高等代数选讲心得体会

高等代数选讲心得体会

篇一：高等代数研究学习心得

浅谈高等代数研究的学习

如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。高等代数是数学中主干部分，其在科学技术中应用非常广泛，无处不在。

例如：二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。那什么是高等代数，它和初等代数又有什么联系呢？

初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数课本一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的

总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分:线性代数初步，多项式代数。

高等代数又是怎样发展起来的呢？

在高等代数中，一次方程组发展成为线性代数理论;而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。高次方程组发展成为一门比较现代的数学理论-代数几何。线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。

线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数

研究而引入和发展的。十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式的概念，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是"解行列式问题的方法"，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。而在欧洲，第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹。 1750年克莱姆在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性系统方程的重要基本公式。

1764年，Bezout把确定行列式每一项的符号

的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐

次线性方程，Bezout证明了系数行列式等于零是这

方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对

行列式理论进行系统的阐述的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。参照克莱姆和Bezout的工作，1772年，Laplace

在《对积分和世界体系的探讨》中，证明了Vandermonde 的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用r

行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列

式，这个方法如今仍然以他的名字命名。1841年，德

国数学家雅可比总结并提出了行列式的最系

统的理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学

家柯西，他大大发展了行列式的理论，在行拉格朗日

列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现

两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。

大约在1800年，高斯提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用"高斯"消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯- 约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan误认为是"高斯- 约当"消去法中的约当。

矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。

1848年，英格兰的 Sylvester首先提出了矩阵这个词，它于拉丁语，代表一排数。在1855年矩阵代数得到了Arthur

Cayley的进一步发展。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵的逆在内的代数问题。1858年，Cayley在他的矩阵理论文集中提出著名的Cayley-Hamilton理论，即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根。利用单一的字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式det=detdet为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值;给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值;研究了代换理论。

数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积的向量代数是由

Hermann Grassmann在他的《线性扩张论》一书中提出的。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为1的矩阵，或简单矩阵。在19世纪末美国数学物理学家吉布斯发表了关于《向量分析基础》的著名论述。其后物理学家狄拉克提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。

矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由Peano于1888年提出的。

了解了高等代数之后，它作为我们的一门课程我们又该怎么来学习它呢？如何学好该课程，这是学习者首先要面对的问题。高等代数具有很强的抽象性，正是这一点往往成为一些学习者的心理障碍。有人因为高中数学学得不是很好，因此在面对高等代数时，学习起来缺乏自信，不相信自己有能力看懂、学通这门课程。尽管高等代数是一门深奥的课程，但它又是一门有趣的课程。如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它。你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难。

对于每位踏入大学的同学来说，要从简单、基础的数学思维转到对高度抽象、复杂的高等代数的学习中确实有一定的难度，但似乎越难的学科越具有其独特的魅力，使你不断地掏出心思去学它、懂它、理解它、体会它，从而真正感到它的美。

求是学院理学系

20XX级数学与应用数学（2）班

李宇

学号：1220XX012078

20XX年12月

篇二：高等代数选讲

深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲

（20XX年10月重印版）

课程编号 23120XX9C

课程名称高等代数选讲

课程类别综合选修

教材名称高等代数选讲

制订人郭辉

审核方楚泽

20XX年4月修订

一、课程设计的指导思想

二、教学内容

篇三：高等代数选讲

深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲

（20XX年10月重印版）

课程编号 23120XX9C

课程名称高等代数选讲

课程类别综合选修

教材名称高等代数选讲

制订人郭辉

审核方楚泽

20XX年4月修订

一、课程设计的指导思想

二、教学内容

高等代数选讲心得体会

高等代数选讲心得体会 篇一：高等代数研究学习心得 浅谈高等代数研究的学习 如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。高等代数是数学中主干部分，其在科学技术中应用非常广泛，无处不在。 例如：二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。那什么是高等代数，它和初等代数又有什么联系呢？ 初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数课本一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的

总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分:线性代数初步，多项式代数。 高等代数又是怎样发展起来的呢？ 在高等代数中，一次方程组发展成为线性代数理论;而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。高次方程组发展成为一门比较现代的数学理论-代数几何。线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数

考研心得体会优秀3篇

考研心得体会优秀3篇 考研心得体会篇一 终于走完了历时约14个月的考研路，知道自己上岸的那一刻很开心很激动，同时也很感谢这一路走来学校领导老师的帮助和关心，感谢同学们的鼓励和理解，感 谢家人一直以来的支持和关爱。下面我将从择校问题、复习阶段、作息时间和心 态等几个方面来谈谈我的心得体会。 一、择校问题 可以先给自己选几个心仪的学校，看看这几所学校的招生专业目录、招生简章， 然后认真复习，先把专业课过完一轮，再找个时间看看想要报考学校的真题，结 合自己的兴趣、能力等方面慎重地选择学校。 二、复习阶段 1、英语 3月—6月：背单词。跟着朱伟老师的视频学习恋恋有词，并且坚持每天背单词。个人觉得这个课程在前期可以听一下，在学单词的同时可以学到一些语法、词根 词缀，我听了前20个单元的课程，后面感觉很多重复而且有许多都是题外话就没有继续跟课程了，自己反复地背单词。 6月—9月：做第一遍真题。在这个过程，只完成真题里的阅读部分。5天完成一 年真题的阅读，所以一天一篇阅读，剩下的一天做总结。我听的是唐迟老师的课，在最开始做题之前，先学习做阅读的方法，做一篇阅读的顺序：先题后文完成题目——听视频解析——找到答案出处——翻译全文——整理不认识的单词——总 结错误原因。 9月—11月：做第二遍真题+背作文。第二遍做真题的阅读部分，总结类型题和易错题。同时学习如何写作，每天背一点，前期跟的是新东方的王江涛老师的课， 后面发现何凯文老师讲的写作方式更适合自己，所以就两者结合了。

11月—12月：学习除了阅读、写作的其他部分，包括翻译、完形填空、新题型，继续背单词和作文。12月—考试前：总结阅读方法技巧、模拟写作、用真题模考。 2、政治 从八月份正式开始学习政治，听徐涛老师的课，刷肖秀荣的1000题，1000题我 一共刷了3遍，刷第二遍的时候把肖秀荣的书看了一遍。十一月底开始做肖四肖八，同时反复地看肖秀荣的知识点提要，大题只背了肖四，考前10天基本上每天都会花一整个上午的时间背政治。 3、数学分析 由于一开始定的学校是华南师范大学，所以从3月中旬到6月底用的复习材料是 华师的数分（刘名生等编），后面用回华东师大的数分，对比这两本书，我觉得 刘名生的教材会更容易懂一些，而华东师大的题目则更为经典。 3月—7月中旬：跟着扬哥的课程，认真详细地过了一遍课本，把课后题都做了。第一遍结束之后，上册看过的也忘得差不多了，所以我就抓紧开始了第二遍的学习。 7月中旬—9月：复习第二遍课本。第二遍自己看书，再重新把课后题做了一遍。结束第二遍课本复习的时候，感觉自己还是没有很好地把数分的整个框架建立起来，做到融会贯通，所以我又开始复习了一遍笔记。9月—10月中旬：复习数分 笔记。把记在笔记里一些重要的定理证了一遍，把题目也再做了一次。 10月中旬—12月：强化阶段，学习裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》我跟着扬哥的学习指导把书分成四本一点一点啃下来了。 12月—考前：做真题+复习笔记。 4、高等代数 用的教材是北大的第四版课本，中山大学最后一章是要考的，所以要根据自己报

学习多项式心得体会

学习多项式心得体会 篇一：数学分析习作课心得体会 “数学分析习作课”心得 ２０１５１９１０１５８统计学翟云 “数学分析习作课”这门课使我们能够更好的学习《数学分析》。《数学分析》课程量比较大，学习时间比较紧迫，平时的课堂学习不能将知识点详细的讲解给我们，如 果详细讲解的话便会花费太多时间，所以在数学分析习作课上我们就能通过老师以及助教的讲解充分的理解知识点，并在课堂上的习题讲解中得到运用。首先得到的知识讲解是在“极限与连续”这一章节中，变量与函数在初高中我们就已经大量的学习并基本掌握了，而“极限与连续”这两个知识点高中只是略微提及，而未曾深入讲解，在学习“极限与连续”的这一章节时，个人对于极限的定义难以理解，书上的定义描述根本无法理解：设为一无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数（不论它多么小），成立，那么就称常数a是数列或。总存在正整数n，使得当n>n时，均有不等式的极限，或称数列收敛于a。记作 但是上了数学分析习作课后，对于极限有了充分的认识，并且终于理解了“ε”这个符号所代表的意义，原先一直片面的认为是一个固定值，通过数学分析习作课现在能够比较熟练的解决极限定义问题了。

其次，《数学分析》这门课程中的柯西中值定理： 设函数 ⑴在闭区间 ⑵在开区间满足上连续；内可导； ⑶对任意，，那么在内至少有一点，使得 。 是一个重点并经常使用的定理，在运算方面我们容易忽略它的应用，通过习作课上的讲解与例题的实际运用，我们能够解决很多看似很难的题目。柯西中值定理之后的泰勒公式、拉格朗日余项和佩亚诺余项：其中， 表示 的余项，是的n阶导数，多项式称为函数的高阶无穷小。泰勒公式的余项在a处的泰勒展开式，剩余的可以写成： 在0和x之间）是泰勒公式拉格朗日（Lagrange）余项：????(x)= 佩亚诺(Peano）余项：????+1(ξ)??+1??，（其中ξ??+1!。 都是《数学分析》的难点，在对公式进行泰勒展开时容易弄错，尤其当具体表示出拉格朗日余项和佩亚诺余项时，最容易弄错，通过数学分析习作课的老师的讲解和对多到题的实际解决，是我们大体上能够熟练掌握和运用泰勒公式。实例：展开三角函数 解： 最后可得： ：

2高等代数论文

莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文题目：n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用 姓名：苏丽英 学号：410401307 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6 月25 日

摘要：本文先从n 维线性空间上的线线变换的核与值域出发，引出它们的一些 性质。通过几种类型的例题来加深对这些性质的理解。由解题的过程，可以总结出解决n 维线新空间的线新变幻的核与值域的一般方法与思想。 关键词：n 维线新空间 线新变换 值域 核 一．相关定义及性质。 文[1][2]给出了具体的关于n 维线性空间的线性变换的相关定义及性质。下面是性质的一个补充。 我们知道：若σ的n 维线性空间V 的线性变换，则σ（V ）和1(0)σ-是σ的不变子空间。若τ也是V 的一个线性变换，且τ与σ可交换，那么τ的值域和核是不是也是σ的不变子空间？ 命题一：若线性变换,στ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子[3]空间。 证明：ξ?∈1(0)σ-，则有 τ（σ（ξ） ） =τσ（ξ）=σ（0）=0 ∴σ（ξ）∈1(0)σ- ?τ（η）()V τ∈， σ（τ（η） ）=τ（σ（η））()V τ∈ ()V τ∴也是A-子空间。 二．有关核与值域的维数问题。 例一：设F 为数域，V=n F ，证明： 1）T(12,,,n x x x )=(1210,,,,n x x x - )是线性空间V 的一个线性变换，且 n T =0 2）求T 的核与值域TV 的维数。

证明：设α=（12n ααα+++ ）,V β∈=（12n βββ+++ ）V ∈。 T(αβ+)=(0,112211,,,n n αβαβαβ--+++ ) =(1210,,,,n ααα- )+(1210,,,,n βββ- )=T α+T β k F ?∈, 则T （k α）=（1210,,,,n k k k ααα- ）=k （1210,,,,n ααα- ）=kT α， ∴T 为线性空间V 的线性变换。 又由于2T （12,,,n x x x ）=T （1210,,,,n x x x - ）=（1220,0,,,,n x x x - ） 3T （12,,,n x x x ）=（1230,0,,,,n x x x - ） 0n T = 2)由T （12,,,n x x x ）=（1210,,,,n x x x - ）=0 则可得：121n x x x -=== =0 即：1(0)T -为由一切向量（0,0,,0,n x ）所作成的子空间 ∴它是一维的 又r(1(0)T -)+r(TV)=n ∴r(TV)=n-1 小结：通过本题的解答，我们知道了如何求解核与值域的维数（[4]）。 例二：（兰州大学2006年硕士研究生入学考试试题） 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，1V V σ=，2V =1(0)σ-分别是σ的值域与核，12,,,r ααα 是1V 是一组基，设12,,,r βββ 是12,,,r ααα 的原像， 令W=L （12,,,r βββ ），证明： 1）σ的秩+σ的零度=n 2）V=W 2V ⊕ 证明：设σ是零度为t ，且12,,,t ηηη 是它的一组基，则可扩充为 V 的一组基 12,,,t ηηη ，12,,,t t n ηηη+- ，且1()i ση-=0，1,2,i t = 。 从而1V =σ（V ）=L （12(),(),,()t σησηση ，12(),(),,()t t n σησηση++ ）

高等代数论文

安徽师范大学数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文 题目：对角化的讨论及应用 姓名：张为东 学号：120110111022 安徽师范大学数学与应用数学系 数学与应用数学专业2012级 2013年8月25日 对角化的讨论及应用

摘要：本文主要讨论了线性变换的对角化以及实以对称矩阵的对角化的问题,线性变换的对,角化实质上也是矩阵的对角化,分析对角化问题,讨论矩阵是否可与对角矩阵相似,若相似,则有相同的特征值,即可用一定的初等变换将之化为对角阵,以及对角阵在解题材上下班具有比较简便的求法,化一个矩阵为对角阵,不但可以使矩阵运算简化,而且在理论上和应用上都具有十分重要的意义 . 关键词: 对角化实对称矩阵特征值相似标准形式. ( 一 )线性变换的对角化.

1212111,dim(),(),(),()[],()()()(),, ,. :()()()()(),() ()t t j j t F n N L g x h x F x g h h g x x x x x l j x x x λλλννσνσσσσλλλσνννλλλλ+-+=∈∈∈=+++=----≠=- j j j,l 正文 一对角化的条件: 设是数域上的线性空间又设则多项式的运算满足乘法交换律知引理1,设是的两两不同的特征值则和是直和证明g 当时 g 令g 1212112,0 ,1,2,.()()()()00()(0)()()()()()()()() ()()()(),()0,0 ,,(j t l j lid l t t j j j j j j t j t c λαααλανσσσλασσααασασασασαλαλαμμμσν++=∈==-===++=++==≠= j j,l j j j j j j j j 这也是一个多项式,设其中由g g 有g g g g g 因为g g 而g 所以设是的所有的两两不同的特征值.记121212)()(),1,2,,(),()dim(),()(){,,}, ();(),()(,,)t j j j t j j t III III j t III c n III n III III III diag n μμμμννννννηηηνσηλησλλλσσ=⊕⊕==== j 若是的一个基,则将合并得到的向量组线性无关并且是的一组基: 引理2:如果而含有个向量.记则是的一组基记则在下的矩阵是推论:如果有个两两不同的特征值,则可对12121()():{,,},,,,,(),dim(()),,dim(),(), t n III VI c m c n F n N L σσσααααααννσννσνμ+∈=≥=∈∈ 角化. 证明:注意到特征子空间的维数是正整数,则此时每一个特征子空间的维数只能是1,故可对角化. 引理3:若有m 个向量,m

教育学考研心得优秀范文(精选10篇)

教育学考研心得优秀范文（精选 10篇） 教育学考研心得优秀范文篇1 考研的准备阶段是一个比较艰难，因为这是一个打持久战的过程，同时也很考验自己的意志力和心态。所以对于准备考研的人来说，确定自己的考研目标很重要。在准备考研的过程中我很清楚自己想要报考的院校，我原报考的院校是华南师范大学。初试成绩为325分，政治：72分；英语一：67分；数分：100分；高代：86分。 在前期我询问了很多已经考上华师的师兄师姐一些备考经验，准备好相关书籍。在20__年3月我开始进行备考。下面是各科科目的复习。 政治 政治不宜太早复习，我是在暑假开始复习政治的。政治的内容重在理解，在理解的基础上再进行背诵。前期我是听徐涛老师的课程大致熟悉知识点，再结合1000题进行练习，检查自己哪个知识点没有学好，前期做错的题目挺多的，到后面熟悉知识之后就还好。第二轮我是自己看书，主要看自己掌握得不牢固的地方，并开始记一些老师说的重点知识。等肖四肖八出了之后，就着重看肖四肖八，把自己在里面做错的题都弄懂，其次就是背诵肖四肖八，我主要背诵的是肖四的内容。个人认为肖四肖八押的题还是挺准的。 数分

我复习数分用的教材是华东师范版的。一轮的时候我都是每一章每一节每一道题都会细细看，刚开始的时候，很多题目都不会做，自己结合参考书弄懂自己做不出的题目考的是哪个知识点，然后再旁边做好标记，用不同标记表示自己不会的程度，一是完全不会，二是部分会做。第二轮我着重复习自己掌握得不好的内容，并根据自己之前标记的题目，在不看参考书的情况下再做一遍，对于仍然不会做的题目，我就把它写下来，然后再写下相关的知识点。第三轮的时候我开始做真题以及自己第二轮整理的题目。做真题的时候我发现华师真题的重现还是挺多的，所以我也比较重视真题，每做完一份真题我就总结它主要考了什么知识点，并把自己不会做的题目做好标记。真题我过了3遍，并整理了真题总结，最后临考试的时候我就着重复习自己整理的总结。 对于英语和高代 我考得不是很好，大家借鉴其他师兄师姐的经验或许会更好。对于高代我比较推荐李扬课程，里面有一些方法还是挺有用的。学无定法，大家还是应该根据自己的实际情况对自己的复习进度和方法进行规划。在准备考研过程中，自己也要学会保持良好的心态，不要给自己太大的压力，在我完成自己规定的计划我都会放松一下自己，比如看看搞笑视频、跑跑步、听听音乐之类的。 对于复试 因为一志愿没有进入复试，我选择了调剂。调剂也是一个煎熬的过程，在这一过程中我要不断地收集哪些学校需要调剂，然后再去申请，等待院校的复试通知，在等待地过程中也要主动地打电话询问填报院校的招生老师一些情况。同时，也要及时的询问老师，问问我们学校老师的一些意见和建议。等待虽然很煎熬，但是不要放弃，相信坚持总会有收获的。最后，我

数学与应用数学专业“高等代数”课程教学之我见

数学与应用数学专业“高等代数”课程 教学之我见 摘要：为了进一步提升高等院校数学与应用数学专业学生的学习成效，本次 研究中选择高等代数这一教学内容展开研究。文中先行了解了高等代数的内容， 随后分享了几项比较详细的教学策略，旨在借此为相关人员提供参考。 关键词：数学与应用数学；高等代数；教育 引言：高等院校教育教学中，尤其是偏理科方面的专业，高等代数均属于一 项十分重要的基础性课程。高校设计高等代数教学科目，主要是为了针对学生的 抽象能力、思维能力以及逻辑推理能力加以培养，且学好高等代数知识，对于后 续其他课程的学习具有十分显著的促进作用。另外，对于每个人来讲，高等代数 在日常生活中的应用也颇为广泛，因此提升高等代数的教学质量，也利于培育学 生生活自主能力，实现全面发展。鉴于此，本次研究展开具有重要现实意义。 一、高等代数概述 高等院校数学与应用数学专业教学中，高等代数属于初级代数教学内容的升 级内容，也是初级数学发展到高级数学的教学阶段总称，且学习中会出现线性代 数或是多项式代数等多个不同的分支[1]。随着高校教育事业的不断发展进步，高 等代数的应用范围也日渐扩散，无论是在理论教学还是实践操作等多个方面，均 已经具备相应经验[2]。但是，作为一名高校数学与应用数学专业的一名学生，想 要深度掌握和学习高等代数相关知识，就必须熟练掌握和运用大批量的概念和定理，尤其是抽象性较强的教学内容，也需要吃透、理解透[3]。因此，积极探索更 利于高校数学与应用数学专业高等代数的教学方法，就成为教师的重要工作内容。 二、数学与应用数学专业“高等代数”课程教学方法分析 （一）全面培育高校学生掌握一题多解能力

数学专业导论心得体会

数学专业导论心得体会 篇1： 数学与应用数学专业是一门理工结合的专业,主要学习基础数学和应用数学的基本理论.数学与应用数学专业培养学生的严密思维,主要学习的基础课程有:数学分析,高等代数,空间解析几何,常微分方程,复变函数,实变函数,数学物理方程,泛涵分析,专业课程有概率论与数理统计,现代控制理论,数值分析,随机过程,数学建模,最优化方法,离散数学,多元统计分析,数学软件实验,数字信号与图象处理.学习本专业会让学生具有扎实的数学基础,熟练的科学工程计算技术和熟练使用计算机软件的能力。 数学的发展史，18世纪的西方是各种科学综合发展的世纪，数学已经渗透进各门学科，在物理，化学、天文等各门学科中数学的地位日显重要，各种事物也离不开数学。18世纪主要以微积分发展为主，欧洲各国循着不同的路线前进。针对曲线作为微积分的主要研究对象发生转折，欧拉则第一次把函数放到了中心的地位，并且是建立在函数的微分的基础之上。函数概念本身正是由于欧拉等人的研究而大大丰富了。正由于这些学者们大胆创新的精神，微积分显示出它独一无二的作用，以微积分作为粘连剂，数学与力学开始结合，几何与代数开始结合。以微积分作为推动力，概率论得到进一步发展，数学教育得到发展。

十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代，18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。 十九世纪数学突破分析学独占主导地位的局面，几何、代数、分析各分支出现如雨后春笋般的竟相发展。仅在十九世纪的前30多年中，一批二三十岁的年轻数学家就在数论、射影几何、复变函数、微分几何、非欧几何、群论等领域作出开创性的成绩。 直到现在数学在任何时刻都有举足轻重的地位，数学与应用数学也事各门专业的基础。应用数学研究的方向主要分：1）微分方程与应用；2）代数学及其应用；3）几何学及其应用；4）概率论及数理统计；5）非线性分析与分形；6）计算数学与数学建模。 《数学分析》是一门历史悠久的高等教育课程之一。《数学分析》课程是高等院校数学与应用数学专业的一门专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学好其它后继数学课程的必备的基础，它也是占学时最长、学分最多且理论体系严谨，内容极

《高等代数选讲》课程教学标准

《高等代数选讲》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与要求 《高等代数选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的 选修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的课程之一。本课程的目一是 利用近世代数的思想，统领高等代数的原理和方法，二是为报考硕士研究生提供 一个好的复习高等代数的平台，三是为将来从事相关领域的科学研究和教学工作 培养兴趣，做好准备。 教学时间应安排在第六学期或第七学期。这时，学生已学完高等代数，近世 代数，这是学习《高等代数选讲》课程必要的基础知识。 第二部分：教材与学习参考书 本课程拟采用自编讲义作为主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要 的参考书： 1、高等代数（上，下），陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南，福建教育出版社，1991 2、高等代数选讲，林亚南，厦门大学讲义，2003 3、高等代数原理和方法，黄洛生，福建人民出版社，1994 4、各相关学校的高等代数教材 第三部分：教学内容纲要和课时安排 第一讲多项式 多项式理论自成一体，内容丰富。首先要把握多项式代数与多项式函数两个 不同的角度和联系。多项式的代数运算（包括带余除法）及其引导出的概念性质 是多项式代数的内容，而多项式的根及其分部的角度的讨论，是多项式函数的内 容。两个多项式相等的充分必要条件是它们作为函数相等的。其次要掌握多项式 理论中与数域扩充无关的整除，带余除法，最大公因式，互质等；而不可约多项 式，因式分解等与数域扩充有关。 本讲的主要教学内容（教学时数安排：8学时）： 一多项式代数与多项式函数 二最大公因式和互质（与数域扩充无关的性质） 三因式分解（与数域扩充有关的性质） 第二讲行列式 学习行列式理论，应重点掌握行列式的性质并用以计算行列式，熟练掌握一 些基本的计算方法。 本讲的主要教学内容（教学时数安排：4学时）： 一行列式的定义与性质 二行列式的计算 第三讲矩阵初步 掌握矩阵的运算（包括转置，方阵的迹）。矩阵的初等变换是矩阵论的核心

福建师范大学网络教育学位考试《高等代数选讲》学习小结论文小结

《高等代数选讲》学习小结 《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是数学各个专业的主干基础课程。它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。 刚刚开始接触到高等代数的时候，对它一无所知，仅仅听其它同学谈论过线性代数这门课程。在学习之前，我一直认为高等代数就是线性代数。经过学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。高等代数是我们数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，更加注重应用。 经过课程和书本的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是高等代数的一些思想，也从中收获不少。下面就对高等代数的学习做一个回顾和总结。 一、行列式 行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域 定义：设A=（a ij）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为 |A|=∑(−1)τ(j1j2⋯j n)a1j 1a2j 2⋯ a nj n j1j2…j n

初等数论心得体会初等数论心通用范文

初等数论心得体会初等数论心通用范文写学习心得并不是什么难事，从不同的方面来写内容也有很大区别， 初等数论是数学中的一个重要分支，它主要研究自然数及其性质，包括质数、因数分解、最大公约数、同余等，能让人感受到数学的美妙和深奥， 那么今天我们就一起来看看初等数论心得体会。 要写学习心得并不是什么难事，不过我觉得这一次的学习心得又有些 不太一样的地方。在选课的时候，我并不盲目跟随，不仅仅是为了拿学分，我有自己的想法。因为，作为一个即将走向教师讲台的师范类数学专业的 毕业生，如果连一些比较基本的东西都不了解，那怎么能够在学生面前讲 解呢。基于此，我选择了《初等数论》这门课程，并希望能在此收获一些 东西。 虽然之前就了解过一些关于数论的知识，但仅仅是皮毛上的了解，再 说也不能系统地接触到这门课程。不过，通过这几节课的学习，我对初等 数论》这门课程有了进一步的了解和认识。通过一个多星期的学习，我了 解到这门课程主要研究的一些内容。 一、整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这 一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。 二、同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、 原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、欧拉 定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。

三、连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数 平方根的连分数展开。主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔 方程求解。 四、不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股 方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了4次费马方程的求解 问题等等。 五、数论函数。比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。 六、高斯函数。在数学领域，高斯函数在厄尔米特多项式的定义中起着重要作用。 我知道一个星期的时间是不可能把《初等数论》这门课程学得很好的，只能大致的了解它的全貌或者说是对其中一部分的内容进行研究。在这些 天的学习中，我对数学这个浩瀚海洋里的《初等数论》部分的内容有了更 进一步的认识，这为我以后走上教学岗位，提升专业素养有着不可分割的 关系，也许就是这么一些点点滴滴的学习和积累才能让一个数学教师在自 己的三尺讲台上站得更稳，才能成为学生眼中知识渊博的老师。 目前，已经学习了初等数论两个月了，基本上已经知道数论学的事什 么了。两个月过去了，而我花在数论的时间并不是很多，刚刚开学回来就 要好好准备计算机二级，基本上没有看过书，就算是要上课也只是抄笔记 而已，根本就没有好好听过课。计算机二级结束了，又要忙于参加一些师 范技能的比赛也是比较少时间花在数论上。本来是这样打算的到期中考试 再好好复习数论，结果老师说期中不考数论，那就更加没有去复习了，因 为数分，英语，马克思要进行期中考。所以，在上半个学期学习数论的时 间少之又少。

数学心得200字作文(优秀10篇)

数学心得200字作文(优秀10篇) 数学心得200字作文篇1 数学似乎一直陪伴着我们成长，无论是小学，初中，还是高中，我们一直当做主修课来学习。大学，我来到了中国矿业大学理学院成为了数学专业的一名学生，也意味着我与数学已经难以分开。数学分析，线性代数，高等代数等等，一切对当时大一的我们是又新鲜又神秘。在过去的学习过程当中，无论是从小学数学到中学数学，还是从中学数学到大学数学，无不伴随着数学学科从方法、技巧乃至于思想上严密性和逻辑性上的提升。 日本数学家和数学教育家米山国藏曾经说过这样一段话：学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而作为知识的数学，通常在出校门不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。就我而言，我觉得大学四年的学习，让自己变的更加的理性，并且数学本身也有自身的乐趣。数学能让你思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。还能使你的脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。数学给予人们的不仅是知识，更重要的是能力，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力和培养，将使人终身受益。经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂……数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。 生活之中充满着相互的定律，往往你付出多少，最后得到的也就越多。就像这门数学这门课，如果你一丝不苟的学习数学知识，那最后得到的将是陪伴终生不变的财富。其中充满着无尽的乐趣，回首往日的课堂，你总会不由得微微一笑，感受着生活的快乐。当在日常实践中，拥有别人没有知识，总能让我们免去紧张

数学阅读收获心得800字(优秀10篇)

数学阅读收获心得800字(优秀10篇) 数学阅读收获心得800字篇1 集体备课是教师合作研究的一种最有效的形式，是发挥教师团队精神，集思广益，取长补短的备课形式。本学期为积极响应教导处号召，提高教育教学素质，我们二年级组开展了集体备课活动。现总结如下： 一、减轻备课负担，提高备课积极性。 教师可以直接吸收他人成功的经验，如果认同他人的教案，则不必浪费时间，重复抄写。如果有不同见解，则可以直接补充在修改方案栏内。对于教师个人而言，参照以前的教学过程，改进目前的教学，效果也可能会更好。这样，不但可以大大的减轻教师的备课负担，再加上动态与静态相结合的管理方式，还可以提高教师备课的积极性。 二、重视理论联系实际，备课为课堂服务 提高集体备课的实效，目的在于提高教师的专业水平，把“教科研为提高教学质量服务”的工作落到实处。理论联系实际，我们不仅停在纸上，我们在集体备课中还进行了自已的得意片段教学，在集体备课中展现自已的特色，每个数学老师都通过集体备课进行了各年级课的同课异构，这样不但提高集体备课的质量，又提升了老师的水平。上完课后，老师们进行了热烈的讨论，充分肯定了这节课的优点，同时提出了意见。从这节课来看，集体备课是有质量的，集合了大家的智慧，同时也展现了个人的特色。 三、在集体备课中老师成长了 通过一个学期的集体备课，老师们认真钻研教材，自已先独立编写教案，然后给大家一起审核，老师们你一言，我一语，互相交流，积极讨论，在争议中成长了，有了收获，然后带到课堂去，自已再进行加工。通过这样的活动，老师有

了更多交流的机会，提供了锻炼的平台。这就是活动中老师们成长了。大家共同的感悟是：集体备课是教学科学化的有效途径，是教师情感与情感的沟通，是教师个体思维的碰撞，是教师集体智慧的结晶。可以说，集体备课大家收获多多，受益匪浅。 四、及时总结反思，得到提升 这个学期快结束了，每个参与集体备课的老师进行及时总结反思，撰写了自已的案例与反思，写出了这个学期来自已集体备课中的困惑，还认真写出了自已的体会和总结。 总之，这个学期通过备课组成员的努力基本完成了教学任务。今后我们会更加努力地共同做好各项工作。 数学阅读收获心得800字篇2 数学教学应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学与现实社会的联系，加强学生的数学应用意识，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。结合有关的教学内容，培养学生如何进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理、逐步学会有条理、有根据地思考问题，同时注意培养思维的敏捷性和灵活性。在日常学习生活中能撇开事物的具体形象，抽取事物的本质属性，从而获取新的知识。 在小学数学中进行探究性学习是改变这一现状的有效途径和方法。以下就是我在教学过程中总结出的一些教学情境，我觉得非常适合小学数学的教学工作。 一、设计生活实际、引导学生积极探究。

常微分方程学习心得体会

常微分方程学习心得体会 篇一：常微分学习心得 常微分学习心得 时光飞逝，常微分的学习也进入了尾声，通过这一学期以来对常微分的学习，我对常微分有了更深的了解，同时，也发现了一些以前没有发现的不足的地方。 从学习常微分开始，我就觉得常微分比以前学习的科目要难，而且常微分也与我们以前学习的数学分析和高等代数有着很大的联系，如果连这两门科目都没有学好，那么常微分就基本不会做，在我看来，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，老师在上课时主要是讲想法，锻炼同学们的思维能力的这种教学方法很独特，但是，我们大多数的同学，特别是基础没打好的同学学习起来会有点吃力，接受起来也会有一点难度。因此希望老师在讲解的时候能够具体一点，这样大家学起来会轻松一点。同时，学习是我们自己的事情，常微分的学习让我更加深刻的了解到这一点，我任务常微分只在课堂上学习是不够的，只在课堂上学习的话，过不了多长时间就会忘记，这说明我们对知识的理解并不透彻，掌握的也并不牢固，因此，我们需要在课后进行巩固和提高。 以上就是我在这个学期学习常微分的心得和体会。我相

信，通过对常微分的学习，我以后能够做得更好。 篇二：常微分学习心得 常微分学习心得 这一学期我们学习了常微分方程，这门课程给我的感受就是：解方程，它以数学分析，和高等代数为基础，所以要求基础要牢固，才能学好这门课程，现在这门课程的学习已经接近尾声，但学习的效果并不理想，很多的理论知识不能理解，导致章节之间不连贯，学得很乱，而老师的教学又趋向于理论化，讲的知识深刻，有些知识点根本听不懂，常微分这门课程在考研中也占有较大的比重，大概涉及到10分的样子，而在考研的复试中，常微分是复试必考的科目，所以学习好这门课程是必须的，我想这门课程学得不好是有诸多原因的，1是要有好的数学基础，就我自己而言我的基础较差，学习起来吃力，2老师的教学方式不适应，太过于理论化，所以每到上课就听起来枯燥，不想听，导致对这门课程感到有些厌烦，就连一些最基础的东西也不愿意去记了，一个学期下来到现在，觉得自己什么都没学到，考试就发愁了，我知道这种情况，这种学习态度很不好，但这就是我现在在这门科目上的学习状态，请老师谅解。 12级应用数学2班：骆志波学号 12404228 篇三：常微分学习心得 常微分学习心得

高等代数宣讲(第一章-第五章)

在本课程主要讲两个内容:1、知识总结2、例题选讲 分七块选讲：1、多项式 2、行列式 3、线性方程组与矩阵 4、二次型 5、线性空间与线性变换 6、欧式空间 7、λ矩阵 例题又涉及单个内容的，也有涉及综合内容的。 一、多项式 主要内容：多项式的次数的概念：多项式的加减乘除四种运算 在除法运算中，分整除与不整除两种情况。带余除法会用，最大公式求法、性质、互素的概念、性质、判别，因式分解、重因式、根、实子数、复子数、有理子数多项式的因式分解。 二、 例题选讲： 1、设1P ，2P ，...， S P ,是S 个互不相同的素数，n>1. 证明:作多项式f (x )=n x - 12...S PP P （利用爱森斯坦判别法） 它在有理数域上不可解，故f (x )为f (x )的根，故它不是有理数。 用反证法也可以。 2、设f(x)是一个n 次多项式，f '(x)f(x) ⇔f (x )证明有n 重根。 证明： 充分性：设f(x)有n 重根α，则f(x)=n a(x-)α, 则f '(x)=n n-1a(x-)α，显然f '(x)f(x). 必要性：设12s ,,..., ααα是f '(x) 的所有互不相同的根，且重数分别为m 1, m 2… m s , 则m 1+m 2+… +m s =n -1 (1) 由于f '(x)f(x)，所以12s ,,..., ααα是f(x)的根且重数分别为m 1+1, m 2+1… m s +1，于 是（m 1+1）+（m 2+1）+… +（m s +1）=n （2） 由（1）（2）得，n-1+s=n ⇒ s=1, 故f '(x)只有一个根，重数为n-1. 故α是f(x)的n 重根。 3、证明：多项式f(x)= 33132m n p x x x ++++能被21x x ++整除。 证明：设ε是21x x ++的任一根，则21εε++=0，于是3ε=1 331323322()()10m n p n p εεεεεεεεε++++=+=++= 4、设f(x)与g(x)不全为0，n 为任意正整数，证明n (f(x),g(x))=n n (f (x),g (x))。 证明：设(f(x),g(x))=d(x)，且1f(x)=d(x)f ()x ,1g(x)=d(x)g ()x 且12(f (x),g (x))=1，⇒n n 12(f (x),g (x))=1，又n n 1f (x)=d (x)f ()n x ，n n 1(x)=d (x)g ()n g x

高等代数选讲讲义学习资料

高等代数选讲讲义

高等代数选讲 信阳师范学院数学与信息科学学院 2006年9月

目录 第一讲 带余除法 (1) 第二讲 不可约多项式 (6) 第三讲 互素与不可约、分解 (11) 第四讲 多项式的根 (16) 第五讲 典型行列式 (21) 第六讲 循环行列式 (26) 第七讲 特殊行列式方法 (32) 第八讲 解线性方程组 (38) 第九讲 分块矩阵与求秩 (44) 第十讲 矩阵的分解与求逆 (49) 第十一讲 广义逆与特殊矩阵对关系 (55) 第十二讲特征值、对角线与最小多项式 (62) 第十三讲向量的线性相关与自由度 (68) 第十四讲双线性型与正定二次型 (74) 第十五讲线性空间及其几何背景 (80) 第十六讲欧氏空间和正交变换的意义 (86) 第十七讲线性变换的核与象 (92) 第十八讲线性变换的特征与不变子空间 (98)

第一讲 带余除法 定理1（带余除法）∀f(x), g(x)≠0 ∈P[x]，则有 f(x)=g(x)s(x)+r(x) 其中r(x)=0或∂(r(x))＜∂(g(x))，r(x)，s(x)∈P[x] 定理2 g(x)|f(x)⇔r(x)=0 (x－a)|f(x)⇔f(a)=0 带余除法可将f(x)，g(x)的性质“遗传”到较低次的r(x)，也可将g(x)，r(x)的性质“反馈”到较高次的f(x)。 边缘性质：若满足某个条件C的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C 的多项式。反过来，满足条件D的多项式次数不超过m，则这样的集中一定有一个次数最大的。 根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。 例1 a是一个数，f(x)∈P[x]且f(a)=0，则P[x]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式m a(x)： m a(a)=0 证作： Sa={g(x)∈P[x]|g(a)=0} 那么S≠φ，故S中存在一个次数最低且首系=1的多项式m a(x)， 现设m(x)也是满足条件的多项式，那么∂(m(x))=∂(m a(x)) 所以∂(m(x)－(m a(x))＜∂(m a(x)) 令 r(x)=m(x)－m a(x) 则r(a)=0，得r(x)=0，所以m(x)=m a(x)，唯一性证毕。

高等代数选讲讲义

高等代数选讲 信阳师范学院数学与信息科学学院 2006年9月

目录 第一讲 带余除法 (1) 第二讲 不可约多项式 (5) 第三讲 互素与不可约、分解 (9) 第四讲 多项式的根 (13) 第五讲 典型行列式 (17) 第六讲 循环行列式 (21) 第七讲 特殊行列式方法 (26) 第八讲 解线性方程组 (31) 第九讲 分块矩阵与求秩 (36) 第十讲 矩阵的分解与求逆 (40) 第十一讲 广义逆与特殊矩阵对关系 (45) 第十二讲特征值、对角线与最小多项式 (51) 第十三讲向量的线性相关与自由度 (56) 第十四讲双线性型与正定二次型 (61) 第十五讲线性空间及其几何背景 (66) 第十六讲欧氏空间和正交变换的意义 (71) 第十七讲线性变换的核与象 (76) 第十八讲线性变换的特征与不变子空间 (81)

第一讲 带余除法 定理1（带余除法）∀f (x ), g (x )≠0 ∈P [x ]，则有 f (x )= g (x )s (x )+r (x ) 其中r (x )=0或∂(r (x ))＜∂(g (x ))，r (x )，s (x )∈P [x ] 定理2 g (x )|f (x )⇔r (x )=0 (x －a )|f (x )⇔f (a )=0 带余除法可将f (x )，g (x )的性质“遗传”到较低次的r (x )，也可将g (x )，r (x )的性质“反馈”到较高次的f (x )。 边缘性质：若满足某个条件C 的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C 的多项式。反过来，满足条件D 的多项式次数不超过m ，则这样的集中一定有一个次数最大的。 根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。 例1 a 是一个数，f (x )∈P [x ]且f (a )=0，则P [x ]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式m a (x )： m a (a )=0 证作： Sa ={g (x )∈P [x ]|g (a )=0} 那么S ≠φ，故S 中存在一个次数最低且首系=1的多项式m a (x )， 现设m (x )也是满足条件的多项式，那么∂(m (x ))=∂(m a (x )) 所以∂(m (x )－(m a (x ))＜∂(m a (x )) 令 r (x )=m (x )－m a (x ) 则r (a )=0，得r (x )=0，所以m (x )=m a (x )，唯一性证毕。 推论：∀g (x )∈Sa ，那么m a (x )|g (x )。 证： g (x )=m a (x )t (x )+r (x ) Θr (a )=0证。 定理3 a 在P [x ]中的m a (x )是不可约多项式，（用反证法） 例2 求Q [x ]中32+，则6252+=x 222)62()5(=-x 即x 适合x 4－10x 2+1，x 4－10x 2+1即为所求。