抽象代数基础丘维声答案
【篇一：index】
t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律
[文章摘要]
通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想
的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。使我们得以迅速求解其子环和
理想。
[关键字]
模n剩余类环循环群子环主理想
[正文]
模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。
一，定义：
在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一
个关系r，
arb，当而且只当n|a-b的时候
这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。这显然是一个等价关系。这
个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用
a?b(n)
来表示（读成a同余b模n）。
这个等价关系决定了a的一个分类。这样得来的类叫做模n的剩余类。
二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的
符号来表示。我们用[a]来表示a所在的剩余类。规定：
[a]+[b]=[a+b];
[0]+[a]=[a];
[-a]+[a]=[0];
根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。叫做
模n剩余类加群。这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生
成元，[0]是其单位元。
三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：
[a][b]=[ab]；
根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。叫
做模n剩余类环。四，关于理想的定义：
环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：
(i) a,b?a?a-b?a；
(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；
所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a；
(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；
由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一
个方法。思路：
第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；
第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找
出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。
例题:找出模12的剩余类环的所有理想。
具体步骤：
第一步：
模12剩余类环所有元素的集合：
z12={[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}
找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群，所以用生成元表示： ([0])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}=
z12;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};
([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};
([4])=([8])={[0],[4],[8]};
([6])={[0],[6]};
第二步：
考虑对乘法的封闭性，求其子环：
([0])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}=
z12;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};
([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};
([4])=([8])={[0],[4],[8]};
([6])={[0],[6]};
第三步：
根据理想的定义，对以上的子环，求其理想：
([0])= ([12])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};
([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};
([4])=([8])={[0],[4],[8]};
([6])=([6])={[0],[6]};
解答完毕。
通过观察以上的例子我们发现以下特点：
(i) 模12剩余类环的所有对加法构成的子群，等于所有子环，等于所有理想; (ii) 所有的子群（对加法）是循环群，所有的理想是主理想；
(iii) 第一列的所有生成元都是12的因子；
(iv) 第二列的所有生成元可表示为[12-pm],其中pm为12所有的因子.
于是我们有以下结论：
模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群，所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。
特别地，当n是素数时，只有零理想和单位理想。
命题1 模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群；
这是显然的，因为模n剩余类环本身对加法构成循环群，而循环群的子群是循环群。得证。
命题2 模n剩余类环的所有理想是主理想；
对上面的所有循环子群（对加法），?（[i]），
根据理想的定义，?[a]? zn;[b],[c]?（[i]）;有:
1o [b]-[c]=[b-c]?（[i]）;
2o [a][b]=[ab]= [a]?[a]???[a]?（[i]）,同理：[b][a]?
（[i]）； ???????
b
所以（[i]）做为一个理想，显然（[i]）是个主理想，记为a。
由命题二的证明过程我们得知：所有循环子群（对加法）加上乘法都是模n剩余类环的主理想。
命题3 模n剩余类环的所有循环子群可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。
设：n的所有因子为p1,p2,p3,…,pm,…;pm为n的因子。
任意取一循环子群由[a]生成(0an,a?z);
设d=(a,n);既d是n的因子不妨设为pm,则a=k1pm,
n=k2pm(k1,k2?z, k1k2),且(k1,k2)=1,则a的阶为k2,又a?([pm])，
推出([a])=([pm]),即该循环子群等价于n的一因子作为生成元生成。
综上所述，命题成立。
所以有以下结论：
模n剩余类环的所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子
作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它
们的个数都为n的欧拉数。
推论：当n是素数时，模n剩余类环只有零理想和单位理想。
例题1:找出模18的剩余类环的所有理想。
解：
18的因子：1，2，3，6，9，18；
由上述结论知：所有理想为：（[0]），（[1]），（[2]），（[3]），（[6]），（[9]）。
（注：通常([n])用([0])代替，二者等价）
例题2:找出模7的剩余类环的所有理想。
解：
7是素数，由推论知：所有理想为：（[0]），（[1]）。
[参考文献]
[1] 丘维声《抽象代数基础》北京：高等教育出版社
[2] 张禾瑞《近世代数基础》（修订版）北京：高等教育出版社
[3] 潘承洞《简明数论》北京：北京大学出版社
【篇二：深圳大学近世数学课程教学大纲】
txt>课程教学大纲
- 222 -
（2006年10月重印版）
课程编号：
课程名称：近世代数
课程类别：专业选修
教材名称：简明抽象代数
制订人：方楚泽
审核：郭辉
2005年 4 月制订
一、课程设计的指导思想
- 223 -
二、教学内容
- 224 -
- 225 -
三、课时分配及其它
- 226 -
【篇三：北大参考书目】
数学分析 02 高等代数
03 解析几何 04 实变函数
05 复变函数 06 泛函分析
07 常微分方程08 偏微分方程
09 微分几何 10 抽象代数
11 拓扑学 12 概率论
13 数理统计 14 数值分析
15 数值代数 16 信号处理
17 离散数学 18 数据结构与算法
01 数学分析（ 150 分）
考试参考书：
1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。
2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。
02 高等代数（ 100 分）
考试参考书：
1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。
高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。
2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。
03 解析几何（ 50 分）
考试参考书：
1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。
04 实变函数（ 50 分）
考试参考书：
1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社， 2001年。
05 复变函数（ 50 分）
考试参考书：
1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。
06 泛函分析（ 50 分）
考试参考书：
1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。
07 常微分方程（ 50 分）
考试参考书：
1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。
2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高
等教育出版社。
3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。
08 偏微分方程（ 50 分）
考试参考书：
1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。
2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。
09 微分几何（ 50 分）
考试参考书：
1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。
2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。
10 抽象代数（ 50 分）
考试参考书：
1. 丘维声 , 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。
2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八
章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。
11 拓扑学（ 50 分）
考试参考书：
1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997年（考该书第１-３章）。
12 概率论（ 50 分）
考试参考书：
1. 何书元，概率论北京大学出版社, 2006年。
2. 汪仁官，概率论引论北京大学出版社, 1994年。
13 数理统计（50 分）
考试参考书：
1. 陈家鼎、孙山泽、李东风、刘力平编，数理统计学讲义（第二版），高等教育出版社，2006年。
14 数值分析（50 分）
考试参考书：
1. 关治、陈景良，数值计算方法，清华大学出版社。
2. 蒋尔熊等，数值逼近，复旦大学出版社。
3. 王仁宏，数值逼近，高教出版社。
4. 周铁、徐树方、张平文、李铁军计算方法，清华大学出版社出版。
15 数值代数（ 50 分）
考试参考书：
1. 徐树方、高立、张平文，数值线性代数，北京大学出版社，2000年。
2. g. w. stewart, introduction to matrix computation, academic press, new york , 197
3.（有中译本）
16 信号处理（ 50 分）
考试参考书：
1. 程乾生，数字信号处理，北京大学出版社 ,2003年。
2. 奥米海姆 r.w. 谢费，数字信号处理，科学出版社，1980年。
17 离散数学（ 50 分）
考试参考书：
1. 屈婉铃等，离散数学教程，北京大学出版社，2002年。
18 数据结构与算法（ 50 分）
考试参考书：
1．张乃孝主编，算法与数据结构—— c 语言描述，高等教育出版社2002年。
2. 张乃孝、裘宗燕，数据结构— c++ 与面向对象程序设计，高教出
版社 1998年。
3. 严蔚敏、吴伟民，数据结构（c语言版），清华大学出版社 1996年。
4. 裘宗燕，从问题到程序，机械工业出版社，2005年。
5. b. stroustrup，c++ 程序设计语言,中译本：机械工业出版社，2002年。
说明
算法与数据结构是信息科学和计算机理论的核心内容，是一门理论
和实际紧密结合的课程。通过考试主要目的是检查学生是否较全面
地理解算法和数据结构的概念、掌握各种数据结构与算法的实现方式，能够分析和比较不同数据结构和算法的特点。同时检查学生使用学习的知识解决问题的能力和程序设计的能力。
数学专业参考书 一解析几何 空间解析几何实在是一门太经典, 或者说古典的课.从教学内容上说, 可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换(那是线性代数的特例), 和二阶曲面的不变量理论.在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的"空间解析几何"里面,最后还有一章讲射影几何. 这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的. 特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的. 当然,这里还要提到十来年前大概做过教材的一本书: 项武义,潘养廉等"古典几何学". 这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的. 可以考虑的参考书包括: 1.陈(受鸟) "空间解析几何学" 内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点. 陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长) 的夫人,也是中国早期留学海外的女学者. 2.朱鼎勋"解析几何学" 这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂, 连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话). 朱先生相当有才华,可惜英年早逝. 如果想了解比较"新"的动态,可以考虑 3.Postnikov "解析几何学与线性代数(?)"(第一学期) 这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的. 海外教材中心有一本英文本. 我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差. 我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要下放到高中里面去. 上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话. 可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有相当深刻的了解. 4.狄隆涅"(解析)几何学" 这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能写的.总书库里面有. 5.穆斯海里什维利"解析几何学教程" 这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了. 具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的而已). 二线性代数 高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点, 关于线性空间的理论应该叫线性代数, 再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高等代数了. 这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra, 就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra. 现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?). 用外校的课本在基础课里面是不常见的. 这本书可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了.但是你要说它有什么地方讲的特别好,恐怕说不出来. 值得注意的是95-96学年度,北大现在的校党委组织部长王杰老师(段学复先生的弟子)给北大数学科学学院95级1班开课时曾经写过一本补充材料,把空间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到的话翻印出来是件很好的事情(我的那本舒五昌老师给96开课的时候送给他了,估计是找不到了). 好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的还是第一版.第二版在书店里似乎看见过. 从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的. 线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的. 而且如果要和数值搭界的话还必须这么做. 复旦以前有两本课本就是这么做的. 1.蒋尔雄,吴景琨等"线性代数" 这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的. 因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法. 我个人以为还是比较有意思的.理图里有. 2.屠伯埙等"高等代数" 这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里可能可以买到翻印的. 这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的. 当然这不是很容易的: 据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我."有此可见一斑. 如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话, 那么下面这本应该说是比较适当的. 3.屠伯埙等"线性代数-方法导引" 这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更"实际"一些.值得一做. 另外,讲到矩阵论.就必须提到 4.甘特玛赫尔"矩阵论" 我
数学物理方程讲义姜礼尚答案
11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社 这些书应该够了，其他书不一一列举。从中选择一本当作课本就可以了。 外国数学分析教材： 11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著 数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。买书不建议看价格，而要看书好不好。一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。 12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著 上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。 13《数学分析》卓立奇 观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。 14《数学分析简明教程》辛钦 课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。 15《数学分析讲义》阿黑波夫等著 莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。16《数学分析八讲》辛钦 大师就是大师，强烈推荐。 17《数学分析原理》rudin 中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。不过这本美国的书还是值得一看的。写的简单明了，
可以自己试着把上面的定理推导一遍。18《微积分与分析引论》库朗 又一本美国的经典数学分析书。有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。 19《流形上的微积分》斯皮瓦克 分析的进一步。中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。 20《在南开大学的演讲》陈省身 从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。 21华罗庚《高等数学引论》科学出版社 数学分析习题集 不做题就如同没有学过一样。希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。 1《吉米多维奇数学分析习题集》 最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。但这本习题集不再被广泛使用的原因是那本习题解答的出现，学生对答案的抄袭使这部书失去了价值。如果你不看答案的话它依然是数学分析第一习题集。不要没有做过就盲目的批评。有没有做过自己心里知道，并会影响自己今后的学习。 2《数学分析习题课教材》第一版或《数学分析解题指南》第二版，林源渠，方企勤等两本书一样的，再版换了名字。第一版网上有电子版，第二版可以买纸版。和3成一套。3《数学分析习题集》林源渠，方企勤等 由于《吉米多维奇数学分析习题集》答案的出现使这本书得到的评价变高了，原因是这本书没有答案。只能自己做。
wk_ad_begin({pid : 21});wk_ad_after(21, function(){$('.ad-hidden').hide();}, function(){$('.ad-hidden').show();}); （1.3） SL2(Ｚ)一模形式，Eisenstein级数丁一函数（1.4）模形式空间的维数
（1.5）模形式在"∞"的Fourier展式（1.6） Theta 函数（二）章：Hecke 理论 （2.1）点格上的Hecke 对应（2.2）模形式空间上的Hecke算子（2.3） Peterson 内积与Hecke算子的自反性（2.4） Hecke算子的特征形式（2.5）模形式的L-级数（2.6） Hecke算子的迹公式教学方式：讲授教材或教学参考书： (1) N. Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms (2) J.P.Serre,数论基础，冯克勤译 (3) https://www.doczj.com/doc/0219500680.html,ng. Elliptic Function. 学生成绩评定方法：考试 课程编号：00132610 课程名称：密码学 课程类型：研究生和本科生选修课学时学分：54学时，3学分先修要求：高等代数(I)、(II) 基本目的： 1．使学生了解传统的密码体制：分组密码和序列密码。 2．使学生了解几种公钥密码体制。 3．使学生了解数字签名，识别和认证的基本方法。内容提要： 1．一些古典密码：移位密码，单表代替密码，多代表替密码，转轮密码。 2．信息论：完全保密，熵，唯一解距离，互信息。 3．序列密码：线性反馈移位寄存器，线性复杂度，非线性组合发生器，组合函数及其相关免疫性。 4．分组密码和数据加密标准：分组密码的工作方式，乘积密码和Feistel密码，DES的算法，DES的特性和强度，对DES的差分攻击。 5．公钥密码体制：计算复杂度，单向函数和陷门函数，RSA密码体制，素性的概率测试，对RSA的攻击，ELGamal密码体制和离散对数，Merkle-Hellman背包体制，椭圆曲线密码体制。 6．数字签名：数字签名机制的框架，RSA签名方案，ELGamal签名方案，一次性数字签名。 7．识别和认证：识别对象和协议，口令字(弱认证)，挑战-应答识别(强认证)，零知识的识别协议。 8．建立共同密钥的协议：* 用对称技术获得共同密钥，*用非对称技术获得共同密钥，秘密共享方案。 教学方式：课堂讲授教材或参考书 1．D.R.Stinson, Cryptography (Theory and Practice), CRC Press, Boca Raton,1995. 2．A.G. Ko nheim, Cryptography A Primer, John Wiley & SONS, New York, 1981. 3．D.E.R.Denning, Cryptography and Data Security, Addison-Wesley Puplishing Company, Lond on,1982. 4．D.Kahn,The Codebreakers(破译者)，艺群译，群众出版社，1982。 5．冯登国，裴定一，密码学导引，科学出版社，1999。 6．王育民，何大可，保密学，西安电子科大出版社，1990。 7．A.Saloma, Public-key Cryptography, Springer,1990。 中译本：《公钥密码学》，丁存生，单炜娟译，国防工业出版社，1998 学生成绩评定方法：平时作业占20分，期末考试占80分。 课程编号：00132510 课程名称：李群及其表示 课程类型：数学专业本科生限选课学时学分：54学时，3学分先修要求：泛函分析，李代数基本目的： 本课程使学生掌握酉群，紧致李群，Heisenberg李群的表示理论，掌握相应李代数的表
抽象代数基础丘维声答案 抽象代数基础丘维声答案 【篇一：index】 t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律 [文章摘要] 通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想 的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。使我们得以迅速求解其子环和 理想。 [关键字] 模n剩余类环循环群子环主理想 [正文] 模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。 一，定义： 在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一个关系r， arb，当而且只当n|a-b的时候 这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。这显然是一个等价关系。这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用 a?b(n) 来表示（读成a同余b模n）。 这个等价关系决定了a的一个分类。这样得来的类叫做模n的剩余类。 二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的 符号来表示。我们用[a]来表示a所在的剩余类。规定： [a]+[b]=[a+b];
[0]+[a]=[a]; [-a]+[a]=[0]; 根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。叫做模n剩余类加群。这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生 成元，[0]是其单位元。 三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定： [a][b]=[ab]； 根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。叫做模n剩余类环。四，关于理想的定义： 环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如： (i) a,b?a?a-b?a； (ii)a?a,b?a?ba,ab?a； 所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a； (ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a； 由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一 个方法。思路： 第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群； 第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找 出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。 例题:找出模12的剩余类环的所有理想。 具体步骤： 第一步： 模12剩余类环所有元素的集合： z12={[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]} 找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环
数学分析第五版答案 【篇一：数学分析学习方法档】 >从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的 一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难 的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实 随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉 轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单 的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数 部分 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推 荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看 出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不 少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂， 而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使 用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著
师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多 的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。 3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常 被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系 各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由 最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的 基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生 公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作 者已经去世。 8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著 中国科学技术大学教材，课后习题极难。 9《数学分析》徐森林著 和上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。 10《数学分析简明教程》邓东翱著 也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。
一、课程目的与教学基本要求 本课程是在学生已学习大学一年级“几何与代数”必修课的基础上，进一 步学习群、环、域三个基本的抽象的代数结构。要求学生牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例子。对这三种代数结构在别的相关学科，如数论、物理学等的应用有一般了解。 二、课程内容 第1章准备知识（Things Familiar and Less Familiar）10课时 复习集合论、集合间映射及数学归纳法知识，通过学习集合间映射为继续学习群论打基础。 1、几个注记(A Few Preliminary Remarks) 2、集论(Set Theory) 3、映射(Mappings) 4、A（S）(The Set of 1-1 Mappings of S onto Itself) 5、整数(The Integers) 6、数学归纳法(Mathematical Induction) 7、复数(Complex Numbers) 第2章群(Groups) 22课时 建立关于群、子群、商群及直积的基本概念及基本性质；通过实例帮助建立抽象概念，掌握群同态定理及其应用；了解有限阿贝尔群的结构。 1、群的定义和例子(Definitions and Examples of Groups) 2、一些简单注记(Some Simple Remarks) 3、子群(Subgroups) 4、拉格朗日定理(Lagrange’s Theorem)
5、同态与正规子群(Homomorphisms and Normal Subgroups) 6、商群(Factor Groups) 7、同态定理(The Homomorphism Theorems) 8、柯西定理(Cauchy’s Theorem) 9、直积(Direct Products) 10、有限阿贝尔群(Finite Abelian Groups) （选讲） 11、共轭与西罗定理(Conjugacy and Sylow’s Theorem)(选讲) 第3章对称群(The Symmetric Group) 8课时掌握对称群的结构定理，了解单群的概念及例子。 1、预备知识(Preliminaries) 2、循环分解(Cycle Decomposition) 3、奇偶置换(Odd and Even Permutations) 第4章环论(Ring Theory) 20课时 建立环、环直和、素理想与极大理想、同态及商环的基本概念及基本性质；掌握环同态定理及多项式环及其结构定理；了解主理想整环、欧几里德整环的基本要领及例子。 1、定义与例子(Definitions and Examples) 2、一些简单结果(Some Simple Results) 3、理想，同态与商环(Ideals, Homomorphisms, and Quotient Rings) 4、极大理想(Maximal Ideals) 5、多项式环(Polynomial Rings) 6、有理数域上的多项式(Polynimial over the Rationals) 7、整环的商域(Field of Quotients of an integral Domain)
何书元概率引论答案
何书元概率引论答案 【篇一：课程名称：概率论计划学时45】 =txt>上课时间：周二3-4节；周四(单周) 1-2节地点：文史201 任课教师：任艳霞（教授）办公室：理科1号楼1381 email: 基本目的： 1、对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解。 2、联系实际问题，初步掌握处理不确定性事件的理论和方 法。 教材: 何书元，《概率论》, 北京大学出版社2006年参考书 1、汪仁官，《概率论引论》，北京大学出版社1994 2、李贤平，《概率论基础》（第二版），高等教育出版社， 1997 3、钱敏平、叶俊，《随机数学》，高等教育出版社，2004 4、sheldon ross, a first course in probability (7th edition) 教学安排： 第一章古典概型与概率空间(10学时) 1) 随机事件及古典概型（1.1-1.2节）(2学时) 2) 几何概型、概率空间与概率的性质（1.3-1.5节）(2学时) 3) 条件概率和乘法公式（1.6节）(2学时)
4) 独立性、全概率公式、bayes公式（1.7-1.8节）(3学时) 5) 概率模型举例与概率空间续（1.8-1.9节）(1学时) 第二章随机变量与概率分布(9学时) 1) 一维随机变量定义、离散型随机变量（2.1-2.2节）(2学时) 2) 连续型随机变量（2..3节）(2学时) 3) 概率分布函数（2.4节）(2学时) 4) 随机变量函数的分布（2.5节）(2学时) 5) p分位点（2.5节）(1学时) 第三章随机向量及其分布(8学时) 1) 随机向量及其分布、离散型随机向量及其分布（3.1-3.2节）(2学时) 2) 连续型随机向量及其联合密度（3.3节）(2学时) 3) 随机向量函数的分布（3.4、3.6节）(2学时) 4) 条件分布和条件密度（3.5节）(2学时) 第四章数学期望与方差(8学时) 1) 数学期望(4.1-4..2节) (3学时) 2) 方差（4.3节）(1学时) 3) 协方差与相关系数（4.4节）（2学时） 4）条件数学期望（2学时） 第五章概率极限理论(10学时) 1) 概率母函数与特征函数（5.1-5.2节）(2学时) 2) 多元正态分布（5.3节）(2学时)
解析几何丘维声复习资料 解析几何是高中数学中的一门重要学科，也是大学数学的基础课程之一。在学习解析几何的过程中，我们常常需要使用到一些复习资料来巩固和加深对知识点的理解。本文将对几何丘维声的复习资料进行解析，帮助读者更好地掌握解析几何的知识。 几何丘维声的复习资料主要包括教材、习题册和参考书籍。教材是学习解析几何的基础，其中包含了知识点的讲解、例题的解析和习题的练习。通过仔细研读教材，我们可以系统地了解解析几何的基本概念、定理和推理方法。在复习过程中，我们可以结合教材中的例题进行思考和解答，加深对知识点的理解和掌握。 习题册是巩固和提高解析几何能力的重要工具。通过大量的习题练习，我们可以熟悉各种题型的解题方法，并提高解题的速度和准确性。在选择习题册时，我们可以根据自己的实际情况选择适合自己的难度和题型。同时，我们还可以将解题过程中遇到的难点和疑惑记录下来，及时向老师或同学请教，以便更好地理解和掌握解析几何的知识。 参考书籍是拓宽解析几何知识面的重要资源。除了教材和习题册，我们还可以通过阅读一些经典的解析几何参考书籍来深入理解和应用解析几何的知识。这些书籍通常包含了更多的例题和习题，以及一些拓展和深入的内容。通过阅读参考书籍，我们可以进一步提高解析几何的水平，培养解题思维和逻辑推理能力。 在使用几何丘维声的复习资料时，我们需要注意以下几点。首先，要有计划地进行复习，合理安排时间，将复习内容分成小块进行学习。其次，要注重基础
知识的理解和掌握，因为解析几何的知识点之间存在着密切的联系和逻辑关系。只有掌握了基础知识，才能更好地理解和应用解析几何的定理和方法。再次， 要注重练习，通过大量的习题练习，提高解题的能力和水平。最后，要及时总 结和归纳，将解题过程中的经验和方法总结起来，形成自己的解题思路和方法。综上所述，几何丘维声的复习资料是我们学习解析几何的重要工具。通过教材、习题册和参考书籍的综合使用，我们可以系统地学习和掌握解析几何的知识。 在使用复习资料的过程中，我们需要注重基础知识的理解和掌握，注重练习和 总结，以提高解析几何的能力和水平。希望本文对读者在解析几何的复习过程 中有所帮助。
一．单选 1.设A=R ，A 的代数运算a b=a+2b （ ） A.适合结合律但不适合交换律 B.不适合结合律但适合交换律 C.既适合结合律又适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 2.以下关系中，哪个是集合A 的元素间的等价关系？( ) A.A =R (实数集)，关系～：a ～b ⇔a -b >0 B.A =R (实数集)，关系～：a ～b ⇔a -b ≥0 C.A =Z (整数集)，关系～：a ～b ⇔a ︱b D.A =Z (整数集)，给定正整数n,关系～：a ～b ⇔a ≡b (mod n ) 3.下列集合对所给运算作成群的是( ) A.非零有理数的全体Q *对普通数的加法 B.非零有理数的全体Q *对普通数的减法 C.非零有理数的全体Q *对普通数的乘法 D.非零有理数的全体Q *对普通数的除法 4.设S 3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S 3中可以与(123) 交换的所有元素有（ ） A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23) C.(1)，(123) D.S 3中的所有元素 5.设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。 A.2 B.4 C.6 D.8 6.剩余类加群Z 6中，元素［１］的阶是( )。 A.1 B.2 C.3 D.6 7.7阶循环群的生成元个数是( )。 A.1 B.2 C.6 D.7 8.在非零复数乘法群C *中，阶为2的元有______个.( ) A.0 B.1个 C.2个 D.3个 9、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 10、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ） A 、f 的同态核是1G 的不变子群； B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群； C 、1G 的子群的象是2G 的子群； D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。 二．填空 1.设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A 的一个等价关系。 2. 在4次对称群S 4中，(123)(1324)-1=__________.
高等代数丘维声 高等代数在数学领域中占据着重要的地位，它的研究和应用非常广泛，已经成为大多数学科的基础。今天，它仍然是许多重要问题解决的基础。这里，我们将介绍犹太数学家丘维声的贡献。 丘维声的发现改变了数学史上的发展，他对抽象代数的发展有着巨大的影响。他的发现使抽象数学变得更加独立，同时也极大地增强了抽象代数的逻辑。他引入了数学世界中最重要的概念之一群论，帮助人们更好地理解群的性质和结构。 丘维声1882年出生在俄罗斯波滨，他十岁时就开始接受家庭教育，16岁时就发表了他的第一篇论文“数据分析”，展示了他出色的数学天赋。他在20岁时进入莫斯科大学，他的宣言是：“我从未想过任何可行的研究无论如何，但是在这里，我可能会发现一些”，这句话表明了他对学术研究的执着追求。 丘维声在莫斯科大学期间，他深入研究了群论、数论和几何，并开发出了新的抽象概念，如群的运算、群的幂次和群的自洽性。这些概念通常用来解决一类复杂的数学难题，而抽象群论的概念则被用来解决一些更复杂的问题。他的研究使数学变得更加抽象、更加复杂，也帮助提升了数学家们的学术水平。 他的发现极大地增强了数学家们对抽象代数的理解，例如群、群论、群运算和群表示，这些概念已成为高等代数教学的重要内容，具有重要的实用价值。例如，在金融和金融工程领域，抽象代数的理论已经被广泛应用，用于描述金融市场和其他金融交易，比如债务和证
券函数。 此外，高等代数概念在计算机科学、信息编码和加密中也有重要的应用，例如使用数学证明在编码和编码的设计中可以安全地存储和传输大量的重要信息，而且可以被确定、安全地传输。 丘维声的巨大贡献也使他成为了一位伟大的科学家。他的发现为高等代数的发展提供了重要的理论基础，也为当今数学的发展提供了有力的支持。 在他那个时代，用数学来解决复杂问题是一项极其困难的任务，而丘维声却用自己的独到视角和高超技艺改变了这一现实。他的发现改变了数学历史，使抽象代数变得更加独立，更加抽象，同时也极大地增强了抽象代数的逻辑。今天，他的发现继续影响着我们的科学研究，帮助人们更好地理解和掌握高等代数。 总之，丘维声是一位伟大的犹太数学家，他的发现为高等代数带来了重大突破，为数学领域的发展做出了突出贡献。他的发现为许多重要问题的解决提供了基础，同时也为当今科学研究的发展提供了重要的理论支持，是一位值得我们铭记的伟大数学家。
linear algebra done right和丘维声高等代数-概述 说明以及解释 1.引言 1.1 概述 概述 本文将介绍《Linear Algebra Done Right》和丘维声所著《高等代数》这两本经典的线性代数教材。线性代数作为数学领域中的重要分支，研究了向量、向量空间、线性映射以及线性方程组等概念和性质。它在科学、工程和经济等各个领域中都有着广泛的应用。 首先，我们将简要介绍《Linear Algebra Done Right》这本书。这是一本由Sheldon Axler撰写的线性代数教材，以其独特的视角和简洁的风格而闻名。与传统的线性代数教材不同，Axler的书籍更加关注线性代数的核心思想和概念，强调线性代数的几何直观和抽象代数结构的统一性。 在《Linear Algebra Done Right》中，Axler通过引入向量空间和线性映射的概念来建立线性代数的理论框架。他讲解了基础的线性代数知识，如向量空间的定义、线性映射的性质和矩阵的表示等。此外，Axler还探讨了线性代数的一些重要应用，例如特征值和特征向量、正交性和内积空间等。他以简明的语言和丰富的例子来阐释概念，使读者能够深入理解线
性代数的本质。 另一本讨论线性代数的书籍是丘维声的《高等代数》。丘维声是中国著名数学家，他的《高等代数》是许多大学线性代数课程的教材。这本书在中国乃至国际上都享有高度声誉，被广大学生和教师所推崇。 丘维声的《高等代数》系统地介绍了线性代数的基础理论和应用。这本书既从几何的角度来理解线性代数，也从代数的角度进行了深入探讨。丘维声详细阐述了向量和矩阵的运算法则，矩阵的秩和行列式以及线性方程组的解法等内容。此外，他还介绍了线性代数的一些高级概念，如特征值和特征向量、正交变换和相似矩阵等。 两本书籍在内容和风格上有所不同，但都对线性代数的基础知识和应用进行了全面的讲解。本文将针对这两本书的主要内容进行概括和比较，以帮助读者选择适合自己学习线性代数的教材。同时，也将对线性代数的应用进行深入探讨，展示线性代数在科学和工程领域的重要性。 1.2文章结构 文章结构 本文主要探讨了《Linear Algebra Done Right》和丘维声的《高等代数》两本书籍。在文章中，我们将从引言、正文和结论三个部分展开讨论。
习题7.1 1．在K[x]中，如果f(x)=cg(x)，其中c∈K且c≠0，试问：f(x)与g(x)的次数有什么关系？2．在K[x]中，如果f(x)g(x)=c，其中c∈K且c≠0，试问：f(x)与g(x)的次数各是多少？3．在K[x]中，如果f(x)与g(x)的次数都是3，试问：f(x)+g(x)的次数一定是3吗？4．设R是一个有单位元1（≠0）的环，对于a∈R，如果存在b∈R，使得ab=ba=1，则称a 为可逆元（或称a为单位，注意不要与单位元1混淆），称b是a的逆，记作a−1. 证明：K[x]中一个元素f(x)是可逆元当且仅当f(x)是零次多项式。 ﹡5. 设R是有单位元1（≠0）的环，证明R中的可逆元不可能是零因子。 6. 设A= 221 32 1 01 0001 00001 n n n n b b b b b b b b -- -- ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ，其中b∈K,求A−1. 7. 设A∈M n(K)，并且设A的特征多项式为|λI−A|=（λ−λ1）l1（λ−λ2）l2…(λ−λs)l s，其中λ1、λ2、…、λs是两两不同的复数：l1+l2+…+l s=n. 证明：对于K中任一非零数k，矩阵kA的特征多项式为|λI−kA|=（λ−kλ1）l1（λ−kλ2）l2…(λ−kλs)l s，由此得出，如果λi 是A的l i重特征值，则kλi是kA的l i重特征值。 ﹡8. 设A和A的特征多项式同第7题，证明：A2的特征多项式为|λI−A2|=（λ−λ12）l1 （λ− λ22）l2…（λ−λs2）l s.由此得出，如果λi是A的l i重特征值，则λi2是A2的l i重特征值。 习题 7.2 1.证明整除关系的传递性，即在K[x]中，如果f(x)︱g(x),且g(x)︱h(x)，则f(x)︱h(x). 2.证明本节的命题2，即在K[x]中，如果g(x)︱f i(x), i=1,2,…,s, 则对于任意 u i(x)∈K[x],i=1,2,…,s, 有g(x)︱(u i(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+u s(x)f s(x)). 3.用g(x)除f(x)，求商式与余式. (1)f(x)=x4-3x2-2x-1, g(x)=x2-2x+5；（2）f(x)=x4+x3-2x+3, g(x)=3x2-x+2. 4.设f(x)=x4-3x3+a1x+a0,g(x)=x2-3x+1,求g(x)整除f(x)的充分必要条件. 5.用综合除法求一次多项式g(x)除f(x)所得的商式与余式. (1)f(x)=3x4-5x2+2x-1,g(x)=x-4;(2)f(x)=5x3-3x+4, g(x)=x+2. ﹡6. 设a，b∈Z，如果有h∈Z使得a=hb，则称b整除a，记作b︱a，此时b叫作a的因数（或因子），a叫作b的倍数；否则，称b不能整除a，记作b a，证明： （1）如果a︱b且b︱a（此时称a与b相伴），则a=±b；反之也成立； （2）如果a︱b且b︱c，则a︱c； （3）如果b︱a i，i=1,2，…，s，则对于任意u i∈Z，i=1,2，…，s，有b︱(u1a1+u2a2+…+u s a s).
抽象代数基础习题解答
数学分析、高等代数、解析几何、中学数学建模、离散数学、高等几何、概率统计、竞赛数学、运筹学、数学教学实践、初等代数研究、初等几何研究、教法研究、计算机辅助教学、教育学、教育心理学、大学英语等。
《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月
第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“⋅的乘法表如下: · e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 证明: ”“⋅适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“⋅适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ⋅⋅=⋅⋅. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ⋅⋅=⋅=⋅⋅; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ⋅⋅=⋅=⋅⋅; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ⋅⋅=⋅=⋅⋅. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ⋅⋅=⋅===⋅=⋅⋅. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ⋅⋅=⋅==⋅=⋅⋅. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =⋅=⋅⋅)(,z u x z y x =⋅=⋅⋅)(,从而,)()(z y x z y x ⋅⋅=⋅⋅.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ⋅⋅=⋅⋅. 2.设”“⋅是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义 ∏=n i i a 1 为: 11 1a a i i =∏=,111 1+=+=⋅⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n k k m j j n n i i a a a 1 11.