阵既然是一表,就不能像行列式那样算出一个数来. 定义2.2 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作0. 定义2.3 如果矩阵A 的行、列数都是n ,则称A 为n 阶矩阵,或称为n 阶方阵. 定义2.4 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵.若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得, AB BA I == 那么A 叫作一个可逆矩阵,而B 叫作A 的逆矩阵.用1 A -来表示. 定义2.5 主对角线上元素全为1的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为I ,即 1000100 1I ?? ? ?= ? ??? n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母a ,b ,x ,y 表示.向量中的元素又称为向量的分量.11?矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即()a a =. 定义2.6 把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵,记为T A ,即 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ?? ,11 21 11222212m m T n n mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 若方阵A 满足T A A =,则称A 为对称矩阵. 定义2.7n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线.n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记作A . 定义2.8 设有n 阶方阵 111212122212 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 的行列式A 有2 n 个代数余子式ij A （j i ,=1,2,…,n ）,将它们按转置排列,得到矩阵
矩阵的秩及其应用 摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。 关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式 引言： 阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵 的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。 1．矩阵的秩及其求法 1.1矩阵的秩的定义 定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。 定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。 定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。零矩阵的秩规定为零。 注：由定义可以看出
(1)若A 为n m ?矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法 定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。 方法1 按定义 例1.2.1 求矩阵A =?? ????????--413112212228 32的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式 12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式 13 1 2122832--=0，43112122232-=0，41312212 2 8 3--=0，4 1112222 8 2 -=0 所以 ()2r A = 方法2 初等变换法 引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。 例1.2.1求矩阵23822122121314A -?? ??=-?? ????的秩 解 用“→”表示对A 作初等变换，则有 A →13142122122382????-????-??→131406440966????-????-??→131406440000?? ?? -??????=B ，在矩阵B 中易 知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式 1306 ≠0. 所以()2r B =, 可得
求矩阵的秩的步骤 方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或。 m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。 设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。 定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。 定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r 当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。 当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。 矩阵的秩的应用 (一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 矩阵的秩对研究向量组间是否线性相关有重要的意义, 咱们可以通过把向量组转换成矩阵的形式，通过判断矩阵的秩的情况来间接判定向量组是相关还是无关的。那么我们首先从向量组之间的关系着手。 1.向量组间的关系 (1).定义[4]：若向量组A 中每个向量都可以由向量组B 线性表示，则称向量组A 组能由向量组B 线性表出。两个向量组若能互相线性表出，则称这两个向量组等价。 向量组中任何一个最大的线性无关组所含有的向量数称为这个向量组的秩。 (2).有关定理 ①[4]若向量组A 能由向量组B 线性表示，则知秩A ≤秩B ； ②[4]等价的向量组必等秩,但是其逆不真； ③[4]矩阵中行向量组的秩和列向量组的秩都等于其非零子式的最高阶数,所以矩阵的秩既等于其行秩(即其行向量组的秩),又等于其列秩(即其列向量组的秩)。 ④[4]一个向量组中，其任何两个极大线性无关组都是等价的。 2.判定向量组是否线性相关 利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性,通常用来判断有m 个n 维向量的向量组。 令12,(,,)m A =???L ，当()R A m =，此向量组1,2,,m ???L 是线性无关的，当 ()R A m <，此向量组是线性相关的。 例: 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)T T T t ?=?=?=。 （1）问t 的值取多少时，该向量组线性相关？ （2）问t 的值取多少时，该向量组线性无关？ 解: 1,2,3111111()12301213021A t t ???? ? ?=???=→ ? ? ? ?-???? 从最后一个矩阵可知： （1）t ≠5时，()3R A =,向量组线性无关； （2）t=5时，()2R A =,向量组线性相关。 3.根据矩阵的秩判断向量组线性相关性 利用矩阵的秩证明向量组的线性相关性，就是把向量组中每一个向量用矩阵形式表示出来，根据矩阵秩的性质，分析向量组间相关性。通常用于证明具有两对向量的向量组。 例: 设向量组123,,???是线性无关的，根据矩阵的秩的有关性质试证： 122331,,?+??+??+?也是线性无关的。 证明 令 112223331,,,βααβααβαα=+=+=+ 则 123123101(,,)(,,)110011βββααα?? ?= ? ??? 矩阵的秩及其多样性的解法 数学学院 数学与应用数学（师范）专业 摘 要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。 关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组； Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank. Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations; 引言、引理 矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。 矩阵的秩的等价刻划 设A F m n ?∈ ，则rank(A)=r ?A 中不为零的子式的最大阶数是r ； ?A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ? 存在可逆矩阵m n P F ?∈，m n Q F ?∈，使得000r E P A Q ?? = ??? ； ? A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r; 山西师范大学本科毕业论文 浅谈矩阵的秩及其应用 姓名李欢 院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学 班级07510101 学号0751010125 指导教师张富荣 答辩日期2010.12.20 成绩 浅谈矩阵的秩及其应用 内容摘要 矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。 论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。 本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。 【关键词】矩阵矩阵的秩线性方程组非零子式的最高级数初等变换 A Brief Introduction on the rank of Matrix and the Application of the rank of Matrix Abstract In matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations. At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations. In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application. 【Key Words】matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation 矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。 m× n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。 [1] 设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。 定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。 定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA，或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。 显然rA≤min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r 定理矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}; 当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。 当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。矩阵的秩在现实中的应用
矩阵的秩及其多样性的解法
浅谈矩阵的秩及其应用定稿
矩阵的秩
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