函数的连续性与可微性
拉格朗日从1772年就开始了他那重建微积分基础的雄心勃勃的尝试。导数概念就是拉格朗日引进的。拉格朗日认为微积分面临的困境和逻辑矛盾是由使用无穷小量引起的，如果在微积分中不用无穷小量，也就是说寻找一种不用无穷小量的方法建立微积分的基础，那么，所有对微积分的攻击就都不攻自破了。拉格朗日认为当时的代数学的严密性是毋庸置疑的。因此，他力图用纯代数的方法建立微各分基础。他把微积分建立在任一连续函数都存在泰勒展式这一假设上。他认为，如果将连续函数展在无穷级数，那么由所得到的无穷级数的各项系数就可以得到该函数的各阶导数，从而就避免了用无穷小量和求极限。他没有考虑到各阶导数的存在问题。拉各朗日确信连续函数一定是可微的。
在18世纪寻求建立微积分基础的工作中数学巨匠尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的思路和逻辑基础。因为他们是数学界的权威，他们的思想和方法给同时代的大大小小的数学家以巨大的影响，以至许多数学家不加分析，不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们给出的基础上进一步发展。因而在18世纪结束之际，微积分和建立微积分基础上的其它分支的逻辑处于一种混乱的状态中。
人们总以为在社会科学和社会发展史上，政治家、思想家方面的权威对政治和社会形势的错误估计会造成政治思想上的混乱，会影响社会的发展，从上面的例子也可以看到，科学技术上的权威对对新生事物的错误认识也会造成逻辑上的混乱，也会影响科学技术的发展。欧拉和拉格朗日虽然在重建微积分基础的逻辑上出现了失误，但他们的失误和他们对人类作出的贡献相比，错误只是沧海一粟，他们的失误是英雄的失误。
柯西把函数的连续性和导数概念的严密化提到了相当的高度，柯西给出的连续函数的定义为：
如果在两个界限之间（即某一区间）变量的无穷小增量总使函数产生一个
无穷小增量，则称函数在这两个界限之间连续。
连续性和可微性是微积分的基本概念。认为连续函数一定是可微的，在今天对一个学过高等数学的学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人都是当时的伟人：欧拉、拉格朗日、柯西、
高斯等。和柯西同时代的几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。最早明确区别连续性和可微性的例子，出现德国大数学家黎曼1854年的论文中。1817年波察诺为了发表他的论文，需要一个精确的连续函数的定义，于是波尔察诺第一个开始对函数性质仔细研究。第一个用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义：
如果在某区间内任一处，只要充分小，就能使任意小，则称
在该区间上连续。
这与定义函数连续性的现代方法——非常类似。
维尔施特拉斯给出了函数连续性的现代定义：
如果对任意给定的，总存在，使当时，恒有
在处连续。
成立，则称
魏尔施特拉斯用和这种静态的有限量刻划了动态的无限量，既排除了无穷小这个有争议的概念，又消除了波尔察诺和柯西定义中的小于任意给定的量的说法的含糊性。它标志着微积分从动态化达到静态化，是对常量的否定之否定。
波尔察诺1824年觉察到了连续函数和可微性的区别。最早明确地以几何形式（1830年）给出了区别连续性和可微性的例子，但没有发表。1872年魏尔施特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，通过一致收敛级数，用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子：
其中为奇整数，为实数，，
连续性与可微性差异的重大发现，标志着人类对函数认识的进一步深化。人们开始注意到依靠几何直观的思维方法有时是靠不住的。
数学史上一系列的事件发生的顺序是耐人寻味的。魏尔施特拉斯的例子没有过早出现是微积分发展史上的幸事。正如皮卡1905年所说的：“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想也可阻碍创造。
函数的连续性与可微性
拉格朗日从1772年就开始了他那重建微积分基础的雄心勃勃的尝试。导数概念就是拉格朗日引进的。拉格朗日认为微积分面临的困境和逻辑矛盾是由使用无穷小量引起的，如果在微积分中不用无穷小量，也就是说寻找一种不用无穷小量的方法建立微积分的基础，那么，所有对微积分的攻击就都不攻自破了。拉格朗日认为当时的代数学的严密性是毋庸置疑的。因此，他力图用纯代数的方法建立微各分基础。他把微积分建立在任一连续函数都存在泰勒展式这一假设上。他认为，如果将连续函数展在无穷级数，那么由所得到的无穷级数的各项系数就可以得到该函数的各阶导数，从而就避免了用无穷小量和求极限。他没有考虑到各阶导数的存在问题。拉各朗日确信连续函数一定是可微的。
在18世纪寻求建立微积分基础的工作中数学巨匠尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的思路和逻辑基础。因为他们是数学界的权威，他们的思想和方法给同时代的大大小小的数学家以巨大的影响，以至许多数学家不加分析，不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们给出的基础上进一步发展。因而在18世纪结束之际，微积分和建立微积分基础上的其它分支的逻辑处于一种混乱的状态中。
人们总以为在社会科学和社会发展史上，政治家、思想家方面的权威对政治和社会形势的错误估计会造成政治思想上的混乱，会影响社会的发展，从上面的例子也可以看到，科学技术上的权威对对新生事物的错误认识也会造成逻辑上的混乱，也会影响科学技术的发展。欧拉和拉格朗日虽然在重建微积分基础的逻辑上出现了失误，但他们的失误和他们对人类作出的贡献相比，错误只是沧海一粟，他们的失误是英雄的失误。
柯西把函数的连续性和导数概念的严密化提到了相当的高度，柯西给出的连续函数的定义为：
如果在两个界限之间（即某一区间）变量的无穷小增量总使函数产生一个
无穷小增量，则称函数在这两个界限之间连续。
连续性和可微性是微积分的基本概念。认为连续函数一定是可微的，在今天对一个学过高等数学的学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人都是当时的伟人：欧拉、拉格朗日、柯西、高斯等。和柯西同时代的几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。最早明确区别连续性和可微性的例子，出现德国大数学家黎曼1854年的论文中。1817年波察诺为了发表他的论文，需要一个精确的连续函数的定义，于是波尔察诺第一个开始对函数性质仔细研究。第一个用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义：
如果在某区间内任一处，只要充分小，就能使任意小，则称
在该区间上连续。
这与定义函数连续性的现代方法——非常类似。
维尔施特拉斯给出了函数连续性的现代定义：
如果对任意给定的，总存在，使当时，恒有
在处连续。
成立，则称
魏尔施特拉斯用和这种静态的有限量刻划了动态的无限量，既排除了无穷小这个有争议的概念，又消除了波尔察诺和柯西定义中的小于任意给定的量的说法的含糊性。它标志着微积分从动态化达到静态化，是对常量的否定之否定。
波尔察诺1824年觉察到了连续函数和可微性的区别。最早明确地以几何形式（1830年）给出了区别连续性和可微性的例子，但没有发表。1872年魏尔施特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，通过一致收敛级数，用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例
子：
其中为奇整数，为实数，，
连续性与可微性差异的重大发现，标志着人类对函数认识的进一步深化。人们开始注意到依靠几何直观的思维方法有时是靠不住的。
数学史上一系列的事件发生的顺序是耐人寻味的。魏尔施特拉斯的例子没有过早出现是微积分发展史上的幸事。正如皮卡1905年所说的：“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想也可阻碍创造。
99级第一学期《高等数学》期末试题
一、填空（每小题3分，共12分，将答案填在横线上，不填解题过程）
1．= .
2．= .
3．为实数，不定积分= .
4．设C为大于1的常数.已知，则C= .
二、选择题（每小题3分，共12分。每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内。）
1．设
，当时，是的（）（A）高阶无穷小；（B）低阶无穷小；
（C）等价无穷小；（D）同阶但非等价无穷小.
2．已知，则=（）.
（A）; （B）
（C）
; （D）
3．曲线（）
（A）没有渐近线；（B）仅有水平渐近线；
（C）仅有铅直渐近线；（D）既有水平渐近线，又有铅直渐近线.
4．设，，则下列结论正确的是（）.
（A）；（B）（C）（D）.
三、求下列各题（每小题6分，共36分）
1．（6分）设函数由所确定，求
2．（6分）求极限
3．（6分）计算不定积分
4．（6分）求
在处带拉格朗日余项的二阶泰勒公式.
5．（6分）计算广义积分
（n为自然数）。
6．（6分）已知
.求
.
四、（7分）设
，且
，求
.
五、（7分）已知
讨论
在
处的连续性与可导性。
六、（8分）已知函数
，求
的n阶导函数
的单调增和单调减区间，
及最大值与最小值.
七、（8分）在曲线
上求一点M，使点M处曲线的切线与曲线及x轴所围图形
面积为
.
（1）求点M的坐标；
（2）求过M点的切线方程；
（3）求上述所围平面图形绕x=2旋转一周所得旋转体的体积V.
八、（5分）设函数
在闭区间[0，2]上二阶可微，且满足
，
.求证在（0,2）内至少存在一点
，使得
=0.
九、（5分）已知函数
在
上连续，且有
，试证若n
为奇数，则存在一个
，使得
。
高等数学上学期模拟试题（一）
一、选择题：（12分）
1．设f (x)在x0处可导，g (x)在x0处不可导，那么在x0处 .
（A）f (x)+ g (x) 与 f (x)·g (x)在x0处都不可导；
（B）f (x)+ g (x) 与 f (x)·g (x)在x0处都可导；
（C）f (x)+ g (x) 未必不可导，而 f (x)·g (x)一定不可导；
（D）f (x)+ g (x) 一定不可导，而 f (x)·g (x)未必不可导；
2．设，则的值等于 .
（A）0；（B）－2－27；（C）2－272－27；（D）227
3．设f (x) 在[a, b]上连续，积分中值定理：中的
是 .
（A）[a, b]上任一点；（B）在[a, b]上至少存在某一点；
（C）[a, b]上唯一的某一点；（D）[a, b]上的中点
，则当时，该函数在x0处的微分
4．设函数y = f (x)可导，且
是 .
（A）Δx的等阶无穷小；（B）Δx的同阶无穷小；
（C）Δx的高阶无穷小；（D）Δx的低阶无穷小
二、填空题：（14分）
1．= .
2．函数在[-1，1]上不能有罗尔定理的结论，其原因是由于f(x)不满足罗尔定理的条件。
3．设，则
4．设，则= .
5．由曲线和直线所围成的图形绕直线y=－1旋转一周所得旋转体的体积可用定积分表示为 .
三、计算题（4×3=52分）
1．求极限
2．
3．求曲线与x轴所围图形绕x轴旋转一周的旋转体之体积。
4．求极限.
5．，求.
6．求在x=1处的切线方程.
7．设，求
8．设，且存在，求f (2).
9．已知，求.
10．求
.
四、若曲线y = f (x)上点(x, y)处的切线斜率与x3成正比例，并知道曲线通过点A(1,6)和B (2,-9)，求该曲线的方程。（4分）
五、设
讨论f (x)在x = 0处的连续性和可导性。（5
分）
六、设f (x)在[0,1]上连续，且0< f (x)<1，求证方程
在（0,1）内
有且只有一个实根。（4分）
七、求通过点（0,0）点（1,2）的抛物线，它满足如下条件：
①对称轴平行于y轴，且图形是凸的。
②它与x轴所围成的面积最小。（5分）
八、设函数f (x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，且
.证明
（4分）
高等数学上学期模拟试题（二）一、填空
1．极限
= .
2．设
，则y′= .
3．积分
和
的大小关系是 .
4．
.
5．设k是实常数，函数f (x)=
.若
存在，则k的取值范
围是 .
二、选择：
1．设
，则
等于： .
（A）g (x2)；（B）2xg (x) （C）x2g(x2)；（D）2xg (x2)
2．设f (x) 在x = x0处附近四阶连续可导且
，
，则有：
（A）y = f (x)在x = x0有极大值；（B）y = f (x)在x = x0有极小值；（C）y = f (x)在x = x0有拐点；（D）y = f (x)在x = x0无极值也无拐点。
3．对于不定积分
，在下列等式中正确的是 .
（A）
；（B）
；
（C）
；（D）
.
4．已知f (x) 在x = 0的某邻域内连续，且f (0) =0，
，则在x=0处，
f (x) .
（A）不可导（B）可导且
（C）取得极大值（D）取得极小值
三、1.若f (x)有n阶导数，试用数学归纳法证明：
2．求曲线的拐点坐标。
3．作的图形。
4．求曲线上曲率最大的点的坐标。
四、一曲线过原点，且在任一点（x,y）的切线的斜率等于2x，求该曲线方程。
五、当a为何值时，抛物线y=x2与三直线x= a，x= a+1，y= 0所围成的图形面积最小？
六、设曲线方程为，求此曲线在横坐标x=1处的法线方程。
七、直线y = ax+b经过点(2,1)，且使积分的值最小，求a、b之值。
八、求
九、求
十、设f (x) 具有二阶导数，在x = 0的某去心邻域内f (x) ≠0，且
，求.
十一、设f (x)在[0,1]上连续，证明。
在有意义，试证明：
十二、设
一、填空题（每小题3分，共9分，填错或不填均得零分）
1．设
，则
= .
2．
.
3．设
，且f [g (x)]=lnx，则
= .
二、选择题（每小题3分，共9分，选错或不选均不得零分）
1．设f (x)在[0,1]上有
>0，且
=0，则
(1)，
(0)，f (1)－f (0)，
或f (0)－f (1)的大小顺序是：（）
（A）
(1)>
(0)> f (1)－f (0)；（B）
(1) > f (1) －f (0)>
(0)；
（C）f (1)－f (0)>
(1)>
(0)；（D）
(1) > f (0) －f (1)>
(0)
2.设ab<0，
则在a （A）只有一点；（B）有两个点；（C）不存在；（D）是否存在与a,b之值有关. 3． 的间断点类型是（） （A）可去；（B）跳跃；（C）无穷；（D）A、B、C都有. 三、解答下列各题（每题6分，共54分） 1．设 为常数，（a≠1），求 2．求 3．设 ，求 4. 设 ，且 ，求 5. 6. 7.设 ， ，…， ，…，证明 存在，并求出它。 8.已知 ，求的值。 9. 计算积分 （n=正奇数） 四、（本题8分），设函数 ，在（，） 上处处连续，可导，求a,b的值。 五、（本题8分）在椭圆 内作底边平行于x轴的内接三角形，求最大三角 形的面积。 六、（本题6分）求曲线 ，直线 及轴三者围成的图形绕 轴旋转所成旋转体的体积。 七、（本题6分）设函数 在闭区间[0，1]上可微，且满足 ， 求证在（0，1）内至少存一点，使得 高等数学部分（下）参考答案 1. 315y x = y =1()33x y Inx =-; 4. 122c c y x x =+ ; 5. 2 y x = ; 6. A ; 7. C ; 8. A ; 9. 1 ()x f x e - =; 10. ' 2(1)24x F F e +=; 22(2)x x F e e -=-; 11. ''(1)sin y y x -=; 1 (2)sin 2 x x y e e x -=-- ; 12. 2 20d y y dt +=; 2y x =22 (1)21x y +=; (2)s =; 14. 2 75124 y x x =- ; 15. 2(1)y x =-; 16. 1.05()km ; 17. A ; 18. 2; 19. 245x y z +-=; 20. '2g g -; 21. 3 ; 22. 2(2)edx e dy ++; 23. A ; 24. B ; 25.D ; 26. A ; 27. 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f xy e f -+-+++; 28. 1()1x z x z x f f e dx z -++++1()1 y z y z y f f e dy z -+-+; 29. 22x y +; 30. 极大值点(9,3)--,极大值-3,极小值点(9,3),极小值3. 31. '222x y y x e -+=, 32()3 x x y c e -=+; 32. 最大值(1,0)3f ±=,最小值 (0,2)2f ±=-; 33. '2()y y f x x ; 34. (与32题同); 35. g =(5,5)-和(5,5)-; 36. 21 20 (,)x x dx f x y dy ? ?; 37. 2 a ; 38. B ; 39. D ; 40. D ; 41. A ; 42. 1 e -; 42()323ππ-; 44. (1)2e ππ+; 45. 1632 39 π-; 46. 38; 47. 51 83 π-; 48. ()F t 在(0,)+∞内单调增加; 49. 32 π; 50. 3 (2R π; 51. c a d b -; 53. π-; 54. 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 A C 1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (1,2,3)A - 第IV 卦限 (2,3,B - 第V 卦限 (2,3,4)C -- 第VIII 卦限 (2,3,1)D --第III 卦限． 2． 证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形． 证明：如图所示 MC AM = MD BM = =+=+=∴ AD 与BC 平行且相等，结论得证． 3．已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M 的模，方向余弦和方向角以及平行于向量12M M 的单位向量． 解： k j 2 i 21+--=M M 2)21()02()34(222=-+-+-= 方向余弦：21cos - =α，2 2cos -=β，21cos =γ． 方向角：32πα= ，43πβ=，3 πγ=． 平行于向量21M M 的单位向量是k 2 1 j 22i 21± ． 4．设=3+5+8m i j k ,=2n i 47-j-k ,=5+p i j 4-k ,求=4+3a m n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量． 解：因为p n 3m 4a -+= k 15j 7i 13)k 4j i 5()k 7j 4i 2(3)k 8j 5i 3(4++=-+---+++= 所以在x 轴上的投影为13a =x ． 在y 轴上的分向量为j 7． 1．已知1(1,1,2)M -，2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求同时与12M M ，23M M 垂直的单位向量． 解：k j 4i 221-+=M M ，k 2j 232+-=M M ， 设所求向量为),,(c b a b = ，因为21M M b ⊥ ，所以 042=-+c b a 因为32M M b ⊥ ，所以 022=+-c b ， 因为1||=b ，所以12 22=++c b a 求得17 3± =a ，172 =b ，172 =c 故所求单位向量为)172 ,17 2,17 3 ( ±=b e 方法二：所求向量)4,4,6(2 201422221--±=--±=?±=k j i M M M M b 故)172 ,172,173(161636)4,4,6(|| ±=++--±==b b e b 2．设{}=3,5,-2 a ，{}=2,1,4 b ，问λ与μ有怎样的关系能使+λμa b 与z 轴垂直． 解：)k 4j i 2()k 2j 5i 3(b i +++-+=+μλμλ k )42(j )5(i )23(μλμλμλ+-++++= 因为与z 轴垂直，所以μλμλ2042=?=+-． 3．设=2+m a b ，=k +n a b ，其中=1a ，=2b ，且⊥a b ． (1) k 为何值时，⊥m n ； (2) k 为何值时，m 与n 为邻边的平行四边形面积为6？ 解：(方法一) 设},,{z y x a a a a = ，},,{z y x b b b b = ， 由题意已知12 2 2 =++z y x a a a ，42 2 2 =++z y x b b b ，0=++z z y y x x b a b a b a }2,2,2{z z y y x x b a b a b a m +++= ，},,{z z y y x x b ka b ka b ka n +++= (1) 已知n m ⊥， 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 验数为，再用方法调整得最优方案为，最小运费为。 （2）指派问题属于问题，可以用方法求解，当任务数比人数少时，可以采取方法处理。 （3）在图中找一条经过每边的最短路问题是。 三、（25分）某车间生产甲、乙、丙三种产品，每件所消耗劳动力、原料及可供使用资源 （1 （2）分别求出劳动力和原材料的影子价格。 （3）若产品乙的单位利润变为2元，其它条件不变，原最优计划是否发生改变？（4）若原材料不够，可到市场上购买，市场价格为0.8元/单位,问是否要购进,最多购进多少? 四、（20分）最大流问题如下图所示，图中弧旁数字为容量，求下图网络中s v 到t v 的最大流量。要求： （1）建立该问题的数学模型； （2）用标号法求解上述问题。（写出每条增广链及其调整流量、最小截集和总流量） v s t v 五、（10分）给定目标规划问题： ?????? ?=≥≥≤=++-=++++++=+-+ -+-+ -+-) 2,1(,0,,0,6 63222.) ()(2min 2 1122211121222111i d d x x x d d x x d d x x st d d P d d P z i i 用图解法找出该目标规划问题的满意解。 六、证明题（5分） 线性规划问题0,,max ≥==X b AX CX z ，设0X 为问题的最优解。若目标函数中用*C 代 替C 后，问题的最优解变为*X ，求证： 0))((0**≥--X X C C 附加题（30分） 分析用位势法求检验数的问题： （1）、（10分）表述一般的运输问题，写出该运输问题的数学模型及其对偶问题的模型；（2）、（10分）证明对偶变量法（也称位势法）求检验数的合理性； （3）、（10分）结合本试题中基本题二（1）的运输问题，用位势法求初始表格中空格处的检验数。 深圳大学工商管理专业本科人才培养方案 一、培养目标 本专业培养德智体美全面发展，具有现代人文素质和科学素养，富有创新精神和实践能力，在具备管理、经济、法律等方面的知识和能力，熟练运用计算机技术和一门外国语的基础上，系统掌握现代工商管理理论和方法，能在工商企事业单位、金融机构、政府等从事管理、教育和科研方面工作的宽口径、厚基础、高素质、强能力的复合型专门人才。 二、培养要求 本专业实施通才教育与专才教育相结合的培养方案。学生主要学习管理学、经济学及工商管理的基本理论和基本知识，接受企业和公共部门工商管理实践领域的方法与技术方面的基本训练，得到管理技能、管理思维和管理研究方法的锻炼，具有分析和解决企业和公共部门工商管理问题的基本能力。 通过课程学习和实践训练，学生应获得以下的知识和能力： 1. 掌握管理学、经济学及工商管理的基本理论和基本知识； 2. 掌握工商管理实践领域的基本方法和技术； 3. 熟悉我国企业管理的有关方针、政策和法规以及国际企业管理的惯例与规则； 4. 具备较强的语言与文字表达、人际沟通以及分析和解决企业管理工作问题的基本能力； 5. 了解现代信息技术，熟练运用计算机、网络及工商管理相关的常用办公、统计、企业信息管理软件； 6. 了解本学科理论和实践前沿与发展动态； 7. 掌握文献检索、资料查询的基本方法，掌握工商管理常用定性、定量研究分析方法，具有初步研究和实际工作能力。 8. 英语应达到国家要求的标准水平，并有一定的听、说、读、写、译的能力。。 三、主干学科 管理学、经济学 四、主要课程 本专业科学地设置了校、院、专业三级“进阶式”课程体系，它们分别为综合必修（校级）、专业必须（院、专业）和综合选修（专业）课程，体现了工商管理专业对学生基本知识和能力、管理技能、管理思维和管理研究方法四大方面的培养要求。课程计划遵循学科知识构成的逻辑关系，学生循序渐进完成必修和选修课程的学习。 综合必修课程是学校统一开设的基本知识和能力的课程，体现了对学生进行素质教育的宽口径的要求，主要有人文素质、体能素质、计算机基本能力培养等方面的课程。详见附表一。 本专业学生需要修读管理学院统一开设的学科平台课程，这些课程属于管理学入门的基础课程，包含在专业必修课程计划中，包括：高等数学、管理学原理、宏观经济学、微观经济学、概率论、统计学原理、管理信息系统等。详见附表二。 综合必修课程和学科平台课程主要集中在学生入学的前四个学期。 从第三学期开始，本专业学生开始学习工商管理专业知识和能力课程，该类课程以本专业开设的专业必修课为主。包括：管理沟通概论、组织行为学、会计学原理、人力资源开发与管理、市场营销学、运筹学、技术经济学等。详见附表二、三。 从第四学期开始，本专业学生开始学习管理技能、管理思维和管理研究方法模块的课程，该课程以本专业开设的专业必修课和综合选修课为主，包括：企业会计、生产与运作管理、企业战略管理、零售管理、财务管理、商法、消费者行为学、国际经济学、市场调研、金融学、旅游与休闲活动概论、国际市场营销、国际经济合作、供应链管理、资本投资学、跨国公司管理、项目管理、旅游法规、服务营销、物流管理、ERP理论与实践、企业伦理学、工商管理前沿研讨等。详见附表三。 学生根据个人学习兴趣和发展计划，修读选修课程，包括全校性公共选修课。本专业允许外专业学生申请本专业的辅修、双专业和双学位。 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 深圳大学期末考试试卷参考解答及评分标准 命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 基本题总分 附加题 得分 评卷人 第一部分 基本题 一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 如果事件A 与事件B 满足A B =?, 则 ( ) (A) 事件A 与事件B 互不相容 (B) 事件A 与事件B 相互独立 (C) 事件A 与事件B 为相容事件 (D) 事件A 与事件B 互为对立事件 答：选A ，由互不相容事件的定义可知。 2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则( ) (A) P (A )P (B )=P (A B ) (B) A B =? (C) P (A )+P (B )>1 (D) P (B )=1-P (A ) 答：选D ，由加法定理得。 3. 已知随机变量X 1,X 2,X 3相互独立，且都服从标准正态分布，令123 3 X X X X ++=，则 222123()()()X X X X X X -+-+-服从 ( ) (A) 自由度为3的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为3的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布 答：选B ，由n 个相互独立服从标准正态分布的样本X 1, ,X n 满足221()~(1) n i i X X n χ=--∑可得。 4. 已知随机变量X ~N (2,4),Y =2X -4, 则( ) (A) Y ~N (2,8) (B) Y ~N (2,16) (C) Y ~N (0,8) (D) Y ~N (0,16) 答：选D ，因E (Y )=2E (X )-4=0, D (Y )=D (2X )=4D (X )=16。 5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2-X 3是μ的无偏估计 (B) 123 2X X X ++是μ的无偏估计 (C) 22 X 是σ2 的无偏估计 (D) 2 1233X X X ++?? ? ?? 是σ2的无偏估计 答：选A ，因E (X 1+X 2-X 3)=E (X 1)=E (X )。 6. 随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y =2X +1则( ) (A) Y 服从在区间(0,2)上的均匀分布 (B) Y 服从在区间(1,2)上的均匀分布 (C) Y 服从在区间(1,3)上的均匀分布 (D) Y 服从在区间(2,3)上的均匀分布 答：选C ，由均匀分布的性质可知。 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上） 1. 两封信随机地投入四个邮筒，则前两个邮筒内没有信的概率是_______ 答：填0.25或14，根据古典概型，所求概率2221 44 ==。 _____________ ________ 学院 专业 姓名 学号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………… 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 深圳大学2014年高分子化学期末考试真题 1.单体单元：聚合物中具有与单体的化学组成相同而键合的电子状态不同的单元。 2.链接：聚合物中组成和结构相同的最小单位 3.阳离子聚合：以阳离子作为活性中心的连锁聚合 4.乳化剂：具有乳化作用的物质 5.嵌段共聚物：聚合由较长的一种结构单元链段和其它结构单元链段结构，每链段由几百到几千个单元结构组成 二、解答题 6.为什么阳离子聚合反应一般需要在很低温度下进行才能得到行对分子量高的聚合物？阳离子聚合时，如何控制聚合反应速率和聚合物相对分子量？ 答：因为阳离子聚合的活性种一般为碳阳离子。碳阳离子很活泼，极易发生重排和链转移反应。向单体的链转移常数远大于自由基聚合的链转移常数大，为了减少链转移反应的发生，提高聚合物的分子量，所以阳离子反应一般需在低温下进行。 7.体形缩聚时有哪些基本条件？平均官能度如何计算？ 答：体形缩聚的基本条件是至少有一单体含两个以上官能团，并且体系的平均官能度大于2。 平均官能度的计算分两种情况： (1)反应的官能团物质的量相等，单体混合物的平均官能度定义为每一分子平均带有的基团数。 ??= 官能度Ni为fi的单体的分子数。 (2) 反应的官能团物质的量不等，平均官能度应以非过量基团数的2倍除以分子总数来求取。 8. 下列单体能不能进行自由聚合？说明原因？ CH2=C(C4H6) 不能 ---》取代基空间位阻太大 CH3=CHOCOCH3 能 --》有共轭效应 ClCH=CHCl 不能 --》结构对城，1，2双取代位阻太大 CF2=CFCl 能 --》F原子半径小，Cl有弱吸电子效应 9-说明竞聚率r1,r2的定义，指明理想共聚，交替共聚，恒比共聚时竞聚率数值的特征？答：均聚和共聚链增长速率常数之比定义为竞聚率。它表征两种单体的相对活性，反映了单体自身增长（均聚）和交叉增长（共聚）的快慢。 r1= k11/k12， r2= k22/k21 当r1 r2=1时，可进行理想共聚； 当r1＜1且r2＜1时，可进行有恒比点的共聚； 当r1＜＜1，r2＜＜1，r1→0，r2→0或r1= r2=0时发生交替共聚。 当r1=r2时恒比共聚。 10. 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 深圳大学期末考试试卷 开/闭卷 闭 A/B 卷 A 课程编号 课程名称 高等数学B(1) 学分 4 命题人(签字) 审题人(签字) 2006 年 12 月10日 高等数学B （1）21试卷 一.选择与填空题(每题3分，共18分) 1.当0x →时，)sinx x (x +与2x 比较是（ ） A . 同阶但不等价无穷小 B . 等价无穷小 C . 高阶无穷小 D . 低阶无穷小 2.曲线3x x y 3-=上切线平行于x 轴的点有（ ） A .(0,0) B .(1,2) C .(-1,2) D .(1,-2) 3.若c e x dx )x (f -x 2+=? 则=)x (f （ ）。 A . e x x B . x 2e x C . x 2xe D . )x -2x (e 2-x 4.求极限3()1lim x x x x →∞+-=______________________。 5.设x e 是)x (f 的原函数，则?=dx )x (xf __________。 6.曲线2)1(12--=x x y 的铅垂渐近线是____________。 二.计算题：（每题 6分，共48分） 1.求极限4x 23x x lim 222x -+-→ 2.求极限)x 1sinx 1(lim 0x -→ 3 .e sin tan x y x x =+ 求dx dy 。 4. 设y x e x y +=,y 是x 的函数，求'y ； 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 5.设()e f x y = 求y '' ； 6. 322sin , x y x y =设 求d ； 7. 求2ln(1)x dx +?； 8. 求?-dx e x 3 x 2； 三.设f (x )=??? ????>=<0 1sin 0 (0 sin 1x x x x k x x x 常数） 问当k 为何值时，函数在x =0处连续？为什么？（7分） 四、ln(1) 01x x x x x <+<>+ 利用拉格朗日中值定理证明不等式对一切成立．（7分） 五. 判定曲线x x e y -=的单调性、极值、凹向及拐点 （10分） 六. 某厂每批生产某种商品x 单位的费用为 2005x )x (C += （元） 得到的收益是 201x .010x )x (R -= （元） 求:1.生产10个单位时的边际成本和边际收益. 2.每批应生产多少单位时才能使利润最大。 （10分） 附加题：（（每题10分共30分） 1．2lim 1(1)x x x e x →+∞+ （10分） 2. 求L L 中的最大值. 3. 若()f x 的一个原函数是ln(x ，求()xf x dx ''? 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 函数的连续性与可微性 拉格朗日从1772年就开始了他那重建微积分基础的雄心勃勃的尝试。导数概念就是拉格朗日引进的。拉格朗日认为微积分面临的困境和逻辑矛盾是由使用无穷小量引起的，如果在微积分中不用无穷小量，也就是说寻找一种不用无穷小量的方法建立微积分的基础，那么，所有对微积分的攻击就都不攻自破了。拉格朗日认为当时的代数学的严密性是毋庸置疑的。因此，他力图用纯代数的方法建立微各分基础。他把微积分建立在任一连续函数都存在泰勒展式这一假设上。他认为，如果将连续函数展在无穷级数，那么由所得到的无穷级数的各项系数就可以得到该函数的各阶导数，从而就避免了用无穷小量和求极限。他没有考虑到各阶导数的存在问题。拉各朗日确信连续函数一定是可微的。 在18世纪寻求建立微积分基础的工作中数学巨匠尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的思路和逻辑基础。因为他们是数学界的权威，他们的思想和方法给同时代的大大小小的数学家以巨大的影响，以至许多数学家不加分析，不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们给出的基础上进一步发展。因而在18世纪结束之际，微积分和建立微积分基础上的其它分支的逻辑处于一种混乱的状态中。 人们总以为在社会科学和社会发展史上，政治家、思想家方面的权威对政治和社会形势的错误估计会造成政治思想上的混乱，会影响社会的发展，从上面的例子也可以看到，科学技术上的权威对对新生事物的错误认识也会造成逻辑上的混乱，也会影响科学技术的发展。欧拉和拉格朗日虽然在重建微积分基础的逻辑上出现了失误，但他们的失误和他们对人类作出的贡献相比，错误只是沧海一粟，他们的失误是英雄的失误。 柯西把函数的连续性和导数概念的严密化提到了相当的高度，柯西给出的连续函数的定义为： 如果在两个界限之间（即某一区间）变量的无穷小增量总使函数产生一个 无穷小增量，则称函数在这两个界限之间连续。 连续性和可微性是微积分的基本概念。认为连续函数一定是可微的，在今天对一个学过高等数学的学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人都是当时的伟人：欧拉、拉格朗日、柯西、 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 《数字信号处理》试卷 B 卷 第1页 共2页 深圳大学期末考试试卷 开/闭卷 闭卷 A/B 卷 B 课程编号 2213991201－2213991205 课程名称 数字信号处理 学分 3 命题人(签字) 审题人(签字) 2014 年 11 月 30 日 基本题 一、判断题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。对的打√，错的打╳。） 1．离散时间信号（或称序列）是指时间离散、幅值量化的信号。( ) 2．设)(1n x 是1N 点的有限长序列，设)(2n x 是2N 点的有限长序列，若121-+≥N N L ，则)(1n x 和)(2n x 的L 点圆周卷积能代表它们的线性卷积。( ) 3．正弦序列)sin(0ωn 一定是周期序列。( ) 4．一个稳定系统的系统函数)(z H 的极点可能在单位圆外。( ) 5．与IIR 滤波器比较，FIR 滤波器的优点之一是可以得到严格的线性相位。( ) 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．下列关系式中，正确描述)(n δ和)(n u 之间关系的是（ ）。 （A ）)()1()(n u n u n --=δ （B ）)1()()(----=n u n u n δ （C ）)()1()(n u n u n -+=δ （D ）)1()()(+---=n u n u n δ 2．以下系统中，（ ）是线性、移不变系统。 （A ）3)(2)(+=n x n y （B ）)3()(- =n x n y （C ）n n x n y +=)()( （D ）)()(n nx n y = 3．已知序列)(n x 的z 变换的收敛域为21< 高等数学(下册)期末复习试题及答案 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线? ??=+-+=-+-020 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{ }3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-= D y x y x e I d d ) (22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-= 20 20 d d 2 r r e I r π θ??--=-202 20)(d d 212 r e r πθ?-?-=202 d 22 1r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而2 2y x u +=，xy v =，求z d ． 解： )2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求 y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格 林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)高等数学部分参考答案-深圳大学
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